Functor of Idempotent Probability Measures with Compact Support and Open Mappings

Abstract

In this paper, we show that the functor of idempotent probability measures with compact support acting in the category of Tikhonov spaces and their continuous mappings is normal. It is found that this functor is monodic. Further, it is proved that the functor of idempotent probability measures with compact support preserves the openness of continuous mappings of Tikhonov spaces.

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 2. Конструкция функтора Iβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 3. Категорные свойства функтора Iβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 4. О монаде, порожденной функтором Iβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 5. Функтор Iβ и открытые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 1. ВВЕДЕНИЕ Традиционную математику над числовыми полями можно трактовать как квантовую науку. Имеется и ее «классический аналог»- идемпотентная математика, т. е. математика над полуполями (и полукольцами) с идемпотентным сложением. Для идемпотентных полуполей выполнены все стандартные аксиомы, кроме наличия вычитания; вместо этого выполняется свойство идемпотентности сложения: x + x = x. Типичным примером является алгебра Max-Plus, состоящая из вещественных чисел (и символа «минус бесконечность», играющего роль нуля) и имеющая операцию maximum в качестве сложения и обычное сложение в качестве (нового) умножения. Напомним [15], что множество S называется полукольцом, если в нем определены две операции: ⊕ - сложение и - умножение, удовлетворяющие следующим условиям: • сложение ⊕ и умножение ассоциативны; • сложение ⊕ коммутативно; • умножение дистрибутивно относительно сложения ⊕: и для всех x, y, z ∈ S. Единицей полукольца S называется такой элемент для всех x ∈ S. Нулем полукольца S называется такой элемент для всех x ∈ S. Полукольцо S называется идемпотентным полукольцом, если x ⊕ x = x для всех x ∈ S. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 693 (Идемпотентное) полукольцо S с элементами 0 и 1 называется (идемпотентным) полуполем, если для любого ненулевого элемента множества S существует обратный элемент. Изложим деквантование Маслова. Пусть R = (-∞,+∞) - поле вещественных чисел и R+ = [0,+∞) - полуполе неотрицательных вещественных чисел (относительно обычных операций сложения и умножения). Рассмотрим отображение Φh: R → S = R ∪ {-∞}, определенное равенством Φh(x) = hln x, h > 0. (1.1) Перенесем обычные операции сложения и умножения из R в S с помощью отображения Φh. Пусть u = Φh(x) = hln x, v = Φh(y) = hln y. Тогда , Положим, т. е. Образ Φh(0) = -∞ обычного нуля 0 является нулем 0 и образ Φh(1) = 0 обычной единицы 1 - единицей 1 в S относительно этих операций. Таким образом, S приобретает структуру полукольца R(h), изоморфного R+. Непосредственная проверка показывает, что u⊕hv → max{u, v} при h → 0. Несложно проверить, что S образует полукольцо относительно сложения u ⊕ v = max{u, v} и умножения с нулевым элементом 0 = -∞ и единицей 1 = 0. Обозначим это полукольцо через Rmax; оно является идемпотентным полуполем. Переход из R(h) к предельному состоянию Rmax при h → 0 и процедура квантования аналогичны. Здесь параметр h играет роль постоянной Планка. Поэтому полуполе R+ =∼ R(h) рассматривают как «квантовый» объект, а Rmax - как результат его деквантования. Изложенный переход из R+ к Rmax называется деквантованием Маслова. Идемпотентная математика продвинута весьма далеко (в частности, построен идемпотентный функциональный анализ [15]) и имеет многочисленные приложения (в особенности в задачах оптимизации и оптимального управления [12, 13]). В традиционной математике идемпотентной вероятностной мере соответствует вероятностная мера. Понятие идемпотентной меры (меры Маслова) находит многочисленные применения в различных областях математики, математической физики и экономики. В частности, такие меры возникают в задачах динамической оптимизации [11]. Аналогия между интегрированием Маслова и оптимизацией отмечена также в [14]. Однако, как показывают результаты работ [4, 6], для доказательства аналогичных результатов для вероятностных мер и идемпотентных вероятностных мер требуются различные друг от друга методы. В [23] утверждается, что использование мер Маслова для моделирования неопределенности в математической экономике может быть настолько же релевантным, насколько и использование классической теории вероятностей. В работе [22] Е. Щепин ввел понятие нормального функтора в категории компактов и их непрерывных отображений. А.Ч. Чигогидзе в работе [21] предложил построения конструкции продолжений нормальных функторов F : Comp → Comp до ковариантного функтора Fβ : Tych → Tych с сохранением нормальности. В работе [9] были установлены категорные свойства функтора I : Comp → Comp идемпотентных вероятностных мер на категории компактов и их непрерывных отображений. В отличие от случая (обычных) вероятностных мер, рассмотрению которых посвящена обширная литература (см. [18]), геометрические и топологические свойства пространств идемпотентных мер до недавнего времени практически не были исследованы. В связи с этим последнее время появились работы [5-8, 10, 26] по идемпотентным вероятностным мерам. Далеко идущее продвижение в этом направлении наблюдалось в [28]. В работе [27] установлены варианты основных принципов функционального анализа для слабо аддитивных функционалов, и тем самым обобщено некоторые результаты из [14]. В настоящей работе рассмотрим распространение функтора идемпотентных вероятностных мер на категорию Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Детально обсуждены плотные подмножества пространства идемпотентных вероятностных мер, и полученные результаты применены при доказательствах основных достижений работы. Установлено, что функтор Iβ идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем, действующий в категории тихоновских пространств и их непрерывных отображений, является нормальным. Показано, что функтор Iβ может быть включен в монаду. Доказано, что функтор идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем сохраняет открытость непрерывных отображений тихоновских пространств. Стоить отметить, что в данной работе предложен новый метод, сильно отличающийся от методов, изложенных в [1]. 2. КОНСТРУКЦИЯ ФУНКТОРА Iβ Пусть X - компактное Хаусдорфово пространство (далее, для краткости, компакт), C(X) - банахова алгебра непрерывных функций на X с обычными алгебраическими операциями и supнормой. На C(X) операции определим по правилам где ϕ, ψ ∈ C(X). Напомним, что функционал μ: C(X) → R называется идемпотентной вероятностной мерой [9] на X, если он обладает следующими свойствами: (1) μ(λX) = λ для всех λ ∈ R, где λX - постоянная функция; для всех λ ∈ R и ϕ ∈ C(X); (3) μ(ϕ ⊕ ψ) = μ(ϕ) ⊕ μ(ψ) для всех ϕ, ψ ∈ C(X). Для компакта X обозначим через I(X) множество всех идемпотентных вероятностных мер на X. Предложение 2.1. Идемпотентная вероятностная мера непрерывна. Доказательство. Отметим сначала, что всякая идемпотентная вероятностная мера μ: C(X) → R сохраняет порядок, т. е. неравенство влечет. Действительно, так как неравенство справедливо тогда и только тогда, когда ϕ ⊕ ψ = ψ, то имеем . Кроме того, свойство (2) означает, что всякая идемпотентная вероятностная мера μ: C(X) → R слабо аддитивна, т. е. μ(ϕ + λX) = μ(ϕ) + λ для всех ϕ ∈ C(X) и λ ∈ R. Пусть теперь ϕ, ψ ∈ C(X) - функции такие, что для некоторого ε > 0. Тогда -εX < ψ - ϕ < εX, ϕ - εX < ψ < ϕ + εX, μ(ϕ) - ε < μ(ψ) < μ(ϕ) + ε, |μ(ψ) - μ(ϕ)| < ε. Предложение 2.1 доказано. Ясно, что I(X) является подмножеством пространства RC(X). Рассмотрим I(X) как подпространство пространства RC(X) - тихоновского произведения числовых прямых. Базу окрестностей идемпотентной вероятностной меры μ ∈ I(X) относительно индуцированной из RC(X) в I(X) топологии образуют множества вида - | , где ϕi ∈ C(X), i = 1, ..., n, ε > 0. Таким образом, индуцированная топология и топология поточечной сходимости на I(X) совпадают. Для компакта X топологическое пространство I(X), снабженное топологией поточечной сходимости, является компактом [9]. Пусть X, Y - компакты, f : X → Y - непрерывное отображение. Определим отображение I(f): I(X) → I(Y ) по формуле I(f)(μ)(ψ) = μ(ψ ◦ f). Так как композиция непрерывных отображений непрерывна, то из предложения 2.1 вытекает, что отображение I(f) непрерывно. Таким образом, конструкция I переводит компакты в компакты и непрерывные отображения- в непрерывные, т. е. I образует функтор, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений. Более того, конструкция I является нормальным функтором [9]. Для идемпотентной вероятностной меры μ ∈ I(X) определен ее носитель: suppμ = ∩{F : F замкнуто в X и μ ∈ I(F)}. Для компакта X и целого положительного числа n определим следующее множество: . Положим . Пусть X - тихоновское пространство, β X - его стоун-чеховское компактное расширение. Положим Iβ(X) = {μ ∈ I(β X) : suppμ ⊂ X}. Ясно, что имеет место Предложение 2.2. Подпространство Iβ(X) компакта I(β X) является тихоновским пространством. Отметим, что для непрерывного отображения f : X → Y тихоновских пространств X и Y определено (единственное) продолжение β f : β X → β Y отображения f. Предложение 2.3. Для каждой пары тихоновских пространств X и Y и непрерывного отображения f : X → Y имеет место Iβ(f)(Iβ(X)) ⊂ Iβ(Y ). Доказательство. Пусть μ ∈ Iβ(X) и ϕ ∈ Cb(Y ). Имеем Iβ(f)(μ)(ϕ) = I(β f)(μ)(ϕ˜) = μ(ϕ˜◦β f) = (так как suppμ ⊂ X) = μ((ϕ˜ ◦ β f)|X) = μ(ϕ ◦ f), где ϕ˜ ∈ C(β Y ) - продолжение ϕ ∈ Cb(Y ). Следовательно, Iβ(f)(μ) сосредоточена на f(X) ⊂ Y. Предложение 2.3 доказано. Если X и Y - тихоновские пространства, и f : X → Y - непрерывное отображение, то положим Iβ(f) = I(β f) | Iβ(X). (2.1) Предложение 2.4. Отображение Iβ(f), определенное равенством (2.1), непрерывно. Доказательство вытекает из определения. Для того, чтобы установить категорные свойства продолжения Iβ функтора идемпотентных вероятностных мер на категорию Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений, приведем следующие понятия. Пусть C - две категории. Отображение , переводящее объекты в объекты, а морфизмы в морфизмы, называется ковариантным функтором из категории C в категории C, если: F1) для всякого морфизма f : X → Y из категории C морфизм F(f) действует из F(X) в F(Y ); F2) F(idX) = idF(X) для всякого X ∈ O; F3) F(f ◦ g) = F(f) ◦ F(g) для любых морфизмов f и g из M. Предложение 2.5. Конструкция Iβ является ковариантным функтором в категории Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Доказательство. Из предложения 2.2 вытекает, что Iβ удовлетворяет условию F1). Покажем, что Iβ сохраняет композицию отображений. Пусть X, Y, Z - тихоновские пространства и f : X → Y, g: Y → Z - непрерывные отображения. Пусть μ ∈ Iβ(X) и ϕ ∈ Cb(Z). Тогда Iβ(g ◦ f)(μ)(ϕ) = μ(ϕ ◦ (g ◦ f)) = μ((ϕ ◦ g) ◦ f) = Iβ(f)(μ)(ϕ ◦ g) = (Iβ(g)Iβ(f)(μ))(ϕ), т. е. Iβ(g ◦ f) = Iβ(g) ◦ Iβ(f). Пусть idX : X → X - тождественное отображение, т. е. idX(x) = x для всех x ∈ X. Тогда Iβ(idX)(μ)(ϕ) = μ(ϕ ◦ idX) = μ(ϕ), т. е. Iβ(idX) = idIβ(X) . Предложение 2.5 доказано. Итак, нами построен функтор Iβ, действующий в категории тихоновских пространств и их непрерывных отображений, Этот функтор называется функтором идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем. 3. КАТЕГОРНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКТОРА Iβ Для тихоновского пространства X и положительного целого n аналогично определим множество и положим . Напомним, что функционал δx : C(β X) → R, определенный по формуле δx(ϕ) = ϕ(x), ϕ ∈ C(β X), называется мерой Дирака. Каждая мера Дирака δx является идемпотентной вероятностной мерой с носителем supp δx = {x}, где x ∈ X. Далее в работе всюду плотное подмножество заданного пространства для краткости будем называть как плотное подмножество. Предложение 3.1. Если Y плотно в компакте X, то Iβ,ω(Y ) плотно I(X). Доказательство. Известно [9], что Iω(X) плотно в I(X). Поэтому достаточно проверить, что Iβ,ω(Y ) плотно в Iω(X). Возьмем произвольную меру μ ∈ Iω(X) и ее базисную окрестность . Поскольку Y плотно в X, то существуют точки y1 ... ys такие, что |ϕi(xj) - ϕi(yj)| < ε для всех i = 1 ... k; j = 1 ... s. Кроме того, существуют неположительные числа, такие, что = 1 ... s. Теперь, как легко видеть, имеем ν = λ1 δy1 ⊕λ2 δy2 ⊕···⊕λs δys ∈μ;ϕ1, ...,ϕk;ε∩Iβ,ω(X). Предложение 3.1 доказано. Следствие 3.1. Если Y плотно в компакте X, то Iω(Y ) и Iβ(Y ) плотны в I(X). Предложение 3.2. Если Y плотно в тихоновском пространстве X, то Iβ,ω(Y ) плотно в Iβ(X). Доказательство. Пусть bX - произвольное компактное расширение пространства X. Тогда Y, будучи плотным в X, плотно в компакте bX. По предложению 2.1 множество Iβ,ω(Y ) плотно в компакте I(bX). Но Iβ,ω(X) ⊂ Iβ(X) ⊂ I(bX). Следовательно, Iβ,ω(Y ) плотно в пространстве Iβ(X). Предложение 3.2 доказано. Следствие 3.2. Для любого тихоновского пространства X множество Iβ,ω(X) всюду плотно в Iβ(X). Пусть X - тихоновское пространство, bX - его некоторое компактное расширение. Тогда Ib(X) = {μ ∈ I(bX) : suppμ ⊂ X} = {μ ∈ I(β X) : suppμ ⊂ X} = Iβ(X), т. е. Iβ(X) = Ib(X). Предложение 3.3. Функтор Iβ сохраняет вес бесконечных тихоновских пространств, т. е. для любого бесконечного тихоновского пространства X имеет место равенство w(Iβ(X)) = w(X). Доказательство. Ясно, что отображение δ: X → Iβ(X), определенное по формуле δ(x) = δx, x ∈ X, есть вложение тихоновского пространства X в Iβ(X). В самом деле, δx ∈ Iβ(X), так как suppδx = {x} ⊂ X. Поэтому. Обратно, пусть. Известно, что существует компактное расширение bX пространства X такое, что w(bX) = w(X). Следовательно, из [9, предложение 12] имеем w(I(bX)) = w(bX) = τ. Но, Ib(X) ⊂ I(bX), поэтому, т. е. Предложение 3.3 доказано. Предложение 3.4. Iβ - мономорфный функтор, т. е. Iβ сохраняет инъективность отображений тихоновских пространств. Доказательство. Пусть. Из мономорфности функтора I (см. [9]) вытекает, что. В силу определения функтора Iβ получим, что , т. е.. Предложение 3.4 доказано. Пусть X и Y - тихоновские пространства. Напомним, что вложение i: X → Y называется [19] C ∗-вложением, если всякая функция ϕ ∈ Cb(X) продолжается до некоторой функции ϕ˜ ∈ Cb(Y ). Предложение 3.5. Функтор Iβ : Tych → Tych переводит C ∗-вложение во вложения. Доказательство. Для каждого инъективного отображения f : X → Y инъективность отображения Iβ(f): Iβ(X) → Iβ(Y ) была установлена в предложении 3.4. Пусть f : X → Y - топологическое C ∗-вложение тихоновского пространства X в тихоновское пространство Y и β f : β X → β Y - его стоун-чеховская компактификация. Тогда в силу непрерывности отображения I(β f): I(β X) → I(β Y ), отображение Iβ(f) непрерывно как его сужение. По условию β Y вложено в β X. Поскольку функтор I сохраняет вложений, то отображение I(β f) - вложение. Поэтому отображение I(β f)-1 также непрерывно, и следовательно, Iβ(f)-1 = I(β f)-1|I(β f)(Iβ(X)) непрерывно. Предложение 3.5 доказано. Предложение 3.6. Пусть f : X → Y - непрерывное отображение и образ f(X) всюду плотен в Y. Тогда образ Iβ(f)(Iβ(X)) всюду плотен в Iβ(Y ). Доказательство. Образ Iβ(f)(Iβ(X)) содержит множество Iω(f(X)) = {μ ∈ I(β Y ) : |suppμ| < ∞ и suppμ ⊂ f(X)}, которое всюду плотно в Iβ(Y ) ⊂ I(β Y ). Предложение 3.6 доказано. Предложение 3.7. Функтор Iβ : Tych → Tych сохраняет a) точку, b) пустое множество. Доказательство. a) Пусть x ∈ X ⊂ β X. Ясно, что δx ∈ Iβ(X), так как supp δx = {x} ⊂ X. Для любой точки y ∈ β X \ X имеем supp δy = {y} ⊂ β X \ X. Поэтому . Следовательно, если X = {x} - одноточечное множество, то Iβ(X) = I(X) = I({x}) = {δx}. b) Пусть X = ∅. Тогда β X = ∅ и C(β X) = ∅. следовательно, RC(β X) = R∅ = ∅. Из того, что Iβ(X) ⊂ RC(β X) получим, что Iβ(∅) ⊂ RC(β X) = ∅, т. е. Iβ(∅) = ∅. Предложение 3.7 доказано. Доказательство следующего утверждения вытекает из определения. Это утверждение отличается от компактного случая тем, что в компактном случае оно выполнено только для замкнутых подмножеств. Предложение 3.8. Если A - произвольное подмножество тихоновского пространства X, то Iβ(A) ⊂ Iβ(X). Более того, Iβ(A) = {μ ∈ Iβ(X) : suppμ ⊂ A}. Предложение 3.9. Если f : X → Y - совершенное отображение между тихоновскими пространствами и B ⊂ Y, то Iβ(f-1(B)) = Iβ(f-1)(Iβ(B)). Доказательство. Пусть μ ∈ Iβ(f-1(B)). Тогда μ ∈ I(β X) и suppμ ⊂ f-1(B). Следовательно, f(suppμ) ⊂ B или, что то же самое, (β f)(suppμ) ⊂ B. Поэтому из предложения 3.8 имеем suppI(β f)(μ) ⊂ B. Но I(β f)(μ) = Iβ(f)(μ). Следовательно, Iβ(f)(μ) ∈ Iβ(B). Наоборот, пусть μ ∈ Iβ(f)-1(Iβ(B)). Тогда Iβ(f)(μ) = I(β f)(μ) ∈ Iβ(B), т. е. suppI(β f)(μ) ⊂ B. Следовательно, согласно предложению 3.8 имеем (β f)(suppμ) ⊂ B. Это означает, что suppμ ⊂ (β f)-1(B). Но по теореме А.Д. Тайманова [16] для совершенного отображения f : X → Y и произвольного B ⊂ Y имеет место равенство (β f)-1(B) = f-1(B). Следовательно, suppμ ⊂ f-1(B), откуда μ ∈ Iβ(f-1(B)). Предложение 3.9 доказано. Пусть {Xα, pβα;A} - обратный спектр, индексированный элементами множества A и состоящий из тихоновских пространств. Через lim Xα обозначим предел этого спектра, а через pα : lim Xα → - предельные проекции, α ∈ A. Обратный спектр порождает обратный спектр {Iβ(Xα), Iβ(pαα ); A}, предел которого обозначим через lim Iβ(Xα), а предельные проекции через prα : lim Iβ(Xα) → Iβ(Xα). Отображения Iβ(pα): Iβ(lim Xα) → Iβ(Xα) порождают отображение R: Iβ(lim Xα) → lim Iβ(Xα), α ∈ A. Известно, что если все Xα - компакты, то отображение R - гомеоморфизм [9]. Для тихоновского случая имеет место следующее утверждение. Предложение 3.10. Отображение R: Iβ(lim Xα) → lim Iβ(Xα) является вложением. Доказательство. Пусть {Xα, Pαβ; A} - спектр тихоновских пространств. Рассмотрим стоун-чеховское продолжение {β Xα, β Pαβ; A} спектра {Xα, Pαβ; A}. Отметим, что lim Xα вкладывается в lim β Xα. Согласно непрерывности функтора I : Comp → Comp соответствующее отображение R: I(lim β Xα) → lim I(β Xα) является гомеоморфизмом. Поскольку функтор Iβ сохраняет вложение (предложение 3.4), то отображение R: Iβ(lim Xα) → lim Iβ(Xα) вкладывается в гомеоморфизм R и является вложением. Предложение 3.10 доказано. Отметим, что для всякой пары F, K непересекающихся C ∗-вложенных подмножеств тихоновского пространства X имеет место [F]β X ∩ [K]β X = ∅, где [Y ]β X - замыкание подмножества Y ⊂ X в β X. Каждое C ∗-вложенное подмножество замкнуто. Предложение 3.11. Функтор Iβ сохраняет пересечение C ∗-вложенных множеств, т. е. для любой пары C ∗-вложенных подмножеств A и B тихоновского пространства X имеет место Iβ(A ∩ B) = Iβ(A) ∩ Iβ(B). Доказательство. Пусть X - тихоновское пространство и A, B - C ∗-вложенные подмножества пространства X. Так как функтор I сохраняет пересечение [9], то имеем Iβ(A) ∩ Iβ(B) = {μ ∈ I([A]β X) : supp μ ⊂ A} ∩ {μ ∈ I([B]β X) : supp μ ⊂ B} = = {μ ∈ I([A]β X) ∩ I([B]β X) : supp μ ⊂ A и μ ⊂ B} = = {μ ∈ I([A]β X ∩ [B]β X) : supp μ ⊂ A ∩ B} = Iβ(A ∩ B). Предложение 3.11 доказано. Предложение 3.12. Если f : X → Y -совершенное отображение между тихоновскими пространствами, то отображение Iβ(f): Iβ(X) → Iβ(Y ) также совершенно. Доказательство. По теореме А.Д. Тайманова [16] имеем X = β f-1(Y ). Тогда по предложению 2.3 имеем Iβ(X) = I(β f)-1(Iβ(Y )), следовательно, отображение Iβ(f) совершенно как ограничение совершенного отображения Iβ(β f): Iβ(β X) → Iβ(β Y ) на полный прообраз Iβ(β f)(-1)(Iβ(Y )) = Iβ(X). Предложение 3.12 доказано. Определение 3.1. Ковариантный функтор F : Tych → Tych называется нормальным, если он удовлетворяет следующим условиям: функтор F непрерывен, сохраняет вес, вложения, пересечения, прообразы, точку, пустое множество и переводит к-накрывающие отображения в сюръекцию [1]. Напомним, что непрерывное отображение f : X → Y называется к-накрывающим, если для любого компакта B ⊂ Y существует такой компакт A ⊂ X, что f(A) = B. Всякое совершенное отображение является к-накрывающим. Таким образом, получен следующий результат. Теорема 3.1. Функтор Iβ : Tych → Tych является нормальным. 4. О МОНАДЕ, ПОРОЖДЕННОЙ ФУНКТОРОМ Iβ Понятие монады введено С. Эйленбергом и Дж. Муром в связи теорией сопряженных функторов. Определение 4.1 (см. [24]). Монадой (или тройкой) на категории C называется тройка T = (T, δ, ψ), состоящая из ковариантного функтора T и естественных преобразований δ: Id → T (единица) и ψ: T2 → T (умножение), для которых выполняются условия: ψX ◦ T(δX) = ψX ◦ δT(X) = idT(X) . Функтор T, который может быть включен в тройку T, называется монадичным в категории C. В работе [9] М. Заричный показал, что функтор I: Comp → Comp идемпотентных вероятностных мер, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений, порождает монаду в этой категории. Установим, что его распространение Iβ на категорию тихоновских пространств и их непрерывных отображений также включается в монаду. Для тихоновских пространств X, Y через jXY : Iβ(X) × Y → Iβ(X × Y ) обозначим отображение, определяемое следующим образом: jXY (ν, y) = Iβ(iy)(ν), где ν ∈ Iβ(X), y ∈ Y и iy : X → X × Y - вложение в качестве слоя: iy(x) = (x,y),x ∈ X. Предложение 4.1. Отображение jXY является замкнутым вложением. Доказательство. Пусть X, Y - тихоновские пространства и β X, β Y - их стоун-чеховские расширения. Из [2, предложение 1.12] и [25, теорема 2] следует, что отображение jβ Xβ Y : I(β X) × β Y → I(β X × β Y ) является вложением компактов. Очевидно, что jXY (Iβ(X) × Y ) = jβ Xβ Y (Iβ(X) × Y ) = jβ Xβ Y (I(β X) × β Y ) ∩ (Iβ(X) × Y ). Предложение 4.1 доказано. Следствие 4.1. Функтор Iβ сохраняет гомотопии, т. е. для любой гомотопии H(·) = {Ht : X → Y |t ∈ [0, 1]} семейство Iβ(H)(·) = {Iβ(H)t : Iβ(X) → Iβ(Y )|t ∈ [0, 1]}, где Iβ(H)t = Iβ(Ht) ◦ jX[0, 1], является гомотопией и непрерывно как отображение Iβ(H)(·) : Iβ(X) × [0, 1] → Iβ(Y ). Доказательство. Пусть H(·): X × [0, 1] → Y - гомотопия. Тогда Iβ(H)(·) является непрерывным отображением как композиция Iβ(H)(·) = Iβ(H(·)) ◦ jX[0, 1] непрерывных отображений jX[0, 1] : Iβ(X) × [0, 1] → Iβ(X × [0, 1]) и Iβ(H(·)): Iβ(X × [0, 1]) → Iβ(Y ). Следствие 4.1 доказано. Отметим, что для ϕ ∈ C(Y ) имеем Iβ(H)(t)(μ)(ϕ) = Iβ(H)(·)(μ,t)(ϕ) = Iβ(H(·)) ◦ jX[0, 1](μ,t)(ϕ) = = Iβ(H(·)) ◦ Iβ(it)(μ)(ϕ) = Iβ(it)(μ)(ϕ ◦ H(·)) = μ(ϕ ◦ H(·) ◦ it) = = μ(ϕ ◦ H(·) ◦ it(x)) = μ(ϕ ◦ H(·)(x,t)) = μ(ϕ ◦ Ht(x)) = μ(ϕ ◦ Ht), т. е. Iβ(H)(t)(μ)(ϕ) = μ(ϕ ◦ Ht). Пусть - два ковариантных функтора из категории C = {O, M} в категорию C. Семейство морфизмов называется естественным преобразованием функтора F1 в функтор F2, если для всякого морфизма f : X → Y категории C коммутативна диаграмма ϕX F1(X) -→ F2(X) ↓ F1(f) ↓ F2(f) ϕY F1(Y ) -→ F2(Y ). Для каждого тихоновского пространства X через δX : X → Iβ(X) обозначим отображение, ставящее в соответствии каждой точке x ∈ X функционал Дирака δ(x), сосредоточенный в точке x. Через expβ(X) принято обозначать пространство непустых компактных подмножеств тихоновского пространства X, снабженное топологией Вьеториса. Известно [17], что конструкция expβ взятия компактных подмножеств является ковариантным функтором в категории тихоновских пространств. Для F ∈ expβ X положим. Предложение 4.2. Семейство морфизмов Ф = {ϕX : expβ(X) → Iβ(X)|X ∈ Tych} является естественным преобразованием функтора expβ в функтор Iβ. Более того, каждая компонента ϕX является замкнутым вложением пространства expβ(X) в Iβ(X). Доказательство. Для установления первой части леммы нам следует показать коммутативность диаграммы expβ(X) -ϕ→X Iβ(X) ↓ expβ(f) ↓ Iβ(f) expβ(Y ) -ϕ→Y Iβ(Y ). Пусть F ∈ expβ X. По определению имеем. Далее, для произвольной функции ψ ∈ C(Y ) имеем . С другой стороны, . Таким образом, в силу произвольности множества F и функции ψ, имеем Iβ(f) ◦ ϕX = ϕY ◦ expβ(f), т. е. рассматриваемая диаграмма коммутативна. Пусть F1, F2 ∈ expβ X - различные множества. Предположим, что. Пусть x ∈ F1\F2. Так как F2 - компакт, не содержащий x, то существует непрерывная функция ζ ∈ Cb(X) такая, что ζ(x) = 1 и ζ(y) = 0 для всех y ∈ F2. Имеем, т. е. отображение ϕX инъективно. В работе [20] было показано, что для любого компакта Z топология Вьеториса на expZ и топология поточечной сходимости на ϕZ(expZ) совпадают. Отсюда, в частности, вытекает, что ϕX - вложение. Теперь покажем, что ϕX(expβ X) замкнуто в Iβ(X). Пусть μ ∈ Iβ(X) \ ϕX(expβ X). Так как идемпотентные вероятностные меры с конечным носителем всюду плотны в Iβ(X), то можно предполагать, что μ - мера с конечным носителем. Поскольку μ /∈ ϕX(expβ X), то идемпотентную вероятностную меру μ нельзя представить в виде . Другими словами, существует точка такая, что в представлении идемпотентной вероятностной меры μ, где, коэффициент отрицателен. Рассмотрим функцию и окрестность. Очевидно, что окрестность не пересекается с ϕX(expβ X). Предложение 4.2 доказано. Предложение 4.3. Семейство δ = {δX : X ∈ Tych} определяет естественное преобразование тождественного функтора Id: Tych → Tych в функтор Iβ : Tych → Tych, причем каждая компонента δX : X → Iβ(X) является замкнутым вложением. Доказательство. Легко проверить, что δ = {δX : X ∈ Tych} - естественное преобразование функтора Id в функтор Iβ. То, что каждое отображение δX : ,X → Iβ(X) является замкнутым вложением, следует из теоремы 1.14 в [17, ], которая гласит, что X замкнуто в expβ X, и предложения 4.2. Предложение 4.3 доказано. Для функтора Iβ умножение ψX : Iβ2(X) → Iβ(X) определим по формуле ψX(α)(ϕ) = α(ϕ˜), где α ∈ Iβ2(X), ϕ ∈ C(X), а ϕ˜: Iβ(X) → R - непрерывная функция, определимая формулой ϕ˜(μ) = μ(ϕ), μ ∈ Iβ(X). Теорема 4.1. Тройка образует монаду в категории Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Доказательство. В работе [9] было показано, что функтор I: Comp → Comp образует монаду в категории Comp. Поэтому достаточно доказать, что для каждого тихоновского пространства X имеют место включения δβ X(X) ⊂ Iβ(X) и ψβ X(Iβ2(X)) ⊂ Iβ(X), где δβ X и ψβ X - компоненты естественных преобразований, входящих в тройку. Из предложения 4.3 вытекает, что δβX(X) ⊂ Iβ(X). Для доказательства включения ψβX(Iβ2(X)) ⊂ Iβ(X) предположим, что α ∈ Iβ2(X) ⊂ Iβ2(β X). Тогда supp α ⊂ Iβ(X). Пусть ϕ ∈ Cb(X). Обозначим через ϕ˜ продолжение ϕ на βX. Имеем (ψX(α)(ϕ) = α(ϕ˜) = α(ϕ˜| supp α) =(поскольку supp α ⊂ Iβ(X)) = α(ϕ˜|Iβ(X)). Так как всякая функция f ∈ Cb(Z) пространства Z представима в виде f = (f(z))z∈Z, то α(ϕ˜|Iβ(X)) = α((ϕ˜(μ))μ∈Iβ(X)) = α((μ(ϕ))μ∈Iβ(X)). Следовательно, supp ψX(α) ⊂ X. Теорема 4.1 доказана. 5. ФУНКТОР Iβ И ОТКРЫТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ При доказательстве основного результата будем использовать следующие две леммы, доказанные в [3]. Лемма 5.1. Пусть f : X → Y - непрерывное отображение, y0 ∈ Y и ϕ ∈ Cb(Y ). Тогда существует функция ψ ∈ Cb(Y ) такая, что . Лемма 5.2. Пусть f : X → Y - непрерывное отображение, y0 ∈ Y и ν ∈ Iβ такие, что Iβ(f)(ν) = δy0. Тогда для любой ϕ ∈ Cb(X) такой, что (соответственно, при x ∈ f-1(y0), имеем (соответственно,. Напомним, что подмножество A пространства I(X) является max-plus-выпуклым, если для каждой пары μ, ν ∈ A имеем. Предложение 5.1. Для отображения f : X → Y компактов и всякой меры ν ∈ I(X) прообраз I(f)-1(ν) является max-plus-выпуклым множеством в I(X). Доказательство. Пусть μ1, μ2 ∈ I(f)-1(ν). Тогда для всякой пары α, β ∈ Rmax с α⊕β = 1 и для каждой ψ ∈ C(Y ) имеем , т. е. Следовательно, . Предложение 5.1 доказано. Взяв одноточечное множество Y, из предложений 3.7 и 5.1 извлекаем следующее утверждение. Следствие 5.1. Множество Iβ(X) является max-plus-выпуклым подмножеством тихоновского произведения RCb(X). Пусть f : X → Y - непрерывное отображение и→ R (соответственно, ϕ∗ϕ: Y∈ →Cb(X), определенную правилом). Через ϕ∗ (соответственно,ϕ∗(yϕ) =∗) обозначим функцию ϕ∗ : Y R (соответственно,). Известно, что если f - открытое отображение, то функции ϕ∗ и ϕ∗ непрерывны. Теорема 5.1. Пусть f : X → Y - непрерывное отображение тихоновских пространств. Отображение Iβ(f): Iβ(X) → Iβ(Y ) открыто тогда и только тогда, когда f открыто. Доказательство. Пусть f : X → Y - такое отображение, что отображение Iβ(f): Iβ(X) → Iβ(Y ) открыто. Рассмотрим точку x0 ∈ X. Пусть y0 = f(x0). Возьмем такую ϕ ∈ Cb(X), что ϕ(x0) = 0. Положим V = {x ∈ X : -1 < ϕ(x) < 1}. Достаточно показать, что f(V ) - открытая окрестность точки y0, так как множества вида V образуют базу окрестностей точку x0. Рассмотрим открытую окрестность W = {μ ∈ Iβ(X) : -1 < μ(ϕ) < 1} функционала δx0 ∈ Iβ(X). Тогда Iβ(f)(W) - открытая окрестность функционала δy0 ∈ Iβ(Y ). Существуют функции , такие, что. Положим . Тогда G- открытая окрестность точки y0. Пусть y ∈ G - произвольная точка. Тогда δy ∈ H. Следовательно, существует μ ∈ Iβ(X) такая, что μ ∈ W и Iβ(f)(μ) = δy. Согласно условиям, имеем -1 < μ(ϕ) < 1. Поскольку каждая идемпотентная вероятностная мера является сохраняющим порядок функционалом, то μ сохраняет порядок, поэтому существует x ∈ f-1(y) такая, что -1 < ϕ(x) < 1. Таким образом, G ⊂ f(V ) и, следовательно, f открыто. Пусть теперь f : X → Y - открытое отображение. Предположим, что Iβ(f) не открыто. Тогда существуют: 1) идемпотентная мера μ0 ∈ Iβ(X), 2) сеть идемпотентных мер {να} ⊂ Iβ(X), сходящаяся к ν0 = Iβ(f)(μ0), и 3) окрестность W идемпотентной меры μ0 такие, что для каждого α. Поскольку Iω(Y ) всюду плотно в Iβ(Y ), то можно предполагать, что все функционалы να сосредоточены на конечных множествах. Пусть . Так как I(β X) - компакт и функция I(β f) непрерывна, то сеть [Aα] сходится к по топологии Вьеториса в exp I(β X). Кроме того, из непрерывности отображения I(β f) вытекает, что [A0] ⊂ I(β f)-1(ν0) и μ0 ∈ [A0] (нарушено условие 3)). Ясно, если μ0 ∈/ [A0], то для каждой μ ∈ [A0] существует ϕμ ∈ Cb(X) =∼ C(β X) такая, что. Согласно предположению, для каждого α существует конечное множество {yα1 ... yαnα} такое, что να ∈ I ({yα1 ... yαnα}). Для каждого yαi можно выбрать xαi ∈ X такие, что f (xαi) = yαi и ϕ(xαi) = ϕ∗ (yαi), μ ∈ [A]. Определим вложение jα : {yα1 ... yαnα} → X по правилу jα(yαi) = xαi и пусть μα = I(jα)(να). Легко видеть, что ϕ = ϕ∗ ◦ f = ϕ∗ ◦ β f на каждом конечном {yα1 ... yαnα}. Поэтому μα(ϕ) = μα (ϕ∗ ◦ f) = μα (ϕ∗ ◦ β f) = I(β f)(μα)(ϕ∗) = να(ϕ∗) для каждого α. Пусть μ1 - предел сети (μα). Тогда μ1 ∈ [A] и μ1(ϕ) = limμα(ϕ) = limμα (ϕ∗ ◦ β f) = limI(β f)(μα)(ϕ∗) = limνα(ϕ∗) = ν0(ϕ∗), ϕ ∈ C(X). α α α α С другой стороны, ν0(ϕ∗) = I(β f)(μ0)(ϕ∗) = μ0(ϕ∗ ◦ β f). Таким образом, μ1(ϕ) = μ0(ϕ∗ ◦ β f) (5.1) для каждого ϕ ∈ C(X). Аналогично, μ1(ϕ) = μ0(ϕ∗ ◦ β f) для каждого ϕ ∈ C(X). Пусть функция ϕμ1 ∈ C(X) такая, что. Предположим, что в силу равенства (5.1) имеем μ0(ϕμ1). Аналогично, можно показать, что предположение μ0(ϕμ1) < μ1(ϕμ1) также не верно. Таким образом, получили противоречие, которое показывает, что Iβ(f) открыто. Теорема 5.1 доказана.