Обобщение степенной оценочной функции относительного риска при зависимых случайно цензурированных данных

Аннотация

В статье изучается задача оценки условной функции выживания по правой случайной модели цензурирования с учетом коварианта. Предложена новая оценочная функция условной функции выживания, которая является обобщением степенной оценочной функции относительного риска независимого цензурирования, и изучены ее свойства большой выборки. Доказана асимптотическая нормальность с тем же предельным гауссовским процессом, как и для копула-графической оценочной функции.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Оценка средней функции остаточной жизни и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Зависимое цензурирование с ковариантом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Список литературы 12 ВВЕДЕНИЕ В таких прикладных областях, как биомедицина, инженерия, страхование и гуманитарные на- уки, исследователи заинтересованы в положительных величинах, которые выражаются как время до наступления определенного события. Например, время выживания индивида в биомедицине, а в промышленных испытаниях время работоспособности механизма удобно рассматривать как неотрицательные случайные величины (СВ). Но на практике в таких случаях данные могут быть неполными. Так, например, в медицине может рассматриваться событие смерти по заданной при- чине, а событие смерти по другой причине являться цензурирующим случаем. В промышленных исследованиях может получиться так, что часть оборудования будет отключена (то есть цензури- рована) из-за наличия некоторых признаков скорой поломки. В анализе выживаемости рассматри- ваются неотрицательные СВ, обозначающие время смерти биологических организмов или отказа механического оборудования. Трудность в анализе выживаемости состоит в том, что время выжи- вания может быть подвергнуто случайному цензурированию другими неотрицательными СВ, и в таком случае наблюдаемые данные будут неполными. Существуют разные типы цензурирующих механизмов. Оценка функции распределения (ФР) времени жизни и ее функционалов по неполным данным является основной целью статистики в анализе выживаемости. В этой статье рассматривается только модель правого цензурирования. Для данных наблюдений известна только нижняя граница времени выживания, и поэтому такие данные называются цензурированными справа. Оценка функции выживаемости с цензурированными данными активно изучается на протяже- нии последних десятилетий. Дополнительная трудность, с которой часто сталкиваются на практике и которая будет изучена в настоящей работе, состоит в том, что совместно с выживаемостью в © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 1 А. А. АБДУШУКУРОВ каждом наблюдении также измеряется другая переменная. Тогда на изучаемую СВ (время жиз- ни или время до поломки) и цензурированную СВ влияет другая величина, которая называется прогностическим фактором, или ковариантом. В медицине дозировка лекарства, а в инженерии какие-либо условия окружающей среды (температура, давление и др.) влияют на наблюдаемые величины. Главная задача состоит в оценке распределения времени жизни по таким зависимым цензурированным данным. Цель настоящей работы заключается в рассмотрении этой задачи в рамках модели правого случайного цензурирования с учетом коварианта, предполагая, что зави- симость описывается некоторой известной копулой. В случае независимого цензурирования мы рассматриваем задачу оценки функции выживаемости и средней функции остаточной жизни (СФОЖ). Для функции выживаемости мы используем степенную оценочную функцию относи- тельного риска, полученную автором, и ее обобщение на случай зависимого цензурирования. ОЦЕНКА СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ОСТАТОЧНОЙ ЖИЗНИ И ЕЕ СВОЙСТВА Случай независимого цензурирования. Пусть {(Xi, Yi) , i ); 1} - последовательность не- зависимых и одинаково распределенных пар положительных СВ, где Xi и Yi предполагаются независимыми с общими абсолютно непрерывными ФР F (t) = P (Xi t) и G(t) = P (Yi t), F (0) = G(0) = 0, t ∈ R+ = [0, ∞). Здесь Xi обозначает время жизни, а Yi - время цензурирования справа. Полученные данные состоят из выборки пар C(n) = {(Zi, δi) , 1 i n} таких, что Zi = min(Xi, Yi), δi = I(Xi Yi), где I(A) - индикатор события A. Пусть SX (t) = 1-F (t) - функция выживаемости. Задача состоит в оценке главного функционала SX, т. е. СФОЖ тестируемого объекта в предложении μ = EX1 < ∞: TF r μ(t)= (SX (t))-1 t SX (u)du, t ∈ [0, TF ). (2.1) Здесь μ(0) = μ и TF = inf{t ∈ R+ : SX (t) = 0} ∞. В случае цензурирования многими ав- торами используется оценочная функция предела произведения Каплана-Мейера [9] для оценки SX в (2.1). Мы же для функции выживаемости используем степенную оценочную функцию от- носительного риска, предложенную в [2, 3], которая имеет некоторые особенности по сравнению с оценочной функцией предела произведения Каплана-Мейера (см. также [1]). Заметим, что СВ Zi имеют общую абсолютно непрерывную ФР H(t)=1 - SX (t)SY (t), t ∈ R+, где SY (t) = 1 - G(t). Автором в работах [2, 3] предложена следующая оценочная функция для SX (t) степенного вида: (1) ⎧0, t < Z , ⎪⎪ ⎨ n - j Rn (t) n 1 - Fn(t)= SX (t)= n ⎪ , Z(j) t < Z(j+1) , 1 j n - 1, (2.2) ⎪⎩1, t ); Z(n), где Z(1) ... Z(n) - порядковые статистики Zi, i = 1, n, n ), δ(j) I(Z(j) t) n-j+1 Rn(t)= j=1 n , ), I(Z(j) t) n-j+1 j=1 n - оценочная функция относительного риска, а δ(j) соответствует Z(j). Каплан и Мейер [9] были первыми, кто предложил оценочную функцию предела произведения FPL, определенную как ⎧ ⎪1 - Тl (1 ), t Z , δ(j) - n-j+1 (n) FPL ⎨⎪ {j:Z(j) t} n (t)= ⎪ 1, t > Z(n), δ(n) = 1, ⎪⎩не определено, t > Z(n), δ(n) = 0. ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 3 n n Как видим, оценочная функция FPL неопределена для любых порядковых статистик. Следователь- но, если GPL(t), оценочная функция предела произведения для цензурирующей ФР G(t) получа- ется из FPL(t) заменой индикатора δ на 1 - δ . Тогда n (j) (j) (1 - GPL(t))(1 - FPL(t)) = 1 - Hn(t), если t Z , n n (n-1) где Hn(t) - эмпирическая оценочная функция ФР H(t). Но для соответствующей степенной оце- ночной функции относительного риска Gn(t)=1 - (1 - Hn(t))1-Rn (t) для ФР G(t) мы имеем (1 - Gn(t))(1 - Fn(t)) = 1 - Hn(t) для всех t ∈ R+, т. е. оценочная функция относительного риска определима для модели правого случайного цен- зурирования. Таким образом, в этой статье мы рассмотрим только эту оценочную функцию и ее обобщения. В [1-3] для оценочной функции (2.2) автором были получены некоторые асимптоти- ческие результаты (при n → ∞). Пусть ( n1/2(Fn(t) - F (t)) Un(t)= , t ∈ [α, β], n ); 1 1 - F (t) - нормированная эмпирическая