Явное решение задачи Дирихле в невыпуклом угле

Полный текст

Введение Рассмотрим следующую модельную задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в плоском угле Q величины Φ > π с комплексной частотой ω ∈ C+ = { Im ω > 01 и периодическими граничными данными: ⎪ ⎧ - Δ - ω ⎨ 2 u(y) = 0, y ∈ Q, u(y, 0) = e-ik1y1 , y1 > 0, -ik2y2 (1.1) где k1, k2 > 0 (см. рис. 1). ⎪⎩u(y2 ctg φ, y2) = e sin Φ , y2 > 0, Заметим, что эта задача аналогична краевой задаче в [12, формула (23)] возникающей в задаче о нестационарной дифракции: ⎪ ⎧ - Δ - ω ⎨ 2 U (ω, y) = 0, y ∈ Q, U (ω, y) = -g(ω)eiωy1 cos α, y ∈ Q1, cos(α+Φ)/ sin Φ (1.2) ⎪⎩U (ω, y) = -g(ω)e-iωy2 , y ∈ Q2. Однако есть существенные различия. Экспоненты в правой части этой задачи комплексные (Im ω > 0), поэтому соответствующие функции экспоненциально убывают при y1,2 -→ +∞, π поскольку α < φ < . 2 Более того, структура граничных условий в (1.2) связана с первым уравнением через общий параметр ω. Это дает уникальную возможность свести задачу (1.2) к разностному уравнению, которое легко решается в явном виде. Напротив, задача (1.1) имеет периодические граничные условия, которые не зависят от первого уравнения. Это приводит к тому, что соответствующее разностное уравнение не может быть 3π решено так же просто, как в предыдущем случае, за исключением случая, когда Φ = 2 раздел 5). (см. © А. Мерзон, П. Жевандров, Х. Э. Де ла Пас Мендес, М. И. Ромеро Родригес, 2022 This work is licensed under a Creative Commons Attributi6o5n34.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 654 А. МЕРЗОН и др. Рис. 1. Краевая задача во внешнем угле Fig. 1. Boundary-value problem in an exterior corner В свою очередь, задача (1.1) в силу линейности распадается на две задачи для u1, u2 таких, что U = u1 + u2: ⎧ 2 ⎪⎨-Δu1(y, ω) - ω u1(y, ω) = 0, y ∈ Q, u1(y1, 0) = e-ik1 y1 , y1 > 0, ⎪⎩u1(y2 ctg φ, y2) = 0, y2 > 0. (1.3) ⎧ 2 ⎪⎨-Δu2(y, ω) - ω u2(y, ω) = 0, y ∈ Q, u2(y1, 0) = 0, y1 > 0, ⎪⎩ ik2 y2 u2(y2 ctg φ, y2) = e- sin φ , y2 > 0. (1.4) Данная статья посвящена решению модельной задачи (1.3). Решение (1.4) получается из (1.3) простой заменой переменной (см. (2.3), где θ заменяется на θ1 = -θ + 4π - Φ). Отметим, что краевая задача в прямом угле Q или в его дополнении и в других частных углах, величины которых соизмеримы с π, рассматривалась во многих работах [3-7, 18-22, 26]. В этих работах точные результаты были получены с помощью операторных методов. Граничные данные в этих работах принадлежат пространствам Соболева Hs(R), s > 0. Рассмотрим другой тип граничных данных, а именно периодические функции. Точные решения получены в явном виде, а именно в виде интегралов типа Зоммерфельда. Используем метод автоморфных функций (МАФ) на комплексных характеристиках [14]. Этот метод был разработан А. Комечем для Φ < π в [10] и затем распространен на Φ > π в [14, раздел 1.2 и часть 2]. Он позволяет найти все решения-распределения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в произвольных углах с общими краевыми условиями. Он применялся, в частности, к нестационарным задачам дифракции на углах [11, 15-17, 23, 24]. Следует отметить, что существует весьма эффективный метод Зоммерфельда-Малыжинца построения решений задач дифракции в углах; с помощью этого метода было получено много важных результатов [2]. Этот метод позволяет получить решение в виде интеграла Зоммерфельда. Важное приложение этого метода для произвольного угла рассмотрено в [8]. Однако этот метод не позволяет доказать единственность, которую обычно доказывают на основе физических соображений. Мы также получаем решение в интегральной форме Зоммерфельда, используя МАФ, что дополнительно позволяет нам доказать единственность в соответствующем функциональном пространстве (см., например, [12]). Статья организована следующим образом: в разделе 2 мы формулируем основной результат. В разделе 3 краевая задача сводится к разностному уравнению и приводятся необходимые и достаточные условия существования решения. В разделах 4 и 5 мы находим решение разностного 3 3 уравнения для Φ /= 2 π и Φ = 2 π, соответственно. В разделе 6 мы исследуем асимптотику подынтегральной функции для зоммерфельдовского представления решения. В разделе 7 мы даем представление решения типа Зоммерфельда и набросок доказательства основного результата. В этой статье мы не приводим подробных доказательств, это будет сделано в другой публикации. ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В НЕВЫПУКЛОМ УГЛЕ 655 2. Основной результат Будем строить решения задач (1.3) и (1.4) в виде известных интегралов Зоммерфельда, которые имеют вид r e-ωρ sh wv(w + iθ) dw, (2.1) C где C - некоторый контур на комплексной плоскости. Основную трудность задачи составляет правильное построение множителя v(w), обеспечивающее выполнение краевых условий для (2.1). Для формулировки основного результата нам необходимо описать подынтегральную функцию v(w) интеграла Зоммерфельда. Построение этого подынтегрального выражения является основным содержанием данной статьи. 3π 1 2 Рассмотрим функцию vˆ1(w), заданную в виде (3.19), где vˆ1(w) задано в виде (4.10) для Φ /= 3π и (5.5) для Φ = 2 y , а Gˆ имеет вид (3.20). Пусть (ρ, θ) - полярные координаты в R2, y1 = ρ cos θ, y2 = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ f2π - Φ, 2πl, и C - двухпетлевой контур Зоммерфельда, см. рис. 6. Определение 2.1. Введем E как пространство функций u ∈ C∞ Q \ {0} , ограниченных вместе со своими первыми производными в Q \ Bε(0) ∀ε > 0 и допускающих в нуле следующую асимптотику: u(ρ, θ) = C(θ)+ o(1) ∇u(ρ, θ) = C1(θ)ρ-1 + C2(θ)+ o(1) Наш основной результат состоит в следующем утверждении. Теорема 2.1. ρ → 0. (2.2) 1. Пусть ω ∈ C+, k1, k2 > 0. Существует решение u1(ρ, θ) задачи (1.3), принадлежащее E, которое допускает интегральное представление Зоммерфельда 1 r u1(ρ, θ) = 4π sin Φ C e-ωρ sh w vˆ1(w + iθ)dw, (2.3) где vˆ1 строится по алгоритму, представленному ниже. 2. Решение u1 единственно в E. Замечание 2.1. Интеграл в (2.3) сходится абсолютно, так как бесконечная часть C принадлежит области сверхэкспоненциального убывания e-ωρ sh w (см. рис. 6) и vˆ1 допускает асимптотику (6.2). Граничные значения понимаются в смысле распределений. 3. Сведение к разностному уравнению. Необходимые и достаточные условия для данных Неймана Рассмотрим задачу (1.3). МАФ позволяет свести эту задачу к нахождению данных Неймана решения u1 за несколько шагов. В следующих пунктах мы рассмотрим эти шаги. Предположим, что решение u1 ∈ S∗(Q) := {u|Q,u ∈ S∗(R2)}. Первым шагом МАФ является сведение задачи к дополнению первого квадранта и продолжение решения u1 на всю плоскость, см. [13, 14]. l 1. Первый шаг: продолжение vβ (xl) на всю плоскость R2. Рассмотрим линейное преобразование y2 J (y) : x1 = y1 + y2 ctg Φ, x2 = -sin Φ , переводящее угол Q в прямой угол K := {(x1, x2) : x1 < 0 или x2 < 0 . Это преобразование сводит систему (1.3) к задаче (3.1a)-(3.1c) в дополнении K первого квадранта для v(x) := u1 J -1(y) , 656 А. МЕРЗОН и др. ⎧H (D)v(x) = 0, x ∈ K, ⎪⎨ (3.1a) где v(x1, 0) = e-ikx1 , x1 > 0, ⎩⎪ v(0, x2) = 0, x2 > 0, (3.1b) (3.1c) 1 I ∂2 l 2 H (D) = -sin2 Φ Δ - 2 cos Φ ∂x ∂x - ω . (3.2) 1 2 Согласно [14, лемма 8.2], если v(x) ∈ S∗(K) - решение уравнения (3.1a), то существует продол- K жение решения v нулем v0 ∈ S∗(R2) такое, что v0 = v, где γ ∈ S∗(R2) и имеет вид 1 γ(x) = H (D)v0(x) = γ(x), x ∈ R2, (3.3) rδ(x2)v1(x1)+ δ∗(x2)v0(x1)+ δ(x1)v1(x2)+ δ∗(x1)v0(x2) - sin2 Φ 1 1 2 2 0 0 2 (3.4) - 2 cos Φ δ(x2) ∂x1 v1 (x1) - 2 cos Φ δ(x1)∂x2 v2 (x2) , x ∈ R , vβ f l (xl) ∈ S∗(R+) := v ∈ S∗(R) : supp v ⊂ R+ . Мы будем использовать продолжение преобразования Фурье F, определенного на S(R) ⊂ S∗(R2), в S∗(R2) по непрерывности: ϕ(x1, x2) → ϕ˜(z1, z2), ϕ ∈ S(R2), rr Fx→z fϕl(z) = F fϕ(x)l(z) = ϕ˜(z1, z2) := eiz1 x1+iz2 x2 ϕ(x1, x2) dx1dx2. (3.5) → Будем обозначать это продолжение знаком «тильда»: v˜(z) = Fx z [v(x)], v ∈ S∗(R2). Применяя это преобразование к (3.3) и учитывая, что H (z) /= 0,z ∈ R2, получаем γ˜(z) Следовательно, v˜0(z) = H (z) , z ∈ R2, v˜0 ∈ S∗(R2). (3.6) I γ˜(z) l x→z ∈ 0 v0(x) = F -1 H (z) , x R2, v(x) = v (x) K . (3.7) Здесь γ˜(z) - преобразование Фурье (3.4), и при z ∈ R2 имеем 1 γ˜(z) = rv˜1(z1) - v˜0(z1) iz2 - 2 cos Φ iz1 + v˜1(z2) - v˜0(z2) iz1 - 2 cos Φ iz2 , (3.8) sin2 Φ 1 1 2 2 где v˜β (zl ) - преобразование Фурье от vβ (xl). Таким образом, если известно vβ (xl), то известно v l l l l из (3.7), и задача (3.10) сводится к нахождению четырех функций v˜β (xl), l = 1, 2, β = 0, 1. В нашем случае решение задачи не принадлежит C∞(K) (оно принадлежит только C∞(K \0)). Однако и в этом случае решение также описывается с помощью (3.4). Оказывается, что формула (3.4) остается справедливой и для решений в смысле распределений. Следующие две леммы описывают решение уравнения (3.1a) в терминах его данных Коши. Лемма 3.1 (см. [14, Lemma 8.3]). Пусть v ∈ S∗(K) - решение уравнения (3.1a) в смысле распределений, и пусть v0 - его продолжение нулем в R2, удовлетворяющее (3.3), (3.4). Тогда существуют данные Коши vβ β 1 (x1) := ∂2 v0(x1, 0-), x1 > 0, vβ β β = 0, 1 (3.9) 2 (x2) := ∂2 v0(0-, x2), x2 > 0 D D (здесь пределы понимаются в смысле ∗(R+) := ∗(R) ). R+ Лемма 3.2 (см. [14, Lemma 8.4]). Пусть v ∈ S∗(K) - решение уравнения (3.1a) в смысле преl делов, заданное формулой (3.7), где γ определяется формулой (3.4). Тогда vβ R+ являются данными Коши для v. ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В НЕВЫПУКЛОМ УГЛЕ 657 Замечание 3.1. Формула (3.7) и лемма 3.2 показывают, что достаточно найти данные Неймана v1, v1 в (3.4), чтобы решить задачу (3.1a)-(3.1c). 1 2 Теперь воспользуемся граничными условиями (3.1b), (3.1c). Пусть v ∈ S∗(K) - решение (3.1a)(3.1c) и v0 ∈ S∗(K) - его продолжение нулем, удовлетворяющее (3.3); тогда из (3.9) v0 1 (x1) = e-ikx1 , x1 > 0, v0(x2) = 0, x2 > 0. (3.10) R+ 2 R+ l Так как supp v0(xl ) ⊂ R+, то по теории распределений, вообще говоря, мы имеем v0 1 (x1) = re-ikx1 + c0δ(x1)+ c1δ∗(x1)+ ··· + cmδ(m)(x1), 0 1 v0 0 1 ∗ 1 1 m (m) 2 (x2) = c2δ(x2)+ c2δ (x2)+ ··· + c2 δ (x2), для некоторого m 0. Здесь re-ikx1 0 - продолжение нулем eikx1 , x1 > 0, до отрицательных значений x1. Очевидно, re-ikx1 0 шение (3.1a)-(3.1c) при = Θ(x - 1)e-ikx1 , где Θ(x) - функция Хевисайда. Найдем реc0 m 0 m Таким образом, мы положим 1 = ··· = c1 = c2 = ··· = c2 = 0. v0 r 2 ∈ 1 (x1) = e-ikx1 S∗(R), v0(x2) = 0. (3.11) 0 Подставляя v0 и v0 из (3.11) в (3.3), получаем 1 2 H (D)v0(x) = γ(x), (3.12) где γ содержит только две неизвестные функции v1 и v1. 1 2 МАФ дает необходимые и достаточные условия на функции v1 и v1, что позволяет найти эти 1 2 функции в явном виде. Подставляя эти функции в (3.12), получаем v0 (и, следовательно, v) с помощью (3.7), (3.4). Далее мы рассматриваем уравнение (3.12). 2. Второй шаг: преобразование Фурье-Лапласа и поднятие до римановой поверхности. Уравнение связи. В дополнение к вещественному преобразованию Фурье (3.5) мы будем использовать комплексное преобразование Фурье (или преобразование Фурье-Лапласа (ФЛ)). Пусть f f ∈ S∗(R+) := f . ∈ S∗(R) : supp f ⊂ R+ Тогда по теореме Пэли-Винера [27] (см. также [9, теорема 5.2]) f˜(z) = F ff l ∈ R допускает ∈H аналитическое продолжение f˜(z) C+ 0 , C+ := fz ∈ C : Im z > и lim f˜(z1 + iz2) = f˜(z1) в l S∗(R) при ε → 0+. Так как vβ (xl ) ∈ S∗(R+), то существуют преобразования ФЛ v˜β (zl ) ∈H C+ , l = 1, 2; β = 0, 1. (3.13) l В частности, из (3.11) имеем 1 v˜0(z1) = i z1 - k , z1 ∈ C+, (3.14) где для z1 ∈ R, v˜0(z1) = lim v˜0(z1 + iτ1) в S∗(R). Следовательно, используя (3.8), получаем 1 2 (поскольку v0 ≡ 0) τ1 →0+ 1 γ˜(z) = 1 I 1 v˜ (z1)+ z2 - 2cos Φ z1 l + v˜1(z2) , z ∈ R2. (3.15) sin2 Φ 1 z1 - k 2 В МАФ риманова поверхность комплексных нулей символа оператора (3.2) играет существенную роль, поскольку необходимое условие существования решения на γ˜(z) можно записать в терминах этой поверхности. Символом этого оператора является многочлен 1 H (z) = ( z2 + z2 - 2z1z2 cos Φ - ω2, (z1, z2) ∈ C2. sin2 Φ 1 2 658 А. МЕРЗОН и др. Очевидно, H (z) не имеет действительных нулей, но имеет комплексные. Обозначим риманову поверхность комплексных нулей H через 0 V := fz ∈ C2 : H (z) = . Комплексную поверхность V удобно параметризовать, вводя параметр w ∈ C. Риманова поверхность V допускает универсальное накрытие Vˆ , изоморфное C (см. [14, гл. 15]). Пусть w - параметр на Vˆ ∼= C. Тогда формулы z1 = z1(w) = -iω sh w, z2 = z2(w) = -iω sh(w + iΦ) описывают бесконечнолистное накрытие C на V. w ∈ C (3.16) «Поднимем» функции v˜β (zl ), zl ∈ C+ до Vˆ . Для этого мы должны отождествить V + := fz ∈ l l C2 : Im zl > 0 для ω ∈ C+, с областями на Vˆ . Это можно сделать разными способами. Например, определим Γ0 = Γ0(ω) := f + i arctg ( ω1 th w1 w1 ∈ R 2 w1 ω . ω1 ω1 ω Очевидно, что при w ∈ Γ0, Im z1(w) = 0. Более того, arctg ( 2 α ∈ R определим w th w1 -----→ ± arctg 1 →±∞ . При ω2 и при α < β определим Γα = Γα(w) := Γ0(w)+ iα V β α := ( w ∈ C : arctg ( ω1 ω2 th w1 < Im w < arctg ( ω1 ω2 th w1 + β . Для l = 1, 2 «поднимем» V + до Vˆ . Обозначим это поднятие через Vˆ + = f ∈ Vˆ : zl(w) ∈ V + . Тогда 1 = Vˆ + l ∞ V , I (2k+1)π 2kπ Vˆ - = ∞ I V 2kπ , V ± l = V ± w l - 2iΦ. k=-∞ 1 k=-∞ (2k+1)π 2 1 Обратите внимание, что ± Im zl(ω, w) > 0, w ∈ Vˆ ±. Выберем связную компоненту Vˆ +, соответl l ствующую условию Im zl > 0 при Vˆ + := V π , Vˆ + = V π-Φ (см. рис. 2, где Γα(w) представлены для ω1 0). 1 0 2 -Φ Теперь мы «поднимем» из (3.14), (3.11) l v˜β (zl ) до l Vˆ +, l = 1, 2, β = 0, 1, используя (3.16). Получаем vˆ0(w) = i , w ∈ Vˆ +, vˆ0(w) = 0, w ∈ Vˆ +. (3.17) 1 -iω sh w - k 1 2 2 Далее, vˆ1(w) - аналитические функции в Vˆ + по (3.13). Наша цель - найти неизвестные функции l l l vˆ1,l = 1, 2. Имея эти функции, мы получаем γ˜(z) и решение v0(x) из (3.7), (3.6). Обратим внимание, что в случае Φ > π функция γ˜(z), заданная формулой (3.15), не может быть поднята до Vˆ , так как γˆ(w) := γ˜ z1(w), z2(w) не определена ни в одной точке Vˆ . На самом деле vˆ1(w) не определена в Vˆ +, а vˆ1(w) не определена в Vˆ +, так как Vˆ ∗ := Vˆ + ∩Vˆ + = ∅, см. рис. 2. 1 2 2 1 1 2 В случае Φ < π это пересечение непусто, и такой подъем до Vˆ ∗ возможен [14]. Таким образом, в этом случае существует связь между vˆ1 и vˆ1, порожденная (3.6), поскольку H (z) имеет нули 1 2 в Vˆ ∗ и γˆ(w) должно равняться нулю при w ∈ Vˆ ∗. Тем не менее, аналогичная связь между vˆ1 и vˆ1 существует и в случае Φ > π (см. [14, гл. 21]). 1 2 Опишем соответствующую конструкцию. Функция γˆ(z) естественным образом разбивается на два слагаемых, каждое из которых продолжается до Vˆ + и Vˆ +, соответственно. А именно, 1 2 где sin2 Φ γ˜(z1, z2) = v˜1(z1, z2)+ v˜2(z1, z2), z2 - 2cos Φ z1 1 2 v1(z1, z2) := v˜1(z1)+ z1 - k , v2(z1, z2) := v˜1(z2), (z1, z2) ∈ R2. ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В НЕВЫПУКЛОМ УГЛЕ 659 Рис. 2. Уравнение связи Fig. 2. Connection equation z1 По теореме Пэли-Винера функция v˜1(z1, z2) допускает аналитическое продолжение в C+ × C, а v˜2(z1, z2) допускает аналитическое продолжение в C+ × C+ , где C+ = fzk Im zk > 0 . Теперь z2 zk мы можем «поднять» v˜1 и v˜2 до римановой поверхности Vˆ vˆ1(w) = vˆ1(w)+ ω sh(w - iΦ) vˆ0(w), w ∈ Vˆ +, по формулам (3.16). Получаем vˆ2(w) = vˆ1(w), w ∈ Vˆ +. (3.18) 1 1 1 2 2 Далее из (3.18), (3.17) имеем vˆ1(w) = vˆ1(w) - Gˆ(w), w ∈ Vˆ +, (3.19) 1 1 где ∈ Gˆ(w) := iω sh(w - iΦ) , w C. (3.20) iω sh w + k В случае Φ < π функции vˆ1(w) и vˆ2(w) имеют общую область определения Vˆ ∗, которая непуста, и поэтому уравнение связи имеет следующий вид (см. [14, гл. 10]): vˆ1(w)+ vˆ2(w) = 0, w ∈ Vˆ ∗. (3.21) В случае Φ > π область Vˆ ∗ = ∅ (см. рис. 2). Тем не менее, оказывается, что в этом случае существует связь между vˆ1 и vˆ2 такая, что (3.21) выполняется в несколько ином смысле: это уравнение верно для аналитических продолжений vˆ1 и vˆ2. Сформулируем точно соответствующую теорему. Определение 3.1. Обозначим VˆΣ := Vˆ + ∪ Vˆ + ∪ Vˆ ∗, где Vˆ ∗ = V 0 . Обратим внимание, что -Φ VˆΣ = V π (см. рис. 2). 1 2 π-Φ Теорема 3.1 (уравнение связи при Φ > π, см. [14, п. 20.1, теорема 20.1]). Пусть v ∈ S∗(K) - любое решение уравнения (3.1a) в смысле распределений. Тогда функции (3.18) допускают аналитические продолжения [vˆl] вдоль римановой поверхности Vˆ l из Vˆ + в VˆΣ (см. рис. 2) и v1 r rˆ (w) + vˆ2(w) = 0, w ∈ VˆΣ. (3.22) Замечание 3.2. Используя уравнение связи (3.22), найдем vˆ1. Решение u1 задачи (1.3) задается через (2.3). 660 А. МЕРЗОН и др. 1 3. Третий шаг: сведение к разностному уравнению. Из (3.22), (3.19) следует, что vˆ1(w) 2 и vˆ1(w) допускают мероморфные продолжения в VˆΣ и vˆ1(w)+ vˆ1(w) = Gˆ(w), w ∈ VˆΣ. (3.23) 1 2 Мы будем использовать следующие автоморфизмы на Vˆ (см. [14, гл. 13] и [12, формула (73)]): h1w = -w + πi, h2w = -w + πi - 2iΦ, w ∈ C, π которые являются симметриями относительно i 2 π и i 2 - iΦ, соответственно. hl Иногда мы будем использовать обозначение f hl (w) := f ( (w) , l = 1, 2. Функции vˆ1 и vˆ1 являются автоморфными функциями относительно h1 и h2, соответственно: 1 2 vˆ1(-w + πi) = vˆ1(w), w ∈ Vˆ +, (3.24) 1 1 1 vˆ1(-w + πi - 2iΦ) = vˆ1(w), w ∈ Vˆ +, (3.25) 2 2 2 как следует из того, что v˜1(zl ) зависят только от zl и, следовательно, их поднятия vˆl(w) до Vˆ + удоl l влетворяют (3.24), (3.25), поскольку sh w удовлетворяет (3.24), а sh(w + iΦ) удовлетворяет (3.25). Благодаря этой автоморфии мы можем исключить одну неизвестную функцию в недоопределенном уравнении (3.23) и свести его к уравнению со сдвигом, см. [12]. Идея этого метода принадлежит Малышеву [1]. l Лемма 3.3. Пусть функция v ∈ S∗(R) удовлетворяет (3.1a)-(3.1c) и v1(xl),l = 1, 2 - ее данные Неймана. Тогда соответствующие поднятия vˆ1(w),w ∈ Vˆ +, на Vˆ допускают мероморфные l l l продолжения в C (которые мы также обозначаем как vˆ1) такие, что при w ∈ C vˆ1(w)+ vˆ1(w) = Gˆ(w), (3.26) 1 2 а также являются hl -автоморфными функциями, vˆ1 h1(w) = vˆ1(w), vˆ1 h2(w) = vˆ1(w). (3.27) 1 1 2 2 l Теперь мы сведем систему (3.26)-(3.27) к разностному уравнению (также называемому уравнением сдвига). Это сведение является частью МАФ, введенной в [1] для разностных уравнений в углах. Используется автоморфия vˆβ на Vˆ при автоморфизмах hl , и термин МАФ связан с этим наблюдением. При w ∈ C определим h iω sh(w - iΦ) 2 iω sh(w +3iΦ) Gˆ2(w) := Gˆ(w) - Gˆ( (w) = iω sh w + k - iω sh(w + 2iΦ) + k . (3.28) Для области U в C мы будем обозначать здесь и далее через M(U ) множество мероморфных функций на U. Лемма 3.4. Пусть v ∈ S∗(K) удовлетворяет (3.1a)-(3.1b). Тогда выполняется уравнение связи (3.22), а функция vˆ1 принадлежит M(C) ∩ H(Vˆ +) и удовлетворяет разностному уравнению 1 1 vˆ1(w) - vˆ1(w + 2iΦ) = Gˆ2(w) (3.29) 1 1 и автоморфному условию (3.27). ∩H Наша цель - найти vˆ1(w) ∈ M(C) Vˆ + , для которого выполнены (3.29), (3.27) и условие 1 1 ˆ vˆ1(w) ∈H VΣ . Здесь vˆ1 задается через (3.18). В свою очередь, это условие эквивалентно условию в силу (3.19). 1 ∈H vˆ1(w) = vˆ1(w) - Gˆ(w) VˆΣ (3.30) 1 В следующем пункте мы найдем необходимые и достаточные условия для vˆ1, при которых выполняется условие (3.30). ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В НЕВЫПУКЛОМ УГЛЕ 661 4. Необходимое и достаточное условие для 1 vˆ1. Условие аналитичности (3.30), кото- 1 рое следует из уравнения связи (3.22), накладывает некоторые необходимые условия на полюсы функции vˆ1, точнее, ее продолжения, полученного в лемме 3.3. Этот пункт посвящен выводу этих условий и доказательству того факта, что они также достаточны для выполнения (3.22). Обозначим πi P := fp1, -p1 ± πi, p1 + 2 ( -1 ik , p1 := sh ω ∈ Γ0. (См. рис. 3, где положения кривых Γα соответствуют случаю Re ω > 0. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что это рассматривается этот случай; при Re ω < 0 построение аналогично.) Рис. 3. Необходимые условия Fig. 3. Necessary conditions Введем следующие два важных параметра: sh(p1 + iΦ) sh(p1 - iΦ) r1 := res -p1±πi Gˆ := - ch p1 , r2 := res Gˆ := p1 ch p1 . (3.31) 1 В следующем утверждении мы даем необходимое и достаточное условие для vˆ1, гарантирующее выполнение условия (3.28). 1 Предложение 3.1. Пусть vˆ1 1 ∈ M(C) ∩ H(Vˆ +) удовлетворяет (3.29) и (3.27). Тогда vˆ1 ∈ H VˆΣ тогда и только тогда, когда ∈H \ P vˆ1 V Φ+π , (3.32) 1 -Φ res vˆ1 = r2, res vˆ1 = r1. (3.33) p1 1 -p1-πi 1 ∈H Замечание 3.3. Из условия (3.32) следует vˆ1 Vˆ + . 1 1 3π 4. h1-автоморфное решение разностного уравнения (3.29) в случае Φ /= 2 В этом разделе мы строим h1-автоморфное решение разностного уравнения (3.29), удовле- 3π творяющее всем условиям утверждения 3.1 при Φ /= . Это ограничение связано со способом 2 получения решения, использующим интеграл типа Коши. Ядро этого интеграла должно быть 662 А. МЕРЗОН и др. аналитическим на контуре интегрирования. Оказывается, найти такое ядро можно только при 3π 3π Φ /= . К счастью, в случае Φ = интеграл типа Коши не нужен, так как в этом случае 2 2 разностное уравнение (3.29) решается элементарными методами (см. раздел 5). 1. Сведение разностного уравнения к сопряженной задаче. Обозначим π π Πˆ := V 2 +Φ, Πˆ = f Π : Re w > 0 , ∂Πˆ = βˆ γˆ (βˆ 2iΦ), где 2 -Φ ∈ Γ π w ± w ∈ ˆ ± f + ∪ ∪ - r π π βˆ := f 2 -iΦ : Re w 0 , γˆ := w Re w = 0, Im w ∈ 2 - Φ, 2 +Φ . Будем искать решение следующей задачи: найти аналитическую функцию в Πˆ +, граничные значения которой на ∂Πˆ +: aˆ1(w + i0), w ∈ βˆ; aˆ1(w + 2iΦ - i0), w ∈ βˆ + 2iΦ, aˆ1(w + 0), w ∈ γˆ, - существуют и удовлетворяют следующим условиям сопряжения (см. рис. 4): aˆ1(w + i0) - aˆ1(w + 2iΦ - i0) = Gˆ2(w), w ∈ βˆ, (4.1) aˆ1(w + 0) = aˆ1(-w + πi + 0), w ∈ γˆ. (4.2) Рис. 4. Сведение к сопряженной задаче Fig. 4. Reduction to the conjugate problem 2. Решение сопряженной задачи при Φ /= 3π . Приступим к решению задачи (4.1), (4.2). 2 Сведем эту задачу к проблеме Римана-Гильберта. С этой целью конформно отобразим Πˆ + на Πˇ := C∗ \ βˇ, где C∗ - сфера Римана, βˇ := t(β). Например, определим 2 ( π ( πi w 1→ t = t(w) = cth 2Φ w - 2 , w ∈ Πˆ +. (4.3) Обозначим обратное преобразование w(t) : Πˇ + → Πˆ +. ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В НЕВЫПУКЛОМ УГЛЕ 663 Обратим внимание, что когда w ∈ Πˆ + стремится к βˆ, то t(w) стремится к βˇ сверху, а когда w ∈ Πˆ + стремится к β + 2iΦ, то t(w) стремится к βˇ снизу. Очевидно (см. рис. 5), что ( ( π ( πi ± t(γˆ) =: γˇ = [-∞, 0], t i +Φ 2 = 0, t(∞) = 1, t 2 = ∞. Рис. 5. Проблема Римана-Гильберта Fig. 5. Riemann-Hilbert problem Тогда задача (4.1), (4.2) эквивалентна задаче Римана-Гильберта для aˇ1(t) := aˆ1 w(t) ,t ∈ Πˇ +, что одновременно является задачей о скачке (см. [14, гл. 16, 18]) aˇ1(t + i0) - aˇ1(t - i0) = Gˇ2(t), t ∈ βˇ. (4.4) ) Здесь Gˇ2(t) = Gˆ2(w(t w ∈ βˆ, w ∈ Πˆ +. ,t ∈ Πˆ , aˇ1(t) := aˇ1 w(t) ,t ∈ Πˇ +; aˇ1(t ± i0) = lim ε→0+ aˇ1(t ± iε) и для t ∈ βˇ, Хорошо известно, что частное решение (4.4) задается интегралом типа Коши 1 r 2 ˇ Gˇ (t∗) ∗ aˇ1(t) = 2πi βˇ dt , t ∈ Π. (4.5) t∗ - t Очевидно, aˇ1(t) ∈ H(Πˇ ) и aˇ1(t) ---→ 0. Более того, существует lim aˇ1(t),t ∈/ βˇ. t→∞ t→0 В следующей лемме мы рассмотрим асимптотику (4.5) при t = 1; она играет важную роль в описании принадлежности решения к определенному классу, а значит, его единственности. Лемма 4.1. Функция aˇ1(t) допускает асимптотику Gˇ2(1) 1 aˇ1(t) = - 1 ln + C + O(t - 1), t → 1, (4.6) 2πi t - 1 где под ln t - 1 понимается некоторая ветвь, которая однозначна на плоскости, разрезанной вдоль βˇ; C зависит только от Gˆ2; кроме того, d dt aˇ1(t) = sin Φ π 1 1. - t 2 Gˇ∗ (1) + 2πi ln(1 - t)+ C1 + o(1), где C, C1 зависят только от Gˇ2. 664 А. МЕРЗОН и др. 3π Предложение 4.1. При Φ /= 2 : 1. Существует мероморфное в C и аналитическое в Πˆ данное формулами (4.5), (4.3), (3.29). 2. Функция aˆ1(w) допускает асимптотику решение aˆ1 задачи (3.29), (3.27), заsin Φ πi ( π w aˆ1(w) = ± d - w Φ 2 sin Φ + o e∓ 2Φ π , Re w → ±∞, dw aˆ1(w) = ± Φ + o e∓ Φ w , Re w → ±∞, равномерную по Im w, w ∈ Πˆ +. π 1 3. Решение aˆ имеет полюсы в V π+Φ - 2 -Φ 3π при Φ > 2 только в q1 := -p1 - πi + 2iΦ, -q1 + πi = p1 + 2πi - 2iΦ и p1 - 2πi с вычетами res aˆ1 = -r1, res aˆ1 = r1, res aˆ1 = r2. (4.7) q1 -q1+πi 3π π+Φ p1-2πi При Φ функция aˆ1 имеет полюсы в V π 2 - 2 -Φ только в p1 + 2πi, -p1 - πi и -p1 + πi - 2iΦ с вычетами res p1+2πi aˆ1 = -r1, res -p1-πi aˆ1 = r1, res -p1+πi-2iΦ 3π aˆ1 = r2. (4.8) 1 3. Решение разностного уравнения, случай Φ /= 2 . Мы хотим преобразовать aˆ1 в vˆ1 , 3π которое будет удовлетворять всем условиям утверждения 3.1. Для этого при Φ > , во-первых, 2 прибавим T1 к aˆ1, удаляя полюсы q1 и -q1 +πi (см. (4.7)), так как по этому утверждению функция 1 vˆ1 должна быть аналитической в этих точках. Оказывается, можно построить функцию T1 так, чтобы она порождала полюс -p1 - πi с желаемым вычетом, как того требует то же утверждение. Во-вторых, прибавим T2, получая полюс p1 с желаемым вычетом в соответствии с тем же утверждением. Рассмотрим π I T1(w) = 2Φ r1 cth ( π(w - q1) 2Φ + cth , ( π(-w + πi - q1) \ 2Φ где r1 задано с помощью (3.33) и q1 = -p1 - πi + 2iΦ. Легко видеть, что функция T1 удовлетворяет следующим условиям: T1(-w + πi) = T1(w), T1(w + 2iΦ) = T1(w). (4.9) Далее мы определим π I ( π(w - p1) ( π(-w + πi - p1) \ T2(w) := 2Φ r2 cth 2Φ + cth , 2Φ где r2 задано по формуле (3.31). Очевидно, T2 также удовлетворяет (4.9). Наконец, мы определим 1 vˆ1(w) := ⎧ 3π ⎪⎨aˆ1(w)+ T1(w)+ T2(w), Φ > 2 , 3π (4.10) где aˆ1(w) дано в утверждении 4.1. 3π ⎪⎩aˆ1(w)+ T2(w), Φ < 2 , Теорема 4.1. Пусть Φ /= 2 . 1 1. Функция vˆ1 удовлетворяет всем условиям утверждения 3.1. ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В НЕВЫПУКЛОМ УГЛЕ 665 ( 3π ii) 1 vˆ1(w) ∈H Vπ 2 \ Γπ и имеет единственный полюс в -p1 + πi on Γπ с вычетом res -p1+πi ( 1 vˆ1 = -r2. 3π π iii) vˆ1(w) ∈M V -Φ и имеет единственный полюс в p1 - 2πi для Φ > с вычетом 1 - 2 -Φ 3π res p1-2πi 2 1 vˆ1 = r2. 3π 2 Следствие 4.1. При Φ /= при этом единственный полюс vˆ1, принадлежащий V π 2 - 2 -Φ , равен -p1 +πi, res -p1+πi vˆ1 = 2i sin Φ. 3π 5. h1-инвариантное решение разностного уравнения в случае Φ = 2 В предыдущих разделах мы построили решение задачи (3.29), (3.27), удовлетворяющее всем 3π условиям утверждения 3.1 при Φ /= 2 . 3π Тем же методом можно построить решение для Φ = 2 . Небольшое техническое неудобство в данном случае возникает из-за того, что функция Gˇ2(t) имеет полюс в βˇ. Тем не менее, можно получить решение со свойствами, указанными в теореме 4.1. 3π Однако мы предпочитаем искать решение задачи в случае Φ = 2 другим способом. Дело в том, что в этом случае легко найти решение разностного уравнения (3.29) в явном виде без использования интеграла типа Коши. Используя теорему Лиувилля, легко показать, что это элементарное решение совпадает с решением, полученным с помощью интеграла типа Коши. В этом разделе мы строим мероморфное h1-инвариантное решение уравнения (3.29). 3π 1. Мероморфное решение разностного уравнения при Φ = . В этом случае постро- 2 3π 1 1 ение мероморфного решения разностного уравнения (3.29) проще, чем в случае Φ /= 3π , и vˆ 2 выражается через элементарные функции. В силу (3.28) при Φ = 2 iω2 sh 2w имеем G2(w) = ω2 sh2 w + k2 . (5.1) Решим в этом случае разностное уравнение (3.29). Сначала мы решаем (3.29) в классе мероморфных функций. Решение легко найти интуитивно, используя 3πi-периодичность G2. Обозначим iw G2(w) m1(w) := 3π . Тогда в силу (5.1) m1 удовлетворяет (3.29). Конечно, это решение не единственное. Все остальные 3π решения отличаются от него на 3πi-периодическую функцию. Аналогично случаю Φ /= моди- 2 фицируем это решение таким образом, чтобы оно удовлетворяло всем условиям утверждения 3.1. Функция (5.1) не автоморфна относительно hˆ1. Симметризуем ее. Введем Тогда m(w) := m1(w)+m1(-w + πi) . 2 π + 2iw m(w) = 6π · G2(w). (5.2) Лемма 5.1. Функция m является h1-автоморфным решением задачи (3.29). 666 А. МЕРЗОН и др. Теперь модифицируем функцию m(w) таким образом, чтобы она удовлетворяла условиям (3.32), (3.33) утверждения 3.1. Для этого добавим к m подходящую 3πi-периодическую функцию. 3π 2. Решение разностного уравнения при Φ = 2 . Пусть p1 i p1 i p1 i m1 := - 3π + 6 , m2 := - 3π - 6 , m3 := - 3π + 2 , (5.3) p1 i p1 5i p1 5i m4 := - 3π - 2 , m5 := - 3π + , m6 := + . 6 3π 6 Итак, рассмотрим следующие функции (периодические дополнения): i - m1 I w - p1 w - (-p1 + πi) l Q1(w) := 3 cth 3 - cth 3 , m2 I w - (p1 - πi) w - (-p1) l Q2(w) := - 3 cth 3 - cth 3 , Q3(w) := - m3 I 3 cth w - (p1 - πi) 3 - cth , w - (-p1 - πi) l 3 где m1,2,3 определяются в (5.3). Очевидно, что функции Q1,2,3 являются 3πi-периодическими и hˆ1-автоморфными: Наконец, определим Q1,2,3(w + 3πi) = Q1,2,3(w), Q1,2,3 hˆ1w = Q1,2,3(w). Q(w) := Q1(w)+ Q2(w)+ Q3(w) = i - m1 cth 3 w - p1 3 - m2 + m3 cth 3 w - (p1 - πi) 3 - (5.4) Введем - i - m1 cth 3 w - (-p1 + πi) + 3 m2 cth 3 w - (-p1) + 3 m3 cth 3 w - (-p1 - πi) . 3 1 vˆ1(w) := m(w)+ Q(w), (5.5) где m задается по формуле (5.2) и Q задается по формуле (5.4). Теорема 5.1. 3π 2. При Φ = функция vˆ1 удовлетворяет всем условиям утверждения 3.1. 2 1 3π 3. Полюсы vˆ1 в V 2 равны 1 5π - 2 -p1 - πi, -p1 + πi, p1, p1 - 2πi со следующими вычетами: res vˆ1 = i, res vˆ1 = -i, res vˆ1 = i, res vˆ1 = i. -p1-πi 1 -p1+πi 1 p1 1 p1-2πi 1 3π Теперь приведем важное свойство функции vˆ1, аналогичное следствию 4.1 для случая Φ = 2 . 3π Следствие 5.1. При Φ = 4. функция vˆ1, заданная формулой (3.30), имеет единственный 3π 5π - полюс в p1 + πi, принадлежащий V 2 - 2 , и вычет res -p1+πi vˆ1 = -2i. Напомним, что эта функция играет ключевую роль в построении представления типа Зоммерфельда для решения основной задачи. Это представление будет дано в следующем разделе. 6. Асимптотика vˆ1 на бесконечности Нам нужно доказать асимптотику (2.2). Для этого нужно найти асимптотику подынтегральной функции vˆ1(w) на бесконечности. ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В НЕВЫПУКЛОМ УГЛЕ 667 Рис. 6. Двухпетлевой контур Зоммерфельда C = C(i) Fig. 6. Sommerfeld two-loop contour C = C(i) 1 1. Асимптотика vˆ1 на бесконечности. 1 Лемма 6.1. Для любого Φ ∈ (π, 2π) функция vˆ1 допускает следующую асимптотику: sin Φ( πi ( π 1 vˆ1(w) = ± d Φ sin Φ , - w + o 2 π e∓ 2Φ w Re w → ±∞. (6.1) 1 ± vˆ1(w) = dw Φ + o e∓ 2Φ w 3π 3π 1 / Замечание 6.1. Асимптотики vˆ1 совпадают для случаев Φ = 2 и Φ = . 2 1 2. Асимптотика vˆ1(w). Согласно (3.30), vˆ1(w) = vˆ1(w) - Gˆ(w), w ∈ C, где Gˆ(w) задается через (3.20). Очевидно, Gˆ(w) = ±e∓iΦ + o e∓ 2Φ w , d Gˆ(w) = o e∓ 2Φ w , Re w → ±∞. π π dw Следовательно, в (6.1) sin Φ( πi sign(Re w)wiΦ ( -sign(Re w) wπ vˆ1(w) = sign(Re w) · Φ - w + sign(Re w)e- 2 + o e 2Φ , (6.2) d sin Φ ( wπ , Re w . (6.3) dw vˆ1(w) = sign(Re w) Φ + o e-sign(Re w) 2Φ → ±∞ 7. Набросок доказательства основного результата Определим контур C как на рис. 6 и определим u1(ρ, θ) с помощью (2.3), vˆ1(w) с помощью (3.30), 3π 1 / vˆ1(w) с помощью (4.10) при Φ = 2 1 и с vˆ1(w) с помощью (5.5) при Φ = 3π . 2 Из асимптотики (6.2), (6.3) следует, что u1, заданная с помощью (2.3), принадлежит пространству E, описанному в определении 2.1. Она единственна в силу теоремы Лиувилля и (4.6). Более того, нетрудно показать, что функция (2.3) удовлетворяет уравнению Гельмгольца и граничным условиям. На этом доказательство теоремы 2.1 завершено.

Об авторах

А. Мерзон

Instituto de Fisica y Matemáticas, UMSNH

Email: anatolimx@gmail.com
Морелия, Мексика

П. Жевандров

Facultad de Ciencias Fisico-Matemáticas, UMSNH

Email: pzhevand@gmail.com
Морелия, Мексика

Х. Э. Де ла Пас Мендес

Escuela Superior de Matemáticas N.2, UAGro

Email: jeligio12@gmail.com
Сьюдад Альтамирано, Мексика

М. И. Ромеро Родригес

Facultad de Ciencias Básicas y Aplicadas, Universidad Militar Nueva Granada

Автор, ответственный за переписку.
Email: maria.romeror@unimilitar.edu.co
Богота, Колумбия

Список литературы