Oscillatory properties of the spectrum of a fourth-order operator on a cross graph

Full Text

1. Введение В настоящей работе устанавливаются осцилляционные свойства спектра краевой задачи о собственных колебаниях плоской стержневой системы, состоящей из четырех стержней, жестко спаянных в форме креста. Такая модель сводится к краевой задаче четвертого порядка на плоском графе-кресте, состоящем из двух пересекающихся под прямым углом интервалов. Осцилляционным спектральным свойствам дифференциальных операторов (вещественность, положительность и простота точек спектра, перемежаемость нулей собственных функций и др.) посвящена значительная литература (см. [2, 7, 8, 14, 16, 17] и библиографию там же). Для упругой балки осцилляционные свойства собственных частот были строго обоснованы в 30-х годах XX века (см. [3]). Идеология, развитая в [3], основана на фундаментальном результате Келлога об осцилляционных ядрах (функциях Грина). Эта теория послужила основой для переноса результатов Штурма на более широкие классы задач и привела к теории колебаний математических моделей сложных упругих систем, таких как цепочки балок [5, 14]. Однако попытка непосредственного использования классической теории в случае ветвящихся структур (задачи на графах) обнаружила ее неприменимость и потребовала поиска принципиально иных методов. Группой воронежских математиков был разработан совершенно иной подход к изучению качественных свойств решений уравнения Штурма-Лиувилля на графе. Этот подход учитывает геометрию графа и приводит к понятию зоны знакопостоянства (S-зоны) функций на графе [6, 7]. Концепция S-зоны позволила обобщить смысл интервала между нулями и установить точный аналог теорем сравнения Штурма, понятия неосцилляции и осцилляционной спектральной теоремы для уравнения второго порядка на графе [6, 17]. Успех качественной теории для операторов второго порядка закономерно поставил вопрос о ее распространении на более сложные объекты - дифференциальные операторы четвертого порядка на графах. Однако, как отмечено в [2, 8, 14, 15], задача исследования их собственных функций значительно сложнее. В силу этих трудностей уравнения четвертого порядка на сетях изучены существенно меньше. Тем не менее, для одного важного класса задач - модели стержневой системы с условиями упруго-шарнирного соединения - в работах [15, 16] был предложен новый подход. Опираясь на понятие кратной зоны знакопостоянства (обобщающее S-зону на случай высших порядков), авторам удалось показать, что в терминах кратных S-зон для оператора четвертого порядка можно определить понятие неосцилляции и сформулировать условия при которых он наследует осцилляционные свойства оператора Штурма-Лиувилля. Следует подчеркнуть, что условия связи в узловых вершинах графа играют принципиальную роль при изучении вопросов распределения нулей, знакопостоянства и монотонности решений. Подход, использованный в работах [15, 16], опирается на специфические свойства условий согласования и не может быть использован для других условий. В данной работе исследуется краевая задача четвертого порядка на графе типа «крест» с условиями трансмиссии жесткого типа [4, 10]. Поскольку прямое применение методов, развитых в [15, 16], в данном случае невозможно, то возникает необходимость разработки нового подхода. Предлагаемый метод основан на редукции исходной задачи. Его ключевая идея заключается в том, что краевая задача на графе может быть сведена к задаче со специальными условиями на более узком подмножестве (маршруте) при условии, что правая часть дифференциального уравнения обращается в нуль на дополнительном подграфе. Такая ситуация физически интерпретируется как возможность воздействия на систему и наблюдения за ней лишь на некоторой ее части. Если нагрузка сосредоточена исключительно на выбранном маршруте, задача допускает скаляризацию и сводится к многоточечной задаче на этом маршруте. При этом влияние каждого примыкающего ребра моделируется условием упругой опоры, что в итоге приводит к задаче об изгибе упруго подпертого стержня. Указанная аналогия позволяет применить результаты работы [14] для анализа осцилляционных свойств спектра исходной задачи на графе. Более того, предложенный метод редукции открывает возможность для детального исследования функции Грина: структура редуцированной задачи позволяет изучать ее знакопостоянство и другие качественные характеристики, определяющие осцилляционные свойства системы. 