О задаче Коши для функционально-дифференциальных включений смешанного типа в банаховых пространствах

Полный текст

1. Введение В современной математике существенную роль играют исследования в области дробного анализа, а также дифференциальных уравнений и включений дробного порядка. Актуальность этих направлений обусловлена большим количеством приложений в прикладной математике, физике, технических науках, биологии, экономике и других областях (см., например, монографии [18-20] и имеющуюся в них библиографию). На сегодняшний день разработаны различные методы исследования начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений и включений дробного порядка α ∈ (0,1) (см. статьи [3-5, 8, 10, 13, 15, 17] и ссылки в них). В отличие от хорошо изученных задач для дифференциальных включений дробного порядка α ∈ (0,1), аналогичные исследования для случая порядка из интервала (1,2) пока не получили столь широкого развития. Тем не менее, в последнее время в данном направлении уже достигнуты определенные научные результаты, о чем свидетельствуют публикации [7, 9, 14, 21]. Большой научный интерес представляют © М.И. Каменский, Г.Г. Петросян, М.С. Сорока, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 484 исследования дифференциальных уравнений и включений смешанного типа, содержащих как дробные, так и целочисленные производные. В скалярном случае подобные задачи были решены, что отражено, в частности, в пятой главе монографии [18]. Однако изучение вопросов разрешимости таких уравнений и включений в бесконечномерных пространствах остается перспективной и актуальной научной проблемой, требующей дальнейших исследований (см., например, монографию [12]). Особый интерес представляет случай, когда нелинейность, стоящая в правой части исследуемого уравнения или включения зависит в явном виде от предыстории процесса, то есть описывается членами с запаздыванием по классификации Г.А. Каменского (см. [6]). В настоящей статье в сепарабельном банаховом пространстве E мы исследуем задачу Коши для нелинейного функционально-дифференциального включения , (1.1) - (1.2) где- дробная производная Герасимова-Капуто порядка 0 < α < 1, A : D(A) ⊂ E → → E -линейный замкнутый оператор (необязательно ограниченный), порождающий равномерно ограниченную C0-полугруппу операторов {T(t)}t∈[0, a]. Многозначное отображение F : [0, a] × имеет выпуклые компактные значения, xt ∈ C([-h,0];E) - предыстория функции до момента t ∈ [0, a], т. е. xt(θ) = x(t + θ),θ ∈ [-h,0], и функция ϑ ∈ C([-h,0];E) наперед задана. С помощью теории топологической степени уплотняющих многозначных отображений (см., например, [16]) в настоящей статье доказывается существование интегральных решений задачи (1.1)-(1.2). Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего интегрального мультиоператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего мультиоператора будет использоваться теорема типа теоремы Б.Н. Садовского о неподвижной точке (см., например, [1, 16]). Для этого мы показываем, что разрешающий интегральный мультиоператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя. 2. Предварительные сведения Пусть E - банахово пространство. Кратко напомним определения (см. [18, 20]). Определение 2.1. Дробным интегралом порядка α > 0 функции g ∈ L1([0, a];E) называется функция где Γ -гамма-функция Эйлера Определение 2.2. Дробной производной Герасимова - Капуто порядка α 0 функции g ∈ ∈ Cn([0, a];E) называется функцияследующего вида: . В дальнейшем нам потребуется бета-функция , (2.1) связанная с гамма-функцией посредством известного равенства (см., например, [18, п. 1.5]) . (2.2) В дробном исчислении важное значение имеют функция Миттаг-Леффлера , и так называемая функция Райта-Маинарди (см. [19, формула (B.28)]) . Многозначные отображения и меры некомпактности. Напомним некоторые понятия и утверждения из многозначного анализа (см., монографии [2, 16]). Введем следующие обозначения: ; • Pb(E) = {A ∈ P(E) : A - ограничено}; • Pv(E) = {A ∈ P(E) : A - выпукло}; • K(E) = {A ∈ P(E) : A - компактно}; • Kv(E) = Pv(E) ∩ K(E). Определение 2.3 (см., например, [1, 16]). Пусть - частично упорядоченное множество. Функция β : Pb(E) → A называется мерой некомпактности (далее МНК) в E, если для любого Ω ∈ Pb(E) выполняется β(coΩ) = β(Ω), где coΩ обозначает замыкание выпуклой оболочки Ω. МНК β называется: (а) монотонной, если для любых Ω0,Ω1 ∈ Pb(E), из Ω0 ⊆ Ω1 следует, что); (b) несингулярной, если для любого a ∈ E и любого Ω ∈ Pb(E) выполнено β({a} ∪ Ω) = β(Ω); (c) вещественной, если A -множество вещественных чисел R с естественным упорядочением. Если A - конус в банаховом пространстве, то β называется: (d) алгебраически полуаддитивной, если для любых Ω0, Ω1 ∈ Pb(E); (e) правильной, если β(Ω) = 0 равносильно относительной компактности Ω. Примером вещественной меры некомпактности в пространстве E, обладающей всеми выше перечисленными свойствами, является МНК Хаусдорфа: χE(Ω) = inf{ε > 0, для которых Ω имеет конечную ε-сеть}. Пусть X - метрическое пространство. Определение 2.4 (см. монографии [2, 16]). Многозначное отображение (мультиотображение) F : X → P(E) называется: (i) полунепрерывным сверху (п.н.св.), если F-1(V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V } -открытое подмножество X для любого открытого множества V ⊂ E; (ii) замкнутым, если график ΓF = {(x,y) : y ∈ F(x)} - замкнутое подмножество X × E; (iii) компактным, если F(X) относительно компактно в E; (iv) квазикомпактным, если сужение на любое компактное подмножество A ⊂ X компактно. Лемма 2.1 (см. [16, теорема 1.1.12]). Пусть X и Y - метрические пространства и F : X → → K(Y ) - замкнутое квазикомпактное мультиотображение, тогда F - п.н.св. Определение 2.5. Мультиотображение F : M ⊆ E → K(E) называется уплотняющим относительно МНК β (β-уплотняющим), если для любого ограниченного множества Ω ⊆ M, не являющегося относительно компактным, выполнено . Справедливы следующие теоремы для уплотняющих мультиотображений, обобщающие известную теорему о неподвижной точке Б.Н. Садовского (см., [1, теорема 1.5.11]). Теорема 2.1 (см. [16, следствие 3.3.1]). Пусть M - выпуклое замкнутое подмножество E и F : M → Kv(M) - замкнутое β-уплотняющее мультиотображение, где β - несингулярная МНК в E. Тогда множество FixF := {x : x ∈ F(x)} неподвижных точек F есть непустое множество. Теорема 2.2 (см. [16, предложение 3.5.1]). Пусть M - выпуклое замкнутое подмножество E и F : M → K(E) - замкнутое β-уплотняющее мультиотображение, где β - монотонная МНК в E. Если множество FixF := {x : x ∈ F(x)} неподвижных точек F ограничено, то оно компактно. Отметим, что если мультиотображение определено на числовом множестве, то его называют мультифункцией. Мультифункция G : [0, a] → K(E) называется измеримой, если G-1(V ) измеримо (относительно меры Лебега на отрезке [0, a]) для любого открытого подмножества V ⊂ E. Известно, что измеримая мультифункция G:[0, a] → K(E) допускает измеримое сечение, т. е., существует измеримая функция g : [0, a] → E такая, что g(t) ∈ G(t) для п. в. t ∈ [0, a] (см., например, [16, п. 1.3.1]). Определение 2.6. Измеримая мультифункция G:[0, a] → K(E), для , называется: • Lp-интегрируемой, если она допускает Lp-интегрируемое по Бохнеру сечение, т. е. существует функция g ∈ Lp ([0, a];E) такая, что g(t) ∈ G(t) для п. в. t ∈ [0, a]; • Lp-интегрально ограниченной, если существует функция v ∈ Lp+[0, a] такая, что: , для п. в. Множество всех Lp-интегрируемых сечений мультифункции G:[0, a] → K(E) обозначается SGp . Определение 2.7. Последовательность функций {ξn} ⊂ Lp([0, a];E) называется Lp-полукомпактной, если она Lp-интегрально ограничена и множество {ξn(t)} относительно компактно в E для п.в. t ∈ [0, a]. Для Lp-интегрально ограниченной мультифункции G : [0, a] → K(E) интеграл определяется следующим образом: для любого t ∈ [0, a]. Лемма 2.2 (см. [16, теорема 4.2.1]). Пусть последовательность функций {ξn} ⊂ L1([0, a];E) является L1-ограниченной и п.в. t ∈ [0, a], (2.3) для всех n = 1,2,... , где v ∈ L1+[0, a]. Тогда для любого δ > 0 существует компактное множество Kδ ⊂ E, множество mδ ⊂ [0, a] с мерой Лебега measmδ < δ и множество функций Gδ ⊂ L1([0, a];E) со значениями в Kδ, такие, что для каждого n 1 существует функция bn ∈ Gδ для которой - . Более того, последовательность {bn} может быть выбрана так, что bn ≡ 0 на mδ, и эта последовательность слабо компактна. 3. Основные результаты Перейдем к решению задачи (1.1)-(1.2), полагая, что оператор A:D(A) ⊂ E → E удовлетворяет условию (A) оператор A порождает равномерно ограниченную C0-полугруппу линейных операторов в E. Обозначим через {T(t)}t∈[0, a] сужение C0-полугруппы, а через M - константу, определенную по формуле: . (3.1) Пусть мультиотображение F : [0, a] × E → Kv(E) таково, что: (F1) для каждого x ∈ E мультифункция F (·,x) : [0, a] → Kv (E) допускает измеримое сечение; (F2) для п.в. t ∈ [0, a] мультиоператор F(t,·) : E → Kv (E) п.н.св.; (F3) для каждого r > 0 существует функция такая, что для каждого ξ ∈ мы имеем , для п.в. t ∈ [0, a]; (F4) существует функция такая, что для каждого ограниченного множества Δ ⊂ ⊂ C([-h,0];E) мы имеем , для п.в. t ∈ [0, a], где ϕ(Δ) = sup χE(Δ(s)), χE - МНК Хаусдорфа в E, и Δ(s) = {y(s),y ∈ Δ}. s∈[-h,0] Для функции x ∈ C([-h,τ];E), τ ∈ (0,a], рассмотрим мультифункцию ΦxF : [0,τ] → Kv(E), ΦxF (t) = F(t,xt). Пусть D ⊂ C([0,τ];E) -выпуклое замкнутое подмножество, определенное по формуле D = {ξ ∈ C([0,τ];E),ξ(0) = ϑ(0)}, и для заданного ξ ∈ D обозначим через ξ[ϑ] ∈ C([-h,τ];E) функцию , Из условий (F1)-(F3) следует (см. [16, теорема 1.3.5]), что мультифункция ΦxF является L∞-интегрируемой. Поэтому мы можем утверждать, что суперпозиционный мультиоператор PF∞ : D → → P(L∞([0,τ];E)), заданный по формуле PF∞(x) = {f ∈ L∞([0,τ];E) : f(t) ∈ F(t,x[ϑ]t) п.в. t ∈ [0,τ]}, корректно определен. Определение 3.1. Интегральным решением задачи Коши (1.1)-(1.2) на промежутке [-h,τ], τ ∈ (0,a], называется функция x ∈ C([-h,τ];E), которая может быть представлена в виде: , где- дробный интеграл порядка 1 - α, оператор-функция и Φα(·) - функция Райта-Маинарди. Лемма 3.1. Оператор-функция σ(t) удовлетворяет следующим условиям: 1) для каждого t ∈ [0, a] σ(t) - линейный оператор, более того, для каждого x ∈ E справедлива оценка - - , (3.2) где M - константа из формулы (3.1). 2) оператор-функция σ(·) сильно непрерывна, т. е. функция t ∈ [0, a] → σ(t)x непрерывна для каждого x ∈ E. Доказательство. Начнем с первого свойства. Линейность оператора σ очевидна, покажем справедливость оценки (3.2). Используя (3.1), для каждого x ∈ E мы получаем: . Вычислим интеграл, стоящий в правой части последнего выражения: Так как ряд в формуле (3.3) сходится равномерно на отрезке [0,t1/α], то мы можем перейти к интегрированию произведения степенных функций в числителе, используя замену s = t1/ατ: Введем новую замену переменной θ = τα и воспользуемся формулами (2.1) и (2.2), тогда получим Теперь подставим найденное выражение в последний ряд из формулы (3.3), тогда имеем . Таким образом, оценка (3.2) установлена. Используя оценку (3.2), докажем второе утверждение леммы. Для каждого x ∈ E и имеем: . В силу непрерывности функции Миттаг-Леффлера последнее стремится к 0 при t2 → t1. Введем в рассмотрение интегральный оператор S : L∞([0,τ];E) → C([0,τ];E), заданный по формуле Разрешимость задачи (1.1)-(1.2) во многом обеспечивается за счет следующих утверждений относительно оператора S. Лемма 3.2. Оператор S обладает следующими свойствами: (S1) , (3.4) где M - константа из формулы (3.1); (S2) для каждого компактного множества K ⊂ E и ограниченной последовательности {ηn} ⊂ ⊂ L∞([0,τ];E) такой, что {ηn(t)} ⊂ K для п.в. t ∈ [0,τ], слабая сходимость в L1([0,τ];E) влечет сходимость S(ηn) → S(η0) в C([0,τ];E). Доказательство. (S1) Используя первое свойство из леммы 3.1, для любых ξ,η ∈ L∞([0,τ];E) имеем: Заметим, что функция Миттаг-Леффлера E1-α(-t1-α) является положительной и убывающей, поэтому на промежутке [0,τ] ее наибольшее значение равно 1. Учитывая этот факт, мы приходим к неравенству (3.4). (S2) Так как последовательности {ηn(t)} принимают свои значения в K для п.в. t ∈ [0,τ], то мы получаем оценку: , где χE - МНК Хаусдорфа в E. Это означает, что последовательность относительно компактна для каждого t ∈ [0,τ]. Возьмем произвольное ε > 0 и t1,t2 ∈ [0,τ] такие, что тогда для {ηn} мы имеем: , где . Используя неравенство (3.4) и условие (F3), мы можем для ε > 0 подобрать δ1 > 0 такое, что как только |t2 - t1| < δ1, будет справедлива следующая оценка: . Учитывая, что операторы σ(t) сильно непрерывны, по ε > 0 можно подобрать γ = γ(ε) > 0, для которого в свою очередь существует δ2 > 0 такое, что как только |t2 - t1| < δ2, выполнено: и мы имеем следующую оценку: . Таким образом для любого ε > 0 можно подобрать δ = min{δ1,δ2} такое, что: Поэтому последовательность {S (ηn)} равностепенно непрерывна. Из теоремы Арцела-Асколи получаем, что последовательность {S (ηn)} ⊂ C ([0,τ];E) относительно компактна. Из (S1) следует, что оператор S является линейным ограниченным, поэтому он непрерывен относительно топологии слабой секвенциальной сходимости, следовательно, из слабой сходимости вытекает . Теперь, учитывая, что {S(ηn)} относительно компактно, мы получаем сходимость S(ηn) → S(η0) в C([0,τ];E). Введем теперь в рассмотрение мультиоператор, заданный следующим образом: G(x) = g + S ◦ PF∞(x), где . (3.5) Нетрудно видеть, что функция x ∈ D является неподвижной точкой мультиоператора G тогда и только тогда, когда x[ϑ] ∈ C([-h,τ];E) - интегральное решение задачи (1.1)-(1.2). Поэтому мы вправе свести исходную задачу к задаче о существовании неподвижных точек G. В дальнейшем нам будет полезна следующая лемма. Лемма 3.3. Пусть Ω ⊂ C([0,τ];E) - непустое ограниченное множество и Ω(t) относительно компактно в E при каждом t ∈ [0,τ]. Тогда множество является равностепенно непрерывным в C([0,τ];E). Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0 и t1,t2 ∈ [0,τ] такие, что тогда для всякой функции f ∈ PF∞(Ω) мы имеем: , где . Используя свойство (S1) и условие (F3), можно подобрать δ1 > 0 такое, что неравенство |t2 - t1| < δ1, для f ∈ PF∞(Ω) влечет следующую оценку: . Поскольку Ω(t) относительно компактно при каждом t ∈ [0,τ], мы получаем, что χE (Ω(t)) ≡ 0. Тогда по лемме 2.2 для любого δ2 > 0 существует множество mδ2 ⊆ [0,τ] с лебеговой мерой mes(mδ2) < δ2, компактное множество Kδ2 ⊂ E и множество Δ ⊂ L1([0,τ];E) со значениями в Kδ2 такие, что найдется функция b ∈ Δ, для которой - . (3.6) Более того, функция b ∈ Δ может быть выбрана такой, что b(t) ≡ 0 на mδ2 и множество Δ слабо компактно в L1([0,τ];E). Тогда для Z2 получаем оценку: где , Теперь, используя (3.6), подберем δ2 > 0 таким, что , где R - радиус замкнутого шара в E, содержащего Kδ2. Тогда mes(. Так как операторы σ(t) сильно непрерывны, то по ε > 0 можно подобрать γ = γ(ε) > 0, для которого, в свою очередь, существует δ3 > 0 такое, что как только |t2 - t1| < δ3, выполнено: , и мы имеем следующую оценку: . Следовательно, для любого ε > 0 мы можем подобрать δ = min{δ1,δ2,δ3} такое, что для f ∈ PF∞(Ω) и |t2 - t1| < δ, то есть множество S ◦ PF∞(Ω) равностепенно непрерывно. Введем в пространстве C([0,τ];E), τ(0,a], МНК ν : Pb(C([0,τ];E)) → R2+ со значениями в конусе R2+, определенную как ν(Ω) = (ϕ(Ω),modC(Ω)), где ϕ(Ω) = sup χE(Ω(t)) - модуль послойной некомпактности, a вторая компонента - модуль t∈[0,τ] равностепенной непрерывности . Известно (см. [16, п. 2.1.3]), что МНК ν -монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная и правильная. Сформулируем условия, при которых мультиоператор G является уплотняющим. Теорема 3.1. При выполнении условий (A), (F1)-(F4) и условия (3.7) мультиоператор G является ν-уплотняющим. Доказательство. Пусть Ω ⊂ D - непустое ограниченное множество, такое, что при . Предположим, что . (3.8) Покажем, что Ω относительно компактно. Заметим, что теорему достаточно доказать для оператора S ◦PF∞, поскольку g, определенное по формуле (3.5), является однозначной непрерывной функцией. Так как МНК ν несингулярна, мы имеем . (3.9) Из (3.9) следует, что . (3.10) Применяя условие (F4), мы для получаем оценку: . Далее, применяя свойство (S2) для S ◦ PF∞, имеем оценку: . Тогда . Таким образом, (3.11) при ρ < 1. Сравнивая неравенства (3.10) и (3.11), мы приходим к равенству ϕ(Ω) = 0. Перейдем теперь к оценке модуля равностепенной непрерывности. Из (3.9) следует, что . (3.12) В тоже время, благодаря лемме 3.3, можно утверждать, что множество {S◦PF∞(Ω)} равностепенно непрерывно, поэтому modC(S ◦ PF∞(Ω)) = 0. Итак, мы получаем modC(Ω) = 0. Таким образом, ν(Ω) = (0,0), и мы заключаем, что Ω - относительно компактное множество, а мультиоператор G- уплотняющий относительно МНК ν. Теорема 3.2. Мультиоператор G - п.н.св. Доказательство. Так как g, определенное по формуле (3.5), является однозначной непрерывной функцией, то утверждение теоремы достаточно доказать для мультиоператора S ◦ PF∞. Покажем, что мультиотображение S ◦PF∞ является квазикомпактным. Возьмем непустое компактное множество U ⊂ D и рассмотрим произвольную последовательность {zn} ⊂ S ◦ PF∞(U). Тогда zn = S(fn), где fn ∈ PF∞(xn) для некоторой последовательности {xn} ⊂ U. Положим, без ограничения общности, что xn → x0 ∈ U. Из условия (F4) следует, что последовательность {fn(t)} ⊂ E относительно компактна для п.в. t ∈ [0,τ] и поэтому последовательность является L1-полукомпактной. По критерию Дистеля слабой относительной компактности (см. [11]) мы можем предположить, что для некоторой подпоследовательности {fnk}. Теперь, воспользовавшись известным свойством замкнутости суперпозиционного мультиоператора (см. [16, лемма 5.1.1]), мы получаем, что f0 ∈ PF∞(x0). Применяя лемму 3.2, мы получаем для соответствующей подпоследовательности: znk → z0 = S(f0) ∈ S ◦ PF∞(x0). Таким образом, мы обосновывали замкнутость мультиоператора S◦PF∞, и поэтому нам остается лишь сослаться на лемму 2.1. Докажем локальную теорему существования решений. Теорема 3.3. При выполнении условий (A), (F1)-(F4) и (3.7) существует τ ∈ (0,a] такое, что множество ΣFϑ [-h,τ] интегральных решений задачи (1.1)-(1.2) на промежутке [-h,τ] является непустым подмножеством пространства C([-h,τ];E). Доказательство. Возьмем число r > 0. Поскольку оператор-функция σ(t) сильно непрерывна, то мы можем выбрать 0 < τ1 < a таким, что для всех t ∈ [0,τ1]. (3.13) Далее подберем 0 < τ2 < a таким образом, чтобы , (3.14) где M - константа из (3.1). Пусть - замкнутый шар с центром σ(0)ϑ(0) и радиусом r, Выберем τ3 ∈ (0,a] так, чтобы , (3.15) где ωR - функция из условия Возьмем τ = min{τ1,τ2,τ3} и рассмотрим шар , где x0 - функция, тождественно равная σ(0)ϑ(0). Покажем, что мультиоператор G преобразует шар в себя. Если , тогда Из условия (F3) тогда получаем для п.в. t ∈ [0,τ], где f ∈ PF∞(x). Теперь рассмотрим функцию y ∈ G(x): Применяя неравенство (S1) и условие (F3), для t ∈ [0,τ] получим - откуда следует, что y ∈ Br(x0). Из теоремы 3.1 известно, что мультиоператор G - ν-уплотняющий, поэтому остается применить теорему 2.1. Для доказательства глобальной теоремы о существовании решений задачи (1.1)-(1.2) нам потребуется следующее условие подлинейного роста: существует функция такая, что , для п.в. t ∈ [0, a]. Теперь мы можем доказать главное утверждение настоящей статьи. Теорема 3.4. При выполнении условий , если где , задача (1.1)-(1.2) имеет интегральное решение на промежутке [-h,a]; более того, множество интегральных решений компактно в пространстве C([-h,a];E). Доказательство. Возьмем произвольную функцию x ∈ C([0, a];E) и z ∈ G(x). Используя свойство (S1) и условие , для произвольного f ∈ PF∞(x) и t ∈ [0, a] мы имеем оценку: , где Если мы возьмем тогда неравенство влечет оценку Поэтому мультиоператор G преобразует замкнутый шар BR(0) ⊂ C([0, a];E) в себя. Из теорем 3.1 и 3.2 мы знаем, что мультиоператор G является ν-уплотняющим и п.н.св. Следовательно, по теореме 2.1 мы получаем существование интегрального решения задачи (1.1)-(1.2). Из полученных выше оценок вытекает, что множество решений ΣFϑ [-h,a] ограничено. Тогда, применяя теорему 2.2, мы получаем, что множество ΣFϑ [-h,a] - компактно.

Об авторах

М. И. Каменский

Воронежский государственный университет

Email: mikhailkamenski@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5304-7636
SPIN-код: 3842-2200
Scopus Author ID: 26643406000
ResearcherId: O-5694-2015
Воронеж, Россия

Г. Г. Петросян

Воронежский государственный университет

Email: garikpetrosyan@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8154-6299
SPIN-код: 2904-8459
Scopus Author ID: 57193087838
ResearcherId: N-3799-2016
Воронеж, Россия

М. С. Сорока

Воронежский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: marya.afanasowa@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8722-520X
SPIN-код: 9322-8888
Scopus Author ID: 58771119600
ResearcherId: AAB-5873-2022
Воронеж, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы