Asymptotic behavior of solutions of an incomplete second-order integro-differential equation

Full Text

1. Постановка задачи и основные утверждения 1.1. Введение. Функционально-дифференциальные и, в частности, интегро-дифференциальные уравнения возникают в задачах динамики различных вязкоупругих систем, в задачах управления системами с распределёнными параметрами, задачах наследственной механики, задачах теории распространения тепла в средах с памятью, и т. д. Различные вопросы по указанной теме обсуждаются в монографиях [7, 14, 20, 24, 30] (см. также указанную в них литературу). В монографии [1] к изучению функционально-дифференциальных уравнений систематически применяются методы спектральной теории операторов, а также приведён обширный список литературы по обсуждаемым вопросам. В работах [16, 17] доказано, что решение однородного неполного интегро-дифференциального уравнения второго порядка с операторным ядром достаточно общего вида стремится к нулю с ростом времени, но без оценки скорости убывания. Это утверждение применено к исследованию движения вязкоупругого тела. Динамика вязкоупругих систем, а также подобные вопросы в других задачах, изучалась далее многими авторами. Например, в работах [13, 18, 21, 25, 26, 29] исследуются вопросы устойчивости одномерных систем, описывающих модели Тимошенко вязкоупругих стержней. Работы [2, 11, 12, 27] (см. также указанную в них литературу) посвящены исследованию устойчивости абстрактных интегро-дифференциальных уравнений. В работах [4-6, 33] исследуются вопросы, аналогичные изучаемым в настоящей статье. А именно, исследуется вопрос асимптотического поведения решений интегро-дифференциальных уравнений в случае «правой части» вида , где) при t -→ +∞. Цель работы - вывод асимптотических формул для решений неполного интегро-дифференциального операторного уравнения второго порядка в описанном выше случае (см. теоремы 1.1, 1.2). Доказанные утверждения применяются к одному уравнению, моделирующему ряд приложений из механики вязкоупругих систем (см. лемму 3.5). 1.2. Постановка задачи и основные утверждения. 1.2.1. Общий случай. Пусть H, H0 - комплексные гильбертовы пространства, L(H,H0) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из H в H0, L(H) := L(H,H). Пусть A, G, C -плотно определённые замкнутые операторы: A : D(A) ⊂ H -→ H, G : D(G) ⊂ H0 -→ H0, C : D(C) ⊂ H -→ H0, причём A, G - самосопряжённые положительно определённые операторы. Будем считать, что введённые операторы удовлетворяют следующей гипотезе: Оператор-функция C∗ exp(-tG)CA-1 сильно непрерывна на R+ := [0,+∞). Отсюда, из неравенства Гайнца (см. [9, гл. 1, §7, теорема 7.1]) и полярного разложения замкнутого оператора (см. [8, гл. 6, §2, п. 7]) следует, в частности, что D(A1/2) ⊂ D(C). Обозначим через ωG := inf{λ ∈ σ(G)} (σ(G) - спектр оператора G) нижнюю грань оператора G и предположим, что выполнены следующие гипотезы: Существует a1 ∈ (0,1) такое, что ); (1.1) Существенный спектр σess(A) оператора A не более чем счётен и . (1.2) По операторам A, G, C с учётом гипотез построим операторный пучок (операторфункцию) M(·) следующим образом: . (1.3) Замечание 1.1. Гипотеза призвана обеспечить положительную определённость оператора M(0) и в конкретной ситуации может быть ослаблена (см. (3.5) или (3.9)). В гильбертовом пространстве H рассмотрим задачу Коши для неполного интегро-дифференциального операторного уравнения второго порядка: . (1.4) Определение 1.1. Решением задачи Коши (1.4) назовём функцию u ∈ C2(R+;H) такую, что при, выполнены начальные условия и уравнение из (1.4) для любого t ∈ R+. Теорема 1.1. Пусть выполнены гипотезы . 1) Если u0 ∈ D(A), u1 ∈ D(A1/2), f ∈ C1(R+;H), то решение задачи Коши (1.4) существует и единственно. 2) Будем считать дополнительно, что , (1.5) где . Если , то для решения задачи Коши (1.4) выполнено соотношение 1.2.2. Один частный случай. Рассмотрим теперь частный случай описанной выше конструкции. Пусть Hl (l = 1,2) - комплексные гильбертовы пространства. Пусть G1 ∈ L(H1), G2, Cl - плотно определённые замкнутые операторы: G2 : D(G2) ⊂ H2 -→ H2, Cl : D(Cl) ⊂ H -→ Hl (l = 1,2), причём Gl - самосопряжённые положительно определённые операторы. Обозначим через ωGl := inf{λ ∈ σ(Gl)} нижнюю грань оператора Gl и будем считать, что введённые операторы удовлетворяют следующим гипотезам: Оператор-функции Cl∗ exp(-tGl)ClA-1 (l = 1,2) сильно непрерывны на R+; Существуют a1 ∈ (0,1), a2 > 0 такие, что . (1.7) Замечание 1.2. Условие G1 ∈ L(H1) и второе требование гипотезы призваны обеспечить равномерную экспоненциальную устойчивость полугруппы, связанной с (1.4) (см. лемму 2.9). Будем теперь считать, что H0 = H1 ⊕ H2, а операторы G и C определены следующим образом: G := diag(G1,G2), G : D(G) = H1 ⊕ D(G2) ⊂ H0 -→ H0, (1.8) . Здесь и далее символ обозначает операцию транспонирования. Теперь ядро интегрального возмущения в (1.4) и оператор-функция M(·) из (1.3) примут следующий вид: (1.9) . (1.10) Теорема 1.2. Пусть выполнены гипотезы , а ядро интегрального слагаемого в (1.4) и оператор-функция M(·) имеют вид (1.9) и (1.10) соответственно. 