Том 66, № 1 (2020): Уравнения в частных производных

В работе изучаются вопросы стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка, связанные с поведением на бесконечности младших коэффициентов уравнений и с ростом начальных функций. Изучаются также вопросы стабилизации решения первой краевой задачи для параболического уравнения без младших коэффициентов в зависимости от области Q задания начальной функции при t =0.

В первой главе изучены точные достаточные условия стабилизации к нулю равномерно по x на компакте K в R^N решения задачи Коши с дивергентным эллиптическим оператором и коэффициентами, не зависящими от t и зависящими только от x. Изучены классы начальных функций:

1. ограниченных в R^N,
2. имеющих степенной рост на бесконечности в R^N,
3. имеющих экспоненциальный порядок роста на бесконечности.

На примерах показано, что достаточные условия являются точными и, кроме того, не допускают равномерной в R^N стабилизации к нулю решения задачи Коши.

Во второй главе изучается задача Коши с эллиптическим недивергентным оператором с коэффициентами, зависящими от x и t. Получены точные достаточные условия в различных классах растущих начальных функций, которые гарантируют стабилизацию решений соответствующей задачи Коши равномерно по x на каждом компакте K в R^N. Приведены примеры, показывающие точность формулируемых условий.

В третьей главе получены необходимые и достаточные условия на область R^N \Q, где Q — область задания начальной функции при t =0, при выполнении которых решение первой краевой задачи без младших членов стабилизируется к нулю равномерно по x на любом компакте в Q. Установлена степенная оценка скорости стабилизации решения краевой задачи с ограниченной начальной функцией, когда R^N \ Q при t =0 является конусом.