Квадратичные стохастические операторы вольтерровского типа с однородным турниром

Аннотация

Как известно [1], каждый квадратичный стохастический оператор вольтерровского типа, заданный на конечномерном симплексе, определяет некий турнир, свойства которого позволяют изучить асимптотическое поведение траекторий этого вольтерровского оператора. В работе вводится понятие однородного турнира и изучаются динамические свойства вольтерровских операторов, соответствующих однородным турнирам в симплексе S⁴.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Канонический вид квадратичных стохастических операторов вольтерровского типа . . . 783 2. Однородные турниры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 3. Неподвижные точки и функции Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Карта неподвижных точек вольтерровских операторов с однородным турниром в сим- 787 плексе S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792 1. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД КВАДРАТИЧНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ВОЛЬТЕРРОВСКОГО ТИПА Пусть Rm - m-мерное евклидово пространство, и B(·,·) : Rm × Rm → Rm - симметричный билинейный оператор. Тогда квадратичный оператор V : Rm → Rm определяется равенством V (x) = B(x,x), x ∈ Rm. Очевидно, поляризационное равенство 4B(x,y) = V (x + y) - V (x - y) (1.1) устанавливает взаимно однозначное соотношение между квадратичными и симметричными билинейными операторами. Также ясно, что равенство B(x,y) = x ◦ y определяет в Rm коммутативное, но, вообще говоря, не ассоциативное умножение. Таким образом, Rm превращается в коммутативную, но не ассоциативную алгебру. Пусть- стандартный базис в Rm и при - символ Кронекера. 1 при i = j Положим , (1.2) © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 783 где Pij,k = Pji,k - структурные константы билинейного оператора в стандартном базисе. Далее вместо будем писать x = (x1,...,xm). При этих обозначениях квадратичный оператор определяется равенством . (1.3) Определение 1.1. Квадратичный оператор (1.3) называется стохастическим, если структурные константы {Pij,k} удовлетворяют условиям . (1.4) Напомним, что (m - 1)-мерный стандартный симплекс определяется равенством . Ясно, что Sm-1 - выпуклый, замкнутый и ограниченный многогранник в Rm. Из условий (1.4) легко следует, что V : Sm-1 → Sm-1. Точку x ∈ Sm-1 можно рассматривать как распределение вероятностей. Таким образом, квадратичный стохастический оператор переводит распределение вероятностей некоторой системы также в распределение вероятностей. Квадратичные операторы часто встречаются в физических и биологических моделях. В биологии V : Sm-1 → Sm-1 описывает эволюцию биологической системы, состоящей из m видов. Классификации и изучению асимптотического поведения траекторий квадратичных стохастических операторов посвящены работы фон Неймана, С. Улама, Г.Х. Харди, С. Бернштейна, Ю.И. Любича и других. Поскольку V : Sm-1 → Sm-1 непрерывен, а Sm-1 - выпуклый компакт, то согласно теореме Боля-Брауэра, множество неподвижных точек V непусто, т. е. . Если x0 ∈ Sm-1, то последовательность {x(n)} ⊂ Sm-1, определяемая рекуррентной формулой x(n+1) = V x(n), n = 0,1,... , называется траекторией, начинающейся из точки x0. Через обозначим множество предельных точек данной траектории. Очевидно, ω(x0) - непустое замкнутое и инвариантное подмножество Sm-1, т. е. V (ω(x0)) ⊂ ω(x0). Если ω(x0) состоит из одной точки, то траектория сходится. В случае 1 < |ω(x0)| < ∞ траектория называется периодической. Определение 1.2. Квадратичный стохастический оператор называется вольтерровским, если Pij,k = 0 Из (1.5) следует, что при k /∈ {i,j}. (1.5) Pik,k + Pik,i = 1 для любых Поэтому, полагая (1.6) вольтерровский квадратичный стохастический оператор можно переписать в виде . (1.7) Пусть. Следовательно, (1.8) Соотношение (1.8) называется каноническим видом вольтерровского оператора на симплексе Sm-1. Заметим, что из (1.6) следует, что . Таким образом, вольтерровский оператор на симплексе однозначно определяется заданием кососимметрической матрицы c