1) Если u0 ∈ D(A), u1 ∈ D(A1/2), f ∈ C1(R+;H), то решение задачи Коши (1.4) существует и единственно. 2) Будем считать дополнительно, что функция f(·) имеет вид (1.5), где g,fk ∈ C1(R+;H) . Если при t -→ +∞, то имеет место соотношение (1.6). 3) Если, в частности, убывают экспоненциально при t -→ +∞, то сходимость к нулю в (1.6) также экспоненциальная. 2. Доказательство теорем Идея доказательства теорем 1.1, 1.2 заключается в установлении связи между решениями задачи Коши (1.4) и решениями задачи Коши для некоторого дифференциально-операторного уравнения первого порядка с последующим использованием свойств решений этой задачи Коши. В п. 2.1 доказываются леммы об асимптотическом поведении решений задач Коши для уравнений первого порядка с правой частью специального вида. Рассматриваются две ситуации - когда оператор уравнения генерирует сильно устойчивую либо равномерно экспоненциально устойчивую полугруппу. В п. 2.2 осуществляется переход от задачи Коши (1.4) к задаче Коши для некоторого дифференциально-операторного уравнения первого порядка. Оператор этого уравнения представляет собой операторную матрицу специального вида. В п. 2.3 исследуются операторные матрицы указанного вида. Находятся условия, достаточные для того, чтобы эти операторные матрицы генерировали сильно устойчивые либо равномерно экспоненциально устойчивые полугруппы. В п. 2.4 с использованием результатов п. 2.1 и п. 2.3 доказываются утверждения теоремы 1.1 (см. леммы 2.10, 2.11) и теоремы 1.2 (см. леммы 2.12, 2.13). 2.1. Асимптотика решений дифференциального уравнения первого порядка. Пусть оператор -A генерирует сильно непрерывную полугруппы U(t) на банаховом пространстве E. Рассмотрим в E следующую задачу Коши: . (2.1) Определение 2.1. Решением задачи Коши (2.1) назовём функцию ζ ∈ C1(R+;E) такую, что ζ(t) ∈ D(A) при t ∈ R+, Aζ ∈ C(R+;E), выполнено начальное условие и уравнение из (2.1) для любого t ∈ R+. Лемма 2.1. Пусть выполнены следующие условия. Сильно непрерывная полугруппа U(t) равномерно ограничена. Множество σ(A) ∩ iR не более чем счётно и σp(A∗) ∩ iR = ∅. Функция F(t) имеет вид , (2.2) где . Если , , то решение задачи Коши (2.1) существует, единственно и удовлетворяет асимптотической формуле (Rλ(A) := (A - λI)-1) . (2.3) Доказательство. 1) Покажем однозначную разрешимость задачи Коши (2.1) и найдём специальное представление для её решения. Из ζ0 ∈ D(A), сильной непрерывности полугруппы U(t) и F ∈ C1(R+;E) следует, что задача Коши (2.1) имеет единственное решение в смысле определения 2.1 (см., например, [9, гл. 1, §6, теорема 6.5] или [3, гл. 2, §1, теорема 1.4]). С учётом будем разыскивать это решение в виде . (2.4) Отсюда, из (2.1) и (2.2) получим, что ); ); Отсюда следует, что функция χ(·) должна быть решением задачи Коши , (2.5) Чтобы обосновать представление для функции χ(·) через интеграл Дюамеля, заметим, что решение задачи (2.5) можно представить в виде суммы χ(t) = χ1(t) + χ2(t), где χ1(·), χ2(·) -решения задач Коши , (2.6) (2.7) Задача Коши (2.6) разрешима в силу п. 2◦ теоремы [9, гл. 1, §6, теорема 6.5] (см. также п. (ii) теоремы [3, гл. 2, §1, теорема 1.3]). Задача Коши (2.7) разрешима в силу п. 1◦ теоремы [9, гл. 1, §6, теорема 6.5] (см. также п. (i) теоремы [3, гл. 2, §1, теорема 1.3]). При этом χ1(·), χ2(·) представимы через интегралы Дюамеля. Итак, складывая решения задач Коши (2.6) и (2.7), найдём представление для решения задачи (2.5). С учётом связи (2.4) найдём, что 2) Докажем теперь формулу (2.3). Из условий на спектр оператора A леммы 2.1 и теоремы Арендта-Батти-Любича-Ву (см. [15, гл. 2, §5, п. 5.5, теорема 5.5.5] или [28, гл. 5, §5.1, теорема 5.1.5]) следует, что полугруппа U(t), генерируемая оператором -A, сильно устойчива, т. е. при t -→ +∞ для любого ξ ∈ E. Следовательно, . (2.9) Далее, из следует, что неоднородность в (2.5) также принадлежит пространству L1(R+;E). Отсюда, из равномерной ограниченности и сильной устойчивости полугруппы U(t), и из [15, гл. 2, §5, п. 5.6, предложение5.6.4] следует, что . (2.10) Теперь из (2.9), (2.10) и (2.8) следует (2.3). Лемма доказана. Замечание 2.1. Если банахово пространство E рефлексивно, то условие σp(A∗) ∩ iR = ∅ можно заменить на σp(A) ∩ iR = ∅ (см. [28, гл. 5, §5.1, предложение5.1.15 и предложение5.1.17]). Лемма 2.2. Пусть выполнены следующие условия. Сильно непрерывная полугруппа U(t) равномерно экспоненциально устойчива, т. е. существуют такие, что . Функция F(·) имеет вид (2.2), где G ∈ C1(R+;E), Fk ∈ ( + ) ( k ∈ = 0,n). 