последовательность процессов, где α > τH = sup{t ∈ R+ : H(t)= 0}, β < τH = inf{t ∈ R+ : H(t)= 1}. Ясно, что τH = max(τF , τG) ); 0 и TH = min(TF , TG) ∞. Пусть D[α, β] - пространство Скорохода кадлаг-функций. Теорема 2.1 (см. [3]). Предположим, что выполнены следующие условия: (C1) 0 < P (X1 Y1) < 1; (C2) min(H(α), 1 - H(β)) ); γ для некоторого γ ∈ (0, 1); t r (C3) γ(t)= 0 dF (u) (1 - F (u))2(1 - G(u)) < ∞ при t < TH . Тогда при n →∞ ⇒ Un(t) D w(t) в D[α, β], (2.3) где w(t) - центрированный гауссовский случайный процесс с функцией ковариации Ew(t)w(s)= γ(min(t, s)), t, s ∈ [α, β]. В [1] автором были получены более сильные результаты о состоятельности и о гауссовской аппроксимации в слабой и сильной форме вплоть до статистики некоторого высокого порядка в выборке, со скоростью аппроксимации, зависящей от порядка статистики. Чтобы выбрать поряд- ковые статистики, мы возьмем последовательность {kn} целых чисел таких, что 1 kn < n. Теорема 2.2 (см. [1]). Если √n = o(kn), тогда при n →∞ ( O (k-1/2 sup n + k-2 |Fn(t) - F (t)| = p n n)= op(1), (2.4) -1 -2 t Z(n-kn ) 1 - F (t) O((k2n ln n)+ kn n)= o(1) п.н. Пусть условие (C3) выполнено и n3/4 = o(kn). Тогда существует последовательность {Wn(·), n ); 1} винеровских процессов такая, что ( Op(k-1n1/2 ln n + k-2n3/2)= op(1), -1 sup |Un(t) - Wn(γ(t))| = n n -2 3/2 (2.5) t Z(n-kn ) O((k2n ln n)+ kn n )= o(1) п.н. 4 А. А. АБДУШУКУРОВ = Заметим, что для Wn(γ(t)) D w(t) любого n. Используя теоремы 2.1 и 2.2, мы исследуем соответствующие свойства для следующей оценоч- ный функции СФОЖ: полагая, что ∞ (C4) βn → ∞, n1/2 βn n μn(t)= (SX (t))-1 SX (t)dt → 0 при n → ∞. ∞ βn r n SX (u)du, t ∞ Введем функцию χ(t)= t n SX (u)du и ее оценочную функцию χn(t)= t SX (u)du. Тогда ⎛ n μn(t)= (SX (t))-1 ⎝- βn ⎞ r dχn(u)⎠ . (2.6) t Слабая сходимость для СФОЖ доказана в следующей теореме. Теорема 2.3. Пусть выполняются условия (C1)-(C4) и ∞ (C5) χ2(t)dγ(t) < ∞. 0 Тогда при n →∞ ⇒ Vn(t)= n1/2 (μn(t) - μ(t)) D Q(t) в D[α, β], (2.7) где Q(t) - центрированный гауссовский процесс с функцией ковариации при t, s ∈ [α, β]: r∞ EQ(t)Q(s)= (SX (t)SX (s))-1 χ2(u)dγ(u). Доказательство. Нетрудно получить представление min(t,s) r∞ Vn(t)= Un(t)μn(t)+ (SX (t))-1An(t)+ n1/2(SX (t))-1 βn βn SX (u)du, (2.8) где An(t) = Un(u)dχ(u). Тогда асимптотическое распределение последовательности процес- t са (2.8) эквивалентно асимптотическому распределению последовательности V ∗ n (t)= Un(t)μ(t)+ (SX (t))-1 An(t) при условии (C4). В силу теоремы 2.1 и теоремы Крамера-Вольда последовательность двумерных процессов (Un(t), An(t)) слабо сходится при n →∞ в пространстве Скорохода D([α, β] × [α, β]) к процессу (w(t), A(t)), где r∞ A(t)= t w(u)dχ(u). n Следовательно, но теореме Слуцкого мы получаем, что процесс V ∗(t) при условии (C5) слабо сходится в D([α, β]) к процессу Q(t)= w(t)μ(t)+ (SX (t))-1 r∞ w(u)dχ(u). t Теперь мы докажем состоятельность оценочной функции СФОЖ μn(t). ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 5 Теорема 2.4. При √n = o(kn) и (nβn)2/3 = o(kn) sup t Z(n-kn) |μn(t) - μ(t)| = Op(1), n → ∞. (2.9) Доказательство. В силу представления (2.8) μn(t) - μ(t)= | Fn(t) - F (t)| 1 - F (t) · βn (1 - Fn(u))du t 1 - Fn(t) 1 + 1 - F (t) βn r (Fn(u) - F (u)) · 1 - F (u) t dχ(u)+ 1 + 1 - F (t) r∞ · (1 - F (u))du = M1n(t)+ M2n(t)+ M3n(t). (2.10) βn Легко видеть, что 1 - F (t) ); 1 - H(t), 1 - Fn(t) ); 1 - Hn(t) для всех t ∈ R+. В силу [7, неравенство (4.3)] для достаточно больших n существуют положительные константы c1 > 1 и c2 < 1 такие, что: Следовательно, H-1(1 - c1 kn n ) Z(n -kn ) = H-1(1 - kn n ) H-1(1 - c2 kn ) п.