Thermal deformation of a long elastic strip

Full Text

Введение «Находящееся в условиях температурного воздействия тонкостенное тело ведет себя так, как если бы оно было нагружено внешними и внутренними напряжениями. Тонкие стержни и листы в результате температурного воздействия коробятся, принимая новую форму. Такого рода явления объясняются наличием внутренних температурных напряжений. Напряжения являются эквивалентом, с помощью которого можно сравнивать степень силового и температурного воздействия. Считается, что температурные напряжения возникают как следствие температурных деформаций тела и условий закрепления его краев. В общем случае они зависят от законов распределения температуры, от температурных свойств материала и условий закрепления тела. В простейшем упругом материале температурные напряжения пропорциональны модулю упругости, коэффициенту линейного расширения и изменению температуры. Эти воздействия подчиняются принципу суперпозиции. При нагреве конструкции и одновременном нагружении ее внешними силами температурные напряжения определяются как часть суммарных напряжений, приходящаяся на долю теплового воздействия. Температурные напряжения возникают вследствие температурных деформаций. Если деформация тела ограничена, то полная деформация может быть равной нулю, и тогда силовая деформация равна температурной»[23]. В силу малой наглядности теплового воздействия на тело в литературе имеется мало решенных задач. В частности, отсутствуют работы по определению коробления тонкостенных тел. Это можно объяснить тем, что решение задач для тонкостенных тел с незакрепленными границами имеет большие трудности из-за наличия полиномиальных решений, вид которых обычно приходится угадывать при использовании теорий в усилиях и моментах. Еще Ляв отмечал, «что развитие взглядов на постановку задач приводит к тому, что существующие методы постановки задач приводятся во все более тесную связь с новыми. Несмотря на то что иногда приходится встречаться с ошибками в математической теории упругости, состоящими в принятии неясных гипотез, имеет место непрерывный прогресс во всех отношениях» [1]. Несомненным преимуществом и удобством обладает процесс построение решения задачи на основе принципа сжатых отображений, в целом не зависящий от начальных гипотез, так как итерационный процесс при выполнении условий сжатия для операторов исходных уравнений является сходящимся независимо от выбора величин начального приближения и может быть распространен на новые задачи для анизотропных и композиционных материалов при воздействии полей различной природы. В связи с появлением новых материалов большой интерес представляет изучение уточненных температурных задач, учитывающих разрывы, быстрые переходы, неоднородности или другие неправильности, возникающие из приближенного описания. «Сопутствующее приближенным теориям понижение порядка дифференциального уравнения при решении задач в усилиях и моментах в сочетании с потерей граничного условия является характерной чертой асимптотических явлений в тонкостенных конструкциях, возникающих из приближенного описания» [2]. Цель асимптотического анализа задачи температурной деформации тонкостенного тела заключается в описании медленно меняющегося решения граничной задачи не только вдали от краев, но и в описании быстро меняющегося внутри приграничного слоя. Потребность в уточненных теориях связана с тем, что уточнение классической теории требуется для более полного понимания самой классической теории. Уточненные теории тонкостенных систем позволяют лучшим образом охарактеризовать погрешность классических теорий [3-5]. «Построение уточненных теорий является более сложной задачей, чем построение классических моделей. Классическая теория учитывает „грубые“ эффекты или медленно меняющиеся напряженные состояния, и, для того чтобы разобраться в них, зачастую достаточно интуиции. В уточненных теориях включаются в рассмотрение малые эффекты, и построение теорий, последовательных в смысле учета всех малых одного порядка, крайне трудно сделать, руководствуясь только интуицией и не располагая регулярными методами» [6]. Считается, что возникающие при построении теории пластин и оболочек противоречия отсутствуют в задаче построения теории изгиба стержня. В основе такого мнения лежит различие в методах построения определяющих уравнений. Если построение теорий пластин и оболочек осуществлялось в некоторой степени на основе математической теории упругости, то построение теории балок выполнено на основе физических и геометрических соображений без использования уравнений теории упругости. При этом граничные условия заимствуются из теории балок. Однако, если все эти теории тонкостенных тел, балок, пластин и оболочек строить на одной математической основе с помощью метода простых итераций, являющегося методом построения решения, удовлетворяющим принципу сжатых отображений, различие между ними исчезает [7]. В связи с этим в настоящей работе методом интегрирования уравнений теории упругости тонкостенных систем Сен-Венана - Пикара - Банаха решена задача определения всех неизвестных задачи температурной деформации длинной полосы. Процесс построения решения и выполнения всех граничных условий на всех сторонах, описанный для полосы, без каких-либо принципиальных изменений с сохранением техники вычислений переносится на более громоздкие задачи для пластин и оболочек [7-12]. 1. Интегрирование уравнений произвольно нагруженной по длинным сторонам нагретой полосы Прямоугольную полосу длины l и высоты 2h отнесем к прямоугольной системе координат x*, z*, так что Длинные стороны полосы несут некоторую произвольную нагрузку, короткие стороны полосы могут быть так или иначе закреплены или нагружены. Такую полосу можно рассматривать как уточненную модель балки прямоугольного поперечного сечения. Уравнения плоской задачи теории упругости, описывающие напряженно-деформированное состояние такой полосы, возьмем в следующем виде: - уравнения равновесия: - соотношения упругости: - формулы, связывающие компоненты деформации и перемещения: Введем безразмерные координаты безразмерные перемещения вдоль осей соответственно и безразмерные напряжения (размерные перемещения, напряжения и нагрузки отмечаются звездочкой). Безразмерные уравнения в этих переменных принимают вид где величина - малый параметр. Преобразуем их так, чтобы, выбрав в качестве величин начального приближения некоторые и можно было последовательно вычислить все остальные искомые неизвестные методом последовательных приближений, заменив дифференциальные уравнения интегральными [7]. Здесь и далее нижним индексом в скобках обозначен номер приближения. Штрих означает дифференцирование по координате x. Во второй и пятой формулах для деформаций добавлены учитывающие температурную деформацию члены αT: α - коэффициент линейного теплового расширения материала полосы, T - температура, взятая относительно некоторой нулевой температуры, при которой температурные деформации считаются отсутствующими. В общем случае они являются функциями обеих координат. Будем интересоваться уравнениями нулевого и первого приближений при выборе величин начального приближения и , принятыми не зависящими от координаты z. В силу этого процесс вычислений может быть записан в квадратурах по координате z таким образом, чтобы сжатие по Банаху было обеспечено за счет малого параметра e как множителя в правой части интегральных операторов Пикара. Вследствие этого вычисленная в первом приближении величина приобретает множитель e2 относительно величины нулевого приближения Нижним индексом 0 обозначены произволы интегрирования. Заданные величины начального приближения w0 и t0 записаны также в первом приближении. Итерационный процесс вычисления неизвестных может быть продолжен, в результате будем иметь формулы для неизвестных в любом приближении. Видно, что все искомые неизвестные выражаются через четыре основных неизвестных которые при вычислении интегралов будут умножаться на поперечную координату z с соответствующим степенным показателем. Найденные в нулевом неизвестные и в первом будем считать вычисленными с достаточной степенью точности. Они имеют следующий вид: (1) Из формул видно, что, задав в качестве единиц измерения искомых функций и как величины величины, вычисленные в нулевом и первом приближении, приобретают дополнительные члены с множителем e2, показывающие в практических задачах порядок поправки относительно главной величины. Получив аналитические выражения для всех искомых неизвестных задачи, можно приступить к выполнению граничных условий на длинных и коротких сторонах заданной прямоугольной области. 2. Выполнение граничных условий на длинных сторонах На лицевых поверхностях полосы надо выполнить граничные условия, соответствующие условиям нагружения. Примем их такими: при при В безразмерном виде эти условия записываются так: при при Безразмерные нагрузки получены путем деления размерных на жесткость E. Предполагается, что они заданы медленно меняющимися функциями координаты x. Условия будем выполнять величинами первого приближения из формул (1), считая, что они с достаточной точностью аппроксимируют искомые величины (2) Складывая и вычитая попарно первые два уравнения и последние два, получим систему из четырех уравнений: , (3) распадающуюся на две независимые: первая пара уравнений служит для определения неизвестных w0 и t0, вторая - для u0 и σz0. Заметим, что формулы для t(1) и σz(1) из списка (1) после выполнения граничных условий на длинных сторонах на основе выражений (3) приводятся к простому виду: (4) Отбрасывая в первом уравнении в (3) величину по сравнению как величину и во втором уравнении по сравнению с также как величину получим уравнения для медленно меняющихся величин и определенные на координате : (5) и известное уравнение краевого эффекта [6], определенное на координате x/e, которая является независимой в силу произвола параметра на координате e: (6) которое используется для выполнения не удовлетворенных решением уравнений (4) граничных условий на коротких сторонах полосы и устранения разрывов. Система однородных уравнений (5) сводится к разрешающему уравнению решением которого является полином третьей степени. Дифференцирование такого полинома не меняет его порядка по Таким образом, функция есть всегда медленно меняющаяся, и, следовательно, Функция в общем случае является суммой медленно меняющейся величины и быстро меняющейся, то есть При этом применение оператора к величине не меняет ее асимптотического порядка, то есть так как Здесь и в дальнейшем верхними индексами s и q отмечаются медленно меняющиеся и быстро меняющиеся величины соответственно. Система (5) может быть сведена к одному разрешающему уравнению (7) Последние два уравнения из системы (3) также могут быть преобразованы. Продифференцируем первое уравнение по x, умножим на e и сложим со вторым. В результате получим (8) теперь можно исключить из третьего уравнения величину для получения уравнения для неизвестной : Из величин в квадратных скобках здесь можно оставить только как независимую, а остальные отбросить как малые по сравнению с одноименными. Таким образом, для неизвестной получим уравнение (9) Итак, функция определена алгебраически через нагрузки и температуру, решение однородного уравнения является медленно меняющимся. Заметим, что в последнем уравнении системы (3) содержится оператор который также определен на координате Его можно использовать для нахождения частного решения в случае приложения быстро осциллирующей нагрузки, но это должно быть целью отдельного исследования. 3. Выполнение граничных условий на коротких сторонах В сопротивлении материалов рассматриваются задачи изгиба и растяжения стержней при различных условиях закрепления концов. Поскольку напряженно-деформированное состояние полосы существенно зависит от граничных условий на коротких сторонах, рассмотрим сначала пример полосы со свободными концами. 3.1. Равномерно нагретая полоса Пусть полоса нагрета равномерно по толщине и в ней возникают температурные деформации. При этом она удлиняется и расширяется. Но напряжения в ней не возникают. Если нижние слои полосы охладить, а верхние нагреть, то лежа, например, на плоскости незакрепленная полоса свободно изогнется, покоробится. В литературе решение такой, казалось бы, простой задачи отсутствует. Пусть а нагрузка на длинных сторонах отсутствует: Уравнения (5) и (7)-(9) принимают вид (10) Положим для простоты изложения t = const. Дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы. Выполнив также интегрирование по z в скобках, получим (11) где C3, C2, C1, C0, L1, L0 - произволы интегрирования медленно меняющихся решений; B0, B1 - произволы интегрирования быстро меняющегося решения типа краевого эффекта. Они определяются из краевых условий на коротких сторонах, Примем, что концы полосы свободны, то есть при Обратившись к (1) и (4), запишем эти условия в развернутом виде при при Потребовав обращения коэффициентов в ноль при каждой степени z, получим следующую последовательность концевых условий для неизвестных w0 и t0: при (12) и для u0: при (13) В условиях (12) в величине надо учесть, что при Из решений (11) имеем Это приводит к записи при С помощью решений (11) на краю условия преобразуются к виду при и на краю при Величина t при этом во вторых условиях сокращается. Складывая и вычитая попарно из четырех уравнений получаем Условия (13) выполняются при и основные искомые неизвестные можно записать в виде (14) Перемещения и определены с точностью до перемещений полосы как абсолютно жесткой. Множитель перед произвольными постоянными можно отбросить. Подставив найденные величины (14) в формулы (1), получим решение исходной задачи теории упругости: Формулы показывают, что в свободной от закреплений полосе напряжения отсутствуют продольные перемещения поперечные по отношению к заданной величине температурного расширения Поправка следующего приближения для поперечного перемещения учитывает изменение поперечных размеров полосы за счет нагрева и пренебрежимо мала по сравнению с главным членом При короблении полосы имеют место перемещения и деформация расширения, напряжения отсутствуют. 