2. Постановка задачи В данной статье мы используем терминологию и обозначения монографии [7] и работ [13, 16]. Рассматривается плоский граф-крест Γ, состоящий из четырех ребер, и одной внутренней вершины a. Здесь ai - граничные вершины графа. Обратим внимание, что граничные вершины ai не включены в граф. Объединение точек всех ребер графа будем обозначать E(Γ), а множество граничных вершин обозначаем ∂Γ. Тогда Γ = E(Γ) ∪ {a}. Расстояние d(x1,x2) между двумя точками x1,x2 ∈ Γ определяется как длина кратчайшего пути от x1 до x2 вдоль графа Γ. Тогда под ε-окрестностью точки x0 ∈ Γ понимается множество всех точек x ∈ Γ, для которых выполнено неравенство d(x0,x) < ε. Любое связное открытое подмножество Γ0 ⊂ Γ называется подграфом Γ. Введем функциональные пространства: C[Γ] = {u : Γ → R|uравномерно непрерывна на каждом ребреγi ⊂ E(Γ)}; C[E(Γ)] = {u : E(Γ) → R|uравномерно непрерывна на каждом ребреγi ⊂ E(Γ)}. Через ui будем обозначать сужение функции u ∈ C[Γ] (или E(Γ)) на ребро γi. Под u(ai) понимается. Аналогично определяются значения. Производная функции на ребре γi определяется как производная на параметризованном интервале и обозначается. Аналогично определяются производные высших порядков. Через Cn[Γ] (или Cn[E(Γ)]) мы обозначаем пространство функций u(x) ∈ C[Γ] (или Cn[E(Γ)]), производные которых до порядка n включительно существуют и принадлежат пространству C[E(Γ)]. Для функции u(x) ∈ Cn[Γ] (или Cn[E(Γ)]) во внутренней вершине a определено множество производных вдоль каждого ребра γi. При этом производные нечетных порядков зависят от направления параметризации ребер графа, т. е. определяются с точностью до знака. При записи условий связи с производными в вершинах графа нам будет удобно использовать производные по направлению «от вершины», которые обозначим (одномерный аналог производных по внутренней нормали). Отметим, что для четной производной ориентация не важна, и поэтому, для краткости, вместо мы пишем просто. Для функции u ∈ C[Γ] (или C[E(Γ)]) интеграл на графе определяем по правилу: На графе-кресте Γ рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка. На ребрах графа уравнение задается обыкновенными дифференциальными уравнениями - . (2.1) Во внутренней вершине a накладываются условия трансмиссии: , (2.2) где- третья квазипроизводная. В каждой граничной вершине ai ∈ ∂Γ соотношения (2.1), (2.2) дополняются краевыми условиями - , (2.3) с заданными коэффициентами ϑ(ai),β(ai). Везде далее мы предполагаем, что выполняются следующие условия: [Γ]; • в граничных условиях (2.3) считаем в каждой вершине из ∂Γ. Соотношения (2.1), (2.2) определяют дифференциальное уравнение на графе Γ, которое вместе с граничными условиями (2.3) образует краевую задачу, которую мы будем обозначать - | . (2.4) Здесь и всюду далее через L обозначаем дифференциальный оператор, порожденный соотношениями (2.1)-(2.3). Замечание 2.1. Соотношения (2.1)-(2.3) имеют естественную физическую интерпретацию (см. [4, 10, 13].). Они моделируют малые деформации плоского каркаса в форме прямоугольного креста из четырех прямых тонких стержней. В положении равновесия стержни размещены в плоскости и образуют граф-крест Γ. Узлом системы является общая концевая точка всех четырех стержней, которые жестко спаяны друг с другом. Замечание 2.2. Задача (2.4), порожденная равенствами (2.1)-(2.3), является частным случаем более общей задачи, изучавшейся в работах [11-13]. При рассматриваемых здесь условиях трансмиссии (2.2) для краевой задачи (2.4) выполнены условия однозначной разрешимости (см. [11, Theorem 4]), что гарантирует существование функции Грина G(x,s) краевой задачи (2.4). 