н. n kn sup t Z(n-kn ) и (1 - F (t))-1 sup t Z(n-kn ) n (1 - H(t))-1 = Op( ) sup t Z(n-kn ) (1 - Fn(t))-1 sup t Z(n-kn ) (1 - Hn(t))-1 sup ( t Z(n-kn ) 1 - H(t) 1 - Hn(t) ) · sup t Z(n-kn) n k (1 - Hn(t))-1 = Op(1) · n = Op n kn . (2.11) С другой стороны, с вероятностью 1 а в силу (2.4) при n →∞ βn r 0 (1 - Fn(u))du 2βn, (2.12) t 1n sup M (t) sup |Fn(t) - F (t)| 2βn sup (1 - Fn(t))-1 = Op ( βnn 3/2 n2βn \ + 3 = op(1), t Z(n-kn ) t Z(n-kn) 1 - F (t) t Z(n-kn) βn kn kn sup M2n(t) sup (1 - F (t))-1 sup r (Fn(u) - F (u)) dχ(u)= Op ( βnn 3/2 n2βn \ + 3 = op(1), t Z(n-kn) t Z(n-kn) t Z(n-kn ) t r∞ 1 - F (u) ⎛ n r∞ kn kn ⎞ sup M3n(t) sup (1 - F (t))-1 SX (t)dt = Op ⎜ SX (t)dt⎟ = op(1). (2.13) t Z(n-kn) t Z(n-kn ) βn ⎝ kn ⎠ βn Таким образом, (2.9) следует из (2.10)-(2.13). Доказательство завершено. Оценка СФОЖ при зависимых цензурированных справа данных представлена в следующем разделе. 6 А. А. АБДУШУКУРОВ Случай зависимого цензурирования. Теперь мы не требуем независимости от последова- тельностей {Xi, i ); 1} и {Yi, i ); 1} . Пусть S(t, s)= P (Xi > t, Yi > s), (t, s) ∈ R+2 = R+ × R+ - совместная функция выживаемости для пар (Xi, Yi). Тогда по теореме Скляра (см. [10]) S(t, s) представляется выражением через копулы выживаемости C(u, v), u, v ∈ [0, 1]: S(t, s)= C(SX (t), SY (s)), (t, s) ∈ R+2, где SX (t) и SY (t) - маргинальные функции выживаемости для Xi и Yi. В случае, когда C(u, v) - архимедова копула, т. е. C(u, v)= ϕ-1[ϕ(u)+ ϕ(v)], (u, v) ∈ [0, 1]2 , где ϕ : [0, 1] → R+ - сильная производящая функция (ϕ(0) = ∞) и ϕ-1 - обратная к ней, в рабо- те [4] было предложено следующее обобщение оценочной функции (2.2) для SX (t) с зависимыми цензурированными данными C(n): ⎡ t ⎤ X -1 ⎢ Z n ⎥ (- I(Jn(u) > 0)ϕt ( Jn(u) )dNn(u)) 0 n S n (t)= ϕ ⎢ϕ(S (t)) ⎢ t ⎥ , (2.14) Z ⎥ n n ⎣ (- I(Jn(u) > 0)ϕt ( Jn(u) )dN (u)) ⎦ где t r n ϕ(SZ (t)) = - 0 SZ 0 I(Jn(s) > 0)[ϕ( n 1 Jn (s) n ) - ϕ( Jn(s) n Z n - 1 )]dN Z (s), n n (t)= n i=1 I(Zi > t), Jn(t)= nSn (t-), 1 n 1 n Nn(t)= n i=1 i i n I(Z t, δ = 1), NZ (t)= n i=1 I(Zi t). В работе [4] показано, что оценочная функция (2.14) есть обобщение (2.2), что следует из (2.14) при C(u, v) = uv, u, v ∈ [0, 1], т. е. ϕ(u) = - ln u, u ∈ [0, 1]. Была доказана состоятельность оценочной функции (2.14) и предложена следующая оценочная функция для СФОЖ μ(t): ⎧ ⎨0, t ); Z(n), μn(t)= ( X \-1 ∞ X ⎩ S n (t) S n (u)du, t ∈ [0, Z(n)). t Рассмотрим следующие условия: (C6) Функция ϕ(·) строго убывает на (0, 1] и первые две производные ϕ(t) и Ψ(t) = -tϕt(t) ограничены при t ∈ [ε, 1] для прозвольного ε > 0. Более того, первая производная ϕt отделена от нуля на [0, 1]; T ∗ (C7) 0 < [Ψ(SZ (t))]mdΛ∗(t) < ∞ при m = 1, 2, 0 где T ∗ = sup{t ∈ R+ : SZ (t) > 0}, Λ∗(t) обозначает сразу ΛH (t)= - ln SZ (t) и t (C8) T ∗ 1Ψt(SZ (t))1 dΛ∗(t) < ∞. r Λ(t)= 0 dP (Zi s, δi =1) SZ (s) ; 1 1 0 μn Чтобы сформулировать результаты о состоятельности с весовой функцией q(·) : [0, 1] → R+, мы также предполагаем выполненными следующие условия: ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 7 (C9) Функция q(·): [0, 1] → [0, ∞] измерима