Том 65, № 3 (2019): Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума

Работа посвящена обсуждению методов и подходов, связанных с приданием смысла произведению обобщенных функций, которое в общем случае не определено в классической теории. Показано, что в основе проблемы лежит незамыкаемость в пространстве распределений оператора умножения на гладкую функцию. Изложен общий метод построения новых объектов, называемых новыми обобщенными функциями, или мнемофункциями, которые сохраняют основные свойства обычных обобщенных функций и при этом образуют алгебры. Описаны различные способы вложения пространств распределений в алгебры мнемофункций. Все идеи и рассуждения проиллюстрированы на наиболее простом примере пространства обобщенных функций на окружности. Некоторые эффекты, возникающие при исследовании уравнений с обобщенными коэффициентами, продемонстрированы на примере линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Рассматривается задача о малых движениях и нормальных (собственных) колебаниях системы из трех сочлененных (прицепленных один к другому) маятников, имеющих полости, заполненные одной или несколькими несмешивающимися однородными жидкостями. Изучен случай частично диссипативной системы, когда полость первого маятника целиком заполнена двумя идеальными жидкостями, второго - тремя вязкими жидкостями, для третьего - одной идеальной жидкостью. Исследование проводится методами функционального анализа. Доказана теорема о корректной разрешимости начально-краевой задачи на произвольном отрезке времени, изучен вариант собственных колебаний консервативной системы, когда все жидкости в полостях маятников идеальные и трение в шарнирах (точках подвеса) не учитывается. Подробно рассмотрены три вспомогательные задачи о малых колебаниях одиночных маятников с тремя указанными выше вариантами заполнения полостей.