Том 53, № (2014)

Приводятся основные результаты исследования двух математических моделей страхования с учетом поведения страховой компании на финансовом рынке - вложение постоянной доли капитала в рисковый актив (акции) и оставшейся доли - в безрисковый актив (банковский счет); заменой параметров - характеристик акций - такая стратегия сводится к случаю вложения всего капитала в рисковый актив. Первая модель основана на классическом процессе риска Краме´ра-Лундберга при экспоненциальном распределении размеров страховых требований (исков); в основе второй модели - модификация классического процесса риска (так называемый процесс риска со случайными премиями) при экспоненциальных распределениях как размеров исков, так и размеров страховых взносов (премий). Для вероятности неразорения страховой компании за бесконечное время (как функции ее начального капитала) возникают сингулярные задачи для линейных интегродифференциальных уравнений (ИДУ) второго порядка, определенных на полубесконечном интервале и обладающих неинтегрируемыми особенностями в нуле и на бесконечности: первая модель приводит к сингулярной начальной задаче с ограничениями для ИДУ с вольтерровым интегральным оператором, вторая - к более сложной краевой задаче с ограничениями и нелокальным условием в нуле для ИДУ с невольтерровым интегральным оператором. Задачи для ИДУ сводятся к эквивалентным сингулярным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Приводятся теоремы существования и единственности решений с описанием их свойств и глобального поведения, даны асимптотические представления решений в окрестностях особых точек. Предложены эффективные алгоритмы численного нахождения решений, приведены результаты расчетов и дана их экономическая интерпретация.

На основе понятия компактного субдифференциала построено развитое субдифференциальное исчисление первого и высших порядков, вплоть до формулы Тейлора и теории экстремумов. Введен и изучен обширный класс субгладких отображений, к которым применим построенный формализм. Разработан аппарат исследования одномерных экстремальных вариационных задач с субгладким интегрантом, включая достаточные условия. Рассмотрен ряд примеров.

В работе вводится понятие антикомпактного множества (антикомпакта) в пространствах Фреше. Детально исследованы свойства как самих антикомпактов, так и шкалы банаховых пространств, порожденных антикомпактами. Особо рассмотрена система антикомпактных эллипсоидов в гильбертовых пространствах. Доказано существование системы антикомпактов во всяком сепарабельном пространстве Фреше $E.$ На базе построенной теории получены аналоги теоремы Ляпунова о выпуклости и компактности образа векторной меры в классе сепарабельных пространств Фреше: показана выпуклость и компактность замыкания множества значений векторной меры в некотором пространстве $E_{\bar{C}},$ порожденном некоторым антикомпактом $\bar{C}.$ Также исследована проблема недифференцируемости интеграла Петтиса по верхнему пределу. Получены условия дифференцируемости неопределенных интегралов Петтиса в терминах новых характеристик "— слабой интегральной ограниченности, а также $\sigma$-компактной измеримости. Доказан аналог теоремы Лебега о дифференцируемости неопределенного интеграла Петтиса для всякого сильно измеримого подынтегрального отображения.