для всех η > 0, sup u∈[0,1-η] {q(u)} < ∞; (C10) Функция q(u)(1 - u)-1 - неубывающая в окрестности u = 1; TF ( TF (C11) 0 (SX (t))-1 t q(F (s))ds dF (t) < ∞. Заметим, что условия (C6)-(C8) выполняются, например, для генераторов копулы Клейтона- Франка. Теорема 2.5 (см. [4]). Пусть μ = EX1 < ∞ и выполнены условия (C6)-(C11). Тогда при n →∞ μn εn(F )= sup q(F (t)) | p (t) - μ(t)| → 0. t<T ∗ (Подробное доказательство можно найти в [4].) В случае зависимого цензурирования Зенг и Клейн [12], а также Ривест и Уэллс [11] исследовали копула-графические оценочные функции: t SˆX -1 r Jn (u) - 1 Jn(u) n (t)= ϕ [ I(Jn(u) > 0)(ϕ( 0 t - ) ϕ( n ))]dN n(u), n 1 S˘X -1 r t Jn(u) n (t)= ϕ [- n 0 I(Jn(u) > 0)ϕ ( )dNn(u). n Было доказано, что эти оценочные функции равномерно состоятельны и асимптотически нормаль- ны. В случае независимого цензурирования эти копулы эквивалентны, соответственно, оценочной функции экспоненциальной опасности Альтшулера-Бреслоу и оценочной функции предела про- изведения Каплана-Мейера: SˆX ⎧ t ⎫ ⎨ r I(Jn(u) > 0) ⎬ n (t)= exp - ⎩ 0 dNn(u) , Jn(u) ⎭ ˘X ( Sn (t)= тт 1 - dNn(u) . Jn(u) 1 x Легко доказать, что из (2.14) мы получаем степенную оценочную функцию относительного риска Абдушукурова (см. (2.2)). ЗАВИСИМОЕ ЦЕНЗУРИРОВАНИЕ С КОВАРИАНТОМ Рассмотрим случай, когда носитель коварианта C есть интервал [0, 1], и сформулируем наши результаты о фиксированных точках проектирования 0 x1 x2 ... xn 1, в которых мы рассматриваем отклики (время выживаемости или отказа) X1,... , Xn и время цензурированния Y1,... , Yn идентичных объектов, которые являются объектами исследования. Эти отклики явля- ются независимыми и неотрицательными СВ с условной ФР Fxi (t)= P (Xi t/Ci = xi) в точках xi. Они подвергаются случайному цензурированию справа, т. е. для Xi существует цензуриру- ющая переменная Yi с условной ФР Gxi (t) = P (Yi t/Ci = xi), и на n-м шаге эксперимента наблюдаемые данные S(n) = {(Zi, δi, Ci), 1 i n}, где Zi = min(Xi, Yi), δi = I(Xi Yi), а I(A) обозначает индикатор события A. Заметим, что в вы- борке S(n) СВ Xi наблюдается только при δi = 1. Обычно в анализе выживаемости независимость СВ Xi и Yi зависит от коварианта Ci. Но в некоторых случаях на практике это предположение не выполняется. В этой статье мы рассмотрим зависимость, которая описывается копулой. Итак, пусть Sx(t1, t2)= P (Xx > t1, Yx > t2), (t1, t2) ∈ R+2 8 А. А. АБДУШУКУРОВ - совместная функция выживаемости для отклика Xx и цензурирующей величины Yx в x. Тогда маргинальные функции выживаемости SxX (t) = 1 - Fx(t) = Sx(t, 0) и SxY (t) = 1 - Gx(t) = Sx(0, t),t ); 0. Предположим, что маргинальные ФР Fx и Gx абсолютно непрерывны. Тогда, в силу теоремы Скляра (см. [10]), совместная функция выживаемости Sx(t1, t2) может быть записана как Sx(t1, t2)= Cx(SX (t1), SY (t2)), (t1, t2) ∈ R+2, (3.1) x x где Cx(u, v) - известная копула, зависящая от x, SX и SY в общем случае. Необходимо отметить, x x что случай отсутствия коварианта был рассмотрен М. Зенгом и Дж. П. Клейном [12], которые предложили копула-графическую оценочную функцию. Л. П. Ривест и М. Т. Уэллс [11] исследо- вали копула-графическую оценочную функцию и выделили замкнутую форму оценочной функ- ции, где совместная функция выживаемости (3.1) была смоделирована как архимедова копула. Как было показано, копула-графическая оценочная функция является