условием. Теорема 1.1 (см. [14]). Отображение V : Sm-1 → Sm-1, определяемое (1.8), является гомеоморфизмом, а при |aki| < 1 при всех будет диффеоморфизмом симплекса Sm-1. Так как V - гомеоморфизм при , то для любого x0 ∈ Sm-1 существует отрицательная траектория {x(-n)}, определяемая рекуррентным соотношением x(-n-1) = V -1(x(-n)), n = 0,1,... В работе [8] доказано, что любая отрицательная траектория всегда сходится к одной из неподвижных точек. Известно также (см. [2]), что вольтерровские квадратичные стохастические операторы не имеют периодических орбит на симплексе. Следовательно, либо траектория сходится, либо ω(x0) - бесконечное множество. Определение 1.3. Кососимметрическая матрица A = (aki) называется матрицей общего положения, если все главные миноры четного порядка отличны от нуля. Как известно (см. [13]), кососимметрические матрицы общего положения образуют открытое и всюду плотное подмножество в множестве всех кососимметрических матриц. Пусть V - вольтерров оператор с кососимметрической матрицей общего положения. Тогда при Действительно, главный минор второго порядка матрицы A есть . Так как, aki = -aik, то отсюда следует, что Теорема 1.2 (см. [7]). Eсли V - вольтерров оператор с матрицей общего положения, то множество неподвижных точек на симплексе Sm-1 всегда конечно. Замечание. Если A не является матрицей общего положения, то множество неподвижных точек, вообще говоря, бесконечно. 2. ОДНОРОДНЫЕ ТУРНИРЫ Определение 2.1. Граф называется полным, если любая пара (различных) вершин соединена дугой. Граф называется ориентированным, если в каждой дуге указано направление. Определение 2.2. Полный ориентированный граф называется турниром. Например, два турнира на рис. 1 называются, соответственно, транзитивным турниром с тремя вершинами и циклическим турниром с тремя вершинами [18]. Пусть все вершины турнира пронумерованы числами 1,2,... ,m. Определение 2.3. Два турнира с m вершинами называются изоморфными, если существует биекция вершин одного турнира на другой, сохраняющая смежность вершин. РИС. 1. Транзитивный турнир с тремя вершинами и циклический турнир с тремя вершинами. Турнир называется сильным, если из любой вершины можно попасть в любую другую, следуя ориентации дуг. Как известно [18], если турнир сильный, то существует гамильтонов цикл, содержащий все вершины данного турнира. Турнир, не содержащий сильных подтурниров, называется транзитивным. Определение 2.4. Турнир называется однородным, если его любой подтурнир является либо сильным, либо транзитивным. Легко заметить, что это определение равносильно тому, что полустепени исхода и захода одинаковы для всех вершин [18, 23]. Ясно, что при m 3 все турниры с m вершинами являются однородными. Например, два турнира с четырьмя вершинами на рис. 2 не являются однородными. РИС. 2 Теорема 2.1. Турнир является однородным тогда и только тогда, когда он не содержит подтурниров, изоморфных одному из указанных на рис. 2. Доказательство. Турниры, указанные на рис. 2, не являются ни сильными, ни транзитивными. Следовательно, любой турнир, содержащий подтурнир, изоморфный одному из них, по определению не может быть однородным. Обратно, если турнир содержит подтурнир, который не является ни сильным, ни транзитивным, то согласно [18] множество его вершин можно разбить на два непустых и не пересекающихся класса I и II так, что все дуги, выходящие из класса I и идущие в класс II, направлены из I в II, причем подтурнир, состоящий из вершин одного из этих классов, является сильным. Всякий сильный подтурнир содержит хотя бы одну циклическую тройку. Добавив к этой циклической тройке любую вершину из другого класса, получим один из турниров из рис. 2. Следовательно, неоднородный турнир всегда содержит подтурнир, изоморфный одному из указанных на рис. 2. Теорема 2.1 доказана. Пусть- кососимметрическая матрица общего положения, соответствующая вольтерровскому оператору V. На плоскости возьмем m пронумерованных точек 1,2,... ,m и точку с номером k соединим с точкой i дугой, направленной из k в i, если, и обратным направлением, если aki > 0. Полученный турнир обозначим через Tm. Далее будем предполагать, что Tm - однородный турнир, а A - кососимметрическая матрица общего положения. 3. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА Теорема 3.1. Любая неподвижная точка отображения V : Sm-1 → Sm-1 имеет только лишь нечетное число ненулевых координат. Доказательство. Заметим, что сужение вольтерровского оператора на любую грань симплекса Sm-1 также является вольтерровским. Пусть Γ ⊂ Sm-1 - грань симплекса, содержащая четное число вершин симплекса, и x ∈ Γ - неподвижная точка с четным числом ненулевых координат. Далее, VΓ и AΓ - соответствующие сужения V и A на Γ. Тогда из V x = x следуют равенства VΓx = x и AΓx = 0. (3.1) Так как A - матрица общего положения, то определитель AΓ отличен от нуля, т. е. равенство AΓx = 0 возможно только лишь при x = 0. Однако x = 0 не принадлежит симплексу Sm-1. Теорема 3.1 доказана. Носителем точки x ∈ Rm называется . Теорема 3.2. Вольтерровский квадратичный стохастический оператор не может содержать двух неподвижных точек с равными носителями. Доказательство. Если x и y - две различные неподвижные точки с равными носителями, то отрезок также состоит из неподвижных точек оператора V, что противоречит конечности множества неподвижных точек. Таким образом, теорема 3.2 позволяет обозначать неподвижную точку только лишь указанием номеров ненулевых координат, например, x(2,4,5) - неподвижная точка с условиями на координаты x2 > 0, x4 > 0, x5 > 0, все остальные координаты которой равны нулю. Теорема 3.2 доказана. Лемма 3.1. Если A = (aki) - кососимметрическая матрица общего положения с условием , то система линейных неравенств (3.2) имеет единственное решение в симплексе Sm-1. Доказательство. Пусть I = {1,2,... ,m}, α ⊂ I - непустое подмножество. Через Γα обозначим выпуклую оболочку базисных векторов ei, где i ∈ α, и будем называть (|α| - 1)-мерной гранью симплекса Sm-1. m ПустьТогда Fk - замкнутые множества, причем =1 для любого α I имеем , (3.3) что легко следует из кососимметричности матрицы A. Согласно комбинаторной лемме Шпернера [10] из (3.3) следует, что, т. е. (3.2) имеет хотя бы одно решение в Sm-1. Любое решение (3.2) есть неподвижная точка для вольтерровского оператора V, так как при всех (3.4) Поскольку, то из (3.4) следует V x = x. С другой стороны, множество решений неравенств (3.2) в Sm-1 - выпуклое множество. Так как A - матрица общего положения, то множество неподвижных точек конечно. Следовательно, решение (3.2) в симплексе единственно. Лемма 3.1 доказана. Аналогично доказывается, что и единственно при тех же условиях. Определение 3.1. Непрерывный функционал ϕ : Sm-1 → R называется функцией Ляпунова для оператора V : Sm-1 → Sm-1, если для всех x ∈ Sm-1. Таким образом, функция Ляпунова монотонно не возрастает вдоль любой траектории, определяемой отображением V. Пусть p = (p1,...,pm) ∈ Sm-1 - решение неравенств (3.2). Теорема (см. [7, 8]). Функция ϕ(x) = xp11 · xp22 · ... · xpmm является функцией Ляпунова для квадратичного стохастического оператора Вольтерра. Следствие 3.1. Для любого множество предельных точек траектории, начинающейся в x0, лежит на границе симплекса Sm-1, т. е. ω(x0) ⊂ ∂Sm-1. Следствие 3.2. Для любой начальной точки отрицательные траектории сходятся к одной из неподвижных точек. 4. КАРТА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ВОЛЬТЕРРОВСКИХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМ ТУРНИРОМ В СИМПЛЕКСЕ S4 Как было отмечено выше, любая грань Sm-1 инвариантна относительно вольтерровского оператора V, причем сужение V на эту грань также является оператором вольтерровского вида. Пусть Γα - некоторая грань Sm-1, Vα - сужение V на Γα и Aα - кососимметрическая матрица, которая получается из A заменой всех aki нулями при (k,i) ∈/ α × α. Введем обозначения: . Согласно доказанной выше лемме, Pα и Qα состоят из единственной неподвижной точки, причем возможны случаи, когда Pα = Qα. Пример. В случае транзитивного турнира с тремя вершинами (см. рис. 3) имеем: 1) если α = {1,2}, то Pα = e1,Qα = e2; 2) если α = {1,2,3}, то Pα = e1, Qα = e3; 3) если α = {3}, то Pα = Qα = e3 при любых коэффициентах aki. В случае циклического турнира с тремя вершинами (см. рис. 4) имеем: РИС. 3 РИС. 4 1) если α = {2,3}, то Pα = e2,Qα = e3; 2) если α = {1,2,3}, то Pα = Qα есть внутренняя неподвижная точка. Множество всех неподвижных точек {x ∈ Sm-1 : V x = x} оператора V изобразим в виде точек на плоскости, затем для каждого α ⊂ I неподвижную точку Pα соединим дугой с неподвижной точкой Qα, направленной из Pα в Qα. Полученный ориентированный граф назовем картой неподвижных точек оператора V и обозначим через GV . Легко заметить, что в случае транзитивных турниров карта неподвижных точек GV совпадает с исходным турниром. Содержательные примеры карт неподвижных точек начинаются с m 5. Далее мы изучим случай, когда m = 5. Как известно (см. [18]), при m = 5 существуют 12 попарно неизоморфных турниров, причем 6 из них являются сильными. Однородных турниров с 5 вершинами существуют 4, причем один из них является транзитивным. В случае транзитивных турниров любая траектория вольтерровского оператора сходится к одной из вершин симплекса. Рассмотрим оставшиеся три однородных турнира с 5 вершинами. Пусть T5 имеет вид, как на рис. 5. Тогда соответствующий вольтерровский оператор представляется равенствами: , где коэффициенты Как видно из рис. 5, T5 имеет три циклические тройки . Пусть α = {1,2,5}, β = {1,3,5}, γ = {1,4,5}. Они определяют следующие неподвижные точки: , РИС. 5 . Для этих неподвижных точек строим функции ϕα(x) = (xa17 · xa24 · xa51)a1+a14+a7 , ϕβ(x) = (x1a9 · x3a4 · xa52)a2+a14+a9, 1 ϕγ(x) = (xa110 · xa44 · xa53)a3+a4+a10 . Следующее неравенство , где и , называется неравенством Юнга [11]. Используя неравенство Юнга, получим следующие оценки: , для всех x ∈ S4, где 1 1 1 δα = , δβ = , δγ = , a1 + a4 + a7 a2 + a4 + a9 a3 + a4 + a10 Δ1 = a2a7 + a4a5 - a1a9, Δ2 = a3a7 + a4a6 - a1a10, Δ3 = a3a9 + a4a8 - a2a10. Карта неподвижных точек имеет вид, как на рис. 6. Направления на дугах, соединяющих неподвижные точки x(α), x(β) и x(γ), определяются знаками чисел Δ1, Δ2, Δ3. Отметим, что Δ21, Δ22, Δ23 суть миноры четвертого порядка матрицы A. Так как A - кососимметрическая матрица общего положения, то . Например, если Δ1 > 0, Δ2 > 0, то ϕα(x) является функцией Ляпунова для оператора V. Если Δ1 · Δ2 < 0, Δ1 · Δ3 > 0, Δ2 · Δ3 < 0, то V имеет еще одну неподвижную точку внутри симплекса S4. Вообще говоря, асимптотическое поведение траекторий оператора V и расположение множества предельных точек ω(x0) зависят от знаков Δ1, Δ2 и Δ3. РИС. 6 В рассматриваемом случае либо одна и только одна из функций ϕα, ϕβ, ϕγ является функцией Ляпунова для вольтерровского оператора, либо существует неподвижная точка, являющаяся внутренней для S4, которая порождает функцию Ляпунова. Следующие два однородных турнира с 5 вершинами имеют вид, как на рис. 7. В случае рис. 7.a) существуют 4 циклические тройки, а в случае рис. 7.б) - 5 циклических троек. РИС. 7 Построение карты неподвижных точек проводится аналогичным образом. Отметим свойства карт неподвижных точек вольтерровских операторов с однородным турниром: 1) Существует только лишь одна вершина (=неподвижная точка), в которую нет входящих дуг, причем она определяет функцию Ляпунова. 2) В карте неподвижных точек могут быть соединены дугой только лишь неподвижные точки с одинаковым числом ненулевых координат. В настоящее время следующие задачи остаются нерешенными: 1) Если подтурнир, соответствующий трем вершинам Sm-1, является сильным, то грань, натянутая на эти вершины, имеет внутреннюю неподвижную точку. Однако имеются примеры, когда T5 - сильный, но соответствующая грань не имеет внутренних неподвижных точек. Известно [18], что если T2k+1 - сильный, то существует подтурнир T2k-1, который также является сильным. Верно ли, что из существования неподвижной точки с 2k +1 ненулевыми координатами следует существование неподвижной точки с 2k - 1 ненулевыми координатами? 2) Для вольтерровских операторов, как правило, множество предельных точек траектории бесконечно. Верно ли, что из |ω(x0)| = ∞ следует, что предел средних по Чезаро не существует?