Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)5076210.22363/2413-3639-2026-72-2-297-308BBWQXDArticlesСтатьиResearch ArticleOscillatory properties of the spectrum of a fourth-order operator on a cross graphОсцилляционные свойства спектра оператора четвертого порядка на графе-крестеhttps://orcid.org/0000-0002-1501-502426532903900AAO-6785-20214941-1764KulaevR. Ch.КулаевР. Ч.r.ch.kulaev@yandex.ru60090703300EloevaV. A.ЕлоеваВ. А.v.a.eloeva@yandex.ruNorth Ossetian State University after K. L. KhetagurovСеверо-Осетинский государственный университет им. К.Л. ХетагуроваSouthern Mathematical Institute of the Vladikavkaz Scientific Center of the Russian Academy of SciencesЮжный математический институт ВНЦ РАН1606202672229730822062026Copyright ©; 2026, Kulaev R.C., Eloeva V.A.Copyright ©; 2026, Кулаев Р.Ч., Елоева В.А.2026Kulaev R.C., Eloeva V.A.Кулаев Р.Ч., Елоева В.А.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/50762

The oscillatory properties of the spectrum of a problem on the natural vibrations of a cross-shaped rod system are investigated. The model is reduced to a fourth-order boundary value problem on a graph with rigid joint conditions for the rods. A method is proposed for reducing the original problem to a multipoint boundary value problem on a selected route, allowing the system to be interpreted as an elastically supported rod. A justification for this method is provided, and a condition for the oscillatory nature of the spectrum is formulated.

Исследуются осцилляционные свойства спектра задачи о собственных колебаниях стержневой системы в форме креста. Модель сводится к краевой задаче четвертого порядка на графе с условиями жесткой спайки стержней. Предложен метод редукции исходной задачи к многоточечной краевой задаче на выделенном маршруте, что позволяет интерпретировать систему как упруго подпертый стержень. Дается обоснование данного метода и формулируется условие осцилляционности спектра.

graph equationGreen’s functionspectrum oscillationrod equationуравнение на графефункция Гринаосцилляционность спектрауравнение стержняРабота выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2026-1324The work was carried out with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, agreement No. 075-02-2026-1324Бурлуцкая М.Ш., Зверева М.Б., Каменский М.И. Краевая задача на геометрическом графезвезде с нелинейным условием в узле // Мат. заметки.-2023.-114, № 2.-C. 316-320.-DOI: 10.4213/mzm13936.Владимиров А.А., Шкаликов А.А. Осцилляционные свойства самосопряженных граничных задач четвертого порядка // Алгебра и анализ.-2023.- 35, № 1. -C. 109-133.Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем.- М.-Л.: Гостехиздат, 1950.Завгородний М.Г. Вариационные принципы построения моделей стержневых стержней // Воронеж. гос. технол. академия.-2000.-No 4.-С. 59-62.Покорный Ю.В., Лазарев К.П. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач // Дифф. уравн.- 1987.- 23, № 4.-С. 658-670.Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О теоремах сравнения для уравнений на графах // Дифф. уравн.- 1989.-25, № 7.- C. 1141-1150.Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах.- М.: Физматлит, 2004.Ben Amara J., Shkalikov A.A., Vladimirov A.A. Spectral and oscillatory properties of a linear pencil of fourth-order differential operators // Math. Notes.- 2013.- 94, № 1.- С. 49-59.-DOI: 10.1134/S0001434613070055.Borovskikh A.V., Lazarev K.P. Fourth-order differential equations on geometric graphs // J. Math. Sci. (N.Y.). -2004.-119, № 6.-С. 719-738.- DOI: 10.1023/B:JOTH.0000012753.65477.23.Kiik J.-C., Kurasov P., Usman M. On vertex conditions for elastic systems // Phys. Lett. A. - 2015.- 379, № 34-35.-С. 1871-1876.- DOI: 10.1016/j.physleta.2015.05.017.Kulaev R.Ch. On the solvability of a boundary value problem for a fourth-order equation on a graph // Diff. Equ. -2014.-50, № 1.- С. 27-34.-DOI: 10.1134/S0012266114010042.Kulaev R.Ch. On the nonoscillation of an equation on a graph // Differ. Equ. -2015.-50, № 12.- С. 1565-1566.-DOI: 10.1134/S0012266114110196.Kulaev R.Ch. Necessary and sufficient condition for the positivity of the Green function of a boundary value problem for a fourth-order equation on a graph // Differ. Equ. -2015.- 51, № 3.- С. 303-317.- DOI: 10.1134/S0012266115030039.Kulaev R.Ch. Oscillation of the Green function of a multipoint boundary value problem for a fourth-order equation // Differ. Equ. -2015.-51, № 4.- С. 1-15.- DOI: 10.1134/S0012266115040035.Kulaev R.Ch. The qualitative theory of fourth-order differential equations on a graph // Mediterr. J. Math. - 2022.- 19, № 73.- С. 1-16.- DOI: 10.1007/s00009-022-02005-6.Kulaev R.Ch., Urtaeva A.A. Spectral properties of a fourth-order differential operator on a network // Math. Meth. Appl. Sci. -2023.- 46, № 1. -С. 15743-15763.-DOI: 10.1002/mma.9424.Pokornyi Yu.V., Pryadiev V.L. Some problems of the qualitative Sturm-Liouville theory on a spatial network // Russ. Math. Surv.- 2004.- 59, № 3.-C. 515-552.- DOI: 10.1070/RM2004v059n03ABEH000738.