Функтор идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем и открытые отображения

Аннотация

В работе показано, что функтор идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем, действующий в категории тихоновских пространств и их непрерывных отображений, является нормальным. Установлено, что этот функтор монодичен. Далее, доказано, что функтор идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем сохраняет открытость непрерывных отображений тихоновских пространств.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 2. Конструкция функтора Iβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 3. Категорные свойства функтора Iβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 4. О монаде, порожденной функтором Iβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 5. Функтор Iβ и открытые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 1. ВВЕДЕНИЕ Традиционную математику над числовыми полями можно трактовать как квантовую науку. Имеется и ее «классический аналог»- идемпотентная математика, т. е. математика над полуполями (и полукольцами) с идемпотентным сложением. Для идемпотентных полуполей выполнены все стандартные аксиомы, кроме наличия вычитания; вместо этого выполняется свойство идемпотентности сложения: x + x = x. Типичным примером является алгебра Max-Plus, состоящая из вещественных чисел (и символа «минус бесконечность», играющего роль нуля) и имеющая операцию maximum в качестве сложения и обычное сложение в качестве (нового) умножения. Напомним [15], что множество S называется полукольцом, если в нем определены две операции: ⊕ - сложение и - умножение, удовлетворяющие следующим условиям: • сложение ⊕ и умножение ассоциативны; • сложение ⊕ коммутативно; • умножение дистрибутивно относительно сложения ⊕: и для всех x, y, z ∈ S. Единицей полукольца S называется такой элемент для всех x ∈ S. Нулем полукольца S называется такой элемент для всех x ∈ S. Полукольцо S называется идемпотентным полукольцом, если x ⊕ x = x для всех x ∈ S. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 693 (Идемпотентное) полукольцо S с элементами 0 и 1 называется (идемпотентным) полуполем, если для любого ненулевого элемента множества S существует обратный элемент. Изложим деквантование Маслова. Пусть R = (-∞,+∞) - поле вещественных чисел и R+ = [0,+∞) - полуполе неотрицательных вещественных чисел (относительно обычных операций сложения и умножения). Рассмотрим отображение Φh: R → S = R ∪ {-∞}, определенное равенством Φh(x) = hln x, h > 0. (1.1) Перенесем обычные операции сложения и умножения из R в S с помощью отображения Φh. Пусть u = Φh(x) = hln x, v = Φh(y) = hln y. Тогда , Положим, т. е. Образ Φh(0) = -∞ обычного нуля 0 является нулем 0 и образ Φh(1) = 0 обычной единицы 1 - единицей 1 в S относительно этих операций. Таким образом, S приобретает структуру полукольца R(h), изоморфного R+. Непосредственная проверка показывает, что u⊕hv → max{u, v} при h → 0. Несложно проверить, что S образует полукольцо относительно сложения u ⊕ v = max{u, v} и умножения с нулевым элементом 0 = -∞ и единицей 1 = 0. Обозначим это полукольцо через Rmax; оно является идемпотентным полуполем. Переход из R(h) к предельному состоянию Rmax при h → 0 и процедура квантования аналогичны. Здесь параметр h играет роль постоянной Планка. Поэтому полуполе R+ =∼ R(h) рассматривают как «квантовый» объект, а Rmax - как результат его деквантования. Изложенный переход из R+ к Rmax называется деквантованием Маслова. Идемпотентная математика продвинута весьма далеко (в частности, построен идемпотентный функциональный анализ [15]) и имеет многочисленные приложения (в особенности в задачах оптимизации и оптимального управления [12, 13]). В традиционной математике идемпотентной вероятностной мере соответствует вероятностная мера. Понятие идемпотентной меры (меры Маслова) находит многочисленные применения в различных областях математики, математической физики и экономики. В частности, такие меры возникают в задачах динамической оптимизации [11]. Аналогия между интегрированием Маслова и оптимизацией отмечена также в [14]. Однако, как показывают результаты работ [4, 6], для доказательства аналогичных результатов для вероятностных мер и идемпотентных вероятностных мер требуются различные друг от друга методы. В [23] утверждается, что использование мер Маслова для моделирования неопределенности в математической экономике может быть настолько же релевантным, насколько и использование классической теории вероятностей. В работе [22] Е. Щепин ввел понятие нормального функтора в категории компактов и их непрерывных отображений. А.Ч. Чигогидзе в работе [21] предложил построения конструкции продолжений нормальных функторов F : Comp → Comp до ковариантного функтора Fβ : Tych → Tych с сохранением нормальности. В работе [9] были установлены категорные свойства функтора I : Comp → Comp идемпотентных вероятностных мер на категории компактов и их непрерывных отображений. В отличие от случая (обычных) вероятностных мер, рассмотрению которых посвящена обширная литература (см. [18]), геометрические и топологические свойства пространств идемпотентных мер до недавнего времени практически не были исследованы. В связи с этим последнее время появились работы [5-8, 10, 26] по идемпотентным вероятностным мерам. Далеко идущее продвижение в этом направлении наблюдалось в [28]. В работе [27] установлены варианты основных принципов функционального анализа для слабо аддитивных функционалов, и тем самым обобщено некоторые результаты из [14]. В настоящей работе рассмотрим распространение функтора идемпотентных вероятностных мер на категорию Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Детально обсуждены плотные подмножества пространства идемпотентных вероятностных мер, и полученные результаты применены при доказательствах основных достижений работы. Установлено, что функтор Iβ идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем, действующий в категории тихоновских пространств и их непрерывных отображений, является нормальным. Показано, что функтор Iβ может быть включен в монаду. Доказано, что функтор идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем сохраняет открытость непрерывных отображений тихоновских пространств. Стоить отметить, что в данной работе предложен новый метод, сильно отличающийся от методов, изложенных в [1]. 2. КОНСТРУКЦИЯ ФУНКТОРА Iβ Пусть X - компактное Хаусдорфово пространство (далее, для краткости, компакт), C(X) - банахова алгебра непрерывных функций на X с обычными алгебраическими операциями и supнормой. На C(X) операции определим по правилам где ϕ, ψ ∈ C(X). Напомним, что функционал μ: C(X) → R называется идемпотентной вероятностной мерой [9] на X, если он обладает следующими свойствами: (1) μ(λX) = λ для всех λ ∈ R, где λX - постоянная функция; для всех λ ∈ R и ϕ ∈ C(X); (3) μ(ϕ ⊕ ψ) = μ(ϕ) ⊕ μ(ψ) для всех ϕ, ψ ∈ C(X). Для компакта X обозначим через I(X) множество всех идемпотентных вероятностных мер на X. Предложение 2.1. Идемпотентная вероятностная мера непрерывна. Доказательство. Отметим сначала, что всякая идемпотентная вероятностная мера μ: C(X) → R сохраняет порядок, т. е. неравенство влечет. Действительно, так как неравенство справедливо тогда и только тогда, когда ϕ ⊕ ψ = ψ, то имеем . Кроме того, свойство (2) означает, что всякая идемпотентная вероятностная мера μ: C(X) → R слабо аддитивна, т. е. μ(ϕ + λX) = μ(ϕ) + λ для всех ϕ ∈ C(X) и λ ∈ R. Пусть теперь ϕ, ψ ∈ C(X) - функции такие, что для некоторого ε > 0. Тогда -εX < ψ - ϕ < εX, ϕ - εX < ψ < ϕ + εX, μ(ϕ) - ε < μ(ψ) < μ(ϕ) + ε, |μ(ψ) - μ(ϕ)| < ε. Предложение 2.1 доказано. Ясно, что I(X) является подмножеством пространства RC(X). Рассмотрим I(X) как подпространство пространства RC(X) - тихоновского произведения числовых прямых. Базу окрестностей идемпотентной вероятностной меры μ ∈ I(X) относительно индуцированной из RC(X) в I(X) топологии образуют множества вида - | , где ϕi ∈ C(X), i = 1, ..., n, ε > 0. Таким образом, индуцированная топология и топология поточечной сходимости на I(X) совпадают. Для компакта X топологическое пространство I(X), снабженное топологией поточечной сходимости, является компактом [9]. Пусть X, Y - компакты, f : X → Y - непрерывное отображение. Определим отображение I(f): I(X) → I(Y ) по формуле I(f)(μ)(ψ) = μ(ψ ◦ f). Так как композиция непрерывных отображений непрерывна, то из предложения 2.1 вытекает, что отображение I(f) непрерывно. Таким образом, конструкция I переводит компакты в компакты и непрерывные отображения- в непрерывные, т. е. I образует функтор, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений. Более того, конструкция I является нормальным функтором [9]. Для идемпотентной вероятностной меры μ ∈ I(X) определен ее носитель: suppμ = ∩{F : F замкнуто в X и μ ∈ I(F)}. Для компакта X и целого положительного числа n определим следующее множество: . Положим . Пусть X - тихоновское пространство, β X - его стоун-чеховское компактное расширение. Положим Iβ(X) = {μ ∈ I(β X) : suppμ ⊂ X}. Ясно, что имеет место Предложение 2.2. Подпространство Iβ(X) компакта I(β X) является тихоновским пространством. Отметим, что для непрерывного отображения f : X → Y тихоновских пространств X и Y определено (единственное) продолжение β f : β X → β Y отображения f. Предложение 2.3. Для каждой пары тихоновских пространств X и Y и непрерывного отображения f : X → Y имеет место Iβ(f)(Iβ(X)) ⊂ Iβ(Y ). Доказательство. Пусть μ ∈ Iβ(X) и ϕ ∈ Cb(Y ). Имеем Iβ(f)(μ)(ϕ) = I(β f)(μ)(ϕ˜) = μ(ϕ˜◦β f) = (так как suppμ ⊂ X) = μ((ϕ˜ ◦ β f)|X) = μ(ϕ ◦ f), где ϕ˜ ∈ C(β Y ) - продолжение ϕ ∈ Cb(Y ). Следовательно, Iβ(f)(μ) сосредоточена на f(X) ⊂ Y. Предложение 2.3 доказано. Если X и Y - тихоновские пространства, и f : X → Y - непрерывное отображение, то положим Iβ(f) = I(β f) | Iβ(X). (2.1) Предложение 2.4. Отображение Iβ(f), определенное равенством (2.1), непрерывно. Доказательство вытекает из определения. Для того, чтобы установить категорные свойства продолжения Iβ функтора идемпотентных вероятностных мер на категорию Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений, приведем следующие понятия. Пусть C - две категории. Отображение , переводящее объекты в объекты, а морфизмы в морфизмы, называется ковариантным функтором из категории C в категории C, если: F1) для всякого морфизма f : X → Y из категории C морфизм F(f) действует из F(X) в F(Y ); F2) F(idX) = idF(X) для всякого X ∈ O; F3) F(f ◦ g) = F(f) ◦ F(g) для любых морфизмов f и g из M. Предложение 2.5. Конструкция Iβ является ковариантным функтором в категории Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Доказательство. Из предложения 2.2 вытекает, что Iβ удовлетворяет условию F1). Покажем, что Iβ сохраняет композицию отображений. Пусть X, Y, Z - тихоновские пространства и f : X → Y, g: Y → Z - непрерывные отображения. Пусть μ ∈ Iβ(X) и ϕ ∈ Cb(Z). Тогда Iβ(g ◦ f)(μ)(ϕ) = μ(ϕ ◦ (g ◦ f)) = μ((ϕ ◦ g) ◦ f) = Iβ(f)(μ)(ϕ ◦ g) = (Iβ(g)Iβ(f)(μ))(ϕ), т. е. Iβ(g ◦ f) = Iβ(g) ◦ Iβ(f). Пусть idX : X → X - тождественное отображение, т. е. idX(x) = x для всех x ∈ X. Тогда Iβ(idX)(μ)(ϕ) = μ(ϕ ◦ idX) = μ(ϕ), т. е. Iβ(idX) = idIβ(X) . Предложение 2.5 доказано. Итак, нами построен функтор Iβ, действующий в категории тихоновских пространств и их непрерывных отображений, Этот функтор называется функтором идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем. 3. КАТЕГОРНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКТОРА Iβ Для тихоновского пространства X и положительного целого n аналогично определим множество и положим . Напомним, что функционал δx : C(β X) → R, определенный по формуле δx(ϕ) = ϕ(x), ϕ ∈ C(β X), называется мерой Дирака. Каждая мера Дирака δx является идемпотентной вероятностной мерой с носителем supp δx = {x}, где x ∈ X. Далее в работе всюду плотное подмножество заданного пространства для краткости будем называть как плотное подмножество. Предложение 3.1. Если Y плотно в компакте X, то Iβ,ω(Y ) плотно I(X). Доказательство. Известно [9], что Iω(X) плотно в I(X). Поэтому достаточно проверить, что Iβ,ω(Y ) плотно в Iω(X). Возьмем произвольную меру μ ∈ Iω(X) и ее базисную окрестность . Поскольку Y плотно в X, то существуют точки y1 ... ys такие, что |ϕi(xj) - ϕi(yj)| < ε для всех i = 1 ... k; j = 1 ... s. Кроме того, существуют неположительные числа, такие, что = 1 ... s. Теперь, как легко видеть, имеем ν = λ1 δy1 ⊕λ2 δy2 ⊕···⊕λs δys ∈μ;ϕ1, ...,ϕk;ε∩Iβ,ω(X). Предложение 3.1 доказано. Следствие 3.1. Если Y плотно в компакте X, то Iω(Y ) и Iβ(Y ) плотны в I(X). Предложение 3.2. Если Y плотно в тихоновском пространстве X, то Iβ,ω(Y ) плотно в Iβ(X). Доказательство. Пусть bX - произвольное компактное расширение пространства X. Тогда Y, будучи плотным в X, плотно в компакте bX. По предложению 2.1 множество Iβ,ω(Y ) плотно в компакте I(bX). Но Iβ,ω(X) ⊂ Iβ(X) ⊂ I(bX). Следовательно, Iβ,ω(Y ) плотно в пространстве Iβ(X). Предложение 3.2 доказано. Следствие 3.2. Для любого тихоновского пространства X множество Iβ,ω(X) всюду плотно в Iβ(X). Пусть X - тихоновское пространство, bX - его некоторое компактное расширение. Тогда Ib(X) = {μ ∈ I(bX) : suppμ ⊂ X} = {μ ∈ I(β X) : suppμ ⊂ X} = Iβ(X), т. е. Iβ(X) = Ib(X). Предложение 3.3. Функтор Iβ сохраняет вес бесконечных тихоновских пространств, т. е. для любого бесконечного тихоновского пространства X имеет место равенство w(Iβ(X)) = w(X). Доказательство. Ясно, что отображение δ: X → Iβ(X), определенное по формуле δ(x) = δx, x ∈ X, есть вложение тихоновского пространства X в Iβ(X). В самом деле, δx ∈ Iβ(X), так как suppδx = {x} ⊂ X. Поэтому. Обратно, пусть. Известно, что существует компактное расширение bX пространства X такое, что w(bX) = w(X). Следовательно, из [9, предложение 12] имеем w(I(bX)) = w(bX) = τ. Но, Ib(X) ⊂ I(bX), поэтому, т. е. Предложение 3.3 доказано. Предложение 3.4. Iβ - мономорфный функтор, т. е. Iβ сохраняет инъективность отображений тихоновских пространств. Доказательство. Пусть. Из мономорфности функтора I (см. [9]) вытекает, что. В силу определения функтора Iβ получим, что , т. е.. Предложение 3.4 доказано. Пусть X и Y - тихоновские пространства. Напомним, что вложение i: X → Y называется [19] C ∗-вложением, если всякая функция ϕ ∈ Cb(X) продолжается до некоторой функции ϕ˜ ∈ Cb(Y ). Предложение 3.5. Функтор Iβ : Tych → Tych переводит C ∗-вложение во вложения. Доказательство. Для каждого инъективного отображения f : X → Y инъективность отображения Iβ(f): Iβ(X) → Iβ(Y ) была установлена в предложении 3.4. Пусть f : X → Y - топологическое C ∗-вложение тихоновского пространства X в тихоновское пространство Y и β f : β X → β Y - его стоун-чеховская компактификация. Тогда в силу непрерывности отображения I(β f): I(β X) → I(β Y ), отображение Iβ(f) непрерывно как его сужение. По условию β Y вложено в β X. Поскольку функтор I сохраняет вложений, то отображение I(β f) - вложение. Поэтому отображение I(β f)-1 также непрерывно, и следовательно, Iβ(f)-1 = I(β f)-1|I(β f)(Iβ(X)) непрерывно. Предложение 3.5 доказано. Предложение 3.6. Пусть f : X → Y - непрерывное отображение и образ f(X) всюду плотен в Y. Тогда образ Iβ(f)(Iβ(X)) всюду плотен в Iβ(Y ). Доказательство. Образ Iβ(f)(Iβ(X)) содержит множество Iω(f(X)) = {μ ∈ I(β Y ) : |suppμ| < ∞ и suppμ ⊂ f(X)}, которое всюду плотно в Iβ(Y ) ⊂ I(β Y ). Предложение 3.6 доказано. Предложение 3.7. Функтор Iβ : Tych → Tych сохраняет a) точку, b) пустое множество. Доказательство. a) Пусть x ∈ X ⊂ β X. Ясно, что δx ∈ Iβ(X), так как supp δx = {x} ⊂ X. Для любой точки y ∈ β X \ X имеем supp δy = {y} ⊂ β X \ X. Поэтому . Следовательно, если X = {x} - одноточечное множество, то Iβ(X) = I(X) = I({x}) = {δx}. b) Пусть X = ∅. Тогда β X = ∅ и C(β X) = ∅. следовательно, RC(β X) = R∅ = ∅. Из того, что Iβ(X) ⊂ RC(β X) получим, что Iβ(∅) ⊂ RC(β X) = ∅, т. е. Iβ(∅) = ∅. Предложение 3.7 доказано. Доказательство следующего утверждения вытекает из определения. Это утверждение отличается от компактного случая тем, что в компактном случае оно выполнено только для замкнутых подмножеств. Предложение 3.8. Если A - произвольное подмножество тихоновского пространства X, то Iβ(A) ⊂ Iβ(X). Более того, Iβ(A) = {μ ∈ Iβ(X) : suppμ ⊂ A}. Предложение 3.9. Если f : X → Y - совершенное отображение между тихоновскими пространствами и B ⊂ Y, то Iβ(f-1(B)) = Iβ(f-1)(Iβ(B)). Доказательство. Пусть μ ∈ Iβ(f-1(B)). Тогда μ ∈ I(β X) и suppμ ⊂ f-1(B). Следовательно, f(suppμ) ⊂ B или, что то же самое, (β f)(suppμ) ⊂ B. Поэтому из предложения 3.8 имеем suppI(β f)(μ) ⊂ B. Но I(β f)(μ) = Iβ(f)(μ). Следовательно, Iβ(f)(μ) ∈ Iβ(B). Наоборот, пусть μ ∈ Iβ(f)-1(Iβ(B)). Тогда Iβ(f)(μ) = I(β f)(μ) ∈ Iβ(B), т. е. suppI(β f)(μ) ⊂ B. Следовательно, согласно предложению 3.8 имеем (β f)(suppμ) ⊂ B. Это означает, что suppμ ⊂ (β f)-1(B). Но по теореме А.Д. Тайманова [16] для совершенного отображения f : X → Y и произвольного B ⊂ Y имеет место равенство (β f)-1(B) = f-1(B). Следовательно, suppμ ⊂ f-1(B), откуда μ ∈ Iβ(f-1(B)). Предложение 3.9 доказано. Пусть {Xα, pβα;A} - обратный спектр, индексированный элементами множества A и состоящий из тихоновских пространств. Через lim Xα обозначим предел этого спектра, а через pα : lim Xα → - предельные проекции, α ∈ A. Обратный спектр порождает обратный спектр {Iβ(Xα), Iβ(pαα ); A}, предел которого обозначим через lim Iβ(Xα), а предельные проекции через prα : lim Iβ(Xα) → Iβ(Xα). Отображения Iβ(pα): Iβ(lim Xα) → Iβ(Xα) порождают отображение R: Iβ(lim Xα) → lim Iβ(Xα), α ∈ A. Известно, что если все Xα - компакты, то отображение R - гомеоморфизм [9]. Для тихоновского случая имеет место следующее утверждение. Предложение 3.10. Отображение R: Iβ(lim Xα) → lim Iβ(Xα) является вложением. Доказательство. Пусть {Xα, Pαβ; A} - спектр тихоновских пространств. Рассмотрим стоун-чеховское продолжение {β Xα, β Pαβ; A} спектра {Xα, Pαβ; A}. Отметим, что lim Xα вкладывается в lim β Xα. Согласно непрерывности функтора I : Comp → Comp соответствующее отображение R: I(lim β Xα) → lim I(β Xα) является гомеоморфизмом. Поскольку функтор Iβ сохраняет вложение (предложение 3.4), то отображение R: Iβ(lim Xα) → lim Iβ(Xα) вкладывается в гомеоморфизм R и является вложением. Предложение 3.10 доказано. Отметим, что для всякой пары F, K непересекающихся C ∗-вложенных подмножеств тихоновского пространства X имеет место [F]β X ∩ [K]β X = ∅, где [Y ]β X - замыкание подмножества Y ⊂ X в β X. Каждое C ∗-вложенное подмножество замкнуто. Предложение 3.11. Функтор Iβ сохраняет пересечение C ∗-вложенных множеств, т. е. для любой пары C ∗-вложенных подмножеств A и B тихоновского пространства X имеет место Iβ(A ∩ B) = Iβ(A) ∩ Iβ(B). Доказательство. Пусть X - тихоновское пространство и A, B - C ∗-вложенные подмножества пространства X. Так как функтор I сохраняет пересечение [9], то имеем Iβ(A) ∩ Iβ(B) = {μ ∈ I([A]β X) : supp μ ⊂ A} ∩ {μ ∈ I([B]β X) : supp μ ⊂ B} = = {μ ∈ I([A]β X) ∩ I([B]β X) : supp μ ⊂ A и μ ⊂ B} = = {μ ∈ I([A]β X ∩ [B]β X) : supp μ ⊂ A ∩ B} = Iβ(A ∩ B). Предложение 3.11 доказано. Предложение 3.12. Если f : X → Y -совершенное отображение между тихоновскими пространствами, то отображение Iβ(f): Iβ(X) → Iβ(Y ) также совершенно. Доказательство. По теореме А.