Задача существования управления с обратной связью для одной дробной модели Фойгта

Полный текст

1. Введение Задачам оптимального управления в механике жидкости посвящено большое число работ (см., например, [16] и имеющуюся там литературу). Однако в большинстве из них изучаются различные задачи оптимального управления для системы Навье-Стокса. Но в природе существует огромное число жидкостей, которые описываются более сложными системами уравнений (такие жидкости называются «неньютоновские жидкости»). Список работ, изучающих задачи оптимального управления, в том числе и задачи с обратной связью для подобных моделей движения жидкости, намного беднее. В настоящей работе изучается задача оптимального управления с обратной связью для одной такой модели, описывающей движение вязкоупругой среды с памятью. Вначале опишем изучаемую модель. В ограниченной области QT = [0,T ] × Ω, где T ;;: 0, а Ω ⊂ Rn, n = 2, 3, с границей ∂Ω ⊂ C2 рассматривается задача ∂v n ∂v r t 1 -(t-s) -α + , vi ∂t i=1 ∂xi - μ0∗v - μ1 Γ(1 - α) Div e 0 λ (t - s) E(v)(s, z(s; t, x))ds + ∇p = f (t, x); (1.1) © А. В. Звягин, Е. И. Костенко, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 621 622 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО div v(t, x)= 0, (t, x) ∈ QT ; (1.2) τ r z(τ ; t, x)= x + t v(s, z(s; t, x))ds, t, τ ∈ [0,T ], x ∈ Ω¯ ; (1.3) v(t, x) |Γ= 0, (t, x) ∈ Γ= [0,T ] × ∂Ω; v(0, x)= v0(x), x ∈ Ω. (1.4) }i,j=1 Здесь v(t, x) = (v1(t, x),... , vn(t, x)) и p(t, x) - искомые скорость и давление рассматриваемой среды, E(v)= {Eij n - тензор скоростей деформации с элементами 1 ( ∂vi ∂vj Eij = 2 ∂xj + , ∂xi μ0 > 0, μ1 ;;: 0, 0 < α < 1, λ > 0 - константы, отвечающие за вязкоупругие свойства изучаемой жидкости, а z(τ ; t, x) - траектория движения частицы жидкости, Γ(β) - гамма-функция Эйлера, ∞ определяемая через абсолютно сходящийся интеграл Γ(β) = tβ-1e-t dt (см. [15]). Знак Div 0 обозначает дивергенцию матрицы, т. е. вектор, координатами которого являются дивергенции векторов-столбцов матрицы. Начально-краевая задача (1.1)-(1.4) описывает математическую модель, изучающую движение вязкоупругой жидкости с памятью вдоль траектории движения частицы среды (см. работы [8, 9, 12, 24, 26, 27], в которых изучался вопрос слабой разрешимости частных случаев рассматриваемой модели). История возникновения данной модели тесно связана с потребностью изучения большого класса полимеров, в которых необходимо учитывать эффекты ползучести и релаксации. Оказывается, что подходящими для этого являются модели с дробными производными (см. [19]), что превращает их в задачи интегро-дифференциального вида. Интегральная модель учитывает все предшествующие состояния вязкоупругой среды, как бы далеко ни отстояли они от текущего момента времени. Такие модели используются при значительном влиянии эффектов памяти и большом времени релаксации. В [23] дана механическая интерпретация этих моделей и приведен хороший библиографический обзор. Наличие интегрального слагаемого в (1.1) отражает учет памяти сплошной среды. Различные модели с памятью возникали и изучались в большом числе работ (см., например, [1]). Но, как правило, математические постановки рассматривали вклад памяти при постоянном значении пространственной переменной x (см. [10, 17]). На практике такие модели абсолютно «не физичны». Память среды необходимо учитывать вдоль траектории движения частицы. Таким образом, в (1.1) появляется z(s; t, x) - траектория частицы среды, указывающая в момент времени s расположение частицы среды, находящейся в момент времени t в точке x. Данная траектория определяется полем скоростей v. Заметим, что для корректной постановки задачи необходимо, чтобы траектории z однозначно определялись полем скоростей v, другими словами, чтобы уравнение (1.3) имело единственное решение для поля скоростей v. Для этого в случае, когда скорость v принадлежит пространству Соболева, в работах [20, 22] была исследована разрешимость интегральной задачи Коши (1.3) и установлены существование, единственность и устойчивость регулярных лагранжевых потоков (РЛП) - обобщения понятия классического решения. Эти результаты дают возможность корректно рассмотреть поставленную задачу. Из-за сложности моделей такого типа известно крайне мало математических результатов для них. Одним из первых, кто смог доказать теоремы существования решений для ряда математических моделей такого типа, был профессор В. Г. Звягин (см. [10, 12, 24, 26, 27]). В данной статье продолжается использование предложенных им идей и подходов для моделей исследуемого типа, и изучается задача управления с обратной связью для одной модели, описывающей движение вязкоупругой среды с памятью вдоль траектории поля скоростей. 2. Постановка задачи и основной результат p 0 Через Lp(Ω), 1 p < ∞, будем обозначать множество измеримых вектор-функций v :Ω → Rn, суммируемых с p-ой степенью. Через W m(Ω), m ;;: 1, p ;;: 1, будем обозначать пространства Соболева. Рассмотрим пространство C∞(Ω) бесконечно-дифференцируемых вектор-функций из ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 623 0 2 Ω в Rn с компактным носителем в Ω. Обозначим V = {v ∈ C∞(Ω), div v = 0}. Через V 0 мы обозначим замыкание V по норме L2(Ω), через V 1 - замыкание по норме W 1(Ω) и через V 2 - W пространство 2 2(Ω) ∩ V 1. Введем шкалу пространств V β, β ∈ R. Для этого рассмотрим проектор Лере P : L2(Ω) → V 0 и оператор A = -P Δ, определенный на D(A) = V 2. Этот оператор может быть продолжен в V 0 до замкнутого оператора, который является самосопряженным положительным оператором с компактным обратным. Пусть 0 < λ1 λ2 ··· λk ... - собственные значения оператора A. В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении компактных операторов, собственные функции {ej } оператора A образуют ортонормированный базис в V 0. Обозначим через N E∞ = Jv = , j=1 vjej : vj ∈ R, N ∈ N , множество конечных линейных комбинаций, составленных из ej, и определим пространство V β, β ∈ R, как пополнение E∞ по норме 1 , ( ∞ 2 ∞ k 2 lvlV β = , λβ |vk | , k=1 где v = k=1 vkek. (2.1) На пространстве V β, β > -1/2, норма (2.1) эквивалентна обычной норме l·l β пространства W2 (Ω) W β 2 (Ω) (см. [16]). Кроме того, нормы в пространствах V 1, V 2 и V 3 могут быть заданы следующим образом: ⎛r lvlV 1 = ⎝ Ω 1 ⎞ 2 ∇v(x): ∇v(x) dx⎠ ⎛ r ⎛ r , lvlV 2 = ⎝ Ω 1 ⎞ 2 Δv(x)Δv(x) dx⎠ , 1 ⎞ 2 lvlV 3 = ⎝ Ω ∇Δv(x): ∇Δv(x) dx⎠ . Здесь символ «:» обозначает покомпонентное матричное произведение. Далее, через V -β = (V β )-1, β ∈ N, будем обозначать сопряженное пространство к V β. Введем пространство, в котором будет доказана разрешимость изучаемой задачи: ∞ W1 = {v ∈ L2(0,T ; V 1) ∩ L (0,T ; V 0), v∗ ∈ L 4/3 (0,T ; V -1)} ∗ с нормой lvlW1 = lvlL2 (0,T ;V 1 ) + lvlL∞ (0,T ;V 0) + lv lL4/3 (0,T ;V -1). v ∈ W1 требуется найти траекторию движения частицы z. Как было описано выше, по скорости Для этого потребуется понятие регулярного лагранжева потока (см. [20-22]). Определение 2.1. Регулярным лагранжевым потоком (РЛП), порожденным v, называется функция z(τ ; t, x), (τ ; t, x) ∈ [0,T ] × [0,T ] × Ω¯ , удовлетворяющая следующим условиям: 1. при п.в. x и любом t ∈ [0,T ] функция γ(t)= z(τ ; t, x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет уравнению τ r z(τ ; t, x)= x + t v(s, z(s; t, x))ds, t, τ ∈ [0,T ]; 2. для любых t, τ ∈ [0,T ] и произвольного измеримого по Лебегу множества B ⊂ Ω¯ с лебеговой мерой m(B) справедливо соотношение m(z(τ ; t, B)) = m(B); 3. при всех ti ∈ [0,T ],i = 1, 3, и п.в. x ∈ Ω¯ z(t3; t1, x)= z(t3; t2, z(t2; t1, x)). Приведем также следующие необходимые в дальнейшем результаты о РЛП (см. [20-22]). 624 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО Теорема 2.1. Пусть v ∈ L1(0,T ; W 1(Ω)), 1 p +∞, div v(t, x) = 0 u v| = 0. Тогда p существует единственный РЛП z ∈ C(D; L), порожденный v, и [0,T ]×∂Ω ∂τ z(τ ; t, Ω¯ ) ⊂ Ω¯ , ∂ z(τ ; t, x)= v(τ, z(τ ; t, x)), τ ∈ [0,T ], x ∈ Ω, где C(D, L) - банахово пространство непрерывных функций на D = [0,T ] × [0,T ] со значениями в L - метрическом пространстве измеримых на Ω вектор-функций. 1 Теорема 2.2. Пусть v, vm ∈ L1(0,T ; W p(Ω)), m = 1, 2,... , при некотором p > 1. Пусть div v(t, x)= 0, divm v(t, x)= 0, v|[0,T ] × × ∂Ω = vm|[0,T ] ∂Ω m = 0. Пусть выполняются неравенства m lvxlL1 (0,T ;Lp(Ω)) + lvlL1 (0,T ;L1(Ω)) C1, lvx lL1 (0,T ;Lp(Ω)) + lv lL1 (0,T ;L1 (Ω)) C2. Пусть vm сходится к v в L1(QT ) при m → +∞. Пусть z(τ ; t, x) и zm(τ ; t, x) - РЛП, порожденные v и vm, соответственно. Тогда последовательность zm сходится к z по мере Лебега на множестве [0,T ] × Ω при t ∈ [0,T ]. Здесь vx - матрица Якоби вектор-функции v. Таким образом, в силу теоремы 2.2 для каждого v ∈ L2(0,T ; V 1) и для почти всех x ∈ Ω уравнение (1.3) имеет единственное решение z(v). Перейдем к описанию задачи управления для изучаемой математической модели. Для этого рассмотрим многозначное отображение Ψ: W1 --L2(0,T ; V -1), которое будет использовано для определения обратной связи и задания ограничений на управление. Будем предполагать, что Ψ удовлетворяет следующим условиям: (Ψ1) отображение Ψ определено на пространстве W1 и имеет непустые, компактные, выпуклые значения; (Ψ2) отображение Ψ полунепрерывно сверху1 и компактно2 ; (Ψ3) отображение Ψ глобально ограничено, т. е. существует константа M > 0 такая, что J lΨ (v)lL2(0,T ;V -1 ) := sup lulL2 (0,T ;V -1 ) : u ∈ Ψ (v) M для всех v ∈ W1; (Ψ4) Ψ слабо замкнуто в следующем смысле: l=1 если {vl}∞ ⊂ W1, vl _ 0, ul ∈ Ψ (vl) и ul → u0 в L2(0,T ; V -1), тогда u0 ∈ Ψ (v0) . Мы будем рассматривать слабую постановку задачи управления с обратной связью для начально-краевой задачи (1.1)-(1.4). Под обратной связью мы понимаем следующее условие: f ∈ Ψ(v). (2.2) Отметим, что в последнее десятилетие при исследовании различных аспектов теории управляемых систем классическое понятие обратной связи в литературе используется и в расширенном смысле: отображение обратной связи понимается многозначным, ставящим в соответствие состоянию системы целое множество допустимых значений. При этом это множество может определяться как в каждый момент времени функционирования системы, так и на всем временном промежутке. Этот подход позволяет эффективно использовать для описания управляемых систем теорию дифференциальных включений, основываясь на известной лемме А. Ф. Филиппова о неявной функции и теории степени многозначных отображений. Познакомиться с данным подходом можно, например, в монографиях [3, 18], обзорной статье [25] или работах [6, 7, 11, 28]. Таким образом, в работе рассматривается задача управления с обратной связью (1.1)- (1.4), (2.2). Сформулируем определение слабого решения задачи управления с обратной связью (1.1)-(1.4), (2.2). Будем предполагать, что начальное условие v0 принадлежит пространству V 0. 1 То есть для каждого v ∈ W1 и открытого множества V ⊂ L2 (0,T ; V -1) такого, что Ψ(v) ⊂ V, существует окрестность U (v) такая, что Ψ(U (v)) ⊂ V. 2 То есть образ Ψ относительно компактен в L2(0,T ; V -1 ). ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 625 Определение 2.2. Слабым решением задачи управления с обратной связью (1.1)-(1.4), (2.2) называется пара функций (v, f ) ∈ W1 × L2(0,T ; V -1), удовлетворяющая a) условию обратной связи (2.2), b) при любой ϕ ∈ V 1 и п.