Approximate controllability of a semilinear delayed heat equation Tikhonov regularization

Full Text

1. Введение Практический опыт показывает, что математические модели явлений реальной жизни в большинстве областей науки, техники и социальных наук часто оказываются некорректно поставленными. Это побудило математиков к разработке теории некорректно поставленных задач, и теперь эта теория играет значительную роль в различных областях исследований, таких как задачи обратной теплопроводности, уравнения диффузии с дробной производной по времени и т. д. Теория некорректно поставленных задач оснащена различными методами аппроксимации. Одним из наиболее известных методов является метод регуляризации Тихонова. В работах Катта и соавторов [12, 13, 19] был применен метод регуляризации Тихонова для вычисления управления в линейных и полулинейных системах. В работе Сингха и Дабаса [23] было получено регуляризованное управление с помощью регуляризации Тихонова для линейных систем второго порядка, которое затем было применено к соответствующей полулинейной системе. © С. Кумар, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 85 Управляемость - это свойство системы изменять свое состояние, переходя из любого заданного начального состояния в желаемое. Она описывается в различных формах, среди которых приближенная управляемость является наиболее важной для математиков из-за широкого спектра ее применений. Поэтому существует длинный список работ математиков, посвященных изучению приближенной управляемости дифференциальных систем с запаздыванием [4, 6-9, 11, 14-16, 21, 22, 24-26]. В работе Дауэра и Махмудова [4] была рассмотрена приближенная и полная управляемость полулинейных функциональных дифференциальных систем в гильбертовых пространствах. В работе Сукаванама и Томара [25] была установлена приближенная управляемость с помощью условия на образ нелинейности и оператора управления. В работах Сукаванама и Тафессе [24], а также Вана [26] была получена приближенная управляемость полулинейных систем управления с запаздыванием. В работе Энрикеса и Прокопчика [8] была исследована управляемость и стабилизируемость изменяющейся во времени линейной абстрактной системы управления с распределенной задержкой в переменных состояния. В работе Чжона и Хвана [11] было доказано включение достижимых множеств линейной системы управления в полулинейные запаздывающие функциональные дифференциальные уравнения. В работах Сукаванама и его коллег [6, 7, 21, 22] была исследована приближенная и полная управляемость запаздывающих полулинейных систем как детерминированного, так и стохастического типов. В работе Кима и соавторов [14] была доказана приближенная управляемость полулинейной задачи управления с запаздыванием с использованием результатов о сюръективности. В работе Эрнандеса и соавторов [9] был рассмотрен общий класс абстрактных задач управления первого порядка с запаздыванием, зависящим от состояния. В работе Кумара [15] была установлена приближенная управляемость линейных и полулинейных систем управления с запаздыванием с помощью построения оператора Немыцкого и использования теоремы о неподвижной точке типа Роте. Несколько математиков внесли вклад в исследование управляемости уравнения теплопроводности с запаздыванием и, в более общем смысле, параболического уравнения с запаздыванием. В работе Чжоу [27] показано, что если нелинейная функция равномерно ограничена, то полулинейное уравнение теплопроводности является приближенно управляемым для любого заданного конечного момента времени T > 0. В работе Фабра и соавторов [5] была изучена приближенная управляемость полулинейного уравнения теплопроводности в пространстве , в предположении, что нелинейность является глобально липшицевой с управлением из L∞ в обоих случаях: внутреннего и граничного управления. В работе Карраско с соавторами [1, 2] были представлены результаты о приближенной управляемости полулинейных параболических уравнений с запаздыванием по переменной состояния. В работе Хуанга и соавторов [10] была установлена приближенная управляемость дробных полулинейных параболических уравнений с использованием теории полугрупп линейных операторов и теории неподвижной точки. Основываясь на этом обзоре литературы, в данной работе изучена приближенная управляемость полулинейного уравнения теплопроводности с запаздыванием в ограниченной области. Новизна этой работы заключается в применении теории тихоновской регуляризации. Ограниченность нелинейности F заменяется более мягким условием на константу Липшица. Кроме того, для регуляризованного по Тихонову решения получена оценка погрешности в терминах управления. Статья организована следующим образом: раздел 2 является введением, раздел 3 описывает рассматриваемую систему, а раздел 4 представляет основные результаты. 2. Описание системы и предварительные сведения Пусть - ограниченное множество, а ∂Ω обозначает его границу. Система, рассматриваемая в данной статье, - это полулинейное уравнение с запаздыванием для распространения тепла с граничным условием, заданная следующим образом: , на (0,T) × ∂Ω, (2.1) ⎩ z(s,x) = η(s,x), (s,x) ∈ [-τ,0] × Ω, где z:[0,T]×Ω → R; Δ - оператор Лапласа; u:[0,T]×Ω → R - источник тепла; χV - характеристическая функция V ⊂ Ω, τ > 0; η:[-τ,0]×Ω → R - непрерывная функция, и f:[0,T]×R×R → R- нелинейная функция. Идея состоит в том, чтобы преобразовать полулинейное уравнение теплопроводности с запаздыванием (2.1) в абстрактную функционально-дифференциальную систему, включающую определенные операторы. Для этого возьмем представления: z(t,x ∈ L L ,T L L и - - · , . с областью определения D(A) = H2(Ω) ∩ H01(Ω). Этот оператор A порождает сильно непрерывную полугруппу при некоторой константе M > 0 (см. [3, 17, 20]). Возьмем B = χV : L2(Ω) → L2(Ω) - оператор на V ⊂ Ω, который, очевидно, является ограниченным линейным оператором с нормой . Тогда полулинейное уравнение теплопроводности с запаздыванием (2.1) принимает абстрактную форму , (2.2) Предположение (A1). Нелинейная функция F измерима в [0,T] и удовлетворяет условию Липшица в R2 для некоторой константы Lf > 0, для любых y1,y2 ∈ Rp, v1,v2 ∈ Rp. Существует единственное слабое решение уравнения (2.2) в условиях предположения (A1) (см. [9, 20]), заданное в форме (2.3) . 3. Приближенная управляемость В этом разделе рассматривается приближенная управляемость полулинейной абстрактной системы с задержкой (2.2). Методология основана на теории регуляризации Тихонова. Математическое обсуждение вдохновлено новаторскими работами Наира и соавторов [19], а также Сингха и Дабаса [23]. Определение 3.1. Система теплопроводности (2.2) называется приближенно управляемой на [0,T], если для каждого начального состояния η(0), желаемого состояния yˆ ∈ L2(Ω) и ε > 0 существует управление v ∈ L2(Ω) такое, что решение y(t) удовлетворяет условию y(0) = η(0) и Линейная система управления, связанная с (2.2), имеет вид , (3.1) а соответствующее слабое решение уравнения (3.1) имеет вид (3.2) Определим оператор управляемости G : L2([0,T];L2(Ω)) → L2(Ω) как (3.3) Сопряженный оператор G∗ : L2(Ω) → L2([0,T];L2(Ω)) с оператором G имеет вид (G∗y)(t) = B∗S∗(T - t)y ∀ t ∈ [0,T], y ∈ L2(Ω). (3.4) Лемма 3.1 (см. [3]). Линейная система управления (3.1) является приближенно управляемой на [0,T] тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: обозначает образ оператора G; (ii) ker(G∗) = {0}; ; ; (v) для всех y ∈ L2(Ω) выполняется Gvα = y - α(GG∗ + αI)-1y, где vα = G∗(GG∗ + αI)-1y. Очевидно, семейство линейных операторов Γα : L2(Ω) → L2([0,T];L2(Ω)), определяемое как Γαy = G∗(GG∗ + αI)-1y, является приближенным правым обратным элементом к G, т. е. lim GΓα = I. α→0+ Определение 3.2. Пусть G : X → Y - линейный оператор. Операторное уравнение Gx = y называется корректным, если выполняются следующие условия: (i) G биективно, т. е. ker(G) = {0} и ran(G) = Y ; (ii) G-1 непрерывен, т. е. для всех ε > 0 и y ∈ Y существует δ > 0 такое, что если yˆ ∈ Y так, что так, что Лемма 3.2 (см. [18]). Пусть X и Y - гильбертовы пространства и G ∈ L(X,Y ). Тогда для α > 0 справедливо следующее: ; . Пусть yˆ ∈ L2(Ω) - целевое состояние. Рассмотрим операторное уравнение Gw = ξ, где ξ = yˆ- S(T)η(0). (3.5) Тогда нахождение w ∈ L2([0,T];L2(Ω)) для линейной системы управления (3.1), удовлетворяющей условию p(T) = y,ˆ эквивалентно решению уравнения (3.5) относительно w. Теорема 3.1 (Теорема Тихонова). При α > 0 решение wα операторного уравнения (G∗G + αI)wα = G∗ξ (3.6) минимизирует функционал и удовлетворяет при α → 0+. (3.7) Уравнение (3.6) дает регуляризованное управление wα = (G∗G + αI)-1G∗ξ, а слабое решение (3.2), соответствующее регуляризованному управлению wα, имеет вид . Тогда при α → 0+ (3.8) ввиду (3.5) и (3.7). Это подтверждает приближенную управляемость линейной системы управления (3.1). Для дальнейшего обсуждения введем следующие предположения: Предположение (A2). R(F) ⊆ R(B). Предположение (A3). LF < 1. Лемма 3.3. Пусть выполняются предположения (A2) и (A3). Тогда операторное уравнение Bvα(t) = Bwα(t) - F(t,pα(t - τ),vα(t)) (3.9) существует и имеет решение vα. Доказательство. Рассмотрим последовательности Bvα,n(t) = Bwα(t) - F(t,pα(t - τ),vα,n-1(t)). Тогда . Поскольку LF < 1, получим, что {vα,n(t)} является последовательностью Коши в L2(Ω) и, следовательно, сходится к некоторому vα(t) ∈ L2(Ω). Это дает решение уравнения (3.9). Теорема 3.2. Пусть выполняются предположения (A1)-(A3). Пусть линейная система управления (3.1) приближенно управляема на [0,T]. Тогда полулинейная система управления (2.2) приближенно управляема на [0,T]. Доказательство. Поскольку линейная система управления приближенно управляема на [0,T], то существует регуляризованное управление wα ∈ L2([0,T];L2(Ω)) такое, что при α → 0. Из (3.2) следует, что (3.10) Цель состоит в том, чтобы найти регуляризованное управление vα ∈ L2([0,T];L2(Ω)) для полулинейной системы такое, что при α → 0. Из (2.3) получаем . (3.11) Вычитая (3.10) из (3.11), с учетом (3.9) получаем Затем, Согласно неравенству Гронуолла, получаем . Таким образом, при α → 0, что завершает доказательство. Теорема 3.3. Пусть уравнение (3.12) имеет регуляризованное по Тихонову решение vα. Если для данного ε > 0 найдется ξε ∈ R(G) и ε ∈ L2([0,T];L2(Ω)) таково, чтоε, т. е. ξε является малым возмущеw нием в ξ, то . (3.13) Доказательство. Имеем T (в силу (3.9)) 0 (в силу (3.9)) Используя регуляризованное управление wα = (G∗G + αI)-1G∗ξ и лемму 3.2, получаем . На этом доказательство завершено. 4. Заключение В данной работе рассматривается одномерное полулинейное уравнение теплопроводности с запаздыванием и однородными граничными условиями. Приближенная управляемость его абстрактной формы устанавливается с помощью метода регуляризации Тихонова. Математическое обсуждение включает теорию сильно непрерывной полугруппы линейных операторов и глобальное условие Липшица нелинейности F. В результате используется условие включения области F в область B. Это более слабое условие, чем равномерная ограниченность F, что делает его менее применимым на практике. Однако проверка условия включения области в общем случае непроста. Поэтому поиск еще более простого достаточного условия является частью будущих исследований.

About the authors

S. Kumar

Indira Gandhi National Tribal University

Author for correspondence.
Email: suman@igntu.ac.in
ORCID iD: 0000-0002-2736-1848
Scopus Author ID: 55500517400
ResearcherId: C-5056-2017
Amarkantak, India

References

Supplementary files