равномерно состоятельной и асимптотически нормальной. Р. Брейкерс и Н. Веравербеке [6] обобщили копула-графическую оценочную функцию для случая регрессии фиксированного проектирования и показали, что оце- ночная функция имеет асимптотическое представление и гауссов предел. Мы рассмотрим другую оценочную функцию ФР Fx, которая также является обобщением оценочной функции (2.14) и эквивалентна степенной оценочной функции относительного риска (2.2) автора [1-3] в случае независимого цензурирования. Мы изучим свойства большой выборки предложенной оценочной функции и покажем равномерную нормальность с тем же предельным гауссовым процессом, что и для копула-графической оценочной функции. Предположим, что при значении фиксированного проектирования x ∈ (0, 1) функция Cx в (3.1) - архимедова копула, т. е. Sx(t1, t2)= ϕ[-1](ϕx(SX (t1)) + ϕx(SY (t2))), t1, t2 ∈ R+2, (3.2) x x x где при каждом x известная функция ϕx : [0, 1] → [0, +∞] - непрерывная, выпуклая и строго убывающая, причем ϕx(1) = 0. Функция ϕ[-1] - псевдо-обратная к ϕ (см. [10]) и задается формулой x x (ϕ-1 ϕ[-1] x (s), 0 s ϕx(0), x (s)= 0, ϕx (0) s ∞. ϕ[-1] Мы предполагаем, что производящая функция копулы ϕx строгая, т. е. ϕx(0) = ∞, следовательно, x = ϕ-1 x . Из (3.1) следует, что P (Zx > t)= 1 - Hx(t)= Hx(t)= SxZ (t)= Sx(t, t)= ϕ-1(ϕx(SX (t)) + ϕx(SY (t))), t ∈ R+. (3.3) x x x Пусть H(1)(t)= P (Z t, δ = 1) - функция подраспределения Λ - сырая функция рисков СВ x x x x Xx, подвергнутая цензурированию величиной Yx, тогда (см. [8]) мы имеем (1) P (Xx ∈ dt, Xx Yx) Hx (dt) (3.4) Λx(dt)= P (Xx ); t, Yx = ); t) . x SZ (t-) x Из (3.4) можно получить следующее выражение функции выживаемости SX : t r SX -1 Z ∗ Z t ∗ -1 r Z (1) + x (t)= ϕx [- 0 Sx (u-)ϕx(Sx (u))dΛx(u)] = ϕx [- 0 ϕx(Sx (u))dHx (u)], t ∈ R . (3.5) x Чтобы построить оценочную функцию для SX согласно выражению (3.5), мы введем некоторые сглаженные оценочные функции для SZ,H(1) и выпишем условия регулярности для них. Анало- x x гично [6], мы используем веса Гассера-Мюллера xi 1 r 1 x - z где q wni(x, hn)= n (x, hn π( ) hn hn xi-1 )dz, i = 1,... , n, (3.6) xn r 1 h qn(x, hn)= n 0 π( x - z hn )dz, ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 9 x0 = 0, π - известная функция плотности вероятности (ядро), а {hn,n ); 1} - последователь- ность положительных констант, сходящихся к нулю при n → ∞, которая называется последова- x тельностью пропускной способности. Введем взвешенные оценочные функции для Hx, SZ x и H(1), соответственно, в виде n Hxh(t)= wni(x, hn)I(Zi t), i=1 SZ xh(t)= 1 - Hxh(t), n (3.7) xh (t)= H(1) i=1 wni(x, hn)I(Zi t, δi = 1). x Тогда, подставляя в (3.5) оценочные функции (3.7), в работе [5] мы предложили следующую оценочную функцию для SX : t r SX -1 ∗ Z (1) + xh(t)=1 - Fxh(t)= ϕx [- 0 ϕx(Sx (u))dHx (u)], t ∈ R . (3.8) В случае отсутствия коварианта оценочная функция (3.8) сводится к оценочной функции (2.14), которая впервые была получена нами в [4], которая, в свою очередь, в случае независимой ко- пулы ϕ(y) = - ln y, сводится к оценочной функции экспоненциальной опасности. Также хорошо известно, что в случае независимого цензурирования оценочная функция предельного произведе- ния Каплана-Мейера и оценочная функция экспоненциальной опасности асимптотически эквива- лентны. Таким образом, в [5] мы показали, что оценочная функция (3.8) и