Дискретные модели кинетических уравнений типа Больцмана

Полный текст

Введение Цель данной статьи -представить краткий обзор некоторых недавних результатов, связанных с так называемыми кинетическими уравнениями типа Больцмана и их дискретными моделями. Общая идея изучения неклассических кинетических уравнений, таких как квантовое уравнение Нордхейма-Улингa-Уленбека [14, 15] или волновое кинетическое уравнение (см., например, [12, 13]) и ссылки в них), как частных случаев общего класса уравнений типа Больцмана было предложено в [2]. Наш подход к этому классу уравнений в некоторой степени близок к более раннему подходу Л. Аркерида [4]. К этому классу уравнений применимы некоторые известные методы, использованные для классического уравнения Больцмана. В частности, обсуждаются построение и свойства дискретных моделей уравнений типа Больцмана. Основное внимание уделено волновому кинетическому уравнению (ВКУ) и тому важному факту, что положительные решения любой нормальной дискретной модели ВКУ стремятся к равновесному распределению при стремлении времени к бесконечности [1]. В статье приводятся формулировки основных результатов и обрисовываются основные идеи доказательств. Полные доказательства будут приведены в публикации [5]. Мы также не обсуждаем в этой статье важный вопрос, связанный с обоснованностью различных уравнений типа Больцмана, т. е. их выводом из некоторой более общей математической модели. Следует отметить, что недавние математические результаты по выводу ВКУ из нелинейного уравнения Шредингера (при наличии случайного силового поля) в [12] выглядят в этом смысле весьма многообещающими. Статья организована следующим образом. В разделе 1 мы вводим уравнение Больцмана для твердых сфер и кратко напоминаем его основные свойства. В разделе 2 мы вводим общее кинетическое уравнение типа Больцмана, зависящее от функции четырех действительных переменных F(x,y;v,w). Предполагается, что функция F удовлетворяет некоторым простым соотношениям. Основные свойства этого общего кинетического уравнения обсуждаются в разделах 3 и 4. В разделе 4 показано, что известное волновое кинетическое уравнение и уравнение Нордхейма- Улингa-Уленбека соответствуют различным полиномиальным формам функции F. В разделе 5 рассматривается задача дискретизации общего кинетического уравнения типа Больцмана на основе идей, аналогичных тем, которые используются для построения дискретных скоростных моделей уравнения Больцмана. Важный класс нормальных кинетических моделей представлен и исследован в разделе 6. Основные свойства этих моделей собраны в теореме 1 в разделе 6. Разделы 7 и 8 посвящены дискретным моделям волнового кинетического уравнения. Показано, что такие модели имеют монотонный функционал, аналогичный H-функции Больцмана. Фактически это функция Ляпунова для ОДУ модели. Это свойство позволяет доказать сходимость любого положительного решения этой модели к ее равновесному решению при больших значениях времени. Результаты о существовании, единственности и сходимости модели к равновесию выражены в теореме 2 в разделе 7. Ключевые идеи доказательства кратко объяснены в разделе 8. Краткий обзор результатов, возможных приложений и связанных с ними открытых задач дан в разделе 9. 1. Функции распределения и уравнение Больцмана Начнем с классической модели пространственно-однородного разреженного газа из твердых сфер. Тогда система характеризуется функцией распределения f(v,t), где v ∈ R3 и t ∈ R+ обозначают скорость и время соответственно. Физический смысл этой функции - средняя плотность числа частиц. Тогда среднее число частиц в любом измеримом множестве Δ ⊂ R3 определяется равенством . Обычно мы предполагаем, что дано начальное условие f(v,0) = f0(v). Как найти функцию распределения f(v,t) при t > 0? Это, в некотором смысле, основная задача кинетической теории. Можно показать, что для некоторых специальных физических систем, таких как разреженные газы, временная эволюция функции распределения f(v,t) описывается так называемым «кинетическим уравнением» ft = A(f), где A(f) - некоторый нелинейный оператор, действующий на f. Обычно мы предполагаем, что начальная задача имеет единственное решение f(v,t) на некотором интервале времени В нашем случае временная эволюция f(v,t) описывается уравнением Больцмана для частиц, моделируемых твердыми сферами. , u = v - w, ω ∈ S2; , где d - диаметр частиц. Для краткости обозначим , где ψ(v) - произвольная функция скорости v ∈ R3, для которой существует интеграл. Тогда получаем следующие основные свойства уравнения Больцмана (см., например, [11]): 1. Законы сохранения: Масса: const, Момент: const, Энергия: const. 2. H-теорема: . 3. Сходимость к равновесию: f(v,t) ---→ aexp(-b|v - u|2), t→∞ где скалярные параметры a и b, а также векторный параметр u могут быть получены из законов сохранения. 2. Обобщение уравнения Больцмана Введем общий класс кинетических уравнений, включающий в качестве частного случая пространственно-однородное уравнение Больцмана. Для этой цели мы выберем функцию F(x1,x2;x3,x4) четырех действительных (или комплексных) переменных и предположим, что F(x1,x2;x3,x4) = F(x2,x1;x3,x4) = -F(x3,x4;x1,x2). Затем определим обобщенное кинетическое уравнение типа Больцмана для функции f(v,t) при v ∈ Rd, t ∈ R+ уравнением ft(v,t) = K[f](v), где обобщенный кинетический оператор K действует только на переменную v. Он определяется формулой . Здесь и далее предполагается, что. Мы можем преобразовать это уравнение к виду [2]: , (2.1) Если F(x1,x2;x3,x4) = x3x4 - x1x2, тогда это уравнение Больцмана. В противном случае мы называем его уравнением типа Больцмана. Примеры таких уравнений мы рассмотрим в следующем разделе. 3. Уравнение Нордхейма-Улингa-Уленбека и волновое кинетическое уравнение (ВКУ) Очевидно, что конкретные операторы K могут иметь разные функции F(x1,x2;x3,x4). Во всех интересных приложениях функцию F можно представить как разность двух функций F(x1,x2;x3,x4) = P(x3,x4;x1,x2) - P(x1,x2;x3,x4). (3.1) Существует как минимум три вида кинетических уравнений, представляющих интерес для физики, для которых F имеет структуру (3.1) с разными функциями P. Вот эти случаи: (А) Классическое кинетическое уравнение Больцмана PB(x1,x2;x3,x4) = x1x2. (3.2) (Б) Квантовое уравнение Нордхейма-Улингa-Уленбека для бозонов (при θ = 1) и фермионов (при θ = -1) PNUU(x1,x2;x3,x4) = x1x2(1 + θx3)(1 + θx4). (3.3) (В) Волновое кинетическое уравнение (ВКУ) PW (x1,x2;x3,x4) = x1x2(x3 + x4). (3.4) Математические результаты и соответствующие ссылки по этим уравнениям можно найти в [4, 12, 13]. 4. Основные свойства уравнений типа Больцмана Мы можем легко дать строгое доказательство следующих основных свойств уравнений типа Больцмана. 1. Законы сохранения (для любой F) const, const, const, (4.1) где аналогичное обозначение используется для интегралов по Rd с произвольными d = 1,2,... . 2. Формализация H-теоремы Предположим, что существует функция p(x) такая, что (4.2) для почти всех Тогда мы можем формально ввести обобщенный H-функционал на множестве неотрицательных решений f(v,t) уравнения типа Больцмана по формуле , предполагая сходимость интегралов. Тогда формальное дифференцирование дает . Следовательно, уравнения типа Больцмана могут иметь аналог H-теоремы Больцмана при выполнении условия (4.2) на соответствующую функцию F. 5. Дискретные кинетические модели Модели уравнения Больцмана с дискретной скоростью имеют долгую историю. В частности, отметим первые такие модели, предложенные Больцманом [7], Карлеманом [10], Бродуэллом [8], Кабанном [9]. Подобная схема построения дискретных моделей может быть применена к любому кинетическому уравнению типа Больцмана. Введем фазовое множество V ⊂ Rd, содержащее n 4 точек, и заменим функцию f(v,t) вектором f(t) ∈ Rn, где V = {v1,...,vn}, f(t) = {f1(t),...,fn(t)}. Здесь неявно предполагается, что fi(t) аппроксимирует при больших n функцию f(v,t) в точке v = vi ∈ Rd, i = 1,...,n. Кинетическое уравнение (2.1) в d-мерном случае заменяется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений: (5.1) где постоянные (для данного множества V ) параметры Γklij зависят только от |vi - vj| = |vk - vl| для любых целых значений индексов Строгое неравенство Γklij > 0 возможно только в том случае, если vi + vj = vk + vl, |vi|2 + |vj|2 = |vk|2 + |vl|2. Используя эти условия симметрии для Γklij и связанные с ними условия на F, легко вывести следующее тождество: , где h1,h2,...,hn - некоторые постоянные. Очевидно, это дискретный аналог аналогичного тождества для кинетического уравнения. Тогда это тождество приводит к законам сохранения n n const, const, const, i=1 =1 аналогичным интегралам (4.1) для кинетического уравнения (2.1). 6. Нормальные дискретные модели и их свойства Для того чтобы построить дискретную модель, обладающую всеми необходимыми свойствами исходного кинетического уравнения, необходимо наложить некоторые ограничения на множество V и коэффициенты уравнений (5.1). Определение 1. Модель называется нормальной, если она удовлетворяет следующим условиям на множестве V : (a) все n ее элементов попарно различны и не лежат в линейном подпространстве размерности или на сфере в Rd; (б) множество V не имеет изолированных точек, т. е. для любого существуют такие что Γklij > 0; (в) если функциональное уравнение h(vi) + h(vj) - h(vk) - h(vl) = 0 верно для всех индексов (i,j;k,l), для которых Γklij > 0, то существуют такие константы α,γ ∈ R, β ∈ Rd, что h(v) = α + β · v + γ|v|2. Основные свойства нормальных дискретных моделей собраны в следующей теореме [5]. Теорема 1. Пусть модель V = {v1,...,vn}, f(t) = {f1(t),...,fn(t)}; нормальна и существует функция p(x) такая, что выполняется неравенство для всех Пусть также (1) существуют числа 0 < a < b такие, что p(x) непрерывна и строго монотонна при всех x ∈ [a,b]; (2) равенство достигается только при p(x3) + p(x4) - p(x1) - p(x2) = 0. Тогда (а) существует функция H(x1,...,xn) такая, что для любого решения {fi(t) > 0, i = 1,...,n} модели; (б) если для любого решения {fi(t) > 0, i = 1,...,n} модели, тогда hi = α + β · vi + γ|vi|2, где α ∈ R, γ ∈ R и β ∈ Rd -некоторые постоянные; (в) если-некоторое стационарное решение модели, тогда p(fist) = α + β vi + γ vi 2, i = 1,...,n для некоторых постоянных. Некоторые приложения теоремы 1 рассматриваются в следующем разделе. 7. Дискретные модели ВКУ: постановка задачи и формулировка результата Ниже рассматриваются дискретные модели, где F(x1,x2;x3,x4) = x3x4(x1 + x2) - x1x2(x3 + x4), т. е. модели ВКУ. ОДУ модели записываются как (7.1) (7.2) где , ; (7.3) Постоянные зависят от фазового множества . (7.4) Рассмотрим задачу Коши для уравнений (7.2), (7.3) и начальных условий ; . (7.5) Последнее ограничение не приводит к потере общности. Основной результат можно сформулировать следующим образом. Теорема 2. Пусть дискретная модель (7.1)-(7.4) нормальна, т. е. множество V в (7.4) и коэффициенты удовлетворяют определению 1. Пусть также (1) v1 = 0 в (7.4); (2) если vi ∈ V, то (-vi) ∈ V для всех i = 1,...,n. Тогда задача Коши для уравнений (7.2), (7.3) и начальных условий (7.5) имеет единственное решение f(t) = {f1(t),...fn(t)} при всех t > 0. Более того, для всех (а) , где c > 0 -константа, не зависящая от f(0); (б) , где , является наибольшим вещественным корнем уравнения . Легко видеть, что функция T0(b), определенная равенством, монотонно убывает на интервале от своего максимального значения T0(-M-1) = M до нуля при b → ∞. Поэтому корень b(T0), определенный в пункте (б) теоремы, единствен. 8. Идея доказательства сходимости к равновесию Доказательство теоремы 2 основано на простых оценках из пункта (а), законах сохранения, теореме 1 и на том, что уравнения (7.2), (7.3) имеют функцию Ляпунова . Можно проверить, что H[f(t)] монотонно убывает по t > 0 на положительных решениях f(t) уравнений (7.2), (7.3). Более того, можно доказать, что для любого f такого, что , в обозначениях теоремы 2. Более или менее стандартной процедурой (см., например, учебник [3]) доказывается часть (б) теоремы 2. 9. Выводы 1. В статье с единой точки зрения рассмотрен большой класс нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана. К этому классу относятся, в частности, такие известные уравнения, как 1. классическое уравнение Больцмана, 2. квантовое уравнение Нордхейма-Улингa-Уленбека, 3. волновое кинетическое уравнение, применяемое в теории слабой турбулентности. 2. Было показано, что все эти уравнения естественно рассматривать как различные формы общего уравнения типа Больцмана. Также были изучены общие свойства (законы сохранения и монотонные функционалы) этого уравнения. По аналогии с дискретными скоростными моделями уравнения Больцмана, введен класс дискретных моделей общего кинетического уравнения и исследованы свойства моделей. Основные свойства моделей описаны в теореме 1. 3. Подробно исследовано долговременное поведение решений дискретных моделей ВКУ. Основные результаты этой части статьи сформулированы в теореме 2. Она включает в себя (а) существование и единственность глобального по времени решения соответствующего набора ОДУ для любых неотрицательных начальных условий и (б) сходимость к единственному (при заданных начальных данных) равновесному решению. Доказательство сходимости к равновесному решению основано на существовании функции Ляпунова. Этот результат доказан для так называемых нормальных моделей, не имеющих ложных законов сохранения. Возможно, аналогичные результаты можно доказать и для дискретных моделей уравнения Нордхейма-Улингa-Уленбека для фермионов, но случай ВКУ по ряду причин выглядит более интересным. 4. Обычно временная эволюция решений нормальных дискретных кинетических моделей в некоторой степени предсказывает поведение соответствующих решений кинетических уравнений. Мы можем с любой заданной точностью аппроксимировать уравнение Больцмана последовательностью дискретных моделей с достаточно большим числом дискретных фазовых точек [6], и то же самое можно доказать для ВКУ. Сходимость к равновесию имеет место для уравнения Больцмана. С другой стороны, аттрактор решений дискретных моделей ВКУ имеет вид fst(v) = a(1+b|v|2)-1. Очевидно, эта функция не интегрируема в ни при каких положительных a и b. Она не может быть аттрактором интегрируемых решений ВКУ. Потому прямая оценка подобного долговременного поведения в этом случае невозможна. Этот вопрос все еще открыт. Мы надеемся, однако, что информация о долговременном поведении решений дискретных моделей ВКУ может оказаться полезной.

Об авторах

А. В. Бобылев

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН; Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: alexander.bobylev47@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы