Linear Operators and Equations with Partial Integrals

Full Text

ВВЕДЕНИЕ В обзоре рассматриваются линейные интегральные уравнения с частными интегралами. Особен- ностью уравнений является наличие в них интегралов, в которых неизвестная функция интегриру- ется по части переменных. Эти интегралы определяют частично интегральные операторы, которые не являются интегральными операторами и у которых отсутствует полная непрерывность. Для линейного уравнения второго рода с частными интегралами не выполняется альтернатива Фред- гольма даже в общем случае ядер любой гладкости, а спектральный радиус линейного оператора Вольтерра с частными интегралами в общем случае ядер не равен нулю. В связи с многочисленными приложениями линейных уравнений с частными интегралами к изучению различных задач теории упругих оболочек [10, 34, 35, 98], механики сплошных сред [1-5, 35-38, 45, 53, 57, 72, 85, 86, 93, 94, 96, 98], интегродифференциальных уравнений [98] и других проблем [59, 70, 71, 79, 87, 98], актуальны следующие вопросы: выбор «естественных» про- странств, в которых целесообразно рассматривать изучаемые операторы и уравнения, и которые «естественны» для приложений; определение условий равенства нулю спектрального радиуса опе- раторов Вольтерра с частными интегралами и построение решений интегральных уравнений с такими операторами с использованием резольвентных ядер; описание условий фредгольмовости и обратимости линейных уравнений с частными интегралами и построение резольвент таких урав- нений. Изучению линейных интегральных уравнений Вольтерра посвящена обширная литература, для линейных интегральных уравнений Вольтерра с частными интегралами ситуация совершенно иная. Такие уравнения впервые систематически изучались, по-видимому, в книгах [18, 88, 111]. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 390 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 391 Однозначная разрешимость уравнений Вольтерра с непрерывными ядрами и с частными инте- гралами t s t s r λx(t, s) = r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ + r r m(t, s, σ)x(t, σ)dσ + n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ + f (t, s) (1.1) a c a c устанавливалась методом последовательных приближений, а также методом Вольтерра, состоящим в последовательном решении двух одномерных уравнений Вольтерра с параметрами и обычного двумерного уравнения Вольтерра. Эти методы применимы также в случае ограниченных изме- римых ядер и основаны на равенстве нулю спектрального радиуса рассматриваемых операторов. Равенство нулю спектрального радиуса оператора Вольтерра с частными интегралами в простран- стве непрерывных функций и в пространствах Лебега доказывалось в [23] с применением свойства Андо. Однако приведенное в [23] свойство Андо оказалось не вполне удобным для изучения опе- раторов Вольтерра с частными интегралами. Более приемлемым оказалось используемое в данной статье свойство Андо, принадлежащее первому автору статьи [35, 41, 57, 65, 104]. В связи с исполь- зованием свойства Андо, были определены классы ядер, обладающих этим свойством. Для линей- ных уравнений Вольтерра с частными интегралами и ядрами из этих классов получены теоремы об однозначной разрешимости уравнений и представлении их решений с применением резольвентных ядер. Признаки обращения в нуль спектрального радиуса действующего в пространстве непрерыв- ных функций линейного оператора Вольтерра с частными интегралами и теоремы о разрешимости соответствующих уравнений рассмотрены в [57, 65, 94], условия равенства нулю спектрального радиуса этого же оператора и условия разрешимости линейных интегральных уравнений с такими операторами в других классах функциональных пространствах - в [35, 41, 104]. Линейные операторы и уравнения с одномерными частными интегралами и переменными пре- делами интегрирования изучались в [50, 58, 63]. Оказалось, что свойства таких операторов и уравнений существенно отличаются от свойств линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра. Некоторые результаты об уравнениях Вольтерра с частными интегралами на неограни- ченных областях получены в [64]. Линейные операторы и уравнения с ядрами Вольтерра r λx(t, s) = r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ + r r m(t, s, σ)x(t, σ)dσ + n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ + f (t, s) (1.2) T S T S и с многомерными частными интегралами, где T и S - компактные множества в конечномерных пространствах, рассматривались в [55, 57, 67]. В работах [57, 67] получены условия равенства нулю спектрального радиуса рассматриваемых операторов и формулы для решения линейных уравнений Вольтерра с частными интегралами в пространстве непрерывных функций. При этом решения уравнений представлялись с использованием резольвентных ядер. Голоморфные решения уравнений Вольтерра с частными интегралами в комплексной области рассматривались в [7, 10, 61]. Описание некоторых приложений линейных уравнений Вольтерра с частными интегралами к изучению задач теории упругих оболочек, к решению интегродифференциальных и дифферен- циальных уравнений с частными производными и к исследованию других задач можно найти в [7, 10, 18, 88, 89, 98]. В частности, к линейным уравнениям Вольтерра с частными интегралами сводится задача Коши для интегродифференциального уравнения Барбашина, задача Гурса для дифференциального уравнения второго порядка с частными производными и ряд задач матема- тической биологии. Изучение амплитудных функций регулярных и сингулярных струн приводит к отдельным случаям уравнений Вольтерра-Стильтьеса с частными интегралами [70, 71]. В [79] рассмотрена разрешимость уравнений Вольтерра с частными интегралами для ядра оператора пре- образования в методе обратной задачи, а в [15] - разрешимость уравнения Гельфанда-Левитана. Линейные уравнения Вольтерра с частными интегралами содержатся в более общем классе линейных уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами r λx(t, s) = r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ + r r m(t, s, σ)x(t, σ)dσ + n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ + f (t, s), (1.3) T S T S 392 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН которые содержат интеграл, определяющий частично интегральный оператор Вольтерра, и ин- теграл, не определяющий частично интегральный или интегральный оператор Вольтерра. К ли- нейным уравнениям Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами приводятся различные за- дачи механики сплошных сред, смешанных задач эволюционного типа, осесимметричных кон- тактных задач, контактных задач теории ползучести неоднородно-стареющих тел и другие за- дачи. Линейные уравнения Вольтерра-Фредгольма соответствующих задач рассматривались в [35, 41, 58, 96, 98], в этих же работах приводятся ссылки на работы В. М. Александрова, Н. Х. Ар- утюняна, Е. В. Коваленко, А. В. Манжирова, Л. А. Галина, И. Г. Горячевой с приложениями урав- нений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами не являются вполне непрерывными даже в общем случае гладких ядер, а для уравнений с такими операторами не выполняется альтернатива Фредгольма. В связи с этим важное значение приобрело описание спектральных свойств линейных операторов Вольтерра- Фредгольма с частными интегралами, условий фредгольмовости, обратимости и регуляризации соответствующих уравнений [35, 41, 57, 65, 96, 98]. Линейные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами содержатся в множестве уравнений, записываемых в виде (1.3), причем в (1.3) может отсутствовать интеграл, опреде- ляющий частично интегральный оператор Вольтерра. В данной работе приводятся общие свой- ства операторов, соответствующих этим уравнениям, условия их фредгольмовости и спектральные свойства. Формулы для спектра и различных частей спектра отдельных классов таких операторов связаны с соответствующими формулами для спектра и частей спектра тензорных произведе- ний операторов на тензорных произведениях банаховых пространств. Работа содержит теоремы о существенном спектре Шехтера оператора Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Приведенные в разделе 4 примеры показывают особенности изучаемых в работе интегральных уравнений, их принципиальное отличие от обычных интегральных уравнений Фредгольма. В этом же разделе изучаются также условия, при которых для линейного уравнения второго рода с част- ными интегралами справедлива альтернатива Фредгольма, частные случаи линейных уравнений с частными интегралами, показано, что линейное уравнение второго рода с частными интеграла- ми и непрерывными заданными функциями может иметь непрерывное, ограниченное разрывное и неограниченное решения, строятся резольвента и решение уравнения Вольтерра с частными интегралами, раздел содержит условия фредгольмовости и обратимости уравнений Вольтерра- Фредгольма с частными интегралами. В разделе 5 отмечаются некоторые проблемы, приводящи- еся к линейным уравнениям с частными интегралами, выписываются эти уравнения и даются ссылки на соответствующие работы. В заключении приводятся комментарии о других проблемах линейных операторов и уравнений с частными интегралами. ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Функциональные пространства. В интегральных и интегродифференциальных уравнени- ях математической физики, механики сплошных сред, теории вероятностей и других задач, содер- жащих операторы с частными интегралами, решения уравнений понимаются в различных смыслах. Это естественно приводит к необходимости изучения операторов и уравнений с частными интегра- лами в подходящих классах пространств и, в частности, в банаховых идеальных пространствах, пространствах вектор-функций и в других пространствах. Идеальные пространства [19, 20, 35, 68, 75]. Пусть (Ω, Σ, μ) - пространство с σ-конечной полной мерой, M = M (Ω, Σ, μ) - пространство всех вещественных измеримых почти всюду конеч- ных функций на Ω. Эквивалентные функции отождествляются. Пространство M линейно, в нем естественно вводится полуупорядоченность: для x, y ∈ M пишем x � y, если x(t) � y(t) почти всюду. Запись xn ↓ означает, что xn � xm при m � n, а xn ↓ x означает, что xn ↓ и xn(t) сходится к x(t) почти всюду на Ω. Аналогично определяются записи xn ↑ и xn ↑ x. Следующие определения применимы и в случае комплексного пространства M. Для x ∈ M считаем, что |x|(t) = |x(t)|. Метрика в M задается равенством ∞ ρ(x, y) = '\" 2-n r |x(t) - y(t)| dμ(t), n=1 μ(Ωn) Ωn 1+ |x(t) - y(t)| ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 393 где Ωn ∈ Σ, Ω = ∪nΩn, Ωn ∩ Ωm = ∅ при n ⊕= m, μ(Ωn) ⊕= 0, сходимость по которой есть сходимость по мере. В этой метрике пространство M полное. Отметим [68], что последовательность функций xn ∈ M сходится по мере на множестве D ∈ Σ, μ(D) < ∞, если для любого ε > 0 μ({t ∈ D : |xn(t) - x(t)| > ε} → 0 при n → ∞. В случае произвольной меры μ(D) считается, что последовательность (xn) сходится по мере на множестве D к функции x, если xn сходится по мере к x на любом множестве G ∈ Σ,G ⊂ D, μ(G) < ∞. Следуя [68], идеальным пространством (ИП) на Ω будем называть линейное множество X ⊂ M такое, что из x ∈ X, y ∈ M, |y| � |x| следует y ∈ X. Для каждой функции x определяется носитель supp x = {t ∈ Ω : x(t) ⊕= 0}, а для пространства X носитель определяется как наименьшее измеримое множество, вне которого все функции из X равны нулю. В дальнейшем считаем, что Ω - носитель пространства X и пользуемся записью X(Ω), носитель определяется с точностью до множества нулевой меры. ИП с монотонной нормой называется нормированным идеальным пространством (НИП), а монотонность нормы означает, что из условий x, y ∈ X, |x| � |y| следует lxl � lyl. Для любого x из НИП X lxl = l|x|l. Полное по норме НИП называется банаховым идеальным пространством (БИП). Обобщением НИП и БИП являются квазинормированные (КНИП) и квазибанаховы (КБИП) идеальные пространства, определения и свойства которых детально рассмотрены в [40]. В част- ности, каждая сходящаяся по квазинорме к x ∈ X последовательность (xn) ⊂ X сходится к x и по мере, а каждая последовательность Коши (xn) ⊂ X сходится по мере к некоторой функции x ∈ M. Отсюда следует, что каждое КНИП X непрерывно вложено в пространство M, а каждое ограни- ченное по квазинорме множество E ⊂ X ограничено в линейном топологическом пространстве X, т. е. для любой окрестности нуля U существует число λ такое, что E ⊂ λU. В КНИП X эквивалентны утверждения: X является КБИП; если 0 � xn ↑ - последовательность Коши в X, то xn сходится к x ∈ X и по квазинорме; если 0 � xn ↑ - последовательность Коши в X, то существует x = sup xn ∈ X. Важную роль в теории КНИП играют порядковые свойства квазинормы [40]. Будем говорить, что в КНИП X квазинорма порядково непрерывна, или что в X выполнено условие (A), если 0 � xn ↓ 0 ⇒ lxnl→ 0; монотонно полна, или что в X выполнено условие (B), если 0 � xn ↑ ∧lxnl � a < ∞ ⇒ ∃ sup xn ∈ X; порядково полунепрерывна, или что в X выполнено условие (C), если 0 � xn ↑ x ∈ X ⇒ lxnl→ lxl. Справедливы следующие свойства [40]: КНИП с условием (B) есть КБИП; В КНИП X выполнено условие (C) тогда и только тогда, когда для каждой последователь- ности (xn) ⊂ X, сходящейся по мере к x ∈ X, выполняется неравенство lxl � lim lxnl; - В КНИП X эквивалентны утверждения: в X выполнены условия (B) и (C); б) единичный шар BX = {x ∈ X : lxl � 1} замкнут в M, т. е. если последовательность (xn) ⊂ BX сходится по мере к x ∈ M, то x ∈ BX. Простейшими примерами ненормируемых КБИП с условиями (A), (B), (C) являются простран- ства Lp([0, 1]) (0 < p < 1). Аналогично терминологии, принятой в теории идеальных пространств [20], КНИП X называ- ется почти совершенным (совершенным, правильным, вполне правильным) КНИП, если в нем выполнено условие (C) ((B) и (C); (A); (A) и (B)). Специальные классы идеальных пространств [20, 68]. Пусть X = X(Ω) и Y = Y (Ω) - КБИП. Через Y /X обозначим пространство мультипликаторов из X в Y ; оно состоит из опреде- ленных на Ω измеримых функций c, для которых cx ∈ Y при любой функции x ∈ X с квазинормой lclY/X = sup{lcxlY : lxl � 1}. Y/X - КБИП. 394 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН Двойственным к БИП Z = Z(Ω) пространством Z∗ называется совокупность определенных на Ω измеримых функций f, для которых |(f, g)| = Г f (t)g(t)dμ < ∞ (z ∈ Z). Алгебраические опе- Ω рации в Z∗ определяются обычным образом, а норма равенством lf lZ∗ = sup{|(f, z)| : lzlZ � 1}. Пусть u0(t) - неотрицательная измеримая функция из M = M (Ω, Σ, μ). Через Eu0 обозна- чим пространство измеримых на Ω функций x(t), для которых имеет смысл и конечна норма u0 lxlEu0 = inf{λ : |x| � λ u0}, а через E∗ пространство измеримых на Ω и равных нулю вне носителя функции u0 функций x, для которых конечна норма lxlE u∗ 0 = Г |x(t)|u0(t)dμ. Eu0 и Ω u0 - двойственные друг к другу совершенные пространства, причем Eu0 - правильное простран- E∗ ∗ ство [20]. Пространства вектор-функций. Пусть T - компакт в некотором метрическом простран- стве, μ - борелевская мера на T, заданная на борелевской σ-алгебре компакта T. Через C обо- значим банахово пространство непрерывных на T функций с нормой lyl = sup{|y(t)| : t ∈ T, а через C(Y ) обозначим пространство непрерывных на T функций со значениями в Y ; здесь Y - банахово пространство или КНИП на (S, Σ, ν). Вектор-функция y ∈ C(Y ) тогда и только тогда, когда t t sup{ly(t)lY < ∞ : t ∈ T } и lim ly(t) - y(t0)lY = 0. → 0 C(Y ) - банахово (метризуемое квазинормированное или квазибанахово) пространство, если Y - банахово (КНИП или КБИП) пространство. Линейные операторы с частными интегралами. Пусть T и S - заданные множества с выделенными в них σ-алгебрами Σ(T ) и Σ(S), на которых заданы полные σ-конечные и счетно- аддитивные меры μ и ν, μ×ν - произведение этих мер, определенное на произведении Σ(T )×Σ(S) σ-алгебр Σ(T ) и Σ(S). Через M (T × S) будем обозначать пространство измеримых на T × S вещественных или комплексных функций, а через X и Y - ИП функций из M (T × S). Непрерывность действия и условия действия [35, 40, 41, 57, 65, 98]. Операторы C, L, M, N, K определим равенствами (Cx)(t, s) = c(t, s)x(t, s), (2.1) r (Lx)(t, s) = T r (Mx)(t, s) = S l(t, s, τ )x(τ, s)dμ(τ ), (2.2) m(t, s, σ)x(t, σ)dν(σ), (2.3) r (Nx)(t, s) = n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dμ × ν(τ, σ), (2.4) T ×S K = C + L + M + N (2.5) где c(t, s), l(t, s, τ ), m(t, s, σ), n(t, s, τ, σ) - измеримые по совокупности переменных функций, а ин- тегралы понимаются в смысле Лебега-Радона. Операторы (2.2), (2.3) будем называть частично интегральными операторами, эти же операторы и оператор (2.5) будем называть также опера- торами с частными интегралами. Для операторов с частными интегралами справедлив аналог теоремы С. Банаха о непрерывности интегрального оператора. Следующая теорема установлена в [106]. Теорема 2.1. Если оператор K действует из КБИП X в КБИП Y или в M (T × S), то он непрерывен. Хорошо известно [68], что линейный непрерывный оператор A, действующий из БИП X в БИП X, является интегральным тогда и только тогда, когда любую последовательность (xn) ⊂ X, сходящуюся по мере к функции x ∈ X и удовлетворяющую условию |xn| � u ∈ X, он переводит в последовательность Axn → Ax почти всюду. Простые примеры показывают, что операторы (2.2) и (2.3) не являются интегральными. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 395 Действительно, пусть оператор (2.2) действует в X = Lp([0, 1] × [0, 1]) (1 < p < ∞) и для некоторой функции u0 = u0(t) из Lp([0, 1]) y0 = Lx0 ⊕= 0. Пусть xn(t, s) = u0(t)vn(s) - последо- вательность функций из X, сходящаяся по мере к x ∈ X, причем |xn| � 1 и (xn) не сходится почти всюду. Очевидно, последовательность (Lxn) не сходится почти всюду. Следовательно, L не является интегральным оператором. Отсюда видно, что даже при c(t, s) ≡ 0 оператор (2.5) в общем случае не является интегральным. Отметим, что оператор (2.5) действует из КБИП X в КБИП Y, если из X в Y действуют опера- торы (2.1)-(2.4). Обратное утверждение неверно по крайней мере в случае, когда хотя бы одно из множеств T и S содержит счетное число атомов. Справедливость этого обратного утверждения, в частности, связана и с вопросом единственности представления (2.5) рассматриваемого класса операторов - эта единственность не имеет места, если меры μ и ν на T и S соответственно не являются непрерывными. Однако эта единственность для непрерывных мер μ и ν на T и S справед- лива - это вытекает из приводимой в пункте 2.2.2 теоремы о регулярности операторов с частными интегралами, которая также позволяет установить действие из X в Y операторов (2.1)-(2.4), когда из X в Y действует оператор (2.5), по крайней мере, в основных случаях. Регулярность операторов с частными интегралами [35, 40, 98, 106]. Напомним, что ли- нейный оператор A : X → Y называется регулярным, если существует такой положительный оператор A˜ : X → Y (оператор A˜ называется положительным, если A˜x � θ при x � θ), что | |Ax| � A˜ x| (x ∈ X). Известная теорема Л. В. Канторовича [68] утверждает, что регулярность ли- нейного оператора равносильна тому, что он преобразует ограниченные в смысле упорядоченности множества в множества, также ограниченные по упорядоченности. Далее среди операторов A˜ (их называют мажорантами оператора A) существует наименьшая (в смысле индуцированной упо- рядоченности пространства линейных операторов); эту наименьшую мажоранту принято называть абсолютной величиной A и обозначать через |A|. Операторы ]C[, ]L[, ]M [, ]N [, ]K[ определим равенствами (]C[x)(t, s) = |c(t, s)|x(t, s), (2.6) r (]L[x)(t, s) = T r (]M [x)(t, s) = S |l(t, s, τ )|x(τ, s)dμ(τ ), (2.7) |m(t, s, σ)|x(t, σ)dν(σ), (2.8) r (]N [x)(t, s) = |n(t, s, τ, σ)|x(τ, σ)dμ × ν(τ, σ), (2.9) T ×S ]K[=]C[+]L[+]M [+]N [. (2.10) Приводимые далее теоремы 2.2-2.9 установлены в [106]. Теорема 2.2. Пусть меры μ и ν непрерывны, и пусть оператор K с частными интегралами действует из пространства X в пространство Y. Тогда он является регулярным оператором в том и только в том случае, когда из X в Y действует оператор ]K[. При этом |K| =]K[. Предположение о непрерывности мер μ и ν в условии теоремы 2.2 существенно. Если множество T или S содержит счетное число атомов, то утверждение теоремы 2.2 в общем случае неверно. Однако теорему можно модифицировать так, что она окажется верной и для мер, не являющихся непрерывными. Пусть μ(T ) и ν(S) конечны, Td и Sd, Tc и Sc соответственно непустые дискретные и непрерыв- ные части множеств T и S. Представление (2.5) оператора K будем называть нормальным, если c(t, s) = 0 при (t, s) ∈ Td × Sd, l(t, s, τ ) = 0 при s ∈ Sd, m(t, s, σ) = 0 при t ∈ Td. Среди представлений любого оператора с частными интегралами существуют нормальные. Дей- ствительно, определим «δ-функции» равенствами δ(t, τ ) = ( μ(T )-1, при t = τ, 0, при t ⊕= τ, δ(s, σ) = ( μ(S)-1, при s = σ, 0, при s ⊕= σ. 396 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН Представление оператора K будет нормальным, если в (2.5) функции c(t, s), l(t, s, τ ), m(t, s, σ), n(t, s, τ, σ) заменить функциями c(t, s)χTc×Sc (t, s), c(t, s)χTd×Sc (t, s)δ(t, τ )+ l(t, s, τ )χT ×Sc (t, s), c(t, s)χTc×Sd (t, s)δ(s, σ)+ m(t, s, σ)χTc×S (t, s), c(t, s)χTd×Sd (t, s)δ(t, τ )δ(s, σ)+l(t, s, τ )χT ×Sd (t, s)δ(s, σ)+m(t, s, σ)χTd×S (t, s)δ(t, τ )+ n(t, s, τ, σ) соответственно, где через χΩ(t, s) обозначена характеристическая функция множества Ω. Теорема 2.3. Пусть меры μ и ν конечны, оператор K с частными интегралами действует из пространства X в пространство Y, и пусть (2.5) - его нормальное представление. Тогда он регулярен в том и только в том случае, когда из X в Y действует оператор ]K[. При этом |K| =]K[. Теоремы о двойственном операторе [35, 40, 98, 106]. Пусть A - линейный оператор, дей- ствующий из БИП X в БИП Y. Двойственным к нему называется линейный оператор A∗, опреде- ляемый равенством (Ax, y) = (x, A∗y) (x ∈ X, y ∈ Y ∗). Двойственный оператор существует не для каждого оператора A; он совпадает с сужением на Y ∗ сопряженного оператора A∗ и, следовательно, необходимым и достаточным условием его существования является включение A∗Y ∗ ⊂ X∗. Оператор KT , транспонированный оператору K, определим равенством r (KT y)(t, s) = c(t, s)y(t, s)+ T r l∗(t, s, τ )y(τ, s)dμ(τ )+ S m∗(t, s, σ)y(t, σ)dν(σ)+ r + n∗(t, s, τ, σ)y(τ, σ)dμ × ν(τ, σ), (2.11) T ×S где l∗(t, s, τ ) = l(τ, s, t), m∗(t, s, σ) = m(t, σ, s), n∗(t, s, τ, σ) = n(τ, σ, t, s). Теорема 2.4. Пусть оператор K с частными интегралами действует из БИП X в БИП Y. Тогда он обладает двойственным оператором и, более того, K∗y = KT y (y ∈ Y ∗, KT y ∈ M (T × S)). В общем случае K∗ не совпадает с KT . Действительно, пусть в (2.5) функции c, m, n тожде- ственно равны нулю, а ⎧ n ∞ l(t, s, τ ) = ¯l(t, τ ) = '\" an(t)bn(τ ), где an(t) = n=1 ⎨ 2 2 , 2-n � t < 21-n, ⎩ 0, при других t, bn(s) = sin 2πns. Тогда оператор K = L действует в X = L2([0, 1] × [0, 1]). Двойственный к L ∞ оператор L∗ существует и имеет вид (L∗y)(t, s) = (an, y(·, s)bn(t). Если допустить, что транспо- n=1 1 нированный оператор LT действует в X, то в L2([0, 1]) действует и оператор (L˜x) = Г l(τ, t)x(τ )dτ. 0 Однако П. Е. Соболевским показано, что оператор L˜ не определен на L2([0, 1]). Поэтому транс- понированный оператор LT не действует в X, в то время как двойственный оператор действует в X. Частным случаем теоремы 2.4 является Теорема 2.5. Пусть оператор K с частными интегралами действует из БИП X в БИП Y и регулярен. Тогда он обладает двойственным оператором и K∗ = KT . Ядра l, m, n назовем симметричными, если l(t, s, τ ) = l(τ, s, t), m(t, s, σ) = m(t, σ, s), n(t, s, τ, σ) = n(τ, σ, t, s), и кососимметричными, l(t, s, τ ) = -l(τ, s, t), m(t, s, σ) = -m(t, σ, s), n(t, s, τ, σ) = -n(τ, σ, t, s). Теорема 2.6. Если оператор K с симметричными или кососимметричными ядрами действу- ет из БИП X в X∗, то оператор K обладает двойственным оператором, причем K∗ = KT . ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 397 Алгебры операторов с частными интегралами [35, 40, 98, 106]. Пусть X и Y - БИП, L(X, Y ) - пространство непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, Lr(X, Y ) - пространство регулярных линейных операторов, действующих из X в Y, Kn(X, Y ) и Kr(X, Y ) - соответственно пространства действующих из X в Y и действующих из X в Y регулярных опе- раторов вида (2.5). Утверждения теорем 2.1 и 2.2 означают тогда справедливость включений Kn(X, Y ) ⊂ L(X, Y ), Kr(X, Y ) ⊂ Lr(X, Y ), причем в общем случае Kn(X, Y ) и Kr(X, Y ) не яв- ляются замкнутыми подпространствами пространств L(X, Y ) и Lr(X, Y ), если L(X, Y ) и Lr(X, Y ) рассматривать с обычной операторной нормой, построенной по нормам пространств X и Y. Ситуа- ция становится иной, если Lr(X, Y ) рассматривать с нормой Л. В. Канторовича lKl = l|K|l. (2.12) Kr(X, Y ) с этой нормой является банаховым пространством. Через Y /X обозначим БИП мультипликаторов из X в Y ; оно состоит из определенных на Ω измеримых функций c, для которых cx ∈ Y при любой функции x ∈ X с нормой lclY/X = sup ±x±�1 lcxlY . (2.13) Через Rl(X, Y ), Rm(X, Y ), Rn(X, Y ) обозначим соответственно множества измеримых по сово- купности переменных функций l(t, s, τ ) : T ×S ×T → (-∞, +∞), m(t, s, σ) : T ×S ×S → (-∞, +∞) и n(t, s, τ, σ) : T ×S ×T ×S → (-∞, +∞), для которых l(t, s, τ ) = 0 (s ∈ Sd) и m(t, s, σ) = 0 (t ∈ Td), и для которых конечны нормы ll(t, s, τ )lRl(X,Y ) = sup 1 1 1r 1 1 |l(t, s, τ )x(τ, s)|dμ(τ )1, (2.14) 1 1 ±x±X �11 1 T 1 1 1r 1 lm(t, s, σ)lRm(X,Y ) = sup 1 |m(t, s, σ)x(t, σ)|dν(σ)1, (2.15) 1 1 ±x±X �11 1 S 1 1 1 r 1 ln(t, s, τ, σ)lRn(X,Y ) = sup 1 |n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)|dμ × ν(τ, σ)1. (2.16) 1 1 ±x±X �11 1 T ×S Rl(X, Y ), Rm(X, Y ) и Rn(X, Y ) - БИП функций, определенных на T × S × T, T × S × S и T × S × T × S соответственно. Определим прямую сумму R(X, Y ) = Rc(X, Y ) ⊕ Rl(X, Y ) ⊕ Rm(X, Y ) ⊕ Rn(X, Y ), (2.17) где Rc(X, Y ) - подпространство пространства Y /X функций c(t, s), для которых c(t, s) = 0 при (t, s) ∈ Td × Sd, с нормой l(c, l, m, n)lR(X,Y ) = lclRc(X,Y ) + lllRl(X,Y ) + lmlRm(X,Y ) + lnlRn(X,Y ). (2.18) Теорема 2.7. Пусть X и Y - БИП. Тогда Kr(X, Y ) - замкнутое подпространство про- странства Lr(X, Y ), изоморфное пространству R(X, Y ), причем lKlKr(X,Y ) � l(c, l, m, n)lR(X,Y ) � 4lKlKr(X,Y ). (2.19) В приложениях полезна доказываемая с применением теоремы Фубини следующая Теорема 2.8. Пусть X, Y и Z - БИП, r (Kjx)(t, s) = cj (t, s)x(t, s)+ r lj (t, s, τ )xj (τ, s)dμ(τ )+ mj (t, s, σ)xj (t, σ)dν(σ)+ T S r + T ×S nj (t, s, τ, σ)xj (τ, σ)dμ × ν(τ, σ) (2.20) (j = 1, 2) - операторы с частными интегралами, K1 ∈ Kr(X, Y ) и K2 ∈ Kr(Y, Z). Тогда оператор K = K2K1 ∈ Kr(X, Z) и является оператором с частными интегралами, причем c(t, s) = c2(t, s)c1(t, s), (2.21) 398 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН r l(t, s, τ ) = c2(t, s)l1(t, s, τ )+ l2(t, s, τ )c1(τ, s)+ l2(t, s, ξ)l1(ξ, s, τ )dμ(ξ), (2.22) r m(t, s, σ) = c2(t, s)m1(t, s, σ)+ m2(t, s, σ)c1(t, σ)+ S T m2(t, s, η)m1(t, η, τ )dν(η), (2.23) n(t, s, τ, σ) = c2(t, s)n1(t, s, τ, σ)+ n2(t, s, τ, σ)c(τ, σ)+ l2(t, s, τ )m1(τ, s, σ)+ m2(t, σ)l1(t, σ, τ )+ r r + l2(t, s, ξ)n1(ξ, s, τ, σ)dμ(ξ)+ T S r r m2(t, s, η)n1(t, η, τ, σ)dν(η)+ T r n2(t, s, ξ, σ)l1(ξ, σ, τ )dμ(ξ)+ + n2(t, s, ξ, σ)l1(ξ, σ, τ )dμ(ξ)+ T S r n2(t, s, τ, η)m1(τ, η, σ)dν(η)+ + T ×S n2(t, s, ξ, η)n1(ξ, η, τ, σ)dμ × ν(ξ, η). (2.24) Категорные свойства рассматриваемых классов операторов содержит вытекающая из теоре- мы 2.7 Теорема 2.9. Пусть X, Y и Z - БИП. Тогда Rc(X, Y )Rc(Y, Z) ⊂ Rc(X, Z), Rc(X, Y )Rl(Y, Z), Rl(X, Y )Rc(Y, Z) ⊂ Rl(X, Z), Rc(X, Y )Rm(Y, Z), Rm(X, Y )Rc(Y, Z) ⊂ Rm(X, Z), Rl(X, Y )Rm(Y, Z), Rm(X, Y )Rl(Y, Z) ⊂ Rn(X, Z), R(X, Y )Rn(Y, Z), Rn(X, Y )R(Y, Z) ⊂ Rn(X, Z). В частности, Rc(X, Y ), Rl(X, Y ), Rm(X, Y ), Rn(X, Y ) являются подалгебрами алгебры R(X, Y ), а Rn(X, Y ) и Rl(X, Y ) ⊕ Rm(X, Y ) ⊕ Rn(X, Y ) - идеалами алгебры R(X, Y ). В силу теоремы 2.9 проверка включения K ⊂ Kr(X, Y ) сводится к проверке четырех включений c ∈ Rc(X, Y ),l ∈ Rl(X, Y ),m ∈ Rm(X, Y ),n ∈ Rn(X, Y ). Проверка первого из них и последнего являются классическими задачами теории БИП и дей- ствующих в них операторов, описания пространств мультипликаторов и описания пространств Заанена ядер линейных интегральных операторов [19, 22]. Как и в случае пространства Rn(X, Y ), простого и удобного описания пространств Rl(X, Y ) и Rm(X, Y ), по-видимому, не существует. Более того, их описание, скорее всего, существенно зависит от специальных свойств пространств X и Y, связанных с несимметричностью переменных t и s. Рассмотрим наиболее важный частный случай. Операторы с частными интегралами в пространствах со смешанными норма- ми [35, 40, 98, 106]. Пусть U и V - БИП с носителями T и S соответственно, V [U ] (U- почти совершенное пространство), U [V ] (V - почти совершенное пространство) - БИП со смешанными нормами, т. е. пространства измеримых на T × S функций, для которых имеют смысл и конечны нормы lx(t, s)lV [U ] = llx(·, s)lU lV , lx(t, s)lU [V ] = llx(t, ·)lV lU . Опишем три подхода к исследованию условий действия операторов (2.2) и (2.3) в пространствах со смешанными нормами. Определим два семейства линейных интегральных операторов r L(s)u(t) = T r l(t, s, τ )u(τ )dμ(τ ) (s ∈ S), M (t)v(s) = S m(t, s, σ)v(σ)dν(σ) (t ∈ T ). (2.25) Теорема 2.10. Пусть U1 и U2, V1 и V2 - БИП с носителями T и S соответственно. Пусть почти при каждом s ∈ S линейный интегральный оператор L(s) действует из U1 в U2 и lL(s)lL(U1,U2) ∈ V2/V1. Тогда частично интегральный оператор (2.2) действует из простран- ства X = V1[U1] в пространство Y = V2[U2], где U1 и U2 - почти совершенные пространства, причем lLlL(X,Y ) � llL(s)lL(U1,U2)lV2/V1 . Аналогично, если V1 и V2 - почти совершенные БИП и почти при каждом t ∈ T линейный оператор M (t) действует из V1 в V2 и lM (t)lL(V1,V2) ∈ U2/U1, то частично интегральный ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 399 оператор (2.3) действует из пространства X = U1[V1] в пространство Y = U2[V2], причем lM lL(X,Y ) � llM (t)lL(V1,V2)lU2/U1 . Отметим, что в случае V2/V1 = L∞ или при V2/V1 = Eu0 условия теоремы 2.10 являются и необходимыми для действия оператора (2.2) из X в Y. Если U2/U1 = L∞ или если U2/U1 = Eu0 , то условия теоремы 2.10 необходимы для действия оператора (2.3) из X в Y. Пусть W1 и W2 - БИП с носителем Ω. Через Z(W1, W2) обозначим пространство Заанена ядер z(t, s) линейных регулярных интегральных операторов, действующих из W1 в W2 с нормой lz(ξ, η)lZ(W1,W2) = sup 1 1 1r 1 1 |z(ξ, η)|w(η)dη1 . 1 ±w±W1 �11 Ω 1 1W2 Теорема 2.11. Пусть U1 и U2, V1 и V2 - БИП с носителями T и S соответственно, причем U1, U2 - почти совершенные пространства. Пусть почти при всех s ∈ S l(t, s, τ ) ∈ Z(U1, U2) и ll(·, s, ·)lZ(U1,U2) ∈ V2/V1. Тогда частично интегральный оператор (2.2) действует из про- странства X = V1[U1] в пространство Y = V2[U2], регулярен и l|L|lL(X,Y ) � lll(·, s, ·)lZ(U1,U2)lV2/V1 . Аналогично, если V1 и V2 - почти совершенные БИП и почти при всех t ∈ T m(t, s, σ) ∈ Z(V1, V2) и lm(t, ·, ·)lZ(V1,V2) ∈ U2/U1, то частично интегральный оператор (2.3) действует из пространства X = U1[V1] в пространство Y = U2[V2], регулярен и l|M |lL(X,Y ) � llm(t, ·, ·)lZ(V1,V2)lU2/U1 . Введем в рассмотрение два оператора r (L˜u)(t) = T r ll(t, ·,τ )lV2/V1 u(τ )dμ(τ ), (M˜ v)(s) = T lm(·, s, σ)lU2/U1 v(σ)dν(σ). Теорема 2.12. Пусть U1 и U2, V1 и V2 - БИП с носителями T и S соответственно, при- чем U1 - почти совершенное, а U2 - совершенное или сепарабельное БИП. Пусть линейный интегральный оператор L˜ действует из U1 в U2. Тогда частично интегральный опера- тор (2.2) действует из пространства X = U1[V1] в пространство Y = U2[V2], регулярен и l|L|lL(X,Y ) � lll(t, ·,τ )lV2/V1 lZ(U1,U2). Аналогично, если V1 - почти совершенное, а V2 - совершенное или сепарабельное БИП, оператор M˜ действует из V1 в V2. Тогда частично интегральный оператор (2.2) действу- ет из пространства X = V1[U1] в пространство Y = V2[U2], регулярен и l|M |lL(X,Y ) � llm(·, s, σ)lU2/U1 lZ(V1,V2). Приведем еще два признака действия частично интегральных операторов в пространствах со смешанными нормами, основанные на использовании пространств мультипликаторов функций двух переменных. Теорема 2.13. Пусть U1 и U2, V1 и V2 - БИП с носителями T и S соответственно и X ∈ {V1[U1], U1[V1]}. 2 Если ll(·, s,τ )lU ∈ Z = V2[L1]/X, то частично интегральный оператор (2.2) действует из X в Y = V2[U2], регулярен и l|L|lL(X,Y ) � lll(·, s,τ )lU2 lZ. 2 Аналогично, если lm(t, ·, σ)lV ∈ W = U2[L1]/X, то частично интегральный оператор (2.3) [ X Y = U2 2 V2 действует из в V ], регулярен и l|M |lL(X,Y ) � llm(t, ·, σ)l lW . Теорема 2.14. Пусть U1 и U2, V1 и V2 - БИП с носителями T и S соответственно и Y ∈ {U2[V2], V2[U2]}. 1 Если ll(t, s, ·)lU ∗ 1 ∈ Z = V ∗[L1]/Y ∗, то частично интегральный оператор (2.2) действует из 1 X = V1[U1] в Y, регулярен и l|L|lL(X,Y ) � lll(t, s, ·)lU ∗ lZ. Аналогично, если lm(t, s, ·)lV ∗ ∈ W = U ∗ [L1]/Y ∗, то частично интегральный оператор (2.3) 1 1 1 действует из X = U1[V1] в Y, регулярен и l|M |lL(X,Y ) � llm(t, s, ·)lV ∗ lW . 400 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН Анализ утверждений теорем 2.10-2.14 показывает, что их утверждения относятся к различ- ным пространствам функций со смешанными нормами, причем различными для операторов (2.2) и (2.3). Таким образом, в теоремах 2.10-2.14 содержатся 12 различных утверждений, являющих- ся достаточными признаками действия и (за исключением теоремы 2.10) регулярности частично интегральных операторов в четырех возможных БИП со смешанными нормами. Теоремы 2.10-2.14 применены в [35, 40, 97, 98] к изучению условий действия и регулярности частично интегральных операторов в пространствах Орлича и Лебега со смешанными нормами, пространствах Орлича и пространствах Лебега Lp(1 � p � ∞). Из теоремы 2.10 вытекает следующее полезное утверждение: частично интегральные опера- торы (2.2) и (2.3) действуют в Lp(T × S) (1 < p < ∞) тогда и только тогда, когда операторы L(s) и M (t) действуют в Lp(T ) и в Lp(S) при почти всех s ∈ S и t ∈ T соответственно и их нормы равномерно ограничены. Приведем два утверждения о действии и регулярности оператора (2.5) в пространствах L∞(T × S) и в L1(T × S) (см. [35, 40, 98, 106]). Теорема 2.15. Оператор (2.5) действует в L∞(T × S) тогда и только тогда, когда A = vraisup г r |c(t, s)| + r |l(t, s, τ )|dμ(τ )+ r |m(t, s, σ)|dν(σ)+ l |n(t, s, τ, σ)|dμ × ν(τ, σ) < ∞. T S При этом его норма равна A. T ×S Теорема 2.16. Оператор (2.5) действует в L1(T × S) тогда и только тогда, когда B = vraisup г r |c(t, s)| + r |l(τ, s, t)|dμ(τ )+ r |m(t, σ, s)|dν(σ)+ l |n(τ, σ, t, s)|dμ × ν(τ, σ) < ∞. T S При этом его норма равна B. T ×S Операторы с частными интегралами в C(X) и в пространствах непрерывных функ- ций [35, 40, 57, 98]. Пусть T - компактное множество в метрическом пространстве, μ -борелев- ская мера на Σ(T ), C - банахово пространство непрерывных на T функций с sup-нормой, X и Y - БИП на (S, Σ, ν) с носителем S, C(X) и C(Y ) - пространства непрерывных на T функций со значениями в X и Y соответственно. Так же, как в теореме 2.1, из действия оператора (2.5) из C(X) в C(Y ) или в M (S, Σ, ν) следует его непрерывность. Если T и S - компактные множества в метрических пространствах, μ и ν -борелевские меры на Σ(T ) и Σ(S) соответственно, C - пространство непрерывных на T × S функций с sup-нормой, то действующий в пространстве C оператор (2.5) непрерывен. Через X∗[Y ],Y [X∗]; L1[Y /X]; L1[Z(X, Y )], L1[X∗[Y ]],Y [L1[X∗]] обозначим пространства со сме- шанной нормой функций переменных s, σ; s, τ ; s, τ, σ соответственно, причем норма в X, Y, Y/X вычисляется как норма функции переменной s, а X∗ - переменной σ, в L1 - переменной τ, в Z(X, Y ) - переменных s, σ. Достаточные условия действия оператора (2.5) из C(X) в C(Y ) содержит Теорема 2.17. Пусть выполнено одно из условий: a) c ∈ C(Y /X),l ∈ C(L1[Y /X]),m ∈ C(Z(X, Y )),n ∈ C(L1[Z(X, Y )]); b) c ∈ C(Y /X),l ∈ C(L1[Y /X]),m ∈ C(X∗[Y ]) ∪ C(Y [X∗]),n ∈ C(L1[X∗[Y ]]) ∪ C(Y [L1[X∗]]). Тогда оператор (2.5) действует из C(X) в C(Y ). Предположим, что ν(S) < ∞, X = Lp, Y = Lq (1 � q � p � ∞), p∗ = p(p - 1)-1, u = pq(p - q)-1. Тогда X∗ = Lq, Y/X = Lu и из теоремы 2.17 вытекает Теорема 2.18. Пусть выполнено одно из условий: а) c ∈ C(Lu),l ∈ C(L1[Lu]),m ∈ C(Z(Lp, Lq )),n ∈ C(L1(Z(Lp, Lq ))); б) c ∈ C(Lu),l ∈ C(L1[Lu]),m ∈ C(Lp∗ [Lq ]) ∪ C(Lq [Lp∗ ]),n ∈ C(L1[Lp∗ [Lq ]]) ∪ C(Lq [L1[Lp∗ ]]). Тогда оператор (2.5) действует из C(Lp) в C(Lq ). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 401 Отметим, что необходимые и достаточные условия действия оператора (2.5) с частными инте- гралами из C(X) в C(Y ) неизвестны. Приведем необходимые и достаточные условия действия оператора (2.5) с частными интеграла- ми в пространстве непрерывных функций C(T × S) в наиболее важном частном случае T = [a, b] и S = [c, d]. При получении таких условий существенную роль играет теорема Радона о представ- лении линейного непрерывного оператора в виде двумерного интеграла Стильтьеса [16]. Пусть χ(t, s, τ, σ) = ( 1,τ � t > a и σ � s > c или τ > t = a, σ > s � c, 0,τ < t или σ < s, или τ = t = a, или σ = s = c, ( 1,τ � t > a или τ > t = a, χ(t, τ ) = 0,τ < t или τ = t = a, Определим функции ( 1,σ � s > c или σ > s = c, χ(s, σ) = 0,σ < s или σ = s = c. b r B(t, s) = c(t, s)+ a d r l(t, s, τ )dτ + c b r m(t, s, σ)dσ + a d r n(t, s, τ, σ)dτdσ, (2.26) c ξ d r гr r \ r r d \l Bξ (t, s) = a η c(t, s)+ c b m(t, s, σ)dσ χ(t, τ )+ (ξ - τ ) l(t, s, τ )+ c n(t, s, τ, σ)dσ d dτ, (2.27) Bη (t, s) = r гr c r c(t, s)+ a l(t, s, τ )dτ \ r χ(s, σ)+ (η - σ) r m(t, s, σ)+ c n(t, s, τ, σ)dτ \l dσ, (2.28) ξ r Bξη (t, s) = a η r [c(t, s)χ(t, s, τ, σ)+ (ξ - τ )l(t, s, τ )χ(s, σ)+ (η - σ)m(t, s, σ)χ(t, τ )+ c +(ξ - τ )(η - σ)n(t, s, τ, σ)]dτdσ, (2.29) b r γ(t, s) = |c(t, s)| + a d r |l(t, s, τ )|dτ + c b r |m(t, s, σ)|dσ + a d r |n(t, s, τ, σ)|dτdσ. (2.30) c Следующая теорема установлена в [95]. Другие критерии действия оператора (2.5) в C([a, b] × [c, d]) содержатся в [57, 65]. Теорема 2.19. Оператор (2.5) действует в пространстве C([a, b] × [c, d]) в том и только в том случае, когда при каждом фиксированном (ξ, η) функции (2.26)-(2.29) непрерывны, а функция (2.30) ограничена. При выполнении этих условий оператор (2.5) непрерывен, а его норма определяется равенством lKl = sup [a,b]×[c,d] γ(t, s). Отметим, что представление Радона линейного непрерывного оператора на C([a, b] × [c, d]) неединственно. Представление же оператора K с частными интегралами в виде (2.5), как сле- дует из теоремы 2.19, единственно. Проверка непрерывности функций (2.26)-(2.29) в теореме 2.19 не всегда проста. Однако нетруд- но привести удобные достаточные признаки действия оператора (2.5) в пространстве непрерывных функций. Пусть T, S и Ω - компактные множества положительных борелевских мер μ, ν и ω в метриче- ских пространствах с расстояниями ρ1, ρ2 и ρ, и пусть C - пространство непрерывных функций на T × S. Функция a(t, s, u) по определению принадлежит пространству C(L1(Ω)), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что при ρ1(t1, t2) < δ, ρ2(s1, s2) < δ Г |a(t1, s1, u) - a(t2, s2, u)|dω(u) < ε Ω и sup la(t, s, ·lL1 < ∞. T ×S 402 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН Теорема 2.20. Если функция c(t, s) непрерывна на C(T × S), l ∈ C(L1(T )), m ∈ C(L1(S)), n ∈ C(L1(T × S)), то оператор (2.5) действует в C(T × S), причем lKl � sup(|c(t, s)| + T ×S ll(t, s, ·lL1(T ) + lm(t, s, ·lL1(S) + ln(t, s, ·, ·lL1(T ×S)). Условие теоремы выполняется, если c, l, m, n - непрерывные функции. Аналогично пункту 2.2.4, обозначим через K(C) множество действующих в C([a, b] × [c, d]) операторов (2.5). Из теоремы 2.19 следует, что K(C) является замкнутым подпространством про- странства L(C) непрерывных линейных операторов на C. Пространство L(C) является банаховой алгеброй, в которой умножением является композиция операторов. В силу теоремы Фубини подпространство K(C) является подалгеброй алгебры L(C), причем утверждение теоремы 2.8 остается справедливым, если в нем заменить T на [a, b], S на [c, d], а меры рассматривать как меры Лебега на прямой. Алгебра K(C) не является идеалом в L(C). Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть композицию операторов из K(C) с оператором D : x(t, s) → x(t0, s0), где (t0, s0) ∈ [a, b] × [c, d]. Пусть W = Lc(C) ⊕ Ll(C) ⊕ LM(C) ⊕ Ln(C), где Lc, Ll, Lm, Ln - множества действующих в C([a, b] × [c, d]) операторов (2.1)-(2.4). Пространство W есть замкнутое подпространство про- странства K(C). Примеры показывают [35, 57, 65, 98], что в K(C) существуют операторы, не принадлежащие W. Поэтому W - собственное подпространство в K(C). Подпространства Lc(C) и Ll(C) ⊕ LM(C) ⊕ Ln(C) суть идеалы в W и подалгебры в K(C), Ln(C) и Ll(C) ⊕ Lm(C) ⊕ Ln(C) не являются идеалами в L(C). Спектральные свойства операторов с частными интегралами [69, 77, 102]. Спектральные свойства линейных ограниченных операторов. Пусть X - комплексное банахово пространство, R - ограниченный линейный оператор в X, λ - комплексное число, I - единичный оператор в X и R(λ) = λI - R. Через ρ(R), σ(R), σp(R) и σπ (R) обозначим резольвентное множество, спектр, точечный и предельный спектры оператора R соответственно. Будем говорить, что λ ∈ C является точкой области n(d)-нормальности оператора R, если множество значений оператора R(λ) замкну- то и размерность ядра n(R(λ)) < ∞ (коядра d(R(λ)) < ∞). Пересечение (объединение) обла- сти n-нормальности и области d-нормальности оператора R называется его областью нетеро- вости (полуфредгольмовости). Множество точек нетеровости с нулевым индексом ind(R(λ)) = n(R(λ)) - d(R(λ)) называется областью фредгольмовости оператора R. Важное значение при изучении оператора R имеют его существенные спектры в смысле: а) Густавссона-Вайдмана множества σ+(R), σ-(R), где σ+(R) (σ-(R)) - дополнение до об- ласти n(d)-нормальности оператора R; б) Като (Вольфа) множество σek (R) = σ+(R) ∩ σ-(R) (σew (R) = σ+(R) ∪ σ-(R)); в) Шехтера множество σes(R), которое является объединением существенного спектра в смыс- ле Вольфа и множества λ ∈ σ(R), для которых оператор R является нетеровым оператором с ненулевым индексом; г) Браудера множество σeb(R) тех λ ∈ C, для которых выполнено по крайней мере одно из условий: множество значений оператора R(λ) не замкнуто; λ - предельная точка σ(R); J n�0 Ker[R(λ)]n имеет бесконечную размерность. Для этих спектров справедливы следующие свойства [69, 103]: σ+(R), σ-(R), σek (R), σew (R), σes(R), σeb(R), σπ (R), σ(R) - компактные множества; σek (R) ⊂ σ+(R), σ-(R) ⊂ σew (R) ⊂ σes(R) ⊂ σeb(R) ⊂ σ(R); σek (R) ∪ σp(R) = σπ (R) ⊂ σ(R); ∂σeb(R) ⊂ ∂σes(R) ⊂ ∂σew (R) ⊂ ∂σ+(R), ∂σ-(R) ⊂ ∂σek (R); ∂σ(R) = (σ(R) \ σeb(R)) ∪ ∂σeb(R) ⊂ ∂σπ (R), где ∂Φ обозначает границу множества Φ. Через t(R, λ) будем обозначать алгебраическую кратность собственного числа λ оператора R, а через r(R) - его спектральный радиус. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 403 Условия фредгольмовости операторов с частными интегралами. Как отмечалось выше, оператор (2.5) в общем случае есть не интегральный и не компактный оператор. Более того, оператор λI - K даже в простейшем случае единичных ядер l, m, n, функции c(t, s) ≡ 0 и T = S = [0, 1] не является не только фредгольмовым или нетеровым, но и n-нормальным и d-нормальным при λ = 1. В связи с этим возникает задача описания условий, при которых оператор левой части уравнения (λI - L - M - N )x = f (2.31) - обратимый, фредгольмов, нетеров, n-нормальный, d-нормальный, а также задача о сведении уравнения (2.31) к эквивалентному двумерному интегральному уравнению. Будем предполагать, что в уравнении (2.31) λ ⊕= 0. Без ограничения общности можно считать, что λ = 1. Тогда I - L - M - N = (I - L)(I - M ) -(N + LM ) = I - L - M - N = (I - M )(I - L) -(N + ML). (2.32) Поэтому в случае существования ограниченных операторов (I - L)-1 и (I - M )-1 уравнение (2.31) эквивалентно любому из двух уравнений (I - (I - M )-1(I - L)-1)(N + LM )x = h1, (I - (I - L)-1(I - M )-1)(N + ML)x = h2, (2.33) где h1 = (I - M )-1(I - L)-1f, h2 = (I - L)-1(I - M )-1f. При естественных условиях N + LM и N + ML - двумерные интегральные операторы, а уравнения (2.33) - обычные интегральные уравнения, к которым уже можно применять все основные результаты классической теории инте- гральных уравнений. Аналогично, если в (2.31) λ = 1 не является точкой спектра оператора L+M, то уравнение (2.31) эквивалентно интегральному уравнению x = (I - L - M )-1Nx + (I - L - M )-1)f. (2.34) Если теперь в (2.34) интегральный оператор N компактен, то для исследования этого уравнения может быть использована теория Рисса-Шаудера [68]. Таким образом, переход от уравнения (2.31) к эквивалентным уравнениям (2.33) и (2.34) связан с обратимостью операторов I - L, I - M, I - L - M. В приложениях обычно N - компактный опе- ратор. Поэтому фредгольмовость, нетеровость, n-нормальность и d-нормальность уравнения (2.31) также определяются спектральными свойствами операторов L, M, L + M. Обратимость операторов I - L и I - M связана с разрешимостью уравнений r u(t, s) = r l(t, s, τ )u(τ, s)dμ(τ )+ f (t, s), v(t, s) = m(t, s, σ)v(t, σ)dν(σ)+ f (t, s), (2.35) T S которые фактически являются обычными интегральными уравнениями с параметром s для первого уравнения (2.35) и параметром t для второго уравнения (2.35). Поэтому исследование уравнений семейств (2.35) сводится к исследованию семейств операторов (2.25). В БИП U = U (T ) и V = V (S) рассмотрим семейства интегральных уравнений r u(t) = r l(t, s, τ )u(τ )dμ(τ )+ g(t) (s ∈ S), v(s) = m(t, s, σ)v(σ)dν(σ)+ h(s) (t ∈ T ), (2.36) T S где g ∈ U и h ∈ S - произвольные функции. Пусть r ]L(s)[u(t) = T r |l(t, s, τ )|u(τ )dμ(τ ) (s ∈ S), ]M (t)[v(s) = S |m(t, s, σ)|v(σ)dν(σ) (t ∈ T ). Предположим, что r(]L(s)[) < 1 (s ∈ S), r(]M (t)[) < 1 (t ∈ T ), где r(]L(s)[) и r(]M (t)[) - спектральные радиусы операторов ]L(s)[ и ]M (t)[. В этом случае определены функции ∞ ∞ ϕ(t, s, τ ) = '\" l(k)(t, s, τ ) (s ∈ S, t, τ ∈ T ), ψ(t, s, σ) = '\" m(k)(t, s, σ) (t ∈ T, s, σ ∈ S), (2.37) k=1 k=1 где l(k)(t, s, τ ) и m(k)(t, s, σ) (k = 1, 2,.. .) - итерированные ядра. При выполнении дополнительных условий ϕ(t, s, τ ) ∈ Rl(X, X), ψ(t, s, σ) ∈ Rm(X, X), (2.38) 404 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН r(]L[) < 1, r(]M [) < 1 функции r r u(t, s) = f (t, s)+ T ϕ(t, s, τ )f (τ, s)dμ(τ ), v(t, s) = f (t, s)+ S ψ(t, s, σ)f (t, σ)dν(σ) являются решениями уравнений (2.35). Таким образом, справедлива Теорема 2.21. Пусть операторы L, M действуют в БИП X и регулярны. Если выполнены неравенства r(]L(s)[) < 1 (s ∈ S), r(]M (t)[) < 1 (t ∈ T ) и условия (2.38), то операторы I - L и I - M обратимы в X. Если дополнительно N действует в X и регулярен, а хотя бы один из операторов N + LM или N + ML компактен, то оператор I - L - M - N фредгольмов. Приведенные в теореме предположения не являются необходимыми. При доказательстве фред- гольмовости оператора I - L - M существенно используется предположение об обратимости опе- раторов I - L и I - M, т. е. условие 1 ⊕∈ σ(L) ∪ σ(M ). От этого предположения нельзя отказать- ся даже в практически важном частном случае операторов L, M, N с ядрами l(t, s, τ ) ≡ l(t, τ ), m(t, s, σ) ≡ m(s, σ), n(t, s, τ, σ) ≡ 0. Пусть L(s) (s ∈ S) и M (t) (t ∈ T ) - операторы (2.25). Через I(L) и I(M ) обозначим множество ядер l(t, s, τ ) и m(t, s, σ), при которых операторы I - L и I - M регулярны и обратимы на БИП U = U (T ) и V = V (S) соответственно, причем операторы (I - L)-1 и (I - M )-1 допускают представления r (I - L(s))-1u(t) = u(t)+ r a(t, s, τ )u(τ )dμ(τ ), (I - M (t))-1v(s) = v(s)+ b(t, s, σ)v(σ)dν(σ), T S где a(t, s, τ ) ∈ Rl(X, X), b(t, s, σ) ∈ Rm(X, X) и X = U [V ] или X = V [U ]. Отметим, что в условии теоремы 2.21 l ∈ I(L), m ∈ I(M ). (2.39) Теорема 2.22. Пусть X = U [V ] или X = V [U ] - БИП, операторы L, M действуют в БИП X и регулярны. Если l ∈ I(L), m ∈ I(M ), то операторы I - L и I - M обратимы в X. Если дополнительно N действует в X и регулярен, а хотя бы один из операторов N + LM или N + ML компактен, то оператор I - L - M - N фредгольмов. Заметим, что в условии теорем 2.21 и 2.22 уравнение (2.31) с λ = 1 эквивалентно двумерному интегральному уравнению. Пусть операторы L и M имеют вырожденные ядра l m l(t, s, τ ) = '\" li(t)¯li(τ )ai(s), m(t, s, σ) = '\" mj (s)m¯ j (σ)bj (t), (2.40) i=1 j=1 где {li} ⊂ U, {l∗} ⊂ U ∗, {ai} ⊂ L∞(S), {mj } ⊂ V, {m∗ } ⊂ V ∗, {bj } ⊂ L∞(T ), (i = 1,..., l, j = i j 1,..., m) - системы линейно-независимых функций. Операторы L и M регулярны в U [V ] и в V [U ], их композиция - компактный оператор, а разрешимость уравнений (2.35) эквивалентна раз- решимости следующих систем: l m zi(s) - '\" lipap(s)zp(s) = fi(s) (i = 1,..., l), zj (t) - '\" mjqbq (t)yq (t) = gj (t) (j = 1,..., m) (2.41) p=1 относительно zi ∈ V (S), yj ∈ U (T ), где r q=1 r lip = T r lp(τ )¯li(τ )dμ(τ ), fi(s) = T ¯li(τ )f (τ, s)dμ(τ ), r mjq = S mq (σ)m¯ j (σ)dν(σ), gj (t) = S m¯ j (σ)f (t, σ)dν(σ). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 405 Системы (2.41) линейных алгебраических уравнений с параметрами s и t соответственно одно- значно разрешимы, если | det(δip - ap(s)lip)| � α > 0, | det(δjq - bq (t)mjq )| � β > 0, (2.42) причем zi ∈ U, yj ∈ V (i = 1,..., l,j = 1,..., m). Поэтому справедлива Теорема 2.23. Если вырожденные ядра (2.40) операторов L и M удовлетворяют усло- вию (2.42), то операторы I - L и I - M обратимы в X = U [V ] и в X = V [U ]. Если до- полнительно N - компактный оператор в X, то оператор I - L - M - N фредгольмов. Заметим, что в условии теоремы 2.23 достаточно выполнение неравенств (2.42) почти при всех s ∈ S и t ∈ T. Если на множестве положительной меры выполнено хотя бы одно из равенств | det(δip - ap(s)lip)| = 0, | det(δjq - bq (t)mjq )| = 0, то оператор I - L - M - N не является нетеровым. С применением аппроксимаций операторов L и M «близкими» операторами LB и MB с вырож- денными ядрами для исследования обратимости операторов I - L и I - M можно использовать обратимость операторов I - LB и I - MB. Следующее утверждение о нетеровости и фредгольмовости оператора I - L - M - N применимо в случае банаховых пространств. Теорема 2.24 (см. [35]). Если операторы L, M и N непрерывны в банаховом пространстве X = X(T × S), операторы N + LM и N + ML компактны в X, то нетеровость оператора I - L - M - N равносильна нетеровости операторов I - L и I - M. Если дополнительно оператор I - L (оператор I - M ) фредгольмов, то фредгольмовость оператора I - L - M - N равносильна фредгольмовости оператора I - M (оператора I - L соответственно). Теоремы 2.21-2.24 сформулированы для операторов с частными интегралами, действующих в БИП. Аналогичные утверждения для этих операторов в C(X) легко формулируются с приме- нением теорем 2.21-2.24. Действительно, в условии этих теорем операторы L, M, N действуют одновременно из C(X) в C(Y ) и из БИП L∞[X] в БИП L∞[Y ], при этом C(X) - замкнутое подпространство в L∞[X], инвариантное для L, M, N при X = Y. Поэтому теоремы 2.21-2.24 в случае пространства L∞[X] естественным образом переформулируются для C(X). Такая же схема применима и для пространства C(T ×S). Из теоремы 2.19 получаются необходи- мые и достаточные условия действия операторов L, M, N в C([a, b]×[c, d]). Так как C([a, b]×[c, d]) - замкнутое подпространство в L∞([a, b] × [c, d]), инвариантное для L, M, N, то теоремы 2.21-2.24 для пространства L∞([a, b] × [c, d]) легко переформулируются на случай C([a, b] × [c, d]). Пусть C = C(T ) - пространство непрерывных на компакте T функций, μ - борелевская мера, X = X(S) - БИП. Через L1[L∞], X∗[X], L1[X∗[X]], X[L1[X∗]] обозначим пространства со смешан- ной нормой функций переменных s, τ ; s, σ; τ, σ соответственно, причем норма в L1 вычисляется как норма функции переменной τ, в L∞ и в X - переменной s, в X∗ - переменной σ. Теорема 2.25. Пусть l(t, s, τ ) ∈ C(L1[L∞]), m(t, s, σ) ∈ C(X∗[X]) ∪ C(X[X∗]). Если функция ϕ(t, s, τ ) из (2.37) принадлежит C(L1[L∞]), а функция ψ(t, s, σ) из (2.37) принадлежит C(X∗[X]) или C(X[X∗]), то операторы I - L и I - M обратимы в C(X). Если дополнительно n(t, s, τ, σ) принадлежит C(L1[X∗[X]]) или C(X[L1[X∗]]), то оператор I - L - M - N фредгольмов. Через I¯(L) и I¯(M ) обозначим множество ядер l(t, s, τ ) и m(t, s, σ), при которых в (2.39) a(t, s, τ ) ∈ C(L1[L∞]), b(t, s, σ) ∈ C(X∗[X]) ∪ C(X[X∗]). В условии теоремы 2.25 l ∈ I¯(L), l ∈ I¯(M ). Теорема 2.26. Пусть l(t, s, τ ) ∈ C(X∗[X]) ∪ C(X[X∗]). Если l(t, s, τ ) ∈ I¯(L), m(t, s, σ) ∈ I¯(M ), то операторы I -L и I -M обратимы в C(X). Если дополнительно n(t, s, τ, σ) ∈ C(L1[X∗[X]])∪ C(X[L1[X∗]]), то оператор I - L - M - N фредгольмов. Утверждение, аналогичное теореме 2.23 для операторов с частными интегралами и вырожден- ными ядрами, имеет место и в случае пространства C(X). Пусть σ(L(s)) и σ(M (t)) - спектры операторов (2.25) и σL = J σ(L(s)), σM = J σ(M (t)). s t Рассмотрим условия фредгольмовости операторов с частными интегралами в C(T × S). 