Дифференциальные уравнения с вырожденным зависящим от неизвестного оператором при производной

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Рассматриваются дифференциальные уравнения (ДУ) вида A(x)x× = G(x). (1.1) Если не оговорено противоположное A(x), G(·) : E1 → E2, dimE1 = dimE2 = n, A(0) = A0 - вырожденный оператор dim Ker A0 = dim Ker A∗ = 1; Ker A0 = N (A0)= span{ϕ}; Ker A∗ = N (A∗)= 0 0 0 span{ψ}. Оператор G(x) - достаточно гладкий, G(0) = 0; G(x)= Bx - H(x),H(0) = 0; H×(0) = 0. Прежде всего следует выяснить, при каких условиях оператор A(x) будет невырожденным в проколотой окрестности точки x = 0 или вырожденным в некотором подмногообразии окрестности точки x = 0. В этом направлении при использовании результатов [2] в разделах 2 и 3 предложена теория обобщенных жордановых цепочек (ОЖЦ) с приложениями к ДУ вида (1.1). В определении жордановых цепочек будет исследован более общий случай линейной оператор-функции по параметру λ, принадлежащему k-мерному линейному пространству, отличному от E1: A(λ)= A0 + DA(0)λ : E1 → E2,λ ∈ Λ, dim Λ = k, (1.2) Полиномиальные оператор-функции A(λ) рассматриваются c помощью процесса линеаризации. В примерах разделов 2 и 3 иногда Λ = E1. Часть полученных результатов была доложена на 9-м Международном Конгрессе ISAAC в Кракове в августе 2013 г. [21] и на Международной Конференции DIFF-2014 в Суздале, август 2014 г. [9]. Уравнение вида (1.1) возникает при математическом моделировании динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций при их трансзвуковом обтекании потоком газа [24]. Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 119 120 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН Данная работа выполнена в рамках государственного задания № 2014/232 Минобрнауки России, тема НИР: «Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций, установок, приборов, устройств при аэрогидродинамическом, тепловом и ударных воздействиях». 2. ЖОРДАНОВЫ ЦЕПОЧКИ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИИ Пусть оператор A(λ) линеен по λ, т. е. A(λ)= A0 + DA(0)λ, где DA(0) отображает некоторую окрестность λ = 0 в пространство квадратных матриц порядка n. Излагаемые далее построения определяют жордановы цепочки оператор-функции (1.2) и сопряженной к ней. Исходным положением развиваемой далее теории является следующее Утверждение. Для того чтобы отображение (1.2) было необратимым в некоторой окрестности точки λ = 0, необходимо и достаточно существование функции h(λ) : U (0) → E1, определенной в некоторой окрестности λ =0 или на некотором ее подмногообразии, такой, что [A0 + DA(0)]h(λ)= 0. s Считая функцию h(λ) достаточно гладкой, разложим ее в ряд Тейлора h(λ) = ϕ + Dh(0)λ + D2h(0)λ2 +.. .+Dsh(0)λs +.... Здесь Dsh(0) - s-линейный, симметричный оператор или линейный оператор, действующий из Λ ⊗ ... ⊗ Λ= ⊗Λ в E1. Получаем разложение 0= A0ϕ + [A0Dh(0)λ + (DA(0)λ) (ϕ)] + ... + IA0Dsh(0)λs + (DA(0)) λ (Ds-1h(0)λs-1)l + ... Здесь DA(0) можно рассматривать как билинейный оператор от двух переменных и так как его вторая переменная имеет постоянное значение ϕ, он представляет собой некоторый известный оператор B1, действующий на λ, т. е. A0Dh(0)λ +(DA(0)λ)(ϕ)= [A0Dh(0)+ B1]λ. Таким образом, так как Dh(0) ∈ L{Λ → E1}, оператор A0 порождает оператор B1 : L{Λ → E1} → L{Λ → E2} согласно правилу: если S ∈ L{Λ → E1}, то B1S = -A0S. Для того чтобы S ∈ Ker B1, необходимо и достаточно, чтобы Im S = {ϕ} и так как dim Λ = k, то существует ровно k линейно независимых операторов S таких, что Im S = {ϕ}, т. е. dim Ker B1 = k. Пусть векторы ξ1, ..., ξk (соответственно ξ∗, ..., ξ∗) образуют базис пространства Λ (биор- 1 k тогональный ему базис Λ∗). Тогда, поскольку L{Λ → E1} изоморфно пространству Λ∗ ⊗ E1: i L{Λ → E1}≈ Λ∗ ⊗ E1, базис Ker B1 составляют операторы Φi = ξ∗ ⊗ ϕ,такие что BΦi = -A0Φi = i * * -ξ∗ ⊗ A0ϕ = 0 или Φiξs = δisϕ. Из равенства dim L{Λ → E1} = dim L{Λ → E2} следует, что 1 dim coKer B1 = dim N (B∗ ) = k, и так как L{Λ → E1} ≈ Λ∗ ⊗ E1, то L{Λ → E2} ≈ Λ ⊗ E2 и операторы Ψi = ξi ⊗ ψ в пространстве L{Λ → } B . E2 * образуют базис 1 Ker ∗ Таким образом, для разрешимости уравнения A0Dh(0) = -B1 необходимо и достаточно выs j1 полнение равенства ((B1S, Ψi⊕⊕ = -((A0S, Ψi⊕⊕ = - ), aj1 ((ξ∗ ⊗ A0ej, ξi ⊗ ψ⊕⊕ = 0. Здесь {ej } ji=1 (соответственно {uj })- базис в E1(E2) и действие функционалов из пространств Λ∗, E∗ и E∗ на 1 2 элементах пространств Λ, E1 и E2 обозначено (·, ·⊕, а через ((·, ·⊕⊕ - действие функционалов из пространств L{⊗Λ → E1}∗ и L{⊗Λ → E2}∗ на элементы пространств L{⊗Λ → E1} и L{⊗Λ → E2}. s s s s Оператор Dh(0) определяется с точностью до линейной комбинации операторов Φi. Предположим теперь по индукции, что оператор Ds-1h(0) определен, и рассмотрим уравнение A0Dsh(0)λs + (DA(0)λ)(Ds-1h(0)λs-1)= [A0Dsh(0) + Bs]λs = 0. (2.1) s Оператор A0 порождает оператор Bs, действующий из пространства L{⊗Λ → E1} в пространство L{⊗Λ → E2} по правилу: если S ∈ {⊗ Λ → E1}, то BsS = -A0S. Так как пространство s s L{⊗Λ → E1}≈ ⊗ Λ* ⊗ E1 (представляется его элементами), то dim Ker Bs = ks и базис в Ker Bs s s * * составляют операторы Φi1...is = {ξi1 ⊗ ... ⊗ ξis ⊗ ϕ}, i1,..., is = 1, k, BsΦi1...is = -A0Φi1...is = -ξ* ⊗.. .⊗ξ* ⊗A0ϕ. Аналогично определяется базис в coKer Bs ⊂ [L{⊗ Λ -→ E2}]∗ ≈ ⊗ Λ⊗E∗ как i1 is s s 2 s линейно независимые элементы Ψj1...js = ξj1 ⊗ ... ⊗ ξjs ⊗ ψ, j1, j2,..., js = 1,k и dim coKer Bs = k . Действительно, так как S ∈ L{⊗Λ → E1} ≈ ⊗ Λ∗ ⊗ E1, то оператор S представляется в виде s s ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 121 S = ), aj1...js s ⊗ k=1 jk ξ* ⊗ ej и поэтому BsS = - ), aj1...js s ⊗ k=1 jk 1 s ξ* ⊗ A0ej. Поскольку ((BsS, Ψi ...i ⊕⊕ = / s * s \\ ), * ⊗ ⊗ - ), aj1...js ⊗ ξjk ⊗ A0ej, k=1 - ξi ψ = i=1 aj1...js (ξj1 , ξj1 ⊕ ... (A0ej, ψ⊕ = 0, то Ψj1...js образуют базис coKer Bs. Таким образом, для разрешимости уравнения (2.1) необходимо и достаточно выполнение условий ((Bs, Ψi1...is ⊕⊕ = 0, i1,..., is = 1, k. (2.2) Определение 2.1. Элементы ϕ, Dh(0), D2h(0),..., Dph(0), до тех пор пока они определяются, образуют жорданову цепочку (ЖЦ) элемента ϕ оператор-функции A0 + DA(0)λ. Лемма 2.1. Для того чтобы оператор-функция A0 + DA(0)λ была необратима всюду в окрестности точки λ = 0, необходимо и достаточно существование жордановой цепочки бесконечной длины. Доказательство. Достаточность. Пусть существует цепочка бесконечной длины. Для упрощения рассуждений введем на каждом шаге регуляризаторы Шмидта [2]. Тогда в принятых в [2] } обозначениях оператор A 0 = A0 + (·, e∗⊕ u1, где {e∗ n } - биортогональная система к {ei n , e1 = ϕ 1 j 1 1 и u1 - базисный элемент дополнения к Im A(0) в E2, непрерывно обратим и k 0 A -1 = Γ. Аналогично B 1 = B1 + ),(·, ξi ⊗ e* ⊕ξ* ⊗ u1 и B -1 = Γ1. Для L{Λ → E1} ⊗ S = ),almξ* ⊗ el име- 1 i 1 m i=1 m k k ем B 1S = B1S + ),(),almξ* ⊗ el, ξi ⊗ e* ⊕ξ* ⊗ u1 = B1S + ), a1iξ* ⊗ u1, и так как (Sλ, e* ⊕ = m 1 i i=1 m i 1 i=1 (),al,mλmel, e* ⊕ = ),a1mλm = ),a1mξ* (λ) то B 1S = A0S + (S·, e* ⊕u1 = A 0S. Отсюда следует 1 m 1 m m m соотношение Γ1T = ΓT для T ∈ L{Λ1 → E2}, для доказательства которого достаточно положить S = ΓT : B 1ΓT = A 0ΓT = T или, обращая оператор B 1 ⇒ ΓT = Γ1T. Аналогично доказывается, что если Bs : L{⊗Λ → E1}→ L{⊗Λ → E2}, то B sS = A 0S для S ∈ L{⊗Λ → E1}. Действительно, s s s B sS = BsS + ),(S, ξj1 ⊗ ... ⊗ξjs ⊗ e1⊕ξj1 ⊗ ... ⊗ ξjs ⊗ u1 при S = ), ai1...is,iξi1 ⊗ ... ⊗ ξis ⊗ ei * * * * * дает ⇒ B sS = AsS + ),(),(ai1...is,iξi1 ⊗ ... ⊗ ξis ⊗ ei, ξi1 ⊗ ... ⊗ ξis ⊗e1⊕ξi1 ⊗ ... ⊗ ξis ⊗ u1⊕ = * * * * * s * * * A0S +), ai1...is ⊗ ξ∗ ⊗ u1 = A0S +(S·, e1⊕u1 = A 0S, так как (Sλ, e1⊕ = (), ai1...is,iλi1 ... λis ei, e1⊕ = k=1 ik ), ai1...is,1λi1 ... λis = ), ai1...is,1ei1 (λ) ⊗ ... ⊗ eis (λ). Если теперь Γk = (B k ) ,то полагая S = ΓT, * * -1 как и выше, находим B sΓT = A 0ΓT = T или, обращая B s, ΓT = Γk T, k = 1, 2,... s,..., откуда следуют неравенства lΓk l lΓl ∀k. Аналогичным образом свяжем с билинейным оператором DA(0)λ = R(·, λ) ∈ L{E1 → E2} оператор Ds, действующий из L{⊗ Λ → E1} в L{⊗ Λ → E1} по правилу DsSλ = R(Sλ, λ), для s-1 s-1 s S ∈ L{⊗Λ → E1}, отметив, что D0 : E1 → L{Λ → E2}. При этом, очевидно, lDsl lRl, ∀s. Используя введенные обозначения, приходим к следующим формулам для элементов жордановой цепочки: Js = (ΓsDs 1) ... (Γ D ) ϕ, s = 1, 2,..., J 1 = ϕ. (2.3) - 1 0 Оценка lJsl (lRllΓl)slϕl дает сходимость ряда h(λ) в некоторой окрестности λ = 0, в которой оператор-функция A0 + DA(0)λ не будет обратима. Необходимость. Пусть в некоторой окрестности λ =0 оператор-функция A(λ) необратима, т. е. существует функция X(λ): Dε(0) → E1, такая что A(λ)X(λ)= 0, X(λ) ◦= 0, (2.4) где можно считать lX(λ)l =1 в силу линейности уравнения (2.4), или A0X(λ)+ R(X(λ), λ)= 0. Вводя регуляризатор Шмидта и учитывая, что Γu1 = e1, получаем цепочку импликаций A 0X(λ) + R(X(λ), λ) = (X(λ), e* ⊕u1 ⇒ [I + ΓR(·, λ)] X(λ) = (X(λ), e∗⊕ e1 ⇒ X(λ) = 1 1 1 e* (X(λ), e∗⊕ (I + ΓR(·, λ))-1 e1, или, применяя к обеим частям последнего равенства функционал 1 и учитывая, что (X 1 (λ), e* ⊕ ◦= 0, приходим к соотношениям 1 = ([I + ΓR(·, λ)]-1 1 e1, e* ⊕ ⇒ 122 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН (ΓR(·, λ)[I + ΓR(·, λ)]-1e1, e∗⊕ =0 для любого достаточно малого λ. Поскольку Γ∗e∗ = u∗, отсюда следует 1 1 1 (R(e1, λ), u* ⊕ = 0, (R(ΓR(e1, λ), λ), u* ⊕ = 0, 1 1 (2.5) 1 ..., (R(... (ΓR(e1, λ)), λ), u* ⊕ = 0,... Из первого соотношения (2.5) следует, что оператор D0ϕ = R(e1, ·) ортогонален операторам Ψi = ξi ⊗ u* ,i = 1, k, так как согласно (2.5) R(e1, ·) = ), rσρξ* ⊗ uρ, ρ > 1. Это означает суще- 1 σ J 1 * ствование элемента цепочки (2.3). Аналогично условие (R(... (ΓR(e1, λ)), λ), u1⊕ =0 означает, что полилинейная функция R(... (ΓR(e1, λ)), λ) имеет вид ), rσ1,...,σs,ρ ξσ1 ⊗ ... ⊗ ξσs ⊗ uρ, ρ > 1 и * * поэтому ортогональна всем Ψσ1,...,σs,1 = ξσ1 ⊗ ... ⊗ ξσs ⊗ u1. Таким образом, выполняются условия существования любого элемента цепочки (2.3). Лемма 2.2. Если λ =0 является простым собственным значением оператор-функции (1.2), т. е. ЖЦ состоит только из первого элемента ϕ = J 1, то в малой окрестности нуля она обратима всюду за исключением некоторой гиперповерхности, проходящей через ноль. Доказательство. Требуется найти, для каких λ существует решение уравнения (2.4), которое, как и выше, переписывается в виде 1 A 0X(λ) + R(X(λ), λ) = (X(λ), e* ⊕u1 ⇒ ... ⇒ 1 ((I + ΓR(, λ))-1e1, e* ⊕ = 1. Однако по условию леммы нарушается уже первое равенство (2.5), 1 т. е. ((R(e1, ·), Ψi⊕⊕ ◦= 0, или одно из чисел (R(e1, ξi), u* ⊕ ◦= 0. Согласно теореме о неявной функции отличные от нуля решения (2.4) существуют только на гиперповерхности λi = F (λ1,..., λi-1, λi+1,..., λk ). 0 Далее рассматривается оператор-функция A* x + R*(x, λ), где R*(x, λ) - сопряженная к R(λ) матрица с учетом действия R(y, λ)= R(λ)y. 0 1 Лемма 2.3. Если оператор-функция A(λ) = A0 + R(·, λ) имеет в нуле простое собственное значение, то и оператор-функция A*(λ) = A* + R*(·, λ) также имеет ноль простым собственным значением. Она необратима на той же самой гиперповерхности, что и A(λ). Ноль-элемент A*(λ) определяется формулой Ψ(λ)= (I + Γ*R*(·, λ))-1u*. Доказательство. Если оператор-функция A(λ) = A0 + R(·, λ) имеет в нуле простое собственное значение, то ((R(e1, ·), Ψi⊕⊕ ◦=0 для некоторого Ψi = ξi ⊗ ψ, для чего необходимо и достаточно существование элемента ξi такого, что (R(ξi)e1, ψ⊕ ◦= 0. Действительно, если R(e1, λ) ∈ L{Λ → E2}, s то для некоторого i ri1 ◦= 0, откуда следует R(ξi)e1 = ri1u1 и потому R(e1, λ) = ), rsσξ∗ ⊗ uσ. R 1 Если (( (e1, ·), Ψi⊕⊕ ◦= 0, то ri1 ◦= 0 и R(ξi)e1 = ri1u1, поэтому (R(ξi)e1, ψ⊕ ◦= 0. Обратно, если ((R(e1, ·), Ψi⊕⊕ =0 для каждого Ψi, то ri1 = 0, для каждого i и поэтому (R(ξi)e1, ψ⊕ =0 для всех i. Аналогичным образом справедливо утверждение: ((Φi, R∗(u∗, ·)⊕⊕ ◦=0 тогда и только тогда, когда существует элемент ξi такой, что (e1,R (ξ1)ψ⊕ ◦= 0. Так как (R(ξi)e1, ψ⊕ = (e1,R (ξi)ψ⊕, то из того, ∗ ∗ что оператор-функция A(λ)= A0 + R(·, λ) имеет простым собственным значением λ = 0, следует, что сопряженная оператор-функция (λ)= A0 +R (·, λ) также имеет λ =0 простым собственным значением. A∗ ∗ ∗ 0 Так как определители матриц A(λ) и A∗(λ) совпадают, то и многообразие вырождения для этих оператор-функций одно и то же. Ноль-элемент оператор-функции A∗ + R∗(·, λ) определяется так же, как это было сделано в лемме 2.2 для A0 + R(·, λ). Лемма 2.4. Если оператор-функция A(λ) = A0 + R(·, λ) имеет ОЖЦ длины p, т. е. 0 J 1 = ϕ, J 2(λ),...,Jp(λ, λ,... λ), то оператор-функция A∗(λ)= A∗ + R∗(·, λ) также имеет ОЖЦ ∗ ∗ длины p: J 1 = ψ, J 2(λ),..., J p(λ,..., λ). Здесь J s(λ,..., λ) ∈ L{⊗ Λ → E2 } ≈ ⊗ Λ∗ ⊗ E2 . s-1 s-1 При этом образы элементов жордановых цепочек при одном и том же значении параметра λ удовлетворяют следующим условиям ортогональности: для любых значений λ, если s < k, k, s = 1, p, (R(Jp-k (λ,... λ), λ), J s(λ,... λ)⊕ = 0, (2.6) и если k = s, то найдутся такие значения λ, для которых (R(Jp-s(λ,... λ), λ), J s(λ,... λ)⊕ ◦= 0. (2.7) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 123 Доказательство. Запишем оператор-функцию A(λ) = A0 + R(·, λ) в виде A(λ)x = [A0 + Q(λ)]x. 0 Тогда сопряженная оператор-функция примет вид A∗(λ)w = [A∗ + Q∗(λ)]w. В этих обозначениях формула для элементов ОЖЦ Js+1 = (ΓsDs 1) ... (Γ D )ϕ может быть записана в виде суперпози- - 1 0 ∗ ции s операторов ΓQ(λ): Js+1 = (ΓQ(λ) ... (ΓQ(λ))ϕ. Покажем, что ОЖЦ сопряженной операторфункции, отвечающая элементу ψ, также имеет длину p и ее элементы выражаются аналогичным образом. Действительно, так как при p > 1 (ϕ, Q∗(λ)ψ⊕ = (Q(λ)ϕ, ψ⊕ = 0, то элемент J (2)(λ) существует и определяется уравнением A0J 1(λ)= Q∗(λ)ψ. Если ввести регуляризатор Шмидта для A∗ 0 по формуле A 0 = A∗ + (u1, ·⊕e∗, то он совпадет с (A 0)∗, и поэтому обратный к нему равен Γ∗. 0 (2) ∗ ∗ Таким образом, элемент J (2) 1 можно определить по формуле J (λ)= Γ Q (λ)ψ. Предположим по индукции, что для s < p - 1 элемент J (s)(λ,..., λ) существует и определяется суперпозицией s - 1 операторов Γ∗Q∗(λ) по формуле J (s)(λ,..., λ) = Γ∗(Q∗(λ)) ... (Γ∗(Q∗(λ)))ψ. Покажем, что следующий элемент ОЖЦ также существует и выражается аналогично. Действительно, для любого λ функция J (s)(λ,..., λ) удовлетворяет соотношению (ϕ, Q∗(λ)J (s)(λ,..., λ)⊕ = (ϕ, Q∗(λ)(Γ∗Q∗(λ) ... (Γ∗(Q∗(λ))))ψ⊕ = = (Q(λ)J (p-k+s)(λ,..., λ), ψ⊕ = (Q(λ)J s(λ,..., λ), ψ⊕ = 0. (s) Это означает, что выполняются равенства ((Φi1...is , Q∗(λ)J (λ,..., λ)⊕⊕ = 0, т. е. уравнение A∗ (s+1) 0J (λ,..., λ)= Q∗(λ)J (s) (λ,..., λ) разрешимо и J (s+1) (λ,..., λ) представляется s +1 суперпозицией операторов Γ∗(Q∗(λ)). Теперь ясно, что при s < k и любом λ (R(J (p-k)(λ,..., λ), λ), J (s)(λ,..., λ)⊕ = = (Q(λ)(ΓQ(λ)) ... (ΓQ(λ))ϕ, (Γ∗Q∗(λ)) ... (Γ∗(Q∗(λ)))ψ⊕ = (Q(λ)J (p-k+s)(λ,..., λ), ψ⊕ = 0, так как в левой части внутреннего произведения p - k суперпозиций, а в правой s и p - k + s < p - 1. Если же k = s, то (R(J (p-s)(λ,..., λ), λ), J (s)(λ,..., λ)⊕ = (Q(λ)J (p)(λ,..., λ), ψ⊕. Последнее выражение не обращается в ноль хотя бы для некоторых λ, поскольку длина ОЖЦ равна p. Замечание 2.1. Формулы (2.6) и (2.7) согласуются с соотношениями биортогональности триканонических жордановых наборов оператор-функций одного спектрального параметра, установленными в [7, 12] и неоднократно использовавшимися во многих последующих наших работах, например, [19, 20]. 3. ЖОРДАНОВЫ ЦЕПОЧКИ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ Для каждой точки 0 ◦= λ = (λ1,..., λk ) ∈ Λ сферы leλl = 1, eλ = λ lλl - единичный вектор в направлении λ. Сужение оператор-функции A(·, λ) = A0 + R(·, λ) на прямую λ = εeλ зависит только от одномерного параметра ε: Aλ(x, ε) = [A0 + εR(·, eλ)]x. В предположении R(·, eλ) ◦= 0 определяются жордановы цепочки оператор-функции A(x, λ) вдоль направления λ. Длина цепочки по направлению λ обозначается p(λ)= p(eλ). Лемма 3.1. Пусть p - длина ОЖЦ многопараметрической оператор-функции A(x, λ). Тогда для любого направления λ выполнено p p(λ) и для почти всех направлений λ за исключением алгебраического множества выполнено p = p(λ). Доказательство. Элементы ЖЦ в направлении λ определяются формулой ϕ(s+1)(λ)= ΓR(... (ΓR(ϕ, λ), λ)) (s суперпозиций). (3.1) Если s p, где p - длина ОЖЦ оператор-функции A0 + R(·, λ), то (R(... (ΓR(ϕ, λ), λ)), ψ⊕ = 0, иначе не будут выполняться формулы типа (2.2). Поэтому при s p все элементы ЖЦ по направлению eλ определены. Направления λ0, для которых длина ЖЦ превышает p, определяются уравнением (R(... (ΓR(ϕ, λ0),..., λ0)), ψ⊕ =0 (p +1 суперпозиция). 124 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН Определение 3.1. Направление λ0, вдоль которого p(λ0) > p называется особым, все остальные - неособые. Особое направление eλ, вдоль которого оператор-функция A0 + εR(·, λ0) необратима, называется вырожденным. Замечание 3.1. Пусть p < ∞. Согласно [2, теорема 30.1] на множестве всех неособых направлений eλ оператор-функция A0 + R(·, λ0) обратима в шаре 0 < |c| < ρ(eλ) для некоторого ρ(eλ). Замечание 3.2. Следующий пример показывает, что ρ(λ) нельзя выбрать не зависящим от λ: 0 0 x1 1 0 x1 0 1 x1 2 2 A(λ)x = 0 1 x2 + λ1 0 -1 x2 + λ2 1 0 x2 , det A(λ)= λ1 - λ1 - λ2, A(λ) необратима на кривой (λ1 - 1 \\2 2 + λ2 = 1 4 . Здесь любое направление eλ ◦= (0, 1), кроме вертикального, является неособым, и ρ(eλ) равно расстоянию от нуля до точки пересечения eλ с кривой λ1 - λ2 - λ2 = 0. Очевидно, что ρ(eλ) → 0 при eλ → (0, 1). Вдоль особого направления 1 2 (0, 1) A(λ) обратима везде, кроме λ = 0. Замечание 3.3. Если вдоль некоторого направления eλ оператор-функция A(λ) имеет максимальную ОЖЦ, то вдоль этого направления она обратима всюду, кроме λ = 0. Это следует из того факта, что в паре базисов {ϕ(1), ϕ(2),..., ϕ(n)} и {R(ϕ(1), λ0), R(ϕ(2), λ0),..., R(ϕ(n), λ0)} матрица оператор-функции A(λ) вдоль направления eλ имеет вид: -ε 1 0 ... 0 0 ... -ε ... 1 ... ... ... 0 .. . 0 0 0 ... -ε ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ . ⎝ ⎠ Следствие. Длина ОЖЦ либо равна бесконечности, либо не превышает размерности пространства. Лемма 3.2. Если у оператор-функции A(λ)= A0 +R(·, λ) длина жордановой цепочки равна p, λ то для любого достаточно малого значения λ ◦= 0 такого, что направление λ0 = вырождено, образы элементов жордановой цепочки в точке λ линейно независимы. не lλl Доказательство. Действительно, ОЖЦ оператор-функции A(λ)= A0 + R(·, λ) определяются формулой Js+1(λ,..., λ)= ΓsR(..., ΓR(ϕ, λ),..., λ), тогда как цепочки по направлению eλ вычисляются согласно формуле (3.1) леммы 3.1 ϕ(s+1)(eλ)= ΓR(..., ΓR(ϕ, eλ),..., eλ). Если направление eλ не вырождено, то элементы ОЖЦ линейно независимы. Но тогда и элементы Js+1(λ) также линейно независимы как отличающиеся от ϕ(s+1)(eλ) лишь ненулевым скалярным множителем. Замечание 3.4. Следующий пример показывает, что если направление eλ вырождено, то образы элементов ОЖЦ в точке λ могут быть линейно зависимы. 0 0⎞ ⎛0 1 0⎞ ⎛0 0 0⎞ 1 0⎠ + λ1 ⎝1 0 0⎠ + λ2 ⎝0 1 0⎠ . (3.2) ⎛0 A(λ)= ⎝0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 Эта оператор-функция имеет жорданову цепочку, состоящую из двух элементов J 1 = ϕ = (1, 0, 0)T и J 2(λ) = (0, λ1, 0)T . Дальше эта цепочка не продолжается, так как R(J 2(λ), λ) = (λ2, λ1λ2, 0)T , и поэтому если Ψ = ξ1 ⊗ ξ2 ⊗ ψ, то ((R(J 2(λ), λ), Ψ⊕⊕ ◦= 0. При этом на прямой, соответствующей вырожденному направлению (0, 1) (или (0, 1, 0)), если считать, что dim Λ = 3), образы элементов ОЖЦ линейно зависимы, так как на этой прямой J 2(λ)= 0. Лемма 3.3. Если n k и для оператор-функции A(λ) = A0 + R(·, λ) длина ОЖЦ p > 1, то для нее всегда найдется направление eλ, вдоль которого оператор-функция вырождена. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 125 Доказательство. Действительно, рассмотрим оператор-функции, соответствующие базисным направлениям Ai(x) = A0x + εR(x, ξi). По условию длина ОЖЦ каждой из этих оператор-функций больше единицы, т. е. (R(e1, ξi), Ψ⊕ = 0, и k векторов R(e1, ξ1),..., R(e1, ξk ) принадлежат (n - 1)-мерному пространству и поэтому линейно зависимы. Это означает, что существуют числа λ1,..., λk такие, что λ1R(e1, ξ1)+ ... + λk R(e1, ξk ) = 0 или R(e1, λ1ξ1 + ... + λkξk ) = 0. Отсюда следует, что вдоль направления λ∗ = λ1ξ1 + ... + λkξk оператор-функция A0 + R(·, λ∗) вырождена. Замечание 3.5. В случае n > k вырожденное направление может отсутствовать: ⎛0 0 0⎞ ⎛0 1 0⎞ ⎛0 0 1⎞ A(λ)= ⎝0 1 0⎠ + λ1 ⎝1 0 0⎠ + λ2 ⎝0 0 0⎠ . 