On Large-Time Behavior of Solutions of Parabolic Equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

We study the stabilization of solutions of the Cauchy problem for second-order parabolic equations depending on the behavior of the lower-order coefficients of equations at the infinity and on the growth rate of initial functions. We also consider the stabilization of solution of the first boundary-value problem for a parabolic equation without lower-order coefficients depending on the domain Q where the initial function is defined for t =0.

In the first chapter, we study sufficient conditions for uniform in x on a compact K ⊂RN stabilization to zero of the solution of the Cauchy problem with divergent elliptic operator and coefficients independent of t and depending only on x. We consider classes of initial functions:

  1. bounded in RN,
  2. with power growth rate at the infinity in RN,
  3. with exponential order at the infinity.

Using examples, we show that sufficient conditions are sharp and, moreover, do not allow the uniform in RN stabilization to zero of the solution of the Cauchy problem.

In the second chapter, we study the Cauchy problem with elliptic nondivergent operator and coefficients depending on x and t. In different classes of growing initial functions we obtain exact sufficient conditions for stabilization of solutions of the corresponding Cauchy problem uniformly in x on any compact K in RN. We consider examples proving the sharpness of these conditions.

In the third chapter, for the solution of the first boundary-value problem without lower-order terms, we obtain necessary and sufficient conditions of uniform in x on any compact in Q stabilization to zero in terms of the domain RN \ Q where Q is the definitional domain of the initial function for t =0. We establish the power estimate for the rate of stabilization of the solution of the boundary-value problem with bounded initial function in the case where RN \ Q is a cone for t =0.

About the authors

Vasiliy N. Denisov

M.V. Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: vdenisov2008@yandex.ru

факультет вычислительной математики и кибернетики

References

  1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Факториал Пресс, 2005.
  2. Алхутов Ю.А. Устранимые особенности решений параболических уравнений второго порядка// Мат. заметки. - 1991. -50, № 5. - С. 9-17.
  3. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1954.
  4. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. - М.: ИЛ, 1949.
  5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971.
  6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. - М.: Мир, 1987.
  7. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. - М.: Наука, 1989.
  8. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения// Мат. сб. - 1982. -119, № 4. - С. 451-507.
  9. Гущин А.К. О зависимости поведения при больших значениях времени решения параболического уравнения от данных задачи// В сб.: «Качественная теория дифференциальных уравнений». - Новосибирск: Наука, 1988. - С. 72-82.
  10. Гущин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения// Дифф. уравн. - 1971. -7, № 2. - С. 297-311.
  11. Гущин А.К., Михайлов В.П., Муравей А.Л. О стабилизации решений нестационарных граничных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных// Динам. сплош. среды. - 1975. - № 23. - С. 57-90.
  12. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с коэффициентом младшего порядка и растущей начальной функцией// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 2003. -23. - С. 125-148.
  13. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом// Дифф. уравн. - 2003. -39, № 4. - С. 506-515.
  14. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом и с полиномиально растущей начальной функцией// Тр. конф. «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы». - М.: Физматлит, 2003. - С. 293-245.
  15. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентом и растущей начальной функцией// Докл. РАН. - 2004. -397, № 4. - С. 439-441.
  16. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени// Усп. мат. наук. - 2005. -60, № 4. - С. 145-212.
  17. Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности// Докл. РАН. - 2006. -407, № 2. - С. 163-166.
  18. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом// Фундам. и прикл. мат. - 2006. -12, № 4. - С. 79-97.
  19. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом и с экспоненциально растущей начальной функцией// Тр. МИАН. - 2008. -261. - С. 97-106.
  20. Денисов В.Н. Условия стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения в классах растущих начальных функций// Тр. конф. «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология». - М.: Физматлит, 2008. - С. 118-32.
  21. Денисов В.Н. Достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшими коэффициентами// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2010. -36. - С. 61-71.
  22. Денисов В.Н. О необходимых и достаточных условиях стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами// Докл. РАН. - 2010. -433, № 4. - С. 452-454.
  23. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшим коэффициентом в классах растущих начальных функций// Докл. РАН. - 2010. -430, № 5. - С. 586-588.
  24. Денисов В.Н. Стабилизация решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с растущими младшими коэффициентами// Тр. МИАН. - 2010. -270. - С. 97-109.
  25. Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения первой краевой задачи для параболического уравнения// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 2013. -29. - С. 248-280.
  26. Денисов В.Н. Стабилизация решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с растущими младшими коэффициентами// Дифф. уравн. - 2013. -49, № 5. - С. 1-14.
  27. Денисов В.Н., Жиков В.В. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений// Мат. заметки. - 1985. -37, № 6. - С. 834-850.
  28. Денисов В.Н., Муравник А.Б. О стабилизации решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений// Дифф. уравн. - 2002. -38, № 3. - С. 351-355.
  29. Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений// Дифф. уравн. - 1984. -20, № 1. - С. 20-41.
  30. Дрожжинов Ю.Н. Стабилизация решений обобщенной задачи Коши для ультрапараболического уравнения// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1969. -33, № 2. - С. 368-378.
  31. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений// Мат. сб. - 1977. -104, № 4. - С. 597-616.
  32. Жиков В.В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболических уравнений второго порядка с младшими членами// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1983. -46. - С. 69-98.
  33. Житомирский Я.И. Задача Коши для параболических систем линейных уравнений в частных производных с растущими коэффициентами// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1959. - № 1. - С. 55-74.
  34. Ильин А.М. О поведении решения задачи Коши для параболического уравнения при неограниченном возрастании времени// Усп. мат. наук. - 1961. -16, № 2. - С. 115-121.
  35. Ильин А.М. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения// Мат. заметки. - 1985. -37. - С. 851-856.
  36. Ильин А.М., Клашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа// Усп. мат. наук. - 1962. -17, № 3. - С. 3-146.
  37. Ильин А.М., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных диффузионных процессов// Мат. сб. - 1963. -60, № 3. - С. 368- 392.
  38. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений// Усп. мат. наук. - 1960. -15, № 2. - С. 97-154.
  39. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Ч. 1, 2. - М.: МГУ, 2005.
  40. Кайзер В., Мюллер Б. Устранимые множества для уравнения теплопроводности// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. - 1973. - № 5. - С. 26-32.
  41. Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для параболического уравнения ut = Au с квазиэллиптическим оператором A в неограниченных областях// Мат. сб. - 2007. -198, № 1. - С. 59-101.
  42. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. Качественная теория дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка// В сб.: «Дифференциальные уравнения с частными производными». - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 99-215.