406 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН Теорема 2.27. Если T и S - компактные множества, μ и ν - борелевские меры, ядра l(t, s, τ ) и m(t, s, σ) непрерывны на T × S × T и T × S × S соответственно и N - компакт- ный оператор в C(T × S), то оператор I - L - M - N фредгольмов в C(T × S) тогда и только тогда, когда 1 ⊕∈ σL ∪ σM . В наиболее важном частном случае T = [a, b] и S = [c, d] предположение о непрерывности ядер l(t, s, τ ) и m(t, s, σ) можно ослабить. Следующая теорема установлена в [43, 105]. Теорема 2.28. Если l ∈ C(L1([a, b])), m ∈ C(L1([c, d])), n ∈ C(L1([a, b] × [c, d])), то эквива- лентны утверждения: а) оператор I - L - M - N фредгольмов в C([a, b] × [c, d]); б) операторы I - L и I - M обратимы в C([a, b] × [c, d]); в) операторы I - L(s) и I - M (t), где L(s) и M (t) - операторы (2.25) с T = [a, b] и S = [c, d], обратимы при любых s ∈ [c, d], t ∈ [a, b]. Спектральные свойства операторов с частными интегралами в L2(T × S). Важными для приложений линейными операторами с частными интегралами являются операторы с част- ными интегралами, допускающие реализацию в виде суммы тензорных произведений линейных интегральных операторов и единичных операторов. Для изучения спектральных свойств таких операторов может быть использована спектральная теория тензорных произведений операторов в тензорных произведениях банаховых пространств с квазиравномерными кросснормами [102, 103]. Важнейшим классом таких пространств является пространство L2(T ×S). Это пространство можно рассматривать как пополнение тензорного произведения L2(T )⊗L2(S) относительно кросснормы σ, совпадающей с нормой в L2(T × S), при этом кросснорма σ является квазиравномерной. Интегральные операторы A и B определим равенствами r (Ah)(t) = T r l(t, τ )h(τ )dμ(τ ), (Bg)(s) = S m(s, σ)g(σ)dν(σ). (2.43) Будем предполагать, что эти операторы действуют в L2(T ) и в L2(S) соответственно. Тогда опе- ратор вида K = A⊗¯ I + I⊗¯ B, (2.44) где A⊗¯ I и I⊗¯ B - замыкания операторов A ⊗ I и I ⊗ B, определенных на линейных комбинациях n n n n n ( ui ⊗ vi)(t, s) = ui(t)vi(s) равенствами (A ⊗ I) ui ⊗ vi = A(ui) ⊗ vi, (I ⊗ B) ui ⊗ vi = i=1 n i=1 i=1 i=1 i=1 ui ⊗ B(vi), есть частный случай оператора (2.5). i=1 С применением результатов работ [102, 103] доказываются следующие утверждения: Теорема 2.29. σ(K) = σ(A)+ σ(B), (2.45) σeb(K) = (σeb(A)+ σ(B)) ∪ (σ(A)+ σeb(B)). (2.46) Если λ не принадлежит множеству (2.46), то t(K, λ) = '\" (α,β):α+β=λ, α∈E,β∈E∗ где E = σ(A)/σeb(A), E∗ = σ(B)/σeb(B), t(A, α)t(Bβ), (2.47) σew (K) = (σew (A)+ σ(B)) ∪ (σ(A)+ σew (B)). (2.48) Если λ не принадлежит множеству (2.48), то ind(K - λI) = '\" (α,β):α+β=λ, α∈F,β∈E∗ ∞ ind(B - βI) '\"(n((A - αI)p) - n((A - αI)p-1)+ p=1 ∞ + '\" (α,β):α+β=λ, α∈E,β∈F ∗ ind(A - αI) '\"(n((B - βI)p) - n((B - βI)p-1), (2.49) p=1 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 407 где E = σ(A)/σeb(A), E∗ = σ(B)/σeb(B), F = σ(A)/σew (A), F ∗ = σ(B)/σew (B). σes(K) равно объединению множества (2.48) и множества всех λ ∈ C и не принадлежащих множеству (2.48), для которых определяемый по формуле (2.49) ind(K - λI) не равен нулю. Теорема 2.30. σπ (K) = σπ (A)+ σπ (B), (2.50) σ+(K) = (σ+(A)+ σπ (B)) ∪ (σπ (A)+ σ+(B)). (2.51) Если λ не принадлежит множеству (2.51), то ∞ n(K-λI)= '\" '\"(n((A-αI)p)-n((A-αI)p-1)×(n((B-βI)p)-n((B-βI)p-1). (2.52) (α,β)∈σπ (A)×σπ (B),α+β=λ p=1 Теорема 2.31. σδ (K) = σδ (A)+ σδ (B), (2.53) σ-(K) = (σ-(A)+ σδ (B)) ∪ (σδ (A)+ σ-(B)). (2.54) Если λ не принадлежит множеству (2.54), то ∞ d(K-λI)= '\" '\"(d((A-αI)p)-d((A-αI)p-1)×(d((B-βI)p)-d((B-βI)p-1). (2.55) (α,β)∈σδ (A)×σδ (B),α+β=λ p=1 σek (K) совпадает с пересечением множеств, стоящих в правых частях равенств (2.51) и (2.54). Пример 2.1 (см. [31]). Пусть A и B - компактные интегральные операторы в L2(T ) и L2(S) соответственно. Тогда σ(A) = {0, α1, α2,.. .}, σ(B) = {0, β1, β2,.. .}. Так как σ(A) = σπ (A) = σδ (A), σ(B) = σπ (B) = σδ (B), σa(A) = σa(B) = {0}, где a ∈ {+, -, ew, es, eb}, то применяя теоремы 2.29- 2.31, получаем σeb(K) = σew (K) = σes(K) = σ+(K) = σ-(K) = σ(A) ∪ σ(B). Поэтому области n-нормальности, d-нормальности, нетеровости и фредгольмовости оператора K совпадают с объ- единением множества {λ : λ ⊕= α + β, где α ∈ σ(A),β ∈ σ(B)} и множества изолированных собственных чисел конечной кратности оператора K, которое определяется равенством σ(K)/σeb(K) = {α + β ⊕= 0 : α + β ⊕= γ, η для α, γ ∈ σ(A); β, η ∈ σ(B)}. (2.56) Пример 2.2 (см. [31]). Пусть A и B - самосопряженные интегральные операторы в L2(T ) и в L2(S) соответственно. Тогда их существенные спектры в смысле Густавссона-Вайдмана, Като, Вольфа, Шехтера и Браудера совпадают. В этом случае σ(K) = σπ (K) и в силу теорем 2.29- 2.31 σa(K) = (σeb(A) + σ(B)) ∪ (σ(A) + σeb(B)) (a ∈ {+, -, ek, ew, es, eb}. Поэтому области n- нормальности, d-нормальности, нетеровости и фредгольмовости оператора K совпадают с множе- ством {λ ∈ C : λ ⊕= α + β, α ∈ σ(A),β ∈ σ(B)}∪ ((σ(A)/σeb(A)+ σ(B)/σeb(B))/ /(σeb(A)+ σ(B)) ∪ (σ(A)+ σeb(B))). Из формулы (2.46)вытекает следующая формула для изолированных собственных чисел конеч- ной кратности оператора (2.44): σ(K)/σeb(K) = ((σ(A)/σeb(A)) + (σ(B)/σeb(B))/((σeb(A)+ σ(B)) ∪ (σ(A)+ σeb(B)). В частности, если оператор A или B равен нулю, то оператор (2.44) изолированных собственных чисел конечной кратности не имеет. Очевидно включение σp(A) + σp(B) ⊂ σp(K). Если теперь σ(A) = σp(A), σ(B) = σp(B), то из (2.44) следует равенство σp(K) = σp(A)+ σp(B). (2.57) Пример 2.3 (см. [31]). Если интегральные операторы A и B имеют вырожденные ядра l(t, τ ) и m(s, σ) и действуют в пространствах L2(T ) и L2(S) соответственно, то σ(A) = σp(A), σ(B) = σp(B). Поэтому σ(K) = σp(K) = σp(A)+ σp(B). Следующий пример [31, 35, 98, 103] показывает, что формула (2.57) неверна, если даже A и B - компактные операторы. 408 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН n=1 Пример 2.4. Пусть T = S = [0, 1] и {en}∞ ортонормированный базис в L2([0, 1]). Предпо- ложим также, что l(t, τ ) = '\" ek+1(t)ek (τ ) ∞ k2(k + 1) , m(s, σ) = - k=1 ∞ '\" ek-1(s)ek (σ) . - (k 1)2 k=2 Операторы A и B компактны в L2([0, 1]). Непосредственно проверяется, что σ(B) = σp(B) = {0} = σ(A), σp(A) = ∅. Для оператора K имеем σ(K) = σ(A)+ σ(B) = {0}. Так как K r ∞ i=1 ei ⊗ ei \ = i! 0, то x = ∞ i=1 ei ⊗ ei i! ⊕= 0 - собственная функция оператора K, соответствующая собственному числу 0. Поэтому σp(K) = 0 ⊕= σp(A)+ σp(B). В связи с примером 2.4 возникает вопрос об условиях, при которых справедливо равен- ство (2.57). Линейный ограниченный оператор R, действующий в гильбертовом пространстве H, назовем оператором с чисто точечным спектром, если в H существует безусловный нормированный базис, составленный из собственных функций оператора R. Теорема 2.32 (см. [31, 35, 98]). Если интегральные операторы A и B действуют в L2(T ) и в L2(S) соответственно и хотя бы один из них является оператором с чисто точечным спектром, то справедливо равенство (2.57). Следующий пример показывает, что спектром оператора (2.44) может быть любое содержащее нуль компактное множество F комплексной плоскости. Пример 2.5 (см. [35]). Пусть {λn} - всюду плотное множество в F, e1, e2,... - произволь- ные попарно непересекающиеся и измеримые по Лебегу подмножества отрезка [0, 1] и l(t, τ ) = 1 λnχen (t)χen (τ )μ(en). Тогда линейный интегральный оператор (Ah)(t) = n Г l(t, τ )h(τ )dτ дей- 0 ствует в L2([0, 1]) и имеет своим спектром множество F (см. [75]). В силу теоремы 2.29 это 1 s множество является спектром оператора (Kx)(t, s) = Г l(t, τ )x(τ, s)dτ + Г m(s, σ)x(t, σ)dσ, где 0 0 m(s, σ) ∈ L2([0, 1] × [0, 1]). Следовательно, спектром оператора (2.5) может быть любое содер- жащее нуль компактное множество комплексной плоскости. Спектральные свойства операторов с частными интегралами в идеальных простран- ствах. Естественными для операторов с частными интегралами являются пространства со сме- шанными нормами. При дополнительных условиях на смешанные нормы эти пространства ре- ализуются в виде тензорных произведений пространств с кросснормами, впервые введенными В. Л. Левиным [78]. Смешанная норма в общем случае не удовлетворяет условиям, используемым в спектральной теории тензорных произведений линейных ограниченных операторов на тензорных произведениях банаховых пространств (не является квазиравномерной кросснормой), уже в общем случае пространств Лебега со смешанными нормами [68]. Поэтому результаты о спектре и частях спектра линейных ограниченных операторов на таких пространствах без дополнительных усло- вий на операторы, вообще говоря, не имеют места. Приводимые далее в этом разделе результаты получены в [31]. Теорема 2.33. Пусть интегральные операторы A и B из (2.43) действуют в правильных БИП X = X(T ) и Y = Y (S) соответственно и пусть выполнено одно из условий: A - ре- гулярный оператор в X и ρ(A) = ρr (A); B - регулярный оператор в Y и ρ(B) = ρr (B), где ρ(A) = {λ ∈ ρ(A) : (λI - A)-1- регулярный оператор в X}, ρ(B) = {λ ∈ ρ(B) : (λI - B)-1- регулярный оператор в Y }. Тогда справедливы равенства (2.44) и (2.46). Если в условии теоремы 2.33 λ не принадлежит множеству (2.46), то справедливо равен- ство (2.47). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 409 Теорема 2.34. Пусть интегральные операторы A и B из (2.43) действуют в вполне пра- вильных БИП X = X(T ) и Y = Y (S) соответственно и пусть выполнено одно из условий: а) ll(·,τ )lX ∈ X∗, ll(t, ·)lX∗ ∈ X; б) lm(·, σ)lY ∈ Y ∗, lm(s, ·)lY ∗ ∈ Y. Тогда справедливо равенство (2.48), где оператор (2.44) рассматривается в X[Y ] в случае а) и в Y [X] в случае б). В условии теоремы 2.34 при λ ∈ σ(K)/((σew (A)+ σ(B)) ∪ (σ(A)+ σtw (B))) справедливы равен- ства (2.52), (2.55) и (2.49), σes(K) = (σew (A) + σ(B)) ∪ (σ(A) + σew (B)) ∪ σ, где σ - множество λ ∈ σ(K)/((σew (A) + σ(B)) ∪ (σ(A) + σew (B))), для которых ind(K - λI), определяемый равен- ством (2.49), не равен нулю. Отметим, что условие теоремы 2.33 вытекает из условия теоремы 2.34. Условие на ядра в теореме 2.34 можно ослабить, если одно из пространств X[Y ] или Y [X] вложено в другое. Теорема 2.35. Пусть интегральные операторы A и B из (2.43) действуют в вполне пра- вильных БИП X = X(T ) и Y = Y (S) соответственно и пусть выполнено одно из условий: а) Y [X] ⊂ X[Y ], ll(·,τ )lX ∈ X∗; б) Y [X] ⊂ X[Y ], lm(s, ·)lY ∗ ∈ Y ; в) Y [X] ⊂ X[Y ], ll(t, ·)lX∗ ∈ X; г) X[Y ] ⊂ Y [X], lm(·, σ)lY ∈ Y ∗. Тогда справедливы равенства (2.44), (2.46), (2.48), где оператор (2.44) рассматривается в X[Y ] в случаях а), в) и в Y [X] в случаях б), г). При дополнительном условии λ ⊕∈ σ(K)/((σew (A)+ σ(B)) ∪ (σ(A)+ σew (B)) размерность ядра, дефект и индекс оператора λI - K вычисляются по формулам (2.52), (2.55), (2.49). Если X = Lp(T ), Y = Lq (S) (1 � p, q � ∞), то при p � q X[Y ] ⊂ Y [X], а при q � p Y [X] ⊂ X[Y ]. Поэтому утверждение теоремы 2.35 легко переформулируется для случая пространств Lp[Lq ] и Lq [Lp], в частности, для пространств Lp(T × S) (1 � p < ∞) (см. [31, 35, 98]). Спектральные свойства операторов с частными интегралами в пространствах вектор-функций. Существование и свойства решений различных уравнений механики сплошных сред, интегродифференциальных уравнений Барбашина и других задач существенно зависят от спектральных свойств линейных операторов с частными интегралами, содержащихся в уравнени- ях. Как показывают примеры, спектр и части спектра линейных операторов с частными интегра- лами могут изменяться при изменении пространств, в которых они рассматриваются. Поэтому при исследовании таких уравнений в том или ином пространстве требуются спектральные свойства соответствующих операторов. В пункте 2.3.5 приводятся свойства спектра и частей спектра ли- нейных операторов с частными интегралами в случае пространства C(L2) непрерывных на отрезке [a, b] вектор-функций со значениями в L2 = L2([c, d]). Пусть Ω ∈ {[a, b], [c, d],D = [a, b] × [c, d]}, C(L2(Ω)) - пространство непрерывных на D вектор- функций со значениями в L2(Ω), b r (Lx)(t, s) = a d r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ, (Mx)(t, s) = c m(t, s, σ)x(t, σ)dσ, (2.58) b r (Nx)(t, s) = a d r n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ, (Cx)(t, s) = c(t, s)x(t, s), K = C + L + M + N, c где (t, s) ∈ D = [a, b] × [c, d], а интегралы понимаются в смысле Лебега. Теорема 2.36 (см. [42]). Пусть c ∈ C(D), l ∈ C(L2([a, b])), m ∈ C(L2([c, d])), n ∈ C(L2(D)). Тогда существенные спектры оператора K в смысле Густавссона-Вайдмана, Като, Вольфа и Шехтера совпадают и справедливы утверждения: Если λ - c(t, s) ⊕= 0 на D, то n-нормальность, d-нормальность, фредгольмовость и нетеровость оператора λI - K в C(L2) равносильны обратимости в C([a, b]) и в 410 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН L2([c, d]) соответственно операторов следующих семейств операторов: L(λ)(s)x(t) = b l(t, s, τ ) d m(t, s, σ) x(t) - Г a ∈ - ∈ (τ )dτ (s [c, d]), M (λ)(t)y(s) = y(s) Г λ - c(t, s) c (σ)dσ (t [a, b]); λ - c(t, s) Если λ - c(t0, s0) = 0, ((t0, s0) ∈ D), то оператор λI - K не является ни фредгольмовым, ни нетеровым, ни n и ни d-нормальным в C(L2). Пусть l(t, τ ) и m(s, σ) - ядра операторов L и M в (2.58), интегральные операторы b r (L˜h)(t) = a d r l(t, τ )h(τ )dτ, (M˜ g)(s) = c m(s, σ)g(σ)dσ действуют в пространствах C([a, b]) и в L2([c, d]) соответственно, при этом не требуются включе- ния l ∈ C(L2([a, b])) и m ∈ C(L2([c, d])). Теорема 2.36 в этом случае к оператору K не применима, если l ⊕∈ C(L2([a, b])) или m ⊕∈ C(L2([c, d])), но спектр и части спектра оператора K удается описать с применением спектральной теории тензорных произведений линейных операторов в тензорных произведениях банаховых пространств [35, 98, 102, 103], так как C(L2) изометрически изоморфно пополнению тензорного произведения пространств C([a, b]) и L2([c, d]) относительно квазиравно- мерной кросснормы. Теорема 2.37. Пусть операторы L˜ и M˜ действуют в пространствах C([a, b]) и L2([c, d]) соответственно. Тогда справедливы утверждения: а) σ(K) = {λ : λ = α + β, (α, β) ∈ σ(L˜) × σ(M˜ )}; б) σ+(K) = {λ : λ = α + β, (α, β) ∈ σ+(L˜) × σπ (M˜ ) ∪ σπ (L˜) × σ+(M˜ )}; в) σπ (K) = {λ : λ = α + β, (α, β) ∈ σπ (L˜) × σπ (M˜ )}; г) σδ (K) = {λ : λ = α + β, (α, β) ∈ σδ (L˜) × σδ (M˜ )}, где через σδ (K), σδ (L˜), σδ M˜ ) обозначе- ны множества σπ (K∗), σπ (L˜∗), σπ (M˜ ∗), в которых K∗, L˜∗, M˜ ∗ - операторы, сопряженные операторам K, L˜, M˜ ; д) σ-(K) = {λ : λ = α + β, (α, β) ∈ σ-(L˜) × σδ (M˜ ) ∪ σδ (L˜) × σ-(M˜ )}; е) σew (K) = {λ : λ = α + β, (α, β) ∈ σew (L˜) × σ(M˜ ) ∪ σ(L˜) × σew (M˜ )}; ж) σek (K) совпадает с пересечением множеств б) и д); з) σes(K) совпадает с объединением множества из правой части равенства е) теоремы и множества всех λ ∈ C, не принадлежащих σew (K), для которых индекс оператора λI - K не равен нулю; и) σp(K) = {λ : λ = α + β, (α, β) ∈ σp(L˜) × σp(M˜ )}, если σ(L˜) = σp(L˜), σ(M˜ ) = σp(M˜ ). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВОЛЬТЕРРА И ВОЛЬТЕРРА-ФРЕДГОЛЬМА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами. Через K обозначим оператор Вольтерра с частными интегралами t r (Kx)(t, s) = a s r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ + c rr m(t, s, σ)x(t, σ)dσ + Δ n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ, (3.1) где t ∈ [a, b], s ∈ [c, d], Δ - одно из множеств [a, t] × [c, s], [a, t] × [c, d], [a, b] × [c, s], заданные функ- ции l, m, n измеримы, интегралы понимаются в смысле Лебега. Оператор (3.1) является частным случаем оператора (2.5). Операторы, определяемые первым, вторым и третьим слагаемыми соот- ветственно правой части равенства (3.1), по-прежнему будем обозначать через L, M, N. Операторы L и M не являются компактными операторами даже в случае ядер любой гладкости, более того, в силу критерия А. В. Бухвалова [68] об интегральном представлении ограниченного линейного оператора операторы L и M не являются интегральными операторами. Рассмотрим сначала оператор (3.1) с Δ = [a, t] × [c, s]. Пример оператора Харди-Литтльвуда с частными интегралами t 1 r (Qx)(t, s) = t 0 x(τ, s)dτ + s 1 r x(t, σ)dσ + s 0 t s 1 r r ts 0 0 x(τ, σ)dτdσ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 411 показывает, что он действует в Lp([0, 1]×)[0, 1] при 1 < p � ∞, причем его спектральный радиус r(Q) = 3 > 0. Таким образом, спектральный радиус оператора Вольтерра с частными интегралами, вообще говоря, отличен от нуля. В связи с этим приведем определение свойства Андо, из которого вытекает равенство нулю спектрального радиуса оператора (3.1). Через PD обозначим оператор умножения на характеристическую функцию множества D. × [f,f ]×[g,g˜] Пусть оператор (3.1) действует в БИП U с носителем [a, b] × [c, d]. Тогда в БИП U действует и непрерывен оператор P[f,f˜] [g,g˜]KP ˜ , где a � f � f˜ � b, c � g � g˜ � d. Положим δ(K) = lim lP[f,f˜]×[g,g˜]KP[f,f˜]×[g,g˜]l. (3.2) f - ˜ f,g˜-g→0 Если оператор (3.1) действует в БИП U, то r(K) � δ(K). (3.3) Неравенство (3.3) доказано в [23]. Следующий пример показывает, что равенство r(K) = δ(K) в общем случае неверно. Пример 3.1. Пусть a = c = 0, b = d = 1, m(t, s, σ) ≡ 0, n(t, s, τ, σ) ≡ 0 и ( 2n, 2-n � τ � t < 21-n, l(t, s, τ ) = l(t, τ ) = 0, при других t, τ. t Оператор (L¯x)(t) = Г l(t, τ )x(τ )dτ действует в L∞([0, 1]) и r(L¯) = 0. Следовательно, оператор (3.1) 0 действует L∞([0, 1] × [0, 1]) и r(K) = 0. Если теперь x(t, s) = 1, то функция P[f,f˜]×[g,g˜]KP[f,f˜]×[g,g˜]x принимает значение 1 на множестве положительной меры. Тогда δ(K) = 1 > r(K) = 0. Определение 3.1. Будем говорить,что оператор (3.1) обладает свойством Андо, если lim mesD1+mesD2→0 lPD1×D2 KPD1×D2 l = 0. (3.4) Свойство Андо выполняется для оператора K, если оно выполняется для операторов L, M, N и проверяется с использованием теорем из пунктов 2.2.5 и 2.2.6 и мажорантных оценок. В силу теоремы 2.2 оператор ]K[ обладает свойством Андо тогда и только тогда, когда этим свойством обладают операторы ]L[, ]M [, ]N [. Свойство Андо для оператора N проверяется по стандартным схемам [19], для операторов L и M в правильных БИП со смешанными нормами оно проверя- ется с применением теорем 2.12-2.14. Отметим, что приведенное свойство Андо отличается от определения свойства Андо в работах [19, 23]. Теорема 3.1 (см. [35]). Если оператор (3.1) действует в БИП U и обладает свойством Андо, то r(K) = δ(K) = 0. Определим следующие семейства интегральных операторов: t r L(s)x(t) = a s t r l(t, s, τ )x(τ )dτ, ]L(s)[x(t) = a |l(t, s, τ )|x(τ )dτ (c � s � d), (3.5) s r M (t)y(s) = c r m(t, s, σ)y(σ)dσ, ]M (t)[y(s) = c m(t, s, σ)|y(σ)dσ (a � t � b). (3.6) Теорема 3.2 (см. [35]). Пусть X и Y - правильные БИП с носителями [a, b] и [c, d], U = X[Y ] или U = Y [X], оператор (3.1) регулярен в U, а операторы ]L(s)[ (c � s � d), ]M (t)[ (t ∈ [a, b]) и N компактны в X, Y и U соответственно. Если при каждом λ ⊕= 0 ∞ ∞ ϕ(t, s, τ ) = '\" λ-kl(k)(t, s, τ ) ∈ Rl(U, U ), ψ(t, s, σ) = '\" λ-km(k)(t, s, σ) ∈ Rm(U, U ), (3.7) k=1 k=1 где l(k)(t, s, τ ), m(k)(t, s, σ) - итерированные ядра, и хотя бы один из операторов LM или ML компактен в U, то спектральный радиус оператора (3.1) равен нулю. 412 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН Будем говорить, что семейства операторов L(s) (c � s � d) и M (t) (a � t � b) обладают свойством Андо, если lim sup lPDL(s)PD lX→X = 0, lim sup lPDM (t)PD lY →Y = 0. (3.8) mesD→0 c�s�d mesD→0 a�t�b Равенства (3.8) проверяются обычно при помощи мажорантных оценок. При выполнении ра- венств (3.5) δ(L) = r(L) = 0, δ(M ) = r(M ) = 0, где оператор L действует в Y [X], а оператор M действует в X[Y ]. Теорема 3.3 (см. [35]). Пусть X = Lp([a, b]), Y = Lp([c, d]) (1 � p � ∞), интегральные операторы L(s) (c � s � d) и M (t) (a � t � b) действуют в X и Y соответственно и их семейства обладают свойством Андо, а линейный интегральный оператор N действует в U = Lp([a, b] × [c, d]) и обладает свойством Андо. Тогда для оператора (3.1), действующего в U, справедливы равенства δ(K) = r(K) = 0. Через L˜ и M˜ обозначим операторы t s r r L˜x(t) = a ˜l(t, τ )x(τ )dτ, M˜ y(s) = c m˜ (s, σ)y(σ)dσ, (3.9) где ˜l(t, τ ) = ll(t, ·,τ )lL∞ , m˜ (t, τ ) = lm(·, s, σ)lL∞ . Отметим, что δ(L) � δ(L˜), δ(M ) � δ(M˜ ). Теорема 3.4 (см. [35]). Если операторы L˜, M˜ и N действуют в X = Lp([a, b]), Y = Lp([c, d]) и в U = Lp([a, b] × [c, d]) (1 � p � ∞) соответственно и обладают свойством Андо, то для действующего в U оператора (3.1) справедливы равенства δ(K) = r(K) = 0. Пусть при каждом s ∈ [c, d] оператор L(s) действует в БИП X с носителем T = [a, b], при каждом t ∈ [a, b] оператор M (t) действует в БИП Y с носителем S = [c, d]. Тогда определены и конечны функции α(s) = lL(s)lX→X, β(t) = lM (t)lY →Y . Теорема 3.5. Пусть X = X([a, b]) и Y = Y ([c, d]) - БИП, α(s) ∈ L∞([c, d]), β(t) ∈ L∞([a, b]), семейства операторов L(s) (c � s � d) и M (t) (a � t � b) обладают свойством Андо (3.8) и выполнено одно из следующих условий: а) операторы M˜ Андо; и N (L˜ и N ) действуют в Y и в Y [X] (в X и в X[Y ]) и обладают свойством б) Y [X] ⊂ X[Y ] (X[Y ] ⊂ Y [X]), оператор M (L соответственно) действует в Y [X] (в X[Y ]), а оператор N обладает свойством Андо в Y [X] (в X[Y ]). Тогда оператор (3.1) действует в Y [X] (в X[Y ]) и δ(K) = r(K) = 0. Приводимые ниже условия равенства δ(K) = r(K) = 0 для оператора (3.1) с Δ = [a, t] × [c, d] предполагают использование понятие t-свойства Андо. Для оператора t r (Nx)(t, s) = a d r n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ (3.10) c положим δt(N ) = lim lP[f˜,f ]×[c,d]N P[f˜,f ]×[c,d]l. f - ˜ f →0 Если оператор (3.10) действует в БИП U с носителем [a, b] × [c, d], то r(N ) � δt(N ), причем последнее неравенство может быть строгим. Будем говорить, что оператор (3.10) обладает t-свойством Андо [35, 104], если lim mesD→0 lPD×[c,d]N PD×[c,d]l. t-свойство Андо проверяется с применением мажорантных оценок. В Lp (1 � p � ∞) оно, напри- мер, выполнено в случае ограниченного ядра n. Оператор N обладает t-свойством Андо, если N - компактный регулярный оператор в правильном БИП. Если оператор (3.10) обладает t-свойством Андо, то δt(N ) = r(N ) = 0. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 413 Рассмотрим оператор (3.1) с Δ = [a, t] × [c, d]. Оказывается, что при естественных условиях его спектральный радиус равен нулю и в этом случае. Будем предполагать регулярность операто- ра (3.1) в БИП U. Предыдущие теоремы содержат условия, при которых r(L) = r(M ) = 0. В этих условиях уравнение x = μKx + f равносильно уравнению x(t, s) = μ(Rx)(t, s)+ g(t, s) (3.11) с оператором где t r (Rx)(t, s) = a t r d r r(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ, (3.12) c s r r(t, s, τ, σ) = τ t ϕ(t, s, τ1)n1(τ1, s, τ, σ)dτ1 + c s ψ(t, s, σ1)n1(t, σ1, τ, σ)dσ1+ r r + n2(t, s, τ1, σ1)n1(τ1, σ1, τ, σ)dτ1dσ1 + n1(t, s, τ, σ), τ c t r g(t, s) = f (t, s)+ a d r ϕ(t, s, τ )f (τ, s)dτ + c t r ψ(t, s, σ)f (t, σ)dσ + τ s r n2(t, s, τ, σ)f (τ, σ)dτdσ, c n1(t, s, τ, σ) = n(t, s, τ, σ)+ μl(t, s, τ )m(τ, s, σ)χ[0, s](σ), n2(t, s, τ, σ) = ψ(t, s, σ)ϕ(t, σ, τ ). Если теперь оператор (3.12) обладает t-свойством Андо, то уравнение (3.11), следовательно, и уравнение x - μKx = f имеет единственное решение в U при любой функции f ∈ U и любом комплексном числе μ. Тогда λ = μ-1 ∈/ σ(K) и r(K) = 0. Таким образом, для оператора K c Δ = [a, t] × [c, d] r(K) = 0 в условии теоремы 3.2. r(K) = 0, если условия теорем 3.3-3.5 дополнить предположением о выполнении t-свойства Андо для опе- ратора (3.12) и регулярности для оператора (3.10). Аналогичные утверждения имеют место для оператора (3.1) и с Δ = [a, b] × [c, s]. Предположим, что оператор (3.1) действует в C([a, b] × [c, d]). В силу теорем 2.15 и 2.19 он дей- ствует и в L∞([a, b] × [c, d]) и lKlC = lKlL∞ . Отсюда и формулы Гельфанда для спектрального радиуса следует, что его спектральные радиусы в C([a, b] × [c, d]) и в L∞([a, b] × [c, d]) одинако- вы. Поэтому приведенные выше утверждения о спектральном радиусе операторов (3.1) и (3.8) в L∞([a, b] × [c, d]) имеют место для этих операторов и в C([a, b] × [c, d]). Приведем другие условия равенства нулю спектрального радиуса операторов с частными инте- гралами в C([a, b] × [c, d]) (см. [57, 65]). Пусть Δ = [a, t] × [c, s], T1 ⊂ [a, b], S1 ⊂ [c, d] и ядра l, m, n удовлетворяют условиям r r |l(t, s, τ )|dτ → 0, r |m(t, s, σ)|dσ → 0, r |n(t, s, τ, σ)|dτdσ → 0 (3.13) T1 S1 T1 S1 равномерно по (t, s) при mesT1 → 0, mesS1 → 0 соответственно, где T1, S1 - отрезки. Теорема 3.6. Если операторы L, M, N действуют в C([a, b] × [c, d]), а ядра l, m, n удовле- творяют условиям (3.13), то r(K) = 0. Приведем еще один эффективный способ проверки равенства нулю спектрального радиуса опе- ратора (3.1) с Δ = [a, t] × [c, s]. Пусть |l(t, s, τ )| � l(t, τ ), |m(t, s, σ)| � m(s, σ), |n(t, s, τ, σ)| � nl(t, τ )m(s, σ). Тогда r(K) � r(A)+ r(B)+ nr(A)r(B), где операторы A и B определяются равенствами t r (Au)(t) = a s r l(t, τ )u(τ )dτ, (Bv)(s) = c m(s, σ)v(σ)dσ. Если теперь r(A) = r(B) = 0, то и r(K) = 0. Проверка равенства r(A) = r(B) = 0 для интеграль- ных операторов Вольтерра производится по стандартным схемам [19, 22]. 414 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН При Δ = [a, t] × [c, d] спектральный радиус r(K) = 0, если операторы L, M, N действуют в C([a, b] × [c, d]), ядра l, m удовлетворяют условиям (3.12), а ядро n условию d r r T1 c |n(t, s, τ, σ)|dτdσ → 0 равномерно по (t, s) при mesT1 → 0, где T1 - отрезок [65]. Аналогичное утверждение имеет место и при Δ = [a, b] × [c, s]. Следующее простое условие равенства r(K) = 0 применимо при Δ = [a, t] × [c, s], при Δ = [a, t] × [c, d] и при Δ = [a, b] × [c, s]. Теорема 3.7. Если ядра l, m, n принадлежат C(L1([a, b])), C(L1([c, d])), C(L1([a, b] × [c, d])), то r(K) = 0. Отметим, что утверждение теоремы 3.7 справедливо для оператора K с ядрами типа потенциа- ла [65]. Равенство нулю спектрального радиуса оператора (3.1) в пространствах вектор-функций C(X) или C(Y ) проверяется как равенство нулю его спектрального равенства в L∞[X] или L∞[Y ]. При этом могут быть использованы утверждения, аналогичные приведенным выше. Линейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Операторами Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами будем называть операторы следующих видов: t r (K1x)(t, s) = a t r (K2x)(t, s) = a b r (K3x)(t, s) = a s r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ + c d r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ + c s r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ + c b r m(t, s, σ)x(t, σ)dσ + a r m(t, s, σ)x(t, σ)dσ + T r m(t, s, σ)x(t, σ)dσ + T d r n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ, (3.14) c r n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ, (3.15) S r n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ, (3.16) S где T = [a, b] или T = [a, t], S = [c, d] или S = [c, s]. Операторы, определяемые первым, вторым и третьим слагаемыми в (3.14), (3.15), (3.16) по-прежнему будем обозначать через L, M, N. Свойства оператора (3.14) существенно отличаются от свойств операторов (3.15) и (3.16). Будем предполагать, что N - компактный оператор в рассматриваемых пространствах. Тогда существен- ные спектры операторов (3.14)-(3.16) определяются суммами двух первых слагаемых, стоящих в правых частях равенств (3.14)-(3.16). Рассмотрим сначала оператор K1. Если выполнено условие хотя бы одной из теорем 3.1-3.7, то r(K1 - N ) = 0, поэтому σ(K1 - N ) = {0} и существенный спектр Шехтера оператора K1 совпадает с множеством σes(K1) = {0}. Таким образом, если оператор K1 рассматривается в банаховых идеальных пространствах или в пространстве C([a, b] × [c, d]), то σes(K1) = {0}. Рассмотрим теперь оператор (3.15). Аналогично предыдущему случаю, σes(K2) = σes(K2 - N ). В условии приводимых ниже теорем 3.8-3.11 σes(K2) = σes(M ). Теорема 3.8 (см. [35]). Пусть X = X([a, b]) и Y = Y ([c, d]) - правильные БИП, U = Y [X] или U = X[Y ], оператор (3.15) регулярен в U, а оператор ]L(s)[ (c � s � d), определяемый равенством (3.5), компактен в X. Если при каждом λ ⊕= 0 функция ϕ из (3.7) принадлежит Rl(U, U ), а оператор N компактен в U, то σes(K2) = σes(M ). Теорема 3.9 (см. [35]). Пусть X = Lp([a, b]) и Y = Lp([c, d]) (1 � p � ∞), семейство дей- ствующих в X линейных интегральных операторов ]L(s)[ (c � s � d) обладает свойством Андо (3.8). Если оператор (3.15) регулярен в U = Lp([a, b] × [c, d]), а оператор N компактен в U, то σes(K2) = σes(M ). Теорема 3.10 (см. [35]). Если оператор L˜ из (3.9) действует в X = Lp([a, b]) и обладает свойством Андо, оператор (3.16) регулярен в U = Lp([a, b] × [c, d]), а оператор N компактен в U, то σes(K2) = σes(M ). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 415 Теорема 3.11 (см. [35]). Если X = X([a, b]) и Y = Y ([c, d]) - БИП, функция α(s) = lL(s)lX→X ограничена в существенном и семейство операторов L(s) (c � s � d) из (3.5) обла- дает свойством Андо (3.8) (оператор L˜ из (3.9) действует в X и обладает свойством Андо), оператор (3.16) регулярен, а оператор N компактен в Y [X] (в X[Y]), то σes(K2) = σes(M ) в Y [X] (в X[Y ]). Изучение существенного спектра Шехтера оператора (3.16) в C([a, b] × [c, d]) производится по схеме, аналогичной описанной выше схеме для оператора (3.15) (см. [57, 65]). Отметим, что для рассматриваемых в C([a, b] × [c, d]) операторов (3.15) и (3.16) с ядрами l ∈ C(L1([a, b])), m ∈ C(L1([c, d])), n ∈ C(L1([a, b]×[c, d])) справедливо равенство σes(K1) = σes(K2) = σ(M ). Изучение существенного спектра Шехтера операторов (3.14)-(3.16) в пространствах C(X) и C(Y ) производится по схемам, аналогичным приведенным выше схемам для описания существен- ного спектра операторов K1, K2, K3 (см. [35]). ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Специальные примеры и условия фредгольмовости. Будем рассматривать уравнение (λI - L - M - N )x = f, (4.1) где L, M, N - операторы (2.2)-(2.4). Приводимые ниже примеры показывают, что теория уравнения (4.1) существенно отличается не только от теории интегральных уравнений Фредгольма, но и от теории сингулярных интегральных уравнений. В приводимых ниже примерах 4.1-4.3 уравнение (4.1) рассматривается в L2(T × S), где T = S = [0, 1]. Пример 4.1 (см. [35]). Пусть в (4.1) λ = 1, l(t, s, τ ) ≡ 1, m(t, s, σ) ≡ 0, n(t, s, τ, σ) ≡ 0. Тогда n(I - L) = d(I - L) = ∞. Поэтому уравнение (4.1) с частными интегралами не только не фредголь- мово и не нетерово, но даже и не n-нормально, и не d-нормально, тогда как обычное интегральное 1 уравнение x(t) = Г x(τ )dτ + f (t) с этим же ядром l фредгольмово. 0 Пример 4.1 показывает, что никакая гладкость ядра не обеспечивает ни фредгольмовости, ни нетеровости, ни n-нормальности, ни d-нормальности уравнения (4.1); напротив, обычные инте- гральные уравнения второго рода с гладкими ядрами фредгольмовы. Для уравнения (4.1) с ядрами из примера 4.1 фредгольмовость совпадает с n, d-нормальностью и обратимостью. При этом λ ∈/ {0, 1}. При λ ∈ {0, 1} уравнение (4.1) нормально разрешимо, так как множество значений оператора λI - L замкнуто. Пример 4.2 (см. [35]). Пусть в (4.1) l(t, s, τ ) ≡ 1, m(t, s, σ) ≡ 1, n(t, s, τ, σ) ≡ 0. В силу тео- рем 2.29-2.31 уравнение (4.1) допускает обращение только при λ ∈/ {0, 1, 2} и является фредголь- мовым, нетеровым, n, d-нормальным только при λ ∈/ {0, 1}. Пример 4.3 (см. [35]). Пусть в (4.1) λ = 1, m(t, s, σ) ≡ 1, n(t, s, τ, σ) ≡ 0, l(t, s, τ ) = l(t, τ ) = ∞ n=1 χen ϕn(τ ) n (t) √μe , где {ϕn} ортонормированный базис в L2([0, 1]) и {en} последовательность измеримых по Лебегу попарно непересекающихся подмножеств отрезка [0, 1] таких, что сходится ряд ∞ n=1 √ μen. В этом случае уравнение (4.1) не является нетеровым, однако оно n-нормально. Пример 4.4 (см. [35]). Пусть в (4.1) T = [0, +∞), S = [0, 1]. Рассмотрим уравнение 2x(t, s) - +∞ 1 r r l(t - τ )x(τ, s)dτ - 0 0 x(t, σ)dσ = f (t, s), (4.2) 416 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН где l ∈ L1(-∞, +∞) и f ∈ L1(T × S). Через ˜l(ξ) обозначим преобразование Фурье функции l. Пусть ядро l выбрано так, что ˜l(ξ) ⊕= 1, ˜l(ξ) ⊕= 2 при ξ ∈ (-∞, +∞) и +∞ r dξ arg(1 - ˜l(ξ)) ⊕= 0, -∞ +∞ r dξ arg(2 - ˜l(ξ)) = 0. -∞ Тогда уравнение (4.2) в L1(T × S) нетерово, но не фредгольмово. Утверждения, содержащиеся в этом пункте, фактически вытекают из приведенных выше утвер- ждений о фредгольмовости линейных операторов с частными интегралами. Следующая теорема содержит альтернативу Фредгольма. Теорема 4.1 (см. [35]). Пусть операторы L, M, N действуют в БИП X с носителем T × S, один из операторов N + LM или N + ML компактен в X и 1 ∈/ σ(L) ∪ σ(M ). Тогда справедлива альтернатива Фредгольма: либо уравнения (I - K)x = f и (I - K∗)y = g, где оператор K = L + M + N, а K∗ - сопряженный к K оператор, разрешимы при любых правых частях f ∈ X, g ∈ X∗ и тогда их решения единственны; либо однородные уравнения (I -K)x = 0 и (I -K∗)y = 0 имеют одинаковое число линейно- независимых решений x1,..., xn и y1,..., yn соответственно. При этом уравнения (I - K)x = f, (I - K∗)y = g разрешимы соответственно тогда и только тогда, когда yk (f ) = 0, g(xk ) = 0 (k = 1,..., n), а общее решение каждого из этих уравнений имеет вид n n x = x0 + ckxk, y = y0 + dkyk, где x0 и y0 - частные решения уравнений (I - K)x = f k=1 k=1 и (I - K∗)y = g соответственно, а ck, dk - произвольные постоянные. В условии теоремы 4.1 уравнение (I - K)x = f приводится к эквивалентному уравнению x = Aix + fi (i = 1, 2), где компактные операторы A1 и A2 определяются равенствами A1 = (I - M )-1(I - L)-1(N + LM ), A2 = (I - L)-1(I - M )-1(N + ML), а f1 = (I - M )-1(I - L)-1f, f2 = (I - L)-1(I - M )-1f. Поэтому операторы (I - M )-1(I - L)-1 и (I - L)-1(I - M )-1 являются эквивалентными левыми регуляризаторами уравнения (I - K)x = f. В условии следующей теоремы эквивалентными регуляризаторами с частными интегралами являются операторы с частными интегралами. Теорема 4.2 (см. [35]). Пусть X = U [V ] или X = V [U ] - БИП, оператор K = L + M + N действует в X и регулярен, один из операторов N + LM или N + ML компактен в X и выполнены включения l ∈ I(L), m ∈ I(M ), где I(L) и I(M ) - множества из теоремы 2.22. Тогда справедливо утверждение теоремы 4.1. Отметим, что в теореме 4.2 включения l ∈ I(L), m ∈ I(M ) выполняются, если имеют место включения (2.38). Примеры, приведенные в этом пункте, показывают, что от требования обратимости операторов I - L и I - M отказаться, вообще говоря, нельзя. Изучение условий обратимости этих операторов связано с изучением обратимости операторов I - L(s) и I - M (t), где L(s) и M (t) - операто- ры (2.25). В случае вырожденных ядер такие условия приведены в теореме 2.23. Из теоремы 2.23 вытекает Теорема 4.3 (см. [35]). Пусть X = U [V ] или X = V [U ] - БИП, N - компактный оператор в X, а l(y, s, τ ) и m(t, s, σ) - вырожденные ядра (2.40). Если ядра l и m удовлетворяют усло- вию (2.42), то для уравнения (I - L - M - N )x = f имеет место альтернатива Фредгольма. Если на множестве положительной меры хотя бы один из определителей из условий (2.42) равен нулю, то уравнение (I - L - M - N )x = f не нетерово. С применением описанных в пункте 2.3.2 схем получаются условия фредгольмовости уравнения (I - K)x = f в пространствах C(X) и C(T × S). В частности, теоремы 2.25-2.27 содержат условия фредгольмовости уравнения (I - K)x = f в C(X), теорема 2.28 содержит критерий фредгольмовости в C([a, b] × [c, d]) этого уравнения с ядрами l ∈ C(L1([a, b])), m ∈ C(L1([c, d])), n ∈ C(L1([a, b] × [c, d])). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 417 Частные случаи [35, 98]. Рассмотрим уравнение b r x(t, s) = g(s) a d r l(t, τ )x(τ, s)dτ +h(t) c b r m(s, σ)x(t, σ)dσ + a d r n(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ +f (t, s), (4.3) c где g(s) и h(t) - непрерывные функции. В подходящем пространстве это уравнение можно запи- сать в виде (I - L˜)(I - M˜ )x = (N + L˜M˜ )x + f, (I - M˜ )(I - L˜)x = (N + M˜ L˜)x + f, (4.4) где L˜ = gL, M˜ = hM, L = A⊗¯ I, M = I⊗¯ B, а A и B - интегральные операторы b r (Au)(t) = a d r l(t, τ )u(τ )dτ, (Bv)(s) = c m(s, σ)v(σ)dσ. (4.5) Теорема 4.4. Если операторы A, B и N компактны в пространствах U = Lp([a, b]), V = Lp([c, d]) и X = Lp([a, b] × [c, d]) (1 � p < ∞) соответственно, то альтернатива Фредгольма имеет место для уравнения (4.3) в X тогда и только тогда, когда 1 ∈/ g(s)σ(A) ∪ h(t)σ(B) (s ∈ [c, d],t ∈ [a, b]). (4.6) Отметим, что в условии теоремы 4.4 включение (4.6) необходимо и достаточно для нетеровости, n-нормальности и d-нормальности уравнения (4.4) в Lp([a, b] × [c, d]) (1 � p < ∞). Условия фредгольмовости уравнения (4.3) в пространствах со смешанными нормами содержит Теорема 4.5. Пусть операторы A, B и N компактны в пространствах U = Lp([a, b]), V = Lq ([c, d]) (1 � p, q < ∞) соответственно. Если выполнено одно из условий: оператор A регулярен в U и N - компактный оператор в U [V ]; б) оператор B регулярен в V и N - компактный оператор в V [U ], то альтернатива Фредгольма имеет место для уравнения (4.3) в случае а) и в V [U ] в случае б) тогда и только тогда, когда выполнено включение (4.6). Аналогично формулируются условия фредгольмовости уравнения (4.3) в пространстве непре- рывных вектор-функций. Теорема 4.6. Если оператор A (оператор B) компактен в пространстве C = C([a, b]) (в пространстве C = C([c, d]),) оператор B (оператор A) компактен в V = Lp([c, d]) (в U = Lp([a, b])) и N - компактный оператор в X = C(V ) (в X = C(U )), то альтернатива Фредгольма для уравнения (4.3) в X справедлива в том и только в том случае, когда выпол- нено условие (4.6). Теорема 4.6 справедлива, в частности, если ядра l ∈ C(L1([a, b])), m ∈ C(L1([c, d])), n ∈ C(L1([a, b] × [c, d])), U = C([a, b]), V = C([c, d]), X = C([a, b] × [c, d]). Для уравнения (4.3) с g(s) ≡ 1 и h(t) ≡ 1 из результатов, приведенных в разделе 2.3, вытекает Теорема 4.7. Пусть g(s) ≡ 1, h(t) ≡ 1, интегральные операторы A и B из (4.5) действуют в БИП U = U (T ) и V = V (S) соответственно, интегральный оператор N компактен в БИП X, где X = U [V ] или X = V [U ], и пусть выполнено одно из условий: а) U = Lp(T ), V = Lp(S) (1 � p < ∞); б) U = L1(T ) (1 � p < ∞), V - почти совершенное БИП и X = U [V ]; в) V = L1(S) (1 � p < ∞), U - почти совершенное БИП и X = V [U ]. Тогда справедливы утверждения: альтернатива Фредгольма имеет место для уравнения (4.3) в X тогда и только тогда, когда 1 ∈/ σes(K), где σes(K) - множество из теоремы 2.29; уравнение (4.3) нетерово в том и только в том случае, когда 1 ∈/ σew (K), где σew (K) - множество (2.48). При 1 ∈/ σes(K) индекс уравнения вычисляется по формуле (2.49). Для уравнения (4.3) с g(s) ≡ 1 и h(t) ≡ 1 в пространствах вектор-функций справедлива 418 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН Теорема 4.8. Пусть g(s) ≡ 1, h(t) ≡ 1, T (S) - компактное множество, μ (ν) - борелевская мера, оператор A (оператор B) из (4.5) действует в C = C(T ) (в C = C(S)), оператор B (оператор A) непрерывен в банаховом пространстве V = V (S) (в U = U (T )) и N - компакт- ный оператор в пространстве X = C(V ) (в X = C(U )) вектор-функций. Тогда справедливы утверждения теоремы 4.7. Отметим, что если в теоремах 4.7, 4.8 некоторые степени операторов A и B являются компакт- ными операторами, то альтернатива Фредгольма для уравнения (4.3) справедлива точно в случае 1 ∈/ σ(A) ∪ σ(B). Более того, в этом случае условие 1 ∈/ σ(A) ∪ σ(B) есть критерий нетеровости, n-нормальности и d-нормальности уравнения (4.3). Частным случаем уравнения (4.3) является уравнение (I - L - M )x = f. В различных функцио- нальных пространствах это уравнение допускает представление (I⊗¯ I -A⊗¯ I -I⊗¯ B)x = f. Отметим условие обратимости данного уравнения: 1 ∈/ σ(A)+ σ(B) = {α + β : α ∈ σ(A),β ∈ σ(B)}. При 1 ∈/ σ(A)+σ(B) найдутся окрестности G и F спектров σ(A) и σ(B) такие, что в окрестности G × F голоморфна функция g(ξ, η) = (1 - ξ - η)-1. В силу теории операторного исчисления тензорных произведений ограниченных линейных операторов [101] r r (I⊗¯ I - A⊗¯ I - I⊗¯ B)-1 = (2πi)-2 (ξI - A)-1⊗¯ (ηI - B)-1 1 - ξ - η dξdη, Γ1 Γ2 где Γ1 ⊂ G и Γ2 ⊂ F - некоторые спрямляемые кривые, лежащие в резольвентных множествах ρ(A) и ρ(B) соответственно, а интеграл понимается в смысле Римана. Поэтому единственное решение уравнения (4.3) имеет вид r r x = (2πi)-2 (ξI - A)-1⊗¯ (ηI - B)-1 1 - ξ - η dξdηf. (4.7) Γ1 Γ2 Теорема 4.9. Пусть U = U (T ) и V = V (S) - банаховы функциональные пространства, опе- ратор A непрерывен в U, оператор B непрерывен в V и пусть выполнено одно из условий: а) U = Lp(T ), V = Lp(S), X = Lp(T × S) (1 � p < ∞); б) U = L1(T ), V - почти совершенное БИП и X = U [V ]; в) V = L1(S), U - почти совершенное БИП и X = V [U ]; г) U и V - правильные БИП, A - регулярный оператор в U, X = U [V ] и ρ(A) = ρr (A) = {λ ∈ σ(A) : (λI - A)-1 - регулярный оператор в U }; д) U и V - правильные БИП, B - регулярный оператор в V, X = V [U ] и ρ(B) = ρr (B) = {λ ∈ σ(B) : (λI - B)-1 - регулярный оператор в V }; е) T и S - компактные множества, μ и ν - борелевские меры, U = C(T ),V = C(S) и X = C(T × S); ж) T (S) - компактное множество, μ (ν) - борелевская мера, U = C(T ) (V = C(S)) и X = C(V ) (X = C(U ), соответственно). Тогда уравнение (I - L - M )x = f имеет единственное решение в пространстве X при любой функции f ∈ X тогда и только тогда, когда выполнено условие 1 ∈/ σ(A)+ σ(B), при этом решение находится по формуле (4.7). Ограниченность и непрерывность решений. Хорошо известно, что каждое суммируемое 1 решение линейного интегрального уравнения x(t) = Г l(t, τ )x(τ )dτ + f (t) с непрерывным заданным 0 ядром и непрерывной функцией f непрерывно. Для линейных уравнений с частными интегралами это не так. Линейное уравнение 1 r x(t, s) = 0 1 r x(τ, s)dτ + 0 1 r x(t, σ)dσ + 0 1 r x(τ, σ)dτdσ - 2 0 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 419 имеет непрерывное решение x(t, s) = 1, ограниченное разрывное решение x(t, s) = 1 + χ[0;0, 5](s) - χ[0, 5;1](s) и неограниченное решение ⎧ 1 - (0, 5 - s)-0,5, если 0 � s < 0, 5, x(t, s) = ⎨ 1, если s = 0, 5, ⎩ 1+ (s - 0, 5)-0,5, если 0, 5 < s � 1. Поэтому изучение свойств решений уравнения (4.1) следует проводить в пространствах функций с требуемыми от решения свойствами. Линейные уравнения Вольтерра с частными интегралами. Основные утверждения об однозначной разрешимости уравнения x = Kx + f, (4.8) где K - оператор Вольтерра с частными интегралами (3.1), получаются применением результатов о равенстве нулю спектрального радиуса оператора K из раздела 3.1. В частности, если выполнено условие одной из теорем 3.2-3.7, то уравнение (4.8) имеет един- ственное решение в рассматриваемом пространстве U, и для любой функции f ∈ U оно может быть получено методом последовательных приближений. При этом решение уравнения есть сумма ряда Неймана ∞ x = f + '\" Kpf. (4.9) p=1 Учитывая равенства (2.21)-(2.24), решение (4.9) можно представить в виде t r x(t, s) = f (t, s)+ a s r ϕ(t, s, τ )f (τ, s)dτ + c r ψ(t, s, σ)f (t, σ)dσ + Δ φ(t, s, τ, σ)f (τ, σ)dτdσ (4.10) с резольвентными ядрами ϕ, ψ, φ, определяемыми равенствами ∞ ∞ ∞ ϕ(t, s, τ ) = '\" l(p)(t, s, τ ), ψ(t, s, σ) = '\" m(p)(t, s, σ), φ(t, s, τ, σ) = '\" n(p)(t, s, τ, σ), где p=1 t r p=1 p=1 l(p)(t, s, τ ) = τ s r l(t, s, ξ)l(p-1)(ξ, s, τ )dξ, l(1)(t, s, τ ) = l(t, s, τ ), m(p)(t, s, σ) = σ m(t, s, η)m(p-1)(t, η, σ)dη, m(1)(t, s, σ) = m(t, s, σ), β r n(p)(t, s, τ, σ) = l(t, s, τ )m(p-1)(τ, s, σ)+ m(t, s, σ)l(p-1)(t, σ, τ )+ α l(t, s, ξ)n(p-1)(ξ, s, τ, σ)dξ+ δ β r r + m(t, s, η)n(p-1)(t, η, τ, σ)dη + γ α δ r n(t, s, ξ, η)l(p-1)(ξ, σ, τ )dξ + γ n(t, s, τ, η)m(p-1)(τ, η, σ)dη+ β δ r r + n(t, s, ξ, η)n(p-1)(ξ, η, τ, σ)dξdη, n(1)(t, s, τ, σ) = n(t, s, τ, σ), α γ α = τ, β = t, γ = σ, δ = s при Δ = [a, t] × [c, s], α = τ, β = t, γ = c, δ = d при Δ = [a, t] × [c, d], α = a, β = b, γ = σ, δ = s при Δ = [a, b] × [c, s]. Равенство (4.10) показывает, что резольвентой уравнения (4.8) является оператор с частными интегралами. Аналогично, этот же оператор является резольвентой уравнения (4.8) и в простран- стве вектор-функций. 420 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН В предположениях раздела 3.1 спектральный радиус операторов L и M равен нулю. Если теперь Δ = [a, t] × [c, s], t r (I - L)-1x(t, s) = x(t, s)+ a s r ϕ(t, s, τ )x(τ, s)dτ, (I - M )-1x(t, s) = x(t, s)+ c ψ(t, s, σ)x(t, σ)dσ, n1(t, s, τ, σ) = n(t, s, τ, σ)+ l(t, s, τ )m(τ, s, σ), n2(t, s, τ, σ) = n1(t, s, τ, σ)+ t s r r + ϕ(t, s, ξ)n1(ξ, s, τ, σ)dξ + τ σ t r ψ(t, s, η)n1(t, η, τ, σ)dη + τ s r ψ(t, s, η)ϕ(t, η, ξ)n1(ξ, η, τ, σ)dξdη, σ то уравнение (4.8) есть интегральное уравнение Вольтерра t r x(t, s) = a s r n2(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ + g(t, s), (4.11) c где g(t, s) = (I - M )-1(I - L)-1f. Пусть r(t, s, τ, σ) - резольвентное ядро уравнения (4.11). Тогда t r x(t, s) = g(t, s)+ a s r r(t, s, τ, σ)g(τ, σ)dτdσ. c Подставляя в это равенство g(t, s) = (I - M )-1(I - L)-1f, получим t r x(t, s) = f (t, s)+ a s r ϕ(t, s, τ )f (τ, s)dτ + c t r ψ(t, s, σ)f (t, σ)dσ + τ s r ω(t, s, τ, σ)f (τ, σ)dτdσ, (4.12) c где t r ω(t, s, τ, σ) = ψ(t, s, σ)ϕ(t, σ, τ )+ r(t, s, τ, σ)+ τ r(t, s, ξ, σ)ϕ(ξ, s, τ )dξ+ s t r r + r(t, s, τ, η)ψ(t, η, σ)dη + o τ s r r(t, s, ξ, η)ψ(ξ, η, σ)ϕ(ξ, σ, τ )dξdη. σ Таким образом, резольвента уравнения (4.8) имеет вид (4.12), где резольвентные ядра ϕ, ψ, ω выражаются через резольвентные ядра уравнений Вольтерра (I - L)x = f, (I - M )x = f и (4.10). Описанный метод построения резольвенты уравнения (4.8) принадлежит В. Вольтерра и приме- ним также при Δ = [a, t] × [c, d] и Δ = [a, b] × [c, s]. Линейные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Интегральное уравнение x = Kix + f (i = 1, 2, 3), (4.13) где K1, K2, K3 - операторы (3.14), (3.15), (3.16), будем называть уравнением Вольтерра-Фред- гольма с частными интегралами. Пример уравнения t 1 r x(t, s) = 2t 0 x(τ, s)dτ + t 1 1 r r 2t 0 0 x(τ, σ)dτdσ показывает, что без дополнительных условий уравнение (4.13), вообще говоря, не только не одно- значно разрешимо, но и не нетерово. Условия фредгольмовости уравнения (4.13) легко получаются из результатов разделов 3.1 и 3.2. В частности, при i = 1 справедлива Теорема 4.10. Пусть K1 - регулярный оператор в БИП U = U ([a, b] × [c, d]) и выполнено условие одной из теорем 3.1-3.5 или K1 действует в U = C([a, b] × [c, d]) и выполнено условие одной из теорем 3.6 или 3.7. Тогда для уравнения x = K1x + f справедлива альтернатива Фредгольма. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 421 В условии теоремы 4.10 уравнение x = K1x + f равносильно интегральному уравнению где b r x(t, s) = a d r r1(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ + g1(t, s) ≡ (R1x)(t, s)+ g1(t, s), (4.14) c t r r1(t, s, τ, σ) = a s r ϕ(t, s, ξ)n1(ξ, s, τ, σ)dξ + c ψ(t, s, η)n1(t, η, τ, σ)dη+ t s r r + n2(t, s, ξ, η)n1(ξ, η, τ, σ)dξdη + n1(t, s, τ, σ), a c t r g(t, s) = f (t, s)+ a s r ϕ(t, s, τ )f (τ, s)dτ + c t r ψ(t, s, σ)f (t, σ)dσ + a s r n2(t, s, τ, σ)f (τ, σ)dτdσ, c n1(t, s, τ, σ) = n(t, s, τ, σ)+ l(t, s, τ )m(τ, s, σ)χ[a,t](τ )χ[c,s](σ), n2(t, s, τ, σ) = ψ(t, s, σ)ϕ(t, σ, τ ). Если 1 ∈/ σ(K1), то уравнение x = K1x + f допускает обращение, а резольвента имеет вид t r x(t, s) = f (t, s)+ a s r ϕ(t, s, τ )f (τ, s)dτ + c b r ψ(t, s, σ)f (t, σ)dσ + a d r n˜(t, s, τ, σ)f (τ, σ)dτdσ, (4.15) c где ϕ и ψ - резольвентные ядра из пункта 4.4, а b r n˜(t, s, τ, σ) = r(t, s, τ, σ)+ n2(t, s, τ, σ)χ[a,t]×[c,s](τ, σ)+ τ r(t, s, ξ, σ)ϕ(ξ, σ, τ )dξ+ d b r r + r(t, s, τ, η)ψ(τ, η, σ)dη + o τ d r r(t, s, ξ, η)n2(ξ, η, τ, σ)dξdη, n2(t, s, τ, σ) = ψ(t, s, σ)ϕ(t, σ, τ ). σ Таким образом, резольвента (4.15) выражается через резольвентные ядра уравнений Вольтерра x = Lx + f, x = Mx + f и резольвентное ядро r уравнения Фредгольма (4.14). Уравнения x = K2x + f и x = K3x + f существенно отличаются от уравнения x = K1x + f. Действительно, например, при единичных ядрах уравнение x = K1x+f является фредгольмовым в C([0, 1]×[0, 1]), а уравнения x = K2x+f и x = K3x+f не являются даже ни n-, ни d-нормальными. Из теорем 3.8-3.11 вытекает Теорема 4.11. Если K2 - регулярный оператор в БИП U = U ([a, b] × [c, d]) и выполне- но условие одной из теорем 3.8-3.11, то альтернатива Фредгольма для уравнения x = K2x + f справедлива тогда и только тогда, когда она справедлива для уравнения x(t, s) = d Г m(t, s, σ)x(t, σ)dσ + f (t, s) ≡ (Mx)(t, s)+ f (t, s). c Аналогичная теорема имеет место и для уравнения x = K3x + f. Если уравнение x = Kix + f (i = 2, 3) с ядрами l ∈ C(L1([a, b])), m ∈ C(L1([c, d])), n ∈ C(L1([a, b] × [c, d])) рассматривается в C([a, b] × [c, d]), то оно фредгольмово точно тогда, когда обратимо при i = 2 уравнение x = Mx + f и обратимо при i = 3 уравнение x = Lx + f. d Если в условии теоремы 4.5 выполнено 1 ∈/ σ(M ), (I -M )-1x(t, s) = x(t, s)+Г rm(t, s, σ)x(t, σ)dσ c и (I - M )-1 - регулярный оператор в БИП U, то уравнение x = K2x + f приводится к эквива- лентному интегральному уравнению Фредгольма b r x(t, s) = a d r n¯1(t, s, τ, σ)x(τ, σ)dτdσ + g¯1(t, s), (4.16) c 422 А. С. КАЛИТВИН, В. А. КАЛИТВИН где функция n¯1(t, s, τ, σ) определяется по функциям rm(t, s, σ), m(t, s, σ), n(t, s, τ, σ) и функции ϕ(t, s, τ ) из пункта 4.4, а функция g¯1(t, s) определяется по функциям f (t, s), rm(t, s, σ) и ϕ(t, s, τ ) (см. [35]). Если теперь уравнение (4.16) допускает обращение и r(t, s, τ, σ) - резольвентное ядро для ядра n¯1(t, s, τ, σ), то резольвента уравнения x = K2x + f определяется через резольвентные ядра уравнений x = Lx + f, x = Mx + f и r(t, s, τ, σ) и имеет такую же структуру, что и оператор I + K2. Уравнение x = K3x + f рассматривается аналогично. Приведенные схемы исследования уравнения (4.8) применимы и в случае пространств вектор- функций. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В разделе указываются проблемы, приводящиеся к линейным уравнениям с частными интегра- лами, выписываются соответствующие уравнения и даются ссылки на работы, в которых изуча- ются эти уравнения. Изгиб тонких пластинок, пологие упругие оболочки [10, 35, 98]: z r ω(z, ξ) = 0 ξ r l(z, ξ, t)ω(t, ξ)dt + 0 z ξ r r m(z, ξ, τ )ω(z, τ )dτ + 0 0 n(z, ξ, t, τ )ω(t, τ )dtdτ + g(z, ξ). Функция Римана для уравнения второго порядка эллиптического типа [10]: z r V (z, ζ) - t ζ r (ξ, ζ)V (ξ, ζ)dξ - τ z ζ r r A(z, η)V (z, η)dη + dξ t τ (ξ, ζ)V (ξ, η)dη = 1. Гиперболическое уравнение Лапласа, задача Гурса [88, 89]: x r ϕ(x, y) = 0 y r b(x, y)ϕ(ξ, y)dξ + 0 a(x, y)ϕ(x, η)dη + f (x, y). Задача Коши для интегродифференциального уравнения Барбашина [98]: t r y(t, s) = t0 t r c(t, s)y(τ, s)dτ + t0 b r k(t, s, σ)y(τ, σ)dσdτ + g(t, s). a Механика сплошных сред [3, 35, 96, 98]: t 1 r r λx(t, s)+ 0 l(t, τ )x(τ, s)dτ + -1 m(s - σ)x(t, σ)dσ = g(t, s). Смешанные задачи эволюционного типа [5, 35, 96, 98]: t r x(t, s)+ 0 1 r l(t, τ )x(τ, s)dτ + -1 m(s - σ)x(t, σ)dσ + t 1 r r 0 -1 n(t, τ )m(s - σ)x(τ, σ)dτdσ = g(t, s). Осесимметричные контактные задачи [2, 35, 96, 98]: t 1 r λx(t, s)+ 2 r sx(τ, s)dτ + r 2√sσ m o \ x(t, σ)dσ = g(t, s). π s + σ s + σ 0 c Контактные задачи теории ползучести неоднородно-стареющих тел [1, 35, 86, 96, 98]: t r x(t, s) - 1 b r l(t, τ )x(τ, s)dτ - c(t) a t r m(s, σ)x(t, σ)dσ - 1 b r c(t)n(t, τ )m(s, σ)x(τ, σ)dτdσ = g(t, s). a ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 423 Общее уравнение механики сплошных сред и теории ползучести неоднородно-стареющих тел [35, 96, 98]: t r x(t, s) = a(s) 0 b r l(t, τ )x(τ, s)dτ + c(t) 0 m(s, σ)x(t, σ)dσ+ t r +d(t, s) 0 Аэродинамика [6, 35, 96, 98]: b r n(t, τ )m(s, σ)x(τ, σ)dτdσ + f (t, s). 0 a b 1 r a - t \1/2 r r x(t, s) - πb a + t x(τ, s)dτ - -a -b m(s, σ)x(t, σ)dσ = f (t, s). Расчет плотин методом арок-консолей [35, 87, 96, 98]: a b r r l(t, s, τ )x(τ, s)dτ + m(t, s, σ)x(t, σ)dσ = f (t, s). 0 -b Другие приложения: в монографиях [35, 98] приведены многочисленные примеры линейных и нелинейных уравнений с частными интегралами, применявшихся к решению различных задач. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Библиография работ по теории линейных операторов и уравнений с частными интегралами, до- веденная до 2000 г., содержится в монографии [35], в ней же рассмотрены линейные операторы и уравнения с частными интегралами и ядрами различных классов. В связи с этим данная статья не содержит описание свойств операторов и условий разрешимости уравнений с частными интегра- лами и вырожденными, симметричными, симметризуемыми, жордановыми, разностными, сингу- лярными ядрами; линейные операторы и уравнения с частными интегралами не рассматриваются в пространствах дифференцируемых и частично, дифференцируемых функций, в пространствах Гельдера, Орлича и некоторых других пространствах. В обзоре не обсуждаются приближенные и численные схемы решения уравнений с частными интегралами, системы линейных уравнений с частными интегралами, линейные операторы и уравнения типа Романовского с частными интегра- лами [44]. Список литературы в статье не претендует на полноту, в частности, в список работ не включены тезисы докладов по теории линейных операторов и уравнений с частными интегралами. Основы теории линейных операторов и уравнений с частными интегралами представлены в монографиях [35, 57, 65, 98]. Отметим, что линейные операторы и уравнения частными интегралами изучались в [8, 9, 11, 17, 21, 24-30, 32, 33, 39, 46-49, 51, 52, 54, 56, 60, 62, 66, 73, 74, 80-84, 90-92, 99, 100, 107-110]. В работах [12- 14] рассматривались приложения линейных уравнений с частными интегралами.

About the authors

A S Kalitvin

Lipetsk State Pedagogical University

Email: kalitvinas@mail.ru
Lipetsk, Russia

V A Kalitvin

Lipetsk State Pedagogical University

Email: kalitvin@mail.ru
Lipetsk, Russia

References

Supplementary files