в. t ∈ (0,T ) тождеству r ⊗v∗, ϕ) - Ω n , viv i=1 ∂ϕ ∂xi r dx + μ0 Ω ∇v : ∇ϕ dx + 1 r + μ1 Γ(1 - α) Ω t r -(t-s) e λ 0 (t - s)-α E(v)(s, z(s; t, x)) ds ε(ϕ) dx = ⊗f, ϕ), (2.3) и c) начальному условию v(0) = v0. Здесь z - РЛП, порожденный v. Первым результатом настоящей работы является следующая теорема. Теорема 2.3. Пусть многозначное отображение Ψ удовлетворяет условиям (Ψ1)-(Ψ4). Тогда существует хотя бы одно слабое решение задачи управления с обратной связью (1.1)- (1.4), (2.2). Обозначим через Σ ⊂ W1 × L2(0,T ; V -1) множество всех слабых решений задачи (1.1)- (1.4), (2.2). Рассмотрим произвольный функционал качества Φ : Σ → R, удовлетворяющий следующим условиям: (Φ1) существует число γ такое, что Φ(v, f ) ;;: γ для всех (v, f ) ∈ Σ; 1 (Φ2) если vm _ ∗ в W1 и fm → f∗ в L2(0,T ; V - ), то Φ(v∗, f∗) lim m→∞ Φ(vm, fm). В качестве примера такого функционала можно привести следующий функционал качества: T r Φ(v, f )= 0 T r 2 lv(t) - u∗(t)lV 1 dt + 0 2 lf (t)lV -1 dt. Здесь u∗ - некоторое заданное поле скоростей. Данный функционал характеризует отклонение имеющейся скорости от требуемой скорости. Его минимум даст нам минимальное отклонение скорости от заданной при минимальном управлении. Таким образом, мы перешли к задаче оптимального управления с обратной связью. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 2.4. Если отображение Ψ удовлетворяет условиям (Ψ1)-(Ψ4), а функционал Φ удовлетворяет условиям (Φ1)-(Φ2), тогда задача оптимального управления с обратной связью (1.1)-(1.4), (2.2) имеет хотя бы одно слабое решение (v∗, f∗) такое, что Φ(v∗, f∗)= inf (v,f )∈Σ Φ(v, f ). Доказательство данных результатов состоит из нескольких частей. Сначала на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию математических задач гидродинамики, разработанного В. Г. Звягиным (см. [5, 13]), доказывается существование слабых решений исследуемой задачи управления с обратной связью. Для этого вводится семейство (0 ξ 1) вспомогательных включений, зависящих от малого параметра ε > 0, доказываются априорные оценки решений и на основе теории топологической степени для многозначных векторных полей доказывается существование слабых решений вспомогательной задачи управления с обратной связью при ξ = 1. Далее, для доказательства разрешимости исходной задачи управления с обратной связью на основе необходимых оценок устанавливается предельный переход. В заключение показывается, что во множестве решений найдется хотя бы одно решение, дающее минимум заданному функционалу качества. 3. Аппроксимационная задача На протяжение этого раздела будем предполагать, что v0 ∈ V 3. Рассмотрим следующее семейство вспомогательных задач (0 ξ 1) с малым параметром θ > 0. Для данного семейства введем еще одно функциональное пространство W2 = {v ∈ C([0,T ]; V 3), v∗ ∈ L2(0,T ; V 3)}. 626 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО Задача 3.1. Найти пару функций (v, f ) ∈ W2 × L2(0,T ; V -1), удовлетворяющих: a) условию обратной связи (2.2), b) при любой ϕ ∈ V 1 и п.в. t ∈ (0,T ) тождеству r ⊗v∗, ϕ) - ξ Ω n , vivj i,j=1 t ∂ϕj ∂xi r dx + μ0 Ω r ∇v : ∇ϕdx - ξθ Ω ∇Δv∗ : ∇ϕ dx + + μ1ξ r r Γ(1 - α) Ω 0 α -(t-s) e λ (t - s)- E(v)(s, z(s; t, x))E (ϕ) ds dx = ξ⊗f, ϕ) (3.1) и c) начальному условию v(0, ·)= ξv0. Здесь z - РЛП, порожденный v. Далее будет доказано существование решения аппроксимационной задачи при ξ =1 и показано, что из последовательности ее решений можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к слабому решению задачи (1.1)-(1.4), (2.2) при стремлении параметра аппроксимации θ к нулю. Для этого перейдем к операторной трактовке задачи 3.1. Введем операторы: r J : V 3 → V -1, ⊗Jv, ϕ) = Ω r vϕ dx, v ∈ V 3, ϕ ∈ V 1; A : V 1 → V -1, ⊗Av, ϕ) = ∇v : ∇ϕ dx, v ∈ V 1, ϕ ∈ V 1; Ω r A2 : V 3 → V -1, ⊗A2v, ϕ) = - Ω ∇Δv : ∇ϕ dx, v ∈ V 3, ϕ ∈ V 1; B : V 1 × [0,T ] × [0,T ] × Ω → V -1, r ⎛ t ⎞ -(t-s) (B(v, z)(t), ϕ)= ⎝ e 0 λ (t - s)-αE(v)(s, z(s; t, x)) ds, E(ϕ)⎠ , v ∈ V 1, z ∈ [0,T ] × [0,T ] × Ω, ϕ ∈ V 1, t ∈ (0,T ); r K : L4(Ω) → V -1, ⊗K(v), ϕ) = Ω n , vivj i,j=1 ∂ϕj ∂xi dx, v ∈ L4(Ω), ϕ ∈ V 1. Поскольку в равенстве (3.1) функция ϕ ∈ V 1 произвольна, оно эквивалентно в L2(0,T ; V -1) следующему операторному уравнению: μ1ξ - Jv∗ - θA2v∗ + μ0Av + Γ(1 B(v, z) ξK(v)= ξf. (3.2) - α) Таким образом, задача 3.1 существования слабого решения аппроксимационной задачи при ξ =1 эквивалентна задаче существования решения v ∈ W2 следующего операторного включения: μ1ξ - ∈ Jv∗ - θA2v∗ + μ0Av + Γ(1 B(v, z) ξK(v)= ξf Ψ(v), (3.3) - α) удовлетворяющего начальному условию v(0, ·)= ξv0. Также определим операторы при помощи следующих равенств: L : W2 → L2(0,T ; V -1) × V 3, L(v)= ((J + θA2)v∗ + μ0Av, v|t=0); C : W2 → L2(0,T ; V -1) × V 3, C(v)= (K(v), 0); μ1 G : W2 → L2(0,T ; V -1) × V 3, G(v)= ( Γ(1 - α) B(v, z), 0). Тогда задача о нахождении решения операторного уравнения (3.2) при фиксированном 0 ξ 1, удовлетворяющего начальному условию v(0, ·)= ξv0, эквивалентна задаче о нахождении решения при фиксированном 0 ξ 1 операторного уравнения L(v)= ξ(C(v) - G(v)+ (f, v0)). ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 627 Рассмотрим свойства введенных выше операторов. Лемма 3.1. 1. Для любого v ∈ L2(0,T ; V 1) функция Av принадлежит L2(0,T ; V -1), оператор A : L2(0,T ; V 1) → L2(0,T ; V -1) непрерывен и справедливы оценки lAvlV -1 lvlV 1 ; lAvlL2 (0,T ;V -1) lvlL2 (0,T ;V 1). 2. Для любой функции v ∈ Lp(0,T ; V 3), 1 p < ∞, функция (J + θA2)v принадлежит Lp(0,T ; V -1) и оператор (J + θA2) : Lp(0,T ; V 3) → Lp(0,T ; V -1) непрерывен и обратим. Кроме того, имеет место оценка θlvlLp (0,T ;V 3 ) l(J + θA2)vlLp (0,T ;V -1) C3(1 + θ)lvlLp (0,T ;V 3). Причем обратный к нему оператор (J + θA2)-1 : Lp(0,T ; V -1) → Lp(0,T ; V 3) непрерывен и для любого w ∈ Lp(0,T ; V -1) имеет место оценка 1 p l(J + θA2)-1wlL (0,T ;V 3 ) θ lwlLp (0,T ;V -1 ). 3. Оператор L : W2 → L2(0,T ; V -1) × V 3 обратим и обратный к нему оператор L-1 : L2(0,T ; V -1) × V 3 → W2 является непрерывным оператором. 4. Для любой функции v ∈ W2 функция K(v) ∈ L2(0,T ; V -1), отображение K : W2 → L2(0,T ; V -1) является компактным и для него имеет место оценка 2 lK(v)lV -1 C4lvlL4 (Ω). (3.4) Доказательство данной леммы является достаточно стандартным и проводится аналогично леммам 2.5.4, 4.4.1-4.4.3 и 7.7.6 в монографии [13]. Перейдем к изучению свойств оператора B. Введем норму lvlk,L2(0,T ;V -1 ), равную норме kt lvlL2 (0,T ;V -1), где v(t)= e- v(t), k ;;: 0. Тогда имеет место следующая лемма. Лемма 3.2. Для любых v ∈ L2(0,T ; V 1) и zm ∈ [0,T ] × [0,T ] × Ω¯ выполнено B(v, z) ∈ L2(0,T ; V -1) и отображение B : L2(0,T ; V 1) × [0,T ] × [0,T ] × Ω¯ → L2(0,T ; V -1) непрерывно и ограничено. Кроме того, для любого фиксированного z ∈ [0,T ] × [0,T ] × Ω¯ , для любых u, v ∈ L2(0,T ; V 1) справедлива оценка lB(v, z) - B(u, z)lk,L2 (0,T ;V -1) C5T - 1/2 αI λ 2+ 2kλ lv - ulk,L2(0,T ;V 1 ). (3.5) Доказательство. Первая часть данной леммы доказывается аналогично лемме 2.2 из статьи [10]. Докажем необходимую оценку (3.5). Пусть v(t)= e-ktv(t), u(t)= e-ktu(t). Для любого ϕ ∈ L2(0,T,V 1) имеем: ⊗e-ktB(v, z)(t) - e-ktB(u, z)(t), ϕ(t)) = T t r r r = 0 Ω 0 e-(t-s)(1/λ+k)(t - s)-αEij (v - u)(s, z(s; t, x)) ds Eij (ϕ)(t) dx dt. Тогда с помощью неравенства Гёльдера: ⊗e-ktB(v, z)(t) - e-ktB(u, z)(t), ϕ(t)) ⎛ r T rt r ⎞1/2 ⎛ r ⎞1/2 2 e-(t-s)(1/λ+k)(t - s)-α ⎝ 0 0 Ω E (v - u)(s, z(s; t, x)) dx⎠ 2 ⎝ E (ϕ)(t, x) dx⎠ Ω ds dt = T t ⎛ r r r ⎞1/2 = e-(t-s)(1/λ+k)(t - s)-α ⎝ 0 0 Ω 2 E (v - u)(s, z(s; t, x)) dx⎠ lϕlV 1 ds dt 628 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО T t r r e-(t-s)(1/λ+k) (t - s)-αlv - ulV 1 lϕlV 1 ds dt 0 0 T ⎛ t r r ⎞1/2 ⎛ t r ⎞1/2 ⎝ e-2(t-s)(1/λ+k) ds⎠ 0 0 ⎝ [(t - s)-αlv - ulV 1 ]2 ds⎠ 0 lϕlV 1 dt ⎛ T t r r ⎞1/2 ⎛ T t 2 r r 2 ⎞1/2 ⎝ e-2(t-s)(1/λ+k) dslϕlV 1 dt⎠ 0 0 ⎝ (t - s)-2αlv - ulV 1 ds dt⎠ 0 0 ⎛ T r 2 ⎞1/2 ⎛ T t r r ⎞1/2 2 ../C5T 1/2-α ⎝ 0 lv - ulV 1 dt⎠ ⎝ 0 0 ⎛ T t r r e-2(t-s)(1/λ+k) dslϕlV 1 dt⎠ = ⎞1/2 2 2 = ../C5T 1/2-αlv - ulL (0,T ;V 1) ⎝ 0 Здесь мы воспользовались оценкой (см. [15]) e-2(t-s)(1/λ+k) dslϕlV 1 0 dt⎠ . I t I Ir I I I I (t - s)-αϕ(s) dsI I I I0 ILp(0,T ) p C5T 1-αlϕ(s)lL (0,T ), ϕ(s) ∈ Lp(0,T ), 1 p < ∞. Оценим последний интеграл: ⎛ T t r r ⎞1/2 ⎛ T 2 λ r ⎞1/2 2 ⎝ ⎝ e-2(t-s)(1/λ+k) dslϕ(t, ·)lV 1 dt⎠ 0 0 = 2(1 + kλ) 0 1 - e-2t(1/λ+k)lϕ(t, ·)lV 1 dt⎠ ⎛ T λ r 2 ⎞1/2 ( λ \1/2 ⎝ 2(1 + kλ) 0 lϕ(t, ·)lV 1 dt⎠ = 2(1 + kλ) lϕlL2 (0,T ;V 1 ). Таким образом, получили оценку: I λ ⊗e-ktB(v, z)(t) - e-ktB(u, z)(t), ϕ(t)) C5T 1/2-α lv - ulL (0,T ;V 1 )lϕlL (0,T ;V 1), откуда следует оценка (3.5). 2+ 2kλ 2 2 Напомним несколько понятий, касающихся меры некомпактности и L-уплотняющих операторов (см. [4, 14]). Определение 3.1. Неотрицательная вещественная функция ψ, определенная на подмножестве банахова пространства F, называется мерой некомпактности, если для любого подмножества M этого пространства выполнены следующие свойства: 1. ψ(co M)= ψ(M); 2. для любых двух множеств M1 и M2 из того, что M1 ⊂ M2, следует, что ψ(M1) ψ(M2). В качестве примера меры некомпактности возьмем меру некомпактности Куратовского: точная нижняя граница d > 0, для которой множество M допускает разбиение на конечное число подмножеств, диаметры которых меньше d. Приведем некоторые важные свойства меры некомпактности Куратовского: 3. ψ(M)= 0, если M - относительно компактное подмножество; 4. ψ(M ∪ K)= ψ(M), если K - относительно компактное множество. ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 629 Определение 3.2. Пусть X - ограниченное подмножество банахова пространства и L : X → F - отображение X в банахово пространство F. Отображение g : X → F называется L-уплотняющим, если ψ(g(M)) < ψ(L(M)) для любого множества M ⊆ X такого, что ψ(g(M)) ◦= 0. Пусть γk - мера некомпактности Куратовского в пространстве L2(0,T ; V -1) с нормой 1 ⎛ T ⎞ 2 r 2 -kt lvlk,L2 (0,T ;V -1 ) = ⎝ 0 Тогда имеет место следующая лемма. lvlV -1 e dt⎠ . Лемма 3.3. Отображение B : W2 → L2(0,T ; V -1) является L-уплотняющим по мере некомпактности Куратовского γk. Доказательство. Пусть M ⊂ W2 ⊂ L2(0,T ; V 1) - произвольное ограниченное множество. В силу теоремы 2.1 множество z(M ) - множество траекторий z, однозначно определяемых по скоростям v ∈ M, - относительно компактно. Тогда множество B(v, z(M )) относительно компактно для любого фиксированного v ∈ W2. Кроме того, для любых z ∈ z(M ) отображение B(·, z) удовлетворя- I λ ет условию Липшица с константой C5T 1/2-α в нормах l· lk,L (0,T ,V 1 ) и l· lk,L (0,T ,V -1). 2+ 2kλ 2 2 Тогда отображение B(v, z) (см. [2, теорема 1.5.7]), а следовательно, и отображение G является ограниченным относительно меры некомпактности Хаусдорфа χk. Известно, что меры некомпактности Хаусдорфа и Куратовского удовлетворяют неравенствам χk (M ) γk (M ) 2χk (M ) (см. [2, теорема 1.1.7]). Поэтому справедлива оценка I λ γk (G(M )) C5T 1/2-α γk (L(M )). 2+ 2kλ I λ Выбирая k так, чтобы C5T 1/2-α < 1, получаем утверждение леммы. 2+ 2kλ Используя полученные выше свойства операторов, докажем следующие априорные оценки для семейства вспомогательных задач 3.1. 1. Априорные оценки Лемма 4.1. Решения семейства включений (3.3) удовлетворяют следующим оценкам: √ lvlL2 (0,T ;V 1 ) C6(lv0lV 0 + lvlC([0,T ];V 0) C7(lv0lV 0 + θlv0lV 2 + lf lL2(0,T ;V -1 )); (4.1) √ θlv0lV 2 + lf lL2 (0,T ;V -1 )); (4.2) 2 2 2 2 θlvlC([0,T ];V 2) C8(lv0lV 0 + θlv0lV 2 + lf lL2 (0,T ;V -1 )), (4.3) где постоянные C6, C7, C8 не зависят от θ и ξ. Доказательство. Пусть v ∈ W2 - решение операторного включения (3.3) для некоторого ξ ∈ [0, 1]. Тогда для любого ϕ ∈ V 1 и почти всех t ∈ (0,T ) имеет место равенство (3.1). Поскольку оно справедливо при всех ϕ ∈ V 1, возьмем ϕ = v, где v(t)= e-ktv. Тогда r r v∗v dx - ξ Ω Ω t n , vivj i,j=1 ∂vj ∂xi dx + μ0 r ∇(v): ∇(v)dx + Ω μ1ξ r r -(t-s) + e Γ(1 - α) 0 λ (t - s)-α(E(v)(s, z(s; t, x))ds, E(v)) - θ Ω ∇Δv∗(t): ∇v(t) dx = ξ⊗f, v). Выполним замену v = ektv и отдельно преобразуем слагаемые в левой части: r v∗v dx = Ω r (ektv)∗v dx = ekt Ω r v∗v dx + kekt Ω r vv dx = Ω 630 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО ekt r ∂(vv) 2 ekt d 2 kt 2 = 2 ∂t Ω dx + kektlvlV 0 = 2 dt lvlV 0 + ke lvlV 0 ; r n , vivj Ω i,j=1 ∂vj ∂xi dx = ekt r 2 Ω n ∂v v , vi j j i,j=1 ∂xi dx = - ekt r 2 Ω n , i=1 ∂vi ∂xi n , vjvj = - j=1 ekt r 2 Ω n divv , vjvj = 0. j=1 Преобразуем следующее слагаемое: r -θ ∇Δv∗ : ∇v dx = -θ Ω r ∇Δ(ektv)∗ : ∇v dx = -θkekt Ω r ∇Δv : ∇v dx - θekt Ω r ∇Δv∗ : ∇v dx = Ω r kt r ( kt 2 2 = θkekt θe ΔvΔv dx + ∂ ΔvΔv dx = θkektlvl θe d + lvl . 2 ∂t Ω Ω V 2 2 dt V 2 Наконец, преобразуем последнее слагаемое: r 2 В итоге получаем: ektμ0 Ω ∇(v): ∇(v)dx = ektμ0lvlV 1 . ekt d 2 kt 2 kt 2 kt 2 θekt d 2 2 dt lvlV 0 + ke r t lvlV 0 + μ0e lvlV 1 + θke lvlV 2 + 2 dt lvlV 2 = = - μ1ξ Γ(1 - α) 0 -(t-s) e λ (t - s)-α (E(v)(s, z(s; t, x))ds, E(v)) = ekt ξ⊗f, v). Оценим по модулю правую часть полученного равенства. Воспользовавшись неравенством Коши δb2 c2 bc + для δ = 1/μ0, мы получим: 2 2δ ekt 2 μ0ekt 2 ξekt⊗f, v) ektlf lV -1 lvlV 1 2μ0 lf lV -1 + 2 lvlV 1 . Умножая обе части равенства на e-kt, при почти всех t ∈ (0,T ) имеем 1 d 2 2 μ0 2 θ d 2 2 2 dt lvlV 0 + klvlV 0 + 2 lvlV 1 + 2 dt lvlV 2 + θklvlV 2 ⎛ t μ r 1 -kt -(t-s) λ -α -kt ⎞ 1 2 - Γ(1 - α) ⎝e e 0 (t - s) (E(e 0 v)(s, z(s; t, x))ds, E(v))⎠ + 2μ lf lV -1 . Проинтегрируем последнее неравенство по t от 0 до τ, где τ ∈ [0,T ]. Тогда 1 2 τ θ 2 r 2 τ τ μ0 r 2 r 2 2 lvlV 0 + 2 lvlV 2 + k 0 lvlV 0 dt + 2 0 τ lvlV 1 dt + θk 0 lvlV 2 dt 1 2 1 r 2 θ 2 0 2 lv0lV 0 + 2μ 0 lf lV -1 dt + 2 lv0lV 2 + τ ⎛ t ⎞ + μ1 r -kt r -(t-s) λ -α -kt Γ(1 - α) 0 ⎝e e 0 (t - s) (E(e v)(s, z(s; t, x))ds, E(v))⎠ dt. Используя оценку (3.5) для u = 0, получаем: τ τ τ r r 1 2 θ 2 2 μ0 r 2 2 2 lvlV 0 + 2 lvlV 2 + k 0 lvlV 0 dt + 2 0 lvlV 1 dt + θk 0 lvlV 2 dt ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 631 1. 2 μ1C5T 1/2-α/ λ 2+2kλ 2 1 2 θ 2 2 lv0lV 0 + Γ(1 - α) lvlL2 (0,T ;V 1) + 2μ0 lf lL2 (0,T ;V -1 ) + 2 lv0lV 2 . Возьмем k достаточно большим, чтобы части отдельно: τ μ1C5T 1/2-α/ λ 2+2kλ Γ(1 - α) μ0/4. Оценим каждый член левой μ0 r 2 1 2 θ 2 1 2 μ0 2 0 2. lvlV 1 dt 2 lv0lV 0 + 2 lv0lV 2 + 2μ 0 lf lL2 (0,T ;V -1 ) + 4 lvlL2 (0,T ;V 1 ), θ 2 1 2 θ 2 1 2 μ0 2 0 2 lvlV 2 2 lv0lV 0 + 2 lv0lV 2 + 2μ lf lL2 (0,T ;V -1) + 4 lvlL2 (0,T ;V 1), 1 2 1 2 θ 2 1 2 μ0 2 0 2 lvlV 0 2 lv0lV 0 + 2 lv0lV 2 + 2μ lf lL2 (0,T ;V -1) + 4 lvlL2 (0,T ;V 1). Так как правая часть во всех приведенных неравенствах не зависит от τ, то в левой части возьмем максимум по τ ∈ [0,T ]: μ0 2 1 2 μ0 2 1 2 θ 2 0 2 lvlL2 (0,T ;V 1 ) 2μ lf lL2 (0,T ;V -1) + 4 lvlL2 (0,T ;V 1) + 2 lv0lV 0 + 2 lv0lV 2 , θ 2 1 2 μ0 2 1 2 θ 2 0 2 lvlC([0,T ];V 2) 2μ lf lL2 (0,T ;V -1 ) + 4 lvlL2 (0,T ;V 1 ) + 2 lv0lV 0 + 2 lv0lV 2 , 1 2 1 2 μ0 2 1 2 θ 2 0 2 lvlC([0,T ];V 0) 2μ lf lL2 (0,T ;V -1 ) + 4 lvlL2 (0,T ;V 1 ) + 2 lv0lV 0 + 2 lv0lV 2 . Отсюда непосредственно следуют требуемые оценки (4.1)-(4.3). Лемма 4.2. Если v ∈ W2 - решение операторного включения (3.3) для некоторого ξ ∈ [0, 1], то для него имеют место следующие оценки: (1+ 1 ( 2 2 √ 2 θlv∗lL2 (0,T ;V 3) C9 θ lv0lV 0 + lf lL2 (0,T ;V -1) + C9 θlv0lV 2 + C9lv0lV 2 ; (4.4) 1 1 2 C9T 2 ( 1 ( 2 2 C9T 2 ( lv0lV 2 lvlC([0,T ];V 3) lv0lV 3 + θ 1+ θ lv0lV 0 + lf lL2(0,T ;V -1 ) + √θ lv0lV 2 + √θ ; (4.5) 2 2 2 2 lv∗lL4/3 (0,T ;V -1 ) C10(lv0lV 0 + θlv0lV 2 + lf lL (0,T ;V -1 ) + 1); (4.6) 2 2 2 2 θlv∗lL4/3 (0,T ;V 3) C11(lv0lV 0 + θlv0lV 2 + lf lL (0,T ;V -1) + 1), (4.7) где постоянные C9, C10, C11 не зависят от θ, v, ξ. Доказательство. Пусть v ∈ W2 - решение (3.3). Тогда оно удовлетворяет следующему равенству I I l(J + θA2)v∗lL2 (0,T ;V -1 ) = Iξf - μ0Av - ξμ1 Γ(1 - α) I B(v, z) - ξK(v )I . IL2 (0,T ;V -1) Оценим правую часть, используя оценку (3.5) при u = 0. I I Iξf - μ0Av - μ1C5T 1/2-α ξμ1 Γ(1 - α) )I B(v, z)+ ξK(v I IL2(0,T ;V -1) lf lL2 (0,T ;V -1 ) + Γ(1 - α) lvlL2 (0,T ;V 1 ) + μ0lvlL2 (0,T ;V 1 ) + lK(v)lL2 (0,T ;V -1). (4.8) Отдельно оценим величину lK(v)lL2 (0,T ;V -1 ). Используя (3.4), а также непрерывность вложения V 2 ⊂ L4(Ω), имеем: 1 1 ⎛ T ⎞ 2 ⎛ T ⎞ 2 r 2 r 4 lK(v)lL2 (0,T ;V -1 ) = ⎝ 0 lK(v)lV -1 dt⎠ C4 ⎝ 0 lv(t)lL4 (Ω) dt⎠ 632 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО 1 ⎛ T ⎞ 2 r 4 1 2 1 2 C12 ⎝ 0 lv(t)lV 2 dt⎠ C12T 2 max lv(t)lV 2 = C12T 2 lvlC([0,T ];V 2). t∈[0,T ] Перепишем (4.8) в виде: I I Iξf - μ0Av - ξμ1 Γ(1 - α) )I B(v, z)+ ξK(v I IL2(0,T ;V -1) 1 2 C13(lf lL2 (0,T ;V -1) + lvlL2 (0,T ;V 1 ) + C12T 2 lvlC([0,T ];V 2)). Из априорных оценок (4.1) и (4.3) следует, что ( 1 2 2 √ 2 l(J + θA2)v∗lL2 (0,T ;V -1) C9 1+ θ (lv0lV 0 + lf lL2 (0,T ;V -1))+ C9 θlv0lV 2 + C9lv0lV 2 . Для того, чтобы получить оценку снизу, воспользуемся оценкой на (J + θA2)-1. Получим: θlv∗lL2 (0,T ;V 3 ) l(J + θA2)v∗lL2 (0,T ;V -1 ) 1+ C9( lV 0 1 θ (lv0 2 + lf 2 lL2 (0,T ;V -1 ) V )+ C9√θlv0l 2 2 + C9lv0lV 2 . Следовательно, доказано неравенство (4.4). t Перейдем к оценке (4.5). Представим функцию v ∈ W2 в виде v = v0 - v∗(s) ds. Тогда 0 I t I r I lvlV 1 Iv0 - I I 0 I I I v∗(s)I I IV 1 ds lv0lV 3 + √ T lv∗lL2 (0,T ;V 1 ). Так как правая часть полученного неравенства не зависит от t, то перейдем к максимуму по τ ∈ [0,T ] в левой части. Тогда с учетом оценки (4.4) получим 1 C9T 2 ( 1 ( 2 2 1 C9T 2 1 C9T 2 2 l lV l 0lV max v(t) 3 v 3 + t∈[0,T ] θ 1+ θ lv0lV 0 + lf lL2 (0,T ;V -1) + √ lv0lV 2 + θ θ lv0lV 2 . Таким образом, установлена оценка (4.5). Теперь мы докажем (4.6). Как и ранее, v ∈ W2 - решение операторного уравнения (3.3). Тогда I lv∗lL4/3 (0,T ;V -1) I 0 2 I ξμ1 ∗ I Iξf - μ Av - Γ(1 - α) B(v, z) - θA v μ1 + K(v) IL4/3 (0,T ;V -1) lf lL4/3 (0,T ;V -1) + μ0lAvlL4/3 (0,T ;V -1 ) + Γ(1 - α) lB(v, z)lL4/3 (0,T ;V -1 ) + + θlA2v∗lL 4/3 (0,T ;V -1 ) + lK(v)lL 4/3 (0,T ;V -1). (4.9) Отдельно рассмотрим слагаемые в правой части последнего неравенства. Сначала установим оценку на lK(v)lL4/3 (0,T ;V -1 ). Учитывая известное неравенство для n =3 1 1 3 4 4 1 lulL4 (Ω) 22 lulL (Ω)l∇ulL (Ω), u ∈ V , 2 2 и оценку (3.4), мы получим (для случая n =2 доказательство аналогично): 3 3 ⎛ T ⎞ 4 r 4 3 ⎛ T ⎞ 4 r 8 3 lK(v)lL4/3 (0,T ;V -1 ) = ⎝ 0 ⎛ T lK(v)lV -1 dt⎠ 3 ⎞ 4 C4 ⎝ 0 ⎛ T lvlL4 (Ω) dt⎠ 3 ⎞ 4 r 2C4 ⎝ 0 2 lvl 3 L2 (Ω) 2 l∇vlL2 (Ω) dt⎠ 3 r C14 ⎝ 0 2 V 0 lvl 3 2 lvlV 1 dt⎠ ⎛ T 1 r C14lvl 2 C([0,T ];V 0) ⎝ 0 2 lvlV 1 ⎞ 4 dt⎠ 1 = C14lvl 2 C([0,T ];V 0) 3 lvl 2 L2 (0,T ;V 1 ). ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 633 Используя неравенство Гёльдера: 3 ⎛ T ⎞ 4 ⎛ T 3 1 ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 2 r lAvlL4/3 (0,T ;V -1 ) = ⎝ 0 4 3 lAvlV -1 dt⎠ r 4 3 ⎝ lvlV 1 dt⎠ 0 1 r T 4 ⎝ 0 2 lvlV 1 dt⎠ 1 = T 4 lvlL2 (0,T ;V 1). Аналогичным образом с помощью неравенства Гёльдера и оценки (3.5) для u =0 получим: 3 1 ⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 2 2 r 4 1 r 3 lB(v, z)lL4/3 (0,T ;V -1) = ⎝ 0 lB(v, z)lV -1 dt⎠ T 4 ⎝ 0 lB(v, z)lV -1 dt⎠ = 1 1 1/2-α = T 4 lB(v, z)lL2 (0,T ;V -1) T 4 T Наконец, рассмотрим последнее слагаемое: C5lvlL2 (-0,T ;V 1 ). θlA2v∗lL 4/3 ⎛ T r (0,T ;V -1 ) = θ ⎝ 0 4 V -1 lA2v∗l 3 3 ⎞ 4 dt⎠ ⎛ T r θ ⎝ 0 4 V 3 lv∗l 3 3 ⎞ 4 dt⎠ θlv∗lL 4/3 (0,T ;V 3). Оценим правую часть для p = 4/3: θlv∗lL4/3 (0,T ;V 3) lf lL4/3 (0,T ;V -1) - μ0lAvlL4/3 (0,T ;V -1 ) + + lK(v)lL4/3 (0,T ;V -1 ) + μ1lB(v, z)lL4/3 (0,T ;V -1 ). Таким образом, θlA2v∗lL 4/3 (0,T ;V -1 ) θlv∗lL μ1 4/3 (0,T ;V 3) lf lL 4/3 (0,T ;V -1) + + μ0lAvlL4/3 (0,T ;V -1) + Γ(1 - α) lB(v, z)lL4/3 (0,T ;V -1 ) + lK(v)lL4/3 (0,T ;V -1). Итак, из (4.9), оценок наших операторов выше и априорных оценок (4.1) и (4.2), получим lv∗lL4/3 (0,T ;V -1) 2(lf lL4/3 (0,T ;V -1 ) + μ0lAvlL4/3 (0,T ;V -1) + μ1 + lK(v)lL4/3 (0,T ;V -1 ) + Γ(1 - α) lB(v, z)lL4/3 (0,T ;V -1 )) 1 3 2 2 C15(lf lL2 (0,T ;V -1 ) + lvlL2 (0,T ;V 1) + lvlC([0,T ];V 0 )lvlL2 (0,T ;V 1)) √ C16((lf lL2 (0,T ;V -1) + lv0lV 0 + θlv0lV 2 )+ (lf lL2 (0,T ;V -1 ) + lv0lV 0 + + √θlv0l 1 2 ) ( f + v + √ v 3 ) ) V 2 l lL2 (0,T ;V -1 ) l 0lV 0 θl 0lV 2 2 √ 2 2 √ C17(lf lL2 (0,T ;V -1 ) +1 + lv0lV 0 + θlv0lV 2 ) 4C17(lf lL2 (0,T ;V -1 ) +1 + lv0lV 0 + θlv0lV 2 ). Тогда получаем неравенство (4.6), где C10 = 4C17. Наконец, вновь применяя оценки на наши операторы, для правой части (4.9), а также априорные оценки (4.1) и (4.2), получим θlv∗lL4/3 (0,T ;V 3 ) 2(lf lL4/3 (0,T ;V -1 ) + μ0lAvlL4/3 (0,T ;V -1 ) + μ1 + Γ(1 - α) lB(v, z)lL4/3 (0,T ;V -1 ))+ lK(v)lL4/3 (0,T ;V -1) 1 3 2 2 C18(lf lL2 (0,T ;V -1 ) + lvlL2 (0,T ;V 1) + lvlC([0,T ];V 0 )lvlL2 (0,T ;V 1)) √ C19(lf lL2 (0,T ;V -1 ) + lv0lV 0 + θlv0lV 2 + √ 1 √ 3 + (lf lL2 (0,T ;V -1 ) + lv0lV 0 + θlv0lV 2 ) 2 (lf lL2 (0,T ;V -1 ) + lv0lV 0 + θlv0lV 2 ) 2 ) √ 2 2 √ C19(lf lL2 (0,T ;V -1 ) +1 + lv0lV 0 + θlv0lV 2 ) 4C19(lf lL2 (0,T ;V -1 ) +1 + lv0lV 0 + θlv0lV 2 ). Таким образом, установлено неравенство (4.7), где C11 = 4C19. Из лемм 4.1 и 4.2 непосредственно вытекает следствие. 634 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО Следствие 4.1. Если v ∈ W2 - решение (3.3) для некоторого ξ ∈ [0, 1], то для него имеет место оценка где константа C20 зависит от θ. lvlW2 C20, Теперь мы готовы сформулировать и доказать теорему о существовании решений вспомогательной задачи (3.1) при ξ = 1. 2. Существование решения аппроксимационной задачи Теорема 5.1. Операторное включение (3.3) при ξ =1 имеет хотя бы одно решение v ∈ W2. Доказательство. Для доказательства данной теоремы воспользуемся теорией топологической степени для многозначных векторных полей (см., например, [3]). Введем оператор Y : W2 → L2(0,T ; V -1) × V 3 следующим образом: Y(v) = (Ψ(v), v0). Тогда задача существования решения (v, f ) ∈ W2 × L2(0,T ; V -1) задачи 3.1 эквивалентна задаче существования решения v ∈ W2 для следующего операторного включения: v ∈ ξM, где M = L-1(Y + C(v) - G(v)). (5.1) Из следствия 4.1 следует, что все решения уравнения (5.1) лежат в шаре BR ⊂ W2 с центром в нуле и радиусом R = C20 + 1. Согласно утверждению 3) леммы 3.1 оператор L : W2 → L2(0,T ; V -1) × V 3 является обратимым. Тогда ни одно решение v ∈ ξM не принадлежит границе шара BR. В силу части 3) леммы 3.1 оператор L-1 : L2(0,T ; V -1) × V 3 → W2 является непрерывным. Согласно части 4) леммы 3.1 и лемме 3.3 отображение (Y + C(v) - G(v)) : W2 → L2(0,T ; V -1)× V 3 является L-уплотняющим относительно меры некомпактности Куратовского γk. Следовательно, оператор M : W2 → W2 является уплотняющим относительно меры некомпактности Куратовского γk. Таким образом, векторное поле v - ξM невырождено на границе шара BR, а значит, для этого векторного поля определена топологическая степень deg(I - ξM, BR, 0). По свойствам гомотопической инвариантности и нормировки степени получим, что deg(I - M, BR, 0) = deg(I, BR, 0) = 1. Отличие от нуля, степень отображения обеспечивает существование хотя бы одного решения v ∈ W2 включения (3.3) при ξ = 1, а следовательно, и вспомогательной задачи 3.1 при ξ = 1. 3. Предельный переход Перейдем к доказательству разрешимости исходной задачи управления. Для этого осуществим предельный переход во вспомогательной задаче 3.1 при ξ = 1. Поскольку пространство V 3 плотно в V 0, то для каждого v∗ ∈ V 0 существует последовательность vm ∈ V 3, сходящаяся к v∗ в V 0. 0 0 0 Если v∗ ≡ 0, то положим vm ≡ 0, θm = 1/m. Если же lv∗l 0 ◦= 0, то начиная с некоторого 0 0 0 V = 2 номера lvml 2 ◦ 0. Тогда положим θm = 1/(mlvmlV 2 ). В силу нашего выбора полученная 0 V 0 2 0 последовательность {θm} сходится к нулю при m → ∞. При этом θmlvmlV 2 1. 0 По теореме 5.1 при каждом θm и vm существует решение vm ∈ W2 ⊂ W1 вспомогательной задачи 3.1 при ξ = 1. Таким образом, каждое решение vm для всех ϕ ∈ V 1 при почти всех t ∈ (0,T ) удовлетворяет равенству r ⊗(vm)∗, ϕ) - n , vmvm ∂ϕj r dx + μ0 r ∇vm : ∇ϕ dx - θm ∇Δ(vm)∗ : ∇ϕ dx + i Ω i,j=1 j ∂xi Ω Ω r ⎛ t ⎞ μ1 -(t-s) ⎝ + e Γ(1 - α) 0 λ (t - s)-αE(vm)(s, zm(s; t, x)) ds, E(ϕ)⎠ = ⊗f, ϕ) (6.1) ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 635 0 и начальному условию v(0, x)= vm. Таким образом, из оценок (4.1), (4.2), (4.6) и (4.7) получаем, что m 2 m lv lL2 (0,T ;V 1 ) C21, lv 2 lC([0,T ];V 0) C22, (6.2) l(vm)∗lL 4/3 (0,T ;V -1) C23, θl(vm)∗lL 4/3 (0,T ;V 3 ) C24, (6.3) где константы C21-C24 не зависят от θ. В силу непрерывности вложения C([0,T ]; V 0) ⊂ 0 L∞(0,T ; V ) и оценок (6.2)-(6.3), без ограничения общности (если необходимо, переходя к подпоследовательности) получим, что vm → v∗ слабо в L2(0,T ; V 1) при m → ∞, vm → v∗ *-слабо в L∞(0,T ; V 1. при m → ∞, (v m)∗ → (v ∗)∗ слабо в L4/3(0,T ; V -1) при m → ∞, и что предельная функция v∗ принадлежит пространству W1. Принимая во внимание априорные оценки (6.2)-(6.3) и условия (Ψ1)-(Ψ4), без ограничения общности можем предположить, что существует f ∗ ∈ L2(0,T ; V -1) такое, что fm → f ∗ ∈ Ψ(v∗) при m → ∞. Рассмотрим задачу Коши (1.3) для предельной функции v∗. Так как v∗ ∈ W1, тогда v∗ удовлетворяет условиям теоремы 2.1. Поэтому в [0,T ] × [0,T ] × Ω существует РЛП z∗(τ ; t, x), порожденный v∗. Обозначим через zm(τ ; t, x) РЛП, порожденный vm. Лемма 6.1. Последовательность zm(τ ; t, x) сходится по мере Лебега на [0,T ] × Ω по (τ, x) к z(τ ; t, x) для t ∈ [0,T ]. Данная лемма следует из априорной оценки леммы 4.2 и теоремы 2.2. Доказательство разрешимости задачи управления (1.1)-(1.4), (2.2) разделим на две части. В первой части перейдем к пределу в задаче 3.1 при ξ = 1 с гладкой пробной функцией ϕ из V 1, во второй части - для производной функции ϕ ∈ V 1. 1. часть. Пусть пробная функция ϕ из V 1 - гладкая. Перейдем к пределу в каждом слагаемом (6.1). При m → ∞ для любого ϕ ∈ V 1 по определению слабой сходимости vm → v∗ в L2(0,T ; V 1) получим r r μ0 ∇vm : ∇ϕ dx → μ0 Ω Ω ∇v∗ : ∇ϕ dx. В силу слабой сходимости (vm)∗ → (v∗)∗ в L4/3(0,T ; V -1) при m → ∞ получим, что ⊗(vm)∗, ϕ) → ⊗(v∗)∗, ϕ) для любого ϕ ∈ V 1. Далее, используя оценку (6.3), без ограничения общности (в случае необходимости переходя к подпоследовательности) мы имеем, что существует функция u ∈ L4/3(0,T ; V 3) такая, что θm(vm)∗ → u слабо в L4/3(0,T ; V 3) при m → ∞. Тогда θm⊗∇Δ(vm)∗, ∇ϕ) → ⊗∇Δu, ∇ϕ) при m → ∞. Однако последовательность θm(vm)∗ сходится к нулю в смысле распределений на отрезке [0,T ] со значениями в V -3. Действительно, для любой гладкой скалярной функции ψ с компактным носителем и ϕ ∈ V 3 мы получим lim T r r θm ∇Δ(vm)∗ : ∇ϕ dxψ(t) dt = lim T r r θm Δ(vm)∗Δϕ dxψ(t) dt = m→∞ 0 Ω T r r m→∞ 0 Ω T r r = lim θm ∇(vm)∗ : ∇Δϕ dxψ(t) dt = lim θm lim ∇(vm)∗ : ∇Δϕ dxψ(t) dt = m→∞ 0 Ω ⎛ T r r m→∞ m→∞ 0 Ω ⎞ = lim θm lim ∇(vm)∗ψ(t) dt : ∇Δϕ dx = m→∞ m→∞ ⎝ ⎠ Ω 0 = lim r θm lim ⎛ T ⎞ m r ∂ψ(t) ∇v dt : ∇Δϕ dx = m→∞ m→∞ ⎝ Ω 0 ∂t ⎠ 636 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО = lim θm lim T r r ∇vm : ∇Δϕ dx ∂ψ(t) dt . m→∞ m→∞ ∂t 0 Ω Так как vm слабо сходится к v∗ в L2(0,T ; V 1) и, следовательно, сходится к v∗ в смысле распределений, то T r r ∂ψ(t) T r r ∂ψ(t) lim θm lim ∇vm : ∇Δϕ dx dt = ∇v∗ : ∇Δϕ dx dt lim θm = 0. m→∞ m→∞ 0 Ω ∂t 0 Ω ∂t m→∞ Таким образом, в силу единственности слабого предела θm⊗∇Δ(vm)∗, ∇ϕ) → 0 при m → ∞. Теперь покажем, что r ⎛ t μ1 -(t-s) λ ⎞ -α m m Γ(1 - α) ⎝ e 0 (t - s) E(v )(s, z μ1 (s; t, x)) ds, E(ϕ)⎠ → r ⎛ t ⎞ -(t-s) Рассмотрим разность μ1 → Γ(1 - α) ⎝ e 0 r ⎛ t α -(t-s) λ - λ (t - s)-α m m E(v∗ )(s, z∗ (s; t, x)) ds, E(ϕ)⎠ . (6.4) ⎞ Γ(1 - α) ⎝ e 0 ⎛ t (t - s) E(v )(s, z (s; t, x)) ds, E(ϕ)⎠ - ⎞ μ1 r -(t-s) λ -α ∗ ∗ ⎛ t μ1 r - Γ(1 - α) ⎝ e 0 -(t-s) r (t - s) E(v )(s, z (s; t, x)) ds, E(ϕ)⎠ = ⎞ ⎝ = e Γ(1 - α) 0 λ (t - s)-α Ω [E(vm)(s, zm(s; t, x)) - E(v∗)(s, zm(s; t, x))] : E(ϕ) dx ds⎠ + ⎛ t ⎞ r μ1 -(t-s) r ⎝ + e Γ(1 - α) 0 λ (t - s)-α Ω [E(v∗)(s, zm(s; t, x)) - E(v∗)(s, z∗(s; t, x))] : E(ϕ) dx ds⎠ = = Zm + Zm. 1 2 1 1. Покажем сначала, что Zm → 0 при m → ∞. 1 Обозначим интеграл по области Ω в Zm через I: r I = [E(vm)(s, zm(s; t, x)) - E(v∗)(s, zm(s; t, x))] : E(ϕ) dx. Ω Сделаем в I замену переменных x = zm(t; s, y) (где обратная замена y = zm(s; t, x)): r I = [E(vm)(s, y) - E(v∗)(s, y)] : E(ϕ)(zm(t; s, y)) dy. Ω 1 Перепишем Zm и продолжим разложение: Zm μ1 -(t-s) ⎛rt r e λ (t - s)-α ⎞ [E(vm)(s, y) - E(v∗)(s, y)] : E(ϕ)(zm(t; s, y)) dy ds = 1 = Γ(1 - α) ⎝ 0 μ1 = Ω ⎛ t α r -(t-s) r ⎝ e λ (t - s)- ⎠ [E(vm)(s, y) - E(v∗)(s, y)] : Γ(1 - α) 0 Ω ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 637 ⎛ t μ1 r -(t-s) \ : [E(ϕ)(zm(t; s, y)) - E(ϕ)(z∗ (t; s, y))] dy ds + r ⎞ + ⎝ e λ (t - s)-α [E(vm)(s, y) - E(v∗)(s, y)] : E(ϕ)(z∗(t; s, y)) dy ds⎠ = Zm + Zm. Γ(1 - α) 0 Ω 11 12 12 1. Получаем, что Zm → 0 при m → ∞ в силу слабой сходимости vm к v∗ в пространстве L2(0,T ; V 1). 2. Применяя неравенства Гёльдера и Коши-Буняковского, получим 2 ⎛rt ⎞ Z α m m 2 | 11| C25 ⎝ 0 -(t-s) e λ (t - s)- lv (s, ·) - v∗(s, ·)lV T r 1 lϕx(zm(t; s, ·)) - ϕx(z∗(t; s, ·))lV 0 ds⎠ 2 C26lvm(s, ·) - v∗(s, ·)lL (0,T ;V 1 ) 0 lϕx(zm(t; s, ·)) - ϕx(z∗(t; s, ·))lV 0 ds. (6.5) Обозначим второй сомножитель в последнем неравенстве через Φm(s): T r Φm(s)= 0 lϕx(zm(t; s, ·)) - ϕx(z∗(t; s, ·))lV 0 ds. Покажем сходимость Φm(s) → 0 при m → ∞ для всех s ∈ [0,T ]. Заметим, что T r Φm(s)= 0 r m ∗ 2 |ϕx(z (t; s, y)) - ϕx(z (t; s, y))| Ω dy ds. Пусть ε > 0 будет достаточно малым числом. Непрерывность функции ϕx в Ω означает, что существует δ(ε) такое, что если |x∗∗ - x∗| δ(ε), то |ϕx(x∗∗) - ϕx(x∗)| ε. (6.6) Так как последовательность zm(t; s, y) сходится к z∗(t; s, y) по мере Лебега по (t, y), то для δ(ε) существует такое число N = N (δ(ε)), что для m ;;: N выполнено неравенство m({(t, y): |zm(t; s, y) - z∗(t; s, y)| ;;: δ(ε)}) ε. (6.7) Обозначим Тогда Q(> δ(ε)) = {(t, y) ∈ QT : |zm(t; s, y) - z∗(t; s, y)| > δ(ε)}; Q( δ(ε)) = {(t, y) ∈ QT : |zm(t; s, y) - z∗(t; s, y)| δ(ε)}. ⎛ r Φm(s) C27 ⎜ ⎝ |ϕx (zm(t; s, y)) - ϕx | (z∗(t; s, y)) 2 dy ds + Q(>δ(ε)) r ⎞ 2 1 2 + Q( δ(ε)) 27 |ϕx(zm(t; s, y)) - ϕx(z∗(t; s, y))| dy ds⎟ = C ⎠ (Φm(s)+ Φm(s)). (6.8) m Для Φ2 (s) в силу (6.6) имеем |zm(t; s, y) - z∗(t; s, y)| δ(ε). Следовательно, Φ2 m(s) r Q( δ(ε)) ε2 dy ds = C28ε2. (6.9) 638 А. В. ЗВЯГИН, Е. И. КОСТЕНКО m Для Φ1 (s) в силу (6.7) имеем m(Q(> δ(ε))) ε. Следовательно, r Φ1 m(s) C29lϕxlC(Ω) dy ds = C29εlϕxlC(Ω). (6.10) Q(>δ(ε)) Zm Таким образом, из (6.8), (6.9) и (6.10) следует, что для малого ε > 0 и m ;;: N (δ(ε)) выполнено неравенство Φm(s) C30ε. Следовательно, получена сходимость Φm(s) → 0 при m → ∞ для всех s ∈ [0,T ]. Рассмотрим правую часть неравенства (6.5). В силу ограниченности первого сомножителя (т. к. vm ∈ L2(0,T ; V 1)) и сходимости к 0 второго сомножителя при m → ∞, получаем, что 11 → 0 при m → ∞. 1 Таким образом, доказано, что Zm → 0 при m → ∞. 2 2. Теперь покажем, что Zm → 0 при m → ∞. Рассмотрим вспомогательную гладкую и конечную на [0,T ] × Ω функцию vlL2 (0,T ;V 1 ) ε для достаточно малого ε > 0. v(t, x) такую, что lv∗ - 2 Оценим теперь Zm через три интеграла: ⎛ t r -(t-s) r 2 |Zm| C31 ⎝ e 0 t λ (t - s)-α Ω lv∗(s, zm(s; t, x)) - v(s, zm(s; t, x))lV 1 ds + α r -(t-s) r + e λ (t - s)- lv(s, zm(s; t, x)) - v(s, z∗(s; t, x))lV 1 ds + 0 Ω t ⎞ r -(t-s) r + e λ (t - s)-α lv(s, z∗(s; t, x)) - v∗(s, z∗(s; t, x))lV 1 ds⎠ = C31(Zm + Zm + Zm). 21 22 23 0 Ω Сделаем замену переменных в нормах под интегралами Zm и Zm: 21 23 v(s, zm(s; t, x))lV 1 = lv∗(s, y) - v(s, y)lV 1 ; lv∗(s, zm(s; t, x)) - v(s, z∗(s; t, x)) - v∗(s, z∗(s; t, x))lV 1 = l s, y) - v∗(s, y)lV 1 . l v( ( t -(t-s) \ Тогда получим Zm + Zm = C32 e λ (t - s)-αlv∗(s, ·) - s, ·)l 1 ds C32ε. Оценим так- 22 же Zm: 21 23 0 ⎛ t ⎛ r (t-s) r v( V ⎞1/2 ⎞ Zm ⎜ - e λ (t s)-α v (s, zm(s; t, )) v (s, z∗(s; t, )) 2 dx ds⎟ . 22 C32 ⎝ 0 - ⎝ | x Ω · - x · | ⎠ ⎠ vx Zm В силу леммы 6.1 zm(s; t, x) сходится к z(s; t, x), а функция (t, x) - ограниченная и гладкая, поэтому по теореме Лебега получим сходимость сходимость (6.4). 2 → 0 при m → ∞. Таким образом, доказали В итоге показали, что функция v∗ при гладкой пробной функции ϕ из V 1 удовлетворяет равенству: r ⊗(v∗)∗, ϕ) - n , v∗v∗ ∂ϕj r dx + μ0 ∇v∗ : ∇ϕ dx + Ω r ⎛ t μ1 -(t-s) i i,j=1 j ∂xi Ω ⎞ ⎝ + e Γ(1 - α) 0 λ (t - s)-αE(v∗)(s, z∗(s; t, x)) ds, E(ϕ)⎠ = ⊗f ∗, ϕ). (6.11) Так как для последовательности {vm} имеют место априорные оценки (6.2)-(6.3), то в силу свойств слабой сходимости для v∗ непосредственно получаем оценку: ∞ lv∗lL (0,T ;V 0 ) + lv∗lL2 (0,T ;V 1 ) + lv∗lL4/3 (0,T ;V -1) C33. Таким образом, доказали предельный переход при гладкой пробной функции ϕ из V 1. ЗАДАЧА СУЩЕСТВОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 639 2. часть. Докажем данный предельный переход для произвольной пробной функции ϕ из V 1. Перепишем (6.11) для гладкой ϕ в виде: [G1, ϕ] - [G2, ϕ]= 0, (6.12) где r [G1, ϕ]= ⊗v∗, ϕ) - Ω n , vivj i,j=1 ∂ϕj ∂xi r dx + μ0 Ω ∇v : ∇ϕ dx + r ⎛ t ⎞ μ1 -(t-s) + ⎝ e Γ(1 - α) 0 λ (t - s)-αE(v)(s, z(s; t, x)) ds, E(ϕ)⎠ ; [G2, ϕ]= ⊗f, ϕ). Лемма 6.2. Пусть пробная функция ϕ - гладкая. Тогда |[G1, ϕ]| C41lϕlV 1 , |[G2, ϕ]| C42lϕlV 1 . (6.13) Так как множество гладких функций плотно в V 1, для ϕ ∈ V 1 существует последовательность гладких функций ϕl ∈ V 1 таких, что |ϕl - ϕ|V 1 → 0 при l → ∞. В силу (6.12) получим [G1, ϕ] - [G2, ϕ]= [G1,ϕ - ϕl ] - [G2,ϕ - ϕl ]+ [G1, ϕl ] - [G2, ϕl ]= [G1,ϕ - ϕl ] - [G2,ϕ - ϕl ]. Из последнего равенства и оценок (6.13) получим |[G1, ϕ] - [G2, ϕ]| C43|ϕ - ϕl |. Принимая во внимание последнее неравенство и переходя к пределу при l → ∞ в равенстве (6.11) для ϕ = ϕl, получим равенство (6.11) для произвольной ϕ ∈ V 1, что и завершает доказательство теоремы 2.3 о существовании слабых решений задачи управления с обратной связью (1.1)-(1.4), (2.2). 7. Существование оптимального управления с обратной связью Из теоремы 2.3 мы получаем, что множество решений Σ непусто. Следовательно, существует минимизирующая последовательность (vl, fl) ∈ Σ такая, что lim Φ(vl, fl)= inf Φ(v, f ). l→∞ (v,f,)∈Σ Как и ранее, используя оценку (6.2)-(6.3), мы без ограничения общности и в случае необходимо- 0 сти переходя к подпоследовательности, можем предположить, что: vl _ ∗ *-слабо в L∞(0,T ; V ); ∗ 2 vl → v∗ сильно в L2(0,T ; L4(Ω)); vl _ ∗ слабо в L2(0,T ; V 1); zl(τ ; t, x) → z∗(τ ; t, x) по норме Лебега относительно (τ, x) ∈ [0,T ] × Ω; fl → f ∈ Ψ(v∗) сильно в L (0,T ; V -1) при m → +∞. Аналогично предыдущему разделу, переходя к пределу во включении μ1 l Jv∗ + μ0Avl + мы получим следующее включение: Γ(1 - α) μ1 B(vl, zl) - K(vl)= fl ∈ Ψ(vl), ∗ Jv∗ + μ0Av∗ + Γ(1 - α) B(v∗, z∗) - K(v∗)= f∗ ∈ Ψ(v∗). Следовательно (v∗, f∗) ∈ Σ. Поскольку функционал Φ полунепрерывен снизу относительно слабой топологии, мы имеем Φ(v∗, f∗) inf (v,f )∈Σ Φ(v, f ), что доказывает, что (v∗, f∗) - требуемое решение. Это и завершает доказательство теоремы 2.4.

Об авторах

А. В. Звягин

Воронежский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: zvyagin.a@mail.ru
Воронеж, Россия

Е. И. Костенко

Воронежский государственный университет

Email: ekaterinalarshina@mail.ru
Воронеж, Россия

Список литературы