1) Если при t -→ +∞, то решение задачи Коши (2.1) существует, единственно и удовлетворяет асимптотической формуле (2.3). 2) Если, в частности, убывают экспоненциально при t -→ +∞, то сходимость к нулю в (2.3) также экспоненциальная. Доказательство. 1) Однозначная разрешимость задачи Коши (2.1) и представление (2.8) для её решения доказываются как в лемме 2.1. Нужно только учесть, что σ(A) ∩ iR = ∅, поскольку по условию леммы полугруппа U(t) равномерно экспоненциально устойчива. 2) Для доказательства формулы (2.3) заметим, что, например, из [15, гл. 2, §5, п. 5.5, предложение 5.6.1, d)] и при t -→ +∞ следует (2.10), а соотношение (2.9) следует из равномерной экспоненциальной устойчивости полугруппы U(t). Если убывают экспоненциально, то из представления (2.8) и равномерной экспоненциальной устойчивости полугруппы U(t) непосредственными вычислениями несложно вывести, что сходимость к нулю в (2.3) также экспоненциальная. Лемма доказана. 2.2. Переход от (1.4) к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка. 2.2.1. Общий случай, выполнены гипотезы . С учётом гипотез и формулы (1.3), определяющей оператор-функцию M(·), введём операторы Q := CA-1/2 ∈ L(H,H0) и T := M(0). Лемма 2.3. Имеет место формула Q∗|D(C∗) = A-1/2C∗, оператор T положительно определён в гильбертовом пространстве H. Доказательство. Для любых u ∈ H, v ∈ D(C∗) имеем (Qu,v)H0 = (u,Q∗v)H = (u,A-1/2C∗v)H, откуда следует, что Q∗|D(C∗) = A-1/2C∗. Докажем, что операторT = M(0) ∈ L(H) (см. (1.3)) положительно определён. Для любых u ∈ H с учётом гипотезы (см. (1.1)) имеем , где 1 - a1 > 0. Лемма доказана. Предположим, что задача Коши (1.4) имеет решение u(·) (в смысле определения 1.1). Тогда по необходимости для начальных данных получим включения u0 ∈ D(A), u1 ∈ D(A1/2). Перепишем уравнение из (1.4) в следующей эквивалентной форме: . (2.11) Отсюда и из леммы 2.3 следует, что функция u(·) будет также решением уравнения . (2.12) По условию (см. определение 1.1). Отсюда и из [3, гл. 1, §1, лемма 1.5] следует, что . Из этого соотношения и из u0 ∈ D(A) ⊂ D(A1/2) теперь можно вывести следующую форму интегрирования по частям: Преобразуем уравнение (2.12) с помощью полученной формулы. С учётом формулы для оператора T (см. лемму 2.3) из последнего соотношения получим, что (2.12) эквивалентно уравнению . (2.13) Определим функции Функции z(·), v(·), очевидно, непрерывно дифференцируемы на R+. Относительно функции w(·) докажем следующее утверждение. Лемма 2.4. Фиксируем произвольное τ > 0. Пусть, тогда функция w(·), определённая в (2.14), является решением (в смысле определения 2.1) следующей задачи Коши: . (2.15) Доказательство. 1) Пусть . Тогда и из [15, гл. 1, §3, п. 3.1, предложение3.1.16] следует, что функция w(·), определённая в (2.14), является слабым решением (mild solution, см. [15, гл. 1, §3, п. 3.1]) задачи Коши (2.15). Теперь из и [15, гл. 1, §3, п. 3.1, предложение3.1.15] следует, что слабое решение w(·) тогда и только тогда будет решением задачи Коши (2.15) в смысле определения 2.1, когда w ∈ C1([0,τ];H). 2) Для дальнейшего понадобится вспомогательное соотношение. Пусть h ∈ C([0,τ];H), тогда . (2.16) Допустим, что (2.16) не имеет места. Тогда существуют числовые последовательности, такие, что. Поскольку последовательность ограничена, можно считать, что она сходится. Иначе ограничимся её сходящейся подпоследовательностью. Итак, sk -→ s0 ∈ [0,τ] (k -→ ∞). Далее имеем в силу непрерывности функции h(·) и сильной непрерывности в нуле полугруппы exp(-Gt). Полученное противоречие доказывает (2.16). 3) Итак, докажем, что w ∈ C1([0,τ];H). Вычислим формально производную функции w(·) и покажем, что она непрерывна: (2.17) Функция, очевидно, непрерывна на [0,τ], так как G-1/2Q ∈ L(H,H0) и по условию леммы. Покажем, что свёртка в (2.17) непрерывна на [0,τ]. Фиксируем t0 ∈ (0,τ]. С использованием оценки) (α 0, Cα > 0, ω > 0) для любого t > 0 (см. [10, гл. 1, §1.3, теорема 1.4.3]) и (2.16) для 0 найдём, что . Таким образом, свёртка непрерывна в точке t0 слева. Фиксируем теперь t0 ∈ [0,τ). Вычислениями, аналогичными проведенным выше, показывается, что свёртка непрерывна в точке t0 справа. Таким образом, w ∈ C1([0,τ];H). Лемма доказана. Из (2.13), (2.14) и леммы 2.4 следует, что функции z(·), v(·), w(·) удовлетворяют следующей системе уравнений и начальных условий: , (2.18) z(0) = u1, v(0) = T1/2A1/2u0, w(0) = 0. Перепишем систему (2.18) в виде задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H := H ⊕ H ⊕ H0: . (2.19) Оператор A и его естественная область определения D(A) имеют следующий вид: Осуществим в задаче (2.19) замену ζ(t) := ξ(t) + ξ(u0,t). В результате получим следующую основную задачу Коши: . (2.21) 2.2.2. Частный случай, выполнены гипотезы . Пусть теперь выполнены гипотезы и , а ядро интегрального возмущения в (1.4) и оператор-функция M(·) из (1.3) имеют вид (1.9) и (1.10) соответственно. Определим операторы Ql := ClA-1/2 ∈ L(H,Hl) (l = 1,2) и T := M(0). Имеет место лемма, аналогичная лемме 2.3. Лемма 2.5. Имеет место формула Q∗l |D(Cl∗) = A-1/2Cl∗ (l = 1,2), операторы положительно определены в гильбертовом пространстве H. Доказательство. В доказательстве здесь нуждается только положительная определённость оператора. Действительно, с учётом гипотезы (см. (1.7)) для любого u ∈ H имеем , где a2 > 0. Лемма доказана. Далее проводятся рассуждения, аналогичные проведенным выше при переходе от (2.11) к (2.18). Система (2.18) переписывается в виде (2.19). При этом в (2.20) для сокращения записи введены обозначения: := diag(G1,G2), D(G) = H1 ⊕ D(G2). (2.22) После соответствующей замены в (2.19) снова приходим к задаче (2.21). 2.3. Свойства оператора A. 2.3.1. Общий случай, выполнены гипотезы . В дальнейших вычислениях понадобятся факторизации Шура-Фробениуса операторных блоков с ограниченными операторными коэффициентами и формулы обращения этих блоков (см., например, [31, гл. 1, §1.6, предложение 1.6.2]). Замечание 2.2. Пусть E1, E2 банаховы пространства, . Если D1-1 ∈ L(E1), то существует . (2.23) Пусть. Если D2-1 ∈ L(E2), то существует . (2.24) Лемма 2.6. Оператор -A является генератором сжимающей сильно непрерывной полугруппы. Кроме того, существует A-1 ∈ L(H) и справедливо представление Доказательство. 1) Докажем, что оператор A непрерывно обратим и выведем формулу (2.25). Отсюда будет следовать, что оператор A замкнут на своей естественной области определения D(A). Плотная определённость оператора A последует из формулы - область значений оператора A-1) и равенства Ker(A-1)∗ = {0}. Применим факторизацию (2.24) к обращению среднего операторного блока в разложении (2.20). С учётом T-1 ∈ L(H) (см. лемму 2.3) найдём, что существует ⎛ 0 T1/2 Q∗G-1⎞-1 -T1/2 0 0 = ⎝-G-1Q 0 I ⎠ ⎡⎛I 0 0⎞⎛ 0 T1/2 0⎞⎛I 0 0 ⎞⎤-1 = 0 I 0 -T1/2 0 0 0 I T-1/2Q∗G-1 = ⎣⎝0 G-1QT-1/2 I⎠⎝ 0 0 I⎠⎝0 0 I ⎠⎦ ⎛I 0 0 ⎞⎛ 0 -T-1/2 0⎞⎛I 0 0⎞ = 0 I -T-1/2Q∗G-1 T-1/2 0 0 0 I 0 ∈ L(H). ⎝0 0 I ⎠⎝ 0 0 I⎠⎝0 -G-1QT-1/2 I⎠ Отсюда и из (2.20) следует (2.25). Из (2.25) видно, что Ker(A-1)∗ = {0}, а значит, естественная область определения оператора A плотна в H. 2) Покажем, что оператор -A является генератором сжимающей сильно непрерывной полугруппы. Для этого достаточно установить, что оператор -A является замкнутым максимальным диссипативным оператором (см., например, [9, гл. 1, §4, п. 2, теорема 4.5]). В 1) доказано, что оператор A плотно определён. Пусть (см. (2.20)), тогда z ∈ D(A1/2), w ∈ D(G) ⊂ D(G1/2) и с использованием представления (2.20) найдём, что Re(, то есть оператор -A диссипативен. Далее, из (2.25) следует, что 0 ∈ ρ(A) (ρ(A) - резольвентное множество оператора A). Учитывая, что ρ(A) открытое множество, найдём, что. Следовательно (см., например, [9, гл. 1, §4, п. 2, теорема 4.3] или [24, гл. 1, §1.2, теорема 1.2.3]) замкнутый оператор -A максимален. Лемма доказана. Замечание 2.3. По лемме 2.6 оператор A плотно определён, замкнут и A-1 ∈ L(H). Из [8, гл. 3, §5, п. 5, теорема 5.30] следует, что (A-1)∗ = (A∗)-1. Отсюда и из (2.25) непосредственными вычислениями выводится формула (2.26) . Лемма 2.7. Имеет место следующая формула для резольвенты оператора A: , (2.27) при всех λ /∈ σ(M(·)) ∪ σ(G) ∪ {0} (здесь σ(M(·)), σ(G) - спектры операторного пучка M(·) и оператора G соответственно). Доказательство. Из факторизации (2.20) оператора A в симметричной форме имеем . Применим факторизацию (2.23) к обращению среднего операторного блока в последнем разложении. При λ /∈ σ(G) ∪ {0} найдём, что ⎛A1/2 0 0 ⎞⎛I -λ-1T1/2 Q∗Rλ(G)⎞ A - λI = 0 I 0 0 I 0 × ⎝ 0 0 G1/2⎠⎝0 0 I ⎠ ⎛D1(λ) 0 0 ⎞⎛ I 0 0⎞⎛A1/2 0 0 ⎞ × 0 -λI 0 λ-1T1/2 I 0 0 I 0 . (2.28) ⎝ 0 0 I - λG-1⎠⎝-Rλ(G)Q 0 I⎠⎝ 0 0 G1/2⎠ Здесь оператор-функция D1(·), с учётом (1.3), Q = CA-1/2 и T = M(0) (см. лемму 2.3), вычисляется следующим образом (см. (2.23)): Отсюда и из (2.28) следует (2.27). Лемма доказана. Лемма 2.8. Пусть выполнены гипотезы . Тогда сильно непрерывная полугруппа U(t), генерируемая оператором -A, является сильно устойчивой, т. е. при t -→ +∞ для любого ξ ∈ H. При этом если iβ ∈ σ(A) при некотором β ∈ R, то β2 ∈ σess(A). Доказательство. Доказательство первой части леммы состоит в применении теоремы Арендта- Батти-Любича-Ву (см. [15, гл. 2, §5, п. 5.5, теорема 5.5.5] или [28, гл. 5, §5.1, теорема 5.1.5]): если сильно непрерывная полугруппа U(t) с генератором -A равномерно ограничена, множество σ(A) ∩ iR счётно и σp(A) ∩ iR = ∅ (см. замечание 2.1), то U(t) сильно устойчива. 1) По лемме 2.6 сильно непрерывная полугруппа U(t) равномерно ограничена (сжимающая). 2) Проверим, что оператор A не имеет собственных значений на мнимой оси. Допустим, что это не так, тогда существуют β ∈ R \ {0} (по лемме 2.6 можно считать, что, так как 0 ∈ ρ(A)) и такие, что (A - iβI)ξ = 0. С учётом (2.20) последнее соотношение запишем в виде , (2.29) Умножим правую и левую части первого, второго и третьего уравнений системы (2.29) на z справа, v слева и w слева соответственно. Просуммируем полученные соотношения и с использованием включений z ∈ D(A1/2), w ∈ D(G) ⊂ D(G1/2), следующих из ξ ∈ D(A) (см. (2.20)), получим, что . Выделяя действительную часть из последнего соотношения и используя положительную определённость оператора G, найдём, что w = 0. Теперь из первого уравнения в (2.29) следует, что T1/2v ∈ D(A1/2), а из второго, следовательно, что TA1/2z ∈ D(A1/2). Применяя к левой и правой части второго уравнения в (2.29) оператор T1/2, а затем A1/2 найдём, что A1/2TA1/2z = β2z. Отсюда, из T = M(0) = I - Q∗G-1Q (см. (1.3)) и третьего соотношения в (2.29) (G-1/2QA1/2z = G-1/2Cz = 0) получим, что Az = β2z. Таким образом, однако в силу гипотезы последнее множество пусто, а значит, z = 0. Теперь из второго уравнения в (2.29) следует, что v = 0. Следовательно, ξ = 0, а значит, число iβ не является собственным значением оператора A. 3) Покажем, что множество σ(A) ∩ iR не более чем счётно. Точнее, если iβ ∈ σ(A) при некотором β ∈ R, то β2 ∈ σess(A). Вычислениями, аналогичными проведенным выше в 2), показывается, что оператор A∗ (см. замечание 2.3 и (2.26)) не имеет собственных значений на мнимой оси. Следовательно, оператор A не имеет остаточного спектра на мнимой оси. Предположим, что iβ (β ∈ R \ {0}) - точка непрерывного спектра оператора A. Тогда, поскольку Im(A - iβI) плотно в H, аппроксимативная степень вырождения и аппроксимативный дефект оператора A - iβI равны бесконечности (см. [8, гл. 4, §5, п. 2, теорема 5.10]). По теореме Вольфа (см. [32] или [8, гл. 4, §5, п. 2, теорема 5.11]) существует последовательность нормированных к единице элементов, не содержащая сходящуюся подпоследовательность и такая, что при k -→ ∞. С учётом (2.20) последнее соотношение запишем в виде (см. (2.29)) (2.30) , где под o(1) понимается бесконечно малая последовательность элементов в соответствующем пространстве. Как и при исследовании (2.29), умножим левую и правую части первого, второго и третьего уравнений системы из (2.30) на zk справа, vk слева и wk слева соответственно. Просуммируем полученные соотношения и с использованием включений zk ∈ D(A1/2), wk ∈ D(G) ⊂ D(G1/2), следующих из ξ ∈ D(A) (см. (2.20)), получим, что . Отсюда и из нормировочного соотношения в (2.30) следует, что . (2.31) Выразим vk из второго соотношения в (2.30) и подставим его в первое соотношение. Преобразованное первое соотношение и третье примут следующий вид: , Вспоминая, что T = M(0) = I - Q∗G-1Q (см. (1.3)), преобразуем здесь первое соотношение с помощью второго. Получим, что (A-1 - β-2I)zk = o(1) (k -→ ∞). Рассмотрим различные варианты расположения точки β. (2.32) Предположим, что β2 ∈ ρ(A). Тогда из (2.32) получим, что. Приходим к противоречию с (2.31). Предположим теперь, что β2 изолированное конечнократное собственное значение оператора A, или, что то же, β-2 изолированное конечнократное собственное значение оператора A-1. Обозначим через Pβ2 ортогональный проектор пространства H на Ker(A-1 -β-2I). Применяя Pβ2 и к левой и правой части соотношения (2.32), найдём, что , а последовательность Ker(A-1 - β-2I) содержит сходящуюся подпоследовательность. Последнее следует из ограниченности последовательности и dimKer(A-1 - β-2I) < ∞. Итак, предположим, что Pβ2zkl -→ z при l -→ ∞. Тогда и предыдущего получим, что zkl -→ z при l -→ ∞. Из первого соотношения в (2.30) теперь получим, что vkl -→ iβT-1/2A-1/2z при l -→ ∞. Таким образом, последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, что противоречит исходному предположению. Таким образом, β2 может лежать только в σess(A), а это множество не более чем счётно по гипотезе . Итак, множество σ(A) ∩ iR не более чем счётно. Применение теоремы Арендта-Батти-Любича-Ву завершает доказательство леммы. 2.3.2. Частный случай, выполнены гипотезы . В рассматриваемом случае имеют место леммы 2.6 и 2.7. Докажем утверждение об устойчивости полугруппы. Лемма 2.9. Пусть выполнены гипотезы . Сильно непрерывная полугруппа U(t), генерируемая оператором -A, является равномерно экспоненциально устойчивой, т. е. существуют такие, что . (2.33) Доказательство. Доказательство леммы состоит в применении теоремы Герхарта (см. [22] или [19, гл. 5, §1, теорема 1.11]). Точнее, применяется утверждение, эквивалентное указанной теореме в случае, когда сильно непрерывная полугруппа является сжимающей (см. [24, гл. 1, §1.3, теорема 1.3.2]): сильно непрерывная сжимающая полугруппа на гильбертовом пространстве H равномерно экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда iR ⊂ ρ(A) и . (2.34) 1) По лемме 2.6 сильно непрерывная полугруппа U(t) является сжимающей. 2) Покажем, что iR ⊂ ρ(A). Проверим, что оператор A не имеет собственных значений на мнимой оси. Рассуждая как в лемме 2.8, придём к системе (2.29), затем и к равенству w = 0. Теперь из третьего уравнения в (2.29), с учётом (1.8) и обозначения Ql = ClA-1/2 (см. лемму 2.5), получим следующие соотно- 1/2 шения: -Gl Clz = 0 (l = 1,2). Отсюда и из гипотезы(см. (1.7)) следует, что z = 0. Теперь из второго уравнения в (2.29) и условия найдём, что v = 0. Следовательно, ξ = 0, а значит, число iβ не является собственным значением оператора A. Далее как и в лемме 2.8 заключаем, что оператор A не имеет остаточного спектра на iR. Предположим, что iβ (β ∈ R \ {0}) - точка непрерывного спектра оператора A. Рассуждая как в лемме 2.8, придём к системе (2.30) и к соотношениям (2.31). Учитывая (2.22), обозначим wk := (w1k;w2k) и распишем третье уравнение в (2.30) в виде -G-l 1/2QlA1/2zk + Glwlk - iβwlk = o(1) (k -→ ∞), l = 1,2. (2.35) Учитывая при k -→ ∞, а также G1,G-1 1 ∈ L(H1), из (2.35) при l = 1 найдём, что , где (см. лемму 2.5) - нижние грани соответствующих операторов. Из последнего соотношения теперь найдем, что . Отсюда и из второго соотношения в системе (2.30) теперь получим противоречие с (2.31): . Из проведенных вычислений следует, что iR ⊂ ρ(A). 3) Докажем оценку (2.34). Допустим, что (2.34) не верно. Тогда существует последовательность и последовательность элементов такие, что . С учётом (2.20) последнее соотношение запишем в виде (см. (2.29), (2.30)) (2.36) , Рассуждая как при исследовании системы (2.30), придём к соотношениям (2.31) и аналогу (2.35): -G-l 1/2QlA1/2zk + Glwlk - iβkwlk = o(1) (k -→ ∞), l = 1,2. Отсюда при l = 1 как и выше найдём, что , где при всех k ∈ N, поскольку 0 < |βk| -→ ∞. Из последнего соотношения теперь найдем, что . Отсюда и из второго соотношения в системе (2.36) теперь получим противоречие с (2.31): . Лемма доказана. 2.4. Доказательство теорем 1.1, 1.2. 2.4.1. Общий случай, выполнены гипотезы . В следующих двух леммах докажем утверждения 1) и 2) теоремы 1.1. Лемма 2.10. Если u0 ∈ D(A), u1 ∈ D(A1/2), f ∈ C1(R+;H), то задача Коши (1.4) имеет единственное решение (в смысле определения 1.1). Доказательство. 