Dirichlet problem for an elliptic equation with a shift the lower-order derivatives

Full Text

1. Введение. Постановка задачи Одним из развивающихся направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория дифференциально-разностных уравнений - уравнений, содержащих дифференциальные операторы и операторы сдвига. При этом в различных приложениях играют важную роль задачи для уравнений со сдвигами как по времени (так называемые уравнения с запаздываниями), так и по пространственным переменным. Разработка теории краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в ограниченных областях принадлежит А.Л. Скубачевскому [12-14, 17]. В работах [9-11] получены результаты по исследованию задач для таких уравнений в неограниченных областях. Существенные результаты для параболических дифференциально-разностных уравнений, содержащих операторы сдвига по пространственным переменным, и начальных задач для них изложены в монографии [8]. В обширной статье [3] рассматриваются гиперболические уравнения с оператором сдвига по времени, а в [5, 6, 16] - с операторами сдвига по пространственным переменным. © Н.В. Зайцева, А.Б. Муравник, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 469 В данной статье исследуется вопрос разрешимости следующей краевой задачи: ; (1.1) (1.2) где область - оператор Лапласа; n ∈ N), b - не равные нулю действительные числа; u0(x) - непрерывная и ограниченная функция. Задачи для линейных эллиптических уравнений с младшими членами вызывают отдельный интерес как ввиду их многочисленных приложений, так и возникновением существенных особенностей при их исследовании. Отметим здесь недавние работы [1, 2] и литературу в них. Краевая задача для эллиптического уравнения с линейной комбинацией младших производных с оператором сдвига рассматривается впервые. Определение 1.1. Функция u(x,y) называется классическим решением уравнения (1.1), если в каждой точке области D существуют классические производные ux, uxx, uyy и выполняется соотношение (1.1). Пусть для любого значения ξ ∈ R выполняется следующее неравенство: , (1.3) где) - соответственно, коэффициенты и сдвиги в уравнении (1.1). Выполнение условия (1.3) для любого ξ ∈ R означает эллиптичность (см. [14]) дифференциальноразностного оператора в уравнении (1.1). Справедлива следующая лемма. Лемма 1.1. Условие (1.3) выполняется для любого значения ξ ∈ R, если коэффициенты ak в уравнении (1.1) удовлетворяют соотношению . (1.4) Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства (1.3) с учётом неравенства Коши-Буняковского: . (1.5) Так как для всех то для выполнения неравенства (1.3) для любого значения ξ ∈ R достаточно, чтобы коэффициенты- заданное натуральное число) и b уравнения (1.1)) удовлетворяли условию (1.4). Из условия (1.3) следует, что коэффициент уравнения b > 0, а из представления (1.5) вытекает неравенство , (1.6) справедливое для любого ξ ∈ R. 2. Построение решения задачи Применим к уравнению (1.1) и к условию (1.2) преобразование Фурье Fx по переменной x, определяемое правилом (тем самым перейдём от переменной x к двойственной переменной ξ). С учётом известных формул , здесь i - мнимая единица, получим задачу в образах Фурье для y > 0 с параметром ξ ∈ R: (2.1) (2.2) Корни характеристического уравнения для уравнения (2.1) имеют вид , где введены обозначения , (2.3) (2.4) Тогда общее решение уравнения (2.1) определяется по формуле , где C1(ξ) и C2(ξ) - произвольные постоянные, зависящие от параметра ξ ∈ R. Чтобы эта функция удовлетворяла условию (2.2), выберем такие значения констант: . Таким образом, решение задачи (2.1), (2.2) имеет вид . (2.5) Применим теперь к функции (2.5) обратное преобразование Фурье, определяемое как и получим Далее преобразуем внутренний интеграл с учётом чётности функции (2.3) и нечётности функции (2.4): и в результате будем иметь (2.6) где введены обозначения G1(ξ) := ρ(ξ)cosθ(ξ), G2(ξ) := ρ(ξ)sinθ(ξ). (2.7) Далее будет показано, что интегральное представление (2.6) удовлетворяет уравнению (1.1) и граничному условию (1.2). 