Существование ренормализованного решения нелинейного эллиптического уравнения с L1-данными в пространстве Rn

Полный текст

1. Введение В работе рассматривается уравнение -diva(x,u,∇u) + b0(x,u) + b(x,u,∇u) = f, f ∈ L1(Rn), x ∈ Rn, (1.1) Rn = {x = (. Здесь функции a(x,s0,s) = (a1(x,s0,s),... ,an(x,s0,s)), b0(x,s0), b(x,s0,s) имеют рост, определяемый функцией Музилака-Орлича M(x,z). При этом на функцию M и сопряженную к ней функцию M не требуется дополнительное ограничение по переменной z (обычно это Δ2-условие). Предполагается, что по переменной x ∈ Rn функция M подчиняется условию φ-регулярности, что приводит к хорошим аппроксимационным свойствам нерефлексивного пространства Музилака-Орлича. Понятие ренормализованных и энтропийных решений служит основным инструментом для изучения общих вырождающихся эллиптических уравнений с правой частью в виде меры, в частности, из пространства L1(Ω), Ω ⊂ Rn. В работе [16] доказано существование ренормализованного решения задачи Дирихле -diva(x,∇u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω, (1.2) (1.3) © Л.М. Кожевникова, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 278 в пространствах Музилака-Орлича с неоднородной анизотропной функцией Музилака-Орлича. Авторы работ [8, 15] установили существование ренормализованного и энтропийного решений, соответственно, задачи Дирихле для уравнения вида -div(a(x,u,∇u) + c(u)) + a0(x,u,∇u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω, с функцией c ∈ C0(R,Rn). В работах [9, 14] (при a0 ≡ 0) и [22] доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле для уравнения вида -div(a(x,u,∇u) + c(x,u)) + a0(x,u,∇u) = f, f ∈ L1(Ω), x ∈ Ω, с каратеодориевой функцией c(x,s0) : Ω × R → Rn, подчиняющейся условию роста по переменной s0. В работе [20] доказаны существование и единственность энтропийных и ренормализованных решений задачи (1.2), (1.3), установлена их эквивалентность. Все перечисленные результаты получены в пространствах Музилака-Орлича для ограниченных областей Ω. Трудность в областях с бесконечной мерой состоит в том, что не работают теоремы вложения и аналог неравенства типа Фридрихса, поэтому установить ключевое соотношение (4.7) весьма проблематично. Автор решает эту проблему за счет свойств младшего члена b0(x,u) уравнения (1.1). Кроме того, важную роль в полученных результатах имеет теорема об аппроксимации элементов нерефлексивного пространства Музилака-Орлича-Соболева гладкими функциями (см. лемму 2.1). В работе [3] без ограничений на меру строго липшицевой области Ω доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле (1.1), (1.3) с функцией в нере- 0 флексивных пространствах Музилака-Орлича-Соболева. При этом на младший член b(x,s0,s) уравнения (1.1) накладывается условие знакоопределенности по переменной s0 ∈ R: . (1.4) Другим путем в работе [1] в неограниченных областях установлено существование энтропийного решения задачи Дирихле для нелинейного эллиптического уравнения второго порядка с сингулярным мерозначным потенциалом. При этом на сопряженную функцию M накладывается Δ2условие, а младший член уравнения удовлетворяет условию знака. Следует отметить, что впервые в неограниченных областях, допускающих бесконечную меру, для функции M(x,z) = |z|p(x) существование энтропийного и ренормализованного решений уравнения (1.1) в анизотропных пространствах с переменными показателями нелинейностей было установлено в работах [4, 17, 18]. Более полный обзор результатов представлен в работе [5]. В ограниченных областях вопросы существования энтропийных и ренормализованных решений нелинейных эллиптических задач без условия (1.4) исследовались в работах [6, 13] и др. В настоящей работе впервые в пространстве Rn без условия знакоопределенности (1.4) доказано существование ренормализованного решения уравнения (1.1) в нерефлексивных пространствах Музилака-Орлича-Соболева. 2. Пространства Музилака-Орлича В этом разделе будут приведены необходимые сведения из теории обобщенных N-функций и пространств Музилака-Орлича (см. [21]). Определение 2.1. Пусть функция M(x,z) : Rn+1 → R+ удовлетворяет следующим условиям: 1) M(x,·) - N-функция по z ∈ R, т. е. она является выпуклой вниз, неубывающей при z ∈ R+, четной, непрерывной, M(x,0) = 0 для п. в. x ∈ Rn, и vrai inf M(x,z) > 0 для всех , (2.1) x∈Rn lim vrai sup , z→0 x∈Rn M(x,z) lim vrai inf = ∞; (2.2) z→∞ x∈Rn z 2) M(·,z) - измеримая функция по x ∈ Rn для любых z ∈ R. Такая функция M(x,z) называется функцией Музилака-Орлича, или обобщенной N-функцией. Сопряженная функция M(x,·) к функции Музилака-Орлича M(x,·) в смысле Юнга для п. в. x ∈ Rn и любых z 0 определяется равенством . Отсюда следует неравенство Юнга: , x ∈ Rn. (2.3) Следует отметить, что M также является N-функцией (см. [21, пункты 13.4 и 13.6]). Если для каждой положительной константы l имеем: lim vrai supили lim vrai sup, (2.4) z→0 x∈Rn (x,z) z→∞ x∈Rn (x,z) то это обозначается P ≺≺ M и говорят, что P растет медленнее, чем M, в 0 или ∞. Функция Музилака-Орлича N удовлетворяет Δ2-условию, если существуют константы c > 0, z0 0 и функция H ∈ L1(Rn) такие, что для п. в. x ∈ Rn и любых справедливо неравенство . В настоящей работе не предполагается, что N-функция M и ее сопряженная M удовлетворяют Δ2-условию. Существуют три класса Музилака-Орлича: 1) LM(Rn) - обобщенный класс Музилака-Орлича, состоящий из измеримых функций v : Rn → R таких, что ; 2) LM(Rn) - обобщенное пространство Музилака-Орлича, являющееся наименьшим линейным пространством, которое содержит класс LM(Rn), с нормой Люксембурга ; 3) EM(Rn) - наибольшее линейное пространство, содержащееся в классе LM(Rn). Очевидно, EM(Rn) ⊂ LM(Rn) ⊂ LM(Rn). Заметим, что для любого v ∈ EM(Rn) и любого μ > 0 справедливо неравенство . Кроме того, для любого v ∈ LM(Rn) найдется λ > 0 такое, что Ниже в обозначениях будем опускать индекс Q, если Q = Rn. Далее будем рассматривать следующие условия на функцию Музилака-Орлича M(x,z). (M1,loc): Функция M(x,z) локально интегрируема, т. е. , для любого измеримого множества Q ⊂ Rn такого, что measQ < ∞. (M2): Функция M(x,z) удовлетворяет условию φ-регулярности, если существует функция φ : [0,1/2] × R+ → R+ такая, что φ(·,z) и φ(r,·) -неубывающие функции, и для всех и некоторой константы c > 0 выполняется . Заметим, что из условий (M1,loc), (M2) следует ограниченность функции M(·,z) по