K-группы Брунса-Губеладзе для четырехугольной пирамиды

Аннотация

В работе изучается относительно недавно построенное обобщение алгебраической Kтеории, в котором в качестве дополнительного параметра используется сбалансированный многогранник. Для четырехугольной пирамиды изучается соответствующая группа Стейнберга и вычисляются K-группы.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Задачи, в которых так или иначе проявлялись связи алгебраической K-теории c многогранниками, всегда вызывали интерес. В этом направлении, пожалуй, наибольшее значение имеют работы по сравнению друг с другом различных версий высших алгебраических K-теорий ассоциативных колец с 1. Важной работой, заслуживающей отдельного упоминания, является работа Вагонера [9], в которой была доказана эквивалентность алгебраической K-теории Квиллена и K-теории Володина (см. также [1]). Конструкция Вагонера использовала комбинаторику системы корней An, а точнее, комбинаторную структуру комплекса Pn, индуцированную на сфере пересечением с камерами Вейля. В дальнейшем было получено более простое (точнее, более короткое) доказательство (см. [8]), в котором использование системы корней An несколько замаскировано. В работах А. И. Немытова и Ю. П. Соловьева [2, 3] с помощью других систем корней исследовались изоморфизмы для эрмитовой K-теории инволютивных ассоциативных алгебр с 1. Другой аспект связи алгебраической K-теории с многогранниками исследован в серии работ В. Брунса и И. Губеладзе (например, см. [6, 7]). Отправной точкой их конструкции служит коммутативное кольцо R с 1 и многогранник P, удовлетворяющий некоторым свойствам. Брунс и Губеладзе построили GL(R, P ) - обобщение кольца GL(R), в котором выполняется аналог теоремы о разложении обратимой матрицы в произведение элементарных матриц. Специфика их результатов состоит в том, что в этих кольцах проекторы и «детерминант» GL(R, P )/[GL(R, P ), GL(R, P )] не изучены в такой степени, чтобы можно было говорить об обобщении функторов K0 и K1. Вместе с тем им удалось определить аналог E(R, P ) подгруппы элементарных матриц E(R) = [E(R), E(R))] = [GL(R), GL(R))] ⊂ GL(R). Стандартные соотношения в элементарных матрицах ⎧ 1 для j I= k, i I= l, [ea , eb ] = ⎨ eab для j = k, i I= l, ij kl il ⎩ e -ba il для j I= k, i = l. для широкого класса так называемых сбалансированных многогранников переносятся на группу E(R, P ). Этот факт позволяет определить группу Стейнберга St(E, P ) и доказать, что она является универсальным центральным расширением E(R, P ). Тогда можно определить аналог K2 Милнора как K2(R, P ) = ker(St(R, P ) → E(R, P )). Применив +-конструкцию к BE(R, P ), получим аналог высших K-групп Квиллена: Ki(R, P ) = πi(BE(R, P )+), i 2. Возникает естественный вопрос: что из себя представляют группы Ki(R, P ) для различных многогранников? Брунс и Губеладзе получили ответ для сбалансированных многоугольников, а именно, они установили, что в действительности имеется всего шесть различных в определенном смысле вариантов, для каждого из которых было доказано, что группа Ki(R, P ) изоморфна либо Ki(R) Квиллена, либо прямой сумме двух экземпляров Ki(R) (для трех вариантов Брунс и Губеладзе накладывали на кольцо R дополнительное условие). Qc 2013 РУДН 142 K-ГРУППЫ БРУНСА-ГУБЕЛАДЗЕ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ 143 В настоящей работе исследуется K-теория Брунса-Губеладзе для четырехугольной пирамидымногогранника, к которому неприменимы методы исследования работ [7]. Основными нашими результатами являются теоремы 3.2 и 4.1. Связи K-теории Брунса-Губеладзе с конструкцией Вагонера-Володина будут исследованы с следующих работах. 2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Многогранники. Пусть P - выпуклый многогранник в Rn, все вершины которого принадлежат целочисленной решетке Zn. В дальнейшем мы всегда будем рассматривать только такие многогранники, дополнительно предполагая, что размерность n минимальна, т. е. линейные оболочки граней P являются гиперплоскостями в Rn. Тогда любой такой грани F можно поставить в соответствие единственный сюръективный гомоморфизм ±F, -): Zn → Z, ядром которого является множество векторов, параллельных грани F, и такой, что для любого вектора u ∈ Zn с началом в F и концом в P выполняется неравенство ±F, u) 0. Опорные векторы. Вектор u ∈ Zn называется опорным для многогранника P, если существует такая грань Pu ⊂ P, что ±Pu, u) = -1, а для любой другой грани F ⊂ P ±F, u) 0. В этом случае грань Pu называется базовой (для опорного вектора u). Базовая грань для данного опорного вектора определена однозначно; наоборот, у двух различных опорных векторов базовые грани могут совпадать. Множество опорных векторов многогранника P обозначается Col (P ). Одним из основных свойств опорных векторов является следующее: для любой точки p ∈ P ∩ Zn существует такое целое неотрицательное число k, что p + ku ∈ Pu. Это число называется высотой точки p над гранью Pu и обозначается htPu (p). Высоту точки над гранью можно вычислить следующим образом: для любой точки q ∈ F htF (p) = ±F, p - q). Это определение не зависит от выбора точки q, так как все векторы, соединяющие точки F, параллельны F. На множестве опорных векторов можно ввести операцию частичного умножения: если u, v ∈ Col (P ) и u + v ∈ Col (P ) и Pu+v = Pu, то говорят, что определено произведение uv = u + v. Вообще говоря, не для всех пар опорных векторов существует их произведение. Кроме того, если определено uv, то не определено vu. Приведем несколько примеров. 0 1. Δn - симплекс в Rn, одна из вершин которого лежит в начале координат, а у каждой из остальных n вершин есть ровно одна ненулевая координата, равная 1. Для любых двух вершин pi, pj симплекса Δn вектор δj = pj - pi является опорным. Других опорных векторов 0 i нет. Все соотношения описываются формулой δj i δk k j = δi . 2. I × I = conv {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)} - квадрат со стороной 1. У него четыре опорных вектора: Col (I × I) = {(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)}, между которыми соотношений нет. 3. Трапеция T = conv {(0, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 1)}. Множество опорных векторов также состоит из четырех элементов u = (0, -1), v = (1, 0), -v = (-1, 0), w = (1, -1) со следующими соотношениями: uv = w и w(-v) = u. 144 Ф. Ю. ПОПЕЛЕНСКИЙ, М. В. ПРИХОДЬКО Сбалансированные многогранники. Многогранник P называется сбалансированным, если ±Pu, v) 1 для любых u, v ∈ Col (P ). Примерами сбалансированных многогранников являются: симплекс, квадрат, трапеция из примера 3, четырехугольная пирамида, несбалансированных - прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2. Проективная эквивалентность. Многогранники P и Q называются проективно эквивалентными, если они имеют одинаковые размерности и одинаковую комбинаторную структуру, причем после подходящего аффинного преобразования Rn, сохраняющего Zn, грани P становятся параллельными соответствующим граням Q. У проективно эквивалентных многогранников системы опорных векторов со структурой умножения совпадают, поэтому соответствующие K-теории естественно изоморфны. Теорема 2.1 (см. [6, 7]). Сбалансированные многоугольники разбиваются на классы проективной эквивалентности со следующими представителями: 1. Pa = Δ2 = conv {(0, 0), (1, 0), (0, 1)} - двумерный симплекс; b) трапеция Pb = conv {(0, 0), (2, 0), (1, 1), (0, 1)}; c) Pc = conv {(0, 0), (3, 0), (1, 2), (0, 1)}, здесь Col (PC ) = {u, v, w} с единственным соотношением uv = w; dk ) серия многоугольников Pd,k : многоугольник Pd,k имеет в точности k опорных векторов с общей базовой гранью, соотношений нет; 1. единичный квадрат Pe; 2. ) квадрат со стороной 2 и срезанным углом: Pf = conv {(0, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 2)}, здесь Col (Pf ) = {u, v} без соотношений. Подобной классификации в других размерностях не существует. Простейшие примеры трехмерных многогранников с нетривиальной структурой опорных векторов получаются как конусы над многогранниками из теоремы 2.1. Более точно, вложим многогранник P ⊂ Rn в Rn+1 = Rn × R как P × {0}. Определим конус высоты k над P как Ck P = conv P ∪ (0,..., 0, k). n Нетрудно видеть, что C1Pa - это трехмерный симплекс; он приводит к классической K-теории Квиллена. Многогранники C1Pb, C1Pc, C1Pd, C1Pf не являются сбалансированными. Многогранник C1Pe - это четырехугольная пирамида, которой посвящена эта работа. Среди конусов высоты 2 особо следует выделить C2Pf - он сбалансирован и имеет очень интересную структуру опорных векторов; этот случай будет разобран в другом месте. Удвоение вдоль грани. Для любого многогранника P и его грани F можно определить новый многогранник P _F , называемый удвоением P вдоль грани F. Предположим, что начало координат принадлежит грани F, и рассмотрим стандартное вложение Rn в Rn+1. В Rn+1 многогранник P повернем на 90◦ вокруг грани F. Вершины повернутого многогранника, который мы обозначим P |F , могут оказаться вне узлов целочисленной решетки, но можно изменить базис в Rn+1 так, что вершины и P и P |F будут иметь целочисленные координаты в новом базисе (например, мы всегда можем сделать аффинно-целочисленную замену координат в Rn так, что грань F будет лежать в плоскости xn = 0, и тогда образы всех вершин при повороте будут иметь целочисленные координаты). Теперь определим многогранник P _F как выпуклую оболочку P и P |F . Если грань F является базовой для v, то будем также писать P _v . При удвоении многогранника вдоль грани F количество его граней увеличивается на 1. При этом для любой грани G, кроме F, выпуклую оболочку G и G| (образ G при повороте) мы будем рассматривать как образ G при удвоении и обозначать G_F . Для F положим по определению F _F = P |. Так как соответствие G_F ↔ G является взаимно-однозначным, иногда мы будем отождествлять G_F c G. Пусть теперь P - сбалансированный многогранник и v ∈ Col (P ) - опорный вектор с базовой гранью G. Тогда v также является опорным и в P _F с базовой гранью G_F . Кроме того, при любом удвоении возникает два новых опорных вектора δ и -δ с базовыми гранями P и P |. Для любого v ∈ Col (P ) повернутый вектор v| является опорным в P _F (при этом, если v параллелен F, то K-ГРУППЫ БРУНСА-ГУБЕЛАДЗЕ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ 145 v| совпадает с v). При удвоении сбалансированного многогранника вдоль базовой грани получающийся многогранник также будет сбалансированным, причем множество его опорных векторов состоит только из перечисленных выше, т. е. Col (P _F ) = Col (P ) ∪ Col (P |) ∪ {δ, -δ}. Последовательность вложенных многогранников P = (P = P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ .. .) j называется последовательностью удвоений, если, во-первых, каждый следующий многогранник является удвоением предыдущего вдоль базовой грани и, во-вторых, для любых i ∈ Z+, v ∈ Col (Pi) найдется такой индекс j i, что Pj+1 = P _v . Так как имеется естественное вложение Col (Pi) ⊂ Col (Pi+1), можно определить прямой предел lim Col (Pi), который мы будем обозначать Col (P). Группа Стейнберга. Для сбалансированного многогранника P и последовательности удвоений v P = (P ⊂ P1 ⊂ .. .) определим группу Стейнберга St(R, P ) как группу с образующими xλ, v ∈ Col (P), λ ∈ R, удовлетворяющими соотношениям: xλ μ λ+μ и (x-λμ v xv = xv [xλ, xμ] = uv , если определено uv, u v 1, если u + v I∈ Col (P) ∪ {0}. Можно показать, что это определение не зависит от выбора последовательности удвоений P. v Подгруппу в группе St(R, P ), порожденную xλ, где v ∈ Col (Pi), будем обозначать Sti(R, P ) (это определение при i I= 0 уже зависит от выбора последовательности удвоений). Δn В качестве примера вычислим группу Стейнберга для симплекса 0 . Обозначим его грани i F1,... Fn+1. Для каждой пары граней Fi, Fj определены два опорных вектора δj j ∈ Fi и δi ∈ Fj такие, что δj = -δi и для любых трех граней Fi, Fj , Fk выполняется соотношение δj δk = δk (ср. с i j _ n+1 i j i 0 примером 1). При удвоении вдоль любой грани (Δn) = Δ0 . При этом все существующие грани и соотношения сохраняются, и возникают новая грань Fn+2 и новые опорные векторы δn+2 и δi для всех i = 1,...,n + 1. Таким образом определено естественное вложение I: Stk (R, Δn) → Stk+1(R, Δn). i n+2 0 0 Пусть теперь Stk (R) - классическая группа Стейнберга кольца R. Можно проверить, что отображение φ : Stk+n+1(R) → St0(R, Δk+n) ∼= Stk (R, Δn), определенное по формуле 0 0 φ(xλ ) = xλ , δ ij i j является изоморфизмом. Более того, φ коммутирует с вложениями I: Stk (R, Δn) → Stk+1(R, Δn) 0 0 0 и стандартным вложением Stk (R) → Stk+1(R), поэтому прямые пределы St(R, Δn) и St(R) также изоморфны. Элементарные автоморфизмы. Пусть S(P ) - полугруппа, порожденная парами (p, 1), где p ∈ P ∩ Zn, d ∈ N, относительно поэлементного сложения. Для данного ассоциативного, коммутативного кольца с единицей R определено полугрупповое градуированное кольцо R[P ] = R[S(P )], группу сохраняющих градуировку автоморфизмов которого мы будем обозначать Gr.aut (R[P ]). Элемент этой группы φ называется элементарным автоморфизмом, если найдутся такой опорный вектор v ∈ Col (P ) и такой элемент кольца λ ∈ R, что φ(x) = (1 + λv)htPv (x)x v для любого x ∈ S(P ). Обозначим этот автоморфизм как eλ, а подгруппу в группе Gr.aut (R[P ]), порожденную элементарными автоморфизмами - как E0(R, P ). В работах [6, 7] было показано, 146 Ф. Ю. ПОПЕЛЕНСКИЙ, М. В. ПРИХОДЬКО что для сбалансированных многогранников элементарные автоморфизмы удовлетворяют соотношениям, аналогичным соотношениям между элементарными матрицами: eλ μ λ+μ (e-λμ v ev = ev , [eλ, eμ] = uv , если определено uv, u v 1, если u + v I∈ Col (P ) ∪ {0}. Как и в случае группы Стейнберга, для фиксированной последовательности удвоений P = (P = P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ .. .) определено кольцо R[P] = lim R[S(Pi)]. В группе его автоморфизмов, сохраняющих градуировку, i→∞ выделяется подгруппа E(R, P), порожденная элементарными автоморфизмами. При другом выборе последовательности удвоений получается естественно изоморфная группа, поэтому в дальнейшем вместо E(R, P) мы будем использовать обозначение E(R, P ). 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УДВОЕНИЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ Теорема 3.1. Пусть P = conv {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} - четырехугольная пирамида, P = (P ⊂ P1 ⊂ .. .) - её последовательность удвоений. Тогда для любого t множество базовых граней Pt можно разбить на три семейства A = A(t), B = B(t), C = C(t), количество граней в каждом из которых соответственно равно a, b и c, так что: i 1. Для любых двух граней Si и Sj одного семейства S определены два вектора δj (S) ∈ Col (Si) j и δi (S) ∈ Col (Sj ) такие, что δi j (S) = -δi (S). 2. Для любых трёх различных граней Si, Sj и Sk одного семейства S δj i (S)δk (S) = δk (S). j i 3. Для любой грани Ak семейства A, кроме указанных выше δ-векторов, существует еще k b × c опорных векторов uij таких, что uij l lj ij l il k ij ij k δi(B) = uk , uk δj (C) = uk и δl (A)uk = ul . 4. Для любого семейства S(t) S(t) ⊆ S(t + 1). Все указанные выше векторы различны, и других опорных векторов и соотношений между опорными векторами в Pt нет. Доказательство. Доказывать эту теорему мы будем индукцией по t. При t = 0 семейство A состоит из единственной грани A, являющейся основанием пирамиды, семейство B состоит из двух боковых граней, параллельных вектору (1, 0, 0), а семейство C состоит из двух боковых граней, параллельных вектору (0, 1, 0). Все требуемые соотношения, очевидно, выполняются. Для индукционного перехода нам понадобится следующая лемма. Лемма 3.1. Пусть множество граней некоторого многогранника можно разбить на три семейства, удовлетворяющих свойствам 1, 2 и 3 из теоремы 3.1. Тогда: 1. Для любой грани Ai ∈ A все опорные векторы, кроме δj (A), δi (A) и ujk , параллельны ей. i j i 2. Для любой грани Bi ∈ B все опорные векторы, кроме δj (B), δi (B) и uij , параллельны ей. i j k 3. Для любой грани Ci ∈ C все опорные векторы, кроме δj (C), δi (C) и uji, параллельны ей. i j k Доказательство леммы 3.1. Будем доказывать от противного. Предположим, для двух (возможно одинаковых) семейств T, S выполняется ±Ti, δj (S)) = 1, тогда ±Ti, δk (S)) = -1, то есть δk (S) ∈ k j j Col (Ti). i Но это невозможно, так как все векторы из Col (Ti) имеют вид δp(T), если T I= A, или δp(T) и upq , если T = A. Теперь пусть ±Ai, ujk ) = 1 и l I= i, тогда ±Ai, δl(A)ujk ) = 0, то есть i i ujk l i l i I∈ Col (Ai), что противоречит второму условию. Осталось проверить, что не может выполняться K-ГРУППЫ БРУНСА-ГУБЕЛАДЗЕ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ 147 равенство ±Bi, ujk ) = 1. В этом случае ±Bi, uik ) = ±Bi, ujk δi (B)) = 2, что невозможно, так как l многогранник сбалансированный. l l j (Продолжение доказательства теоремы 3.1.) Рассмотрим удвоение Pt до Pt+1. Удвоение может происходить вдоль одной из граней семейств A, B и C, но последние два варианта полностью идентичны, поэтому рассмотрим первые два случая. i δi Пусть удвоение происходит вдоль грани Ai ∈ A. Для краткости обозначим n = a + 1. При удвоении возникает новая грань, которую мы обозначим An, и новые δ-векторы δn(A) ∈ Col (Ai) и n(A) ∈ Col (An). Теперь изучим, что происходит с остальными векторами при удвоении. Векторы δj (A)| обозначим как δj (A), δi (A)| - как δn(A), а ujk - как ujk . Остальные опорные i n j j i | n векторы параллельны грани Ai, поэтому их образы при удвоении совпадают с ними самими. Значит, других новых опорных векторов нет, а для перечисленных выше все условия теоремы проверяются непосредственно. i δi Пусть теперь удвоение происходит вдоль грани Bi ∈ B. Обозначим n = b + 1. При удвоении возникает новая грань, которую мы обозначим Bn, и новые δ-векторы δn(B) ∈ Col (Bi) и n(B) ∈ Col (Bn). Теперь изучим, что происходит с остальными векторами при удвоении. Векторы δj j ij nj i (B)| обозначим как δn(B), δi (B)| - как δn(B), а u - как u . Остальные опорные векторы паj j k | k раллельны грани Bi, поэтому их образы при удвоении совпадают с ними самими. Условия теоремы опять же проверяются непосредственно. Удвоение вдоль грани семейства C рассматривается аналогично. k Доказанная теорема полностью описывает структуру группы Стейнберга четырехугольной пирамиды. Множество опорных векторов разбивается на 4 группы: 3 группы δ-векторов и векторы вида uij , причем δ-векторы перемножаются только внутри одной группы и действуют умножением слева или справа на векторы последней группы. Основываясь на этом наблюдении, мы построим матричное представление группы Стейнберга. Напомним, что для двух матриц A ∈ Mm,n(R) и B ∈ Mp,q (R) их тензорным произведением называется такая матрица A ⊗ B ∈ Mmp,nq (R), что её элемент, находящийся на пересечении строки с номером m(i - 1) + j и столбца с номером n(k - 1) + l, равен AjlBik : ⎞ ⎛Ab11 Ab12 ··· A ⊗ B = ⎜Ab21 Ab22 ⎟ ⎝ . . . .⎠ Элементарные матрицы, отличающиеся от единичной одним недиагональным элементом, мы будем обозначать eλ , а матрицы, отличающиеся от нулевой одним элементом, - e˜λ . ij ij Пусть Mk = Mk (R, n) - подгруппа в GLn(R) такая, что для любой матрицы X ∈ Mk : 1. Xii = 1 для любого индекса i, 2. для различных индексов i и j неравенство Xij I= 0 выполняется, только если i<k и j k. В дальнейшем нам понадобится следующее свойство группы Mk : ij Утверждение 3.1. Для любых eλ ,X ∈ Mk eλ λ λ и, следовательно, Mk ⊂ En(R). ij X = Xeij = X + e˜ij , Пусть теперь Pt - многогранник из последовательности удвоений четырехугольной пирамиды. Подгруппа Stt(R, P ) зависит только от значений a, b и c, поэтому можно обозначить её S(R, a, b, c). Пусть, кроме того, E(R, a, b, c) - группа блочных матриц вида X Y 0 Z , где X ∈ Eb(R) ⊗ Ec(R), Y ∈ Mbc,a(R) и Z ∈ Ea(R). Обозначим соответствующие вложения φX Eb(R) ⊗ Ec(R) --→ E(R, a, b, c), 148 Ф. Ю. ПОПЕЛЕНСКИЙ, М. В. ПРИХОДЬКО φˆY φY M1,a(R) ⊗ Mb,1(R) ⊗ Mc,1(R) --→ Mbc,a(R) --→ E(R, a, b, c), a --→ E (R) φZ E(R, a, b, c). Теперь определим отображение по формулам φa,b,c : S(R, a, b, c) → E(R, a, b, c) δi φa,b,c(xλ (A)) = φZ j ji (eλ ), δi φa,b,c(xλ (B)) = φX j ji (eλ ⊗ I), δi φa,b,c(xλ (C)) = φX j ji (I ⊗ eλ ), uij φa,b,c(xλ k ) = φY o φˆY 1k (e˜λ i1 ⊗ e˜1 j1 ⊗ e˜1 ). Для доказательства корректности достаточно заметить, что образы всех образующих группы Стейнберга в E(R, a, b, c) выражаются через элементарные матрицы и все необходимые соотношения легко проверяются. Удвоение вдоль грани индуцирует одно из отображений E(R, a, b, c) → E(R, a + 1, b, c), E(R, a, b, c) → E(R, a, b + 1, c) или E(R, a, b, c) → E(R, a, b, c + 1). В каждом из этих случаев диаграмма вида E(R, a, b, c) ----→ E(R, a, b, c + 1) t ⏐φa,b,c ⏐ t ⏐φa,b,c+1 ⏐ S(R, a, b, c) ----→ S(R, a, b, c + 1) является коммутативной, поэтому существуют прямой предел lim E(R, a, b, c), который мы обозначим E∞ (R, P ), и отображение φ∞ : St(R, P ) → E∞ (R, P ). -→ Теорема 3.2. Группы E∞(R, P ) и E(R, P ) изоморфны. Доказательство. Достаточно показать, что существуют сюръективные гомоморфизмы из группы Стейнберга St(R, P ) в E∞(R, P ) и E(R, P ) с одинаковыми ядрами. Для E(R, P ) таким гомоморфизмом является канонический эпиморфизм φ : St(R, P ) → E(R, P ), ядро которого изоморфно центру группы Стейнберга (см. [6, 7]). Мы докажем, что φ∞ обладает теми же свойствами. j Проверим, что отображение φa,b,c сюръективно. Для любого семейства T образ подгруппы в группе Стейнберга, порожденной δi (T), совпадает с соответствующей подгруппой, порожденной элементарными матрицами, в силу сюръективности канонического отображения St(R) → E(R). Таким образом, остается проверить, что для любой матрицы Y ∈ Mbc,a(R) для элемента φY (Y ) существует прообраз в группе Стейнберга. С помощью утверждения 3.1 его можно выписать явно: ⎛ ⎞ ujk φa,b,c ⎝n xY aj+k,i⎠ = φY (Y ). i,j,k i Теперь докажем, что ker φ∞ = Z(St(R, P )). В силу того, что Z(E∞(R, P )) = 0, выполняется включение Z(St(R, P )) ⊂ ker φ∞. Для доказательства обратного включения воспользуемся утверждением, использованным в доказательстве предложения 8.2 из [6]. Утверждение 3.2. Пусть 1. Q = (Q = Q0 ⊂ Q1 ⊂ Q2 ⊂ .. .) - последовательность удвоений некоторого многогранника Q; 2. U i+1 = {u ∈ Col (Qi+1)|±Qi, u) = 1} и V i+1 = {v ∈ Col (Qi+1)|±Qi, v) = -1}; 1. подгруппы Ui+1, Vi+1 ⊂ Sti+1(R, Q) порождены xλ и xμ соответственно; u v 2. для некоторой группы G определен эпиморфизм π : St(R, Q) → G, инъективный на Ui+1 и Vi+1 для всех i. K-ГРУППЫ БРУНСА-ГУБЕЛАДЗЕ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ 149 Тогда ker π ⊂ Z(St(R, Q)). j Пусть удвоение происходит вдоль грани семейства A. Тогда U i+1 = {δa+1(A)} (a векторов) и j jk V i+1 = {δa+1(A)}∪ {ua+1} (a + b × c векторов). Для доказательства инъективности достаточно заметить, что после вложения E(R, a, b, c) → Ea+bc(R) образы всех образующих Ui+1 лежат в одной строке, а образующих Vi+1 - в одном столбце. Пусть теперь удвоение происходит вдоль грани семейства C (случай B отличается лишь перестановкой индексов). Тогда U i+1 = {δc+1(C)}∪ uj,c+1 (c + a × b векторов) и V i+1 = {δj (C)} j k c+1 (c векторов). Группа E(R, a, b, c + 1) отличается от E(R, a, b, c) добавлением блоков из b новых строк и столбцов в правый нижний угол блока X и добавлением блока из b новых строк снизу к блоку Y. После замены индексов мы можем считать, что новые блоки были добавлены в левый верхний угол X и сверху к Y. В этом случае образы Ui+1 и Vi+1 лежат в Mb+1(R) и Mb+1(R)T соответственно, поэтому отображения на них инъективны в силу утверждения 3.1. 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ K-ГРУПП ДЛЯ ПИРАМИДЫ Как говорилось во введении, высшие K-группы для коммутативного кольца R и сбалансированного многогранника P определяются как Ki(R, P ) = πi(BE(R, P )+), i 2. В случае, когда P является симплексом, Ki(R, P ) совпадает с классической K-теорией Квиллена. Основным результатом этого раздела является следующее утверждение. Теорема 4.1. Пусть P - четырехугольная пирамида и R - коммутативное кольцо с 1. Тогда Ki(R, P ) = Ki(R) ⊕ Ki(R) ⊕ Ki(R), i 2. Доказательство. С учетом теоремы 3.2 нужно доказать, что имеет место изоморфизм + для i 2. πi(BE∞(R, P ) ) = Ki(R) ⊕ Ki(R) ⊕ Ki(R) X Y Рассмотрим группу G(R, a, b, c) блочных матриц 0 Z , где X ∈ GLb(R) ⊗ GLc(R), Y ∈ Mbc,a(R) и Z ∈ GLa(R). Положим G(R) = lim G(R, a, b, c), где предел берется относительно вложений, описанных при построении группы E∞(R). Нетрудно проверить, что [G(R), G(R)] = E∞(R). Отсюда получаем изоморфизм Остается доказать, что + πi(BE∞(R, P ) ) = πi(BG(R)+ ),i 2. πi(BG(R)+) = Ki(R) ⊕ Ki(R) ⊕ Ki(R); (∗) обратим внимание, что этот факт мы докажем для i 1. Нетрудно видеть, что π1(BG(R)+) = (G(R))ab = (GL(R) × GL(R) × GL(R)ab) = = K1(R) × K1(R) × K1(R) = π1(B(GL(R) × GL(R) × GL(R))+). Теперь чтобы доказать изморфизм (*) для i 2, достаточно установить изоморфизм в целочисленных гомологиях H∗(G(R), Z) = H∗(GL(R) × GL(R) × GL(R), Z) и воспользоваться теоремой Уайтхеда. Теорема 4.2. H∗(G(R), Z) = H∗(GL(R) × GL(R) × GL(R), Z). 150 Ф. Ю. ПОПЕЛЕНСКИЙ, М. В. ПРИХОДЬКО Доказательство. Рассмотрим группу D(R, a, b, c) блочных матриц вида X 0 0 Z , где X ∈ GLb(R) ⊗ GLc(R) и Z ∈ GLa(R). Положим D(R) = lim D(R, a, b, c). Нетрудно видеть, что D(R) = GL(R) × GL(R) × GL(R). Рассмотрим отображение π : G(R) → D(R), которое задается формулой π : X Y 0 Z X 0 → 0 Z . Для очевидного вложения i : D(R) → G(R) в гомологиях имеет место равенство π∗ ◦ i∗ = idH∗(D(R),Z). Чтобы доказать теорему 4.2, остается проверить, что i∗ ◦ π∗ = idH∗(G(R),Z). Воспользуемся следующим утверждением. Лемма 4.1 (см. [4, лемма 3.11], а также [5]). Пусть группа H является пределом своих подгрупп Hλ по включению. Пусть для эндоморфизма ρ : H → H выполняется ρ(Hλ) ⊆ Hλ. Предположим, что для любой Hλ найдутся подгруппа Hμ ⊇ Hλ, элемент a ∈ Hμ и гомоморфизм φ : Hλ → CHµ (Hλ) такие, что для произвольного элемента h ∈ Hλ выполняется ∗ равенство h · φ(h) = a · ρ(h) · φ(h) · a-1. Тогда ρ = id в целочисленных гомологиях группы H. Здесь через CHµ (Hλ) обозначен централизатор группы Hλ в Hμ. Также обратим внимание, что в доказательстве леммы 3.11 в книге [4] имеется неточность, которая была указана и исправлена в работе [5]. В качестве H рассмотрим в G(R) подгруппу, состоящую из матриц вида h = I Y 0 Z , где I - единичная матрица. В качестве Hn рассмотрим подгруппы G(R, n, n, n) ∩ H; ясно, что H = lim Hn. In2,n2 Yn2,n Образ матрицы h = 0n,n 2 Zn,n в H2n при стабилизации Hn '→ H2n имеет вид ⎛I4n2,4n2 Y ± 4n ,n⎞ 4n2,n 0 2 ⎝ 0n,4n2 Zn,n 0n,n 0n,4n2 0n,n In,n ⎠ . Здесь индексами обозначены размерности матриц. Матрица Y ± получается из Y добавлением нулевых элементов определенным, но для доказательства несущественным, образом. Так же легко видеть, что после стабилизации матрица i ◦ π(h) имеет вид ⎛I4n2,4n2 04n2,n 04n2,n⎞ ⎝ 0n,4n2 Zn,n 0n,n 0n,4n2 0n,n In,n ⎠ . Для применения леммы 4.1 нужно построить отображение φ : Hn → CH2n (Hn) и элемент a ∈ H2n, удовлетворяющие нужным условиям. Положим 4n2,n ⎛I4n2,4n2 04n2,n Y ± ⎞ φ(h) = ⎝ 0n,4n2 0n,4n2 In,n 0n,n 0n,n Zn,n ⎛I4n2,4n2 04n2,n 04n2,n⎞ a = ⎝ 0n,4n2 0n,4n2 In,n -In,n 0n,n ⎠ Zn,n ⎠ и . ρ 2n Непосредственными вычислениями с блочными матрицами можно проверить, что φ(h) коммутирует с образом s(h) любой матрицы h± ∈ Hn при стабилизации s : Hn '→ H2n, т. е. φ(h) ∈ CH (Hn). Аналогично проверяется равенство s(h) · φ(h) = a · (i ◦ π(h)) · φ(h) · a-1. Таким образом, по лемме 4.1, примененной к = i ◦ π, в целочисленных гомологиях группы H отображение i ◦ π индуцирует изоморфизм. p,q Далее рассмотрим спектральную последовательность Линдона-Хохшильда-Серра с E2 = 2 Hp(G(R)/H; Hq (H, Z)), сходящуюся к гомологиям группы G(R). Отображение i ◦ π действует на G(R)/H тождественно, поэтому с учетом вышесказанного (i ◦ π)∗ тождественно на Ep,q . Отсюда следует, что оно тождественно на E∞. Теперь, вообще говоря, возникает стандартная проблема, связанная с присоединенностью при переходе от E∞ к гомологиям H∗(E(R), Z), поскольку отображение, тождественное на последовательных факторах фильтрации в H∗(E(R), Z), не обязано быть тождественным на H∗(E(R), Z). K-ГРУППЫ БРУНСА-ГУБЕЛАДЗЕ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ 151 ∗ ∗ Однако в нашем случае (i ◦ π)∗ обязано быть тождественным и на H∗(E(R), Z), что можно вывести из соотношения (i ◦ π) = (i ◦ π)2. Теорема 4.2 доказана.