Differential Equation in a Banach Space Multiplicatively Perturbed by Random Noise

Abstract

We consider the problem of finding the moment functions of the solution of the Cauchy problem for a first-order linear nonhomogeneous differential equation with random coefficients in a Banach space. The problem is reduced to the initial problem for a nonrandom differential equation with ordinary and variational derivatives. We obtain explicit formula for the mathematical expectation and the second-order mixed moment functions for the solution of the equation.

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ Пусть X, Y - банаховы пространства с нормами ∗.∗X, ∗.∗Y , T = [t0, t1] - отрезок вещественной оси R, L(X, Y ) - пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в Y, X∗ - сопряженное пространство к X, (x, g) - обозначает значение линейного функционала g ∈ X∗ на элементе x ∈ X, U - нормированное пространство отображений u : T → X с нормой ∗u∗U и f : U → Y - отображение из X в Y. Определение. Если приращение Δf (u) = f (u + h) - f (u) записывается в виде Δf (u) = ( ϕ(t, u)h(t)dt + o(h), где h ∈ U, интеграл понимается в смысле Лебега [8, с. 90] и является ли- T нейным ограниченным оператором на U, o(h) - бесконечно малая высшего порядка относительно h ∈ U, то отображение ϕ : T × U → L(X, Y ) называется вариационной производной (ср. [5, с. 14]) отображения f и обозначается δf (u) . δu(t) Для однозначности определения вариационной производной достаточно, чтобы выполнялось условие: если g : T → L(X, Y ) и ( g(s)h(s)ds = 0 ∀h ∈ U, то g = 0. Предполагается, что это T свойство выполняется. Техника вариационного дифференцирования во многом аналогична технике обычного дифференцирования (см. [5]). Пусть (Ω, F, μ) - вероятностное пространство [2, с. 30] с вероятностной мерой μ. Тогда определяются μ-интегрируемые отображения [4, с. 127] g : Ω → C и среднее значение (математическое Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 599 ожидание) Mg = ( g(ω)μ(dω). Пусть f (t, ω) - случайный процесс [2, с. 321] со значениями в Ω пространстве X, где t ∈ T, ω - случайное событие, в дальнейшем (если нет необходимости) зависимость от ω в записи не отражается. Пусть V - пространство отображений v : T → X и V ∗ - сопряженное пространство, причем двойственность между ними задается интегралом Лебега ( (w(t), v(t))dt, где v ∈ V, w ∈ V ∗. T Определение. Если реализации случайного процесса f лежат в пространстве V ∗, то r ψf (v)= r exp(i r (f (s, ω), v(s))ds)μ(dω)= M (exp i (f (s), v(s))ds), Ω T T где i - мнимая единица, называется характеристическим функционалом процесса f. Если под знаком математического ожидания возможно вариационное дифференцирование, то для w ∈ X∗ справедливы равенства δψf (v) = M [exp(i r δv(t) T (f (s), v(s))ds)if (t)], δ2ψf (v) δv(t1)δv(t2) r w = i2M [exp(i T (f (s), v(s))ds)(f (t2), w)f (t1)]. Если операция двойственности перестановочна с операцией вычисления среднего значения, то δ2ψf (v) ( δv(t1)δv(t2) r w, w) = i2(M [exp(i T r (f (s), v(s))ds)(f (t2), w)f (t1)], w) = = i2M (exp(i T r = i2M [exp(i T (f (s), v(s))ds)(f (t2), w)f (t1), w) = (f (s), v(s))ds)(f (t1), w)(f (t2), w)]. Отсюда при v = 0 получаем представление математического ожидания и второй моментной функции случайного процесса с помощью характеристического функционала δψf (0) = iMf (t), δv(t) δ2ψf (0) ( δv(t1)δv(t2) w, w) = i2M [(f (t1), w)(f (t2), w)]. Пусть ε - случайный процесс со значениями в R, f - случайный процесс со значениями в X, тогда r ψ(u, v)= M exp(i T (ε(s)u(s)+ (f (s), v(s)))ds) - характеристический функционал пары процессов ε и f, и пусть δpψ δu(t) обозначает частную вариационную производную по переменной u. При этом, если возможно вариационное дифференцирование под знаком среднего значения, то δpψ(0, 0) = iMε(t), δpψ(0, 0) = iMf (t), (1.1) δu(t) δ2 δv(t) 2 pψ(0, 0) = i2M (ε(t )f (t )), δpψ(0, 0) = i2M (ε(t )ε(t )), (1.2) δu(t1)δv(t2) δ2 1 2 δu(t1)δu(t2) 1 2 pψ(0, 0) w, w = i2M [ f (t ),w f (t ),w ]. (1.3) ( δv(t1)δv(t2) ) ( 1 )( 2 ) 2. МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ВОЗМУЩЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ Рассмотрим задачу Коши dx = ε(t)Ax + f (t), (2.1) dt x(t0)= x0. Здесь t ∈ T, ε - случайный процесс со значениями в R, x : T → X - искомое отображение, A ∈ L(X, X) - линейный ограниченный оператор, f - случайный процесс со значениями в X, t0 ∈ T, x0 ∈ X - заданный случайный вектор. Уравнение (2.1) называется мультипликативно возмущенным случайным шумом линейным дифференциальным уравнением в банаховом пространстве. Предполагается, что процессы ε, f заданы характеристическим функционалом ψ(u, v). Обычно обсуждают задачи нахождения либо функции распределения решения уравнения (2.1), либо плотности распределения решения, либо задачу нахождения характеристического функционала решения. Здесь рассматривается более скромная задача: найти первую и вторую моментные функции решения задачи для случая гауссовых процессов ε, f. Если уравнение является скалярным и процессы ε, f гауссовы, то первые две моментные функции решения разными способами получили В. И. Тихонов [6] и Дж. Адомиан [1]. 3. ПЕРЕХОД К ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ЗАДАЧЕ Введем обозначение e(u, v) = exp(i ( (ε(s)u(s) + (f (s), v(s)))ds). Умножим уравнение (2.1) и T начальное условие на e(u, v) и запишем средние значения полученных равенств: dx M ( e(u, v)) = M (ε(t)Axe(u, v)) + M (f (t)e(u, v)), (3.1) dt M (x(t0)e(u, v)) = M (x0e(u, v)). (3.2) Введем отображение y = y(t, u, v) = M (x(t)e(u, v)). Отметим, что y(t, 0, 0) = Mx(t). Далее (пока формально): ∂y = M ( ∂t dx e(u, v)), dt δpy δu(t) = M (x(t)iε(t)e(u, v)), δpψ δv(t) = M (ie(u, v)f (t)). При этом равенства (3.1), (3.2) можно записать в виде ∂y ∂t = -iA δpy δu(t) δpψ - iδv(t) , (3.3) y(t0, u, v)= M (x0e(u, v)). Будем предполагать, что x0 статистически не зависит от процессов ε, f, тогда получаем начальное условие y(t0, u, v)= M (x0)ψ(u, v). (3.4) Проведенные формальные рассуждения служат основанием для следующего определения. Определение. Математическим ожиданием Mx(t) решения задачи (2.1) называется y(t, 0, 0), где y - решение задачи (3.3), (3.4) в некоторой окрестности точки с компонентами u = 0, v = 0. Определение. Решением задачи (3.3), (3.4) называется отображение y = y(t, u, v), имеющее в некоторой окрестности точки с компонентами u = 0, v = 0 вариационную производную δpy , δu(t) почти всюду на T имеющее производную ∂y и удовлетворяющее почти всюду на T равенству (3.3). ∂t Для решения полученной задачи нам потребуются некоторые дополнительные факты. 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ ГАУССОВЫХ ПРОЦЕССОВ ε И f В дальнейшем считается, что случайные процессы заданы гауссовым характеристическим функционалом [3, с. 324] r ψ(u, v)= exp[i T 1 r r (a1(s)u(s)+ (a2(s), v(s)))ds - 2 T T b11(s1, s2)u(s1)u(s2)ds1ds2- r r 1 r - (b12(s1, s2)u(s1), v(s2))ds1ds2 - 2 T T T r (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2]. (4.1) T Здесь u принадлежит пространству L1(T ) суммируемых на Т функций с нормой ∗u∗1 = ( |u(s)|ds, T v принадлежит пространству L1v (T ) суммируемых на Т векторных функций v : T → X с нормой ∗v∗1v = ( ∗v(s)∗ds, a1 : T → R, b11 : T × T → R - заданные функции, a2 : T → X∗ - векторная T функция, b12 : T × T → X∗ - заданная векторная функция, b22 : T × T → L(X, X∗) - заданное отображение. Выясним смысл коэффициентов a1, a2, b11, b12, b22. Лемма 4.1. Если B : T × T → L(X, X∗) непрерывно, B(s1, s2)= B(s2, s1), v ∈ L1v (T ), то δ r δv(t) T r r (B(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2 =2 T T B(t, s2)v(s2)ds2. Доказательство. Пусть h ∈ L1v (T ), тогда, в силу симметричности B, r r r (B(s1, s2)(v(s1)+ h(s1)), v(s2)+ h(s2))ds1ds2 - T T T r (B(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2 = T r r r = (B(s1, s2)v(s1), h(s2))ds1ds2 + T T T r (B(s1, s2)h(s1), v(s2))ds1ds2+ T r r + (B(s1, s2)h(s1), h(s2))ds1ds2 = T T При этом r r r = 2 (B(s1, s2)v(s1), h(s2))ds1ds2 + T T T r r r r r (B(s1, s2)h(s1), h(s2))ds1ds2. T | (B(s1, s2)h(s1), h(s2))ds1ds2| :( T T T T |(B(s1, s2)h(s1), h(s2))|ds1ds2 :( r r r r :( ∗B(s1, s2)h(s1)∗∗h(s2)∗ds1ds2 :( max ∗B(s1, s2)∗ T ×T T T T T 2 2 ∗h(s1)∗∗h(s2)∗ds1ds2 = = max ∗B(s1, s2)∗∗h∗L1v (T ) = o(h ). T ×T Отсюда, согласно определению вариационной производной, следует утверждение леммы. Лемма доказана. Воспользуемся равенствами (1.1): iMε(t)= δpψ(0, 0) δu(t) r = [ψ(u, v)(ia1(t)- r b11(t, s2)u(s2)ds2- (b12(s1, s2), v(s2)ds2))]|u=0,v=0 = ia1(t). T T Следовательно, a1(t)= Mε(t). Аналогично получаем a2(t)= Mf (t). Используя лемму, находим r δpψ(u, v) , w) = ψ(u, v)(ia (t ) - b r (s ,t )u(s )ds - b (s ,t )v(s )ds , w). ( δv(t2) 2 2 12 1 2 T 1 1 22 1 2 1 1 T Воспользуемся равенством (1.2): δ2ψ(0, 0) r i2M [(f (t1), w)(f (t2), w)]= ( r p δv(t2)δv(t1) r w, w) = [ψ(u, v)[(ia2(t1) - T r b12(s1, t1)u(s1)ds1- - b22(s1, t1)v(s1)ds1, w)(ia2(t2) - T T b12(s1, t2)u(s1)ds1 - T b22(s1, t2)v(s1)ds1, w)- -(b22(t1, t2)w, w)]]|u=0,v=0 = -(a2(t1), w)(a2(t2), w)- (b22(t1, t2)w, w). Из этого равенства находим (b22(t1, t2)w, w) = M [(f (t1), w)(f (t2), w)] - (Mf (t1), w)(Mf (t2), w). Аналогично находим b11(t1, t2)= M (ε(t1)ε(t2)) - Mε(t1)Mε(t2). Воспользуемся первым из равенств (1.2): (i2M (ε(t1)f (t2)), w) = ( r p δ2ψ(0, 0) δu(t1)δv(t2) r , w) = = [ψ(u, v)[(ia1(t1) - T r b11(t1, s2)u(s2)ds2 - T r b12(t1, s2)v(s2)ds2)(ia2(t2)- - b12(s1, t2)u(s1)ds1 - T T b22(s1, t2)v(s1)ds1, w)] - b12(t1, t2)]|u=0,v=0 = Отсюда находим = (-a1(t1)a2(t2) - b12(t1, t2), w). b12(t1, t2)= M (ε(t1)f (t2)) - M (ε(t1))M (f (t2)). 5. ОПЕРАТОРНАЯ ФУНКЦИЯ Пусть χ(τ ) = χ(s, t, τ ) - функция, которая равна sign(τ - s) при τ, принадлежащем отрезку ∞ [min(s, t), max(s, t)], и равна нулю при τ ∈/ [min(s, t), max(s, t)]. Если f (z)= k=0 ckzk - аналитическая на всей комплексной плоскости функция f : C → C,A ∈ L(X, X), то определяют операторную ∞ функцию f (At) = k=0 ck Aktk. Нам потребуются аналогичные построения операторных функций, которые определяются функционалами. Пусть ϕ : L1(T ) → C - аналитический функционал r ∞ ϕ(u)= \"' r ... ck (s1,..., sk )u(s1) ··· u(sk )ds1 ··· dsk,A ∈ L(X, X). k=0 T T Здесь ck (s1,..., sk ) симметрично по любой паре аргументов. Тогда определена операторная функция ∞ ϕ(Au)= \"' Ak r r ... c (s ,...,s )u(s ) u(s )ds ds . k 1 k=0 T T k 1 ··· k 1 ··· k Пусть E обозначает тождественный оператор, действующий в пространстве X. На множестве аналитических операторных функций определим оператор U (t, t0) r ∞ U (t, t0)ϕ(uE)= \"' r ... ck (s1,..., sk )(u(s1)E -iχ(t0, t, s1)A)···(u(sk )E -iχ(t0, t, sk )A)ds1 ···dsk. k=0 T T Теорема 5.1. Для оператора U (t, t0) справедливы следующие свойства: 1. U (t0, t0)ϕ(uE)= ϕ(uE)= ϕ(u)E, 2. U (t, t0)(αϕ1(uE)+ βϕ2(uE)) = αU (t, t0)ϕ1(uE)+ βU (t, t0)ϕ2(uE), α,β ∈ C, 3. U (t, τ )U (τ, t0)= U (t, t0), 4. U (t0, t)= U -1(t, t0), 49. δ δϕ(uE) U (t, t )ϕ(uE)= U (t , t) . δu(t) 0 0 δu(t) Доказательство. Первые четыре свойства легко проверяются. Докажем пятое свойство. Вариационная производная находится из вида приращения отображения (см. введение). Выпишем приращение для левой части равенства 5: U (t, t0)ϕ((u + h)E) - U (t, t0)ϕ(uE). Приращение для правой части равенства имеет вид U (t, t0)(ϕ((u + h)E) - ϕ(uE)). Эти выражения равны, следовательно, справедливо равенство 5. 50. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ Пусть ψ - характеристический функционал (4.1). Определим отображение Φ= U (t, t0)ψ(uE, v)= ψ(uE - iχ(t0, t)A, v). Теорема 6.1. Если в (4.1) a1, a2, b11, b12, b22 непрерывны, u ∈ L1(T ), ∗u∗1 :( r, при t, s, принадлежащих T, выполняются условия |a1(t)| :( M1, ∗a2(t)∗ :( M2, |b11(t, s)| :( M11, ∗b12(t, s)∗ :( M12, δpΦ ∗b22(t, s)∗ :( M22, тогда существует вариационная производная t , причем δu(t) δpΦ r = (ia (t)E - b (s , t)Eds r + i b (s , t)Ads r - (b (t, s ), v(s ))Eds )Φ. (6.1) δu(t) 1 11 1 T 1 11 1 t0 1 12 2 2 2 T Доказательство. Воспользуемся определением вариационной производной. Пусть h - приращение переменной u. В дальнейшем O(h) обозначает бесконечно малую одного порядка с бесконечно малой h, а o(h) обозначает бесконечно малую высшего порядка относительно h. Вычислим соответствующее приращение для Φ: ΔuΦ= U (t, t0)ψ((u + h)E) - U (t, t0)ψ(uE)= ψ((u + h)E - iχ(t0, t)A, v) - ψ(uE - iχ(t0, t)A, v)= r = ψ(uE - iχ(t0, t)A, v)[exp(i T r r a1(s)h(s)Eds- - b11(s1, s2)(u(s1)E - iχ(t0, t, s1)A)h(s2)Eds1ds2- T T r r r - b11(s1, s2)h(s1)h(s2)Eds1ds2 - T T T r (b12(s1, s2), v(s2))h(s1)Eds1ds2) - E]. T Нам потребуются следующие оценки: r r ∗ b11(s1, s2)(u(s1)E - iχ(t0, t, s1)A)h(s2)Eds1ds2∗ :( T T r r :( |b11(s1, s2)|(∗u(s1)E∗ + ∗A∗)∗h(s1)E∗ds1ds2 :( M1(∗u∗1 + ∗A∗)∗h∗1 = O(h), T T r r 1 ∗ b11(s1, s2)h(s1)h(s2)Eds1ds2∗ :( M1∗h∗2 = o(h), T T r r ∗ (b12(s1, s2), v(s2))h(s1)Eds1ds2∗ :( T T r r r :( ∗b12(s1, s2)∗∗v(s2)∗∗h(s1)∗ds1ds2 :( M3∗h∗1 T T T ∗v(s2)∗ds2 = O(h). Если B ∈ L(X, X) и α - бесконечно малая величина, то exp(Bα) - E = E + Bα + (Bα)2 + 2! (Bα)3 - + ... E = Bα + o(α). 3! Тогда, учитывая последние три оценки, имеем r ΔΦ = ψ(uE - iχ(t0, t)A, v)(i T a1(s)h(s)Eds- r r - b11(s1, s2)(u(s1)E - iχ(t0, t, s1)A)h(s2)Eds1ds2- t T r r - T T Поскольку r b11(s1, s2)h(s1)h(s2)Eds1ds2 - T r (b12(s1, s2), v(s2))h(s1)Eds1ds2 + o(h). T t r r r r b11(s1, s2)(-iχ(t0, t, s1)A)h(s2)Eds1ds2 = -i T T T t0 b11(s1, s2)Ah(s2)Eds1ds2, то, согласно определению вариационной производной, вариационная производная δpΦ δu(t) существует и справедливо равенство (6.1). Теорема доказана. Теорема 6.2. Пусть u ∈ L1(T ), ∗u∗1 < r, a1 : T → R - непрерывная на T функция |a1(t)| :( M1, a2 : T → X непрерывная функция, ∗a2(s)∗ :( M2, b11 : T × T → R, b12 : T × T → L(X, X) - равномерно непрерывны и ограничены, |b11(s1, s2)| :( M11, ∗b12(s1, s2)∗ :( M12. Тогда существует ∂Φ производная ∂Φ и справедливо равенство ∂t t r r r ∂t = iA(ia1(t)E - T b11(s1, t)Eds1 + i t0 b11(s1, t)Ads1 - T (b12(t, s2), v(s2))Eds2)Φ. (6.2) Доказательство. Пусть Δt - приращение переменной t и ΔtΦ - соответствующее приращение Φ. Учитывая свойства функции χ и определение экспоненты от ограниченного оператора, находим 1 1 Δt ΔtΦ= Δt 1 [U (t + Δt, t0)ψ(uE, v) - U (t, t0), v)ψ(uE, v)] = = Δt [ψ(uE - iχ(t0,t + Δt)A, v) - ψ(uE - iχ(t0, t)A, v)] = 1 r r = Δt {exp[i T a1(s)(u(s)E - iχ(t0, t, s)A - iχ(t, t + Δt, s)A)ds + i T (a2(s), v(s))ds- 1 r r - 2 T T b11(s1, s2)(u(s1)E - iχ(t0, t, s1)A - iχ(t, t + Δt, s1)A)(u(s2)E - iχ(t0, t, s2)A- r -iχ(t, t + Δt, s2)A)ds1ds2 - T r (b12(s1, s2), v(s2))(u(s1)E - iχ(t, t + Δt, s1)A)ds1ds2- T 1 r r - 2 T T r (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2] - exp[i T r a1(s)(u(s)E - iχ(t0, t, s)A)ds + i T (a2(s), v(s))ds- 1 r r - 2 T T b11(s1, s2)(u(s1)E - iχ(t0, t, s1)A)(u(s2)E - iχ(t0, t, s2)A)ds1ds2- r r 1 r - (b12(s1, s2), v(s2))(u(s1)E - iχ(t0, t)A)ds1ds2 - 2 T T T r (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2]} = T = t t+Δt 1 Δtψ(uE - iχ(t0, t)A, v){[exp( t+Δt t+Δt t+Δt r r a1(s)Ads + i t T t+Δt r b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2+ t t+Δt r r + t0 t r b11(s1, s2)A2ds1ds2 + t 1 r r b11(s1, s2)A2ds1ds2 - i t t 1 r (b12(s1, s2), v(s2))A) - E]} = T где = Δtψ(uE - iχ(t0, t)A)[exp W - E]= Δt Φ[W + o(W )], t t+Δt t+Δt r r W = a1(s)Ads + i t T t+Δt t+Δt t+Δt r b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2+ t t+Δt r r + t0 t r b11(s1, s2)A2ds1ds2 + t r r b11(s1, s2)A2ds1ds2 - i t t t+Δt r (b12(s1, s2), v(s2))Ads2ds1. T Согласно теореме о среднем значении [7, с. 113], ( a1(s)Ads = a(c)AΔt, где c - точка из t интервала с концами t и t + Δt. Поскольку a1 - непрерывная функция, то t+Δt 1 lim r a1(s)Ads = a(t)A. Аналогично получаем Δt→0 Δt t lim t+Δt 1 r r [i b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2+ t t+Δt r r Δt→0 Δt T t t r r + t0 t b11(s1, s2)A2ds1ds2]= i T t+Δt b11(s1, t)u(s1)Ads1 + t0 b11(s1, t)A2ds1, lim 1 r [-i r r (b12(s1, s2), v(s2))Ads2ds1]= -i (b12(t, s2), v(s2))Ads2. Δt→0 Δt t T T Пусть ε > 0 - любое число. Поскольку b11 - равномерно непрерывная функция на T × T, то найдется число δ(ε) > 0 такое, что неравенство |s - t| < δ(ε), влечет неравенство |b11(s1, s) - b(s1, t)| <ε при всех s1 ∈ T. Тогда при 0 < |Δt| < δ(ε), ∗u∗1 <r имеем t t+Δt r 1 r 2 2 " { Δt t0 t b11(s1, s2)A ds1 - b11(s1, t)A }ds2∗ = t t+Δt r 1 r = ∗ { Δt t0 t (b11(s1, s2) - b11(s1, t))A2ds1}ds2∗ :( t t+Δt r 1 r 2 2 :( { Δt t0 t |b11(s1, s2) - b11(s1, t)|∗A∗ ds1}ds2 < ε(t - t0)∗A∗ . Аналогично получаем r ∗ T 1 { Δt t+Δt r b11(s1, s2)u(s1)Ads1 - b11(s1, t)u(s1)A}ds2∗ :( t r 1 :( { Δt T t+Δt r |b11(s1, s2) - b11(s1, t)||u(s1)|∗A∗ds1}ds2∗ < ε∗A∗∗u∗1 < ε∗A∗r, t t+Δt t+Δt 1 r r 2 2 ∗Δt t b11(s1, s2)A ds1ds2∗ :( M11∗A∗ Δt = O(Δt), t Поскольку ε - произвольное положительное число, то из этих оценок следует, что при Δt → 0 существует предел lim 1 r W = a1(t)A + i t r b11(s1, t)u(s1)Ads1 + r b11(s1, t)A2ds1 - i (b12(t, s2), v(s2))Ads2ds1. Δt→0 Δt T t0 T Устремляя Δt к нулю, получаем равенство (6.2). Теорема доказана. 51. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Теорема 7.1. Пусть выполняются условия теорем 6.1 и 6.2, тогда y = U (t, t0)ψ(uE, v)= ψ(uE - iχ(t0, t)A, v)M (x0) (7.1) является решением задачи ∂y ∂t = -iA δpy δu(t) , (7.2) Доказательство. y(t0, u, v)= M (x0)ψ(u, v)). (7.3) y(t0, u, v)= ψ(uE - iχ(t0, t0)A, v)M (x0)= ψ(uE, v)M (x0)= ψ(u, v)M (x0), т. е. условие (7.3) выполнено. Из теорем 6.1 и 6.2 следует, что выполняется равенство ∂Φ ∂t = -iA δpΦ δu(t) . (7.4) Подставляя (7.1) в (7.2) и используя при этом последнее равенство, убеждаемся, что (7.1) является решением уравнения (7.2). Теорема доказана. Теорема 7.2. Решение (7.1) задачи (7.2), (7.3) единственно в классе аналитических по переменной t (в некоторой окрестности точки t0) решений. Доказательство. Пусть y1 еще одно аналитическое по переменной t решение задачи (7.1), (7.2). Рассмотрим z = y - y1. Отображение z является решением задачи ∂z ∂t = -iA δpz , δu(t) z(t0, u, v)= 0. ∞ Рассмотрим разложение z в степенной ряд z = k=0 zk (u, v)(t-t0)k. Из начального условия получаем z0 = 0. Подставим разложение для z в уравнение, получим ∞ ∞ δpzk (u, v) \"' kzk (u, v)(t - t0)k-1 = -iA \"' δu(t) (t - t0)k. k=1 k=0 δpz0 При t = t0 из этого равенства получаем z1 = -iAδu(t) = 0. Сокращая на t - t0 и полагая t = t0, δpz1 получаем z2 = -iAδu(t) = 0. Продолжая этот процесс далее, получим zk = 0 при всех k. Тогда z =0 и y = y1. Теорема доказана. 52. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ (3.3), (3.4) В задаче (3.3), (3.4) переменная v является параметром. Теорема 8.1. Пусть выполняются условия: u ∈ L1(T ), ∗u∗1 < r > 0, v ∈ L1v (T ), a1 : T → R, a2 : T → X - непрерывны, b11, b12 - равномерно непрерывны и симметричны по переменным s1, s2 на T × T, b22 непрерывно и симметрично по переменным s1, s2. Тогда t r y = U (t, t0)ψ(uE, v)M (x0) - i t0 t r δp U (t, s)ψ(uE, v)ds = δv(s) δp = ψ(uE - iχ(t0, t)A, v)M (x0) - i t0 является решением задачи (3.3), (3.4). - ψ(uE iχ(s, t)A, v)ds (8.1) δv(s) Доказательство. Произведем подстановку (8.1) в (3.3), (3.4): y(t0, u, v)= U (t, t0)ψ(uE, v)M (x0)= ψ(uE - iχ(t0, t0)A, v)M (x0)= = ψ(uE, v)M (x0)= ψ(u, v)M (x0). Начальное условие (3.4) выполняется. Используя теоремы 6.1 и 6.2, а также равенство (7.4), находим t δ ∂y ∂t = -iA δp(U (t, t0)ψ(uE, v)) δu(t) M (x0) - i δp(U (t, t)ψ(uE, v)) r δv(t) - i t0 t 2 p δv(s)δu(t) U (t, s)ψ(uE, v)ds = - - 0 0 - = iA δp [ψ(uE iχ(t , t)A, v)M (x ) i r δu(t) t0 δpy - - δp ψ(uE iχ(s, t)A, v)ds] i δv(s) δpψ(uE, v) δpψ(uE, v) = δv(t) = -iAδu(t) - i . δv(t) Следовательно, y является решением уравнения (3.3). Теорема доказана. Используя вид функционала ψ и определение U (t, t0) и функции χ, формулу (8.1) можно записать в виде r y = exp[i T t r a1(s)Eu(s)ds + t0 t 1 r a1(s)Ads - 2 T r b11(s1, s2)u(s1)u(s2)Eds1ds2+ T t t r r +i t0 T 1 r r b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2 + 2 t0 t0 b11(s1, s2)A2ds1ds2- r r - u(s1)E(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2+ T T t r r r +i T t0 A(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2]exp(i T (a2(s), v(s))ds- 1 r r - 2 T T t (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)M (x0)- t r r -i exp[i t0 T r a1(τ )Eu(τ )dτ + s 1 r r a1(τ )Adτ - 2 T T b11(s1, s2)u(s1)u(s2)Eds1ds2+ t t t r r 1 r r +i b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2 + 2 s T s s b11(s1, s2)A2ds1ds2- r r - u(s1)E(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2+ T T t r r r +i A(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2] exp(i T s T (a2(τ ), v(τ ))dτ - 1 r r - 2 T T (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)[ia2(s)- t r r - Eu(s1)b12(s1, s)ds1 + i T s r Ab12(s1, s)ds1 - T b22(s, s2)v(s2)ds2]ds. (8.2) 53. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (2.1) Теорема 9.1. Пусть выполняются условия теоремы 8.1, тогда математическое ожидание решения задачи (2.1) можно записать в виде t r M (x(t)) = ψ(-iχ(t0, t)A, 0)M (x0) - i t0 или в другой форме: δ - ψ( iχ(s, t)A, 0)ds δv(s) t r M (x(t)) = exp[ t 1 r a1(s)Ads + 2 t r b11(s1, s2)A2ds1ds2]M (x0)+ t0 t t t t r r 1 r r t0 t0 t 2 r + exp[ t0 s a1(τ )Adτ + 2 s b11(s1, s2)A ds1ds2](a2(s)+ s s Ab12(s1, s)ds1)ds. (9.1) Доказательство. Согласно определению, M (x(t)) = y(t, 0, 0). Полагая в полученных выше выражениях (8.1) u = 0, v = 0, получаем искомые формулы. Замечание 9.1. Если коэффициент b12 равен нулю, то процессы ε и f статистически независимы. Поскольку выражение (9.1) зависит от b12, то формулы для математического ожидания M (x(t)) различаются для статистически зависимых процессов ε, f и для статистически независимых. Замечание 9.2. Если b11 = 0, то ε = a1 является не случайной функцией и (9.1) определяет математическое ожидание решения задачи (2.1), в которой только f является случайным векторным процессом. Замечание 9.3. Если a1 � 0, спектр оператора A не имеет кратных собственных значений и леt t жит на мнимой оси, то спектр оператора A2 ( ( b11(s1, s2)ds1ds2 имеет отрицательные собственные t0 t0 значения (b11 по своему смыслу неотрицательная функция). В этом случае t r M (x(t)) = exp[A t0 a1(s)ds + t t A2 r r 2 t0 t0 b11(s1, s2)ds1ds2]M (x0) при возрастании t убывает. Это означает, что при этих условиях случайный шум ε(t) оказывает на систему стабилизирующее влияние! 54. СМЕШАННЫЕ МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ Основные трудности в наших построениях были связаны с нахождением формул (8.1), (8.2) для решения задачи (3.3), (3.4). Оказывается, что эти формулы полезны не только для нахождения математического ожидания M (x(t)). Из определения y следует δpy 1 1 δu(τ ) 1u=0,v=0 = iM (x(t)ε(τ )). Таким образом, смешанная моментная функция M (x(t)ε(τ )) может быть получена из y с помощью операции вариационного дифференцирования. Теорема 10.1. Пусть выполняются условия теоремы 8.1, тогда t r M (x(t)ε(τ )) = exp[i t0 t t 1 r r a1(ξ)dξ + 2 t0 t0 t r b11(s1, s2)A2ds1ds2](a1(τ )E + t0 b11(τ, s2)Ads2)M (x0)+ t t r r + {exp[i t0 s t r t t 1 r r a1(ξ)dξ + 2 t0 t0 b11(s1, s2)A2ds1ds2][(a1(τ )E+ t r + b11(τ, s2)Ads2)(a2(s)+ s s Ab12(s1, s)ds1)+ b12]}ds Доказательство. Поскольку вариационное дифференцирование не столь очевидно, то вычислим сначала вариационную производную: δpy r = exp[i t r a (s)Eu(s)ds + a (s)Ads 1 r r b (s ,s )u(s )u(s )Eds ds + δu(τ ) 1 T t r r 1 - 2 t0 T T t t 1 r r 11 1 2 1 2 1 2 2 +i t0 T b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2 + 2 t0 t0 b11(s1, s2)A ds1ds2- r r - u(s1)E(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2+ T T t t r r r r +i T t0 A(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2](ia1(τ )E - T r b11(τ, s2)u(s2)Eds2 + i t0 r b11(τ, s2)Ads2- - E(b12(τ, s2), v(s2))ds2) exp(i T T (a2(s), v(s))ds- 1 r r - 2 T T t (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)M (x0)- t r r -i {exp[i t0 T r a1(ξ)Eu(ξ)dξ + s t 1 r r a1(ξ)Adξ - 2 T T t t b11(s1, s2)u(s1)u(s2)Eds1ds2+ r r 1 r r +i b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2 + 2 s T s s b11(s1, s2)A2ds1ds2- r r - u(s1)E(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2+ T T t r r r +i A(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2](ia1(τ )E - T s T r t r b11(τ, s2)u(s2)Eds2 + i s r b11(τ, s2)Ads2- 1 r r - E(b12(τ, s2), v(s2))ds2)[exp(i T T (a2(ξ), v(ξ))dξ- r - 2 (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)][ia2(s) - T T T t Eu(s1)b12(s1, s)ds1+ r r +i Ab12(s1, s)ds1 - s T t b22(s, s2)v(s2)ds2]+ r + exp[i T r a1(τ )Eu(τ )dτ + s t 1 r a1(τ )Adτ - 2 T r b11(s1, s2)u(s1)u(s2)Eds1ds2+ T t t r r 1 r r +i b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2 + 2 s T s s b11(s1, s2)A2ds1ds2- r r - u(s1)E(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2+ T T t r r r +i A(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2] exp(i T s T (a2(ξ), v(ξ))dξ- 1 r r - 2 T T (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)(-Eb12(τ, s))}ds. Полагая в этом выражении u = 0, v = 0, приходим к указанному в теореме выражению для смешанной моментной функции. Теорема доказана. Более громозко выражение для второй смешанной функции (M (x(t)(f (τ ), ω)), ω). Теорема 10.2. Если выполняются условия теоремы 8.1, то t r (M (x(t)(f (τ ), ω)), ω) = (exp( t r a1(s)Ads){( Ab12(s1,τ )ds1, ω) + (a2(τ ), ω)}M (x0), ω)+ t0 t0 t t t r r r +( {exp( t0 s a1(ξ)Adξ){( s Ab12(s1,τ )ds1, ω)a2(s)+ (a2(τ ), ω)a2(s)+ b22(s, τ )ω}}ds, ω). (10.1) Доказательство. Используя определение y, находим δp ( δv(τ )(y, ω), ω)|u=0,v=0 = (M (x(t)e(u, v)i(f (τ ), ω)), ω)|u=0,v=0 = i(M (x(t)(f (τ ), ω)), ω). Таким образом, (M (x(t)(f (τ ), ω)), ω) можно найти вариационным дифференцированием y. Используя выражение (8.2), находим δp r ( δv(τ )(y, ω), ω) = (exp[i T t r a1(s)Eu(s)ds + t0 1 r r a1(s)Ads - 2 T T b11(s1, s2)u(s1)u(s2)Eds1ds2+ t r r +i t0 T t t 1 r r b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2 + 2 t0 t0 b11(s1, s2)A2ds1ds2- r r - u(s1)E(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2+ T T t r r +i T t0 r A(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2]{((- T u(s1)Eb12(s1,τ )ds1+ t r r +i Ab12(s1,τ )ds1), ω) exp(i t0 T 1 r (a2(s), v(s))ds - 2 T r r (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)+ T 1 r r + exp(i T (a2(s), v(s))ds- r - 2 (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)((ia2(τ ) - T T T b22(τ, s2)v(s2)ds2), ω)}M (x0), ω)- t r -(i t0 r exp[i T t r a1(ξ)Eu(ξ)dξ + s 1 r r a1(ξ)Adξ - 2 T T b11(s1, s2)u(s1)u(s2)Eds1ds2+ t t t r r 1 r r +i b11(s1, s2)u(s1)Ads1ds2 + 2 s T s s b11(s1, s2)A2ds1ds2- r r - u(s1)E(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2+ T T t r r r +i A(b12(s1, s2), v(s2))ds1ds2]{((- T s T u(s1)Eb12(s1,τ )ds1+ 1 r r t r r +i Ab12(s1,τ )ds1), ω) exp(i s T r (a2(s), v(s))ds- r - 2 (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)[ia2(s) - T T T r Eu(s1)b12(s1, s)ds1 - T b22(s, s2)v(s2)ds2]+ 1 r r + exp(i T (a2(s), v(s))ds- r - 2 (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)((ia2(τ ) - T T T r r b22(τ, s2)v(s2)ds2), ω)(ia2(s)- r - Eu(s1)b12(s1, s)ds1 - T T b22(s, s2)v(s2)ds2)+ exp(i T (a2(s), v(s))ds- 1 r r - 2 T T (b22(s1, s2)v(s1), v(s2))ds1ds2)(-b22(s, τ )ω)}}ds, ω). Подставляя в это выражение u = 0, v = 0, находим (10.1). Теорема доказана. 55. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В статье рассмотрена задача о нахождении моментных функций решения задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Все изложение проводится без использования базиса. Рассматривается задача, когда случайные коэффициенты заданы гауссовым характеристическим функционалом и могут быть статистически зависимыми. Однако для нахождения математического ожидания решения (см. формулу (9.1)) достаточно знать математическое ожидание и ковариационную функцию случайного коэффициента ε и всего лишь математическое ожидание a2(t) = M (f (t)) случайного процесса f и b12(s1, s) = M (ε(s1)f (s)) - M (ε(s1))M (f (s)). Полученные в процессе исследования формулы (8.1), (8.2) для вспомогательного отображения y позволяют находить при помощи сравнительно δ2 простой операции вариационного дифференцирования смешанные моментные функции более высокого порядка, например, M (x(t)ε(τ )), (M (x(t)(f (τ ), ω)), ω). Аналогично можно найти, например, py 1 M (x(t)ε(τ1)ε(τ2)) = - δu(τ )δu(τ ) 1 и другие. 1 2 1u=0,v=0