3.2. Линейное распределение температуры по высоте Рассмотрим второй случай граничных условий на концах когда Температура распределена по высоте полосы по закону, при котором Воспользовавшись формулами для перемещений из (1), запишем при где произведена подстановка и при Потребовав обращения коэффициентов при каждой степени z в ноль, получим следующую последовательность концевых условий для основных неизвестных : при (15) и : при (16) где учтено, что Условия (15) можно упростить. Для того чтобы два уравнения для определения постоянных интегрирования, соответствующие двум последним условиям, были совместимы, надо принять Кроме того, нужно учесть, что из первого уравнения (5) следует оценка Тогда получаем условия при в которых первые два совпадают с классическими для случая жесткого защемления балки по концам. Удовлетворив их интегралами (11), получим при и при Условия (16) приводят к произволам интегрирования В результате имеем Теперь можно переписать выражения для искомых неизвестных из (1) и (4) так: где Последние формулы показывают, что при изменении температуры по высоте по линейному закону в полосе возникают только перемещения и напряжения краевого эффекта в области защемления коротких краев. Заключение Теорема Банаха о неподвижной точке объединяет все итерационные методы в рамках принципа сжатых отображений. Предложенный Сен-Венаном метод решения уравнений теории упругости легко продолжается до итерационного метода простых итераций. Для этого надо преобразовать оператор исходных уравнений так, чтобы он позволял вычислять неизвестные последовательно: вычисленные в одном уравнении величины входят в последующее уравнение как известные, при этом умноженные на малый параметр. Такая последовательность обеспечивается интегральными операторами Пикара, преобразованием соотношений упругости и выбором величин начального приближения не зависящими от поперечной координаты. В теории тонкостенных систем (при дополнительном предположении t = 0) они называются гипотезами Кирхгоффа или гипотезами недеформируемой нормали. В течение одной итерации четыре раза вычисляются путем прямого интегрирования все неизвестные задачи, содержащие четыре произвольные функции интегрирования, зависящие от продольной координаты, являющиеся коэффициентами полинома по степеням поперечной координаты. При этом члены, соответствующие температурной деформации, входят в исходные уравнения классическим образом [13] и никак не меняют процесс нахождения интегралов уравнений теории упругости. В случае изотропного материала уравнения, описывающие изгиб и растяжение - сжатие, разделяются. Для случая произвольного слоистого материала разделение не происходит [11; 14]. В процессе последовательного вычисления неизвестных в течение нулевой итерации имеет место четырехкратное интегрирование по поперечной координате и четырехкратное дифференцирование по продольной. Однако дифференцирование имеет символический характер, так как при выполнении граничных условий на длинных сторонах высшие производные приравниваются к заданной нагрузке и соответствующие уравнения интегрируются, обеспечивая вместе с однородными сингулярно возмущенными уравнениями непрерывность решения в любом случае. Процесс вычисления можно трактовать как расщепление сложного оператора на четыре оператора Пикара относительно поперечной координаты и три - относительно продольной. Близость полученного решения оценивается порядком первого отброшенного члена по e для медленно меняющихся величин и оценкой, данной в [10], для быстро меняющихся. Можно показать, что последняя оценка может быть улучшена. На примере коробления нагретого стержня показано, что указанное В.В. Васильевым [3] отсутствие решения, позволяющее деформировать балку по параболе и найденное в уточненных теориях [4; 5], не теряется при решении задачи теории упругости вышеизложенным методом без замены напряжений усилиями и моментами. Описанная постановка температурной задачи в дальнейшем предполагает продолжение в задачах для тонкостенных систем из анизотропных и композиционных материалов.

About the authors

Evgeny M. Zveryaev

Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences; Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University); Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: zveriaev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-8097-6684

Doctor of Technical Sciences, Professor, leading researcher at the Keldysh Institute of Applied Mathematics; Professor of the Department of Construction, Academy of Engineering, Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University); Professor of the Department of Design of Complex Mechanical Systems, Moscow Aviation Institute

4 Miusskaya Ploshchad’, Moscow, 125047, Russian Federation; 6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation; 4 Volokolamskoe Shosse, Moscow, 125993, Russian Federation

References

Supplementary files