x ∈ Q, measQ < ∞, для любого фиксированного z ∈ R. Пусть M и M подчиняются условию (M1,loc). Тогда пространство EM(Rn) является замыканием по норме простых интегрируемых функций (см. [21, Theorem 7.6]). Пространство EM(Rn) - сепарабельное, и (EM(Rn))∗ = LM(Rn). Если M удовлетворяет Δ2-условию, то EM(Rn) = LM(Rn) = LM(Rn) и LM(Rn) -сепарабельное. Пространство LM(Rn) рефлексивно тогда и только тогда, когда функции Музилака-Орлича M и M удовлетворяют Δ2-условию. Для v ∈ LM(Rn) справедливо неравенство: . Последовательность функций {vj}j∈N из LM(Rn) модулярно сходится к v ∈ LM(Rn) (vj j-→∞M→ v), если существует константа λ > 0 такая, что . Если M удовлетворяет Δ2-условию, то модулярная топология и топология по норме совпадают. Также для двух сопряженных функций Музилака-Орлича M и M, если u ∈ LM(Rn) и v ∈ LM(Rn), выполняется неравенство Гельдера: . Определим пространство Музилака-Орлича-Соболева с нормой ∈ 1LM(Rn), если существует константа. Последовательность функцийλ > 0 такая, что{vj}j∈N из W1LM(Rn) модулярно сходится к v W . Для краткости записи введем обозначения (LM(Rn))n = LM(Rn), (LM(Rn))n+1 = LM(Rn), (EM(Rn))n = EM(Rn), (EM(Rn))n+1 = EM(Rn). Пространство W1LM(Rn) отождествляется с подпространством произведения LM(Rn) и является замкнутым по слабой топологии σ(LM,EM). Сформулируем теорему о плотности гладких функций в пространстве Музилака-Орлича- Соболева (см. [7, Theorem 1]). Лемма 2.1. Предположим, что N-функция M удовлетворяет условиям (M1,loc) и (M2), и пусть M удовлетворяет условию (M1,loc). Тогда для любого v ∈ W1LM(Rn) существует последовательность функций такая, что vj -M→ v модулярно в W1LM(Rn), j → ∞. j→∞ Примеры функций Музилака-Орлича M, удовлетворяющих условиям леммы 2.1: 1) N-функция M(x,z) = M(z); 2) M1(x |p 1, где0 x∈R x∈Rn такая, что для всех x, и выполняется неравенство . 3. Формулировка результата Предполагается, что функции a(x,s0,s) : R2n+1 → Rn, b(x,s0,s) : R2n+1 → R, b0(x,s0) : Rn+1 → R, входящие в уравнение (1.1), измеримы по x ∈ Rn для s0 ∈ R, s ∈ Rn, непрерывны по s0 ∈ R, s ∈ Rn, для почти всех x ∈ Rn и выполнено следующее условие. Условие (M). Существуют неотрицательные функции ψ,ψ0 ∈ EM(Rn), φ ∈ L1(Rn) и положительные константы a, такие, что для п. в. x ∈ Rn и для любых s0,t0 ∈ R, = t справедливы неравенства: a(x,s(x); (3.1) )); (3.2) 0; (3.3) ); (3.4) |. (3.5) Здесь функция Музилака-Орлича M(x,z) подчиняется условиям (M1,loc), (M2), сопряженная к M функция M(x,z) удовлетворяет условию (M1,loc). Функция Музилака-Орлича P(x,z) / такова, что P ≺≺ M в окрестности. Кроме того, пусть существует неотрицательная функция Φ ∈ L1(Rn), непрерывная положительная функция такие, что при п. в. x ∈ Rn для всех s0 ∈ R, s ∈ Rn справедливо неравенство: (3.6) Определим срезающую функцию Tk(r) = max(-k,min(k,r)). Через TM1 (Rn) обозначим множество измеримых функций u : Rn → R таких, что Tk(u) ∈ W1LM(Rn) при любом k > 0. Для любой функции u ∈ TM1 (Rn) и любого k > 0 имеем: ∇Tk(u) = χ{|u|<k}∇u ∈ LM(Rn), где χQ - характеристическая функция измеримого множества Q и ∇u - обобщенный градиент u. Введем обозначение. Определение 3.1. Ренормализованным решением уравнения (1.1) называется функция u ∈ TM(Rn) такая, что для любого k > 0 выполнены условия: 1 1) b(x,u,∇u) ∈ L1(Rn); 3) 2) a(xb0(x,u,,u)∇χu{R)χn:{|uR|n<:|ku}|<∈k}L∈ML(RMn)R; n); ( 4) x = 0; и для любых функций S ∈ C01(R), ξ ∈ C01(Rn) справедливо равенство: . (3.7) Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (M), тогда существует ренормализованное решение уравнения (1.1). Следует отметить, что в работе [19] без ограничений на меру строго липшицевой области Ω ⊂ Rn при тех же требованиях на функцию M для уравнения -diva(x,, x ∈ Ω, при условии монотонности функции b(·,s0) установлена эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений задачи Дирихле и доказана их единственность. 4. Подготовительные сведения В этом разделе будут приведены вспомогательные леммы. Предполагается, что выполнено условие (M). Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны. Приведем теорему Витали в следующей форме (см. [2, гл. III, § 6, теорема 15]). Лемма 4.1. Пусть Ω ⊆ Rn и {vj}j∈N -последовательность функций из L1(Ω) такая, что vj → v п. в. в Ω, j → ∞. Для сходимости vj → v сильно в L1(Ω), j → ∞, необходимо и достаточно, чтобы последовательность функций {vj}j∈N имела равностепенно абсолютно непрерывные интегралы: для любого ε > 0 существуют δ > 0 и измеримое множество Qε ⊂ Ω, measQε < ∞ такие, что для любого Q ⊂ Ω, measQ < δ, j ∈ N; . Замечание 4.1. Очевидно, в случае measΩ < ∞ условие (ii) вытекает из условия (i). Пользуясь выпуклостью функции M, из (3.2) выводим оценку: c функцией Ψ ∈ L1(Rn). Применяя (2.3), (4.1), для s1,s2 ∈ Rn и любого μ > 0 устанавливаем неравенства . (4.2) Заметим, что ввиду P ≺≺ M, согласно (2.4), для любого ε > 0 найдется C(ε) такое, что для п. в. x ∈ Rn и z ∈ R справедливо неравенство: . (4.3) Применяя (2.3), (3.5) и выпуклость функции M, для s0 ∈ R устанавливаем неравенства , (4.4) (4.5) c функцией Ψ0 ∈ L1(Rn). Предложение 4.1. Пусть v : Rn → R-измеримая функция такая, что при всех имеем Tk(v) ∈ W1LM(Rn) и справедливо неравенство , (4.6) тогда для любого ε > 0 найдётся такое, что справедливо неравенство: meas. (4.7) Доказательство. Из неравенства (4.6), пользуясь монотонностью функции M(x,s0)/s0 по переменной s0, выводим соотношения meas . Отсюда, применяя (2.2), устанавливаем (4.7). Лемма 4.2Rn) такая, что имеет место сходимость(см. [10, Lemma 2]). Пусть {vj}j∈N -ограниченная последовательность функций из LM( vj → v п. в. в Rn, j → ∞, (4.8) тогда, в топологии σ(LM,EM) пространства LM(Rn). Имеем следствие из теоремы Витали. Лемма 4.3 (см. [7, Lemma 2]). Пусть v, {vj}j∈N -функции из LM(Rn) и vj →M v модулярно в LM(Rn), j → ∞. Тогда, в топологии σ(LM,LM) пространства LM(Rn). Лемма 4.4. Пусть {vj}j∈N -ограниченная последовательность функций из L∞(Rn) такая, что имеет место сходимостьRn). (4.8), тогда, в топологии σ(L∞,L1) пространстваЕсли, кроме того,L∞( g ∈ LM(Rn) (g ∈ EM(Rn)), то vjg → vg модулярно (сильно) в LM(Rn) (в EM(Rn)), j → ∞. Доказательство леммы 4.4 следует из теоремы Лебега. Замечание 4.2. Пусть {vj}j∈N, v - измеримые в Rn функции такие, что имеет место сходимость (4.8). Тогда п. в. на Rn, j → ∞ для таких k, что meas{Rn : |v| = k} = 0. (4.9) Таких k, для которых условие (4.9) не