  43. Красносельский М.А., Соболевский П.Е. О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для эллиптического уравнения// Усп. мат. наук. - 1961. -16, № 1. - С. 197-199.
  44. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха// Усп. мат. наук. - 1948. -3, № 1. - С. 3-95.
  45. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973.
  46. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967.
  47. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973.
  48. Ландис Е.М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности// Докл. АН СССР. - 1969. -185, № 3. - С. 517-520.
  49. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. - М.: Наука, 1971.
  50. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. - М.: Наука, 1966.
  51. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка// Мат. сб. - 1980. -111, № 4. - С. 503-521.
  52. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения// Мат. сб. - 1990. -131, № 11. - С. 1486-1509.
  53. Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Теоремы об асимптотической близости решений многомерных параболических уравнений второго порядка// Усп. мат. наук. - 1980. -35, № 1. - С. 211-212.
  54. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений// Докл. АН СССР. - 1964. -157, № 3. - С. 532-535.
  55. Репников В.Д., Эйдельман С.Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши// Докл. АН СССР. - 1966. -167, № 2. - С. 298-301.
  56. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. - М.: ИЛ, 1953.
  57. Смирнова Г.Н. Задача Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности// Мат. сб. - 1966. -70, № 4. - С. 591-604.
  58. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974.
  59. Тихонов А.Н. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных// Бюлл. МГУ. Мат. и мех. - 1938. -1, № 9. - С. 1-49.
  60. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1983.
  61. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М.: Мир, 1968.
  62. Харди Г. Расходящиеся ряды. - М.: Факториал Пресс, 2006.
  63. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. - М.: ИЛ, 1948.
  64. Хасьминский Р.З. Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений// Теор. вер. и ее прилож. - 1960. -5, № 2. - С. 196-214.
  65. Черемных Ю.Н. Об асимптотике решений параболических уравнений// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1959. -23, № 6. - С. 913-924.
  66. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. - Новосибирск: Тамара Рожковская, 2003.
  67. Эйдельман С.Д. Параболические системы. - М.: Наука, 1964.
  68. Эйдельман С.Д., Порпер Ф.О. О поведении решений параболических уравнений второго порядка с диссипацией// Дифф. уравн. - 1971. -7, № 9. - С. 1684-1695.
  69. Aronson D.G. Bounds for the fundamental solution of a parabolic equations// Bull. Am. Math. Soc. - 1967. -73, № 6. - С. 890-896.
  70. Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (3). - 1968. -22, № 4. - С. 607-694.
  71. Denisov V.N. On the behaviour of solutions of parabolic equations for large values of time// Russ. Math. Surv. - 2005. -60, № 4. - С. 721-790.
  72. Evans L.C., Gariepy R.F. Wiener criterion for the heat equation// Arch. Ration. Mech Anal. - 1982. - 78, № 4. - С. 193-194.
  73. Friedman A. Convergence of solutions of parabolic equations to a steady state// J. Math. Mech. - 1956. - 8, № 1. - С. 57-76.
  74. Friedman A. Asymptotic behaviour of solutions of parabolic equations of any order// Acta Math. - 1961. - 106, № 1-2. - С. 1-43.
  75. Fulks W. A note on the steady state solutions of the heat equations// Proc. Am. Math. Soc. - 1956. -7, № 5. - С. 766-771.
  76. Gariepy R., Ziemer W.P. Thermal capacity and boundary regularity// J. Differ. Equ. - 1982. -45. - С. 374-388.
  77. Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equations// J. Anal. Math. - 1956. -4. - С. 309-340.
  78. Giorgi E. Sulla differenziabilita e l’analiticit` a delle estremali degli integrali multipli regolari// Mem. Acad.` Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. - 1957. -3. - С. 25-43.
  79. Kamin S. On stabilization of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations// Proc. R. Soc. Edinb. Sect. A. - 1976. -76. - С. 43-53.
  80. Krzyza˙ nski M.´ Sur l’allure asymptotique des solutions d’equation du type parabolique// Bull. Acad. Pol.´ Sci. Cl. III - 1956. - № 4. - С. 247-251.
  81. Lanconelli E. Sur problema di Dirichlet per l’equasione del calibre// Ann. Mat. Pura Appl. - 1973. - 77. - С. 83-114.
  82. Lieberman G.M. Second Order Parabolic Differential Equations. - Singapore: World Scientific, 1996.
  83. Littman W., Stampacchia G., Wainberger N.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. - 1963. -17. - С. 43-77.
  84. Meyers N., Serrin J. The exterior Dirichlet problem for second order elliptic partial differential equations// J. Math. Mech. - 1960. -9, № 4. - С. 513-538.
  85. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations// Am. J. Math. - 1958. -80, № 4. - С. 531-954.
  86. Osada H. Diffusion processes with generator of generalized divergence forms// J. Math. Kyoto Univ. - 1987. -72. - С. 597-619.
  87. Pinchover Y. On uniqueness and nonuniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coefficients// Math. Z. - 1996. -223. - С. 566-586.
  88. Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinuous// Ann. Inst. Fourier. - 1965. -15, № 1. - С. 189-258.
  89. Watson N.A. Thermal capacity// Proc. London Math. Soc. - 1978. -37. - С. 372-662.
  90. Zang Qi.S. Gaussian bounds for the fundamental solutions of ∇(A∇u)+B∇u-ut = 0// Manuscripta Math. - 1997. -93. - С. 381-390.
  91. Ziemer W.P. Behavior at the boundary of solutions of quazilinear parabolic equations// J. Differ. Equ. - 1980. -35. - С. 291-305.

Copyright (c) 2020 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

License URL: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.en

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies