Аналитическое детектирование в гомотопических группах гладких многообразий

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Повторное интегрирование дифференциальных форм с целью определения гомотопических клас- сов отображений впервые было использовано Уайтхедом [14] (1947 г.) для отображения многомер- ных сфер. Позднее, в начале 50-х годов прошлого века, Чен интерпретировал формулу Уайтхеда в рамках своей теории итерированных интегралов, которая сначала была развита для отображе- ний окружности в многообразия [8, 9]. Методы Уайтхеда позволили придать дифференциально- аналитическую форму топологическим конструкциям Хопфа, который построил в начале 30-х годов XX века гомотопически нетривиальное отображение (то есть отображение, негомотопное постоянному отображению) S3 в S2 с инвариантом Хопфа, равным 1. В работах Чена [8, 9] были предъявлены повторные интегралы, значения которых на заданном отображении окружности поз- воляли определить гомотопическую нетривиальность этого отображения. Было показано, что для почти любого отображения окружности с помощью итерированных интегралов можно определить гомотопическую нетривиальность этого отображения. Эти методыв последние 10-15 лет были востребованы в алгебраической геометрии в связи с изу- чением алгебро-геометрических вопросов в теории чисел. Сравнительно недавно Ю. И. Манин [12] © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2020 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 544 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 545 определил обобщенный символ Дедекинда, представив его в виде итерированного интеграла, вдоль путей, заданных геодезическими в верхней комплексной полуплоскости. Французский математик И. Марен [13] опубликовал серию своих работ, в которых занимался изучением групп кос и их нижних центральных рядов. Для получения его результатов можно также использовать методы итерированных интегралов [3]. Р. М. Хейн [6, 11] активно пользуется этим методом для описания фундаментальных свойств пространств модулей алгебраических кривых и для решения обобщен- ной проблемы Римана-Гильберта на многомерных комплексных многообразиях. Стоит отметить, что в одномерном случае метод повторных интегралов, эквивалентный методу итерированных ин- тегралов, значительно раньше был использован И. А. Лаппо-Данилевским [2] в аналитической теории дифференциальных уравнений. В работе дано краткое описание теории Чена, в рамках которой представлены формулы Уайтхе- да [14] и Хефлигера [10] для инварианта Хопфа и обобщенного инварианта Хопфа. Приведеныпри- меры вычисления этих инвариантов [8, 10] с использованием техники итерированных интегралов. Далее показано, каким образом любой элемент фундаментальной группы римановой поверхности можно детектировать, используя итерированные интегралы от голоморфных форм [15]. Это потре- бовало доказательства того, что пересечение членов нижнего центрального ряда фундаментальной группы римановой поверхности есть единичная группа. ИТЕРИРОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА Пусть X - дифференциальное пространство [8, 9]. Дифференциальная форма на таком диффе- ренциальном пространстве - это семейство форм ωU на выпуклых множествах {U }, содержащихся в Rn (в общем случае для любых n ?: 0) вместе с такими отображениями ϕU : U → X, что выполняется равенство θ∗ωV = ωU . При этом отображение θ : U → V для любых двух выпуклых множеств U и V должно делать коммутативной следующую диаграмму: ϕU -→ X θ ↓ ÷ ϕV -→ X. Далее в качестве дифференциального пространства мы будем рассматривать пространство Px0 (M )= {γ : I = [0, 1] → M, γ(0) = x0 ∈ M } - пространство кусочно-гладких путей на гладком многообразии M, начинающихся в точке x0 (см. [8, 9]). Пусть ω1, ω2,... , ωr - дифференциальные формы на многообразии M степеней p1, p2,... , pr со- ответственно. Итерированный интеграл Г ω1ω2 ··· ωr - это дифференциальная форма на диффе- n ренциальном пространстве Px0 (M ), которая определяется следующим образом. Пусть U ⊂ R - 0 некоторое выпуклое множество, содержащееся в Rn и ϕU : U → Px (M ). Зададим надстройку S(ϕU ): U × I → M по следующему правилу: S(ϕU )(ξ, t)= ϕU (ξ)(t) ∈ M, где ξ ∈ U ⊂ Rn, t ∈ I = [0, 1]. По набору форм ω1, ω2,... , ωr определим дифференциальную форму Г ω1ω2 ··· ωr на U. Рассмотрим индуцированные формы на произведении U × I, получим (S(ϕU ))∗ω1, (S(ϕU ))∗ω2, ... , (S(ϕU ))∗ωr. Каждую форму (S(ϕU ))∗ωi представляем в виде (S(ϕU ))∗ωi = fi(ξ, ti)dti ∧ ω∗ + ω∗∗, i i где ω∗ , ω∗∗ не содержат внутри себя дифференциала dti. Отбросим ω∗∗ и рассмотрим произведение i i i (f1(ξ, t1)dt1 ∧ ω∗ ) ∧ (f2(ξ, t2)dt2 ∧ ω∗ ) ∧ ··· ∧ (fr (ξ, tr )dtr ∧ ω∗ ). 1 2 r 546 И. С. ЗУБОВ Далее мы проинтегрируем данное произведение по симплексу Δr : fr \ ⎛r r ⎞ ω1ω2 ··· ωr = ⎝ ТТ f (ti)dt1 ∧ ··· ∧ dtr ⎠ ω∗ ∧ ω∗ ∧ ··· ∧ ω∗ , Δ U i=1 r 1 2 r где симплекс Δr определен следующим образом: Δr = {(t1, t2,... , tr ) ∈ Rr| 0 � t1 � t2 � ··· � tr � 1}. В результате мы определили дифференциальную форму степени p1 + p2 + ··· + pr - r на U. В частности, когда все формы ω1,... , ωr имеют степень 1, итерированный интеграл представляет собой функцию на U, то есть форму степени 0. В работах Чена [8, 9] показано выполнение условия согласованности fr \ fr θ∗ ω1 ··· ωr = V \ ω1 ··· ωr U для разных выпуклых множеств U, V и отображения θ : U → V. Таким образом, определена дифференциальная форма Г ω1 ··· ωr на дифференциальном пространстве путей Px0 (M ), которая называется итерированным интегралом от дифференциальных форм ω1,... , ωr на многообразии M. Можно определить интегрирование [8] (Г ω1 ··· ωr, Nm) формы Г ω1 ··· ωr для отображения 0 f : Nm → Px (M ) любого многообразия размерности p1 + ··· + pr - r. При этом будет выполняться равенство для 1-итерированного интеграла от формы степени p 1r \ r ω, Np-1 = ω, S(f ) где S(f ) - надстройка над отображением f, определенным выше. Заметим, что в правой части равенства стоит обычный интеграл от дифференциальной формы степени p по p-мерному много- образию. В частности, когда m = 0, Nm - это точка, обозначим ее pt. Тогда значение (Г ω1 ··· ωr, pt) для дифференциальных 1-форм представляет собой число и, как правило, обозначается r γ=f (pt) ω1 ··· ωr. Свойства итерированных интегралов от дифференцированных 1-форм. Рассмотрим свойства итерированных интегралов от 1-форм (свойства 1-6 ниже содержатся в [7]). Свойство 1. Теорема. Произведение итерированных интегралов порядка k и l равно следующей сумме итерированных интегралов порядка k + l: r r ω1 ··· ωk · r ωk+1 ··· ωk+l = ) ωσ(1) ··· ωσ(k+l), γ γ σ∈Sk,l γ где сумма берется по всем тасовкам (k, l) в группе перестановок Sn+k. Свойство 2. Рассмотрим дифференциальные формы ω1,... , ωr, определенные на Mn и путь γ : [0, 1] → Mn. Обозначим γ∗(τ )= γ(t(τ )), где t(τ ): [0, 1] → [0, 1] - некоторая замена переменной. Если функция t(τ ) монотонно возрастает, то класс эквивалентности путей с точностью до такой замены переменной называется ориентированной кривой. Имеет место свойство инвариантности при дифференцируемой монотонно возрастающей замене: r r ω1 ··· ωr = γ γ ω1 ··· ωr. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 547 Свойство 3. Определение. Напомним определение произведения двух путей α · β : [0, 1] → Mn. Пусть заданы два пути, причем конец первого совпадает с началом второго: α : [0, 1] → Mn - первый путь, β : [0, 1] → Mn - второй путь, α(1) = β(0). Произведение определяется следующими формулами: 1 (α · β)(t)= α(2t), 0 � t � 2 ; 1 (α · β)(t)= β(2t - 1), 2 � t � 1. Заметим, что если произведение путей определено, то умножение на классах эквивалентности путей является ассоциативной операцией. Теорема. Пусть α и β - два пути, для которых определено произведение γ = α · β : [0, 1] → Mn. Имеет место следующая формула для значения итерированного интеграла на произве- дении путей: Свойство 4. r γ=α·β r ω1 ··· ωr = α r-1 r ω1 ··· ωr + ) k=1 α r ω1 ··· ωk β r ωk+1 ··· ωr + β ω1 ··· ωr. Определение. Путь γ-1 определяется следующей формулой: γ-1(t)= γ(1 - t), t ∈ [0, 1]. Теорема. Обобщением свойства 2 является формула для значения r-итерированного инте- грала на обратном пути: Свойство 5. r γ-1 r ω1 ··· ωr = (-1)r γ ωr ··· ω1. Определение. Шипом называется путь вида α = γγ-1. Вставкой шипа называется представле- ние пути в виде произведения α = β1γγ-1β2. Устранение сомножителя γγ-1 называется удалением шипа. Теорема. Итерированный интеграл не зависит от вставки или удаления шипов. Свойство 6. Определение. Петлей называется путь, у которого начало и конец совпадают: γ(0) = γ(1). Обозначим Ωx0 (M ) пространство путей с начальной точкой x0. Если мы будем рассматривать петли с точностью до вставки или удаления шипов, то нетрудно заметить, что здесь имеет место отношение эквивалентности на пространстве петель. Множество классов эквивалентности является топологическим пространством относительно фактор-топологии исходной компактно-открытой топологии на пространстве петель. Обозначим полученное фактор-пространство через Ωx0 (M ). Это пространство является топологической группой относительно операции, отвечающей произ- ведению петель в исходном пространстве петель. Связная компонента единицы группы Ωx0 (M ) является нормальным делителем в ней. Фактор- группа группы Ωx0 (M ) по этому нормальному делителю является группой изоморфной фундамен- тальной группе многообразия Mn. Свойство 5 показывает, что итерированные интегралы являются непрерывными (более того, дифференцируемыми того же класса гладкости, что и рассматриваемое пространство дифференци- альных 1-форм и пространство петель) функциями на группе Ωx0 (M ). 548 И. С. ЗУБОВ Свойство 7. Мы приведем и докажем формулу для значения 2-итерированного интеграла от за- мкнутых дифференциальных 1-форм на коммутаторе петель. Эта формула имеет обобщение для значений 2-итерированных интегралов от форм степени больше 1 на произведениях Уайтхеда в гомотопических группах (см. раздел 4). Предложение. Значение 2-итерированного интеграла Г ω1ω2 на коммутаторе [α, β] = αβα-1β-1 двух петель α и β вычисляется при помощи 1-итерированных интегралов по фор- муле: r r r ω1ω2 = ω1 r r ω2 - ω1 Г ω1 ω2 = α1 Г ω2 α1 . Г ω1 Г ω2 [α,β] α β β α β1 β1 Доказательство. Для доказательства этого предложения расставим скобки в коммутаторе двух петель α и β следующим образом: [α, β]= (αβ)(α-1β-1)= (αβ)((βα)-1 ). Ранее было отмечено, что итерированный интеграл не зависит от расстановки скобок в произведе- ниях петель. Требуемое равенство мы докажем прямой выкладкой с использованием рассмотрен- ных свойств итерированных интегралов. Итак, r [α,β] ω1ω2 = r (αβ)((βα)-1 ) r ω1ω2 = αβ ω1ω2 + r (βα)-1 r ω1ω2 + αβ r ω1 (βα)-1 ω2 = r r = ω1ω2 + α β r r ω1ω2 + ω1 α β r ω2 + βα ω2ω1 - ! r r - ω1 + α β r r \! r ω1 α r r ω2 + β r \ ω2 = r = ω1ω2 + α β ω1ω2 + ω1 α β ω2 + β ω2ω1 + r r r + ω2ω1 + ω1 ! r ω2 - r ω1 + \! r ω1 r ω2 + \ ω2 = α α β α β α β ! r r \ ! r r \ = ω1ω2 + α α ω2ω1 + ω1ω2 + β β ω2ω1 + r r + ω1 α β r r ω2 + ω1 α β ! r ω2 - α r ω1 + β \! r ω1 α r ω2 + β \ ω2 = r r = ω1 α α r r ω2 + ω1 β β r r ω2 + ω1 α β r r ω2 + ω1 α β ω2 - ! r r - ω1 + α β \! r ω1 α r ω2 + β \ r r ω2 = ω1 α β r r ω2 - ω1 β α ω2. Свойство доказано. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 549 Свойство 8. Значение 2-итерированного интеграла Г ω1ω2 для произведения нескольких комму- таторов петель m γ = ТТ[αi, βi] i=1 равно сумме значений 2-итерированных интегралов на коммутаторных сомножителях, то есть: r m r ω1ω2 = ) ω1ω2. m Гl [αi,βi] i=1 i=1[αi,βi] Используя предыдущее свойство, мы можем получим, что 2-итерированный интеграл равен сумме выражений коммутаторного типа r m ! r r ω1ω2 = ) ω1 m i=1 α β r r ω2 - ω1 β α \ ω2 . Гl [αi,βi] i=1 Свойство 9. Одно из наиболее важных свойств итерированных интегралов связано с их диффе- ренцированием. Для итерированных интегралов и их дифференциалов имеет место формула Сток- са, играющая важную роль при доказательстве гомотопической инвариантности итерированных интегралов. Итерированные интегралы от 1-форм являются функциями на пространстве петель Ωx0 (M n) с заданной начальной точкой x0 на многообразии M n n. Другими словами, они являются дифференциальными 0-формами на Ωx0 (M ). Итак, мы имеем: 0 x0 Предложение. Для итерированных интегралов от дифференциальных 1-форм на простран- стве петель Ωx M = Px0 (M ) имеется формула для дифференцирования [6, 8]: r q r d ω1 ··· ωq = - ) i=1 ω1 ··· ωi-1dωiωi+1 ... ωq - и формула Стокса q-1 r - )(-1)i i=1 ω1 ··· ωi- 1(ωi ∧ ωi+1 )ωi+2 ··· ωq, (∗) r ! r d C \ r ! r ω1 ··· ωq = ∂C \ ω1 ··· ωq r = C(1) ω1 ··· ωq - r C(0) ω1 ··· ωq, x0 Px1 где C : [0; 1] → Px1 (M ) - путь, представляющий собой сингулярный симплекс в пространстве x0 (M ). Этот симплекс определяет гомотопию между путями γ1 и γ2. C(0) = γ1 и C(1) = γ2 x0 в пространстве путей Px1 (Xn). Определение. Линейная комбинация итерированных интегралов, дифференциал от которой ра- вен нулю, называется гомотопическим периодом. Обозначим векторное пространство итерированных интегралов на M длины не более s через Bs(M ). Обозначим постоянный путь в точке x на M через ηx (то есть ηx(t)= x для всех t). Если r ?: 1, то 1r \ ω1 ... ωr, ηx =0 для всех x ∈ M. Таким образом, значение на постоянном пути ηx определяет линейный функционал o : Bs(M ) → R, I → (I, ηx), который не зависит от x. Если r I = λ + ) ai r ωi + ) aij ωiωj + ··· , 550 И. С. ЗУБОВ то ε(I) = λ. Обозначим ядро отображения ε через Bε(M ). Имеются итерированные интегралы длины � s с нулевой постоянной. Имеется естественное включение i : R → Bs(M ), такое что ε ◦ i = id. В результате у нас есть естественное разложение прямой суммы Bs(M ) ∼= R ⊕ Bs(M ). Для петель α, β ∈ P (M ) в точке x можно рассмотреть коммутатор [α, β]= αβα-1β-1. Довольно часто постоянную петлю ηx на x обозначают 1. Для путей αηx и ηxα и итерированного интеграла I имеет место равенство I(α)= I(αηx)= I(ηxα). Напомним, что классический криволинейный интеграл удовлетворяет следующим условиям: 1r \ ω, [α, β] = 0, где α и β - петли в точке x. Детектирование - это нахождение такого итерированного интегра- ла, который на петле, представляющий какой-то нетривиальный элемент фундаментальной груп- пы, не обращается в ноль. Тем самым показывает, что этот элемент не может быть тривиальным, то есть гомотопным постоянной петле. Интеграл от коммутатора всегда равен нулю, поэтому 1-итерированные интегралы не годятся для детектирования нетривиальных коммутаторов в фун- даментальной группе. Если I - итерированный интеграл порядка r и r < s, то (I, [α1[α2[... [αs] .. .]]]) = 0. Итерированный интеграл порядка r < s не детектирует коммутаторы порядка не ниже, чем s. Свойства итерированных интегралов от дифференцированных форм произвольной степени. Пусть ω1, ω2,... , ωr - дифференциальные формы степеней deg ωi = pi на компактном замкнутом многообразии Mn. Итерированный интеграл Г ω1 ··· ωr будет дифференциальной фор- x0 мой степени p1 +p2 +·· ·+pr -r на пространстве путей P (M ). Если зафиксированыначальная точка x0 и конечная точка x1, то пространство путей обозначим Px1 (M ). Если x0 = x1, то мыимеем про- странство петель Ωx0 (M ), которое является подмножеством пространства путей Ωx0 (M ) ⊂ P (M ). Предложение. Для итерированных интегралов от дифференциальных форм произвольной степени имеет место формула дифференцирования [6, 8], обобщающая формулу дифференци- рования итерированных интегралов от дифференциальных 1-форм: r r r d ω1ω2 ··· ωr = )(-1)i i=1 Jω1 ··· Jωi- 1dωiω i+1 ··· ωr ) r-1 - Jω1 i=1 ··· Jωi-1 (Jωi ∧ ω i+1 )ωi+2 ··· ωr, где Jωi = (-1)deg ωi · ωi. В этом общем случае имеет место аналог формулы Стокса [6, 8] для итерированных инте- гралов на пространстве петель Ωx0 (M ). Запись формулы Стокса можно представить следу- ющим образом: r r < d ω1ω2 ··· ωr,C >=< ω1ω2 ··· ωr, ∂C >, где C = Nm - многообразие с краем, m = p1 + p2 + ··· + pr - r + 1. ФОРМУЛА УАЙТХЕДА ДЛЯ ИНВАРИАНТА ХОПФА В этом разделе мы перепишем формулу Уайтхеда для инварианта Хопфа в терминах итериро- ванных интегралов, которые были определены в предыдущем разделе. Для этого мы перейдем от пространства путей Px0 (M ) к пространству петель x0 Ωx0 (M )= Px0 (M ) ⊂ Px0 (M ). Пусть M - гладкое ориентированное многообразие размерности n, и f - гладкое отображение f : S2n-1 → Mn, АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 551 ωn - форма старшей степени, задающая ориентацию на многообразии. Формула Уайтхеда для ин- варианта Хопфа отображения f выглядит следующим образом [14]: r где dψ = ωn. h(f )= S2n-1 f ∗ωn ∧ ψ, Теорема. Правую часть в формуле Уайтхеда мы можем записать в терминах итерирован- ных интегралов следующим образом: 1r \ ωnωn, S2n-2 r = S2n-1 f ∗ωn ∧ ψ, 0 где левая часть определена с помощью отображения g : S2n-2 → Ωx Mn, надстройка S(g) которого совпадает с f, то есть S(g)= f. Значит, инвариант Хопфа определяется значением итерированного интеграла 1r h(f )= \ ωnωn, S2n-2 . Более подробно опишем, что такое отображение g. Отображение g - это распетливание отображения f, то есть для x ∈ S2n-2 значение петли g(x)(t) в точке t определяется равен- n ством g(x)(t)= f (x, t). Итак, g(x) ∈ Ωx0 M . ПРОИЗВЕДЕНИЕ УАЙТХЕДА И ТЕОРЕМА ХЕФЛИГЕРА Определим произведение Уайтхеда. Пусть Dn - набор векторов в Rn, каждый из которых имеет длину, не превышающую 1. Граница диска представляет сферу на единицу меньшей размерности ∂Dn = Sn-1. Пусть X - топологическое пространство с отмеченной точкой x0. Определение. Возьмем два непрерывных отображения fi : (Dpi , ∂Dpi ) → (X, x0), i = 1, 2. Произведение Уайтхеда отображений f1 и f2 представляет собой отображение [f1, f2] границы произведения дисков ∂(Dp1 × Dp2 ) в топологическое пространство X по следующему правилу: ([f1, f2](x1, x2)= f1(x1) при x2 ∈ ∂Dp2 , [f1, f2](x1, x2)= [f1, f2](x1, x2)= f2(x2) при x1 ∈ ∂Dp1 . При этом отображения fi представляют элементы ϕi гомотопических групп πpi (M, x0). Заметим, что гомотопический класс [ϕ1, ϕ2] ∈ πp1+p2-1(M, x0)[f1, f2] зависит только от ϕ1 и ϕ2 и называется произведением Уайтхеда ϕ1 и ϕ2. Отметим, что ко- гда размерности сфер равны единице, то отображения f1 и f2 представляют элементы ϕ1 и ϕ2 в фундаментальной группе многообразия. В этом случае произведение Уайтхеда [ϕ1, ϕ2] как го- мотопический класс отображения совпадает с коммутатором этих элементов в фундаментальной группе [ϕ1, ϕ2]= ϕ1ϕ2ϕ-1ϕ-1. 1 2 Дифференциальные формы можно использовать для детектирования произведения Уайтхеда. Пусть ω1 и ω2 - две формы на дифференцируемом многообразии M, имеющие степени p1 и p2 соответственно, каждая из которых больше 1. Предположим, что dω1 = dω2 =0 и ω1 ∧ ω2 = 0. Для гладкого отображения f : Sp1+p2-1 → M и формы f ∗ω1 степени p1 < p1 + p2 - 1 имеется такая форма α1, что dα1 = f ∗ω1. Определим обобщенный инвариант Хопфа для сферы Sp1+p2-1 в гладкое многообразие M r hf (ω1, ω2)= 1r α1 ∧ f ∗ω2 = \ ω1ω2, Sp1+p2-2 . Sp1+p2-1 552 И. С. ЗУБОВ Последнее выражение представляет обобщенный инвариант Хопфа hf (ω1, ω2) в терминах 2-ите- рированных интегралов Чена. Отметим, что обобщенный инвариант Хопфа не зависит от выбора дифференциальной формы α1, делающей ω1 точной, и зависит только от гомотопического класса отображения f. Это число определяет гомоморфизм πp1+p2-1(M ) в R. Если hf (ω1, ω2) ◦= 0, то отображение f представляет ненулевой элемент гомотопической группы πp1+p2-1(M ). Сформулируем теорему Хефлигера [10] о значении обобщенного инварианта Хопфа на произве- дении Уайтхеда двух отображений сфер. Однако перепишем формулу из этой теоремыв терминах итерированных интегралов. Пусть f = [f1, f2] - произведение Уайтхеда 2-х отображений сфер Spi , pi > 1, i = 1, 2. Теорема. Пусть ω1 и ω2 - две замкнутые дифференциальные формы на гладком многообра- зии M и ω1 ∧ ω2 = 0. Пусть fi : (Spi , yi) → (M, x0) - гладкие отображения сфер размерностей p1, p2, представляющие элементы гомотопических групп πpi (M, x0), i = 1, 2. Тогда для произведения Уайтхеда f = [f1, f2] имеет место формула вычисления обобщенного инварианта Хопфа где hf (ω1, ω2)= ω1(f1)ω2(f2)+ (-1)p1 p2 ω1(f2)ω2(f1), 1r ωi(fj )= \ ωi, Spj -1 . Здесь Г ωi является 1-итерированным интегралом от формы ωi, интегрирование которого 0 осуществляется для отображения в gj : Spj -1 → Ωx (M ) (где gj - распетливание отображе- ния fj ). Отметим, что для случая, когда p1 = p2 = 1, эта формула также имеет место. Так как произ- ведение Уайтхеда для p1 = p2 = 1 совпадает с коммутатором петель, то в этом случае формула из теоремы выше совпадает со значением 2-итерированного интеграла на коммутаторе петель, указанном в свойстве 7 итерированных интегралов (см. раздел 2). ДЕТЕКТИРОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ Примеры. Сначала приведем два примера для отображения многомерных сфер, который можно найти в работах [4, 10, 14]. Пример 1. Пусть M = Sn, ω - n-форма на Sn, такая что Г Sn ω = 1. Пусть f - гладкое отобра- жение степени 1 диска Dn на сферу Sn, при котором граница диска ∂Dn отображается в точку. Тогда (0, n - нечетное, h[f,f ](ω, ω)= 2, n - четное. Такой результат следует из теоремы Хефлигера, так как r r f ∗ω = Dn Sn ω = 1. Пример 2. Пусть M - дополнение к точкам (1, 0, 0) и (-1, 0, 0) в R3. Тогда M ретрагируется на букет 2-х сфер S+ и S- радиусов 1 с центрами (1, 0, 0) и (-1, 0, 0). + Пусть ω∗ - 2-форма на S+, чей носитель содержится в малой окрестности точки (2, 0, 0). При этом r ω∗ + = 1. S+ Пусть ω+ можно представить как индуцированную 2-форму ρ∗ ω∗ , где ρ∗ - радиальная ретракция M на S+. + + + АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 553 Значит, ω+ - замкнутая 2-форма, чей носитель содержится в полуплоскости x1 > 0. Аналогич- ные рассуждения проведем для ω- с использованием симметрии относительно плоскости x1 = 0. Так как носители форм не пересекаются, то ω+ ∧ ω- = 0. 2 Пусть i+ и i- - два естественных вложения S в M с образами S+ и S-. Мыхотим показать, что их произведение Уайтхеда [i+, i-] представляет собой нетривиальный элемент в гомотопической группе π3(M )= π(S2 ∨ S2). Так как r r ω+ = S+ S- то ω- =1 и r ω- = 0, S+ - h[i+ ,i ](ω+, ω-)= 1. Аналогичные примеры можно сконструировать для отображения в букеты сфер больших раз- мерностей Sp1 и Sp2 , pi > 1 (см. [10]). Детектирование нетривиальных петель на римановых поверхностях. Здесь мы рас- смотрим проблему детектирования гомотопически нетривиальных петель на римановых поверхно- стях [15]. Мыбудем детектировать, используя итерированные интегралы Чена только от голоморф- ных или мероморфных 1-форм на римановых поверхностях, которые являются гомотопическими периодами. Гомотопическая нетривиальность петель на римановых поверхностях определяется ненулевыми значениями гомотопических периодов на этих петлях. Напомним, что гомотопическими периода- ми являются итерированные интегралы от голоморфных или мероморфных форм, которые зависят только от гомотопического класса петель. Таким образом, гомотопический период корректно опре- делен на элементе фундаментальной группы, который соответствует петле. Гомотопические пери- оды определяют функции на фундаментальной группе римановой поверхности. Мы рассмотрим римановы поверхности, у которых фундаментальная группа является группой с конечным чис- лом образующих и конечным числом соотношений (конечно представленные группы). Мы опишем некоторые свойства фундаментальной группы таких римановых поверхностей. Предложение. Пересечение членов нижнего центрального ряда конечно представленной фундаментальной группы римановой поверхности является единичной группой. Доказательство. Если риманова поверхность C не компактна, то ее фундаментальная группа является свобод- ной группой π1(C, x0)= Fn, n > 0 с конечным числом образующих: ∞ (1 ΓkFn = {e}. k=1 Если риманова поверхность является компактной, то ее фундаментальная группа является или тривиальной группой G = {e}, или группой с конечным числом образующих и одним соотноше- нием. Удалим одну точку из такой римановой поверхности C, т. е. X = C\{x}. Фундаментальная группа получившейся поверхности X будет свободной группой F2g, где g - это род C. Вложение i : X → C индуцирует эпиморфизм фундаментальных групп π1(X) → π1(C) → 1 и эпиморфизм их нижних центральных рядов Γkπ1(X) → Γkπ1(C) → 1, k = 1, 2,... Из факта пересечения следует, что ∞ (1 Γkπ1(X)= {e} k=1 ∞ (1 Γkπ1(C)= {e}. k=1 554 И. С. ЗУБОВ Таким образом, для конечно представленной фундаментальной группы римановой поверхности π1(C) пересечение членов нижнего центрального ряда является тривиальным. Итак, для компактной римановой поверхности группа π1(C) имеет тривиальное пересечение членов нижнего центрального ряда ∞ (1 Γkπ1(C)= {e}. k=1 Значит, для каждого нетривиального элемента g фундаментальной группы π1(C) существует максимальное натуральное число r, для которого g имеет ненулевой образ в фактор-группе Γr (C)/Γr+1(C). Выберем систему канонических петель a1,... , ag , b1,... , bg на C. Затем вдоль этих петель раз- режем C и превратим эту риманову поверхность в 2g-многоугольник. Мы можем выбрать кано- ническую систему петель, начинающихся в точке x0 ∈ C и представляющих образующие в фун- даментальной группе π1(C, x0). Мы обозначим их теми же символами. Каждый итерированный интеграл Г ω1 ··· ωr длины r ?: 1 от голоморфных 1-форм на римановой поверхности представляет собой гомотопический период. Действительно, пусть две петли γ1, γ2 ∈ Ωx0 (C) будут гомотопны, т. е. существует отображение h : [0, 1] → Ωx0 (C), h(0) = γ1, h(1) = γ2. Тогда из свойств итерированных интегралов мы имеем равенства r r ω1 ··· ωr - γ2 γ1 r ω1 ··· ωr = ∂h r r ω1 ··· ωr = d h ω1 ··· ωr = r r ) r = - h i=1 r-1 r ω1 ··· dωi ··· ωr - ) i=1 ω1 ··· (ωi ∧ ωi+1) ··· ωr = 0. Последнее равенство вытекает из того факта, что для голоморфных форм на римановой поверх- ности dωi = 0, i = 1,... ,r и ωi ∧ ωi+1 =0 для i = 1,... ,r - 1. Значит, r r ω1 ··· ωr = γ1 γ2 ω1 ··· ωr, т. е. итерированный интеграл Г ω1 ··· ωr от голоморфных форм является гомотопическим периодом. Хорошо известно, что имеется голоморфная 1-форма ωi на C такая, что r r Re ωi = 1, Re ai aj и r ωi = 0, j ◦= i, j = 1,... ,r Re ωi = 0, j = 1,... ,r bj для b-периодов. Аналогично, имеется такая голоморфная форма ωj, для которой r Re ωj = 1, bj другие периоды от этой формы равны нулю. Такая 1-форма детектирует гомотопическую нетриви- альность образующих a1,... , ag , b1,... , bg . Теорема Чена устанавливает изоморфизм между пространством гомотопических периодов, опре- деляемыми итерированными интегралами от вещественно-значных дифференциальных форм, и пространством гомоморфизмов групповой алгебрыфундаментальной группы R[π1(M )] в веществен- ные числа [8, 9]: H0(Br, x0)= Hom (R[π1(M, x0)]/J r+1, R) , где H0(Br, x0) - гомотопические периодыиз r-итерированных интегралов. Применяя теорему Чена к римановым поверхностям и используя предложение, сформулированное выше, мы можем доказать АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 555 гомотопическую нетривиальность любого элемента π1(M, x0) с помощью итерированных интегра- лов от голоморфных или мероморфных форм, так как в нашем случае идеал J для римановых поверхностей нулевой. Теперь мы можем сформулировать следующую теорему. Теорема. Пусть M - компактная риманова поверхность рода g с k выколотыми точками. Тогда любой элемент фундаментальной группы этой поверхности детектируется итериро- ванными интегралами от голоморфных или мероморфных форм на этой римановой поверхно- сти.

Об авторах

И. С. Зубов

Автор, ответственный за переписку.
Email: reestr_rr@mail.ru
г. Коломна, ул. Зеленая, д. 30

Список литературы