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ОЖЦ этой оператор-функции состоит из двух элементов (1, 0, 0) и (0, λ1, λ2). Очевидно, что квадратичная вектор-функция (λ2 + λ2, 0, 0) удовлетворяет одному из условий (2.2): λ1(λ2 + λ2) ◦=0 или 1 2 1 2 λ2(λ2 + λ2) ◦= 0. Вдоль направлений (1, 0) и (0, 1) A(λ) не вырождается, так как det[A(λ1, 0)] = 1 2 1 -λ2 2 ◦= 0 и det[A(0, λ2)] = -λ2 ◦= 0, а для «промежуточного» направления (1, a) выполнено det[A(ε, εa)] = -ε2 - ε2a2 ◦= 0, т. е. и здесь A(λ) не вырождена. Замечание 3.6. Однако для нелинейной оператор-функции (1.2) утверждение леммы 3.2 может не выполняться: 0 0 x1 0 1 x1 2 1 0 x1 A(x, λ)= 0 1 x2 - λ2 -1 0 x2 + λ1 0 0 x2 . не имеет вырожденных направлений, поскольку detA(λ)= λ2 + λ2 ◦=0 при λ ◦= 0. 1 2 Замечание 3.7. Если оператор-функция (1.2) имеет λ =0 простым собственным значением, то она может иметь вырожденные направления: 0 0 x1 1 0 x1 A(x)= 0 1 x2 - λ1 0 0 x2 , 1 R(e1, λ)= ξ∗ ⊗ u1 ⇒ ((R(e1, ·), Ψ1⊕⊕ = ((R(e1, ·), ξ1 ⊗ ψ⊕⊕ = 1, т. е. p = 1; при этом направление (0, 1) вырождено. 4. ЖОРДАНОВЫ ЦЕПОЧКИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ Пусть оператор-функция A(λ) имеет вид A(λ)x = A0x - R1(λ)x - R2(λ, λ)x... - Rm(λ,..., λ)x, (4.1) где Rs(λ,..., λ) - s-линейная функция λ со значениями в L{E1 → E2} или Rs(λ,..., λ)x ∈ L{Λ ⊗ 1 ... ⊗ Λ ⊗ E1 → E2}≈ Λ ⊗ ... ⊗ Λ ⊗ E ⊗ E2. Рассмотрим элементы жордановой цепочки J 1 = ϕ, J 2,...,Jp, где Js принадлежит пространs j=1 ству L{ ⊗ Λ → E1}. При m > p они последовательно определяются формулами J 2 = Γ1R1(λ)J 1, если уравнение B1J 2 = R1(λ)J 1 разрешимо; J 3 = Γ2(R1(λ)J 2 + R2(λ, λ)J 1), если уравнение B2J 3 = R1(λ)J 2 + R2(λ, λ)J 1 разрешимо;........., Jp = Γp 1(R (λ)Jp-1 + R (λ, λ)Jp-2 + ... + 1 p p-1 - 1 2 p-2 1 Rp-1(λ,..., λ)J ), если уравнение Bp-1J = R1(λ)J + R2(λ, λ)J + ... + Rp-1(λ,..., λ)J разрешимо. При s > m цепочки определяются по формуле Js = Γs(R1(λ)Js-1 + R2(λ, λ)Js-2 + ... + Rm(λ,..., λ)J s-m), если уравнение BsJs = R1(λ)Js-1 + R2(λ, λ)Js-2 + ... + Rm(λ,..., λ)J s-m разрешимо. Определение 4.1. Пусть длина ОЖЦ равна p, т. е. уравнение BpJp+1 = R1(λ)Jp + R2(λ, λ)Jp-1 + ... + Rm(λ,..., λ)J p-m+1 неразрешимо, так как (R1(λ)Jp +R2(λ, λ)Jp-1 +.. .+Rm(λ,..., λ)J p-m+1, ψ⊕ ◦= 0. Тогда выражение (R1(λ)Jp + R2(λ, λ)Jp-1 + ... + Rm(λ,..., λ)J p-m+1, ψ⊕ 126 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН назовем хвостом жордановой цепочки. Хвост жордановой цепочки является p-линейной формой. При dim Ker A0 = m существует m хвостов по числу ЖЦ. R-образ элемента ЖЦ Js-1 определяется выражением RJs-1 = (R1(λ)Js-1 + R2(λ, λ)Js-2 + ... + Rm(λ,..., λ)J s-m, если s > m; - R1(λ)Js-1 + R2(λ, λ)Js-2 + ... + Rs 1(λ,..., λ)J 1, если s m. Очевидно, что когда элемент ЖЦ Js существует при s < p, Js = Γs(RJs-1). Для простоты изложения рассмотрим процесс линеаризации на примере квадратичной операторфункции с двумерным пространством параметров, dim Λ = 2,λ = (λ1, λ2). Пусть A(λ)x = A0x - R1(λ)x - R2(λ, λ)x = A0x - (λ1R1 + λ2R1)x - (λ2R2 + λ2R2 + 2λ1λ2R2 )x. (4.2) 1 2 1 11 2 22 12 Элементы жордановой цепочки этой оператор-функции определяются по формулам: J 1 = ϕ, Js = Γ((λ1R1 + λ2R1)Js-1 - (λ2R2 + λ2R2 + 2λ1λ2R2 )Js-2). Для линеаризованной оператор-функции 1 2 1 11 2 22 12 α(λ)= α0 - ρ(λ)χ, α(λ): E1 × E1 × E1 → E2 × E1 × E1,λ ∈ Λ ⎛A0 0 0 ⎞ R R R ⎛ 1 2 2 ⎞ 1 11 12 R R ⎛ 1 2 2 12 22 R2 ⎞ ⎛χ1⎞ α(λ)= ⎝ 0 E 0 ⎠ - λ1 ⎝ E 0 0 ⎠ - λ2 ⎝ 0 0 0 ⎠ ⎝χ2⎠ 0 0 E 0 0 0 E 0 0 χ2 1 2 Единственным нулем оператора α0 является Φ(1) = (ϕ, 0, 0). Так как ρ(λ)Φ(1) = ((λ1R1 + λ2R1)ϕ, λ1ϕ, λ2ϕ) и функционал Ψ для оператора α0 имеет вид (ψ, 0, 0), то в силу существования элемента J 2 уравнение α0Φ(2) = ρ(λ)Φ(1) разрешимо и Φ(2) = (J 2(λ), λ1ϕ, λ2ϕ). Лемма 4.1. Если p - длина жордановой цепочки оператор-функции (4.2), то длина жордановой цепочки ее линеаризации α0χ также равна p и элементы ее жордановой цепочки имеют вид: Φ(s) = (Js(λ), λ1Js-1, λ2Js-1). (4.3) Доказательство. (По индукции.) Начальный шаг индукции проверен. Предположим, что формула (4.3) справедлива и s < p. Тогда ρ(λ)Φ(s) = ((λ1R1 + λ2R1)Js(λ)+ λ1R2 (λ1Js-1(λ))+ 1 2 11 +(λ1R2 (λ2Js-1(λ)) + (λ2R2 (λ2Js-1(λ)), λ1Js(λ), λ2Js(λ)) = 12 = ((λ1R1 + λ2R1)Js(λ)+ (λ2R2 22 + λ2R2 + 2λ1λ2R2 )Js-1, λ1Js(λ), λ2Js(λ)), 1 2 1 11 2 22 12 отсюда следует тот же самый вид s + 1 элемента ЖЦ. Для оператор-функции A(λ) от двух параметров третьей степени A(λ)x = A0x - R1(λ)x - R2(λ, λ)x - R3(λ, λ, λ)x вводится обозначение R3(λ, λ, λ)x = (λ3R3 + 2λ2λ2R3 + 2λ1λ2R3 + λ2R3 )x, поскольку 1 111 1 112 2 122 3 222 R3(λ1ξ1 + λ2ξ2, λ1ξ1 + λ2ξ2, λ1ξ1 + λ2ξ2)= λ3R3(ξ1, ξ1, ξ1)+ λ2λ2(R3(ξ1, ξ1, ξ2)+ R3(ξ1, ξ2, ξ1)+ 1 1 + R3(ξ2, ξ1, ξ1)) + λ1λ2(R3(ξ2, ξ2, ξ1)+ R3(ξ2, ξ1, ξ2)+ R3(ξ1, ξ2, ξ2)) + λ3R3(ξ2, ξ2, ξ2), 2R 3 112 2R 3 122 2 1 = R3(ξ1, ξ1, ξ2)+ R3(ξ1, ξ2, ξ1)+ R3(ξ2, ξ1, ξ1), = R3(ξ2, ξ2, ξ1)+ R3(ξ2, ξ1, ξ2)+ R3(ξ1, ξ2, ξ2). В этих обозначениях линеаризация принимает вид: α(λ)= α0χ - ρ(λ)χ, где α(λ): E1 × E1 × E1 × E1 × E1 × E1 → E2 × E1 × E1 × E1 × E1 × E1,λ ∈ Λ. Матрицы линеаризации имеют тот же вид, как и в случае второй степени, только их размеры 6 × 6. Здесь ⎛R1 2 1 R11 R2 12 R3 111 R3 112 R3 ⎞ 122 ⎜ E 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎜ E 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎝ 0,5E 0 0 0 0 ⎟ ⎠ ρ1 = , 0 0 0 0 0 0 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 127 ⎛R1 2 2 R12 R2 22 R3 112 R3 122 R3 ⎞ 222 ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ E 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎝ 0,5E 0 0 0 0 ⎟ ⎠ ρ2 = . 0 E 0 0 0 0 Жорданова цепочка линеаризованной оператор-функции записывается в виде шестикомпонентного вектора Φ(s) = (Js(λ), λ1Js-1(λ), λ2Js-1(λ), λ2Js-2(λ), λ1λ2Js-2(λ), λ2Js-2(λ)). 1 2 Для построения линеаризации полиномиальной оператор-функции (4.1) степени m, как и прежде, вводятся обозначения: Rm(λ, λ,..., λ)x = (λmRm + 2λm-1λ2Rm + ... + 2λ1λm-1Rm + λmRm )x. 1 1...11 1 1...12 2 12...2 2 2...22 Оператор-функция α(λ)= α0χ - ρ(λ)χ действует из пространства E1 × E1 × ... × E1 в пространство E2 × E1 × ... × E1 (в каждом произведении m(m + 1)/2 сомножителей). Матрицы соответственно принимают вид: ⎛R1 2 2 m m m ⎞ 1 R11 R12 ... R1...1 ... R1...12 R12...2 ⎜ E 0 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 E 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0,5E 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ρ1 = ⎜ , 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 E ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0,5E ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0,5E ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ... ... ... . . . ... . . . . . . .. . ⎠ ⎛R1 2 2 m m m ⎞ 2 R12 R22 ... R1...12 ... R12...2 R2...2 ⎜ 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ E 0 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0,5E 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ρ2 = ⎜ 0 E 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0,5E ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0,5E ... 0 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ 0 0 E ... 0 ... 0 0 ⎟ ... ... ... . . . ... . . . . . . .. . ⎠ c жордановыми цепочками линеаризованной оператор-функции при s > m Φ(s) = (Js(λ), λ1Js-1(λ), λ2Js-1(λ),..., λm J s-m 1 1 (λ), λm-1λ2J s-m 2 (λ),..., λ1λm-1J s-m 2 (λ), λmJ s-m (λ)). Линеаризованная оператор-функция в случае dim Λ > 2 строится аналогичным образом. Замечание 4.1. Если длина жордановой цепочки оператор-функции (4.1), равна 1, то в малой окрестности нуля оператор-функция (4.1) необратима на гиперповерхности, проходящей через ноль. Это аналог леммы 2.2, доказательство переносится без изменений. Определение 4.2. Если оператор-функция A(λ) обратима в проколотой окрестности точки λ0, то эту точку будем называть особой точкой соответствующего вырожденного дифференциального уравнения. Лемма 4.2 (достаточное условие обратимости оператор-функции A(λ) в проколотом круге). Пусть длина жордановой цепочки оператор-функции (4.1) равна двум и хвост жордановой 128 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН цепочки является строго знакоопределенной квадратичной формой. Тогда оператор-функция A(λ) обратима в некотором проколотом круге: 0 < lλl < ρ. Доказательство. Как и раньше, будем искать, для каких λ существует решение уравнения A(λ)X(λ)= 0,X(λ) ◦= 0. Перепишем его в виде: 1 A 0X(λ) - [R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)]X(λ)= (X(λ), e ⊕u1 или 1 (I - Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])X(λ)= (X(λ), e ⊕e1, 1 1 где Γ= (A 0)-1. Так как оператор (I -Γ[R1(λ)+R2(λ, λ)+.. .+Rm(λ,..., λ)]) обратим при малых λ, то X(λ)= (X(λ), e ⊕(I - Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])-1e1. Из этого равенства следует, что ненулевое решение уравнения (2.4) существует только тогда, когда (X(λ), e ⊕ ◦=0 и поэтому 1 ((I - Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])-1e1, e ⊕ = 1. (4.4) Так как (I - S)-1 = I + S + S2 + ... при малом S, то уравнение (4.4) можно переписать в виде: 1 0= ((Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])-1e1, e ⊕ + 1 + ((Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)]e1, e ⊕ + ... Сгруппируем члены одинакового порядка по λ: 0= (ΓR1(λ)e1, e ⊕ + [(ΓR2(λ, λ)e1, e ⊕ + (ΓR1(λ)ΓR1(λ)e1, e ⊕]+ ... (4.5) 1 1 1 3десь первое слагаемое равно нулю, так как цепочка оператор-функции имеет длину, равную двум, а второе слагаемое является хвостом жордановой цепочки, т. е. невырожденной знакоопределенной квадратичной формой. В силу леммы Морса [11] функция, стоящая в правой части равенства (4.5), эквивалентна своей квадратичной части, которая в силу знакоопределенности обращается в ноль только при λ = 0. Замечание 4.2. В случае dim E1 = dim E2 = 2 и dim Λ = 2, используя критерий Сильвестра, можно получить уточненное достаточное условие для обратимости оператор-функции A(λ) в проколотой окрестности λ = 0. Пусть, например, A(λ) = A0 + λ1B + λ2C + λ2D + 2λ1λ2E + λ2F + .... Здесь A0 = 0 0 , 1 2 0 1 B = (B1, B2) = (bij )(Bi - столбцы матрицы B),C = (C1, C2) = (cij ), D = (D1, D2) = (dij ), E = = λ2 1 2 1 (E1, E2) = (eij ), F = (F1, F2) = (fij ). Тогда, выражая R1(λ)J 1 + R2(λ, λ)J 0 через введенные выше матрицы, получим (λ1B + λ2C)(λ1B1 + λ2C1)+ (λ2D1 + 2λ1λ2E1 + λ2F1) (BB1 + D1)+ λ1λ2(BC1 + CB1 + 2E1)+ λ2(CC1 + F1). Хвост жордановой цепочки имеет вид λ2((b11)2 + b12b21 + 2 1 2 d11)+ λ1λ2(b12c21 + 2c11b11 + c12b21 + 2e11)+ λ2((c11)2 + c12c21 + f11). Возможны два условия для знакоопределенности хвоста: 10 - положительно определенный хвост: ((b11)2 + b12b21 + d11) > 0, 4((b11)2 + b12b21 + d11)((c11)2 + c12c21 + f11) - (b12c21 + 2c11b11 + c12b21 + 2e11)2 > 0; 20 - отрицательно определенный хвост: ((b11)2 + b12b21 + d11) < 0, 4((b11)2 + b12b21 + d11)((c11)2 + c12c21 + f11) - (b12c21 + 2c11b11 + c12b21 + 2e11)2 > 0. Лемма 4.3. (достаточное условие существования бифуркации рождения многообразия вырождения из особой точки). Предположим, что полиномиальная по λ и x оператор-функция A(λ, x): E1 → E2, λ ∈ Λ, dim Λ = k, x ∈ E1 удовлетворяет следующим условиям: 1. точка x =0 является особой точкой оператор-функции A(0, x); 2. A(λ, 0) ≡ A0, т. е. оператор-функцию A(λ, x) можно представить в виде A(λ, x) = A0 + R1(x)+ λ1B1(x)+ ... + λk Bk (x)+ ..., Bi(0) = 0; 3. dim Ker A0 = 1; 4. хотя бы одна из оператор-функций A0 + B1(x),..., A0 + Bk (x) имеет в нуле простое собственное значение. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 129 Тогда при всех достаточно малых λ ◦= 0, не принадлежащих некоторому аналитическому множеству, оператор-функция имеет гиперповерхность вырождения M (λ). Доказательство. Следуя доказательству леммы 2.2, будем искать решения уравнения A(λ, x)X(λ, x)= 0, X(λ, x) ◦= 0, lX(λ, x)l = 1. Используя оператор Шмидта, это уравнение можно переписать в виде 1 [A 0 + R1(x)+ λ1B1(x)+ ... + λk Bk (x)+ .. .]X(λ, x)= (X(λ, x), e ⊕u1, откуда 1 X(λ, x)= (X(λ, x), e ⊕(I + ΓR1(x)+ λ1ΓB1(x)+ ... + λk ΓBk (x)+ .. .)-1e1. Последнее уравнение эквивалентно 1 ((I + λR1(x)+ λ1ΓB1(x)+ ... + λk ΓBk (x)+ .. .)-1e1, e ⊕ = 1, а это уравнение, в свою очередь, может быть представлено как 1 0= ([R1(x)+ λ1B1(x)+ ... + λk Bk (x)+ .. .]e1, u ⊕ + ... (4.6) 1 1 В силу формулы (I + K)-1 = I - K + K2(I + K)-1 все слагаемые правее выписанных имеют степень ?: 2 по переменной x (здесь K = R1(x)+ λ1B1(x)+ ... + λk Bk (x)+ ... так, что каждое его слагаемое содержит x как минимум в первой степени). С другой стороны, уравнение (4.6) можно представить в виде x1a10...0(λ)+ ... + xna00...1(λ)+ x2a20...0(λ)+ ... += 0, где aij...s(λ) - аналитические функции от λ. 3аметим, что так как x =0 является особой точкой невозмущенной операторфункции, то слагаемое (R1(x)e1, u ⊕ также имеет минимальную степень ?: 2 по переменной x. Для определенности будем считать, что оператор-функция A0 +B1(x) имеет простое собственное значение, причем жорданова цепочка обрывается вдоль главного направления (см. определение 5.1), т. е. (B1(e1)e1, u ⊕ ◦= 0. Так как коэффициент при λ1 у оператор-функции a10...0(λ) равен (B1(e1)e1, u ⊕, 1 1 то a10...0(λ) тождественно не равно нулю. Обозначим через S ∈ Λ множество нулей аналитической функции a10...0(λ). Тогда для λ ∈ S \\ Λ множество решений уравнения по теореме о неявной функции представляет собой гиперповерхность M (λ): X1 = F (X2,..., Xn, λ). Теорема 4.1 (о существовании точек бифуркации). Если оператор-функция (4.1) имеет жорданову цепочку нечетной длины, то в малой окрестности нуля оператор-функция обратима всюду, за исключением множества M, которое является либо гиперповерхностью, проходящей через ноль, либо объединением нескольких таких гиперповерхностей. Доказательство. Повторяя рассуждения из доказательства леммы 2.2, можно прийти к заключению, что точки λ, в которых оператор-функция A0x - R1(λ)x - R2(λ, λ)x - ... - Rm(λ,..., λ)x необратима, являются решениями уравнения 1 ((I - Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])-1e1, e ⊕ =1 или 1 (Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)](I - Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])-1e1, e ⊕ = 0. Имеет место формула (4.7) (I - Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])-1e1 = J 1 + J 2(λ)+ ... + Jp(λ,..., λ)+ ... (4.8) Действительно, очевидно, что (I - Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)])-1e1 = S0 + S1(λ)+ ... + Sp-1(λ,..., λ)+ ..., где Si(λ,..., λ) - полилинейная функция со значениями в E1. Применяя к обеим частям оператор (I - Γ[R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ)]), получим (если, например, p < m): e1 = S0 +[S1(λ)-ΓR1(λ)S0]+.. .+[Sp-1 -ΓR1(λ)Sp-2 -ΓR2(λ, λ)Sp-3 -.. .-ΓRp-1(λ,..., λ)S0]+... Откуда следует, что S0 = e1 = J 1, S1(λ) = J 2(λ),..., Sp-1(λ,..., λ) = Jp(λ,..., λ). В силу формулы (4.6) все слагаемые в (4.7) степени меньше p обратятся в ноль и, по крайней мере, одно из слагаемых степени p в ноль не обратится. Сделав линейную замену переменных в пространстве Λ, 130 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН 1 можно получить, что отличен от нуля коэффициент при мономе λp. В силу теоремы деления Мальгранжа [3] существует необратимая в окрестности нуля функция H(λ1,..., λk ) такая, что после умножения на уравнение (4.7) примет вид λp p-1 1 + u1(λ2,..., λk )λ1 + ... + up-1(λ2,..., λk )λ1 + up(λ2,..., λk )= 0. Так как p нечетно, то множество вещественных решений этого уравнения состоит из одной или нескольких гиперповерхностей. Замечание 4.3. Следующий пример иллюстрирует множество (уже не являющееся многообразием) вырождения в случае, когда оператор-функция A0 + R(·, λ) имеет цепочку нечетной длины. Рассмотрим оператор-функцию 0 0⎞ ⎛0 0 -1⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛0 0 1 0⎠ + λ1 ⎝1 0 0 ⎠ + λ2 ⎝-1 0 0⎠ + λ3 ⎝0 0 ⎛0 A(λ)= ⎝0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1⎞ 0⎠ . 0 -1 0 Жорданова цепочка состоит из трех вектор-функций: J 1 = (1, 0, 0), J 2(λ) = (λ1 - λ2)(0, 1, 0) и J 3(λ)= (λ1 - λ2)(λ2 - λ3)(0, 0, 1), а уравнение (4.7) примет вид (λ1 - λ2)(λ2 - λ3)(λ1 - λ3)= 0. Таким образом, множество вырождения состоит из трех плоскостей λ1 = λ2, λ3 = λ2, λ1 = λ3, пересекающихся по прямой λ1 = λ2 = λ3. Рассмотрим теперь оператор-функцию вида A0x - R1(λ)x - R2(λ, λ)x - ... - Rm(λ,..., λ)x, у r r которой dim Ker A0 = dim coKer A0 = r и Ker A0 = {ϕi}1, Ker A0 = {ψi}1. Предположим сначала, }1 что все жордановы цепочки элементов ϕi имеют единичную длину. В этом случае будем говорить, что элементы {ϕi r образуют полный жорданов набор, если Dr (λ)= det l(R1(λ)ϕi, ψj ⊕l ◦= 0. (4.9) Здесь Dr (λ) в формуле (4.9) является однородным полиномом от λ степени r. Замечание 4.4. Если det l(R1(λ)ϕi, ψj ⊕l ◦= 0, то элементы пространства L{Λ → E2} : {R1(λ)ϕ1,..., R1(λ)ϕr } линейно независимы над подпространством Im A1. Действительно, пусть существуют не равные одновременно нулю константы s1,..., sr такие, что s1R1(λ)ϕ1 + ... + sr R1(λ)ϕr = K(λ) ∈ Im A1, или ((K(λ), Ψij ⊕⊕ = 0, i = 1,..., r, j = 1,..., k, где Ψij = ξj 6Q ψi. Значит, (K(ξj ), ψi⊕ = 0 для любых j = 1,..., k, i = 1,..., r, т. е. для любого λ имеем (K(λ), ψi⊕ = 0. Отсюда следует, что для любого λ выполнено s1(R1(λ)ϕ1, ψi⊕ + ... + sr (R1(λ)ϕr, ψi⊕ =0 и поэтому det l(R1(λ)ϕi, ψj ⊕l ≡ 0. Обратное неверно, что легко видеть из следующего примера. Пусть dim E1 = dim E2 = 2, A0 = 0, т. е. dim Ker A0 = 2 и Ker A0 = {e1, e2}, Ker A = {u , u }, dim Λ = 2. Пусть A0 - R1(λ) имеет вид 0 1 0 x1 1 2 0 1 x1 [A0 - R1(λ)](x)(λ)= λ1 0 0 x2 + λ2 0 0 x2 , т. е. R1(λ)e1 = λ1u1 и R1(λ)e2 = λ2u1. Эти функции линейно независимы над подпространством j Im A1 = {0}, но det l(R1(λ)ei, u ⊕l ≡ 0. Теорема 4.2 (о точках бифуркации). Если оператор-функция (4.1) имеет r жордановых цепочек единичной длины, образующих полный жорданов набор, и r нечетно, то в малой окрестности нуля оператор-функция обратима всюду, за исключением множества M, которое является либо гиперповерхностью, проходящей через ноль, либо объединением нескольких таких гиперповерхностей. Доказательство. Как в лемме 2.2 и теореме 4.1, будем искать, при каких значениях λ разрешимо уравнение [A0 - R1(λ) - R2(λ, λ) - ... - Rm(λ,..., λ)]X(λ)= [A0 - R(λ)]X(λ)= 0. (4.10) i Для простоты будем считать, что ϕi = ei,i = 1,...,r и ψi = u ,i = 1,..., r. Введем оператор Шмидта по формуле (Γ = (A 0)-1): r i A 0 = A0 + ),(·, e ⊕ui. Тогда формула (4.10) перепишется в i=1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 131 r r виде A 0X(λ)= R(λ)X(λ)+ ),(X(λ), e ⊕ui ⇒ X(λ)= ΓR(λ)X(λ)+ ),(X(λ), e ⊕ei. Таким образом, i i=1 решение уравнения (4.10) имеет вид r i i=1 i X(λ)= (X(λ), e ⊕(I - ΓR(λ))-1ei. i=1 r Применение функционалов e ,j = 1,..., r, дает систему (X(λ), e ⊕ = (),(X(λ), e ⊕(I - j j i i=1 j ΓR(λ))-1ei, e ⊕. Для того чтобы эта система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, j чтобы det l((I - ΓR(λ))-1ei, e∗⊕- δij l =0 ⇒ j det l(ΓR(λ)(I - ΓR(λ))-1ei, e ⊕l = 0. (4.11) Раскрывая определитель, уравнение можно переписать в виде Dr (λ)+ ... = 0. (4.12) 1 3десь члены, входящие в «многоточие», имеют степени, бо´льшие r по λ. Сделав линейную замену переменных в пространстве Λ, можно получить, что отличен от нуля коэффициент при мономе λr. В силу теоремы деления Мальгранжа [3] существует необратимая в окрестности нуля функция H(λ1,..., λk ) такая, что после умножения на нее уравнение (4.12) примет вид λr r-1 1 + u1(λ2,..., λk )λ1 + ... + up-1(λ2,..., λk )λ1 + up(λ2,..., λk )= 0. В силу нечетности r множество вещественных решений этого уравнения состоит из одной или нескольких гиперповерхностей. Замечание 4.5. Следующий пример показывает, что при четных r оператор-функция может быть невырожденной в проколотой окрестности точки λ = 0. Пусть n = k = 2 и A0 = 0, т. е. e1 и e2 - элементы, составляющие жорданов набор. Оператор-функция A0 - R(λ) задается матрицей 1 0 x1 0 1 x1 [A0 - R1(λ)](x)(λ)= λ1 0 1 x2 + λ2 -1 0 x2, , D2(λ)= λ2 + λ2 ◦=0 - т. е. жорданов набор полный. 1 2 }1 Замечание 4.6. Аналогичным образом можно определить понятие полного жорданового набора в случае нескольких цепочек произвольной длины. Пусть оператор-функции A0x - R1(λ)x - R2(λ, λ)x - ... - Rm(λ,..., λ)x, у которой dim Ker A0 = dim coKer A0 = r, Ker A0 = {ϕi r и Ker A = {ψi} имеет r жордановых цепочек: J ,J (λ),...,Jp (λ,..., λ),i = 1,..., r. Будем говоr 1 2 i 0 1 i i i рить, что они образуют полный жорданов набор, если (считая для простоты m > pi) det l(R1(λ)J pi + R2(λ, λ)Jpi-1 + ... + Rp (λ,..., λ)J 1, ψj ⊕l ◦=0 i i i i или, используя понятие R-образа элемента жордановой цепочки, i Dk (λ)= det l(RJ pi , ψj ⊕l ◦=0 (k = p1 + ... + pr ). Теорема 4.3 (о точках бифуркации). Если оператор-функция (4.1) имеет r жордановых цепочек, образующих полный жорданов набор, и сумма их длин нечетна, то в малой окрестности нуля оператор-функция обратима всюду, за исключением множества M, которое является либо гиперповерхностью, проходящей через ноль, либо объединением нескольких таких гиперповерхностей. Доказательство. Доказательство практически содержится в доказательствах теорем 4.1 и 4.2. Так же, как в теореме 4.2, решение уравнения (4.10) сводится к (4.11). Для вычисления определителя в (4.11) используется формула (4.8). R(λ)(I - ΓR(λ))-1ei = = (R1(λ)+ R2(λ, λ)+ ... + Rm(λ,..., λ))[J 1 + J 2(λ)+ ... + Jpi (λ,..., λ)+ .. .]= i i i = RJ 1 + RJ 2(λ)+ ... + RJpi (λ,..., λ)+ ... i i i 132 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН Так как при s < pi (RJs, ψj ⊕ = 0, то (ΓR(λ)(I - ΓR(λ))-1ei, e ⊕ = (RJpi , ψj ⊕ + ... Здесь (RJpi , ψj ⊕ i j i i является pi-линейной формой по λ, а остальные члены имеют более высокие порядки по λ. Поэтому j det l(R(λ)(I - ΓR(λ))-1ei, e ⊕l = Dk (λ)+ ... Дальнейшая часть доказательства повторяет окончание доказательства теоремы 4.2. Следующий пример показывает наличие бифуркации рождения многообразия вырождения из особой точки в случае существования нескольких цепочек единичной длины. Пусть операторфункция A(λ, x) имеет вид (n = r = k =2 и A0 = 0): x1 - λ1 x2 + λ2 A(λ, x)= λ1 . -x2 + λ2 x1 + λ1 Точка (0, 0) является особой для оператор-функции A(0, x), так как оператор-функция A(0, x) обратима при 0 < lxl < λ, в то время как оператор-функция A(λ, x) имеет многообразие вырождения x2 + x2 = λ2 + λ2. 1 2 1 2 5. ВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В этом разделе результаты разделов 2, 3 применяются к вопросам существования и единственности вырожденных ДУ вида [A0 + R(·, x)]x× = Bx. (5.1) 1 Предположим, что оператор-функция A0 + R(·, x) имеет в нуле простое собственное значение, т. е. жорданова цепочка состоит только из одного элемента N (A0) = Ker A0. Тогда в силу леммы 2.2 в окрестности нуля существует гиперповерхность M, на которой оператор-функция A0 + R(·, x) вырождается, т. е. имеет нуль Φ(x) = (I + ΓR(·, x))-1e1, удовлетворяющий условию (Φ(x), e∗⊕ = 1. Гиперповерхность M определяется уравнением 1 (R(·, x)(I + ΓR(·, x))-1e1, u∗⊕ = 0, а касательное пространство к ней в точке x ◦=0 - уравнением x1(R(e1, e1), ψ⊕ + ... + xn(R(e1, en), ψ⊕ = 0. Вне гиперповерхности M задача Коши для уравнения (5.1) имеет единственное решение, в то время как система (5.1) на M может не иметь решений нигде (кроме точки 0), может иметь решения всюду и может иметь решения на подмногообразии M1 ⊂ M. Рассмотрим следующие уравнения вида (5.1). 10. 1 x x1 0 x× = 1 0 x1 . 2 0 1 × 0 1 x2 Здесь гиперповерхность M определяется уравнением x1 = 0, система на гиперповерхности при- 2 мет вид x× = x2. Таким образом, через любую точку на M проходит решение, лежащее на гиперповерхности M. 20. 1 x x1 0 x× = 0 1 x1 . 2 0 1 × 1 0 x2 Здесь M по-прежнему определяется уравнением x1 = 0, но система на гиперповерхности следу- 2 ющая: x2 = 0, x× = 0. На гиперповерхности M решение существует только в точке (0, 0). 30. 1 ⎛x1 0 0⎞ ⎛x× ⎞ ⎛0 0 1⎞ ⎛x1⎞ 2 x ⎝ 0 1 0⎠ ⎝x× ⎠ = ⎝0 1 0⎠ ⎝x2⎠ . 3 0 0 1 × 1 0 0 x3 Гиперповерхность M определяется уравнением x1 = 0, а система на ней имеет вид x1 = 0, 2 x3 = 0, x× = x2. Таким образом, на гиперповерхности M решения существуют только на прямой (0, x2, 0). Определение 5.1. ОЖЦ оператор-функции A0 +R(·, x) обрывается вдоль главного направления e1, если (R(e1, e1), ψ⊕ ◦= 0. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 133 Определение 5.2. Оператор-функции A0 + R(·, x) не вырождена вдоль гиперповерхности M, если она не имеет нулей на касательном расслоении к M. Лемма 5.1. Если у оператор-функции A(x) = A0 + R(·, x) жорданова цепочка обрывается вдоль главного направления, то A(x) не вырождена вдоль гиперповерхности M в окрестности точки 0. Доказательство. Оператор-функция A(x) имеет нуль e1 в точке x = 0, а касательное пространство к M имеет нормаль ((R(e1, e1), ψ⊕,..., (R(e1, en), ψ⊕). Отсюда следует, что в достаточно малой окрестности точки x = 0 нуль оператор-функции A(x) не будет принадлежать касательному пространству к M, т. е. A(x) не вырождена вдоль гиперповерхности M. Однако, если жорданова цепочка оператор-функции A(x) обрывается вдоль неглавного направления ((R(e1, e1), ψ⊕ = 0), то A(x) может быть вырождена вдоль гиперповерхности M. Если, например, A(x)= x2 0 , 0 1 то гиперповерхность M определяется уравнением x2 = 0 и ноль e1 принадлежит касательному пространству к M в любой точке окрестности x = 0. В то же время, если ОЖЦ A(x) обрывается вдоль неглавного направления (R(e1, e1), ψ⊕ = 0, то A(x) может вырождаться вдоль гиперповерхности M : x1 0 A(x)= 0 1 . Здесь M определена уравнением x2 =0 и ноль-элемент e1 принадлежит касательному пространству к M в любой точке окрестности точки x = 0. 1. Решения системы (5.1), принадлежащие гиперповерхности вырождения M. Теорема 5.1. Пусть оператор-функция A(x) имеет в нуле простое собственное значение, причем ее жорданова цепочка обрывается вдоль главного направления. Если к тому же для любого x ∈ M выполнено Bx ∈ Im A(x), то через любую точку окрестности x = 0 на M проходит единственное решение (5.1), принадлежащее M. Доказательство. Если у оператор-функции A(x) = A0 + R(·, x) жорданова цепочка обрывается вдоль главного направления, то в окрестности x =0 уравнение гиперповерхности M можно записать в виде x1 = F (x2,..., xn), т. е. в координатной форме гиперповерхность M принимает вид (F (x2,..., xn), x2,..., xn). Поэтому уравнение (4.1) можно переписать в виде следующей системы: ⎛a11(x) ... a1n(x)⎞ ⎛ ∂F ... ... ... ∂F ⎞ ⎛x× ⎞ ⎛b11 ... b1n ⎞ ⎛F (x)⎞ ∂x2 ∂xn 2 ⎜a21(x) ... a2n(x)⎟ ⎜ 1 0 ... ... 0 3 ⎟ ⎜x× ⎟ ⎜b21 ... b2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ... ... ... ⎟ ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜.. .⎟ = ⎜... ... ... ⎟ ⎜ ... ⎟ . (5.2) ⎝ ⎠ ⎝ an1(x) ... ann(x) 0 0 ... 1 0 ⎠ ⎝ ⎠ x × n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ bn1 ... bnn xn При достаточно малых x отображение (*) ∂x2 ⎛a11(x) ... a1n(x)⎞ ⎛ ∂F ∂x ... ... ... ∂F ⎞ n ⎜a21(x) ... a2n(x)⎟ ⎜ 1 0 ... ... 0 ⎟ ⎜ ... ... ... ⎟ ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ , ⎝ ⎠ ⎝ an1(x) ... ann(x) ⎠ 0 0 ... 1 0 определяемое левой частью системы (5.1), не имеет нулей, так как выражение (**) ⎛ ∂F ∂x2 ... ... ... x ∂F ⎞ ⎛ × ⎞ ∂xn 2 ⎜ 1 0 ... ... 0 3 ⎟ ⎜x× ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎝ ... ... ... ... ... ⎠ ⎝.. .⎠ x n 0 0 ... 1 0 × совпадающее с левой частью системы (5.1) без первой матрицы, представляет собой касательный вектор к гиперповерхности M в точке x, в то время как оператор-функция A(x) не обращается в ноль на касательном расслоении TM. Поэтому отображение (*) при любом достаточно малом 134 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН x взаимно однозначно отображает касательное многообразие к (n - 1)-мерному подпространству (x2,..., x2) на образ оператора A(x), который тоже имеет размерность n - 1. Вводя соответствующий обратный оператор T (x), получаем систему x ⎛ × ⎞ 2 ⎛b11 ... b1n ⎞ ⎛F (x)⎞ 3 ⎜x× ⎟ ⎜b21 ... b2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜.. .⎟ = T (x) ⎜... ... ... ⎟ ⎜ ... ⎟ , ⎝ ⎠ ⎝ x × n ⎠ ⎝ ⎠ bn1 ... bnn xn которая имеет единственное решение, проходящее через каждую точку окрестности нуля пространства (x2,..., xn). Замечание 5.1. В случае, когда ОЖЦ оператор-функции A(x) обрывается вдоль неглавного направления, система (5.1) на гиперповерхности M может не иметь ненулевых решений. Например, система 1 x x2 0 x× = 1 0 x1 , 2 0 1 × 0 1 x2 1 эквивалентная x2x× 2 = x1; x× = x2 на гиперповерхности M, определяемой уравнением x2 = 0, имеет решение (0, 0). Однако возможен случай, когда решение, и не единственное, проходит через любую точку M : система 1 x2 0 x× = 1 0 x1 × × x 2 0 1 × 0 1 x2 ∼ x2x1 = x2; x2 = x2 1 для любой дифференцируемой функции f (t),f (0) = 0, проходящей через любую точку (x0, 0), 1 гиперповерхности M имеет лежащее в M решение (x0 + f (t), 0). Если жорданова цепочка оператор-функции A(x) обрывается вдоль неглавного направления, справедлив следующий аналог теоремы 5.1. Теорема 5.2. Пусть оператор-функция A(x) имеет в нуле простое собственное значение, причем ее жорданова цепочка обрывается вдоль неглавного направления, но при этом A(x) не вырождена вдоль гиперповерхности M в некоторой проколотой окрестности нуля. Если к тому же для любого x ∈ M выполнено Bx ∈ Im(A(x)), то через любую точку окрестности x =0 в M проходит единственное решение (5.1), принадлежащее M. Доказательство теоремы 5.2 практически не отличается от доказательства теоремы 5.1. В следующем примере 1 x x2 x1 x× = 0 1 x1 2 x1 1 × 1 0 x2 гиперповерхность M определяется уравнением x2 = (x1)2 и в проколотой окрестности нуля на M (x1)2 x1 оператор-функция A(x)= x1 1 имеет ноль-элемент (-1, x1), не принадлежащий касательному подпространству M в точке (x1, (x1)2). Эта система на гиперповерхности M имеет вид 1 (x1)2 x1 x× = 0 1 x1 x1 1 1 2x× 1 0 (x1)2 1 и при x1 ◦=0 сводится к однозначно разрешимому уравнению (x1 + 2)x× = x1. Теорема 5.3. Пусть оператор-функция A(x) имеет в нуле простое собственное значение, причем ее жорданова цепочка обрывается вдоль неглавного направления и в некоторой окрестности x = 0 ноль-элемент Φ(x) оператор-функции A(x) принадлежит касательному расслоению TM. Если к тому же для любого x ∈ M, Bx ∈ Im(A(x)|TM (x)), то в окрестности x = 0 существует (n - 2)-мерное подмногообразие N гиперповерхности M, на котором уравнение (5.1) однозначно разрешимо, т. е. через любую точку N проходит единственное решение (5.1), принадлежащее N. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 135 Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что у оператор-функции A(x) = A0 + R(, x) жорданова цепочка обрывается вдоль направления xn, т. е. в окрестности x =0 уравнение гиперповерхности M можно записать в виде xn = F (x1, x2,..., xn-1) или в координатной форме (x1, x2,..., xn-1,F (x1, x2,..., xn-1)). В достаточно малой окрестности x = 0 определим подмногообразие N гиперповерхности M, отнеся к нему точки: N = {x|x = (0, x2,..., xn-1,F (0, x2,..., xn-1))}. Перепишем систему (5.1) в следующем виде: ⎛a11(x) ... a1n(x)⎞ ⎛ 1 0 ... ... 0 x ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛b11 ... b1n ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ × × ⎜a21(x) ... a2n(x)⎟ ⎜ ... ... ... ... ... ⎜ x2 ⎟ ⎟ = ⎜ b21 ... b2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ , (5.3) ⎜ ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜... ... ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 0 1 ... 0 0 ⎠ ⎜ ... ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ an1(x) ... ann(x) ∂F ∂x1 ... ... ... ∂F ∂xn-1 ⎝ ⎠ x × n-1 bn1 ... bnn F (x) так как при малых x векторы в левой части имеют вид ∂F ∂F (0, x× ,..., x× , x× + ... + x× ). 2 n-1 ∂x2 2 ∂xn-1 n-1 Нуль-элементы Φ(x) оператор-функции A(x) не могут принадлежать TN, поскольку они мало отличаются от e1 и их первая координата не обращается в ноль. Поэтому оператор A(x) взаимно однозначно отображает TN (x) на Im(A(x)|TM (x)), оба пространства имеют размерность (n-2), так как Bx ∈ Im(A(x)|TM (x)) для ∀x ∈ M. Тогда введение обратного оператора T (x) дает однозначно разрешимую систему (x× ,..., x× )T = T (x) b(x2,...,F (x)), где в матрице b первая строка состоит 2 n-1 из нулей, поскольку Bx ∈ Im(A(x)|TM (x)) для любого x ∈ M. Замечание 5.2. Следующий пример показывает, что условие Bx ∈ Im(A(x)|TM (x)) нельзя заменить на условие Bx ∈ Im(A(x)): 1 ⎛x2 0 0⎞ ⎛x× ⎞ ⎛0 0 1⎞ ⎛x1⎞ 2 x ⎝ 0 1 0⎠ ⎝x× ⎠ = ⎝0 1 0⎠ ⎝x2⎠ . 3 0 0 1 × 0 0 0 x3 Гиперповерхность M определяется уравнением x2=0, система на ней имеет решение x1 = 0, x3 = 0. Замечание 5.3. Доказательства теорем 5.1-5.3 без изменения переносятся на системы вида (A0 + R(, x))x× = H(x), где H(x) - гладкая нелинейная функция. 2. Решения системы (5.1), начинающиеся на гиперповерхности вырождения M, но целиком ей не принадлежащие. Следующий пример показывает, что решения системы (5.1), начинающиеся на гиперповерхности M, могут покидать ее. При этом может нарушаться единственность решения с заданной начальной точкой: diag(x1, 1, 1)(x× , x× , x× )T = diag(1, 1, 1)(x1, x2, x3)T ∼ x1x× = x1, x× = x2, x× = x3. (5.4) 1 2 3 1 2 3 Здесь гиперповерхность M определяется уравнением x1 = 0. Через любую точку (0, x0, x0) ∈ M 2 3 проходят два решения: (0, x0 exp(t), x0 exp(t)) - принадлежащее M и (t, x0 exp(t), x0 exp(t)) - не 2 3 2 3 принадлежащее M. Для оператор-функции A(x), имеющей в нуле простое собственное значение с жордановой цепочкой, обрывающейся вдоль неглавного направления, тоже можно построить пример решений, не принадлежащих гиперповерхности вырождения: система (x2x× , x× , x× )T = (0, 1, 0)T имеет решение 1 2 3 (0, t, 0), ортогональное к гиперповерхности (x1, 0, x3). Отметим, что в этом примере не выполнены условия теоремы 5.3. Возникает следующая Задача. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Найти уравнения, определяющие решения, начинающиеся на многообразии вырождения M и не принадлежащие этому многообразию. 1 Применив регуляризатор Шмидта 1 R(, x)]x× = Bx + (x×, e∗⊕u1 ⇒ A 0, A 0- = Γ, перепишем уравнение (5.1) в виде: [A 0 + 1 x× = [I + ΓR(·, x)]-1ΓBx + (x×, e∗⊕[I + ΓR(·, x)]-1e1, (5.5) 136 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН так как [A 0 + R(, x)]-1 = [I + ΓR(·, x)]-1Γ. 3аметим, что если x ∈ M, то в силу леммы 2.2 имеем 1 ([I +ΓR(, x)]-1e1, e∗⊕ = 1, если же x не принадлежит M, то уравнение (5.5) может не выполняться. В окрестности x = 0 с каждой точкой x = (x1,..., xn) ассоциируем точку xF , лежащую на 1 многообразии вырождения M : xF = (F (x2,..., xn), x2,..., xn). Ясно, что x = xF + (x1 - xF )e1. Запишем равенство (5.5) в координатной форме: x× -1 ∗ × -1 ∗ 1 = ([I + ΓR(·, x)] ΓBx, e1⊕ + x1([I + ΓR(, x)] e1, e1⊕, ........................... (5.6) x× -1 ∗ × -1 ∗ n = ([I + ΓR(·, x)] Из первого уравнения (5.6) следует ΓBx, en⊕ + x1([I + ΓR(·, x)] e1, en⊕. x× 1(1 - ([I + ΓR(, x)]-1 1 e1, e∗⊕)= ([I + ΓR(, x)]-1 1 ΓBx, e∗⊕. (5.7) Преобразуем левую часть равенства (5.7): x× -1 ∗ × F -1 ∗ -1 ∗ 1(1 - ([I + ΓR(·, x)] e1, e1⊕)= x1(([I + ΓR(·,x )] e1, e1⊕- ([I + ΓR(·, x)] e1, e1⊕)= = x× (([I + ΓR(·, xF )]-1e1 - [I + ΓR(·, xF + (x1 - xF )e1)]-1e1, e∗⊕)= (5.8) 1 1 1 = x× (x1 - xF )(([I + ΓR(·, xF )]-1ΓR(·, e1)][I + ΓR(·, x)]-1e1, e∗⊕). 1 1 1 Так как при малых A и B верно [I + A]-1 - [I + B]-1 = [I + A]-1(B - A)[I + B]-1 (см., например, [14]), то левая часть равенства (5.7) приводится к виду (x×, e∗⊕(x1 -xF )a(x), где функция 1 1 ∗ a(x) при малых x близка к (ΓR(e1, e1), e1⊕ = 1. Перейдем теперь к правой части равенства (5.7). F -1 F ∗ F F -1 ∗ ∗ 3аметим, что ( [I + ΓR(·,x )] ΓBx , e1⊕ = 0. Действительно, (Bx , ([I + ΓR(·,x )] Γ) e1⊕ = 0, согласно равенству [I + ΓR(·, xF )]-1Γ)∗ = Γ∗[I + R∗(·, xF )Γ∗]-1 = [I + Γ∗R∗(·, xF )]-1Γ и в силу условий теоремы 5.1 и леммы 2.4. При использовании этого равенства правую часть (5.7) можно записать в следующем виде: ([I + ΓR(·, x)]-1ΓBx - [I + ΓR(·, xF )]-1ΓBxF , e∗⊕ = 1 = ([I + ΓR(·, x)]-1ΓBxF - [I + ΓR(·, xF )]-1ΓBxF , e∗⊕ + (x1 - xF )([I + ΓR(·, x)]-1ΓBe1, e∗⊕. (5.9) Далее, 1 1 1 [I + ΓR(·, x)]-1 - [I + ΓR(·, xF )]-1 = [I + ΓR(·, x)]-1{I + ΓR(·, xF ) - I - ΓR(·, x)}[I + ΓR(·, xF )]-1 = 1 = (x1 - xF )[I + ΓR(·, x)]-1ΓR(·, e1)[I + ΓR(, xF )]-1 = 1 x1 1 и таким образом, все члены равенства (5.7) имеют множитель (x1 -xF ). Система (5.6) распадается на две. Первая система в качестве первого уравнения будет иметь xF , откуда соответственно: ∂F ∂F x = ∂x x + ... + ∂x × × 1 2 2 n-1 × xn-1, x× -1 ∗ × -1 ∗ 2 = ([I + ΓR(·, x)] ΓBx, e2⊕ + x1([I + ΓR(·, x)] e1, e2⊕, (5.10) ........................ x× -1 ∗ × -1 ∗ n = ([I + ΓR(·, x)] ΓBx, en⊕ + x1([I + ΓR(·, x)] e1, en⊕. Решения этой системы принадлежат многообразию вырождения M. Вторая система имеет вид: a(x)x× = ([I + ΓR(·, x)]-1ΓBe1, e∗⊕ + ([I + ΓR(·, x)]-1ΓR(·, e1)[I + ΓR(·, xF )]-1ΓBxF , e∗⊕, 1 1 x× -1 ∗ × 1 -1 ∗ 2 = ([I + ΓR(·, x)] ΓBx, e2⊕ + x1([I + ΓR(·, x)] e1, e2⊕, (5.11) .............................. x× -1 ∗ × -1 ∗ n = ([I + ΓR(·, x)] ΓBx, e2⊕ + x1([I + ΓR(·, x)] e1, en⊕, и ее решения могут многообразию M не принадлежать. Замечание 5.4. Может случиться, что решения второй системы тоже принадлежат многообразию M : система [diag(x1, 1, 1)](x× , x× , x× )T = 0 ∼ x1x× = 0, x× = 0, x× = 0 имеет в качестве 1 2 3 1 2 3 решений начинающиеся на гиперповерхности M, т. е. на плоскости (x2, x3). ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 137 1 Теорема 5.4. Пусть оператор-функция A(x) имеет в нуле простое собственное значение, причем ее жорданова цепочка обрывается вдоль главного направления. Если к тому же для любого x ∈ M, Bx ∈ Im(A(x)) и (ΓBe1, e∗⊕ ◦= 0, то через любую точку окрестности x =0 в M проходит единственное решение (5.1), не принадлежащее M. Для того чтобы решение, начинающееся на гиперповерхности M, определяемое второй системой, покидало гиперповерхность M, достаточно, чтобы в некоторой точке гиперповерхности M касательный вектор к решению не принадлежал касательной плоскости к гиперповерхности, определяемой формулой 1 x1 - xF = ∂F ∂x2 2 (x2 - xF )+ ... + ∂F ∂xn-1 n (xn - xF ). (5.12) 1 Ясно, что при xF = 0, x× 2 = (ΓBe1, e∗1⊕, x× n = 0,..., x× 1 = 0. Таким образом, если (ΓBe1, e∗⊕ ◦= 0, то касательный вектор к решению не принадлежит касательной плоскости к гиперповерхности M. В силу непрерывности то же самое справедливо для xF , близких к нулю. Для точек xF , принадлежащих гиперповерхности M, обозначим через Nx нормаль к M в этой точке. Nx можно 1 рассматривать как элемент пространства E∗, обращающийся в ноль на подпространстве TM (x). Теорема 5.5. Пусть выполнены условия теоремы 5.3 и нормаль Nx к M является собственным вектором оператора A∗(x)Γ∗, т. е. A∗(x)Γ∗ Nx = λ(x)Nx. Тогда решения, начинающиеся на гиперповерхности M, остаются на ней. Доказательство. Повторим выкладки, предшествующие теореме 5.4, с той разницей, что гиперповерхность M определяется уравнением: xn = F (x1, x2,..., xn-1) Поэтому каждой точке x, близкой к нулю, сопоставим точку xF = (x1, x2,...,F (x1,..., xn n лежащую на многообразии вырождения M, так что x = xF + (xn - xF )en. -1)), Как и выше, преобразуем уравнение (5.7). Левая часть приводится к виду (x×, e∗⊕(xn - xF )b(x), где функция 1 n 1 b(x)= (([I + ΓR(·, xF )]-1ΓR(·, en)[I + ΓR(·, x)]-1e1, e∗⊕) 1 при малых x близка к (ΓR(e1, en), e∗⊕ = 1. Аналогичным образом правая часть уравнения (5.7) приводится к виду (xn - xF )(([I + ΓR(·, x)]-1ΓBen, e∗⊕ + ([I + ΓR(·, x)]-1ΓR(·, en)[I + ΓR(·, xF )]-1ΓBxF , e∗⊕). n 1 1 Таким образом, как и в теореме 5.4, система (5.6) распадается на две. В первой из получившихся n систем первое уравнение имеет вид xn = xF существуют, принадлежат гиперповерхности M. Выпишем вторую систему: и поэтому все решения этой системы, если они x× 1 = (([I + ΓR(·, x)]-1 1 ΓBen, e∗⊕ + ([I + ΓR(·, x)]-1 ΓR(·, en)[I + ΓR(·, xF )]-1 ΓBxF 1 , e∗⊕)/b(x), x× -1 ∗ × -1 ∗ 2 = ([I + ΓR(·, x)] ΓBx, e2⊕ + x1[I + ΓR(·, x)] e1, e2⊕, ........................ x× -1 ∗ × -1 ∗ Обозначение n = ([I + ΓR(·, x)] ΓBx, en⊕ + x1[I + ΓR(·, x)] e1, en⊕. (5.13) G(x)= (([I + ΓR(·, x)]-1ΓBen, e∗⊕ + ([I + ΓR(·, x)]-1ΓR(·, en)[I + ΓR(·, xF )]-1ΓBxF , e∗⊕)/b(x) дает систему x× 1 × x1 = G(x), -1 ∗ 1 -1 ∗ 2 = ([I + ΓR(·, x)] ΓBx, e2⊕ + G(x)[I + ΓR(·, x)] e1, e2⊕, (5.14) ........................ x× n = ([I + ΓR(·, x)]-1 n ΓBx, e∗ ⊕ + G(x)[I + ΓR(·, x)]-1 n e1, e∗ ⊕. Нужно показать, что правая часть этой системы в точках гиперповерхности M принадлежит касательному пространству к M, т. е. ортогональна вектору Nx = ( ∂F ∂x1 ,..., ∂F ∂xn-1 1 , - \\. 