Задача об успокоении системы управления с последействием с различным числом входов и выходов

Полный текст

Введение Впервые задача об успокоении системы управления с последействием рассматривалась Н. Н. Красовским [7]. Поведение системы управления описывалось системой линейных диффе- ренциально-разностных уравнений запаздывающего типа с постоянными коэффициентами и по- стоянным запаздыванием. В работах [11, 15] задача Н. Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием была обобщена на случай, когда уравнение, описывающее управ- ляемую систему, содержит также старшие члены с запаздыванием, т. е. имеет нейтральный тип. Многомерная система управления с постоянными матричными коэффициентами исследовалась в [9, 12], а многомерная нестационарная система управления нейтрального типа рассматривалась в [1-4]. Системы управления с последействием запаздывающего типа изучались в [5, 8, 10]. От- метим также работы [13, 14], посвященные исследованию систем нейтрального типа с малыми коэффициентами при членах с запаздыванием. Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для систем дифференциально-раз- ностных уравнений нейтрального типа, к которым сводится задача об успокоении многомерных нестационарных систем управления нейтрального типа с различным числом входом и выходов. Статья построена следующим образом. В первом разделе содержится введение, второй раздел посвящен постановке задачи об успокоении многомерной системы управления с последействи- ем. В третьем разделе установлена связь между вариационной задачей, описывающей модель успокоения системы управления с последействием запаздывающего типа, и краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка. В четвертом разделе доказа- ны априорные оценки, сформулирована теорема об однозначной разрешимости рассматриваемой краевой задачи и построено фридрихсово расширение, соответствующее краевой задаче. Постановка задачи Рассмотрим линейную систему управления, описываемую системой дифференциально-разност- ных уравнений M M \ Ak(t)y×(t - kτ )+ \ Bk (t)y(t - kτ )= u(t), 0 < t < T. (2.1) k=0 k=0 Здесь y(t) = (y1(t),... , ym(t))T - неизвестная вектор-функция, описывающая состояние систе- мы, u(t) = (u1(t),... , un(t))T - вектор-функция управления, Ak (t), Bk (t) = {ak (t)}, {bk (t)}, ij ij i = 1,... , n, j = 1,... ,m - матрицы порядка n × m с элементами ak (t), bk (t), которые являются ij ij вещественными непрерывно дифференцируемыми функциями на R, τ = const > 0 - запаздыва- ние. Предыстория системы задается начальным условием y(t)= ϕ(t), t ∈ [-Mτ, 0]. (2.2) Здесь ϕ(t)= (ϕ1(t),... , ϕm(t))T - некоторая вектор-функция. Рассмотрим задачу о приведении системы (2.1) с начальным условием (2.2) в положение рав- новесия при t ):: T. Для этого мы найдем такое управление u(t), 0 < t < T, что: y(t)= 0, t ∈ [T - Mτ, T ], (2.3) где T > (M + 1)τ, T - Mτ = τN. Будем искать управление, доставляющее минимум функционалу энергии T r |u(t)|2dt → min, 0 где |· | - евклидова норма в Rn. Таким образом, в силу (2.1) мы получаем вариационную задачу о минимуме функционала r T M M 2 J (y) := \ Ak (t)y×(t - kτ )+ \ Bk (t)y(t - kτ ) dt → min . (2.4) 0 k=0 k=0 Вариационная и краевая задачи Для того, чтобы установить взаимосвязь между вариационной задачей (2.4), (2.2), (2.3) и со- ответствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений, введем некоторые вспомогательные обозначения для различных вещественных функциональных про- странств. В данной статье рассмотрим случай n > m. Обозначим через C(R) пространство непрерывных и ограниченных на R функций с нормой: ||x(t)||C(R) = sup |x(t)|. t∈R Пусть Ck(R),k ∈ N, - пространство непрерывных и k раз непрерывно дифференцируемых функций на R, ограниченных на R вместе со всеми производными вплоть до k-го порядка, с нормой || || x(t) Ck (R) = max 0 i k sup |x(i)(t)|. t∈R 2 Обозначим через W k(a, b) пространство абсолютно непрерывных на [a, b] функций, имеющих производную k-го порядка из L2(a, b), со скалярным произведением 2 (a,b) (v, w)W k b k r = \ v(i)(t)w(i)(t)dt. i=0 a Пусть W˚ k(a, b)= {w ∈ W k(a, b): w(i)(a)= w(i)(b)= 0,i = 0,... ,k - 1}. 2 2 Введем пространства вектор-функций m m m Lm n k,m n k k,m n ˚ k 2 (a, b)= i=1 L2(a, b), W2 (a, b)= i=1 W2 (a, b), W˚2 (a, b)= i=1 W2 (a, b) со скалярными произведениями (v, w)Ln n = \(v ,w ) , 2 (a,b) i i=1 n \ i L2 (a,b) W k,n (v, w) = 2 (a,b) где v = (v1,... , vm)T , w = (w1,... , wm)T . i=1 2 (a,b) (vi, wi)W k , Обозначим через C˙ ∞,m(a, b) прямое произведение m линейных многообразий C˙ ∞(a, b), где C˙ ∞(a, b) - множество финитных бесконечно дифференцируемых функций на (a, b). Покажем, что вариационная задача (2.2)-(2.4) эквивалента краевой задаче для системы диф- ференциально-разностных уравнений второго порядка. Воспользуемся схемой доказательств из [3]. Пусть y ∈ W 1,m(-Mτ, T ) - решение вариационной задачи (2.2)-(2.4), где ϕ ∈ W 1,m(-Mτ, 0). 2 2 Введем пространства 2 L = {v ∈ Lm(-Mτ, T ): v(t)= 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T )}, 2 W = {v ∈ W 1,m(-Mτ, T ): v(t)= 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T )}. Мы будем часто отождествлять пространство L W˚ 1,m 2 (0,T - Mτ ), не оговаривая этого специально. 2 c Lm(0,T - Mτ ), а пространство W с W 1,m Пусть v ∈ W - произвольная фиксированная функция. Тогда функция y + sv принадлежит 2 (-Mτ, T ) и удовлетворяет краевым условиям (2.2), (2.3) для всех s ∈ R. Обозначим J (y + sv)= F (s). Поскольку J (y + sv) ):: J (y), s ∈ R, мы имеем dF Положим ds s=0 T = 0. (3.1) T r M M \ B(y, v) := \ Ak (t)y×(t - kτ )+ \ Bk (t)y(t - kτ ) × 0 k=0 M \ k=0 M \ \ × Из равенства (3.1) следует, что l=0 Al (t)v×(t - lτ )+ l=0 Bl(t)v(t - lτ ) dτ. (3.2) B(y, v)= 0, v ∈ W . (3.3) Проведем преобразования одного из слагаемых, полученных при раскрытии скобок. Обозначим T r Bk,l(y, v)= 0 (Ak(t)y×(t - kτ )+ Bk (t)y(t - kτ ))T (Al (t)v×(t - lτ )+ Bl(t)v(t - lτ )) dτ. В слагаемых, содержащих v(t-lτ ) или v×(t-lτ ), сделаем замену переменной ξ = t-lτ. Получим T -lτ r Bk,l(y, v)= -lτ (Ak (ξ + lτ )y×(ξ + (l - k)τ )+ Bk (ξ + lτ ) × × y(ξ + (l - k)τ ))T (Al (ξ + lτ )v×(ξ)+ Bl(ξ + lτ )v(ξ))dξ. Вернемся к старой переменной t, полагая t = ξ. Учитывая, что v(t)=0 при t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T ), будем иметь Bk,l(y, v)= T -Mτ r (Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ )+ Bk (t + lτ ) × 0 × y(t + (l - k)τ ))T (Al(t + lτ )v×(t)+ Bl(t + lτ )v(t))dt. (3.4) Подставляя (3.4) в (3.2) и интегрируя по частям, получим: B(y, v)= T -Mτ r \ M {(Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ ))T (Al(t + lτ )v×(t)) + 0 l,k=0 + [(Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ ))T Bl(t + lτ ) - (3.5) - ((Bk (t + lτ )y(t + (l - k)τ ))T Al(t + lτ ))× + + (Bk (t + lτ )y(t + (l - k)τ ))T Bl(t + lτ )]v(t)}dt. Из (3.5) и определения обобщенной производной следует, что M \ AT × 1,n l,k=0 l (t + lτ )Ak (t + lτ )y (t + (l - k)τ ) ∈ W2 (0,T - Mτ ). (3.6) В силу (3.6), подставляя (3.4) в (3.3), мы можем произвести интегрирование по частям. Тогда мы получим ⎛ M ⎞× l - ⎝ \ AT (t + lτ )Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ )⎠ + l,k=0 M l + \ {BT (t + lτ )Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ ) - (3.7) l,k=0 ⎛ M ⎞× l - ⎝ \ AT (t + lτ )Bk (t + lτ )y(t + (l - k)τ )⎠ + l,k=0 M l + \ BT (t + lτ )Bk (t + lτ )y(t + (l - k)τ )} =0 (t ∈ (0,T - Mτ ). l,k=0 2 Таким образом, вектор-функция y ∈ W 1,m(-Mτ, T ) удовлетворяет системе дифференциально- разностных уравнений (3.7) почти всюду на интервале (0,T - Mτ ). 2 Определение 3.1. Вектор-функция y ∈ W 1,m(-Mτ, T ) называется обобщенным решением задачи (3.7), (2.2), (2.3), если выполняется условие (3.6), y(t) почти всюду на (0,T - Mτ ) удовле- творяет системе уравнений (3.7), а также краевым условиям (2.2), (2.3). Следующее определение обобщенного решения эквивалентно определению 3.1. 2 Определение 3.2. Вектор-функция y ∈ W 1,m(-Mτ, T ) называется обобщенным решением задачи (3.7), (2.2), (2.3), если она удовлетворяет интегральному тождеству B(y, v)= T -Mτ r M l \ (AT (t + lτ )Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ ))T v×(t)dt + 0 T -Mτ r + l,k=0 \ M l {(BT (t + lτ )Am(t + lτ )y×(t + (l - k)τ ))T - 0 l,k=0 l - ((AT (t + lτ )Bk (t + lτ )y(t + (l - k)τ ))× )T + (3.8) l + (BT (t + lτ )Bk (t + lτ )y(t + (l - k)τ ))T }v(t)dt = 0, и краевым условиям (2.2), (2.3). 2 Таким образом, мы доказали, что если вектор-функция y ∈ W 1,m(-Mτ, T ) является ре- шением вариационной задачи (2.2)-(2.4), то она будет обобщенным решением краевой зада- чи (3.7), (2.2), (2.3). 2 Справедливо и обратное утверждение: если вектор-функция y ∈ W 1,m(-Mτ, T ) является обоб- щенным решением краевой задачи (3.7), (2.2), (2.3), то она будет решением вариационной зада- чи (2.2)-(2.4). Докажем это. 2 Пусть y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) - обобщенное решение краевой задачи (3.7), (2.2), (2.3). Тогда для всех v ∈ W мы получаем J (y + v)= J (y)+ J (v)+ 2B(y, v), где J (v) - неотрицательный квадратичный функционал. Поскольку y - обобщенное решение за- дачи (3.7), (2.2), (2.3), то B(y, v)= 0. Следовательно, J (y + v) ):: J (y) для всех v ∈ W . Таким образом, мы доказали следующее утверждение. 2 Теорема 3.1. Пусть ϕ ∈ W 1,m(-Mτ, 0). Функционал (2.4) с краевыми условиями (2.2), (2.3) достигает минимума на некоторой функции тогда и только тогда, когда она является обоб- щенным решением краевой задачи (3.7), (2.2), (2.3). Априорные оценки. Разрешимость краевой задачи. Фридрихсово расширение 2 Введем оператор R0 : L → Lm(0,T - Mτ ) по формуле M R0u(t)= \ Ak (t)u(t - kτ ). k=0 Лемма 4.1. Пусть существует минор m-ого порядка матрицы A0(t), который не равен 0 при t ∈ R. Тогда для всех w ∈ W (0,T - Mτ ) ||W 1,m 0 0|| J (w) ):: c w 2 2 (0,T -Mτ ) , (4.1) где c0 > 0 - постоянная, не зависящая от w, T T r M \ M \ J0(v) := 0 \ Ak (t)v×(t - kτ ) k=0 \ Ak (t)v×(t - kτ ) k=0 dt. (4.2) Доказательство. Не ограничивая общности, предположим, что первые m строк матрицы A0(t) образуют минор m-ого порядка, не равный 0 при t ∈ R. Введем матрицу A 0(t), полученную из A0(t) вычеркиванием (n - m) последних строк. Предположим противное: для любого k ∈ N существует wk ∈ W такое, что 1 2 2 (0,T -Mτ ) J0(wk ) k ||wk ||W 1,m . (4.3) || k ||W 1,n Не ограничивая общности, мы будем считать, что w 2 (0,T -Mτ ) = 1. Тогда в силу компакт- 2 m ности вложения W в Lm(0,T - Mτ ) существует подпоследовательность {wk }⊂ W , сходящаяся в Lm(0,T - Mτ ) при k →∞ к некоторой вектор-функции w0 ∈ Lm(0,T - Mτ ). 2 km Пусть 0 < t < τ. Тогда выражение (R0w× 2 km )(t) имеет вид (R0w× km )(t) = A0(t)w× (t). Следо- ks вательно, в силу невырожденности матрицы A 0(t) и неравенства (4.3) имеем w× 2 → 0 в Lm(0,τ ) при m → ∞. km Пусть теперь τ < t < 2τ. Тогда (R0w× km )(t) = A0(t)w× km (t)+ A1(t)w× (t - τ ). Отсюда в силу неравенства (4.3) и п. 2 доказательства имеем km (R0w× km )(t) → 0 и A1(t)w× 2 (t - τ ) → 0 в Lm(τ, 2τ ) при m → ∞. km Следовательно, поскольку матрица A 0(t) - невырождена, то w× 2 → 0 в Lm(τ, 2τ ) при m → 0. k Аналогично за конечное число шагов мы докажем, что w× s 2 → 0 в Lm(lτ, L) для любого l ∈ N 2 такого, что 2τ lτ < L, где L = min{(l + 1)τ, T - Mτ }. Таким образом, w0 ∈ W˚ 1,m(0,T - Mτ ) и w0 = const ∓= 0. Мы получили противоречие, которое доказывает лемму 4.1. Лемма 4.2. Пусть выполнено условие леммы 4.1. Тогда для всех w ∈ W 2 1|| ||W 1,n J (w) ):: c w 2 (0,T -Mτ ) , (4.4) где c1 > 0 - постоянная, не зависящая от w. Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что det A 0(t) ∓= 0. 1. Предположим противное: неравенство (4.4) не выполняется. Тогда для любого k ∈ N суще- ствует wk ∈ W такое, что 1 2 2 (0,T -Mτ ) J (wk ) k ||wk ||W 1,n . || k ||W 1,n Не ограничивая общности, мы будем считать, что w 2 (0,T -Mτ ) = 1. Тогда мы имеем 1 J (wk ) k . (4.5) 2 Введём оператор R1 : L → Ln(0,T - Mτ ) по формуле Из неравенства M (R1v)(t)= \ Bk(t)v(t - kτ ). (4.6) k=0 α2 2(α + β)2 + 2β2 (α, β ∈ R), 2 леммы 4.1 и ограниченности оператора R1 : L → Ln(0,T - Mτ ) для любого v ∈ W мы получим T -Mτ 2 r 2 2 0|| ||W 1,n 2 (0,T -Mτ ) c v 2 (0,T -Mτ ) J0(v) 2J (v)+ 2 0 |(R1v)(t)| dt 2J (v)+ k1||v||Ln , (4.7) где c0, k1 > 0 - постоянные, не зависящие от v. 2 В силу компактности оператора вложения W в Ln(0,T - Mτ ) существует подпоследовательm 2 ность {wk }, которая сходится к некоторой вектор-функции w0 в пространстве Ln(0,T - Mτ ). Таким образом, из (4.5), (4.7) следует, что m l ||W 1,n 0|| k - k c w w 2 2 (0,T -Mτ ) m l m l ||L2 (0,T -Mτ ) 2J (wk - wk )+ k1||wk - wk 2 n + 4 4 km kl + k1||wk - wk n 2 m l ||L2 (0,T -Mτ ) → 0 при l, m → ∞. 2 (0,T -Mτ ) Следовательно, wkm → w0 в W и ||w0||W 1,n = 1. Поэтому в силу (4.5) мы имеем r T -Mτ M M 2 J (w0)= \ Am(t)w× (t - mτ )+ \ Bm(t)w0(t - mτ ) dt = 0, 0 0 m=0 m=0 т. е. M M 0 \ Am(t)w× (t - mτ )+ \ Bm(t)w0(t - mτ )= 0, t ∈ (0,T - Mτ ). (4.8) m=0 m=0 Поскольку w0 ∈ W , вектор-функция w0 удовлетворяет начальному условию w0(t)= 0, t ∈ [-Mτ, 0]. (4.9) Тогда, если 0 < t τ, система уравнений (4.8) примет вид 0 A 0(t)w× (t)+ B 0(t)w0(t)= 0, (4.10) при этом в силу (4.9) w0(0) = 0, где B 0(t) - матрица порядка m × m, полученная из матрицы B0(t) вычеркиванием последних (n - m) строк. Поскольку по условию det A 0(t) ∓= 0, мы имеем w0(t)= 0, t ∈ [0,τ ]. (4.11) В силу (4.9), (4.11) для τ < t 2τ система уравнений (4.8) примет вид (4.10), при этом в силу (4.11) w0(τ ) = 0. Решая полученную задачу Коши для системы обыкновенных дифферен- циальных уравнений на полуинтервале (τ, 2τ ], имеем w0(t)= 0, t ∈ (τ, 2τ ], и т. д. 2 (0,T -Mτ ) Таким образом, w0(t) ≡ 0 при t ∈ [0,T - Mτ ]. Это противоречит равенству ||w0||W 1,n = 1. 2 2 Теорема 4.1. Пусть существует минор m-ого порядка матрицы A0(t), который не равен 0 при t ∈ R. Тогда для любой вектор-функции ϕ ∈ W 1,m(-Mτ, 0) существует единственное обоб- щенное решение краевой задачи (3.7), (2.2), (2.3) y ∈ W 1,m(-Mτ, T ), при этом ||y||W 1,m c||ϕ|| 1,m , (4.12) 2 (-Mτ,T ) где c > 0 - постоянная, не зависящая от ϕ. Доказательство. Обозначим W2 (-Mτ,0) ⎧ ⎪⎨ Φ(t)= ϕ(t), если - Mτ t 0; 0, если T - Mτ t T ; ϕ(0)t - ⎩⎪ ϕ(0) - T , если 0 < t < T Mτ. - Mτ 2 W 1 Очевидно, что Φ ∈ W 1,m(-Mτ, T ). Кроме того, в силу непрерывности оператора вложения 2 (-Mτ, T ) в C[-Mτ, 0] имеем ||Φ||W 1,m k1||ϕ|| 1,m , (4.13) 2 (-Mτ,T ) где k1 > 0 - постоянная, не зависящая от ϕ. W2 (-Mτ,0) Пусть x = y - Φ, тогда x ∈ W . Интегральное тождество (3.3) примет вид B(Φ, v)+ B(x, v)= 0, v ∈ W . (4.14) 2 Поскольку B(v, v)= J (v), v ∈ W , по лемме 4.2 в пространстве W˚ 1(0,T - Mτ ) мы можем ввести эквивалентное скалярное произведение по формуле ˚ (x, v)× 1,m W2 (0,T -Mτ ) = B(x, v). (4.15) Следовательно, тождество (4.14) может быть записано в виде ˚ B(Φ, v)+ (x, v)× 1,m W2 (0,T -Mτ ) = 0. (4.16) 2 Для фиксированного Φ ∈ W 1,m(-Mτ, T ) функционал B(Φ, v) линеен по v ∈ W . Используя неравенство Коши-Буняковского и неравенства (4.13), (4.4), мы получаем |B(Φ, v)| k2||Φ||W 1,m ||v|| 1,m 2 (-Mτ,T ) W2 (0,T -Mτ ) (4.17) k3||ϕ||W 1,m ||v|| 1,m k4||ϕ|| 1,m W˚ 1,m ||v||× , 2 (-Mτ,0) W2 (0,T -Mτ ) W2 (-Mτ,0) 2 (0,T -Mτ ) где k2, k3, k4 > 0 - постоянные, не зависящие от ϕ и v. Таким образом, при фиксированном Φ функционал B(Φ, v) ограничен по v на W . В силу неравенства (4.17) норма функционала B(Φ, v) на W˚ 1,m(0,T - Mτ ) не превышает k4||ϕ|| 1,m . 2 W2 (-Mτ,0) Согласно теореме Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве, существует функция F ∈ W такая, что ˚ B(Φ, v)= (F, v)× 1,m W2 (0,T -Mτ ) и ||F || 1,m × W˚2 (0,T -Mτ ) 2 (-Mτ,0) k4||ϕ||W 1,m . (4.18) Эта функция единственна. Таким образом, тождество (4.16) можно записать в виде ˚ (x, v)× 1,m W2 (0,T -Mτ ) ˚ + (F, v)× 1,m W2 (0,T -Mτ ) = 0. Следовательно, задача (3.7), (2.2), (2.3) имеет единственное обобщенное решение y = Φ - F, при этом в силу (4.13) и (4.18) выполняется неравенство (4.12). Это доказывает теорему. Идея доказательства теоремы 3.1 состоит по существу в сведении однородной системы дифференциально-разностных уравнений (3.7) с неоднородными краевыми условиями (2.2) и од- нородными условиями (2.3) к неоднородной системе дифференциально-разностных уравнений с однородными краевыми условиями. Таким образом, возникает вопрос о построении соответствующего неограниченного оператора, действующего в пространстве L , и изучении его свойств. Пусть AR : L ⊃ D(AR) → L - неограниченный оператор, заданный по формуле: ⎛ M ⎞× l (ARy)(t)= - ⎝ \ AT (t + lτ )Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ )⎠ + l,k=0 M l + \ {BT (t + lτ )Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ ) - (4.19) l,k=0 ⎛ M ⎞× l - ⎝ \ AT (t + lτ )Bk (t + lτ )y(t + (l - k)τ )⎠ + l,k=0 M l + \ BT (t + lτ )Bk (t + lτ )y(t + (l - k)τ )} (t ∈ (0,T - Mτ )) при y ∈ D(AR), где ⎧ )= D(AR ⎨ l,k=0 y ∈ W : M ⎫ ) \ AT (t + lτ )Ak (t + lτ )y×(t + (l - k)τ ) ∈ W 1,m(0,T - Mτ ⎬ , ⎩ см. условие (3.6). l 2 l,k=0 ⎭ Обозначим через AR сужение оператора AR на C˙ ∞,m(0,T - Mτ ), т. е. AR : L ⊃ D(AR) → L есть неограниченный оператор, заданный следующим образом: ARy = ARy при y ∈ D(AR ) := C˙ ∞,m(0,T - Mτ ). Теорема 4.2. Оператор AR : L ⊃ D(AR) → L является самосопряженным фридрихсовым расширением оператора AR с нижней гранью cAR ):: c1 > 0, где c1 - постоянная из неравенства (4.4). Доказательство. Докажем, что оператор AR симметрический, т. е. (ARv, w)L = (v, AR w)L для любых v, w ∈ D(AR). Действительно, интегрируя по частям выражение: T T -Mτ⎧ M ⎫ r получим ⎨ \ - 0 ⎩l,k=0 l AT (t + lτ )Ak (t + lτ )v×(t + (l - k)τ ))× ⎬ ⎭ M w(t)dt, где (ARv, w)L T -Mτ r = B(v, w)= \ B l,k=0 k,l (v, w), (4.20) Bk,l(v, w)= 0 l {-[AT (t + lτ )Ak (t + lτ )v×(t + (l - k)τ )]T × см. (3.4). l × w×(t)+ [BT (t + lτ )Ak (t + lτ )v×(t + (l - k)τ )]T w(t) - (4.21) l - [AT (t + lτ )Bk (t + lτ )v(t + (l - k)τ ))× ]T w(t)+ l + [BT (t + lτ )Bk (t + lτ )v(t + (l - k)τ )]T w(t)}dt, Сделаем в выражении для Bk,l(v, w) замену переменной ξ = t + (l - k)τ. Тогда из (4.21) следует, что Bk,l(v, w)= T -Mτ r {( 0 v×(ξ))T (AT k AT (ξ + kτ ) k BT (ξ + kτ ) k BT (ξ + kτ ) k (ξ + kτ )Al (ξ + kτ )w×(ξ + (k - l)τ )) + + (v×(ξ))T ( - (v(ξ))T ( + (v(ξ))T ( Bl (ξ + kτ )w(ξ + (k - l)τ )) - Al (ξ + kτ )w×(ξ + (k - l)τ )) + Bl (ξ + kτ )w(ξ + (k - l)τ ))dt. Возвращаясь к старой переменной t, полагая t = ξ, и интегрируя по частям, имеем T -Mτ r Bk,l(v, w)= 0 k (v(t))T {-[AT (t + kτ )Al (t + kτ )w×(t + (k - l)τ )]× - k - (AT (t + kτ )Bl(t + kτ )w(t + (k - l)τ )]× + (4.22) k + [BT (t + kτ )Al(t + kτ )w×(t + (k - l)τ )] + k + [BT (t + kτ )Bl(t + kτ )w(t + (k - l)τ )}dt. Суммируя левые и правые части (4.22) по k, l и меняя k, l местами, получим равенство (ARv, w)L = (v, AR w)L , для любых v, w ∈ D(AR). Рассмотрим теперь квадратичную форму (ARv, v)L , v ∈ D(AR). В силу (4.20) (ARv, v)L = B(v, v)= J (v), v ∈ D(AR). Из леммы 4.2 следует, что (ARv, v) || ):: c ||v 2 , v ∈ D(A ). (4.23) W 1,m L 1 2 (0,T -Mτ ) R Из теоремы 2 в [6, гл. 12, п. 5] и следствия 3 в [6, гл. 12, п. 5], а также симметричности оператора AR и неравенства (4.23) вытекает справедливость теоремы 4.2.

Об авторах

А. Ш. Адхамова

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: adkhamova_ash@pfur.ru
Москва, Россия

А. Л. Скубачевский

Российский университет дружбы народов

Email: alskubachevskii@yandex.ru
Москва, Россия

Список литературы