копула-графическая оценочная функция Брейкерса и Веравербеке имеют одинаковое асимптотическое поведение. В данной работе мы также предлагаем следующее обобщение степенной оценочной функции относительного риска, предложенное в [2, 3]: Z -1 Z где S xh(t)= ϕx [ϕx(S xh(t)) · μxh(t)] = 1 - F xh(t), (3.9) Z μxh(t)= ϕx(SX (t))/ϕx (S (t)), xh xh t r ϕx(SX (t)) = - ϕ∗ (SZ (u))dH(1) (u), xh t ∧ r г x xh 0 xh 1 (1) Z ϕx S xh (t) и = - n 0 S ϕx ( Z xh S - (u)) - ϕx xh Z (u) n dHxh , t r xh ϕx(SZ (t)) = - 0 x xh ϕ∗ (SZ (u))dHxh(u). Чтобы исследовать оценку (3.9), введем некоторые условия. Для точек проектирования x1,... , xn обозначим Δn = min 1 i n - - - - (xi xi 1), Δn = max (xi xi 1). 1 i n Пусть для ядра π выполнено r∞ r∞ 2 ν lπl2 = -∞ π2(u)du, mν (π)= -∞ u π(u)du, ν = 1, 2, lπl∞ = sup π(u). u∈R Кроме того, мы используем следующие предположения для проектирования и для ядра: 1 1 (A1) При n → ∞, xn → 1, Δn = O n , Δn - Δn = o n ; (A2) π - функция плотности вероятности с компактным носителем [-M, M ] для некоторого ∗ ∗ M > 0, причем m1(π)=0 и |π(u) - π(u )| C(π)|u - u |, где C(π) - некоторая константа. 10 А. А. АБДУШУКУРОВ x Пусть THx = inf {t ); 0 : Hx(t) = 1}. Тогда THx = min(TFx , TGx ). Для наших результатов нам понадобятся следующие условия гладкости функций Hx(t) и H(1)(t). Мы сформулируем их для общей функции (под)распределения Nx(t), 0 x 1,t ∈ R при фиксированном T > 0: (A3) ∂ N (t)= · (t) существует и непрерывна на (x, t) ∈ [0, 1] × [0,T ]; ∂x x Nx (A4) ∂ N (t)= N ∗ (t) существует и непрерывна на (x, t) ∈ [0, 1] × [0,T ]; 2 ∂t (A5) ∂ ∂x2 2 x x Nx Nx(t)= ·· (t) существует и непрерывна на (x, t) ∈ [0, 1] × [0,T ]; (A6) ∂ 2 ∂t2 x Nx(t)= N ∗∗ (t) существует и непрерывна на (x, t) ∈ [0, 1] × [0,T ]; (A7) ∂ · N (t)= ∗ (t) существует и непрерывна на (x, t) [0, 1] [0,T ]; ∂x∂t x N x ∈ × 2 (A8) ∂ϕx(u) = ϕ∗ (u) и ∂ ϕx(u) ∗∗ ∂u x ∂u2 = ϕx(u) липшицева в направлении x с ограниченной констан- ∂3ϕx(u) той Липшица и производная [0, 1] × (0, 1]. ∂u3 x = ϕ∗∗∗ (u) существует и непрерывна на (x, u) ∈ Отсюда вытекает следующая теорема. x Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (A1) и (A2), Hx(t) и H(1)(t) удовлетворяют (A5)- (A7) на [0,T ] при T < THx , ϕx удовлетворяет (A8), а также hn → 0, Тогда при n →∞ ln n nhn → 0, n nh5 = O(1). ln n где 1 Ψtx(Zi, δi)= - n F xh(t) - Fx(t)= wni(x, hn)Ψtx(Zi, δi)+ rn(t), i=1 t r [ ϕ∗∗ (SZ (u))(I(Zi u) - Hx(u))dH(1) (u) - ϕ∗ x x x x x(SX (t)) 0 ∗ t r ∗∗ - ϕx(SZ (t))(I(Zi t, δi = 1) - H(1)(t)) - ϕ (SZ (u))(I(Zi u, δi = 1) - H(1)(u))dHx(u)], x x x x x 0 и sup 0 t T |rn(t)| п.н. = O ( ln n 3/4\ . nhn Следующая теорема посвящена слабой сходимости эмпирического процесса (nhn)1/2{F xh(·) - Fx(·)} в пространстве l∞[0,T ] равномерно ограниченных функций на [0,T ], снабженная равномер- ной топологией. x Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (A1) и (A2), Hx(t) и H(1)(t) удовлетворяют (A5)- (A7) на [0,T ] при T < THx , и ϕx удовлетворяет (A8). (ln n)3 n Если nh5 → 0 и nhn → 0, тогда при n →∞ (nhn)1/2{F xh(·) - Fx(·)}⇒ Wx(·) на l∞[0,T ]. Если hn = Cn-1/5 для некоторого C > 0, тогда при n →∞ x (nhn)1/2{F xh(·) - Fx(·)}⇒ W* (·) на l∞[0,T ], x где Wx(·) и W* (·) - гауссовы процессы со средними x EWx(t)= 0, EW* (t)= ax(t), ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 11 и одинаковой ковариацией Cov(Wx(t), W* (s)) = Cov(W* (t), W* (s)) = Γx(t, s), причем x t C5/2m2(π) r ∗∗ x x ·· ∗ ·· ax(t)= - [ϕx (SZ (u))H x(u)dH(1)(u) - ϕ (SZ (u))dH(1) (u) ], 2ϕ∗ (SX (t)) x x x x x x x и πl2 0 ( min(t,s) r 2 Γx(t, s)= l 2 (ϕ∗ (SZ (z))) dH(1)(z)+ ϕ∗ x ∗ x x x x x(SX (t))ϕx(SX (s)) 0 min(t,s) w r r + [ϕ∗∗ (SZ (w))SZ (w)+ ϕ∗ (SZ (w))] ϕ∗∗ (SZ (y))dH(1) (y)dH(1)(w)+ 0 min(t,s) r x x x x x x x x x 0 max(t,s) r ∗∗ + ϕx(SZ (w)) (ϕ∗∗ (SZ (y))SZ (y)+ ϕ∗ (SZ (y)))dH(1) (y)dH(1)(w) - 0 t r ∗∗ x x x w ∗ x x x x x s r ∗∗ ∗ - [ϕx (SZ (y))SZ (y)+ ϕ (SZ (y))]dH(1) (y) [ϕ (SZ (w))SZ (w)+ ϕ (SZ (w))]dH(1) (w) . x x x x 0 x x x x x x x 0 Ясно, что для существования правой части выражения (3.5) мы должны потребовать выполнения условий (A4) для функций Hx(t) и H(1)(t) на [0, 1] × [0,T ] при T < T и существования ϕ∗ (u) на x [0, 1] × (0, 1]. Hx x В работе [5] нами доказаны аналоги теорем 3.1 и 3.2 для оценочной функции (3.8). Таким образом, нам достаточно доказать асимптотическую эквивалентность оценочных функций (3.8) и (3.9). Это сделано в следующей лемме. x Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (A1) и (A2), Hx (t) и H(1) (t) удовлетворяют (A5)-(A7) на [0,T ] при T < Tx, ϕx удовлетворяет (A8). Тогда при n →∞ sup 1 1S X xh 1∧ (t) - S 1 1 xh X (t)1 п=.н. O 1 . (3.10) 0 t T 1 1 n Доказательство. При всех (x; t) ∈ [0, 1] × (0,T ] имеем ⎡ t ⎤ ∧ г ∧ r (1) xh (t) - S xh (t)= ϕx ϕx S xh (t) μxh (t) - ϕx ⎣- ϕx (Sxh (u)) dHxh (u)⎦ = S X X -1 Z -1 ∗ Z 0 1 г ∧ Z X μxh (t) г ∧ Z (∼ Z \ - ϕ∗ = ϕx x (ζxh (t)) S xh (t) μxh (t) - ϕx (S xh (t)) = ϕx x ϕ∗ (ςxh (t)) S xh (t) - ϕx S xh (t) , где ςxh (t) ∈ ( min ϕx S ∧ xh Z (t) xh μxh (t) , S X (t) ( , max ϕx S ∧ xh Z (t) xh μxh (t) , SX (t) . Нетрудно видеть, что для всех (x, t) ∈ [0, 1] × (0,T ] и n ); 1 0 μxh (t) 1, следовательно, 1 1 1-1 1 ∧ \1 1S X sup xh 1∧ (t) - S 1 xh X (t)1 sup 1 x 1ϕ∗ (ςxh (t))1 sup 1 S - ϕx S Z 1 1ϕx xh Z (t) xh (∼ (t) 1 . (3.11) 0 t T 1 Но 1 ∧ 1 0 t T 1 \1 1 0 t T 1 1 1 S sup 1ϕx xh Z (t) - ϕx S Z xh 1 (∼ (t) 1 0 t T 1 1 12 А. А. АБДУШУКУРОВ T r 1 г 1 1 n sup 0 t T 0 xh 1 1 ϕx (S Z 1 S ∗ S 1 - (u)) - ϕx xh Z (u) n xh - ϕx ( Z (u)) 1 dHxh(u) 1 1 1 ∗ 1 п.н. 1 2n sup 1ϕx (θxh (t))1 = O , (3.12) n где ( 1 0 t T 1 ( 1 1 θxh (t) ∈ S min xh xh Z (t) , SZ (t) - n S , max xh xh Z (t) , SZ (t) - n . Теперь из (3.11) и (3.12) следует (3.10). Лемма доказана. Таким образом, для всех (x, t) ∈ [0, 1] × (0,T ] ∧ F xh (t) - Fx (t)= Fxh (t) - Fx (t)+ qn (t) , (3.13) п.н. F xh где qn (t)= ∧ будем иметь (t) - Fxh и в силу леммы sup 0 t T |qn n (t)| = O ( 1 ) . Более того, из [5, теорема 1.1] n Fxh (t) - Fx (t)= wni (x, hn) Ψtx (Zi, δi)+ rn (t) , (3.14) i=1 где слагаемые правой части определены так же, как в теореме 3.1. Следовательно, теорема 3.1 следует из соотношений (3.13)-(3.14). Необходимо отметить, что выполненное почти наверное соотношение теоремы 3.1 играет ключе- вую роль в исследовании оценочной функции (3.9) и, в частности, является базовым инструментом для получения слабой сходимости в теореме 3.2. Но главные слагаемые Ψtx в этом выражении такие же, как и в случае копула-графической оценочной функции из [6] (см. (3.14)). Тогда доказа- тельство теоремы 3.2 может быть получено аналогично доказательству [5, теорема 1.2] и потому здесь опущено. Таким образом, копула-графическая оценочная функция из [6] асимптотически эквивалентна оценочным функциям (3.8) и (3.9).