выполнено, может быть не более чем счетное число. Положительные числа k, для которых выполнено условие (4.9), будем называть «правильными» для функции v (см. [12, Lemma 9]). Лемма 4.5 (см. [21, Definition 9.1, Lemma 9.2]). Пусть {vj}j∈N -последовательность функций из EM(Ω). Для сходимости vj → 0 в EM(Ω), j → ∞, необходимо и достаточно, чтобы для любого измеримого Q ⊂ Ω, measQ < ∞, vj → 0 по мере в Q, j → ∞, и семейство функций {vj}j∈N имело равностепенно абсолютно непрерывные нормы: для любого ε > 0 существует измеримое множество Qε ⊂ Ω, measQε < ∞ и δ > 0 такие, что для любого Q ⊂ Qε, measQ < δ, j ∈ N; . Лемма 4.6. Пусть M подчиняется условию (M1,loc), тогда для любой функции v ∈ EM(Ω), meas(Ω) < ∞, ее норма абсолютно непрерывна, т. е. выполнены условия (iii),(iv). Доказательство следует из [21, Lemma 13.16] и плотности ограниченных функций в EM(Ω). Утверждение 4.1. Пусть Q -ограниченное подмножество Rn и выполнены условия (3.1)- (3.3) и для некоторого фиксированного k > 0 для последовательности функций (Tk(um),∇Tk(um)) ∈ LM(Q), m ∈ N, справедливы условия: по топологии σ(LM,EM) в LM(Q), m → ∞, Tk(um) → Tk(u) п. в. в Q, m → ∞, a(x,Tk(um),∇Tk(um)), m ∈ N, ограничена в LM(Q); x = 0, Q (x) = (a(x,Tk(um),∇Tk(um)) - a(x,Tk(um),∇Tk(u)χs)) · (∇Tk(um) - ∇Tk(u)χs), (4.10) где χs -характеристическая функция множества. Тогда по некоторой подпоследовательности ∇Tk(um) → ∇Tk(u) п. в. в Q, m → ∞, ∇Tk(um) → ∇Tk(u) модулярно в LM(Q), m → ∞, a(x,Tk(um),∇Tk(um)) · ∇Tk(um) → a(x,Tk(u),∇Tk(u)) · ∇Tk(u) в L1(Q), m → ∞. Доказательство утверждения см. в [5, Лемма 4.10] и [3, Утверждение 1]. Лемма 4.7. Пусть gj, j ∈ N, g -такие функции из пространства L1(Rn), что gj 0 п. в. в Rn, gj → g сильно в L1(Rn), j → ∞, и пусть vj, j ∈ N, v -измеримые функции в Rn такие, что имеет место сходимость (4.8) и п. в. в Rn. Тогда . 5. Доказательство существования ренормализованного решения 5.1. Аппроксимационная задача. Положим fm(x) = Tmf(x)χU(m), Несложно показать, что U(m) = {x ∈ Rn : |x| < m}, m ∈ N. fm → f и при этом в L1(Rn), m → ∞, (5.1) , x ∈ Rn, m ∈ N. (5.2) Рассмотрим уравнения , x ∈ Rn, m ∈ N, (5.3) c функциями am(x,s0,s) = a(x,T,s) = bm(x,s0,s) + b0(x,s0). Здесь a,s) = Tmb(x,s0,s)χU(m). Очевидно, что , x. (5.4) Для каждого m ∈ N существует обобщенное решение um ∈ W˚ 1LM(U(m)) уравнения (5.3) (см. [11, Theorem 13]). Продолжим um нулем на Rn \ U(m), тогда для любой функции v ∈ выполняется интегральное равенство . (5.5) 5.2. Оценки для приближенных решений. Установим априорные оценки для последовательности {um}m∈N. Пусть тогда. Очевидно, что b ограничена на R+, следовательно, справедлива оценка. Положив в (5.5), будем иметь x + x + a(x,T. Далее выводим x + x + (5.6) a(x,Tx x + . Применяя (3.4), оценим второй интеграл слева в неравенстве (5.6) x . (5.7) {h|um|} Применяя (3.1), (3.6), оценим третий интеграл слева в неравенстве (5.6) a(x,Tx x (5.8) x . Соединяя оценки (5.6)-(5.8), выводим неравенство (a(x,Tm(um),∇um) · ∇um + φ)dx + (5.9) + x, где φ1 - положительная функция из пространства L1(Rn). Отсюда следует неравенство x + (5.10) . В частности, полагая в (5.9) h = 0, устанавливаем неравенство x + (5.11) Отсюда, применяя (3.1), выводим x (5.12) Из оценки (5.12) имеем x = x + x (5.13) {|um|<k} Кроме того, из (5.12) следует оценка (5.14) Из оценки (5.11), в частности, имеем (5.15) Кроме того, из оценок (5.13), (5.14) выводим (5.16) 5.3. Сходимость почти всюду. Из оценки (5.12), согласно предложению 4.1, имеем: meas равномерно по m ∈ N, ρ → ∞. (5.17) Из (5.10) при k = 1 для любого h > 0 получаем: x + . Ввиду того, что φ1,φ ∈ L1(Rn), и абсолютной непрерывности интеграла в правой части последнего неравенства, учитывая (5.17), для любого ε > 0 можно выбрать достаточно большое такое, что для h h справедлива оценка: x + (5.18) . Так же, как в [3], устанавливаются сходимость по подпоследовательности: um → u п. в. в Rn, m → ∞, (5.19) и для любого k > 0 имеем сходимости: по топологии σ(LM,EM) в W1LM(Rn), m → ∞, (5.20) Tk(um) → Tk(u) п. в. в Rn, m → ∞. (5.21) Выполняя предельный переход в (5.13) по m → ∞, заключаем принадлежность . Отсюда, применяя оценку (4.5), заключаем, что условие 2) определения 3.1 выполнено. Далее докажем, что для любой функции S ∈ C01(R) имеет место сходимость b0(x,um)S(um) → b0(x,u)S(u) в L1,loc(Rn), m → ∞. (5.22) Учитывая сходимость (5.19), имеем: b0(x,um)S(um) → b0(x,u)S(u) п. в. в Rn, m → ∞. (5.23) Пусть Q - произвольное измеримое подмножество в Rn, а функция S ∈ C01(R) такая, что supp S ⊂ [-K,K] для для любого r ∈ R. Пользуясь (4.4), получаем следующие соотношения: x Q . Отсюда, ввиду принадлежности M(x,K) ∈ L1,loc(Rn), заключаем равномерную интегрируемость последовательности {|b(x,um)S(um)|}m∈N для любого Q ⊂ Rn : meas Q < ∞. Учитывая сходимость (5.23), применяя лемму 4.1, устанавливаем сходимость (5.22). 5.4. Модулярная сходимость градиентов от срезок. Докажем сходимости ∇Tk(um) → ∇Tk(u) модулярно в LM,loc(Rn), m → ∞, (5.24) a(x,Tk(um),∇Tk(um)) · ∇Tk(um) → a(x,Tk(u),∇Tk(u)) · ∇Tk(u) в L1,loc(Rn), m → ∞. (5.25) Пусть w ∈ EM(Ω) произвольное, из условия (3.3) следует неравенство (a(x,Tk(um),∇Tk(um)) - a(x,Tk(um),w)) · (∇Tk(um) - w) 0. (5.26) Отсюда получаем: (5.27) Далее, применяя (4.1), (4.3) (ε = 1), выводим . Отсюда, применяя (5.13), устанавливаем оценку (5.28) Соединяя (5.27), (5.11), (5.16), (5.28), получаем оценку: . Применяя принцип равномерной ограниченности, при любом k > 0 имеем оценку: (5.29) Из оценки (5.29) следует сходимость по подпоследовательности a(x,T по топологии σ(LM,EM) в LM(Rn), m → ∞. (5.30) Для положительных вещественных чисел m,j,s обозначим через ω(m,j,s) любую величину такую, что lim lim lim ω(m,j,s) = 0. s→+∞ j→+∞ m→+∞ Пусть h,k, h - 1 > k > 0. Согласно лемме 2.1, существует последовательность функций: vj → Tk(u) модулярно в W1LM(Rn), j → ∞, тогда Tk(vj) → Tk(u) модулярно в W1LM(Rn), j → ∞. (5.31) Отсюда, согласно лемме 4.1, следует, что найдется λ > 0 такое, что для последовательностей выполнены условия (i),(ii) (5.32) и справедлива сходимость по некоторой подпоследовательности J ⊂ N (см. [21, Remark 7.9]: Tk(vj) → Tk(u), ∇Tk(vj) → ∇Tk(u) п. в. в Rn, j → ∞. (5.33) Замечание 5.1. Пользуясь выпуклостью функции M(x,·) и тем, что Tk(u) ∈ W1LM(Rn), несложно установить эквивалентность (5.32) условию: подчиняются условиям (i),(ii) c некоторым λ1 > 0. Кроме