138 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН Покажем сначала, что вектор G(x) = (1, ([I + ΓR(·, x)]-1e1, e∗⊕,..., ([I + ΓR(·, x)]-1e1, e∗ ⊕) при- 2 n 2 надлежит касательному пространству к M, если x принадлежит M. Так как в силу леммы 2.3 ([I + ΓR(·, x)]-1e1, e∗⊕ = 1, то этот вектор пропорционален Φ(x), который по условиям теоремы 4.3 принадлежит касательному пространству к M. Остается показать, что вектор (0, ([I + ΓR(·, x)]-1ΓBx, e∗⊕,..., ([I + ΓR(·, x)]-1ΓBx, e∗ ⊕) ортогонален Nx. В силу формулы 2 n 1 ([I + ΓR(·, xF )]-1ΓBxF , e∗⊕ =0 его можно переписать в виде (([I + ΓR(·, x)]-1ΓBx, e∗⊕,..., ([I + ΓR(·, x)]-1ΓBx, e∗ ⊕). (5.15) 1 n Так как при малых x оператор ([I + ΓR(·, x)]-1)∗ близок к единичному, функционалы ([I + ΓR(·, x)]-1)∗e∗,..., ([I + ΓR(·, x)]-1)∗e∗ образуют базис пространства E∗. Поэтому (5.15) являются 1 n 1 координатами вектора ΓBx в некотором базисе пространства E1. По условиям теоремы 5.3 при x ∈ M, Bx ∈ Im(A(x)|TM (x)), т. е. можно считать, что Bx = A(x)ω, где ω ∈ TM (x). Тогда (ΓBx, Nx⊕ = (ΓA(x)ω, Nx⊕ = (ωA∗(x)Γ∗, Nx⊕ = λ(x)(ω, Nx⊕ =0 и доказательство закончено. Замечание 5.5. В условиях теоремы 5.3 единственность решений также может нарушаться, хотя все ответвляющиеся решения остаются на гиперповерхности вырождения M : 1 ⎛x2 0 0⎞ ⎛x× ⎞ ⎛0 1 0⎞ ⎛x1⎞ 2 x ⎝ 0 1 0⎠ ⎝x× ⎠ = ⎝0 0 0⎠ ⎝x2⎠ . 3 0 0 1 × 0 0 1 x3 3 Здесь подмногообразие N из теоремы 5.3 - это ось x3. Но через каждую точку этого подмногообразия проходит множество других решений системы, лежащих на гиперповерхности M : (f (t), 0, x0et). 6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Разрешение особенностей. Пусть N (x) ∈ L{E1 → E2} - полиномиальная функция x обратима в проколотой окрестности точки x0. В лемме 4.2 были приведены достаточные условия, при выполнении которых оператор-функция A0 + N (x) обратима в проколотой окрестности точки x0. В этом случае точка x0 - особая точка системы (5.1). Ниже, используя процедуру разрешения особенностей [1, 17], исследуется поведение решений системы (5.1) в окрестности особой точки в случае малых размерностей. При n =2 система (5.1) записывается в виде 1 x a11(x) a12(x) x× = b11 b12 x1 , (6.1) где 2 a21(x) a22(x) × b21 b22 x2 a11(0) = a12(0) = a21(0) = 0, a22(0) = 1. (6.2) Лемма 6.1. Если в системе (6.1) b11 ◦= 0, т. е. оператор-функция A0 - B имеет в нуле простое собственное значение, то особая точка x =0 может быть «разрешена» в один шаг. Если b12 ◦= 0, она сводится к двум гиперболическим особым точкам, а при b12 = 0 -к одной гиперболической особой точке. Доказательство. В силу определения особой точки определитель матрицы оператор-функции A(x), Δ(x) = a11(x)a22(x) - a12(x)a21(x) ◦= 0 при 0 < lxl < ρ. Поэтому в этом проколотом круге оператор-функция A(x) обратима, матрица обратной оператор-функции имеет вид Δ-1 a22 (x) -a12 (x) и система записывается в виде (6.3): -a21(x) a11(x) x × 1 x× = Δ-1 a22(x) -a12(x) b11 b12 x1 . (6.3) 2 -a21(x) a11(x) b21 b22 x2 Эта система имеет те же траектории, что и система (6.4): x × 1 = x× a22(x) -a12(x) b11 b12 x1 . (6.4) 2 -a21(x) a11(x) b21 b22 x2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 139 В этом можно убедиться, поделив одно уравнение на другое, т. е. подсчитав dx1/dx2. Учитывая формулы (6.2), систему (6.4) можно записать в виде 1 = b11x1 + b12x2 + R1(x1, x2), x2 = R2(x1, x2). x× × 3десь R1(x1, x2) и R2(x1, x2) - полиномы, у которых все мономы имеют степень выше одного. Замена x1 = u, x2 = uv дает u× = b11u + b12uv + R1(u, uv); uv× = R2(u, uv) - v(b11u + b12uv + R1(u, uv)), где R1(u, uv) = u2P1(u, v) и R2(u, uv) = u2P2(u, v). Поэтому второе уравнение можно сократить на u: u× = b11u + b12uv + R1(u, uv); v× = -b11v - b12v2 + R3(u, v). (6.5) 3аметим, что R1(0, 0) = 0 и R3(0, v) = 0 при u = 0. Поэтому на прямой (0, v) (прообраз точки (x1, x2)= (0, 0)) система (6.5) при b11 ◦=0 и b12 ◦=0 имеет две гиперболические особые точки (0, 0) и (0, -b11/b12). В этих точках линейная часть системы имеет вид: b11 0 0 -b11 и b11 0 . ∗ -b11 Если же b12 = 0, то система (6.4) имеет только одну гиперболическую особую точку (0, 0) с линейной частью b11 0 . 0 -b11 Рассмотрим теперь случай b11 = 0. Тогда система (6.4) записывается в виде 1 = b12x2 + R1(x1, x2); x2 = R2(x1, x2). x× × Замена x1 = uv, x2 = v приведет ее к виду v× = R2(uv, v); vu× = -uR2(v, uv)+ b12v + R1(uv, v). Как и выше, R1(uv, v)= v2P1(u, v), а R2(uv, v)= v2P2(u, v), поэтому v× = R2(uv, v); u× = b12 - uvP2(u, v)+ vP1(u, v). (6.6) На прямой (u, 0), т. е. прообразе точки (x1, x2) = (0, 0), система (6.6) не имеет особых точек, если b12 ◦= 0. Далее рассматривается вырожденное дифференциальное уравнение вида (A0 + N (x))x× = P (6.7) с постоянным вектором P ∈ E2 как частный случай вырожденного дифференциального уравнения (A0 + N (x))x× = F (x), (6.8) для которого точка x =0 является особой точкой. Определение 6.1. Особая точка уравнения (6.7) называется устранимой, если вектор P не принадлежит Im A0. Введенное определение объясняет следующая лемма. Лемма 6.2. Если точка x = 0 является устранимой особой точкой вырожденного дифференциального уравнения (6.7), то в проколотой окрестности точки x = 0 его решения эквивалентны решениям уравнения x× = Q. Доказательство. Так как оператор A0 + N (x) обратим в проколотой окрестности точки x = 0, то уравнение (6.7) имеет единственное решение, начинающееся в любой точке этой проколотой окрестности. Уравнение (6.7) можно переписать в виде 1 [A 0 + N (x)]x× = P + (x×, e ⊕u1. (6.9) 0 1 Применяя регуляризатор Шмидта A 0, A -1 = Γ, и отмечая обратимость оператора A 0 + N (x) при малых x, введем обозначение [A 0 + N (x)]-1 = Γ(x), Γ(0) = Γ. Тогда уравнение перепишется в виде x× = Γ(x)P + (x×, e ⊕Γ(x)u1. 1 Применение функционала e дает (x×, e ⊕ = (Γ(x)P, e ⊕ + (x×, e ⊕(Γ(x)u1, e ⊕⇒ (x×, e ⊕ = (Γ(x)P, e ⊕(1 - (Γ(x)u1, e ⊕)-1 1 1 1 1 1 1 1 140 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН Таким образом, (6.7) эквивалентно уравнению x× = Γ(x)P + (Γ(x)P, e ⊕(1 - (Γ(x)u1, e ⊕)-1Γ(x)u1. 1 1 1 Выражение 1 - (Γ(x)u1, e ⊕ в проколотой окрестности точки x = 0 не обращается в ноль и 1 поэтому сохраняет знак. Действительно, Γ(x)u1 = [A0 + (·, e ⊕u1 + N (x)]-1 u1 ⇒ u1 = [A0 + (·, e ⊕u1 + N (x)]Γ(x)u1 = [A0 + N (x)]Γ(x)u1 + (Γ(x)u1, e ⊕)u1. Таким образом, (1 - (Γ(x)u1, e ⊕)u1 = 1 1 1 1 1 [A0 + N (x)]Γ(x)u1. Оба оператора [A0 + N (x)] и Γ(x) обратимы при малых x, следовательно, (1 - (Γ(x)u1, e ⊕) ◦= 0 в проколотой окрестности точки x = 0. Пусть для определенности 1 - (Γ(x)u1, e ⊕ > 0. Поскольку умножение на положительную скалярную функцию качественно не изменяет поведение решений системы, система (6.7) эквивалентна системе x× = (1 - (Γ(x)u1, e ⊕)Γ(x)P + (Γ(x)P, e ⊕Γ(x)u1, (6.10) 1 1 правая часть которой в точке x =0 равна (ΓP, e ⊕e1 = (P, Γ e ⊕e1 = (P, u ⊕e1 ◦= 0. Таким образом, 1 1 1 решения системы (6.7) в малой окрестности эквивалентны решениям системы x× = e1. Замечание 6.1. Аналогичный результат справедлив для уравнения (6.9), если F (0) не принадлежит Im A0. Теперь надо исследовать решения уравнения (6.7) в окрестности точки x = 0 в случае, когда P ∈ Im A0. Было доказано, что решения уравнения (6.7) в окрестности точки x = 0 качественно эквивалентны решениям уравнения (6.10). При P ∈ Im A0 точка x = 0 является особой точкой уравнения (6.10), так как (P, u ⊕ = 0 и (Γu1, e ⊕ = 1. Вычислим линейную часть L(v) векторного 1 1 поля, задаваемого уравнением (6.10) в точке x = 0: n L(v)= ( vi i=1 1 ∂(Γ(x)u1, e ⊕ ∂xi n )ΓP + ( vi i=1 ∂Γ(0) 1 ∂(Γ(x)P, e ⊕ ∂xi ∂N (0) )Γu1. Заметим, что, так как Γ(x) = [A 0 + N (x)]-1, то ∂xi x = -Γ i Γ = -ΓDiN (0)Γ и, следоn n вательно, L(v)= (), vi(DiN (0)e1, u ⊕)ΓP + (), vi(DiN (0)ΓP, u ⊕)Γu1. Точка x =0 не может быть i=1 1 1 i=1 простым собственным значением оператор-функции A0 + N (x) так как, в противном случае, она не будет особой точкой - оператор-функция будет необратима на гиперповерхности. Поэтому в силу n замечания 4.1 (DiN (0)e1, u ⊕ = 0 и L(v) = (), vi(DiN (0)ΓP, u ⊕)e1. Таким образом, Im L 1, и 1 1 i=1 1 поэтому при n > 1 точка x =0 заведомо не является гиперболической для векторного поля (6.10). Если же (D1N (0)ΓP, u ⊕ ◦= 0, то оператор L(v) имеет собственный вектор e1 соответствующий ненулевому собственному значению, т. е. «гиперболическая часть» оператора L(v) ненулевая. Поэтому уравнение (6.10) можно упростить, используя редукцию на центральное многообразие [18]. Это видно на примере x2 1 x 1 2 -x1 x1 1 x× = 0 . × 2 Как было показано, эта система эквивалентна следующей: x × 1 = x× . 1 x1 0 2 0 1 2 -x1 x2 1 Здесь D1N (0) = -1 0 и ΓP = (0 1). Таким образом, e1 является собственным вектором 1 оператора L(v) и система преобразуется к виду: x× 2 = x1; x× 2 = x2. Если же уравнение имеет вид x2 1 то система эквивалентна следующей: x 1 -x2 x2 1 x× = × 2 0 , (6.11) 1 x × 1 = x× 1 x2 0 2 2 -x2 x1 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 141 и поэтому D1N (0) = 0. Гиперболическая часть уравнения полностью отсутствует, и центральное 1 многообразие совпадает со всем пространством x× 2 = x2; x× 1 = x2. Замечание 6.2. Аналогично случаю «неустранимой» особенности можно рассмотреть уравнение (A0 + N (x))x× = F (0) + Bx + M (x). (6.12) Предполагая, что F (0) ∈ Im A0, при повторении вычислений леммы 6.2 вместо формулы (6.10) возникает формула x× = (1 - (Γ(x)u1, e ⊕)Γ(x)[F (0) + Bx + M (x)] + (Γ(x)[F (0) + Bx + M (x)], e ⊕Γ(x)u1. (6.13) 1 1 Для уточнения поведения решений уравнения (6.12) в окрестности нуля вычислим линейную часть векторного поля L (6.13). Так как Γ(x)=Γ - ΓN (x)Γ + ..., 1 - (Γ(x)u1, e ⊕ = (ΓN (x)Γu1, e ⊕ + ..., 1 1 то нулевая по x степень в этом выражении отсутствует и L(x)= (Γ[DN (0)x]Γu1, e ⊕ΓF (0) + (ΓBx, e ⊕Γu1 + (Γ[DN (0)x]ΓF (0), e ⊕Γu1. 1 1 1 1 Как и выше, (Γ[DN (0)x]Γu1, e ⊕ = 0, потому что x = 0 является особой точкой вырожденного дифференциального уравнения (6.11). 1 Следовательно, L(x)= (Bx - [DN (0)x]ΓF (0), u ⊕e1. Опять для оператора L выполнено условие Im L 1 1 и уравнение (6.12) может быть упрощено, если (Be1 - [DN (0)e1]ΓF (0), u ⊕ ◦= 0. Проиллюстрируем это на примере. Выше было показано,что система (6.11) имеет двумерное центральное многообразие. При добавлении в правой части линейного оператора эта ситуация может измениться. Действительно, пусть x2 1 x 1 -x2 x2 1 x× = × 2 0 + -1 0 1 0 0 x1 . x2 Как и ранее, эта система эквивалентна следующей: x× 1 x2 0 , или x 2 1 = 2 × -x2 x1 + -1 0 x1 1 x2 0 x2 x× × 2 1 = x2 - x1; x2 = x1 + x1x2. (6.14) Это полугиперболическая система с одномерным центральным многообразием. Следуя предложенной в [18] методике, можно вычислить приближенное уравнение для центрального многообразия x1 = x2 -2x2 +14x3 +.... Замена x1 = v +x2 приводит систему к виду v× = -v +2x2 +3x2v +v2; 2 2 2 x× 2 2 2 = 2x2 + 3x2v + v . Далее используется [18, формула (1.3.6)] для нахождения центрального многообразия ϕ(x): ϕ×(x)[ϕ2(x)+ 3xϕ(x)+ 2x2]+ ϕ(x) - ϕ2(x) - 3xϕ(x) - 2x2 = 0. При поиске ϕ(x) в виде cx2 +0(x3) определяется c =2 и последующие слагаемые. Так же определяется приближенное значение векторного поля на многообразии ϕ(x): x× = 2x2 - 6x3 + ..., а из [18, формулы (1.3.4)] × 2 2 2 2 2 следует x2 = ϕ (x)+ 3xϕ(x)+ 2x . Однако, систему (6.12) можно исследовать в окрестности нуля методом раздувания особенности [1]. При замене x2 = ux1 система примет вид: x× 1 = ux1 - x1; u× = u + ux1 + x1 - u2. (6.15) Эта система имеет на прямой (0, u) две особые точки (0, 0) и (0, 1). Точка (0, 0) - гиперболическая, а в окрестности точки (0, 1) замена u - 1= v приводит систему (6.16) к виду: x× 1 = vx1; v× = -v + vx1 - 2x1 - v2 . (6.16) Повторное использование метода раздувания особенности x1 = vw приводит систему (6.16) к виду w× = w + 2vw - vw2 - 2w2; v× = -v - 2vw - v2w - v2. (6.17) Система (6.17) снова имеет две особые точки на прямой (0, w): (0, 0) и (0, 1/2). Точка (0, 0), очевидно, - гиперболическая. 142 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН Для исследования поведения системы (6.17) в окрестности точки (0, 2) вводится замена: s + 1/2 = w. Тогда s× = -s + (3/4)v + vs - vs2 - 2s2; v× = -2v - 2vs - v2s - (3/2)v2. Таким образом, точка (0, 2) - также гиперболическая. 2. Бифуркация возникновения многообразия вырождения из особой точки. Следующий пример иллюстрирует бифуркацию возникновения многообразия вырождения из особой точки: x2 3 2 1 x 1 - 2λx1 - 2μx2 -x2 x2 1 x× =2 × 2 2 x2 - λx2 - μx2 - x1x2 x2 + x1 + μx2 - λ . (6.18) Нетрудно проверить, что многообразие вырождения: (x1 - λ)2 + (x2 - μ)2 = λ2 + μ2 является фазовой кривой, соответствующей периодическому решению уравнения (6.18): x1 - λ = μ sin 2t + λ cos 2t; x2 - μ = λ sin 2t - μ cos 2t. Также можно проверить, что невозмущенная система x2 3 1 x 1 -x2 x2 1 x× =2 × 2 x2 - x1x2 . 2 x2 + x1 не имеет периодических решений. Действительно, поскольку матрица вырождена только в точке (0, 0), то всюду, кроме этой точки, она имеет обратную: x2 1 -x2 -1 1 x2 = (x2 + x2)-1 -1 . x2 1 1 2 1 -x2 x2 Поэтому вырожденная система ДУ имеет те же траектории, что и невырожденная: x x × 3 1 = 2 . x× 4 3 2 2 2 2 -x2 + x1 + x2x1 + x2x1 1 Покажем, что эта система не может иметь периодических решений. Прежде всего заметим, что она имеет только одну особую точку - (0, 0). 3начит, периодическое решение, если оно существует, должно обходить вокруг (0, 0) [6, теорема 13.1]. Из вида векторного поля следует, что в верхней полуплоскости (x2 > 0) x1 возрастает, а в нижней полуплоскости - убывает, т. е. периодическое решение должно обходить точку (0, 0) по часовой стрелке. Но это невозможно, потому что на левой полуоси (x2 = 0, x1 < 0) векторное поле имеет вид (0, x3), т. е. направлено вниз. Таким образом, в построенном примере осуществляется бифуркация возникновения периодического решения из особой точки. Также нетрудно построить пример векторного поля, для которого решения, начинающиеся на ответвляющемся многообразии вырождения, будут покидать это многообразие: x2 2 2 1 x 1 - 2λx1 - 2μx2 -x2 x2 1 x× = × 2 x1 - 2λx1 - 2μx2 + x2 . 0 Если точка (x0, x0) принадлежит поверхности вырождения, соответствующей значениям парамет- 1 2 ров (λ, μ), то функция x1(t)= x0 + t, x2(t)= x0 exp(-t) будет решением системы, выходящим из 1 2 этой точки. Наконец, у системы x2 1 x 0 1 - 2λx1 - 2μx2 -x2 x2 1 x× = 1 × 2 нет решений, начинающихся на многообразии вырождения. Действительно, эта система эквивалентна системе x × 1 1 = (x2 - 2λx1 - 2μx2 + x2)-1 x × 1 2 2 -x2 1 и x× → ∞, когда точка приближается к многообразию вырождения. 3. Периодические решения вырожденных дифференциальных уравнений с особой точкой. Следующий пример показывает, что вырожденные дифференциальные уравнения с особой точкой могут иметь периодические решения: x2 2 1 2 3 5 x 1 + x2 0 0 1 x× = × 2 x1x2 + x2 . -x1 Решениями этого вырожденного дифференциального уравнения являются линии уровня функции G(x1, x2)= x2/2+ x4/4. 1 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ 143 Приведем теперь некоторые достаточные условия, когда вырожденное дифференциальное уравнение с особой точкой вида 1 x a11(x) a12(x) x× = P (6.19) 2 a21(x) a22(x) × Q не имеет периодических решений. Предполагается, что система определена в односвязной области D, содержащей 0, и при x ◦=0 определитель Δ(x)= a11(x)a22(x) - a12(x)a21(x) ◦= 0. Если γ(t)= (x1(t), x2(t)) - периодическое решение системы, лежащее в области D, то оно будет также периодическим решением системы x × 1 = x× a22(x) -a12(x) P . (6.20) 2 -a21(x) a11(x) Q Ранее было доказано, что если (P, Q) не принадлежит Im A0, то (0, 0) не является особой точкой системы (6.20). Так как определитель системы (6.20) не обращается в ноль в остальных точках области D, то столбцы матрицы A(t) линейно независимы и, следовательно, система (6.20) не имеет особых точек в области D. 3начит, она не может иметь там и периодических решений. Рассмотрим теперь случай, когда (P, Q) принадлежит Im A0. Тогда линейной заменой переменных систему (6.19) можно привести к виду 1 x 1+ a11(x) a12(x) x× = P , (6.21) 2 a21(x) a22(x) × 0 где a11(0) = a12(0) = a21(0) = a22(0) = 0. Лемма 6.3. Вырожденное дифференциальное уравнение (6.19) не имеет периодических орбит в окрестности нуля. Доказательство. В случае, когда (P, Q) принадлежит Im A0, система (6.20) имеет вид 1 = Pa22(x); x2 = -Pa21(x). (6.22) x× × Предположим, что γ(t) = (x1(t), x2(t)) - периодическая орбита уравнения (6.21), а значит, и уравнения (6.22). Рассмотрим криволинейный интеграл по γ(t): ф (1 + a11(x))dx1 + a12(x)dx2. Так как γ(t) - решение системы (6.21), этот интеграл равен T T r r [(1 + a11(γ(t)))x× (t)+ a12(γ(t))x× (t)]dt = Pdt = PT. 1 2 0 0 С другой стороны, так как γ(t) - решение системы (6.22), то T T r r [(1 + a11(γ(t)))P a22(γ(t)) + a12(γ(t))P a21(γ(t))]dt = 0 0 T P Δ(t)dt, где Δ(t) - определитель матрицы A(γ(t)). Отсюда следует, что ( Δ(t)dt = T. Однако, это равенство 0 не может выполняться, так как γ(t), очевидно, также является решением системы 1 x 1+ a11(x) a12(x) x× = P , 2 ma21(x) ma22(x) × 0 определитель которой равен mΔ(t). Лемма 6.4 (Пуанкаре-Бендиксон-Дюлак). Пусть в некоторой односвязной окрестности нуля D ноль является единственной особой точкой вырожденных дифференциальных уравнений (6.22), (6.24). 1. Если существует непрерывно дифференцируемая, сохраняющая знак функция S(x) такая, что ∂[S(x)(1 + a11(x))] = ∂[S(x)a12(x)] , ∂x2 ∂x1 144 Б. В. ЛОГИНОВ, Ю. Б. РУСАК, Л. Р. КИМ-ТЯН то система 1 x 1+ a11(x) a12(x) x× = P , (6.23) 2 a21(x) a22(x) × Q(x) Q(0) = 0, не имеет в области D периодических решений. 2. Если существует непрерывно дифференцируемая функция U (x) такая, что ∂[U (x)a21(x)] ∂x2 - сохраняет знак в области D, то система ∂[U (x)a22(x)] ∂x1 1 x 1+ a11(x) a12(x) x× = P (x) (6.24) 2 a21(x) a22(x) × 0 не имеет в области D периодических решений. Доказательство. Пусть выполнено условие 1. Тогда в односвязной области D существует непрерывно дифференцируемая функция F (x) такая, что ∂F (x) ∂x1 = S(x)(1 + a11 (x)) и ∂F (x) = ∂x2 S(x)a12(x). Интегрирование по γ(t) дает 1 [S(x)(1 + a11(x))]dx1 + S(x)a12(x)dx2 = F (γ(1)) - F (γ(0)) = 0. С другой стороны, в силу первого уравнения (6.23) этот интеграл отличен от нуля: 1 P поскольку функция S(x) сохраняет знак. S(γ(t))dt ◦= 0, В случае, когда выполнено условие 2 в силу второго уравнения (6.24), можно записать 1 0= U (x)a21(x)dx1 + U (x)a22(x)dx2, откуда при использовании формулы Грина следует r r 0= { ∂[U (x)a21(x)] ∂x2 ∂[U (x)a22(x)] - ∂x1 }dx1dx2, что невозможно, поскольку в области D подынтегральная функция сохраняет знак. 7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Настоящая работа, как и предыдущая [8], выполнена с целью установления связей между методологическими принципами В. А. Треногина и В. М. Арнольда для исследования бифуркационных явлений в качественной теории дифференциальных уравнений [1, 2]. В теоремах существования точек и поверхностей бифуркации раздела 4 укажем наиболее значительные работы, предшествовавшие нашим результатам. Это, в первую очередь, исследования М. А. Красносельского [4, 5], в которых применялась теория степени отображения в бесконечномерных пространствах. В труднодоступной работе [15], по недоразумению не опубликованной кратко в Докладах АН СССР, впервые теория степени отображения (вращения векторного поля) была применена непосредственно к уравнениям разветвления согласно «принципу конечномерности» В. А. Треногина. Результатом явилась наиболее общая теорема существования точки бифуркации от собственного значения нечетной алгебраической кратности. Более доступные публикации [13, 16, 25]. К сожалению, редактор перевода книги Л. Ниренберга «Нелинейный функциональный анализ» [10] Н. Д. Введенская, не зная о работе [15], отметила, что первый результат применения степени отображения к уравнению разветвления был получен Дж. Изе, однако это был очень частный результат. Среди многих более поздних работ этого направления можно указать исследования Р. Дж. Магнуса [23]. Совсем недавно были опубликованы исследования Т. Ма [22] о существовании бифуркации при четно кратном корневом числе при линеаризации.

Об авторах

Б. В. Логинов

Ульяновский гос. технический университет

Email: panbobl@yandex.ru
Ульяновск, Россия

Ю. Б. Русак

Департамент социального сервиса

Email: irousak@gmail.com
Канберра, Австралия

Л. Р. Ким-Тян

НИТУ МИСиС

Email: kim-tyan@yandex.ru
Москва, Россия

Список литературы