3. Редукция Всюду далее в этом пункте мы будем полагать, что правая часть уравнения Lu = f(x) равна тождественно нулю на γ2 ∪ γ4. Обозначим через Γ1, Γ2 два подмножества Γ \ {γ2 ∪ γ4}, Γ \ {γ1 ∪ γ3}, и рассмотрим сужение дифференциального уравнения Lu = f на Γ1. На ребрах γ1,γ3 ∈ E(Γ1) имеем уравнение . (3.1) Во внутренней вершине a имеем условия . (3.2) И, наконец, в граничных вершинах заданы условия . (3.3) Поэтому исходная краевая задача (2.4) эквивалентна набору из соотношений в точках маршрута Γ1 (неоднородное уравнение на E(Γ1), условия (3.2) и граничные условия (3.3)), набору соотношений в точках γ2 ∪ γ4 (однородное уравнение на E(Γ2), условия непрерывности u2(a) = u4(a) = u1(a), гладкого согласования, условия на вторые производные ) и, наконец, одно условие на третьи квазипроизводные, связывающее соотношения на Γ1 и на γ2 ∪ γ4: . (3.4) Рассмотрим произвольное ребро γi = (a,ai) графа Γ. Обозначим через zi и yi решения однородного уравненияна ребре γi, удовлетворяющие соответственно краевым условиям ) = 0; yi(a) = 0, yiν(a) = 1, yi(ai) = ϑ(ai)yiν(ai) - β(ai)yi (ai) = 0. Лемма 3.1. Для любого ребра γi = (a,ai) функции zi и yi определяются однозначно. Доказательство. Чтобы установить, что функции zi и yi определяются однозначно, достаточно показать, что соответствующая однородная краевая задача имеет только нулевое решение. Умножая уравнение и интегрируя по частям, получим (3.5) Из свойств коэффициентов уравнения и краевых условий следует, что правая часть последнего равенства есть сумма неотрицательных чисел. А поскольку, т. е. z - линейная функция. Теперь из граничных условий в точке a следует, z ≡ 0 на [a,ai]. Следствие 3.1. Пусть u - решение краевой задачи (2.4) на графе-кресте Γ. Если f(x) ≡ 0 на ребре γi ⊂ E(Γ), то сужение ui функции u на ребро γi может быть представлено формулой . (3.6) Далее нам понадобятся следующие свойства функций zi, yi. Лемма 3.2. Справедливы следующие свойства: 0; (ii) Dν3zi(a) > 0; ); . Доказательство. Умножим тождествои проинтегрируем по частям на ребре γi = (a,ai). Привлекая граничные условия в точке a, определяющие yi, имеем: . (3.7) Очевидно, что левая часть последнего равенства есть сумма неотрицательных чисел. Если интеграл слева не равен нулю, то неравенство очевидно. Покажем, что другой вариант невозможен. Действительно, если интеграл равен нулю, то на [a,ai] и yi есть линейная функция, удовлетворяющая граничным условиям , что невозможно. Свойство (i) доказано. Для доказательства (ii) подставим в (3.5) функцию zi и воспользуемся граничными условиями в вершине a: . (3.8) Из граничных условий , следует, что zi не может быть линейной функцией, т. е.. Поскольку, интеграл больше нуля. А поскольку правая часть в (3.8) в силу граничного условия в точке ai есть величина неположительная, то получаем утверждение (ii). Умножим теперь тождествои проинтегрируем по частям вдоль ребра γi = (a,ai). После двукратного интегрирования по частям и учета краевых условий в точке a получаем: . (3.9) Аналогично, умножая тождество и интегрируя, получаем . Вычитая одно равенство из другого, имеем . (3.10) Функции zi и yi удовлетворяют одним и тем же граничным условиям в точке ai. Поэтому векторы ортогональны ненулевому вектору (ϑ(ai);-β(ai)). Следовательно, определитель в (3.10) равен нулю, и свойство (iii) доказано. Остается доказать неравенство (iv). Определим неотрицательную симметричную билинейную форму Перепишем формулы (3.9), (3.8) и (3.7) в виде , (3.11) В последнем равенстве мы воспользовались уже доказанным свойством (i). Привлекая неравенство Гельдера, имеем . Поскольку правая часть (3.10) равна нулю, то . Данное равенство вместе с неравенством Коши-Буняковского для B[·,·] и первым соотношением в (3.11) дают . Лемма полностью доказана. Возвращаясь к редукции краевой задачи на графе-кресте, рассмотрим условие (3.4). Подставляя выражения (3.6) для u2 и u4 в условие (3.4), получим Теперь рассмотрим условие на вторые производные для u2 и u4 в (2.2). Используя представление (3.6), условие непрерывности u2(a) = u4(a) = u1(a) и условие гладкости, получим Из леммы 3.2 следует, что . Поэтому последнее равенство в (3.13) дает соотношение (3.14) где . (3.15) Теперь вернемся к рассмотрению равенства (3.12). Используя (3.6) и (3.14), мы приходим к формуле . Положим . (3.16) Тогда условие трансмиссии (2.3) с третьими квазипроизводными во внутренней вершине a принимает форму Dν3u1(a) + Dν3u3(a) + δ(a)u(a) = f(a). (3.17) Суммируя изложенное выше, приходим к следующей теореме. Теорема 3.1. Если f(x) равна тождественно нулю на γ2 ∪ γ4, то краевая задача (2.4) на графе-кресте Γ эквивалентна следующему набору задач: 1. Краевая задача на графе-цепочке Γ1: , (3.18) ); 2. Две краевые задачи на ребрах γ2 и γ4: ) = 0; и . Здесь коэффициенты ρ(a) и δ(a) определяются по формулам (3.15), (3.16). Лемма 3.3. Справедливо следующее неравенство: δ(a) 0. (3.19) Доказательство. Используя свойства (i), (iii) леммы 3.2, преобразуем выражение (3.16): Поскольку , то . Теперь из той же леммы 3.2,(iii) следует Лемма доказана. В работе [14] было доказано, что если, то краевая задача (3.18) однозначно разрешима. Следовательно, функция Грина G1(x,s) краевой задачи (3.18) существует. Следующая теорема указывает на связь функций Грина краевых задач (2.4) и (3.18). Теорема 3.2. Для функции Грина G(x,s) краевой задачи (2.4) при s ∈ Γ1 имеет место представление . Доказательство теоремы следует из свойств функции Грина G(x,s) краевой задачи (2.4) (см., например, [13] или [7, гл. 6]) и теоремы 3.1. Замечание 3.1. Краевая задача (3.18) с коэффициентом моделирует задачу об изгибе упруго подпертого стержня. При этом величина δ(a) задает жесткость упругой опоры (см. [14]). Таким образом, можно заключить, что если внешняя нагрузка на стержневой крест сосредоточена только вдоль одной пары взаимно дополнительных стержней, то другая пара стержней выступает в роли упругой опоры. Для дальнейшего изучения свойств решений уравнения на графе-кресте нам понадобится следующий результат. Теорема 3.3 (см. [9]). Всякое решение однородного уравнения , удовлетворяющее условиям , либо постоянно, либо строго монотонно. При этом решение строго возрастает (убывает или постоянно) тогда и только тогда, когда D3u(x) < 0 (> 0 или = 0). Теорема 3.4. Пусть u - решение задачи (2.4). Если f ≡ 0 на γ2 ∪ γ4, то либо u ≡ 0 на Γ2, либо u не обращается в нуль на Γ2. Доказательство. Случай 1. Предположим сначала, что . Тогда, учитывая равенство u(a2) = 0 и теорему 3.3, получаем, что либо u ≡ 0 на γ2, либо. В первом случае, ввиду (2.2) получаем и, как следует из u4(a) = u2(a) = 0 и теоремы 3.3, u ≡ 0 на Γ2. Если же, то для определенности можно положить u(a) > 0. Ввиду, граничных условий (2.3) и теоремы 3.3 сужение u2 строго убывает на ребре γ2 от a к a2. Поэтому , а значит,. Привлекая условия (2.2), имеем. Если, то опять ввиду (2.3) и теоремы 3.3 сужение u4 строго убывает на ребре γ4 от a к a4. В этом случае получаем u > 0 на Γ2. Если же, то имеем. Поскольку u4(a) > 0 и u4(a4) = 0, то существует точка x∗ ∈ (a,a4) такая, что u4 строго возрастает от . Тогда привлекая теорему 3.3 к функции u4 на промежутке (x∗,a4) ⊂ γ4, заключаем, что u4 строго убывает на (x∗,a4) от x∗ к a4, т. е. u > 0 на Γ2. Случай 2. Рассмотрим теперь случай . Здесь из условия (2.2) следует . Поэтому можно повторить предыдущие рассуждения, поменяв ребра γ2 и γ4 местами. Теорема доказана. 4. Осцилляционная теорема В настоящем пункте рассмотрим на графе-кресте Γ = Γ1 ∪Γ2 задачу на собственные значения . (4.1) Дифференциальное уравнение в (4.1) на ребрах графа определяется обыкновенными дифференциальными уравнениями , (4.2) а в узловой точке a - условиями трансмиссии: , где Прежде чем сформулировать спектральные свойства оператора L, дадим два определения. Определение 4.1. S-зоной непрерывной на графе Γ функции u будем называть подграф Γ0 ⊂ ⊂ Γ такой, что. Определение 4.2. Точка x0 ∈ Γ называется нуль-узлом непрерывной на графе Γ функции u, если u(x0) = 0 и в любой окрестности точки x0 функция u принимает значения любого знака. Теорема 4.1 (осцилляционные свойства). Пусть ρ ≡ 0 на γ2 ∪ γ4. Если функция Грина краевой задачи (2.4) положительна на Γ × Γ, то спектр оператора L состоит из неограниченной последовательности вещественных простых положительных собственных значений 0 < λ0 < λ1 < λ2 ..., а соответствующие собственные функции ϕ[k] (k = 0,1,2,...) обладают следующими свойствами: (i) функция ϕ[k] имеет в Γ точно k + 1 S-зону; (ii) если имеет в Γ точно k нулей-узлов; (iii) если ϕ[k](a) = 0, то ϕ[k] имеет в Γ1 точно k нулей-узлов и равна тождественно нулю на Γ2; (iv) все изолированные нули ϕ[k] являются простыми; (v) в любой S-зоне функции ϕ[k] функция ϕ[k+1] меняет знак. Доказательство. В силу теоремы 3.1 решение задачи (4.1) на подграфе Γ1 совпадает с решением задачи: , (4.3) ); | - | Это означает, что спектр краевой задачи (4.1) на графе Γ и спектр задачи (4.3) на подграфе Γ1 совпадают. Пусть {φ[k]} - собственные функции краевой задачи (4.3). Тогда в силу теоремы 3.1 собственные функции {ϕ[k]} задачи (4.1) могут быть представлены в виде , ; где решения краевых задач (4.4) ψ2(a) = φ[ ](a), ψ2ν(a) = -ρ(a)φ[ ](a), ψ2(a2) = ϑ(a2)ψ2ν(a2) - β(a2)ψ2(a2) = 0; и (4.5) - . Так как ρ ≡ 0 на γ2 ∪γ4, то в силу теоремы 3.4 всякая собственная функция задачи (4.1) либо равна тождественно нулю на Γ2, либо не имеет нулей в Γ2. Поэтому все утверждения теоремы следуют из теоремы 3.2 и следующего результата работы [14, теорема 3]: Если функция Грина G1(x,s) краевой задачи (3.18) положительна на Γ1 × Γ1, то спектр соответствующего дифференциального оператора L1 состоит из неограниченной последовательности вещественных простых положительных собственных значений 0 < λ0 < λ1 < λ2 ..., а соответствующие собственные функции обладают свойствами: 1. собственная функция φ[k], соответствующая λk, имеет в Γ1 точно k нулей, причем все эти нули простые, а в граничных точках a1 и a3 любая собственная функция имеет нули точно той кратности, которая задана краевыми условиями; 2. между любыми двумя последовательными нулями собственной функции φ[k] находится точно один нуль функции φ[k+1]. Теорема доказана. Замечание 4.1. Как показывает доказанная теорема, наличие осцилляционных спектральных свойств оператора L задачи (4.1) обеспечивается положительностью соответствующей функции Грина. В работе [13, теорема 8] показано, что для положительности функции Грина необходимо и достаточно положительности решений краевых задач . Замечание 4.2. Другой способ проверки положительности функции Грина связан с теоремой 3.2 и результатом работы [14, следствие 4], который определяет промежуток [0,δ∗] значений коэффициента δ(a) задачи (3.18), при которых соответствующая этой задаче функция Грина G1(x,s) положительна.

About the authors

R. Ch. Kulaev

North Ossetian State University after K. L. Khetagurov; Southern Mathematical Institute of the Vladikavkaz Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: r.ch.kulaev@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-1501-5024
SPIN-code: 4941-1764
Scopus Author ID: 26532903900
ResearcherId: AAO-6785-2021
Vladikavkaz, Russia

V. A. Eloeva

North Ossetian State University after K. L. Khetagurov; Southern Mathematical Institute of the Vladikavkaz Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Email: v.a.eloeva@yandex.ru
Scopus Author ID: 60090703300
Vladikavkaz, Russia

References

Supplementary files