ε-Positional Strategies in the Theory of Differential Pursuit Games and the Invariance of a Constant Multivalued Mapping in the Heat Conductivity Problem

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Для эффективного решения линейных дифференциальных игр преследования-убегания с пози- ции преследователя разработано несколько методов. В фундаментальной работе [11] Л. С. Понтря- гин дал полное изложение своих результатов по линейным дифференциальным играм, в частности, о первом методе, к достоинством которого относится его эффективность при решении конкретных задач [5]. В работе [12] рассмотрена задача о возможности завершения преследования для момента пер- вого поглощения. Однако существуют примеры (см. [8]), показывающие, что за время первого поглощения завершить преследование невозможно, хотя время первого попадания конечное. В работе [16] приведены достаточные условия для завершения преследования в линейных диффе- ренциальных играх при различных модификациях методов теории дифференциальных игр. Важ- ным результатом этой работы является то, что обобщение первого метода Понтрягина привело к созданию третьего метода. В свою очередь, третий метод Н. Ю. Сатимова был обобщен М. С. Ни- кольским [9], А. Азамовым, Б. Т. Саматовым [1]. Заметим, что третий метод является сильнее первого, но слабее второго метода. При этом управление преследующего, гарантирующее заверше- ние преследования, задается в виде стробоскопической стратегии. Результаты работ [4, 12, 16, 17] отличаются от работ [5, 8-11, 13, 14, 19, 20, 24] тем, что стратегия преследователя является пози- ционной. В первой части показано, что при выполнении предположения работы [1] и еще одного дополни- тельного условия на параметры игры преследование может быть завершено на любой окрестности терминального множества. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 124 Во второй части работы рассматриваются вопросы о сильной и слабой инвариантности по- стоянного многозначного отображения относительно системы с распределенными параметрами, в которых управляющее воздействие имеет импульсный характер, что выражается при помощи дельта-функции Дирака [7]. Цель изучения инвариантных множеств сводится к тому, чтобы как можно дольше удержать траекторию движения объекта в пределах заданного множества (области выживаемости). В ранее изученных задачах получены заметные успехи, в основном, для управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями [2, 15, 18, 23, 25]. В работах [2, 15, 23, 25] и других авторов были получены интересные результаты в вопросе об инвариантности заданных множеств относительно систем с сосредоточенными параметрами, а в работах [21, 22, 26] с распределенными параметрами. В работах [21, 22] рассмотрены управляемый процесс, описываемый уравнением параболическо- го типа, при этом управляющий параметр, на который наложены геометрическое и интегральное ограничения, участвует в правой части уравнения в аддитивной форме. Приведены условия на постоянные данные, обеспечивающие слабую или сильную инвариантность постоянного много- значного отображения. В работе [26] получены аналогичные результаты при наличии информации с запаздыванием. ЗАДАЧА I 1.1. Вспомогательные построения. Рассматривается линейная дифференциальная игра пресле- дования, описываемая уравнением z˙ = Cz - u + v, z ∈ Rn, (1.1) где z - фазовый вектор; u, v ∈ Rn - параметры управления; C - постоянная матрица порядка n×n; P, Q - непустые компактные подмножества пространства Rn, терминальным является непустое подмножество M пространства Rn. Уравнение (1.1) и множества P, Q, M описывают дифференциальную игру двух игроков: пресле- дующего, который распоряжается вектором u, и убегающего, который распоряжается вектором v. Движение точки z начинается при t = 0 и протекает под воздействием измеримых функций u(t) ∈ P и v(t) ∈ Q при t -;: 0, которых называем допустимыми управлениями преследующего и убегающего игроков соответственно. Вкратце, остановимся на третьем методе в задаче преследования. Будем говорить, что из начального состояния z(0) = z0 возможно окончание игры преследова- ния, если у догоняющего есть такая допустимая стратегия U (z0, t, v), что при любом допустимом v(t) ∈ Q и u[t]= U (z0, t, v(t)) ∈ P, t -;: 0, существует конечный момент времени τ > 0 такой, что: z(τ ) ∈ M, где z(t), t -;: 0 - соответствующее решение задачи (1.1) при u = u[t], v = v(t), t -;: 0. Через Ω(Rn) обозначим пространство, состоящее из всех непустых компактных подмножеств пространства Rn. Определение 1.1. Через Γ(M ) обозначим всю совокупность суммируемых многозначных отоб- τ ражений M (·): [0,τ ] → Ω(Rn), для которых имеет место включение Г M (s) ds ⊂ M. 0 Теорема 1.1. Если для данной начальной точки z0 ∈/ M при некотором моменте времени τ выполнено включение eτCz0 ∈ 1 τ ( ((M (s)+ e (τ -s)C P ∗ e(τ -s)C Q ds, (1.2) M (·)∈Γ(M ) 0 то из точки z0 возможно завершение преследования за время τ. Теперь переходим к изложению нашего результата. Показывается, что если добавить еще одно условие, то игру можно закончить ε-позиционной стратегией к моменту τ на любой α-окрестности множества M. Лемма 1.1. Пусть τ0 < τ1 < ... < τk - последовательность моментов времени, где τ0 = 0, τk = τ. Тогда для данного многозначного отображения M (·) ∈ Γ(M ) при условии e-τCM (s)+ e-sCP ∗ e-sCQ ±= ∅, 0 � s � τ, верно следующее включение: τ k τi τi ⊂ ( ((e-τCM (s)+ e-sCP ∗ e-sCQ ds )( ( (e-τCM (s)+ e-sCP ds ∗ ( e-sCQds . (1.3) 0 i=1 τi-1 τi-1 Доказательство. Доказательство этой леммы следует из аддитивности интеграла и включения b ⊂ ( (F (s) ∗ G(s) ds a b ( F (s) ds ∗ a b ( G(s) ds, a справедливость которого, в свою очередь, вытекает из следующих рассуждений. Пусть h ∈ b Г (F (s) ∗ G(s) ds. Тогда по определению интеграла от многозначного отображения следует a существование интегрируемой однозначной ветви h(s), a � s � b, многозначного отображения F (s) ∗ G(s) такой, что имеет место равенство b ( h = h(s) ds. (1.4) a По определению операции геометрической разности, имеем h(s)+ G(s) ⊂ F (s), a � s � b. Проин- тегрируем обе части этого включения в пределах от a до b. Тогда получаем или b b ( ( h(s) ds + a a b ( G(s) ds ⊂ a F (s) ds, b b ( ( h(s) ds ∈ a a F (s) ds ∗ b ( G(s) ds. a Отсюда и из (1.4) получим доказательство леммы. Условие A. Для произвольных t -;: 0 и 0 � a < b имеет место включение b ( e-sCP ds ⊂ a b ( e-(t+s)CP ds. a Теорема. Пусть для данного начального положения z0 при некотором конечном времени τ выполнены включение (1.2) и условие A. Тогда для любого положительного числа α суще- ствует такая ε-позиционная стратегия U (z0, t, z) преследующего игрока, что при любом управлении убегающего игрока v(·) решение z(t), 0 � t � τ, задачи Коши z˙ = Cz - U (z0, t, z)+ v(t), z(0) = z0 удовлетворяет включению z(τ ) ∈ Mα, где через Mα обозначена α-окрестность множества M. Доказательство. Допустим, что для момента времени τ выполнены включение (1.2) и условие A. Известно, что если u(s) ∈ P, v(s) ∈ Q, 0 � s � t - произвольные допустимые управления пресле- дующего и убегающего игроков соответственно, то после подстановки их в правую часть уравне- ния (1.1) получим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений z˙ = Cz - u(t)+ v(t), решение которой с начальным условием z(0) = z0 представляется формулой Коши: t ( z(t)= etCz0 - 0 e(t-s)C (u(s) - v(s)) ds. (1.5) Для данного положительного числа α выберем натуральное число k так, чтобы имело место неравенство kε ( e(τ -s)C P ds < α , (1.6) 2 (k-1)ε где ε = τ и для компактного множества F : F = max{||f || : f ∈ F �. k Из соотношений (1.2), (1.3) следует, что для данного начального положения z0 и момента iε времени τ существуют многозначное отображение M (·) ∈ Γ(M ) и векторы gi ∈ iε Г (i-1)ε (e-τC M (s)+ e-sCP ) ds ∗ Г (i-1)ε e-sCQ ds, i = 1, 2,..., k, для которых имеет место равенство z0 = g1 + g2 + ... + gk. (1.7) Пусть теперь v(s) ∈ Q, 0 � s � τ - произвольное допустимое управление убегающего игро- ка. На отрезке [0, ε] преследующий игрок выбирает произвольное допустимое управление u(1)(s), 0 � s � ε. Далее применим метод математической индукции по i. Пусть i = 1. Тогда из формулы Ко- ши (1.5) в момент времени ε имеем позицию вида ε ( z(ε)= eεCz0 - 0 Отсюда получаем следующее равенство: e(ε-s)C (u(1)(s) - v(s) ds. z(ε) - eεC в силу условия A имеем / ε ( z0 - g1 - 0 \ e-sCu(1)(s) ds = eεC / ε ( g1 + 0 \ e-sCv(s) ds , (1.8) ε ( g1 + 0 ε ( e-sCv(s) ds ∈ g1 + 0 e-sCQ ds ⊂ ε ( (e-τC -εC -sC M (s)+ e e P ) ds ⊂ 0 ⊂ Таким образом, из (1.8) получаем ε ( e-τC M (s) ds + 0 2ε ( e-sCP ds. ε ε ( z(ε) - eεC (z0 - g1 - 0 ds e-sCu(1)(s) = eεC ε (g1 + ( 0 ds e-sCv(s) ∈ ∈ eεC ε (( e-τC M (s) ds + 0 2ε ( e-sCP ds . ε Следовательно, зная z(ε) и z0, можно найти допустимое управление u(2)(s) ∈ P, ε � s � 2ε такое, что выполняются включения z(ε) - eεC / ε ( z0 - g1 - 0 ε \ e-sCu(1)(s) ds ε ∈ eεC ( o ( e-τC M (s) ds + 0 2ε 2ε ds ( e-sCu(2)(s) , ε ( g1 + 0 e-sCv(s) ds ∈ ( ( e-τC M (s) ds + 0 ε e-sCu(2)(s) ds. Теперь, считая, что аналогичные соотношения верны при i - 1, выведем соответствующие равен- ства для i, 1 < i < k. Используя явный вид (1.5) решения системы (1.1), записываем его значение к моменту iε : z(iε)= eiεCz0 - iε ( e(iε-s)C (u(s) - v(s) ds. 0 После несложных преобразований получаем: / o 2ε ( ( z(iε) - eiεC z0 - g1 - g2 - ... - gi + g1 + 0 e-sCv(s) ds + g2 + ε e-sCv(s) ds + ... ... + gi-1 + (i-1)ε ε ( ( e-sCv(s) ds - e-sCu(1)(s) ds - 2ε ( e-sCu(2)(s) ds + 3ε ( e-sCu(3)(s) ds + ... ... + (i-2)ε 0 ε 2ε iε \ / (i-1)ε iε \ ( (i-1)ε e-sCu(i)(s) ds ∈ eiεC ( e-τC M (s) ds + gi + 0 ( (i-1)ε e-sCv(s) ds . (1.9) Отсюда в силу условия A имеем iε iε iε ( ( ( gi + (i-1)ε e-sCv(s) ds ∈ gi + (i-1)ε e-sCQ ds ⊂ (i-1)ε e-τC M (s) ds + iε ( + (i-1)ε e-sCP ds ⊂ iε ( e-τC M (s) ds + (i-1)ε (i+1)ε ( e-sCP ds. (1.10) iε Таким образом, из (1.9) и (1.10) следует, что существует допустимое управление u(i+1)(s) ∈ P, iε � s � (i + 1)ε такое, что: z(iε) - eiεC / ε ( z0 - g1 - g2 - ... - gi - 0 \ e-sCu(1)(s) ds ∈ iε (( (i+1)ε ( ∈ eiεC iε ( e-τC M (s) ds + 0 iε iε ( e-sCu(i+1)(s) ds , (i+1)ε ( gi + (i-1)ε e-sCv(s) ds ∈ 0 e-τC M (s) ds + iε e-sCu(i+1)(s) ds. Если повторить все рассуждения для случая k, то из (1.9) и (1.10) получаем z(kε) - ekεC / ε ( z0 - g1 - g2 - ... - gk - 0 \ e-sCu(1)(s) ds = ekεC / gk + kε ( (k-1)ε \ e-sCv(s) ds ∈ ∈ ekεC / gk + kε ( (k-1)ε \ e-sCQ ds ⊂ ekεC kε (( e-τC M (s) ds + 0 kε ( (k-1)ε e-sCP ds . Из последнего включения и равенства (1.7) имеем z(τ ) ∈ τ ε ( ( M (s) ds - 0 0 e(τ -s)CP ds + τ ( (k-1)ε e(τ -s)CP ds. Отсюда, учитывая то, что M (·) ∈ Γ(M ), и неравенства (1.6), получаем z(τ ) ∈ Mα. Этим заканчивается доказательство теоремы. ЗАДАЧА II Вспомогательные построения. Через A обозначим дифференциальный оператор n Aϕ = - ) i,j=1 ∂ ∂xi ( ∂ϕ j a ij (x) ∂x , x ∈ Ω, (2.1) где функции aij (x) ∈ Lp(Ω), p -;: 1 удовлетворяют условиям: 1. aij (x)= aji(x), i, j = 1,..., n, x ∈ Ω; 2. существует положительная константа γ такая, что n n i ) aij (x)ξiξj -;: γ ) ξ2, (2.2) i,j=1 i=1 n для любых x ∈ Ω и вещественных чисел ξ1, ξ2,..., ξn, i ), ξ2 ±= 0. i=1 Неравенство (2.2) называется условием равномерной эллиптичности оператора A. В качестве области определения оператора A берется пространство C2(Ω) дважды непрерывно дифференци- руемых в Ω и непрерывных в Ω функций. 2 Определение 2.1. Пусть ϕ(·) ∈ W˚ 1(Ω) - функция, не равная нулю. Число λ, при котором имеет место равенство ( n ∂ϕ(x) ∂ψ(x) ( ) - Ω i,j=1 aij (x) ∂xi ∂xj dx = λ Ω ϕ(x)ψ(x)dx, для произвольных функций ψ(·) ∈ 2 W˚ 1(Ω), называется собственным значением, а ϕ(·) - соб- ственной функцией, соответствующей λ, следующей краевой задачи: Aϕ(x)= λϕ(x), x ∈ Ω, ϕ(x)= 0, x ∈ ∂Ω. (2.3) Здесь W˚ 1(Ω) - подпространство W 1(Ω), в котором плотным множеством является множество 2 2 2 гладких функций, равных нулю вблизи ∂Ω, а W 1(Ω) - гильбертово пространство, состоящее из элементов пространства L2(Ω), имеющих квадратично суммируемые обобщенные производные ϕxi , i = 1,..., n. Поскольку задача однородна, то можно считать ( ϕ2(x)dx = 1. Ω Можно показать, что оператор (2.1) имеет дискретный спектр [6], то есть: Существует счетная система собственных значений {λk } краевой задачи (2.3) такая, что 0 < λ1 � λ2 � ... � λn � ..., λn → ∞, n → ∞; Каждому собственному значению λk соответствует конечное число собственных функций ϕk (x) таких, что Г ϕi(x)ϕj (x)dx = δij, где Ω δij = ( 1 при i = j, 0 при i ±= j; Система всех собственных функций {ϕk } полна (замкнута) в пространстве L2(Ω), т. е. любую функцию f (·) из пространства L2(Ω) можно представить в единственном виде ∞ f (x)= ) fkϕk (x), x ∈ Ω, (2.4) k=1 где равенство понимается в смысле ( г N f (x) - ) fkϕk (x) Ω k=1 2 dx → 0, N → ∞. Коэффициенты Фурье fk ряда (2.4) определяются формулой ( fk = Ω f (x)ϕk (x)dx, а сам ряд (2.4) называется рядом Фурье функции f (x). При соответствующих условиях на функ- ции aij (·), ϕ(·), ψ(·), формула Грина записывается в следующем виде [6]: ( (ψAϕ(x) Ω - ϕ(x)Aψ dx = 0. (2.5) Предположения и вспомогательные утверждения. Рассмотрим следующую задачу управ- ления теплообменом [3]: ∂u(x, t) ∂t + Au(x, t)= F (x, t, μ), 0 < t � T, x ∈ Ω (2.6) с граничным и начальным условиями u(x, t)= 0, 0 � t � T, x ∈ ∂Ω, (2.7) u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω. (2.8) Здесь u = u(t, x) - неизвестная функция, T - произвольное положительное число, F (x, t, μ) и u0(·) - заданные функции своих аргументов, а μ - управляющий параметр; функцией F опреде- ляется общая задача об управлении с импульсом. W 1,1 Обобщенным решением краевой задачи (2.6)-(2.8) на отрезке [0,T ] называется функция u(·, ·) ∈ 2 (Ω × [0,T ]), удовлетворяющая тождеству (t ( n dτ ) aij (x) ∂u(x, τ ) ∂ψ(x, τ ) t ( ( dx - dτ u(x, τ ) ∂ψ(x, τ ) dx + 0 Ω i,j=1 ∂xi ∂xj ∂τ 0 Ω ( ( + u(x, t)ψ(x, t)dx - Ω Ω t ( ( u(x, 0)ψ(x, 0)dx = dτ 0 Ω F (x, τ, μ)ψ(x, τ )dx. 2 при любых t ∈ [0,T ], ψ(·, ·) ∈ W 1,1(Ω × [0,T ]) (см. [3, 6]). Решение задачи (2.6)-(2.8) формально представим в виде ряда ∞ u(x, t)= ) uk (t)ϕk (x). (2.9) k=1 Для нахождения функций uk (·), k = 1, 2,..., ∞ умножаем (2.6) на функцию ϕk (x), затем проин- тегрируем полученные тождества по области Ω. Тогда имеем следующие тождества: - ( ( ∂u(x, t) + Au(x, t) ∂t F (x, t, μ) ϕk (x)dx ≡ 0, k = 1, 2,..., ∞. (2.10) Ω Согласно формуле (2.5), при ψ = ϕk (x), ϕ(x)= u(x, t), получаем ( ( ϕk (x)Au(x, t)dx = Ω Ω u(x, t)Aϕk (x)dx. (2.11) Но по определению функций u(x, t), ϕk (x) с учетом (2.3) имеем Aϕk (x)= λkϕk (x), x ∈ Ω. Поэтому из (2.11) получаем Теперь, учитывая то, что ( ϕk (x)Au(x, t)dx = λkuk (t). (2.12) Ω из формул (2.10) и (2.12) имеем ( ∂u(x, t) ∂t Ω ( ϕk (x)dx = duk (t) , dt u˙ k (t)+ λkuk (t)= Ω F (x, t, μ)ϕk (x)dx, 0 � t � T, k = 1, 2,... (2.13) Так как функция (2.9) должна удовлетворять начальному условию u(x, 0) = u0(x), то ( k uk (0) = u0 = Ω u0(x)ϕk (x)dx, k = 1, 2,.... Имея это в виду из (2.13) находим t ( k uk (t)= e-λktu0 + ( e-λk (t-τ ) F (x, t, μ)ϕk (x)dxdτ, k = 1, 2,... (2.14) 0 Ω Таким образом, (2.9) и (2.14) на отрезке [0, T ] определяют формальное решение задачи (2.6)- (2.8) в виде ∞ u(x, t)= ) k=1 г (t k e-λktu0 + 0 ( e-λk (t-τ ) Ω F (x, t, μ)ϕk (x)dxdτ ϕk (x). (2.15) i=0 Определения и основные результаты. Пусть {ti}∞ , t0 > 0 - последовательность моментов времени, занумерованных в порядке возрастания, без конечных точек сгущения. Предположим, что преследователь может воздействовать на систему (2.6) только в моменты {ti} и его воздействия имеют импульсный характер, что выражается при помощи дельта-функции Дирака [3, 7]: ∞ F (x, t, μ(·)) = ) μ(x)δ(t - ti), x ∈ Ω,t -;: 0. (2.16) i=0 Предположим также, что управление μ(·) представляет собой измеримую функцию. Определение 2.2. Функцию μ(·), удовлетворяющую условию ( ∞ / \2 ) μ(ξ)ϕk (ξ)ds ∞ k = ) μ2 � ρ2, k=1 Ω k=1 где ρ - некоторая положительная константа, μk - коэффициенты Фурье функции μ(·) по системе {ϕk }, назовем допустимым управлением. Определение 2.3 (см. [7, 21, 22, 26]). Многозначное отображение W : [0,T ] → 2R, где R = (-∞, ∞), называется сильно инвариантным на отрезке [0,T ] относительно задачи (2.6)-(2.8), если для любых (u0(·)⊗∈ W (0) и допустимых μ(·) выполняется включение (u(·, t)⊗∈ W (t) при всех 0 < t � T, где (⊗ - соответствующая норма, u(x, t) - соответствующее решение задачи (2.6)-(2.8). Определение 2.4. Многозначное отображение W : [0,T ] → 2R, где R = (-∞, ∞), называется слабо инвариантным на отрезке [0,T ] относительно задачи (2.6)-(2.8), если для любого (u0(·)⊗∈ W (0) существует допустимое управление μ(·) такое, что (u(·, t)⊗∈ W (t) при всех 0 < t � T . В данном пункте исследуются сильная и слабая инвариантность отображения вида W (t)= [0, b], 0 � t � T, где b - положительная константа. Дальнейшей нашей целью является нахождение такой связи между параметрами T, b, ρ и λi, чтобы обеспечить сильную или слабую инвариантность отображения W (t) на отрезке [0,T ] отно- сительно задачи (2.6)-(2.8). Обозначим N (t)= max{i ∈ N ∪ {0} : ti � t � T }. 2 Случай (u(·, t)⊗ = lu(·, t)l = lu(·, t)lL2(Ω), 0 � t � T. Здесь lu(·, t)l = Г |u(ξ, t)|2 Ω dξ = ),∞ k=1 u2 k (t), 0 � t � T, uk (·) - коэффициенты Фурье функции u(·, ·) по системе {ϕk (·)}. Тогда из (2.15) и (2.16) следует ∞ г (t ( N (t) 2 ||u(·, t)||2 = ) k=1 k e-λktu0 + 0 e-λk (t-τ ) Ω ) μ(ξ)δ(τ - ti)ϕk (ξ)dξdτ = i=0 Теорема 2.1. ∞ г = ) k=1 k + μk e-λktu0 ( N (t) t ) i=0 0 e-λk (t-τ ) δ(τ - ti)dτ 2 , t ∈ [0,T ]. (2.17) 1◦. Пусть t0 > T, тогда при любом ρ -;: 0 многозначное отображение W (t) сильно инвари- антно на отрезке [0,T ] относительно задачи (2.6)-(2.8). ( / N (T ) 2◦. Пусть t0 � T. Если ρ � b · eλ1t0 - 1 ), i=0 eλ1ti , то многозначное отображение W (t) сильно инвариантно на отрезке [0,T ] относительно задачи (2.6)-(2.8). Доказательство. Покажем, что отображение W (t) сильно инвариантно на отрезке [0,T ] относи- тельно задачи (2.6)-(2.8). Пусть u0(·) - произвольное начальное положение с условием lu0(·)l � b, а μ(·) - произвольное допустимое управление. 1◦. Допустим, t0 > T. Тогда из (2.17) следует ∞ ∞ ||u(·, t)||2 = ) e-2λkt|u0 |2 � ) e-2λ1t|u0 |2 � b2. k=1 k / N (T ) k k=1 2◦. Допустим, t0 � T и ρ � b · (eλ1t0 - 1 ), i=0 eλ1ti . Пусть t ∈ [0, t0). Тогда можно показать аналогично 1◦, что ||u(·, t)|| � b. Пусть t ∈ [t0,T ]. Тогда ∞ г ||u(·, t)||2 = ) k=1 N (t) (t k e-λktu0 + μk ) i=0 0 2 e-λk (t-τ )δ(t - ti)dτ = ∞ г = ) k=1 k + μk e-λktu0 N (t) ) i=0 2 e-λk (t-ti) � ∞ г � ) k=1 k | e-2λkt|u0 2 + 2e -λkt 0 |uk ||μk | N (t) ) i=0 e-λk (t-ti) + |μk |2 / N (t) ) i=0 e-λk (t-ti) \2 � � e-2λ1t г ∞ |u0 2 ) k | k=1 ∞ +2 ) k=1 0 |uk ||μk | N (t) ) i=0 eλ1ti ∞ + ) k=1 |μk | N (t) 2( ) i=0 eλ1ti 2 . Теперь, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим из среднего слагаемого г N (t) N (t) 2 г N (t) 2 ||u(·, t)||2 � e-2λ1t b2 + 2bρ ) eλ1ti + ρ2( ) eλ1ti = e-2λ1t b + ρ ) eλ1ti . (2.18) i=0 i=0 i=0 Следовательно, ||u(·, t)||2 � b2. Это означает, что W (t), t ∈ [0,T ] сильно инвариантно относительно задачи (2.6)-(2.8). Теорема 2.1 доказана. Примечание 2.1. Можно показать, что многозначное отображение W (t) всегда слабо инвари- антно на отрезке [0,T ] относительно задачи (2.6)-(2.8). Действительно, для любых ||u0(·)|| ∈ W (0) при μ(t)= 0, t -;: 0, имеем ||u(·, t)|| ∈ W (t) для всех 0 < t � T. 2 Б. Случай (u(·, ·)⊗ = lu(·, ·)l = lu(·, ·)lL2(Ω×[0,T ]). Здесь lu(·, ·)l T = Г ||u(·, t)||2dt = ),∞ T 2 Г uk (t)dt. Теорема 2.2. 0 k=1 0 1◦. Пусть t0 > T и 2λ1 -;: 1, тогда при любом ρ -;: 0 многозначное отображение W (t) сильно инвариантно на отрезке [0,T ] относительно задачи (2.6)-(2.8). (/ 2λ1 / N (T ) λ t 2◦. Пусть t0 � T и ρ � b · 1 - e -2λ1T - 1 ), i=0 e 1 i , тогда многозначное отображение W (t) сильно инвариантно на отрезке [0,T ] относительно задачи (2.6)-(2.8). Доказательство. 1◦. Пусть t0 > T и 2λ1 -;: 1. Из (2.17) следует T ( ∞ ||u(·, ·)||2 = ) e-2λkt|u0 |2dt � 1 - e -2λ1T · b2 � b2. k=1 0 / 2λ1 k / N (T ) 2λ1 2◦. Пусть t0 � T и ρ � b · ( 1 - e-2λ1T - 1 ), i=0 eλ1ti . Из (2.18) вытекает ∞ ||u(·, ·)||2 = ) T e λ tu0 + μk ( ) ( г N (t) (t - k k 2 e-λk (t-τ )δ(t - ti)dτ dt � k=1 0 i=0 0 T ( � e-2λ1t г N (t) b + ρ ) eλ1ti - 2 1 e- dt � 2λ1T г N (T ) 2 b + ρ ) eλ1ti � b2. 0 i=0 2λ1 i=0 Следовательно, многозначное отображение W (t) сильно инвариантно на отрезке [0,T ] относитель- но задачи (2.6)-(2.8). Теорема 2.2 доказана. Примечание 2.2. Как и в примечании 2.1, можно показать, что многозначное отображение W (t) всегда слабо инвариантно на отрезке [0,T ] относительно задачи (2.6)-(2.8).

About the authors

M Tukhtasinov

National University of Uzbekistan named after M. Ulugbek

Email: mumin51@mail.ru
Tashkent, Uzbekistan

Kh Ya Mustapokulov

National University of Uzbekistan named after M. Ulugbek

Email: m_hamdam@mail.ru
Tashkent, Uzbekistan

References

Supplementary files