3. Основные результаты Лемма 3.1. При выполнении условия (1.3) для любого значения ξ ∈ R функция (3.1) где G1(ξ) и G2(ξ) определены в (2.7), удовлетворяет уравнению (1.1) в области D. Доказательство. Подынтегральная функция в (3.1) (функция переменной ξ при любых значениях её параметров (x,y) ∈ D) определена и непрерывна на промежутке ξ ∈ [0,+∞) как композиция непрерывных функций. Действительно, функция (2.3), входящая в G1(ξ) и G2(ξ), определена корректно при любых значениях так как сумма квадратов всегда неотрицательна и корень 4-й степени из этого выражения существует. Функция (2.4), также входящая в G1(ξ) и G2(ξ), определена корректно при выполнении условия (1.3), так как знаменатель аргумента арктангенса не обращается в нуль. Исследуем вопрос сходимости интеграла (3.1). Сначала преобразуем функцию G1(ξ) с учётом формулы и условия (1.3) следующим образом: (3.2) Очевидно, что G1(ξ) → +∞ при ξ → +∞. Вычислив предел приходим к выводу, что на интервале (ξ0,+∞), где ξ0 -достаточно большое положительное число, функции G1(ξ) и ξ имеют одинаковый порядок роста. С учётом этого факта далее воспользуемся частным признаком сходимости несобственных интегралов [7, с. 102]: а именно, если существует конечный предел lim |f(ξ)|ξk при k > 1, то ξ→+∞ интеграл сходится. Так как для любого числа ε > 0 и любых фиксированных параметрах (x,y) ∈ D, то интеграл (3.1) сходится. Проверим теперь, что функция (3.1) удовлетворяет уравнению (1.1). Для этого вычислим (пока формально) производные: отсюда имеем ; (3.3) ; (3.4) (3.5) Из представления (2.4) следует, что |2θ(ξ)| < π/2, а значит, cos(2θ(ξ)) > 0. С учётом этого неравенства, формул (2.7) и условия (1.3) найдём ); (3.6) Подставив найденные выражения 2G1(ξ)G2(ξ) и G21(ξ) - G22(ξ) в (3.5), будем иметь (3.7) Осталось подставить (3.1), (3.4) и (3.7) в уравнение (1.1) и получить в правой части выражение: . Действительно, Отметим, что здесь мы пока формально поменяли операции интегрирования и суммирования. Далее будет показано, что такое действие было законным. Проверим теперь сходимость интегралов (3.3), (3.4) и (3.7) с помощью того же признака сходимости [7, с. 102], как это было сделано для проверки сходимости интеграла (3.1). Так как , функции G1(ξ) и ξ имеют одинаковый порядок роста при ξ → +∞, а тогда то и для любого значения ε > 0. Таким образом, интеграл (3.3) сходится при любых фиксированных параметрах (x,t) ∈ D. Аналогично, так как , а предел для любого значения ε > 0, то и , и следовательно, интеграл (3.4) сходится. Проверим теперь сходимость интеграла (3.7). Рассмотрим . Очевидно, что для любого значения ε > 0. А значит (в силу функционального аналога принципа двустороннего ограничения), предел для любого ε > 0, и интеграл (3.7) при любых фиксированных параметрах (x,t) ∈ D сходится. Теорема 3.1. При выполнении условия (1.3) для любого значения ξ ∈ R функция (3.8) где функция E(x,y) определена в (3.1), удовлетворяет в области D уравнению (1.1) в классическом смысле. Доказательство. Согласно лемме 3.1 функция (3.1) определена в каждой точке (x,y) ∈ D и удовлетворяет (формально) в области D уравнению (1.1). Проверим, что она удовлетворяет уравнению (1.1) в классическом смысле. Для этого исследуем сначала на равномерную сходимость интеграл (3.3), применив признак Вейерштрасса. Оценим Так как интеграл в правой части полученной цепочки соотношений сходится (см., например, частный признак сходимости несобственных интегралов), а подынтегральное выражение в нём не зависит от переменной x, то интеграл (3.3) сходится равномерно по переменной x на любом конечном отрезке [x1,x2] ⊂ (-∞,+∞). Аналогично проверяется, что интеграл (3.4) также сходится равномерно по переменной x на любом отрезке [x1,x2] ⊂ (-∞,+∞). Таким образом, дифференцирование под знаком интеграла функции (3.1) по переменной x до второго порядка включительно было законным. Проверим теперь равномерную сходимость интеграла (3.7) по переменной y на любом конечном отрезке [y1,y2] ⊂ (0,+∞). Оценим Так как подынтегральная функция в последнем сходящемся интеграле не зависит от y, то по признаку Вейерштрасса интеграл (3.7) сходится равномерно по y на любом конечном отрезке [y1,y2] ⊂ (0,+∞), а значит, дифференцирование под знаком интеграла в (3.1) по переменной y до второго порядка включительно было законным. Таким образом, функция (3.1) удовлетворяет в области D уравнению (1.1) в классическом смысле. Далее, чтобы выяснить корректность определения функции (3.8), оценим поведение функции (3.1) при x → ∞ и фиксированном y ∈ (0,+∞). Представим (3.1) в виде E(x,y) = E1(x,y) + E2(x,y), где (3.9) (3.10) Покажем, что функции (3.9) и (3.10) стремятся к нулю при x → ∞ для любого фиксированного y ∈ (0,+∞) и параметров уравнения (1.1), удовлетворяющих условиям (1.4). После замены переменной η = xξ в (3.9) получим Так как функции cosτ ∈ L∞(R+), e-yG1(τ) cos(yG2(τ)) ∈ L1(R+), а преобразование Меллина функции e-yG1(τ) определено на R и не имеет вещественных нулей, то в силу тауберовой теоремы Винера (см. [4, с. 163]) E1(x,y) → 0 при x → ∞ для любого фиксированного y ∈ (0,+∞) и параметров удовлетворяющих (1.4). С помощью той же замены η = xξ в (3.10) и аналогичных рассуждений приходим к выводу, что и E2(x,y) → 0 при x → ∞. Таким образом, для любого фиксированного y ∈ (0,+∞) и параметров a и b уравнения (1.1), удовлетворяющих условиям (1.4), справедливо соотношение lim E(x,y) = 0. x→∞ Теперь оценим скорость стремления к нулю при x → ∞ функций (3.9) и (3.10). Проинтегрировав по частям (3.9), будем иметь (3.11) С учётом представления (3.2) и неравенства (1.6) оценим: , где . Таким образом, функция имеет степенной рост (порядка 3) на бесконечности и не имеет особенностей ни в одной точке. Кроме того,, что будет учтено в дальнейшем. Для нахождения воспользуемся полученным ранее равенством (3.6): . Отсюда заключаем, что функция имеет не более чем степенной рост на бесконечности, а также не имеет особенностей. В силу сказанного выше интеграл (3.11) сходится. Далее проинтегрируем его по частям: (внеинтегральное слагаемое обращается в нуль при ξ = 0, так как По аналогии с рассуждениями для функций, нетрудно убедиться, что функция (после непосредственного дифференцирования) имеет не более чем степенной рост на бесконечности и не имеет особенностей, т. е. ϕ(ξ) ∈ L1(R+) и где функции ϕ(τ) и cosη удовлетворяют условиям тауберовой теоремы Винера. Таким образом, для любого фиксированного y ∈ (0,+∞) и коэффициентов ak и b уравнения (1.1), удовлетворяющих условиям (1.4), справедливо соотношение lim x2E1(x,y) = 0. (3.12) x→∞ Проинтегрировав теперь по частям функцию (3.10), будем иметь Последний интеграл, ввиду отсутствия особенностей у, сходится, поэтому далее опять применим интегрирование по частям: где функция , функция sin(xξ) ∈ L∞(R+), поэтому условия тауберовой теоремы Винера выполнены, а значит, для любого фиксированного y ∈ (0,+∞) и параметров ak и b уравнения (1.1), удовлетворяющих условиям (1.4), справедливо соотношение lim x2E2(x,y) = 0. (3.13) x→∞ На основании (3.12) и (3.13) заключаем, что функция (3.1) при любом фиксированном y ∈ ∈ (0,+∞) настолько быстро убывает при x → ∞, что для любой непрерывной и ограниченной функции u0(x) функция (3.8) определена корректно в области D. Осталось выяснить поведение функций (3.3) и (3.4) при x → ∞ (при любом фиксированном y ∈ (0,+∞)). Разбив каждую из этих функций на два слагаемых, аналогично тому, как это было1 1 1 сделано для функции (3.1), но с заменой сомножителя e-yG (ξ) на -ξe-yG (ξ) и -ξ2e-yG (ξ) соответственно, проводим те же рассуждения с помощью интегрирования по частям. Так как функция e-yG1(ξ) и её производные до второго порядка включительно не имеют особенностей, то не имеют их и функции -ξe-1yG1(ξ) и -ξ2e-yG1(ξ) и их производные до второго порядка включительно; так как функция e-yG (ξ) и её производные до второго порядка включительно экспоненциально убывают на бесконечности, то и функции -ξe-yG1(ξ) и -ξ2e-yG1(ξ) и их производные до второго порядка включительно также убывают на бесконечности, при этом внеинтегральные члены при исследовании также обращаются в нуль при ξ = 0. Таким образом, функцииубывают на бесконечности быстрее, чем функция x-2, а значит, и функция Eyy(x,y), являющаяся их линейной комбинацией (см. уравнение (1.1)), убывает на бесконечности быстрее, чем функция x-2. Следовательно, функцию (3.8) можно дифференцировать по каждой из переменных дважды под знаком интеграла. А так как функция (3.1) удовлетворяет уравнению (1.1) в классическом смысле, то и функция (3.8) удовлетворяет в классическом смысле уравнению (1.1) в области D. Замечание 3.1. Решение (3.8) удовлетворяет граничному условию (1.2) в следующем смысле: если рассматривать (3.8) как обобщённую функцию одной переменной x, зависящую от положительного параметра y, то она дважды дифференцируема по этому параметру на положительной полуоси и непрерывна по нему в начале координат (см., например, [15, § 9, п. 5]), а её предел при y → +0, понимаемый в смысле топологии обобщённых функций переменной x, равен (обобщённой) функции u0(x). Доказательство этого факта проводится по схеме, полностью идентичной той, что приведена в обосновании замечания 2 из работы [10].

About the authors

N. V. Zaitseva

RUDN University; Lomonosov Moscow State University

Email: n.v.zaiceva@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-9907-9641
SPIN-code: 4169-1944
Scopus Author ID: 56814447200
ResearcherId: L-5522-2015
Moscow, Russia

A. B. Muravnik

RUDN University

Author for correspondence.
Email: amuravnik@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8670-6589
SPIN-code: 3041-2270
Scopus Author ID: 56375915700
ResearcherId: H-1821-2016
Moscow, Russia

References

Supplementary files