О решениях одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с потенциальными операторами

Полный текст

1. Введение В рамках современного вариационного исчисления обратной задачей вариационного исчисления (ОЗВИ) считается задача о построении функционала, множество стационарных точек которого совпадает с множеством решений заданных уравнений. Для решения ОЗВИ требуется исследовать представимость рассматриваемых уравнений в форме уравнений Эйлера-Лагранжа. В работе [5] Г. Гельмгольцем поставлена задача о представлении уравнений движения физических систем в виде уравнений Эйлера-Лагранжа и сформулированы необходимые условия существования функции Лагранжа. В дальнейшем Г.К. Суслов [8] и А. Майер [21] доказали, что сформулированные Г. Гельмгольцем условия существования лагранжиана для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка являются не только необходимыми, но и достаточными. В современной литературе эти условия называют условиями потенциальности Гельмгольца. © С.А. Будочкина, Т.Х. Лыу, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 444 Исследование представимости дифференциальных уравнений в форме уравнений Эйлера- Лагранжа является важной и актуальной задачей. Отметим, что этому вопросу посвящено значительное количество работ: например, для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными [2-4, 7, 9-11, 14-20, 23], дифференциальноразностных уравнений [6], стохастических дифференциальных уравнений [22], дифференциальных уравнений с производными дробного порядка [12] и др. В перечисленных работах предложены конструктивные приемы построения прямых и косвенных вариационных формулировок дифференциальных уравнений. Для этого используются локальные и нелокальные билинейные формы, в том числе и билинейные формы со свертками, а также исследуются вопросы существования вариационных множителей как в виде функций, так и в виде операторов, в том числе и матричных. Отметим, что в работах [7, 14, 19] предложен единый подход, позволяющий исследовать потенциальность различных типов операторов: обыкновенных дифференциальных, дифференциальных операторов с частными производными и др. Представляет значительный интерес распространить некоторые изложенные в этих работах методы на исследование вопросов представимости дифференциальных уравнений с производными высших порядков в форме уравнений Эйлера-Лагранжа. В связи с этим вопрос о вариационности обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка приобретает особую важность, что и определило актуальность данной работы. Основная цель настоящей работы - найти решения одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с потенциальными операторами. В дальнейшем будем использовать обозначения и терминологию работы [7]. Предположим, что U,V - линейные нормированные пространства над полем действительных чисел R. Нам понадобятся также следующие определение и теорема. Определение 1.1 (см. [7]). Оператор N : D(N) ⊂ U → V называется потенциальным на множестве D(N) относительно билинейной формы Φ(·,·) : V × V → R, если существует дифференцируемый по Гато функционал FN : D(FN) = D(N) → R такой, что . Заметим, что- производная Гато оператора N в точке u ∈ D(N). Множество состоит из таких элементов h ∈ U, что (u + εh) ∈ D(N) для любого достаточно малого значения ε. Теорема 1.1 (см. [7]). Пусть дифференцируемый по Гато оператор N : D(N) ⊂ U → V и билинейная форма Φ(·,·) : V × V → R таковы, что для любых фиксированных элементов u ∈ ) = Φ(N(u + εh),g) принадлежит классу C1[0, 1]. Тогда для потенциальности оператора N на выпуклом множестве D(N) относительно рассматриваемой билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие . (1.1) 2. Условия потенциальности Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка . (2.1) Здесь u(t) - неизвестная функция, a ∈ C2[t0,t1], b ∈ C1[t0,t1], c ∈ C[t0,t1] - заданные функции. Положим , (2.2) где- заданные постоянные. Отметим, что (2.3) и V = C[t0,t1]. Введем билинейную форму (2.4) где T = t0 + t1. Теорема 2.1. Оператор N(2.1) является потенциальным на множестве D(N) (2.2) относительно билинейной формы (2.4) тогда и только тогда, когда ∀t ∈ [t0,t1] выполнены следующие условия: (2.5) (2.6) . (2.7) Доказательство. Производная Гато оператора N (2.1) имеет вид . Получим условия, при которых выполняется (1.1). В данном случае Интегрируя по частям и принимая во внимание, что h и g принадлежат множеству (2.3), находим С другой стороны, Тогда критерий потенциальности (1.1) примет вид Это тождественно выполняется тогда и только тогда, когда , или , где Bh(t) = h(T - t). Заметим, что B-1 = B, поэтому . Отсюда получаем условия потенциальности (2.5)-(2.7). Замечание 2.1. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка . (2.8) Здесь u(t) - неизвестная функция, a ∈ C2[t0,t1], b ∈ C1[t0,t1], c ∈ C[t0,t1] - заданные функции. Положим , (2.9) где - заданные постоянные. Отметим, что условия (2.5)-(2.7) являются также условиями потенциальности оператора N уравнения (2.8) на множестве D(N) (2.9) относительно билинейной формы (2.4). Замечание 2.2. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка . (2.10) Здесь u(t) - неизвестная функция, a ∈ C2[t0,t1], b ∈ C1[t0,t1], c ∈ C[t0,t1] - заданные функции. Положим , (2.11) где u0, u1 - заданные постоянные. Введем билинейную форму (2.12) Теорема 2.2. Оператор N уравнения (2.10) является потенциальным на множестве D(N) (2.11) относительно билинейной формы (2.12) тогда и только тогда, когда ∀t ∈ [t0,t1] выполнено следующее условие: . Это условие, как частный случай, получено, например, в работе [15]. Отметим, что доказательство теоремы 2.2 аналогично доказательству теоремы 2.1. 3. Аналог метода Бернулли Теорема 3.1. Если оператор N (2.1) является потенциальным на множестве D(N) (2.2) относительно билинейной формы (2.4) и выполнены условия (3.1) , (3.2) то общим решением уравнения (2.1) является , (3.3) где C0,C1,C2 - произвольные постоянные. Доказательство. Будем искать решение уравнения (2.1) в виде u(t) = v(t)g(T - t). (3.4) Найдем функции v и g. Для этого подставим u(t) (3.4) в уравнение (2.1). Получим Предположим, что в (3.5) . Учитывая условие (2.5), отсюда находим . (3.6) Принимая во внимание (3.1), (3.2) и (3.6), в (3.5) будем иметь и . Тогда (3.5) примет вид Следовательно,, т. е. , где C0,C1,C2 - произвольные постоянные. Таким образом, получаем общее решение (3.3) уравнения (2.1). Замечание 3.1. Найдем решение задачи (2.1), (2.2). Для этого решение (3.3) запишем в виде u(t) = C0u1(t) + C1u2(t) + C2u3(t), (3.7) где . Подставим условия (2.2) в решение (3.7). Получим систему уравнений (3.8) , где C0,C1,C2 - неизвестные. Отметим, что определитель этой системы , где W(t) - определитель Вронского. Таким образом, система уравнений (3.8) имеет единственное решение , Замечание 3.2. Предположим, что уравнение (2.1) является уравнением с постоянными коэффициентами, т. е. a(t) ≡ a, b(t) ≡ b, c(t) ≡ c. (3.9) В этом случае условия потенциальности (2.5)-(2.7) выполняются, а условия (3.1), (3.2) сводятся к следующим условиям: . (3.10) Тогда из (2.1), (3.9) и (3.10) получаем . (3.11) Из (3.3) находим общее решение уравнения (3.11) , (3.12) где C0,C1,C2 - произвольные постоянные. Как известно, общее решение (3.12) можно найти другим способом. Действительно, характеристическое уравнение имеет корень кратности 3, поэтому общее решение уравнения (3.11) имеет вид (3.12). Замечание 3.3. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка . (3.13) Уравнения вида (3.13) называются самосопряженными обыкновенными дифференциальными уравнениями третьего порядка (см. [1, 13]). В работе [13] доказано, что если выполнены условия , то уравнение (3.13) имеет решение . (3.14) Здесь r(t) > 0,p(t),q(t) - достаточно гладкие функции, C0,C1,C2 - произвольные постоянные. Уравнение (2.1) с потенциальным относительно билинейной формы (2.4) оператором, для которого выполнены условия (3.1), (3.2), можно привести к виду (3.13). Действительно, запишем уравнение (2.1) следующим образом: . Умножим его на функцию . Получим эквивалентное уравнение Отметим, что уравнение (3.15) является уравнением вида (3.13), где , . Из формулы (3.14) находим решение (3.3). Таким образом, в настоящей работе также предложен метод приведения обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с потенциальными относительно билинейной формы (2.4) операторами к виду (3.13). 4. Примеры 1. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение Зададим область определения оператора N (4.1) в виде . (4.2) В данном случае . Отметим, что условия (2.5)-(2.7) и (3.1), (3.2) выполняются. Из (3.3) находим общее решение уравнения (4.1) , где C0,C1,C2 - произвольные постоянные. Решением задачи (4.1), (4.2) является функция . 2. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение Зададим область определения оператора N (4.3) в виде . (4.4) В данном случае . Отметим, что условия (2.5)-(2.7) и (3.1), (3.2) выполняются. Из (3.3) находим общее решение уравнения (4.3) , где C0,C1,C2 - произвольные постоянные. Решением задачи (4.3), (4.4) является функция . 5. Заключение В работе исследована представимость одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка в форме уравнений Эйлера-Лагранжа. Разработан аналог метода Бернулли для нахождения решений рассматриваемых уравнений. Предложенный метод может быть распространен на обыкновенные дифференциальные уравнения порядка выше третьего.

Об авторах

Светлана Александровна Будочкина

Российский университет дружбы народов

Email: budochkina-sa@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-3447-0425
SPIN-код: 6087-3245
Scopus Author ID: 6507007003
ResearcherId: T-8088-2019
Москва, Россия

Тхи Хуен Лыу

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: lyu-t@rudn.ru
Scopus Author ID: 57557881000
Москва, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы