Extension of Relative-Risk Power Estimator under Dependent Random Censored Data

Abstract

In this paper, the considered problem consists in estimation of conditional survival function by right random censoring model in the presence of a covariate. We propose a new estimator of conditional survival function which is extension of relative-risk power estimator of independent censoring and study its large sample properties. We present result of asymptotic normality with the same limiting Gaussian process as for copula-graphic estimator.

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Оценка средней функции остаточной жизни и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Зависимое цензурирование с ковариантом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Список литературы 12 ВВЕДЕНИЕ В таких прикладных областях, как биомедицина, инженерия, страхование и гуманитарные на- уки, исследователи заинтересованы в положительных величинах, которые выражаются как время до наступления определенного события. Например, время выживания индивида в биомедицине, а в промышленных испытаниях время работоспособности механизма удобно рассматривать как неотрицательные случайные величины (СВ). Но на практике в таких случаях данные могут быть неполными. Так, например, в медицине может рассматриваться событие смерти по заданной при- чине, а событие смерти по другой причине являться цензурирующим случаем. В промышленных исследованиях может получиться так, что часть оборудования будет отключена (то есть цензури- рована) из-за наличия некоторых признаков скорой поломки. В анализе выживаемости рассматри- ваются неотрицательные СВ, обозначающие время смерти биологических организмов или отказа механического оборудования. Трудность в анализе выживаемости состоит в том, что время выжи- вания может быть подвергнуто случайному цензурированию другими неотрицательными СВ, и в таком случае наблюдаемые данные будут неполными. Существуют разные типы цензурирующих механизмов. Оценка функции распределения (ФР) времени жизни и ее функционалов по неполным данным является основной целью статистики в анализе выживаемости. В этой статье рассматривается только модель правого цензурирования. Для данных наблюдений известна только нижняя граница времени выживания, и поэтому такие данные называются цензурированными справа. Оценка функции выживаемости с цензурированными данными активно изучается на протяже- нии последних десятилетий. Дополнительная трудность, с которой часто сталкиваются на практике и которая будет изучена в настоящей работе, состоит в том, что совместно с выживаемостью в © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 1 А. А. АБДУШУКУРОВ каждом наблюдении также измеряется другая переменная. Тогда на изучаемую СВ (время жиз- ни или время до поломки) и цензурированную СВ влияет другая величина, которая называется прогностическим фактором, или ковариантом. В медицине дозировка лекарства, а в инженерии какие-либо условия окружающей среды (температура, давление и др.) влияют на наблюдаемые величины. Главная задача состоит в оценке распределения времени жизни по таким зависимым цензурированным данным. Цель настоящей работы заключается в рассмотрении этой задачи в рамках модели правого случайного цензурирования с учетом коварианта, предполагая, что зави- симость описывается некоторой известной копулой. В случае независимого цензурирования мы рассматриваем задачу оценки функции выживаемости и средней функции остаточной жизни (СФОЖ). Для функции выживаемости мы используем степенную оценочную функцию относи- тельного риска, полученную автором, и ее обобщение на случай зависимого цензурирования. ОЦЕНКА СРЕДНЕЙ ФУНКЦИИ ОСТАТОЧНОЙ ЖИЗНИ И ЕЕ СВОЙСТВА Случай независимого цензурирования. Пусть {(Xi, Yi) , i ); 1} - последовательность не- зависимых и одинаково распределенных пар положительных СВ, где Xi и Yi предполагаются независимыми с общими абсолютно непрерывными ФР F (t) = P (Xi t) и G(t) = P (Yi t), F (0) = G(0) = 0, t ∈ R+ = [0, ∞). Здесь Xi обозначает время жизни, а Yi - время цензурирования справа. Полученные данные состоят из выборки пар C(n) = {(Zi, δi) , 1 i n} таких, что Zi = min(Xi, Yi), δi = I(Xi Yi), где I(A) - индикатор события A. Пусть SX (t) = 1-F (t) - функция выживаемости. Задача состоит в оценке главного функционала SX, т. е. СФОЖ тестируемого объекта в предложении μ = EX1 < ∞: TF r μ(t)= (SX (t))-1 t SX (u)du, t ∈ [0, TF ). (2.1) Здесь μ(0) = μ и TF = inf{t ∈ R+ : SX (t) = 0} ∞. В случае цензурирования многими ав- торами используется оценочная функция предела произведения Каплана-Мейера [9] для оценки SX в (2.1). Мы же для функции выживаемости используем степенную оценочную функцию от- носительного риска, предложенную в [2, 3], которая имеет некоторые особенности по сравнению с оценочной функцией предела произведения Каплана-Мейера (см. также [1]). Заметим, что СВ Zi имеют общую абсолютно непрерывную ФР H(t)=1 - SX (t)SY (t), t ∈ R+, где SY (t) = 1 - G(t). Автором в работах [2, 3] предложена следующая оценочная функция для SX (t) степенного вида: (1) ⎧0, t < Z , ⎪⎪ ⎨ n - j Rn (t) n 1 - Fn(t)= SX (t)= n ⎪ , Z(j) t < Z(j+1) , 1 j n - 1, (2.2) ⎪⎩1, t ); Z(n), где Z(1) ... Z(n) - порядковые статистики Zi, i = 1, n, n ), δ(j) I(Z(j) t) n-j+1 Rn(t)= j=1 n , ), I(Z(j) t) n-j+1 j=1 n - оценочная функция относительного риска, а δ(j) соответствует Z(j). Каплан и Мейер [9] были первыми, кто предложил оценочную функцию предела произведения FPL, определенную как ⎧ ⎪1 - Тl (1 ), t Z , δ(j) - n-j+1 (n) FPL ⎨⎪ {j:Z(j) t} n (t)= ⎪ 1, t > Z(n), δ(n) = 1, ⎪⎩не определено, t > Z(n), δ(n) = 0. ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 3 n n Как видим, оценочная функция FPL неопределена для любых порядковых статистик. Следователь- но, если GPL(t), оценочная функция предела произведения для цензурирующей ФР G(t) получа- ется из FPL(t) заменой индикатора δ на 1 - δ . Тогда n (j) (j) (1 - GPL(t))(1 - FPL(t)) = 1 - Hn(t), если t Z , n n (n-1) где Hn(t) - эмпирическая оценочная функция ФР H(t). Но для соответствующей степенной оце- ночной функции относительного риска Gn(t)=1 - (1 - Hn(t))1-Rn (t) для ФР G(t) мы имеем (1 - Gn(t))(1 - Fn(t)) = 1 - Hn(t) для всех t ∈ R+, т. е. оценочная функция относительного риска определима для модели правого случайного цен- зурирования. Таким образом, в этой статье мы рассмотрим только эту оценочную функцию и ее обобщения. В [1-3] для оценочной функции (2.2) автором были получены некоторые асимптоти- ческие результаты (при n → ∞). Пусть ( n1/2(Fn(t) - F (t)) Un(t)= , t ∈ [α, β], n ); 1 1 - F (t) - нормированная эмпирическая последовательность процессов, где α > τH = sup{t ∈ R+ : H(t)= 0}, β < τH = inf{t ∈ R+ : H(t)= 1}. Ясно, что τH = max(τF , τG) ); 0 и TH = min(TF , TG) ∞. Пусть D[α, β] - пространство Скорохода кадлаг-функций. Теорема 2.1 (см. [3]). Предположим, что выполнены следующие условия: (C1) 0 < P (X1 Y1) < 1; (C2) min(H(α), 1 - H(β)) ); γ для некоторого γ ∈ (0, 1); t r (C3) γ(t)= 0 dF (u) (1 - F (u))2(1 - G(u)) < ∞ при t < TH . Тогда при n →∞ ⇒ Un(t) D w(t) в D[α, β], (2.3) где w(t) - центрированный гауссовский случайный процесс с функцией ковариации Ew(t)w(s)= γ(min(t, s)), t, s ∈ [α, β]. В [1] автором были получены более сильные результаты о состоятельности и о гауссовской аппроксимации в слабой и сильной форме вплоть до статистики некоторого высокого порядка в выборке, со скоростью аппроксимации, зависящей от порядка статистики. Чтобы выбрать поряд- ковые статистики, мы возьмем последовательность {kn} целых чисел таких, что 1 kn < n. Теорема 2.2 (см. [1]). Если √n = o(kn), тогда при n →∞ ( O (k-1/2 sup n + k-2 |Fn(t) - F (t)| = p n n)= op(1), (2.4) -1 -2 t Z(n-kn ) 1 - F (t) O((k2n ln n)+ kn n)= o(1) п.н. Пусть условие (C3) выполнено и n3/4 = o(kn). Тогда существует последовательность {Wn(·), n ); 1} винеровских процессов такая, что ( Op(k-1n1/2 ln n + k-2n3/2)= op(1), -1 sup |Un(t) - Wn(γ(t))| = n n -2 3/2 (2.5) t Z(n-kn ) O((k2n ln n)+ kn n )= o(1) п.н. 4 А. А. АБДУШУКУРОВ = Заметим, что для Wn(γ(t)) D w(t) любого n. Используя теоремы 2.1 и 2.2, мы исследуем соответствующие свойства для следующей оценоч- ный функции СФОЖ: полагая, что ∞ (C4) βn → ∞, n1/2 βn n μn(t)= (SX (t))-1 SX (t)dt → 0 при n → ∞. ∞ βn r n SX (u)du, t ∞ Введем функцию χ(t)= t n SX (u)du и ее оценочную функцию χn(t)= t SX (u)du. Тогда ⎛ n μn(t)= (SX (t))-1 ⎝- βn ⎞ r dχn(u)⎠ . (2.6) t Слабая сходимость для СФОЖ доказана в следующей теореме. Теорема 2.3. Пусть выполняются условия (C1)-(C4) и ∞ (C5) χ2(t)dγ(t) < ∞. 0 Тогда при n →∞ ⇒ Vn(t)= n1/2 (μn(t) - μ(t)) D Q(t) в D[α, β], (2.7) где Q(t) - центрированный гауссовский процесс с функцией ковариации при t, s ∈ [α, β]: r∞ EQ(t)Q(s)= (SX (t)SX (s))-1 χ2(u)dγ(u). Доказательство. Нетрудно получить представление min(t,s) r∞ Vn(t)= Un(t)μn(t)+ (SX (t))-1An(t)+ n1/2(SX (t))-1 βn βn SX (u)du, (2.8) где An(t) = Un(u)dχ(u). Тогда асимптотическое распределение последовательности процес- t са (2.8) эквивалентно асимптотическому распределению последовательности V ∗ n (t)= Un(t)μ(t)+ (SX (t))-1 An(t) при условии (C4). В силу теоремы 2.1 и теоремы Крамера-Вольда последовательность двумерных процессов (Un(t), An(t)) слабо сходится при n →∞ в пространстве Скорохода D([α, β] × [α, β]) к процессу (w(t), A(t)), где r∞ A(t)= t w(u)dχ(u). n Следовательно, но теореме Слуцкого мы получаем, что процесс V ∗(t) при условии (C5) слабо сходится в D([α, β]) к процессу Q(t)= w(t)μ(t)+ (SX (t))-1 r∞ w(u)dχ(u). t Теперь мы докажем состоятельность оценочной функции СФОЖ μn(t). ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 5 Теорема 2.4. При √n = o(kn) и (nβn)2/3 = o(kn) sup t Z(n-kn) |μn(t) - μ(t)| = Op(1), n → ∞. (2.9) Доказательство. В силу представления (2.8) μn(t) - μ(t)= | Fn(t) - F (t)| 1 - F (t) · βn (1 - Fn(u))du t 1 - Fn(t) 1 + 1 - F (t) βn r (Fn(u) - F (u)) · 1 - F (u) t dχ(u)+ 1 + 1 - F (t) r∞ · (1 - F (u))du = M1n(t)+ M2n(t)+ M3n(t). (2.10) βn Легко видеть, что 1 - F (t) ); 1 - H(t), 1 - Fn(t) ); 1 - Hn(t) для всех t ∈ R+. В силу [7, неравенство (4.3)] для достаточно больших n существуют положительные константы c1 > 1 и c2 < 1 такие, что: Следовательно, H-1(1 - c1 kn n ) Z(n -kn ) = H-1(1 - kn n ) H-1(1 - c2 kn ) п.н. n kn sup t Z(n-kn ) и (1 - F (t))-1 sup t Z(n-kn ) n (1 - H(t))-1 = Op( ) sup t Z(n-kn ) (1 - Fn(t))-1 sup t Z(n-kn ) (1 - Hn(t))-1 sup ( t Z(n-kn ) 1 - H(t) 1 - Hn(t) ) · sup t Z(n-kn) n k (1 - Hn(t))-1 = Op(1) · n = Op n kn . (2.11) С другой стороны, с вероятностью 1 а в силу (2.4) при n →∞ βn r 0 (1 - Fn(u))du 2βn, (2.12) t 1n sup M (t) sup |Fn(t) - F (t)| 2βn sup (1 - Fn(t))-1 = Op ( βnn 3/2 n2βn \ + 3 = op(1), t Z(n-kn ) t Z(n-kn) 1 - F (t) t Z(n-kn) βn kn kn sup M2n(t) sup (1 - F (t))-1 sup r (Fn(u) - F (u)) dχ(u)= Op ( βnn 3/2 n2βn \ + 3 = op(1), t Z(n-kn) t Z(n-kn) t Z(n-kn ) t r∞ 1 - F (u) ⎛ n r∞ kn kn ⎞ sup M3n(t) sup (1 - F (t))-1 SX (t)dt = Op ⎜ SX (t)dt⎟ = op(1). (2.13) t Z(n-kn) t Z(n-kn ) βn ⎝ kn ⎠ βn Таким образом, (2.9) следует из (2.10)-(2.13). Доказательство завершено. Оценка СФОЖ при зависимых цензурированных справа данных представлена в следующем разделе. 6 А. А. АБДУШУКУРОВ Случай зависимого цензурирования. Теперь мы не требуем независимости от последова- тельностей {Xi, i ); 1} и {Yi, i ); 1} . Пусть S(t, s)= P (Xi > t, Yi > s), (t, s) ∈ R+2 = R+ × R+ - совместная функция выживаемости для пар (Xi, Yi). Тогда по теореме Скляра (см. [10]) S(t, s) представляется выражением через копулы выживаемости C(u, v), u, v ∈ [0, 1]: S(t, s)= C(SX (t), SY (s)), (t, s) ∈ R+2, где SX (t) и SY (t) - маргинальные функции выживаемости для Xi и Yi. В случае, когда C(u, v) - архимедова копула, т. е. C(u, v)= ϕ-1[ϕ(u)+ ϕ(v)], (u, v) ∈ [0, 1]2 , где ϕ : [0, 1] → R+ - сильная производящая функция (ϕ(0) = ∞) и ϕ-1 - обратная к ней, в рабо- те [4] было предложено следующее обобщение оценочной функции (2.2) для SX (t) с зависимыми цензурированными данными C(n): ⎡ t ⎤ X -1 ⎢ Z n ⎥ (- I(Jn(u) > 0)ϕt ( Jn(u) )dNn(u)) 0 n S n (t)= ϕ ⎢ϕ(S (t)) ⎢ t ⎥ , (2.14) Z ⎥ n n ⎣ (- I(Jn(u) > 0)ϕt ( Jn(u) )dN (u)) ⎦ где t r n ϕ(SZ (t)) = - 0 SZ 0 I(Jn(s) > 0)[ϕ( n 1 Jn (s) n ) - ϕ( Jn(s) n Z n - 1 )]dN Z (s), n n (t)= n i=1 I(Zi > t), Jn(t)= nSn (t-), 1 n 1 n Nn(t)= n i=1 i i n I(Z t, δ = 1), NZ (t)= n i=1 I(Zi t). В работе [4] показано, что оценочная функция (2.14) есть обобщение (2.2), что следует из (2.14) при C(u, v) = uv, u, v ∈ [0, 1], т. е. ϕ(u) = - ln u, u ∈ [0, 1]. Была доказана состоятельность оценочной функции (2.14) и предложена следующая оценочная функция для СФОЖ μ(t): ⎧ ⎨0, t ); Z(n), μn(t)= ( X \-1 ∞ X ⎩ S n (t) S n (u)du, t ∈ [0, Z(n)). t Рассмотрим следующие условия: (C6) Функция ϕ(·) строго убывает на (0, 1] и первые две производные ϕ(t) и Ψ(t) = -tϕt(t) ограничены при t ∈ [ε, 1] для прозвольного ε > 0. Более того, первая производная ϕt отделена от нуля на [0, 1]; T ∗ (C7) 0 < [Ψ(SZ (t))]mdΛ∗(t) < ∞ при m = 1, 2, 0 где T ∗ = sup{t ∈ R+ : SZ (t) > 0}, Λ∗(t) обозначает сразу ΛH (t)= - ln SZ (t) и t (C8) T ∗ 1Ψt(SZ (t))1 dΛ∗(t) < ∞. r Λ(t)= 0 dP (Zi s, δi =1) SZ (s) ; 1 1 0 μn Чтобы сформулировать результаты о состоятельности с весовой функцией q(·) : [0, 1] → R+, мы также предполагаем выполненными следующие условия: ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 7 (C9) Функция q(·): [0, 1] → [0, ∞] измерима для всех η > 0, sup u∈[0,1-η] {q(u)} < ∞; (C10) Функция