Устойчивость решений одного класса систем нелинейных разностных уравнений с переменным запаздыванием

Полный текст

1. Введение В работе рассматриваются системы нелинейных разностных уравнений вида xn+1 = Axn + Bxn-τ(n) + F(n,xn,...,xn-τ), n = 0,1,2,... , (1.1) где A, B - постоянные матрицы m × m, τ(n) ∈ N - переменное запаздывание, , F(n,u0,...,uτ) - вектор-функция, удовлетворяющая оценке . (1.2) Наша цель - исследовать асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.1), а также получить оценки решений начальной задачи для системы (1.1) с заданными начальными векторами x0,x-1,...,x-τ ∈ Cm. (1.3) © И.И. Матвеева, В.А. Каравайкин, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 541 Очевидно, что систему уравнений (1.1) можно записать в виде: (1.4) где при j = τ(n), j( ) = ( ) ( ) = 0 при . (1.5) Если бы функция, определяющая запаздывание, была постоянной или периодической, то систему (1.4) можно было бы свести к системе обыкновенных разностных уравнений с постоянными коэффициентами в линейной части и применить известные результаты. Поскольку запаздывание является переменным, то система (1.4) является системой нелинейных разностных уравнений с переменными коэффициентами. По сравнению с автономным случаем изучение устойчивости решений неавтономных нелинейных разностных уравнений представляет более сложную задачу. Отметим, что последние тридцать лет проводятся активные исследования проблемы устойчивости решений различных классов разностных уравнений с запаздыванием (см., например, [3, 4, 6-17] и ссылки в этих работах). При изучении асимптотических свойств решений применяются аналоги методов, используемых в теории функционально-дифференциальных уравнений, в том числе подход, основанный на построении подходящих функционалов Ляпунова- Красовского. Однако в настоящее время крайне мало работ, в которых рассматриваются нелинейные разностные уравнения с переменным запаздыванием. Для изучения асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.1) мы будем использовать функционал Ляпунова-Красовского следующего вида: , (1.6) где H, K0,K1,...,Kτ-1 - некоторые эрмитовы положительно определенные матрицы. Этот функционал был введен в работе [1] и является дискретным аналогом функционала Ляпунова- Красовского, предложенного в [2] для исследования асимптотической устойчивости решений систем дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Используя функционал (1.6), мы установим оценки для множеств притяжения нулевого решения системы (1.1) и получим оценки на скорость убывания решений начальной задачи (1.1), (1.3) при n → ∞. В следующем разделе мы приведем вспомогательные результаты, которые будем использовать при получении основных результатов в третьем разделе. 2. Предварительные сведения В работе [1] была исследована асимптотическая устойчивость линейной системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами и ограниченным переменным запаздыванием вида xn+1 = Axn + Bxn-τ(n), n = 0,1,2,... , (2.1) где A, B - постоянные матрицы . Рассмотрим для этой системы начальную задачу с начальными векторами (1.3). С использованием функционала (1.6) были получены следующие результаты для системы (2.1). Теорема 2.1 (см. [1]). Предположим, что существуют эрмитовы положительно определенные матрицы H, Kj, j = 0,1,... ,τ, такие, что Δj = Kj-1 - Kj > 0, j = 1,...,τ, и составные матрицы (2.2) с элементами C00(n) = A∗HA - H + K0, Cjj(n) = Bj∗(n)HBj(n) - 1Δj, j = 1,...,τ - 1, 2 Cττ(n) = Bτ∗(n)HBτ(n) положительно определены. Тогда нулевое решение системы асимптотически устойчиво. По условию теоремы 2.1 все матрицы C(n) являются положительно определенными, причем среди матриц C(n) не более чем τ различных, поэтому выполнена оценка , (2.3) где c1 > 0- минимальное среди минимальных собственных чисел матриц C(n). Теорема 2.2 (см. [1]).Предположим, что выполнены условия теоремы 2.1. Пусть æj ∈ (0,1), j = 1,...,τ, такие, что . (2.4) Тогда для решения начальной задачи (2.1), (1.3) справедлива оценка - , где h1 > 0 - минимальное собственное значение матрицы H, (2.5) . (2.6) В работе [5] был рассмотрен частный случай системы нелинейных разностных уравнений вида (1.1), где F(n,u0,...,uτ) удовлетворяет оценке (1.2) при qj = 0, j = 1,...,τ. С использованием функционала Ляпунова-Красовского (1.6) в работе [5] установлены оценки на множество притяжения нулевого решения системы (1.1) и на скорость стабилизации решений при n → ∞. В данной работе мы исследуем асимптотическую устойчивость нулевого решения более общих систем вида (1.1). В следующем разделе мы сформулируем и докажем основные результаты. 3. Основные результаты Рассмотрим нелинейную систему разностных уравнений вида (1.1) с вектор-функцией F(n,u0,...,uτ), удовлетворяющей оценке (1.2). Будем предполагать, что выполнены условия теоремы 2.1, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения линейной системы (2.1). Используя матрицы H, Kj, определенные в теореме 2.1, введем следующие обозначения: (3.1) (3.2) где h1 > 0, k0 > 0,...,kτ-1 > 0- минимальные собственные значения матриц H, K0,...,Kτ-1 соответственно, . (3.3) Если при вычислении Rj возникает деление на 0, то соответствующее Rj полагаем равным +∞. Отметим, что параметрами βj можно управлять. Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Если выполнены следующие неравенства: (3.4) (3.5) то для решения начальной задачи (1.1), (1.3) верна оценка (3.6) где , (3.7) v(0,x) определено в (2.5). Доказательство. Пусть {xn} - решение начальной задачи (1.1), (1.3). Будем проводить рассуждения по схеме из работы [5]. Рассмотрим на этом решении функционал (1.6). Оценим разность v(n + 1,x) - v(n,x). Используя обозначения для матриц Δj, имеем . Учитывая, что {xn} является решением эквивалентной системы (1.4), получаем , где матрицы Bj(n) определены в (1.5). Используя заданную в (2.2) матрицу C(n), имеем (3.8) где Оценим каждое из слагаемых в (3.8). Первое слагаемое оценим, используя неравенство (2.3). Из условий теоремы 2.2 вытекает неравенство . Следовательно, . (3.9) В силу (1.2) имеем , где , Для оценки каждого слагаемого Wj воспользуемся следующей технической леммой. Лемма 3.1. Пусть. Тогда выполняется неравенство , где M - симметричная положительно определенная матрица. Рассмотрим вначале W1 и запишем , где . Мы оценим с использованием леммы 3.1, выбрав, I - единичная матрица, , βj ∈ (0,1), j = 1,...,τ. Очевидно,. В силу леммы получаем . (3.10) Далее рассмотрим W2, которое перепишем в виде: , где . Полагаем , где βj определены выше, векторы u, не содержат компоненты, соответствующие индексу τ(n). Очевидно, . Используя лемму 3.1, имеем Теперь оценим W3. Очевидно,, где , βj определены выше. Используя неравенство Коши-Буняковского, получаем . (3.12) Полагаем . Тогда из (3.10)-(3.12) имеем , (3.13) Используя (3.13)-(3.15), из (3.9) получаем Обозначим. Тогда (3.16) можно переписать в следующем виде: . (3.17) Очевидно, что для любого α 0 имеют место неравенства - - - - - - , где h1 - минимальное собственное значение матрицы H, kj - минимальное собственное значение матрицы Kj. Поэтому из (3.17) получаем Введем обозначения: Тогда (3.18) можно переписать в виде: Несложно показать, что, если начальные данные (1.3) удовлетворяют условиям теоремы 3.1, то справедливы неравенства (3.20) Действительно, уравнение P0(s) = p0 имеет корни . Следовательно, неравенство P0(s) < p0 выполнено при . Аналогично, уравнения Pj(s) = pj имеют корни Поэтому неравенства выполнены при . В силу условий (3.4), (3.5) имеем По определению v(0,x) 0, поэтому оценки (3.20) выполнены. Рассмотрим неравенство (3.19) при n = 0. Поскольку, то , где что соответствует обозначению (3.7). Тогда, используя определение функционала (1.6), имеем , где . Покажем, что для всех n = 1,2,... выполнено неравенство . (3.21) Доказательство проведем методом индукции. Пусть (3.21) выполнено для всех n < k. Рассмотрим n = k. В силу (3.19) имеем . Заметим, что функции Pj(s), j = 0,...,τ, монотонно возрастают при и . Тогда Следовательно, , где γ определено в (3.7). Поэтому, используя определение функционала (1.6), получаем , что дает неравенство (3.21) при Из определения функционала v(n,x) имеем , что дает оценку (3.6) для решения начальной задачи (1.1), (1.3). Поскольку 0 < ε < 1, то решение стремится к нулю при n → ∞, при этом скорость убывания определяется значением Сформулируем ряд следствий для различных значений qj,ωj. Следствие 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1, ωj > 0 и qj > 0, j = 0,...,τ. Тогда нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво. Если начальные данные (1.3) такие, что (3.22) , тогда решение начальной задачи (1.1), (1.3) удовлетворяет оценке (3.6), где Rj определены в (3.1), (3.2), v(0,x) определено в (2.5). Следствие 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1, ωj = 0 и qj > 0, j = 0,...,τ. Если выполнены неравенства (3.23) то нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво. При этом для решения начальной задачи (1.1), (1.3) верна оценка (3.24) где , v(0,x) определено в (2.5), ρ0, ρ1, Q определены в (3.3). Введем множества индексов I = {i = 1,...,τ | qi > 0, ωi > 0}, J = {j = 1,...,τ | qj > 0, ωj = 0}. Следствие 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1, q0 > 0 и ω0 > 0. Если выполнены неравенства (3.25) то нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво. Если начальные данные (1.3) такие, что выполнено (3.22) и , (3.26) тогда для решения начальной задачи (1.1), (1.3) верна оценка (3.6). Следствие 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.1, q0 > 0 и ω0 = 0. Если выполнены неравенства (3.23) и (3.25), то нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво. Если начальные данные (1.3) такие, что верно (3.26), тогда для решения начальной задачи (1.1), (1.3) имеет место оценка (3.24). Следствие 3.5. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и q0 = 0. Если выполнены неравенства (3.25), то нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво. Если начальные данные (1.3) такие, что верно (3.26), тогда для решения начальной задачи (1.1), (1.3) имеет место оценка ,

Об авторах

И. И. Матвеева

Новосибирский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: i.matveeva@g.nsu.ru
ORCID iD: 0000-0002-9390-2702
SPIN-код: 8973-3918
Scopus Author ID: 7006445422
ResearcherId: J-7394-2013
Новосибирск, Россия

В. А. Каравайкин

Новосибирский государственный университет

Email: v.karavaikin@g.nsu.ru
Новосибирск, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы