On the behavior of solutions to the initial value problem for parabolic differential-difference equations with a summable initial function

Full Text

1. Введение В данной работе рассматривается начальная задача для параболических дифференциальноразностных уравнений с пространственными сдвигами: в одном случае задача Коши ставится для уравнения, содержащего сдвиги в старших производных, в другом случае - для уравнения со сдвигами в неизвестной функции. Одним из важных аспектов при изучении качественных характеристик решений начальных задач является функциональный класс начальных данных. В настоящей работе в обоих случаях начальная функция полагается суммируемой, что в классическом подходе (в смысле дифференциальных уравнений) оправдано в том числе и с точки зрения физического смысла - решения обладают конечной полной массой и полным теплом. В качестве ключевых работ, посвященных изучению свойств решений параболических © Г.Л. Россовский, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 585 дифференциально-разностных уравнений и связанных с ними задач, следует отметить монографию А.Б. Муравника [2], где начальная функция является существенно ограниченной. Наряду с начальными и начально-краевыми задачами для дифференциально-разностных уравнений параболического типа стоит отметить и связанный с ними класс граничных задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, являющийся объектом исследования многих как российских, так и зарубежных авторов, включая работы А.Л. Скубачевского [7] и Л.Е. Россовского [5], а также класс параболических и эллиптических дифференциальных уравнений с эквивариантными и нелокальными граничными условиями, которые имеют приложения во многих областях прикладного исследования, например, в теории плазмы, квантовой механике [1, 3, 8-11]. Как видно в том числе из работ Э.Б. Дэйвиса [12] и А.А. Григорьяна [13], качественные свойства решений исследуемых параболических уравнений, как функционально-дифференциальных, так и дифференциально-разностных, а также решения связанных с ними задач, в первую очередь зависят от свойств ядер пуассоновского типа (например, в случае начальной задачи для уравнения теплопроводности - с тепловым ядром). В этой работе уделяется внимание не только тому, как характеристики получаемого для конкретной задачи ядра влияют на поведение решения при больших значениях времени, но и тем различиям, которые возникают при исследовании классов сходимости решений ставящихся задач к начальным условиям при сдвигах в нелокальных членах разного порядка. Как будет отмечено, на функциональный класс, в котором будет пониматься решение, влияет в том числе и размерность той области, в которой рассматривается задача, что, как следствие, требует разных технических подходов к доказательству. Начиная с работ [4, 14], в которых исследовались уравнения со сдвигами только в неизвестной функции, начальные данные задачи полагаются суммируемыми, что все еще является сравнительно новым в контексте рассматриваемых в работе задач. Модельное же уравнение со сдвигами в старшей производной с подобными начальными условиями является мало исследованным. В данной работе на примере многомерного пространственного сдвига изучается поведение решений двух поставленных задач и проводится их сравнительный анализ. Также впервые доказана сходимость решения задачи для уравнения со сдвигами в младших членах к начальной функции в классе суммируемых функций. 2. Построение фундаментального решения параболического уравнения со сдвигом в старших производных Рассмотрим в полупространстве x ∈ Rn,t > 0 следующее модельное параболическое дифференциально-разностное уравнение с одним сдвигом по пространственным координатам в старших членах (для каждой из старших производных в лапласиане функции u(x,t) сдвиг полагается одним и тем же): . (2.1) Здесь a ∈ R - коэффициент перед членами со сдвигом, h ∈ Rn - вектор пространственного сдвига. Так как оператор Лапласа инвариантен относительно группы поворотов в Rn, мы можем, не ограничивая общности, сразу рассмотреть вектор сдвига вдоль одной из пространственных осей, то есть, например, положить h = h1e¯1 (где e¯1 - это орт, направленный вдоль оси x1), так как, очевидно, существует невырожденное преобразование системы координат (x1,...,xn), переводящее вектор h˜ = (h˜1,h˜2,...,h˜n) в вектор h = (h1,0,...,0), причем мы можем взять h1 = |h|, сохранив при этом длину, то есть |h| = |h˜|. Определим вначале преобразование Фурье функции u(x,t) по пространственным переменным: (2.2) Тогда обратное преобразование Фурье: Теперь применим формулу (2.2) к обеим частям уравнения (2.1), пока лишь формально, действуя из тех соображений, что преобразование Фурье здесь применимо. Впоследствии убедимся, что функция u(x,t) такова, что эта операция законна. После применения получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции uˆ с параметром ξ: (2.3) Решив уравнение (2.3), получим uˆ(ξ,t) = C · e-t|ξ|2(1+ae-iξ·h) = C · e-t|ξ|2(1+acosξ·h)eiat|ξ|2 sinξ·h. (2.4) Отбросив (пока) постоянный коэффициент, применим к правой части формулы (2.4) обратное преобразование Фурье, не беря во внимание постоянный множитель (2π)-n/2. Получим: Заметим, что во втором интеграле для подынтегральной функции φ(ξ) = e-t|ξ|2(1+acosξ·h) sin(x · ξ + at|ξ|2 sinξ · h) справедливо φ(-ξ) = e-t|ξ|2(1+acosξ·h) sin(-x · ξ - at|ξ|2 sinξ · h) = -φ(ξ), то есть функция φ(ξ) является нечетной, и интеграл от нее по всему Rn равен 0. Таким образом, продолжая (2.5), можем определить функцию (2.6) во всем полупространстве x ∈ Rn, t > 0. Функция (2.6) является ядром пуассоновского типа и задает, как будет показано далее, в некотором смысле фундаментальное решение уравнения (2.1). Теперь необходимо дать некоторую оценку, подтверждающую корректность задания указанной функции в полупространстве x ∈ Rn, t > 0. Очевидно, что довольно грубые первоначальные оценки, достаточные для доказательства корректности постановки и справедливые в случае пространственных сдвигов в младших членах (как было показано в работах [2, 3]), здесь не работают, так как теперь в степени экспоненты под интегралом (2.6) член |ξ|2 содержится не только в качестве отдельного слагаемого, но и как множитель перед осциллирующим членом. Запишем уравнение (2.1) в операторной форме: ut = A[u] = Δu + aΔu(x - h,t). Определение 2.1. В соответствии с работой [2] назовем оператор -A сильно эллиптическим во всем пространстве Rn оператором второго порядка, если в свою очередь оператор -A(ξ) = = |ξ|2(1 + ae-iξ·h), определяющий символ оператора -A, является положительно определенным, то есть существует такая константа M > 0, что: . Для выполнения условия сильной эллиптичности оператора -A, очевидно, является необходимым (и достаточным) следующее условие на символ этого оператора при: (2.7) Для существования такой положительной константы, при которой гарантируется выполнение неравенства (2.7), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: |a| < 1. (2.8) Так что условие (2.8) можем считать условием сильной эллиптичности оператора -A. Тогда в оценке для ядра (2.6) будем иметь: . (2.9) Из оценки (2.9) видим, что интеграл (2.6) сходится абсолютно и равномерно при любых T0,T1 > 0 в полосе Rn × [T0,T1], и вследствие этого можем заключить, что функция E2,n(x,t) определена корректно во всем полупространстве x ∈ Rn, t > 0. Более того, оценка (2.9) гарантирует равномерное стремление к нулю по x при t → +∞. Более того, легко убедиться в том, что функция E2,n(x,t) является бесконечно дифференцируемой во всем полупространстве x ∈ Rn, t > 0 и задает не только классическое, но и фундаментальное решение уравнения (2.1). Вначале покажем, что операция дифференцирования под знаком интеграла законна. Сперва продифференцируем функцию E2,n(x,t) по переменной t: В оценке будем иметь: . (2.10) Здесь dSξ - поверхностная мера в - площадь поверхности единичной сферы в Rn. Осталось посмотреть на лапласиан функции E2,n(x,t). Для этого продифференцируем указанную функцию по фиксированной пространственной переменной xj дважды: Следовательно, для будем иметь оценку, аналогичную оценке (2.10): . (2.11) Таким образом, обе оценки, (2.10) и (2.11), вновь гарантируют абсолютную и равномерную сходимость соответствующих интегралов по (x,t) ∈ Rn × [T0,T1] при T0,T1 > 0 и, сверх того, обеспечивают равномерное степенное убывание при t → +∞, теперь уже порядка t-n/2-1. То есть дифференцирование под знаком интеграла законно. Более того, прямая подстановка ядра (2.6) в исходное уравнение (2.1) обращает последнее в тождество, следовательно, функция E2,n(x,t) задает классическое решение уравнения (2.1). Однако, остается необходимым пояснить правомерность употребления термина «фундаментальное решение» в контексте функции E2,n(x,t). Замечание 2.1. Сразу отметим, что при выполнении условия (2.7) (и, соответственно, условия (2.8)) функция E2,n(x,t), как и ее преобразование Фурье в (2.4), является быстро убывающей по x, так как преобразование Фурье определяет линейный гомеоморфизм пространства быстро убывающих функций S(Rn) на себя. Следовательно, при выполнении условия (2.7) функция E2,n(x,t) является ограниченной в Rn, поскольку, очевидно, S(Rn) ⊂ L∞(Rn). Замечание 2.2. Для того, чтобы указанная функция (2.6) задавала фундаментальное решение уравнения (2.1), необходимо не только, чтобы она удовлетворяла самому уравнению в смысле прямой подстановки (то есть была его классическим решением), но и чтобы при t = 0 она обращалась в дельта-функцию (то есть стремилась к дельта-функции при t → +0 в пространстве Рассмотрим в качестве начальной функции для уравнения (2.1) дельта-функцию δ(x). Известно, что ее симметричное преобразование Фурье δˆ(ξ) = (2π)-n/2, и, кроме того, для всех ξ ∈ Rn lim Eˆ2,n(ξ,t) = lim (2π)n/2e-t|ξ|2(1+ae-iξ·h) = (2π)n/2. t→0+ t→0+ В таком случае , и, следовательно, . Полученные результаты позволяют нам сформулировать следующую теорему. Теорема 2.1. Функция E2,n(x,t), определяемая формулой (2.6), умноженная на постоянный коэффициент (2π)-n, задает фундаментальное решение уравнения (2.1). 3. Интегральное представление решения начальной задачи для уравнения со сдвигом в старших производных. Оценка поведения решения и его производных Рассмотрим уравнение (2.1) в паре с начальным условием: u(x,0) = u0(x), u0(x) ∈ L1(Rn). (3.1) Как мы уже знаем из работ [2, 4, 14, 15], класс начальной функции сильно влияет на свойства решения задачи (2.1), (3.1). Для того, чтобы формально построить решение поставленной начальной задачи, необходимо вернуться к решению уравнения (2.3) для функции uˆ(ξ,t) и на этот раз учесть преобразование Фурье начальной функции: следовательно, uˆ(ξ,0) = uˆ0(ξ), uˆ0 ∈ L∞(Rn). (3.2) Для получения решения задачи Коши (2.3), (3.2) воспользуемся формулой (2.4) решения уравнения (2.3) и подставим ее в начальное условие (3.2). Таким образом, будем иметь: uˆ(ξ,t) = uˆ0(ξ) · e-t|ξ|2(1+acosξ·h)eiat|ξ|2 sinξ·h. (3.3) Уже выяснили ранее, что экспонента в формуле (3.3) с точностью до множителя представляет из себя преобразование Фурье пуассоновского ядра (2.6). Поэтому решение исходной начальной задачи (2.1), (3.1) мы можем сконструировать в стандартном виде свертки ядра (2.6) с начальной функцией (3.1), то есть: (3.4) Так как начальная функция исходной задачи является суммируемой, то нам доступна оценка, аналогичная оценке, полученной для самого пуассоновского ядра (2.6), однако на сей раз необходимо учесть интеграл от начальной функции, то есть: . (3.5) Очевидно, тот же подход применим и к производной решения по времени, и к лапласиану функции u(x,t): , (3.6) Оценки (3.5), (3.6) наглядно демонстрируют, что для функции u(x,t) справедливо то же, что было справедливо и для функции E2,n(x,t), в контексте поведения при t → ∞. Следовательно, можем сделать вывод о том, что u(x,t) также является классическим решением исходного уравнения (2.1) во всем полупространстве x ∈ Rn, t > 0. Теперь, однако, необходимо сделать пояснение о том, в каком смысле мы понимаем функцию u(x,t) как решение именно начальной задачи (2.1), (3.1). То есть обосновать, в смысле какого пространства мы подразумеваем сходимость полученного решения к начальной функции при t → 0 + . Замечание 3.1. Пространство S(Rn) «инвариантно» относительно преобразования Фурье, и то же будет справедливо для сопряженного к нему пространства, пространства умеренно растущих распределений. Кроме того, очевидно, что (так как При выполнении требования (2.8) мы уже знаем, что функция E2,n(x,t) ∈ S(Rn). Таким образом, имеем lim Eˆ2,n = lim (2π)n/2e-t|ξ|2(1+acosξ·h)eiat|ξ|2 sinξ·h = (2π)n/2, t→0+ t→0+ так как uˆ0 ∈ L∞(Rn), и, следовательно, . Тогда по теореме Лебега о мажорируемой сходимости будем иметь и, значит, uˆ0 · (2π)-n/2Eˆ2,n -→ uˆ0, t → 0+ в смысле пространства. Следовательно, u0 ∗ (2π)-nE2,n -→ u0, t → 0+ в смысле пространства. Таким образом, мы можем понимать решение задачи Коши образом, сообразным тому, что был в работах [14, 15] в случае сдвигов в самой функции. Теорема 3.1. Функция u(x,t), определяемая сверткой (3.4), задает классическое решение уравнения (2.1) и в то же время задает решение начальной задачи (2.1), (3.1) в смысле пространства при условии выполнения неравенства (2.8). Более того, если условие (2.8) выполнено, то указанное решение при t → ∞ сходится к нулю равномерно по x, при этом порядок убывания оценивается формулой (3.5). Для того, чтобы сделать картину более полной, исследуем дополнительно поведение производных решения произвольного порядка. Продолжая рассуждения, результатом которых является оценка (2.11), посмотрим на оценку производной произвольного порядка m (где m = m1 + ··· + mn) пуассоновского ядра (2.6) по пространственным переменным, т. е. (3.7) Rn (3.8) (tM)C(mm+n)/2 , где Cm = const. Теперь осталось продифференцировать полученную производную (3.7) дополнительно по переменной t и получить оценку, аналогичную оценке (3.8): Далее, дифференцируя по t еще раз, получим Действуя по индукции, для производной порядка m + l получим оценку: . В таком случае для производных самого решения u(x,t) начальной задачи (2.1), (3.1) можем сформулировать окончательный результат. Теорема 3.2. Пусть выполнено условие (2.8). Тогда частные производные решения (3.4) начальной задачи (2.1), (3.1) произвольного порядка m+l (где m = m1+···+mn - порядок производной по пространственной переменной x, а l - порядок производной по переменной t) сходятся к нулю при t → ∞ равномерно по x ∈ Rn, при этом порядок убывания оценивается следующей формулой: , (3.9) где Cm+2l - это константа, зависящая лишь от выбора m и l. 4. Фундаментальное решение уравнения со сдвигом в младшем члене. Построение решения задачи Коши и его оценка Случай сдвигов в младших членах в случае полупространства x ∈ Rn, t > 0 был к данному моменту изучен уже довольно подробно (см. работы [4, 14, 15]). Для задачи для уравнения , (4.1) с начальным условием (3.1) уже было построено решение и изучены его свойства. Коротко приведем необходимые для дальнейшего исследования результаты и полученные ранее оценки. После применения преобразования Фурье к исходному уравнению и получения решения обыкновенного дифференциального уравнения определялось при помощи обратного преобразования следующее пуассоновское ядро: (4.2) для которого было справедливым следующее утверждение. Теорема 4.1. Функция E0,n(x,t), определяемая формулой (4.2), умноженная на постоянный коэффициент (2π)-n, задает фундаментальное решение уравнения (4.1). Решение задачи (4.1), (3.1) строится, как и ранее здесь в разделе 2, в виде свертки пуассоновского ядра (4.2) с начальной функцией (3.1), т. е. (4.3) причем были доказаны следующие утверждения. Теорема 4.2. Функция u(x,t), определяемая сверткой (4.3), задает классическое решение уравнения (4.1) и в то же время задает решение начальной задачи (4.1), (3.1) в смысле пространства. Необходимым условием сходимости интеграла в ядре (4.2) и, соответственно, в решении (4.3) являлось требование: a < 0. (4.4) Никак не ограничивая общности задачи, пользуясь тем, что оператор Лапласа инвариантен относительно поворота, мы имели возможность преобразовать систему (x1,...,xn) и, соответственно, систему (ξ1,...,ξn) таким образом, чтобы вектор сдвига h = (h1,...,hn), сохраняя длину, перешел в вектор h˜ = (|h|,0,... ,0). Это делало доступной для нас явную оценку, связывающую коэффициенты a,h исходного уравнения (4.1), достаточную для сходимости интеграла в ядре (4.2): . (4.5) Ее выполнение гарантировало нам следующее. Теорема 4.3. Пусть выполняется условие (4.5). Тогда решение (4.3) начальной задачи (4.1), (3.1) сходится к нулю при t → ∞ равномерно по x ∈ Rn, причем порядок убывания оценивается следующей формулой: . Теорема 4.4. Пусть выполняется условие (4.5). Тогда частные производные решения (4.3) начальной задачи (4.1), (3.1) произвольного порядка m + l (где m = m1 + ··· + mn - порядок производной по пространственной переменной x, а l - порядок производной по переменной t) сходятся к нулю при t → ∞ равномерно по x ∈ Rn, при этом порядок убывания оценивается следующей формулой: , где Cm - это константа, зависящая лишь от выбора m. Как видим, ключевым отличием от случая сдвига в старшем члене (т. е. теоремы 3.2) является то, что здесь дополнительное дифференцирование по переменной t не меняет скорости равномерной сходимости производных при t → ∞, тогда как формула (3.9) свидетельствует о том, что дифференцирование по t в случае сдвига в старшем члене сильно эту скорость увеличивает. Для начальных данных u0 ∈ Hs(Rn), s ∈ R, единственность решения задачи (4.1), (3.1) была доказана в работе [15] (см. также [16, гл. 4]). Вопрос единственности решения остается открытым для случая сдвигов в старших производных. Однако одним из ключевых моментов, нигде ранее не приведенных, притом выгодно отличающих случай сдвигов в младших членах от случая сдвигов в старших, является возможность доказать сходимость полученного решения задачи к суммируемой начальной функции именно в классе суммируемых же функций. 