Том 64, № 4 (2018): Современные проблемы математики и физики

Мы изучаем разностную схему расщепления для численного нахождения устойчивых решений двумерной линейной системы гиперболических уравнений с диссипативными краевыми условиями в случае постоянных коэффициентов и с младшими членами. Нами был построен дискретный аналог функции Ляпунова, а также получена соответствующая априорная оценка. Полученная априорная оценка позволяет утверждать об экспоненциальной устойчивости численного решения.

В этой работе мы рассматриваем задачу об общей неподвижной точке (CFPP) с демисжимающими операторами и ее частный случай, выпуклую задачу о допустимости (CFP) в вещественных гильбертовых пространствах. Руководствуясь недавними результатами, полученными Ордонесом и др. в работе [35] и в области алгоритмов в реальном времени в общем, например, в [20, 21, 30], где с самого начала нам недоступны целые наборы операторов/множеств, которые затем получаются постепенно, мы предлагаем итерационную схему в реальном времени для решения задач об общей неподвижной точке (CFPP) и выпуклых задач о допустимости (CFP), в которой участвующие операторы/множества появляются со временем. Такая схема способна работать с любыми блоками данных и для любого конечного числа итераций с последовательным переходом к следующему блоку. Схема основана на недавнем результате, описанном в работе Райха и Заласа [37] и известном как процедура модулярного строкового усреднения (MSA). Сходимость схемы следует из [37] и других классических результатов в теории неподвижных точек и области вариационных неравенств, например, [34]. Также в работе представлены вычислительные эксперименты для линейных и нелинейных задач о допустимости в приложении к восстановлению изображений. Они демонстрируют справедливость и потенциальную применимость нашей схемы, например, в условиях реального времени.

В этой работе получены критерий ограниченности максимальных операторов, связанных с гладкими гиперповерхностями, а также точное значение показателя ограниченности этих операторов, связанных с произвольными выпуклыми аналитическими гиперповерхностями в случае, когда высота гиперповерхности в смысле А. Н. Варченко больше двух. Кроме того, получено точное значение показателя ограниченности для вырожденных гладких гиперповерхностей, т. е. для гиперповерхностей, удовлетворяющих условиям классической теоремы Хартмана-Ниренберга. Полученные результаты подтверждают справедливость гипотезы Стейна-Иосевича-Соера для произвольных выпуклых аналитических гиперповерхностей, а также для гладких вырожденных гиперповерхностей. В статье также обсуждаются некоторые смежные проблемы теории осцилляторных интегралов.

Данная работа является продолжением нашей работы [12], в которой рассматривались линейные пространства в следующих двух случаях: вещественное пространство допускает умножение на комплексные скаляры без изменения самого множества; вещественное пространство вложено в более широкое множество с умножением на комплексные скаляры. Мы также изучили, как они проявляются в случае, когда исходное пространство обладает дополнительными структурами: топологией, нормой, скалярным произведением, равно как и то, что происходит с линейными операторами, действующими в таких пространствах. Изменение линейности линейных пространств выявляет несколько довольно тонких свойств, не столь очевидных в случае, когда множество скаляров остается неизменным. В настоящей работе мы следуем той же идее, теперь уже при рассмотрении интегралов Бохнера и Петтиса для функций, принимающих значения в вещественных или комплексных банаховых и гильбертовых пространствах. В итоге это приводит нас к изучению сильных и слабых случайных величин со значениями в вещественных и комплексных банаховых и гильбертовых пространствах, в частности, к некоторым свойствам их математических ожиданий.

В работе устанавливается связь между односторонними шаровыми потенциалами с помощью радиально-сингулярных операторов в шаровом слое. Кроме того, построены новые односторонние шаровые потенциалы типа Чженя.