того, согласно лемме 4.3, имеем: по топологии σ(LM,LM), j → ∞. Полагаем , . Очевидно, что . Отсюда следуют неравенства . (5.34) Ввиду (5.21), (5.33) имеем: п. в. в Rn, m → ∞, (5.35) п. в. в Rn, j → ∞, (5.36) а также , (5.37) (5.38) Применяя (5.35)-(5.38), по лемме 4.4 устанавливаем сходимости: в топологии σ(L∞,L1) пространства L∞(Rn), m → ∞, (5.39) в топологии σ(L∞,L1) пространства L∞(Rn), j → ∞. (5.40) Кроме того, для любой функции g ∈ EM(Rn), применяя лемму 4.4, устанавливаем сходимости ϕk(zmj)g → ϕk(zj)g сильно в EM(Rn), m → ∞, (5.41) ϕk(zj)g → 0 сильно в EM(Rn), j → ∞. (5.42) Введем обозначения для характеристических функций множеств {x ∈ Rn : , соответственно. Будем рассматривать «правильные» k,s, для которых meas{Rn : |u| = k} = 0 и meas{Rn : |∇Tk(u) Положим . Для краткости записи будем использовать обозначения ζhm-1 = ηh-1(|um|), ζh-1 = ηh-1(|u|), ηR = ηR(|x|). Из (5.19), (5.33) для правильных k,s следуют сходимости: п. в. в Rn, m → ∞, (5.43) χjs → χs kχm → kχ п. в. в п. в. в Rn, Rn, j → ∞, m → ∞. (5.44) (5.45) Принимая в качестве тестовой функции в (5.5) , получим x + x + (5.46) x = Оценки интегралов I2-I4. Ввиду оценки (4.4) имеем: ); из сходимостей (5.39), (5.40), имеем: . (5.47) Аналогично, благодаря (5.2), ввиду f ∈ L1(Rn) получаем . (5.48) Применяя (5.4), (3.6), оценим интеграл x . R Используя (3.1), выводим x + x + x = (5.49) = I21 + I22 + I23. Учитывая то, что при выводим x + (5.50) x + x = = I11 - I12 + I13 - I14 + I15. Теперь, используя то, что I15 = I23, I22 = I14, и оценки интегралов (5.47)-(5.50), из (5.46) выводим неравенства (5.51) Далее, учитывая (3.1), получаем x + x + (5.52) . Ввиду (5.39), (5.40), имеем: I211 = ω(m,j). (5.53) Благодаря (5.18), заключаем: . (5.54) Применяя оценку (5.29) и сходимости (5.41), (5.42) c g = χU(R+1), устанавливаем соотношения . (5.55) Соединяя (5.51)-(5.55), устанавливаем (5.56) Представление I5. Выполняя элементарные преобразования, выводим равенства x = x = x + x + . Очевидно равенство (5.57) x + x + x = Rn Оценки интегралов Применяя (5.19), (5.35), (5.37) и лемму 4.4 c g = ∇Tk(vj)χjsηR ∈ EM(Rn), получаем сильно в EM(Rn), m → ∞. Отсюда, ввиду сходимости (5.30), устанавливаем . Применяя (5.33), (5.36), (5.38), (5.44), по теореме Лебега устанавливаем: I52 = ωR(m,j). (5.58) Применяя (5.35), (5.37), (5.45) и лемму 4.4 c g = ∇Tk(vj)χjsηR ∈ EM(Rn), получаем сильно в EM(Rn), m → ∞. Отсюда, ввиду сходимостей (5.30), (5.43), устанавливаем . Далее, применяя (5.33), (5.36), (5.38), (5.44), по теореме Лебега заключаем: . (5.59) Далее, применяя (5.35), (5.37), (5.43) и лемму 4.4 c, получаем - - - - сильно в EM(Rn), m → ∞. Отсюда, ввиду сходимости (5.30), устанавливаем . Применяя (5.36), (5.38), (5.44), (5.31) и лемму 4.1 (см. замечание 5.1), получаем модулярно в LM(Rn), j → ∞. Отсюда, ввиду принадлежности , имеем: . Из (5.56)-(5.60) следует, что I54 = R( ) (5.60) В силу того, что, имеем: ω m,j,s . . (5.61) Оценим интеграл x = (5.62) . Из (5.19), (5.21) следует сходимость a(x,T п. в. в Rn, m → ∞, а из (3.2), (4.3) имеем оценки . Пользуясь ограниченностью функции M(·,z) по x ∈ U(R + 1), для любых фиксированных z ∈ R устанавливаем оценку . Отсюда, учитывая (5.34), (5.35), по леммам 4.5, 4.6 получаем сходимость a(x,T сильно в EM(Rn), m → ∞. (5.63) Применяя (5.63), (5.20), выводим . Применяя оценку (4.2) и сходимости (5.33), (5.36), (5.44), по теореме Лебега устанавливаем . Наконец, благодаря a(x,T (см. (4.2)) получаем I61 = ωR(m,j,s). (5.64) Соединяя (5.62), (5.64), (5.61) и применяя (5.34), выводим (5.65) Используя обозначение (4.10), имеем x + (5.66) . Для интегралов I71-I73 справедливы оценки (см. [3]): I71 = ωR(m,j), I72 = ωR(m,s), I73 = ωR(m,j,s). (5.67) Соединяя (5.65)-(5.67), получаем . Ввиду того, что левая часть последнего неравенства не зависит от j,h, переходя последовательно к пределам по m → ∞, j → ∞, s → ∞, устанавливаем соотношение . Выполняя предельный переход при h → ∞, выводим соотношение x = 0. U(R) По утверждению 4.1 (Q = U(R)) ввиду произвольности R > 0 имеем сходимости (5.24), (5.25) и сходимость ∇Tk(um) → ∇Tk(u) п. в. в Rn, m → ∞. (5.68) Далее так же, как в [4, 5.5], устанавливается сходимость по подпоследовательности ∇um → ∇u п. в. в Rn, m → ∞. (5.69) 5.5. Предельный переход. Используя оценку (5.29) и сходимости (5.21), (5.68), по лемме 4.2 устанавливаем слабую сходимость a(x,T (5.70) в топологии пространства LM(Rn), m → ∞. Из непрерывности b(x,s0,s) по (s0,s) и сходимостей (5.19), (5.69) следует, что п. в. в Rn, m → ∞. (5.71) Из оценки (5.15), ввиду (5.71), согласно лемме Фату заключаем, что b(x,u,∇u) ∈ L1(Rn). Таким образом, условия 1), 3) определения 3.1 выполнены. Далее, сходимость в L1,loc(Rn), m → ∞. (5.72) устанавливается так же, как в [5, Шаг 6]. Докажем, что u является ренормализованным решением уравнения (1.1). Условия 1), 2), 3) определения 3.1 доказаны. Докажем условие 4). Применяя (3.1), из неравенства (5.10) получаем . Отсюда, пользуясь сходимостями (5.69), (5.19), применяя теорему Лебега и лемму Фату, выполним предельный переход при m → ∞ для правильных h и получим неравенство: x. (5.73) Отсюда, в частности, справедлива оценка вида (4.6). Тогда согласно предложению 4.1 имеем: meas. (5.74) Выполняя предельный переход в (5.73) при h → ∞, пользуясь (5.74), устанавливаем соотношение x = 0. Докажем равенство (3.7). Пусть и функция S ∈ C01(R) такая, что supp S ⊂ [-K,K], K > 0. Пусть {um}m∈N - последовательных слабых решений уравнения (5.3). Взяв в качестве тестовой функции в (5.5), выводим равенство . (5.75) Очевидно, что x = x + (5.76) . Ввиду сходимостей (5.19), (5.25), применяя лемму 4.7, устанавливаем . (5.77) Из сходимости (5.19) по лемме 4.4 получаем: S(um)∇ξ → S(u)∇ξ сильно в Отсюда, учитывая сходимость (5.70), выводим: EM(Rn), m → ∞. . (5.78) Соединяя (5.76)-(5.78), получаем: x = (5.79) По лемме 4.4 имеем в топологии σ(L∞,L1), m → ∞. Тогда, ввиду сходимостей (5.1), (5.22), (5.72), устанавливаем равенство: . (5.80) Комбинируя (5.75), (5.79), (5.80), получаем равенство (3.7). Таким образом, приходим к выводу, что u является ренормализованным решением уравнения (1.1).

Об авторах

Л. М. Кожевникова

Уфимский университет науки и технологий; Елабужский Институт Казанского Федерального университета

Автор, ответственный за переписку.
Email: kosul@mail.ru
Уфа, Россия; Елабуга, Россия

Список литературы