q(u)(1 - u)-1 - неубывающая в окрестности u = 1; TF ( TF (C11) 0 (SX (t))-1 t q(F (s))ds dF (t) < ∞. Заметим, что условия (C6)-(C8) выполняются, например, для генераторов копулы Клейтона- Франка. Теорема 2.5 (см. [4]). Пусть μ = EX1 < ∞ и выполнены условия (C6)-(C11). Тогда при n →∞ μn εn(F )= sup q(F (t)) | p (t) - μ(t)| → 0. t<T ∗ (Подробное доказательство можно найти в [4].) В случае зависимого цензурирования Зенг и Клейн [12], а также Ривест и Уэллс [11] исследовали копула-графические оценочные функции: t SˆX -1 r Jn (u) - 1 Jn(u) n (t)= ϕ [ I(Jn(u) > 0)(ϕ( 0 t - ) ϕ( n ))]dN n(u), n 1 S˘X -1 r t Jn(u) n (t)= ϕ [- n 0 I(Jn(u) > 0)ϕ ( )dNn(u). n Было доказано, что эти оценочные функции равномерно состоятельны и асимптотически нормаль- ны. В случае независимого цензурирования эти копулы эквивалентны, соответственно, оценочной функции экспоненциальной опасности Альтшулера-Бреслоу и оценочной функции предела про- изведения Каплана-Мейера: SˆX ⎧ t ⎫ ⎨ r I(Jn(u) > 0) ⎬ n (t)= exp - ⎩ 0 dNn(u) , Jn(u) ⎭ ˘X ( Sn (t)= тт 1 - dNn(u) . Jn(u) 1 x Легко доказать, что из (2.14) мы получаем степенную оценочную функцию относительного риска Абдушукурова (см. (2.2)). ЗАВИСИМОЕ ЦЕНЗУРИРОВАНИЕ С КОВАРИАНТОМ Рассмотрим случай, когда носитель коварианта C есть интервал [0, 1], и сформулируем наши результаты о фиксированных точках проектирования 0 x1 x2 ... xn 1, в которых мы рассматриваем отклики (время выживаемости или отказа) X1,... , Xn и время цензурированния Y1,... , Yn идентичных объектов, которые являются объектами исследования. Эти отклики явля- ются независимыми и неотрицательными СВ с условной ФР Fxi (t)= P (Xi t/Ci = xi) в точках xi. Они подвергаются случайному цензурированию справа, т. е. для Xi существует цензуриру- ющая переменная Yi с условной ФР Gxi (t) = P (Yi t/Ci = xi), и на n-м шаге эксперимента наблюдаемые данные S(n) = {(Zi, δi, Ci), 1 i n}, где Zi = min(Xi, Yi), δi = I(Xi Yi), а I(A) обозначает индикатор события A. Заметим, что в вы- борке S(n) СВ Xi наблюдается только при δi = 1. Обычно в анализе выживаемости независимость СВ Xi и Yi зависит от коварианта Ci. Но в некоторых случаях на практике это предположение не выполняется. В этой статье мы рассмотрим зависимость, которая описывается копулой. Итак, пусть Sx(t1, t2)= P (Xx > t1, Yx > t2), (t1, t2) ∈ R+2 8 А. А. АБДУШУКУРОВ - совместная функция выживаемости для отклика Xx и цензурирующей величины Yx в x. Тогда маргинальные функции выживаемости SxX (t) = 1 - Fx(t) = Sx(t, 0) и SxY (t) = 1 - Gx(t) = Sx(0, t),t ); 0. Предположим, что маргинальные ФР Fx и Gx абсолютно непрерывны. Тогда, в силу теоремы Скляра (см. [10]), совместная функция выживаемости Sx(t1, t2) может быть записана как Sx(t1, t2)= Cx(SX (t1), SY (t2)), (t1, t2) ∈ R+2, (3.1) x x где Cx(u, v) - известная копула, зависящая от x, SX и SY в общем случае. Необходимо отметить, x x что случай отсутствия коварианта был рассмотрен М. Зенгом и Дж. П. Клейном [12], которые предложили копула-графическую оценочную функцию. Л. П. Ривест и М. Т. Уэллс [11] исследо- вали копула-графическую оценочную функцию и выделили замкнутую форму оценочной функ- ции, где совместная функция выживаемости (3.1) была смоделирована как архимедова копула. Как было показано, копула-графическая оценочная функция является равномерно состоятельной и асимптотически нормальной. Р. Брейкерс и Н. Веравербеке [6] обобщили копула-графическую оценочную функцию для случая регрессии фиксированного проектирования и показали, что оце- ночная функция имеет асимптотическое представление и гауссов предел. Мы рассмотрим другую оценочную функцию ФР Fx, которая также является обобщением оценочной функции (2.14) и эквивалентна степенной оценочной функции относительного риска (2.2) автора [1-3] в случае независимого цензурирования. Мы изучим свойства большой выборки предложенной оценочной функции и покажем равномерную нормальность с тем же предельным гауссовым процессом, что и для копула-графической оценочной функции. Предположим, что при значении фиксированного проектирования x ∈ (0, 1) функция Cx в (3.1) - архимедова копула, т. е. Sx(t1, t2)= ϕ[-1](ϕx(SX (t1)) + ϕx(SY (t2))), t1, t2 ∈ R+2, (3.2) x x x где при каждом x известная функция ϕx : [0, 1] → [0, +∞] - непрерывная, выпуклая и строго убывающая, причем ϕx(1) = 0. Функция ϕ[-1] - псевдо-обратная к ϕ (см. [10]) и задается формулой x x (ϕ-1 ϕ[-1] x (s), 0 s ϕx(0), x (s)= 0, ϕx (0) s ∞. ϕ[-1] Мы предполагаем, что производящая функция копулы ϕx строгая, т. е. ϕx(0) = ∞, следовательно, x = ϕ-1 x . Из (3.1) следует, что P (Zx > t)= 1 - Hx(t)= Hx(t)= SxZ (t)= Sx(t, t)= ϕ-1(ϕx(SX (t)) + ϕx(SY (t))), t ∈ R+. (3.3) x x x Пусть H(1)(t)= P (Z t, δ = 1) - функция подраспределения Λ - сырая функция рисков СВ x x x x Xx, подвергнутая цензурированию величиной Yx, тогда (см. [8]) мы имеем (1) P (Xx ∈ dt, Xx Yx) Hx (dt) (3.4) Λx(dt)= P (Xx ); t, Yx = ); t) . x SZ (t-) x Из (3.4) можно получить следующее выражение функции выживаемости SX : t r SX -1 Z ∗ Z t ∗ -1 r Z (1) + x (t)= ϕx [- 0 Sx (u-)ϕx(Sx (u))dΛx(u)] = ϕx [- 0 ϕx(Sx (u))dHx (u)], t ∈ R . (3.5) x Чтобы построить оценочную функцию для SX согласно выражению (3.5), мы введем некоторые сглаженные оценочные функции для SZ,H(1) и выпишем условия регулярности для них. Анало- x x гично [6], мы используем веса Гассера-Мюллера xi 1 r 1 x - z где q wni(x, hn)= n (x, hn π( ) hn hn xi-1 )dz, i = 1,... , n, (3.6) xn r 1 h qn(x, hn)= n 0 π( x - z hn )dz, ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 9 x0 = 0, π - известная функция плотности вероятности (ядро), а {hn,n ); 1} - последователь- ность положительных констант, сходящихся к нулю при n → ∞, которая называется последова- x тельностью пропускной способности. Введем взвешенные оценочные функции для Hx, SZ x и H(1), соответственно, в виде n Hxh(t)= wni(x, hn)I(Zi t), i=1 SZ xh(t)= 1 - Hxh(t), n (3.7) xh (t)= H(1) i=1 wni(x, hn)I(Zi t, δi = 1). x Тогда, подставляя в (3.5) оценочные функции (3.7), в работе [5] мы предложили следующую оценочную функцию для SX : t r SX -1 ∗ Z (1) + xh(t)=1 - Fxh(t)= ϕx [- 0 ϕx(Sx (u))dHx (u)], t ∈ R . (3.8) В случае отсутствия коварианта оценочная функция (3.8) сводится к оценочной функции (2.14), которая впервые была получена нами в [4], которая, в свою очередь, в случае независимой ко- пулы ϕ(y) = - ln y, сводится к оценочной функции экспоненциальной опасности. Также хорошо известно, что в случае независимого цензурирования оценочная функция предельного произведе- ния Каплана-Мейера и оценочная функция экспоненциальной опасности асимптотически эквива- лентны. Таким образом, в [5] мы показали, что оценочная функция (3.8) и копула-графическая оценочная функция Брейкерса и Веравербеке имеют одинаковое асимптотическое поведение. В данной работе мы также предлагаем следующее обобщение степенной оценочной функции относительного риска, предложенное в [2, 3]: Z -1 Z где S xh(t)= ϕx [ϕx(S xh(t)) · μxh(t)] = 1 - F xh(t), (3.9) Z μxh(t)= ϕx(SX (t))/ϕx (S (t)), xh xh t r ϕx(SX (t)) = - ϕ∗ (SZ (u))dH(1) (u), xh t ∧ r г x xh 0 xh 1 (1) Z ϕx S xh (t) и = - n 0 S ϕx ( Z xh S - (u)) - ϕx xh Z (u) n dHxh , t r xh ϕx(SZ (t)) = - 0 x xh ϕ∗ (SZ (u))dHxh(u). Чтобы исследовать оценку (3.9), введем некоторые условия. Для точек проектирования x1,... , xn обозначим Δn = min 1 i n - - - - (xi xi 1), Δn = max (xi xi 1). 1 i n Пусть для ядра π выполнено r∞ r∞ 2 ν lπl2 = -∞ π2(u)du, mν (π)= -∞ u π(u)du, ν = 1, 2, lπl∞ = sup π(u). u∈R Кроме того, мы используем следующие предположения для проектирования и для ядра: 1 1 (A1) При n → ∞, xn → 1, Δn = O n , Δn - Δn = o n ; (A2) π - функция плотности вероятности с компактным носителем [-M, M ] для некоторого ∗ ∗ M > 0, причем m1(π)=0 и |π(u) - π(u )| C(π)|u - u |, где C(π) - некоторая константа. 10 А. А. АБДУШУКУРОВ x Пусть THx = inf {t ); 0 : Hx(t) = 1}. Тогда THx = min(TFx , TGx ). Для наших результатов нам понадобятся следующие условия гладкости функций Hx(t) и H(1)(t). Мы сформулируем их для общей функции (под)распределения Nx(t), 0 x 1,t ∈ R при фиксированном T > 0: (A3) ∂ N (t)= · (t) существует и непрерывна на (x, t) ∈ [0, 1] × [0,T ]; ∂x x Nx (A4) ∂ N (t)= N ∗ (t) существует и непрерывна на (x, t) ∈ [0, 1] × [0,T ]; 2 ∂t (A5) ∂ ∂x2 2 x x Nx Nx(t)= ·· (t) существует и непрерывна на (x, t) ∈ [0, 1] × [0,T ]; (A6) ∂ 2 ∂t2 x Nx(t)= N ∗∗ (t) существует и непрерывна на (x, t) ∈ [0, 1] × [0,T ]; (A7) ∂ · N (t)= ∗ (t) существует и непрерывна на (x, t) [0, 1] [0,T ]; ∂x∂t x N x ∈ × 2 (A8) ∂ϕx(u) = ϕ∗ (u) и ∂ ϕx(u) ∗∗ ∂u x ∂u2 = ϕx(u) липшицева в направлении x с ограниченной констан- ∂3ϕx(u) той Липшица и производная [0, 1] × (0, 1]. ∂u3 x = ϕ∗∗∗ (u) существует и непрерывна на (x, u) ∈ Отсюда вытекает следующая теорема. x Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (A1) и (A2), Hx(t) и H(1)(t) удовлетворяют (A5)- (A7) на [0,T ] при T < THx , ϕx удовлетворяет (A8), а также hn → 0, Тогда при n →∞ ln n nhn → 0, n nh5 = O(1). ln n где 1 Ψtx(Zi, δi)= - n F xh(t) - Fx(t)= wni(x, hn)Ψtx(Zi, δi)+ rn(t), i=1 t r [ ϕ∗∗ (SZ (u))(I(Zi u) - Hx(u))dH(1) (u) - ϕ∗ x x x x x(SX (t)) 0 ∗ t r ∗∗ - ϕx(SZ (t))(I(Zi t, δi = 1) - H(1)(t)) - ϕ (SZ (u))(I(Zi u, δi = 1) - H(1)(u))dHx(u)], x x x x x 0 и sup 0 t T |rn(t)| п.н. = O ( ln n 3/4\ . nhn Следующая теорема посвящена слабой сходимости эмпирического процесса (nhn)1/2{F xh(·) - Fx(·)} в пространстве l∞[0,T ] равномерно ограниченных функций на [0,T ], снабженная равномер- ной топологией. x Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (A1) и (A2), Hx(t) и H(1)(t) удовлетворяют (A5)- (A7) на [0,T ] при T < THx , и ϕx удовлетворяет (A8). (ln n)3 n Если nh5 → 0 и nhn → 0, тогда при n →∞ (nhn)1/2{F xh(·) - Fx(·)}⇒ Wx(·) на l∞[0,T ]. Если hn = Cn-1/5 для некоторого C > 0, тогда при n →∞ x (nhn)1/2{F xh(·) - Fx(·)}⇒ W* (·) на l∞[0,T ], x где Wx(·) и W* (·) - гауссовы процессы со средними x EWx(t)= 0, EW* (t)= ax(t), ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РИСКА 11 и одинаковой ковариацией Cov(Wx(t), W* (s)) = Cov(W* (t), W* (s)) = Γx(t, s), причем x t C5/2m2(π) r ∗∗ x x ·· ∗ ·· ax(t)= - [ϕx (SZ (u))H x(u)dH(1)(u) - ϕ (SZ (u))dH(1) (u) ], 2ϕ∗ (SX (t)) x x x x x x x и πl2 0 ( min(t,s) r 2 Γx(t, s)= l 2 (ϕ∗ (SZ (z))) dH(1)(z)+ ϕ∗ x ∗ x x x x x(SX (t))ϕx(SX (s)) 0 min(t,s) w r r + [ϕ∗∗ (SZ (w))SZ (w)+ ϕ∗ (SZ (w))] ϕ∗∗ (SZ (y))dH(1) (y)dH(1)(w)+ 0 min(t,s) r x x x x x x x x x 0 max(t,s) r ∗∗ + ϕx(SZ (w)) (ϕ∗∗ (SZ (y))SZ (y)+ ϕ∗ (SZ (y)))dH(1) (y)dH(1)(w) - 0 t r ∗∗ x x x w ∗ x x x x x s r ∗∗ ∗ - [ϕx (SZ (y))SZ (y)+ ϕ (SZ (y))]dH(1) (y) [ϕ (SZ (w))SZ (w)+ ϕ (SZ (w))]dH(1) (w) . x x x x 0 x x x x x x x 0 Ясно, что для существования правой части выражения (3.5) мы должны потребовать выполнения условий (A4) для функций Hx(t) и H(1)(t) на [0, 1] × [0,T ] при T < T и существования ϕ∗ (u) на x [0, 1] × (0, 1]. Hx x В работе [5] нами доказаны аналоги теорем 3.1 и 3.2 для оценочной функции (3.8). Таким образом, нам достаточно доказать асимптотическую эквивалентность оценочных функций (3.8) и (3.9). Это сделано в следующей лемме. x Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (A1) и (A2), Hx (t) и H(1) (t) удовлетворяют (A5)-(A7) на [0,T ] при T < Tx, ϕx удовлетворяет (A8). Тогда при n →∞ sup 1 1S X xh 1∧ (t) - S 1 1 xh X (t)1 п=.н. O 1 . (3.10) 0 t T 1 1 n Доказательство. При всех (x; t) ∈ [0, 1] × (0,T ] имеем ⎡ t ⎤ ∧ г ∧ r (1) xh (t) - S xh (t)= ϕx ϕx S xh (t) μxh (t) - ϕx ⎣- ϕx (Sxh (u)) dHxh (u)⎦ = S X X -1 Z -1 ∗ Z 0 1 г ∧ Z X μxh (t) г ∧ Z (∼ Z \ - ϕ∗ = ϕx x (ζxh (t)) S xh (t) μxh (t) - ϕx (S xh (t)) = ϕx x ϕ∗ (ςxh (t)) S xh (t) - ϕx S xh (t) , где ςxh (t) ∈ ( min ϕx S ∧ xh Z (t) xh μxh (t) , S X (t) ( , max ϕx S ∧ xh Z (t) xh μxh (t) , SX (t) . Нетрудно видеть, что для всех (x, t) ∈ [0, 1] × (0,T ] и n ); 1 0 μxh (t) 1, следовательно, 1 1 1-1 1 ∧ \1 1S X sup xh 1∧ (t) - S 1 xh X (t)1 sup 1 x 1ϕ∗ (ςxh (t))1 sup 1 S - ϕx S Z 1 1ϕx xh Z (t) xh (∼ (t) 1 . (3.11) 0 t T 1 Но 1 ∧ 1 0 t T 1 \1 1 0 t T 1 1 1 S sup 1ϕx xh Z (t) - ϕx S Z xh 1 (∼ (t) 1 0 t T 1 1 12 А. А. АБДУШУКУРОВ T r 1 г 1 1 n sup 0 t T 0 xh 1 1 ϕx (S Z 1 S ∗ S 1 - (u)) - ϕx xh Z (u) n xh - ϕx ( Z (u)) 1 dHxh(u) 1 1 1 ∗ 1 п.н. 1 2n sup 1ϕx (θxh (t))1 = O , (3.12) n где ( 1 0 t T 1 ( 1 1 θxh (t) ∈ S min xh xh Z (t) , SZ (t) - n S , max xh xh Z (t) , SZ (t) - n . Теперь из (3.11) и (3.12) следует (3.10). Лемма доказана. Таким образом, для всех (x, t) ∈ [0, 1] × (0,T ] ∧ F xh (t) - Fx (t)= Fxh (t) - Fx (t)+ qn (t) , (3.13) п.н. F xh где qn (t)= ∧ будем иметь (t) - Fxh и в силу леммы sup 0 t T |qn n (t)| = O ( 1 ) . Более того, из [5, теорема 1.1] n Fxh (t) - Fx (t)= wni (x, hn) Ψtx (Zi, δi)+ rn (t) , (3.14) i=1 где слагаемые правой части определены так же, как в теореме 3.1. Следовательно, теорема 3.1 следует из соотношений (3.13)-(3.14). Необходимо отметить, что выполненное почти наверное соотношение теоремы 3.1 играет ключе- вую роль в исследовании оценочной функции (3.9) и, в частности, является базовым инструментом для получения слабой сходимости в теореме 3.2. Но главные слагаемые Ψtx в этом выражении такие же, как и в случае копула-графической оценочной функции из [6] (см. (3.14)). Тогда доказа- тельство теоремы 3.2 может быть получено аналогично доказательству [5, теорема 1.2] и потому здесь опущено. Таким образом, копула-графическая оценочная функция из [6] асимптотически эквивалентна оценочным функциям (3.8) и (3.9).