Д. Тайманова [16] имеем X = β f-1(Y ). Тогда по предложению 2.3 имеем Iβ(X) = I(β f)-1(Iβ(Y )), следовательно, отображение Iβ(f) совершенно как ограничение совершенного отображения Iβ(β f): Iβ(β X) → Iβ(β Y ) на полный прообраз Iβ(β f)(-1)(Iβ(Y )) = Iβ(X). Предложение 3.12 доказано. Определение 3.1. Ковариантный функтор F : Tych → Tych называется нормальным, если он удовлетворяет следующим условиям: функтор F непрерывен, сохраняет вес, вложения, пересечения, прообразы, точку, пустое множество и переводит к-накрывающие отображения в сюръекцию [1]. Напомним, что непрерывное отображение f : X → Y называется к-накрывающим, если для любого компакта B ⊂ Y существует такой компакт A ⊂ X, что f(A) = B. Всякое совершенное отображение является к-накрывающим. Таким образом, получен следующий результат. Теорема 3.1. Функтор Iβ : Tych → Tych является нормальным. 4. О МОНАДЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ФУНКТОРОМ Iβ Понятие монады введено С. Эйленбергом и Дж. Муром в связи теорией сопряженных функторов. Определение 4.1 (см. [24]). Монадой (или тройкой) на категории C называется тройка T = (T, δ, ψ), состоящая из ковариантного функтора T и естественных преобразований δ: Id → T (единица) и ψ: T2 → T (умножение), для которых выполняются условия: ψX ◦ T(δX) = ψX ◦ δT(X) = idT(X) . Функтор T, который может быть включен в тройку T, называется монадичным в категории C. В работе [9] М. Заричный показал, что функтор I: Comp → Comp идемпотентных вероятностных мер, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений, порождает монаду в этой категории. Установим, что его распространение Iβ на категорию тихоновских пространств и их непрерывных отображений также включается в монаду. Для тихоновских пространств X, Y через jXY : Iβ(X) × Y → Iβ(X × Y ) обозначим отображение, определяемое следующим образом: jXY (ν, y) = Iβ(iy)(ν), где ν ∈ Iβ(X), y ∈ Y и iy : X → X × Y - вложение в качестве слоя: iy(x) = (x,y),x ∈ X. Предложение 4.1. Отображение jXY является замкнутым вложением. Доказательство. Пусть X, Y - тихоновские пространства и β X, β Y - их стоун-чеховские расширения. Из [2, предложение 1.12] и [25, теорема 2] следует, что отображение jβ Xβ Y : I(β X) × β Y → I(β X × β Y ) является вложением компактов. Очевидно, что jXY (Iβ(X) × Y ) = jβ Xβ Y (Iβ(X) × Y ) = jβ Xβ Y (I(β X) × β Y ) ∩ (Iβ(X) × Y ). Предложение 4.1 доказано. Следствие 4.1. Функтор Iβ сохраняет гомотопии, т. е. для любой гомотопии H(·) = {Ht : X → Y |t ∈ [0, 1]} семейство Iβ(H)(·) = {Iβ(H)t : Iβ(X) → Iβ(Y )|t ∈ [0, 1]}, где Iβ(H)t = Iβ(Ht) ◦ jX[0, 1], является гомотопией и непрерывно как отображение Iβ(H)(·) : Iβ(X) × [0, 1] → Iβ(Y ). Доказательство. Пусть H(·): X × [0, 1] → Y - гомотопия. Тогда Iβ(H)(·) является непрерывным отображением как композиция Iβ(H)(·) = Iβ(H(·)) ◦ jX[0, 1] непрерывных отображений jX[0, 1] : Iβ(X) × [0, 1] → Iβ(X × [0, 1]) и Iβ(H(·)): Iβ(X × [0, 1]) → Iβ(Y ). Следствие 4.1 доказано. Отметим, что для ϕ ∈ C(Y ) имеем Iβ(H)(t)(μ)(ϕ) = Iβ(H)(·)(μ,t)(ϕ) = Iβ(H(·)) ◦ jX[0, 1](μ,t)(ϕ) = = Iβ(H(·)) ◦ Iβ(it)(μ)(ϕ) = Iβ(it)(μ)(ϕ ◦ H(·)) = μ(ϕ ◦ H(·) ◦ it) = = μ(ϕ ◦ H(·) ◦ it(x)) = μ(ϕ ◦ H(·)(x,t)) = μ(ϕ ◦ Ht(x)) = μ(ϕ ◦ Ht), т. е. Iβ(H)(t)(μ)(ϕ) = μ(ϕ ◦ Ht). Пусть - два ковариантных функтора из категории C = {O, M} в категорию C. Семейство морфизмов называется естественным преобразованием функтора F1 в функтор F2, если для всякого морфизма f : X → Y категории C коммутативна диаграмма ϕX F1(X) -→ F2(X) ↓ F1(f) ↓ F2(f) ϕY F1(Y ) -→ F2(Y ). Для каждого тихоновского пространства X через δX : X → Iβ(X) обозначим отображение, ставящее в соответствии каждой точке x ∈ X функционал Дирака δ(x), сосредоточенный в точке x. Через expβ(X) принято обозначать пространство непустых компактных подмножеств тихоновского пространства X, снабженное топологией Вьеториса. Известно [17], что конструкция expβ взятия компактных подмножеств является ковариантным функтором в категории тихоновских пространств. Для F ∈ expβ X положим. Предложение 4.2. Семейство морфизмов Ф = {ϕX : expβ(X) → Iβ(X)|X ∈ Tych} является естественным преобразованием функтора expβ в функтор Iβ. Более того, каждая компонента ϕX является замкнутым вложением пространства expβ(X) в Iβ(X). Доказательство. Для установления первой части леммы нам следует показать коммутативность диаграммы expβ(X) -ϕ→X Iβ(X) ↓ expβ(f) ↓ Iβ(f) expβ(Y ) -ϕ→Y Iβ(Y ). Пусть F ∈ expβ X. По определению имеем. Далее, для произвольной функции ψ ∈ C(Y ) имеем . С другой стороны, . Таким образом, в силу произвольности множества F и функции ψ, имеем Iβ(f) ◦ ϕX = ϕY ◦ expβ(f), т. е. рассматриваемая диаграмма коммутативна. Пусть F1, F2 ∈ expβ X - различные множества. Предположим, что. Пусть x ∈ F1\F2. Так как F2 - компакт, не содержащий x, то существует непрерывная функция ζ ∈ Cb(X) такая, что ζ(x) = 1 и ζ(y) = 0 для всех y ∈ F2. Имеем, т. е. отображение ϕX инъективно. В работе [20] было показано, что для любого компакта Z топология Вьеториса на expZ и топология поточечной сходимости на ϕZ(expZ) совпадают. Отсюда, в частности, вытекает, что ϕX - вложение. Теперь покажем, что ϕX(expβ X) замкнуто в Iβ(X). Пусть μ ∈ Iβ(X) \ ϕX(expβ X). Так как идемпотентные вероятностные меры с конечным носителем всюду плотны в Iβ(X), то можно предполагать, что μ - мера с конечным носителем. Поскольку μ /∈ ϕX(expβ X), то идемпотентную вероятностную меру μ нельзя представить в виде . Другими словами, существует точка такая, что в представлении идемпотентной вероятностной меры μ, где, коэффициент отрицателен. Рассмотрим функцию и окрестность. Очевидно, что окрестность не пересекается с ϕX(expβ X). Предложение 4.2 доказано. Предложение 4.3. Семейство δ = {δX : X ∈ Tych} определяет естественное преобразование тождественного функтора Id: Tych → Tych в функтор Iβ : Tych → Tych, причем каждая компонента δX : X → Iβ(X) является замкнутым вложением. Доказательство. Легко проверить, что δ = {δX : X ∈ Tych} - естественное преобразование функтора Id в функтор Iβ. То, что каждое отображение δX : ,X → Iβ(X) является замкнутым вложением, следует из теоремы 1.14 в [17, ], которая гласит, что X замкнуто в expβ X, и предложения 4.2. Предложение 4.3 доказано. Для функтора Iβ умножение ψX : Iβ2(X) → Iβ(X) определим по формуле ψX(α)(ϕ) = α(ϕ˜), где α ∈ Iβ2(X), ϕ ∈ C(X), а ϕ˜: Iβ(X) → R - непрерывная функция, определимая формулой ϕ˜(μ) = μ(ϕ), μ ∈ Iβ(X). Теорема 4.1. Тройка образует монаду в категории Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Доказательство. В работе [9] было показано, что функтор I: Comp → Comp образует монаду в категории Comp. Поэтому достаточно доказать, что для каждого тихоновского пространства X имеют место включения δβ X(X) ⊂ Iβ(X) и ψβ X(Iβ2(X)) ⊂ Iβ(X), где δβ X и ψβ X - компоненты естественных преобразований, входящих в тройку. Из предложения 4.3 вытекает, что δβX(X) ⊂ Iβ(X). Для доказательства включения ψβX(Iβ2(X)) ⊂ Iβ(X) предположим, что α ∈ Iβ2(X) ⊂ Iβ2(β X). Тогда supp α ⊂ Iβ(X). Пусть ϕ ∈ Cb(X). Обозначим через ϕ˜ продолжение ϕ на βX. Имеем (ψX(α)(ϕ) = α(ϕ˜) = α(ϕ˜| supp α) =(поскольку supp α ⊂ Iβ(X)) = α(ϕ˜|Iβ(X)). Так как всякая функция f ∈ Cb(Z) пространства Z представима в виде f = (f(z))z∈Z, то α(ϕ˜|Iβ(X)) = α((ϕ˜(μ))μ∈Iβ(X)) = α((μ(ϕ))μ∈Iβ(X)). Следовательно, supp ψX(α) ⊂ X. Теорема 4.1 доказана. 5. ФУНКТОР Iβ И ОТКРЫТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ При доказательстве основного результата будем использовать следующие две леммы, доказанные в [3]. Лемма 5.1. Пусть f : X → Y - непрерывное отображение, y0 ∈ Y и ϕ ∈ Cb(Y ). Тогда существует функция ψ ∈ Cb(Y ) такая, что . Лемма 5.2. Пусть f : X → Y - непрерывное отображение, y0 ∈ Y и ν ∈ Iβ такие, что Iβ(f)(ν) = δy0. Тогда для любой ϕ ∈ Cb(X) такой, что (соответственно, при x ∈ f-1(y0), имеем (соответственно,. Напомним, что подмножество A пространства I(X) является max-plus-выпуклым, если для каждой пары μ, ν ∈ A имеем. Предложение 5.1. Для отображения f : X → Y компактов и всякой меры ν ∈ I(X) прообраз I(f)-1(ν) является max-plus-выпуклым множеством в I(X). Доказательство. Пусть μ1, μ2 ∈ I(f)-1(ν). Тогда для всякой пары α, β ∈ Rmax с α⊕β = 1 и для каждой ψ ∈ C(Y ) имеем , т. е. Следовательно, . Предложение 5.1 доказано. Взяв одноточечное множество Y, из предложений 3.7 и 5.1 извлекаем следующее утверждение. Следствие 5.1. Множество Iβ(X) является max-plus-выпуклым подмножеством тихоновского произведения RCb(X). Пусть f : X → Y - непрерывное отображение и→ R (соответственно, ϕ∗ϕ: Y∈ →Cb(X), определенную правилом). Через ϕ∗ (соответственно,ϕ∗(yϕ) =∗) обозначим функцию ϕ∗ : Y R (соответственно,). Известно, что если f - открытое отображение, то функции ϕ∗ и ϕ∗ непрерывны. Теорема 5.1. Пусть f : X → Y - непрерывное отображение тихоновских пространств. Отображение Iβ(f): Iβ(X) → Iβ(Y ) открыто тогда и только тогда, когда f открыто. Доказательство. Пусть f : X → Y - такое отображение, что отображение Iβ(f): Iβ(X) → Iβ(Y ) открыто. Рассмотрим точку x0 ∈ X. Пусть y0 = f(x0). Возьмем такую ϕ ∈ Cb(X), что ϕ(x0) = 0. Положим V = {x ∈ X : -1 < ϕ(x) < 1}. Достаточно показать, что f(V ) - открытая окрестность точки y0, так как множества вида V образуют базу окрестностей точку x0. Рассмотрим открытую окрестность W = {μ ∈ Iβ(X) : -1 < μ(ϕ) < 1} функционала δx0 ∈ Iβ(X). Тогда Iβ(f)(W) - открытая окрестность функционала δy0 ∈ Iβ(Y ). Существуют функции , такие, что. Положим . Тогда G- открытая окрестность точки y0. Пусть y ∈ G - произвольная точка. Тогда δy ∈ H. Следовательно, существует μ ∈ Iβ(X) такая, что μ ∈ W и Iβ(f)(μ) = δy. Согласно условиям, имеем -1 < μ(ϕ) < 1. Поскольку каждая идемпотентная вероятностная мера является сохраняющим порядок функционалом, то μ сохраняет порядок, поэтому существует x ∈ f-1(y) такая, что -1 < ϕ(x) < 1. Таким образом, G ⊂ f(V ) и, следовательно, f открыто. Пусть теперь f : X → Y - открытое отображение. Предположим, что Iβ(f) не открыто. Тогда существуют: 1) идемпотентная мера μ0 ∈ Iβ(X), 2) сеть идемпотентных мер {να} ⊂ Iβ(X), сходящаяся к ν0 = Iβ(f)(μ0), и 3) окрестность W идемпотентной меры μ0 такие, что для каждого α. Поскольку Iω(Y ) всюду плотно в Iβ(Y ), то можно предполагать, что все функционалы να сосредоточены на конечных множествах. Пусть . Так как I(β X) - компакт и функция I(β f) непрерывна, то сеть [Aα] сходится к по топологии Вьеториса в exp I(β X). Кроме того, из непрерывности отображения I(β f) вытекает, что [A0] ⊂ I(β f)-1(ν0) и μ0 ∈ [A0] (нарушено условие 3)). Ясно, если μ0 ∈/ [A0], то для каждой μ ∈ [A0] существует ϕμ ∈ Cb(X) =∼ C(β X) такая, что. Согласно предположению, для каждого α существует конечное множество {yα1 ... yαnα} такое, что να ∈ I ({yα1 ... yαnα}). Для каждого yαi можно выбрать xαi ∈ X такие, что f (xαi) = yαi и ϕ(xαi) = ϕ∗ (yαi), μ ∈ [A]. Определим вложение jα : {yα1 ... yαnα} → X по правилу jα(yαi) = xαi и пусть μα = I(jα)(να). Легко видеть, что ϕ = ϕ∗ ◦ f = ϕ∗ ◦ β f на каждом конечном {yα1 ... yαnα}. Поэтому μα(ϕ) = μα (ϕ∗ ◦ f) = μα (ϕ∗ ◦ β f) = I(β f)(μα)(ϕ∗) = να(ϕ∗) для каждого α. Пусть μ1 - предел сети (μα). Тогда μ1 ∈ [A] и μ1(ϕ) = limμα(ϕ) = limμα (ϕ∗ ◦ β f) = limI(β f)(μα)(ϕ∗) = limνα(ϕ∗) = ν0(ϕ∗), ϕ ∈ C(X). α α α α С другой стороны, ν0(ϕ∗) = I(β f)(μ0)(ϕ∗) = μ0(ϕ∗ ◦ β f). Таким образом, μ1(ϕ) = μ0(ϕ∗ ◦ β f) (5.1) для каждого ϕ ∈ C(X). Аналогично, μ1(ϕ) = μ0(ϕ∗ ◦ β f) для каждого ϕ ∈ C(X). Пусть функция ϕμ1 ∈ C(X) такая, что. Предположим, что в силу равенства (5.1) имеем μ0(ϕμ1). Аналогично, можно показать, что предположение μ0(ϕμ1) < μ1(ϕμ1) также не верно. Таким образом, получили противоречие, которое показывает, что Iβ(f) открыто. Теорема 5.1 доказана.