On the behavior at infinity of solutions to systems of differential equations with almost-periodic coefficients in the linear terms

Full Text

1. Введение В работе рассматривается система дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами в линейных членах , (1.1) где A(t) - матрица размера N × N с непрерывными равномерно почти периодическими элементами, т. е. где τ(ε) - ε-период. © Г.В. Демиденко, В.С. Прохоров, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 454 Такие системы линейных дифференциальных уравнений с равномерно почти периодическими коэффициентами встречаются в моделировании процессов с квазипериодической динамикой, где параметры изменяются не строго периодично. При обработке сигналов различной природы часто встречаются квазипериодические функции из-за несоизмеримости их базовых периодов. В биологии и экологии могут встречаться системы с почти периодическими коэффициентами для описания динамики популяции с сезонными колебаниями. Численность популяции может зависеть от сезонных изменений климата, доступности пищи, температуры и других факторов. Эти условия могут меняться не строго периодически, но сохранять некоторую повторяемость в долгосрочной перспективе. В таких случаях модели могут включать в себя почти периодические коэффициенты. Важным вопросом для систем дифференциальных уравнений вида (1.1) является асимптотическая устойчивость. Такая задача хорошо изучена для случая постоянных и периодических коэффициентов (см., например, [3, 8, 11]). Хорошо известны следующие теоремы. Теорема 1.1 (А.М. Ляпунов). Пусть A(t) ≡ A. Нулевое решение (1.1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда существует эрмитово решение H = H∗ > 0 матричного уравнения Ляпунова HA + A∗H = -C, C = C∗ > 0. (1.2) Такой подход дает возможность построить оценку на скорость убывания при t → +∞ (см., например, [2, 3]). Теорема 1.2 (М.Г. Крейн). Пусть A(t) ≡ A, H = H∗ > 0 - решение (1.2). Тогда верна следующая оценка: , где μ(H) - число обусловленности матрицы H. Аналоги теорем 1.1 и 1.2 справедливы для систем дифференциальных уравнений (1.1) с периодическими коэффициентами (см., например, [5]). Теорема 1.3. Пусть A(t+T) = A(t). Нулевое решение (1.1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда существует эрмитово решение H(t) = H∗(t) > 0 следующей краевой задачи: d H + HA(t) + A∗(t)H = -C(t), 0 < t < T, dt (1.3) H(0) = H(T), где C(t) = C∗(t) > 0 для t ∈ [0,T]. Решение H(t) краевой задачи (1.3) при C(t) ≡ I продолжим T-периодически при, сохранив обозначения. Тогда имеет место аналог теоремы 1.2. Теорема 1.4. Пусть A(t+T) = A(t), Y (t) - матрицант системы (1.1). Тогда верна следующая оценка: , где hmin(t) - минимальное собственное число H(t). В данной работе также изучается вопрос асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.1) в терминах разрешимости дифференциального матричного уравнения Ляпунова где A(t) - равномерно почти периодическая функция. Формулируется критерий экспоненциальной устойчивости и теорема о скорости убывания при t → +∞ по аналогии с теоремами 1.1-1.4. Исследуется робастная устойчивость для равномерно почти периодических возмущений матрицы A(t). Опираясь на полученные результаты, изучается задача об асимптотической устойчивости нулевого решения системы нелинейных дифференциальных уравнений . Используя теорему Бора, в работе исследуется скорость стабилизации решений системы (1.1) для некоторого подкласса равномерно почти периодических матриц A(t). 2. Предварительные сведения В данном разделе даются понятия равномерно почти периодических функций и их ε-периодов, а также формулируются основные свойства таких функций, необходимые для дальнейшего изложения (см., например [1, 9, 10]). Определение 2.1. Пусть f(t) - непрерывная функция вещественного аргумента t, заданная на всей оси (-∞,∞) и принимающая вещественные или комплексные значения. Мы будем называть число τ(ε) ε-периодом функции f(x), если для всех t Определение 2.2. Мы будем говорить, что функция f(t) равномерно почти периодическая, если для любого ε > 0 найдется такое число L(ε), что на любом отрезке [t0,t0 +L(ε)] лежит хотя бы один ε-период функции f(t). Теорема 2.1. Пусть f(t) - равномерно почти периодическая функция и ее первообразная ограничена, тогда I(t) также принадлежит классу равномерно почти периодических функций. Теорема 2.2. Пусть f(t) - равномерно почти периодическая функция, E - множество ее значений. Если функция F(z) равномерно непрерывна на E, то суперпозиция ϕ(t) = F[f(t)] также является равномерно почти периодической функцией. Теорема 2.3 (Х. Бор). Если f(t) - равномерно почти периодическая функция, то найдется такое конечное число f0, что равномерно по x. Введем следующее обозначение: . Теорема 2.4 (С. Бохнер). Для того чтобы непрерывная функция f(t) (-∞ < t < ∞) была равномерно почти периодической функцией, необходимо и достаточно, чтобы семейство сдвинутых функций {f(t + h)} (-∞ < h < ∞) было компактно в смысле равномерной сходимости на всей действительной оси. Теорема 2.5. Класс равномерно почти периодических функций совпадает с классом функций f(t), таких, что для любого ε > 0 найдутся комплексные числа Ak и вещественные числа λk , такие, что для всех t В работе будут рассматриваться только равномерно почти периодические функции, и поэтому слово «равномерно» будет опускаться. Далее мы всегда будем рассматривать непрерывные матрицы. 3. Дифференциальное матричное уравнение Ляпунова В этом разделе будет рассмотрен вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения (1.1) в терминах разрешимости дифференциального матричного уравнения Ляпунова . (3.1) Теорема 3.1. Пусть Y(t) - матрицант системы дифференциальных уравнений (1.1) и для него верна оценка , t > s, (3.2) при любых. Тогда для любой почти периодической C(t) = C∗(t) > 0 существует единственное почти периодическое решение H(t) = H∗(t) > 0 уравнения (3.1). Доказательство. Пусть Y (t) - матрицант системы (1.1), тогда, очевидно, решение (3.1) мы можем представить в виде . Очевидно, что из неравенства (3.2) вытекает оценка , t > s. (3.3) Из оценки (3.3) следует, что . Очевидно, что H(t) ≡ H∗(t) > 0. Теперь покажем, что H(t) является почти периодической функцией. Рассмотрим разность H(t + τ) - H(t): Очевидно, ее можно записать в виде Имеем - . В силу оценки (3.3) и почти периодичности матрицы C(t), очевидно, следует, что , где ε соответствует ε-периоду Введем некоторые обозначения. Пусть K(s,t) = Y (s + t)Y -1(t), тогда имеем и Рассмотрим дифференциальное уравнение d [K(s,t + τ) K(s,t)] A(s + t + τ)[K(s,t + τ) K(s,t)] + [A(s + t + τ) A(s + t)]K(s,t). ds - ≡ - - (3.4) Для нелинейного члена в силу почти периодичности матрицы A(t) и условия (3.3) имеет место следующая оценка: . (3.5) Решение дифференциального уравнения (3.4) представимо в виде Проверить, что (3.6) является решением, мы можем подстановкой в (3.4). Теперь рассмотрим норму этого решения, используя оценки (3.3) и (3.5): . В силу неравенства (3.3) и полученной оценки для (3.6) имеем . В итоге имеем - , где τ = τ(ε) - ε-период для матрицы A(t). Откуда следует, что H(t) - почти периодическое решение (3.1). Замечание 3.1. Если в теореме 3.1- константа, то H(t) = - константа. Теорема 3.2. Пусть - почти периодическое решение матричного уравнения (3.1) при C(t) ≡ I, где h0 > 0 - константа. Тогда нулевое решение уравнения (1.1) является асимптотически устойчивым и верна оценка , t > s, где hmin(t) - минимальное собственное значение матрицы H(t). Доказательство. Рассмотрим выражение : . Отсюда имеем . Поэтому , и в силу неравенства Гронуолла теорема доказана. Две предыдущие теоремы позволяют сформулировать критерий асимптотической устойчивости в терминах разрешимости дифференциального матричного уравнения Ляпунова (3.1). Теорема 3.3. Нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1.1) будет равномерно экспоненциально устойчиво тогда и только тогда, когда существует эрмитово почти периодическое решение дифференциального уравнения Ляпунова (3.1) для эрмитовой почти периодической матрицы - константы. Проиллюстрируем теорему 3.3. Пусть B1(t) - непрерывная T-периодическая матрица, и нулевое решение системы дифференциальных уравнений является асимптотически устойчивым. В силу теоремы 1.3 вопрос об асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами сводится к задаче существования решения следующей краевой задачи: d H + HA(t) + A∗(t)H = -C(t), 0 < t < T, dt (3.7) H(0) = H(T) > 0, где C(t) = C∗(t) > 0- T-периодическая матрица. Рассмотрим теперь задачу об асимптотической устойчивости следующего дифференциального уравнения: , (3.8) где B2(t) - непрерывная почти периодическая матрица. Положим B(t,w) = B1(t) + B2(wt). Теорема 3.4. Пусть . (3.9) Тогда существует такое w0, что для любого нулевое решение (3.8) будет асимптотически устойчиво. Доказательство. Пусть H1(t) - решение (3.7) при C(t) ≡ I и . Покажем, что H(t,w) = H1(t) - H2(t,w) будет являться почти периодическим, эрмитовым и положительно определенным решением дифференциального матричного уравнения Ляпунова , (3.10) где . В силу условия (3.9) из теоремы 2.1 следует, что H2(t,w) и C(t,w) являются почти периодическими матрицами, при этом . А из вида матриц H2(t,w) и C(t,w) мы можем установить, что существует такое w0, что при , Из выражений , и - следует, что H(t,w) = H∗(t,w) > 0 действительно будет решением (3.10). А значит, в силу теоремы 3.2 нулевое решение уравнения (3.8) будет асимптотически устойчиво для. 4. Системы нелинейных дифференциальных уравнений В этом разделе рассмотрим задачу с нелинейным возмущением ϕ(t,y): , (4.1) где ϕ(t,0) ≡ 0, A(t) - равномерно почти периодическая функция. Получим аналог теоремы устойчивости нулевого решения системы (4.1) с периодической матрицей A(t) (см. [6]). Теорема 4.1. Пусть - почти периодическое решение матричного уравнения (3.1) при C(t) ≡ I, где h0 > 0 - константа, и вектор-функция ϕ(t,y) удовлетворяет следующему условию: Re, где. Тогда нулевое решение дифференциального уравнения (4.1) будет асимптотически устойчивым, его областью притяжения будет, где , причем, если y(0) ∈ E, то при выполняется следующая оценка: . Теорема 4.2. Пусть - почти периодическое решение матричного уравнения (3.1) при C(t) ≡ I, где h0 > 0 - константа, и функция ϕ(t,y) удовлетворяет следующему условию: Re, где . Тогда нулевое решение системы дифференциальных уравнений (4.1) будет асимптотически устойчивым, причем выполняется следующая оценка: . 5. Оценки скорости стабилизации решений в частных случаях В этом разделе будет приведен аналог теоремы Флоке для некоторого класса почти периодических матриц A(t) (см., например, [3]). Используя теорему Бора, будут получены оценки скорости стабилизации решений системы (1.1) для некоторого подкласса почти периодических матриц A(t). Теорема 5.1. Пусть , (5.1) где. Тогда Y (t) = P(t)etA0, где Y (t) - матрицант системы (1.1), P(t) - почти периодическая матрица. Доказательство. Если выполнено условие (5.1), то мы можем явно указать формулу матрицанта системы (1.1): . Теперь мы можем рассмотреть следующее представление Y (t): Y (t) = Y (t)e-tA0etA0. (5.2) Покажем, что Y (t)e-tA0 - почти периодическая функция. Воспользовавшись представлением (5.2), имеем . (5.3) Нетрудно заметить, что существует такое число a, что . Тогда из теорем 2.1, 2.2 следует, что (5.3) является почти периодической матрицей. Замечание 5.1. Теорема 5.1 остается верной для почти периодических матриц вида где, если существует такое число a, что выполнено условие . Заметим, что в этом случае асимптотическая устойчивость определяется расположением спектра матрицы A0. Поэтому можем сформулировать следующие теоремы для произвольной почти периодической матрицы A(t). Теорема 5.2. Положим M{A(t)} = A0. Пусть спектр матрицы A0 лежит в левой полуплоскости C и выполнено условие - , где - решение матричного уравнения Ляпунова - (5.4) Тогда выполняется следующая оценка: , t > s, (5.5) где μ(H0) - число обусловленности матрицы H0. Доказательство. Пусть y(t) - решение уравнения (1.1). Рассмотрим выражение . Имеем , , Отсюда , Домножим полученное выражение на и получим . Проинтегрировав от s до t, получим искомую оценку (5.5). Следствие 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 5.2. Тогда выполнена оценка . Теперь рассмотрим вопрос об асимптотической устойчивости в случае принадлежности матричного спектра области, ограниченной параболой. Эту задачу можно исследовать в терминах существования решения обобщенного матричного уравнения Ляпунова (см., например, [4, 7, 12]). Теорема 5.3. Положим M{A(t)} = A0. Пусть A(t) ∈ C1(R+) и спектр матрицы A0 лежит в левой полуплоскости в области, ограниченной параболой , и выполнено условие , где Hˆ0 - решение