5. Сходимость решения начальной задачи для уравнения со сдвигом в младшем члене к начальной функции в смысле пространства L1(R) Сузим область, в которой ставим задачу, на полуплоскость x ∈ R, t > 0, то есть остановимся на рассмотрении следующего одномерного по x дифференциально-разностного уравнения: ut = uxx + au(x - h,t), x ∈ R, t > 0, (5.1) в паре с начальным условием u(x,0) = u0(x), u0 ∈ L1(R). (5.2) А также соответствующим образом определим пуассоновское ядро и решение задачи (5.1), (5.2): (5.3) (5.4) В одномерном пространственном случае можно трактовать решение задачи (5.1), (5.2) и несколько иначе. Описанное в теореме (4.2) (как и ранее в замечании (3.1) для случая сдвигов в старших членах) определяет слабый тип сходимости функции u(x,t) к начальной функции u0(x) при t → 0 + . Однако ядро E0,1(x,t) принадлежит L1(R), так как S(R) ⊂ L1(R). Таким образом, памятуя о том, что и начальная функция u0(x,t) принадлежит L1(R), мы вправе утверждать, что и свертка u(x,t) принадлежит классу суммируемых функций. Так как преобразование Фурье не определяет гомеоморфизм пространства L1(R), нам помимо всего необходимо показать, что функция u(x,t) непрерывна по t со значениями в L1(R), и, как следствие, что . (5.5) Из теоремы (4.1) очевидным образом вытекает, что . Поэтому справедливо следующее: Поэтому для L1-нормы исследуемой разности получаем: Далее, по теореме Фубини имеем: (5.6) Рассмотрим вначале отдельно внутренний интеграл в правой части неравенства (5.6). Он, очевидно, задает L1-норму соответствующей разности. Обозначим: . Отметим также, что в силу непрерывности в среднем функций из L1(R) для функции P(y) выполнено следующее: P(y) → 0, y → 0. Далее возьмем δ > 0 (и положим его, вообще говоря, достаточно малым). Тогда для интеграла (5.6) будет справедливо представление: . (5.7) Рассмотрим интегралы I1,I2 в (5.7) по отдельности. Для начала заметим, что , и в силу непрерывности сдвига в (5.8) Следовательно, в оценке для I1 будем иметь: . (5.9) Также заметим, что . Тогда для I2 в оценке получаем: (5.10) Теперь осталось оценить L1-норму ядра в (5.9) и интеграл в правой части неравенства (5.10). Для этого докажем следующую теорему. Теорема 5.1. Для любого сколь угодно малого δ > 0 справедливо . Доказательство. Мы уже знаем, что . При этом, очевидно, выполняя замену y = √tz, получим (5.11) Для доказательства теоремы достаточно установить, чтобы подынтегральная функция справа, т. е. √t|E0,1(√tz,t)|, была равномерно ограничена по t интегрируемой по z функцией. Зная, что получим , или, что то же, . (5.12) Теперь дважды продифференцируем образ Фурье в (5.12) по ξ: . Оценивая множители, входящие во вторую производную, получим . Тогда для самой второй производной получим: , и, если потребовать, чтобы, то . (5.13) Учитывая, что под действием обратного преобразования Фурье дифференцирование переходит в умножение, из (5.12) будем иметь то есть и тогда, пользуясь оценкой (5.13), получим , следовательно, для любого z кроме нуля (что не влияет на необходимый результат, так как мы будем рассматривать интеграл вне некоторой окрестности нуля) выполняется оценка: . (5.14) Таким образом, . Пользуясь (5.11), получаем . Таким образом, получили требуемое. Теперь обратимся к оценке L1-нормы ядра. Дополним оценку (5.14). Проводя для самой функции√E0,1(√tz,t) действия, аналогичные тем, что использовались в теореме для функции z2E0,1( tz,t), будем иметь при t 1 для всех z: , (5.15) Эта оценка работает в любой окрестности z = 0. Таким образом, комбинируя оценки (5.14) и (5.15), получим, что , то есть получили оценку интегрируемой по z функцией, не зависящей от t при малых t. Отсюда имеем const = C <ˆ +∞. Тогда, возвращаясь к оценкам (5.9) и (5.10), будем иметь следующее: , . Теперь зафиксируем ε > 0 и, используя (5.8), выберем δ > 0 таким образом, чтобы . Более того, найдем для этого δ такое число t0 > 0, чтобы для всех t ∈ (0,t0) выполнялось . Тогда в оценке (5.7) будем иметь (5.16) И тогда, возвращаясь к оценке (5.6), получим (5.17) Следовательно, (5.5) выполняется, то есть в норме пространства L1(R). Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 5.2. Функция u(x,t), определяемая сверткой (5.4), задает классическое решение уравнения (5.1) и стремится к начальной функции (5.2) при t → 0+ по норме пространства L1(R). 6. Визуализация пуассоновских ядер в случае сдвигов в старших и младших членах в одномерном пространственном случае. Сравнение их поведения при разных значениях параметров Очевидно, что пуассоновские ядра (2.6) и (4.2), включая одномерный пространственный случай, т. е. интегралы E2,1(x,t) и E0,1(x,t), не выражаются в элементарных функциях. Следовательно, для графической визуализации поведения указанных ядер при фиксированных значениях переменных x,t и параметров a,h необходимо привлечь метод численного интегрирования. Ранее мы уже указали необходимые и достаточные условия сходимости вышеуказанных интегралов. Значит, при выполнении неравенств (2.8) и (4.5) мы вправе применить метод прямоугольников (левых), описанный, например, в [6]. При сравнении эволюции поведения и временной динамики ядер зафиксируем следующие значения: E2,1(x,t): a = 0,2, 0,5, 0,99 h = 1,5,10 t = 0,1, 0,2, 0,5, 1,2; E0,1(x,t): a = -2, -1, -0,5 h = 0,5, 1, 2 t = 0,1, 0,2, 0,5, 1, 2. Зафиксируем (пока) t произвольным образом и ведем обозначения: где f2(ξ) = e-tξ2(1+acosξh) cos(xξ + atξ2 sinξh), где f0(ξ) = e-t(ξ2-acosξh) cos(xξ - atsinξh). Итак, для достаточного в рамках нашей задачи приближения интегралов необходимо корректно выбрать пределы интегрирования, т. е. значения ξ2,max и ξ0,max. Для этого поочередно оценим остатки интегралов. Для E2,1(x,t) получим где Erf(x) -это дополнительная функция ошибок. В «наихудшем» из выбранных случаев, т. е. при t = 0,2 и a = 0,99, значение ξ2,max = 100 обеспечит нам: Erf(4,47) ≈ 39,63 · 1,54 · 10-10 ≈ 6,09 · 10-9. Переходя к E0,1(x,t), будем иметь В «наихудшем» из выбранных случаев, т. е. при t = 0,2 и |a| = 2, значение ξ0,max = 100 обеспечит нам: Erf(44,72) ≈ 5,35 · 1,75 · 10-871 ≈ 1,03 · 10-870, чего более чем достаточно для сходимости. Унифицируем выбранное значение предела и положим ξ2,max = ξ0,max = ξmax = 100. Следовательно, будем рассматривать сетку x ∈ [-100,100]. Более того, знаем, что метод левых прямоугольников имеет погрешность порядка O(δ), где δ - есть шаг на выбранной сетке, поэтому возьмем количество шагов N = 3000 - одновременно для сохранения точности и оптимального времени выполнения программы. Рис. 1. Поведение ядра E2,1(x,t) при разных значениях t. По строкам представлено сравнение поведения при различных сдвигах h при фиксированном значении коэффициента a. Fig. 1. Behavior of the kernel E2,1(x,t) for different values of t. Row-wise is the comparison of the behavior for different values of shifts h at a fixed value of the coefficient a. Рис. 2. Поведение ядра E0,1(x,t) при разных значениях t. По строкам представлено сравнение поведения при различных сдвигах h при фиксированном значении коэффициента a. Fig. 2. Behavior of the kernel E0,1(x,t) for different values of t. Row-wise is the comparison of the behavior for different values of shifts h at a fixed value of the coefficient a.

About the authors

G. L. Rossovskii

MIREA - Russian Technological University; RUDN University; Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: grossovski@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0004-6000-8626
SPIN-code: 7209-3420
Scopus Author ID: 58960640700
ResearcherId: PWF-7168-2026
Moscow, Russia

References

Supplementary files