обобщенного матричного уравнения Ляпунова (5.6) Тогда выполняется следующая оценка: , t > s, (5.7) где μ(Hˆ0) - число обусловленности матрицы Hˆ0. Доказательство. Пусть y(t) - решение уравнения (1.1). Тогда получим следующее соотношение: . К полученному выражению добавим и вычтем . Тогда в силу (5.6) имеем . Теперь воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, положительной определенностью матрицы H0 и получим . Отсюда имеем . (5.8) Для анализа (5.8) рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение . Очевидно, соответствующий характеристический полином имеет корни Умножая неравенство (5.8) на e-λ2t, имеем . Интегрируя от t до +∞, получим . Следовательно, , откуда вытекает оценка , t > s. В силу неравенства получим оценку (5.7). Следствие 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.3. Тогда выполнена оценка . Следствие 5.3. При p → +∞ оценка (5.7) переходит в оценку (5.5) , t > s, где- решение уравнения Ляпунова (5.4). 6. Робастная устойчивость Рассмотрим систему дифференциальных уравнений , (6.1) где A(t), A1(t) - почти периодические матрицы. Эту систему можно рассматривать как почти периодическое возмущение линейной системы (1.1). В дальнейшем будем полагать, что нулевое решение (1.1) равномерно экспоненциально устойчиво. В этом случае, как мы знаем, существует единственное почти периодическое решение H(t) = H∗(t) > 0 дифференциального уравнения Ляпунова (6.2) Теорема 6.1. Пусть- почти периодическое решение дифференциального уравнения Ляпунова (6.2), где h0 > 0 - константа. Предположим, что для непрерывной почти периодической функции α(t) такой, что , (6.3) выполнено условие . (6.4) Тогда нулевое решение системы (6.1) асимптотически устойчиво. Доказательство. Пусть y(t) - произвольное решение системы (6.1). Рассмотрим . Учитывая, что H(t) - решение (6.1), имеем . В силу условия (6.3) получим . Отсюда следует, что . В силу условия (6.4) существует такое t0, что , причем при t → ∞. Тогда имеем , где hmin(t) - минимальное собственное значение матрицы H(t). В следующей теореме мы установим оценку для нормы разности , где H˜(t) - почти периодическое решение уравнения Ляпунова с возмущением (6.5) Теорема 6.2. Пусть- почти периодическое решение дифференциального уравнения Ляпунова (6.2), где h0 > 0 - константа. Предположим, что . (6.6) Тогда нулевое решение асимптотически устойчиво и имеет место оценка . (6.7) Доказательство. Если выполнено условие (6.6), то можно взять почти периодическую функцию . Для нее будут выполнены условия теоремы 6.1 и поэтому мы можем говорить о том, что нулевое решение (6.1) будет асимптотически устойчивым, а это значит, что решение H(t) уравнения (6.5) будет эрмитовым, почти периодическим и положительно определенным. Матрица V (t) = H˜(t) - H(t) будет почти периодическим решением дифференциального матричного уравнения Ляпунова . У данного дифференциального уравнения есть единственное почти периодическое решение, которое мы можем представить в следующем виде: , где Y˜(t) - матрицант системы (6.1). . Поскольку Δ < 1, то получим (6.7). Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида . (6.8) Для нее верна следующая теорема. Теорема 6.3. Пусть- почти периодическое решение дифференциального уравнения Ляпунова (6.2), где h0 > 0 - константа, и . Тогда при любом μ:|μ|Δ < 1 нулевое решение системы (6.8) асимптотически устойчиво, и для почти периодического решения H(t,μ) дифференциального уравнения Ляпунова имеет место оценка . Доказательство. Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 6.2. Теорема 6.4. Пусть H(t) = H∗(t) > h0I - почти периодическое решение уравнения (6.2), где h0 > 0 - константа, и 1 A . t t0 Тогда нулевое решение (6.1) будет асимптотически устойчивым и имеет место оценка . Доказательство. Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 6.2.

About the authors

G. V. Demidenko

Novosibirsk State University

Email: g.demidenko@g.nsu.ru
ORCID iD: 0000-0001-6338-7247
SPIN-code: 7719-1669
Scopus Author ID: 6701652666
ResearcherId: A-9915-2014
Novosibirsk, Russia

V. S. Prokhorov

Novosibirsk State University

Author for correspondence.
Email: v.prokhorov@g.nsu.ru
SPIN-code: 2445-3957
Novosibirsk, Russia

References

Supplementary files