1) Покажем, что из условий леммы следует однозначная разрешимость задачи Коши (2.21). Будем искать решение задачи Коши (2.21) в виде ζ(t) = ζ1(t) + ζ2(t), где ζ1(·), ζ2(·) -решения следующих начальных задач: , (2.37) (2.38) Проверим выполнение условий п. 2◦ теоремы [9, гл. 1, §6, теорема 6.5] о разрешимости задачи Коши (2.37) (см. также условие п. (ii) теоремы [3, гл. 2, §1, теорема 1.3]). Из (1.8), (2.20) и леммы 2.3 найдём, что ζ1(0) = ξ0 + ξ(u0,0) = (u1;T1/2A1/2u0;0) + (0;T-1/2Q∗G-1QA1/2u0;0) = ;0) = (u1;T-1/2A1/2u0;0) ∈ D(A), так как (см. определение области определения D(A) в (2.20)) u1 ∈ D(A1/2), T1/2(T-1/2A1/2u0) + Q∗G-1/20 = A1/2u0 = A-1/2(Au0) ∈ D(A1/2), 0 ∈ D(G). Далее, если f ∈ C1(R+;H), то, очевидно, F = (f;0;0) ∈ C1(R+;H). Таким образом, задача Коши (2.37) имеет единственное решение в смысле определения 2.1. Проверим теперь выполнение условий п. 1◦ теоремы [9, гл. 1, §6, теорема 6.5] о разрешимости задачи Коши (2.38) (см. также условие п. (i) теоремы [3, гл. 2, §1, теорема 1.3]). Очевидно, что ζ2(0) = 0 ∈ D(A). Покажем, что при всех найдём, что;0). Отсюда, учитывая гипотезу , формулу для D(A) (см. (2.20)) и Q = CA-1/2 (см. лемму 2.3), имеем при любом t ∈ R+ 0 ∈ D(A1/2), T1/2(T-1/2Q∗ exp(-Gt)QA1/2u0) + Q∗G-1/20 = Q∗|D(C∗) exp(-Gt)CA-1(Au0) = = A-1/2C∗ exp(-Gt)CA-1(Au0) ∈ D(A1/2), 0 ∈ D(G), т. е. при всех t ∈ R+. Теперь непосредственные вычисления показывают, что - непрерывная на R+ функция со значениями в H. Таким образом, задача Коши (2.38), а значит, и задача Коши (2.21), имеет единственное решение в смысле определения 2.1. 2) Пусть ζ(·) - (единственное) решение задачи Коши (2.21). Введём функцию ξ(t) := = ζ(t) - ξ(u0,t). Тогда ξ(·) есть решение задачи Коши (2.19) в том смысле, что ξ ∈ C1(R+;H), ξ(t) + ξ(u0,t) ∈ D(A) при всех t ∈ R+ и A(ξ + ξ(u0,·)) ∈ C(R+;H), выполнено начальное условие и уравнение из (2.19). Последнее эквивалентно тому, что функции z(·), v(·), w(·), являющиеся координатами функции, удовлетворяют включениям z,v ∈ C1(R+;H), w ∈ C1(R+;H0), Gw ∈ C(R+;H0), (2.39) A1/2z ∈ C(R+;H), A1/2(T1/2v + Q∗G-1/2w) ∈ C(R+;H) и являются решением системы (2.18). Введём функцию u(t) := A-1/2T-1/2v(t), исходя из формул (2.14), и покажем, что эта функция и есть (единственное) решение исходной задачи Коши (1.4). Из второго уравнения в (2.18) следует, что , а значит, u ∈ C2(R+;H) (см. (2.39)). Кроме того, из (2.39) следует, что при всех. Из равенства следует также, что , а из определения функции u(·), что u(0) = A-1/2T-1/2v(0) = A-1/2T-1/2(T1/2A1/2u0) = u0, то есть начальные условия в (1.4) выполнены. Осталось показать, что u(t) ∈ D(A) при всех t ∈ R+, Au ∈ C(R+;H) и u(·) удовлетворяет уравнению из (1.4). Итак, учитывая , найдём из третьего соотношения в (2.18) функцию w (см. (2.14)): Подставляя найденные в первое соотношение в (2.18), получим, что функция u(·) есть решение уравнения (2.13). Поскольку и u0 ∈ D(A) ⊂ D(A1/2), можем осуществить обратный переход от (2.13) к уравнению (2.12). Из (2.12) теперь получим, что на R+ непрерывна функция , где R(t) := A-1/2Q∗ exp(-Gt)QA1/2. (2.40) Это утверждение перепишем в следующей эквивалентной форме: . (2.41) Определим на D(A) норму , эквивалентную норме графика, и превратим его таким образом в банахово пространство E(A). Тогда (2.41) можно рассматривать как уравнение Вольтерра второго рода в E(A). Покажем, что оператор-функция R(t) сильно непрерывна на R+ со значениями в E(A). Для любого u ∈ E(A) = D(A) и t0 ∈ R+ с учётом Q = CA-1/2, леммы 2.3, (2.40) и гипотезы имеем . Из проведенных вычислений следует, что уравнение (2.41) имеет единственное решение u ∈ C(R+;E(A)). Последнее означает, что u(t) ∈ D(A) при всех t ∈ R+ и Au ∈ C(R+;H). Отсюда следует, что в (2.12) можно раскрыть скобки и заменить Q∗ на Q∗|D(C∗) = A-1/2C∗. Таким образом, функция u(·) - (единственное) решение уравнения (2.11). Лемма доказана. Лемма 2.11. Пусть функция f. Если, то имеет место соотношение (1.6). Доказательство. 1) По (единственному) решению задачи Коши (1.4) построим решение задачи Коши (2.21). Если функция f(·) имеет вид (1.5), где, то задача (2.21) примет вид задачи Коши (2.1) с ζ0 = ξ0 + ξ(u0,0) и функцией F(·) вида (2.2), где . (2.42) 2) По лемме 2.8 сильно непрерывная полугруппа U(t), генерируемая оператором -A, сильно устойчива и если. Применим лемму 2.1 при к сложившейся ситуации. Несложно видеть, что из условия следует, что (см. (2.42)). Учитывая связь ζ(t) = ξ(t) + ξ(u0,t) между решениями задач Коши (2.21) и (2.19), формулу для ξ(u0,t), по лемме 2.1 имеем при t -→ +∞ Учитывая формулу (2.25) для оператора A-1, формулу (2.27) для резольвенты оператора A и связи (2.14), найдём, что . (2.44) Из (2.43), (2.44) следует (1.6). Лемма доказана. 2.4.2. Частный случай, выполнены гипотезы . Доказательство следующего утверждения почти полностью повторяет доказательство леммы 2.10 и лишь учитывает (1.8). Лемма 2.12. Пусть ядро интегрального слагаемого в (1.4) и оператор-функция M(·) имеют вид (1.9) и (1.10) соответственно. Если u0 ∈ D(A), u1 ∈ D(A1/2), f ∈ C1(R+;H), то решение задачи Коши (1.4) существует и единственно. Лемма 2.13. Пусть ядро интегрального слагаемого в (1.4) и (1.10) соответственно. Пусть функция f(·) имеет вид (1.5), где g,fk ∈ C1(R+;H) (k = 0,n). Если , то имеет место соотношение (1.6). Если, в частности, убывают экспоненциально при t -→ +∞, то сходимость к нулю в (1.6) также экспоненциальная. Доказательство. Доказательство этой леммы почти полностью повторяет доказательство леммы 2.11. Нужно только вместо леммы 2.8 использовать лемму 2.9, а вместо леммы 2.1, соответственно, лемму 2.2. Экспоненциальное убывание к нулю в (1.6) следует из (2.33), п. 2) леммы 2.2 и экспоненциального убывания к нулю при t -→ +∞ функции . 3. Приложения 3.1. Пример реализации операторного ядра. 3.1.1. Общий случай, выполнены гипотезы . Рассмотрим пример реализации операторного ядра в интегральном слагаемом из (1.4). Пусть - комплексные гильбертовы пространства. Введём m гильбертовых пространств l2(Hk) со обычными скалярными произведениями и нормами: . Определим гильбертово пространство H0 со скалярным произведением и нормой: , Пусть - плотно определённые замкнутые операторы, действующие из H в Hk: - последовательности положительных чисел. Будем считать, что выполнены следующие условия: . (3.1) Определим операторы по следующим формулам: (3.2) . Лемма 3.1. Операторы являются самосопряженными и положительно определёнными. Операторы Ck замкнуты на D(Ck) и . Доказательство. 1) С учётом (3.1) видно, что . Отсюда и из (G-k 1Xk,Xk)l2(Hk) ∈ R следует (см., например, [23, гл. 2, §12, теорема 12.3]), что операторы G-k 1, а значит, и Gk, самосопряженные. 2) Покажем, что операторы Ck замкнуты на D(Ck). Пусть такая, что . Отсюда следует, в частности, что последовательность {Ckun}∞n=1 фундаментальна в l2(Hk): . Следовательно, последовательность фундаментальна в Hk, а значит, существует v ∈ Hk такой, что -→ ∞. Отсюда, в силу замкнутости операторов Ck,α, имеем u ∈ D(Ck,α) = D(Ck) и Ck,α{ u}=Nv. Отсюда и из единственности предела схо-{√} N ∈ D дящейся последовательности имеем Xk = xp p∈ = αkp v p∈ . Таким образом, u (Ck) и , то есть оператор Ck замкнут. 3) Вычислим Ck∗. Пусть Xk = {xp}p∈N ∈ l2(Hk) такой, что функционал f(u) := (Cku,Xk) является (линейным) и ограниченным на D(Ck) = D(Ck,α). Используя свойства скалярного произведения и, в частности, его непрерывность, имеем . Отсюда следует искомое утверждение. Лемма доказана. С использованием (3.2) определим, наконец, операторы C и G по следующим формулам: , G := diag(, тогда для любого u ∈ D(Ck,α∗ Ck,α), с учётом леммы 3.1, (3.3) Лемма 3.2. Оператор-функция C∗ exp(-tG)CA-1 сильно непрерывна на R+. Доказательство. Из D(A) ⊂ D(Ck,α∗ Ck,α) (см. (3.1)) следует, что Ck,α∗ Ck,αA-1 ∈ L(H). Отсюда и из (3.3) для любых t,t0 ∈ R+ и u ∈ H имеем Фиксируем произвольное ε > 0. Из (3.1) получим, что . Отсюда и из (3.4) следует, что , то есть оператор-функция (3.3) сильно непрерывна в точке t0. Лемма доказана. Таким образом, для оператор-функции (3.3) выполнена гипотеза . Гипотеза (см. (1.1)), связывающая введённые операторы и числовые коэффициенты, принимает следующий вид: Существует a1 ∈ (0,1) такое, что . (3.5) Гипотеза (см. (1.2)) остаётся без изменений. 3.1.2. Частный случай, выполнены гипотезы . В этом случае мы можем построить два ядра по образцу приведенной выше конструкции, поскольку в гипотезах содержатся идентичные требования. При этом чтобы выполнить условия, достаточные для равномерной экспоненциальной устойчивости полугруппы U(t), для «первого» ядра нужно обеспечить условие G1 ∈ L(H1) (см. замечание 1.2). Итак, пусть - комплексные гильбертовы пространства. Введём ml гильбертовых пространств со обычными скалярными произведениями и нормами. Определим гильбертовы пространства. Пусть Ck,α,l - плотно определённые замкнутые операторы, действующие из H в Hk,l: - последовательности положительных чисел. Будем считать, что выполнены следующие условия: , (3.6) Определим операторы по следующим формулам: (3.7) . Без доказательства сформулируем лемму, аналогичную лемме 3.1. Лемма 3.3. Операторы являются самосопряженными и положительно определёнными, Gk,1 ∈ L(l2(Hk,1)). Операторы Ck,l замкнуты на D(Ck,l) и . С использованием (3.7) определим теперь операторы Cl и Gl (l = 1,2) по следующим формулам: , Gl := diag(, тогда для любого u ∈ D(Ck,α,l∗ Ck,α,l), с учётом леммы 3.3, получим (см. вычисления в (3.3)) (3.8) Аналогично лемме 3.2 доказывается следующее утверждение. Лемма 3.4. Оператор-функции Cl∗ exp(-tGl)ClA-1 (l = 1,2) сильно непрерывны на R+. Таким образом, для оператор-функции (3.8) выполнена гипотеза . Гипотеза (см. (1.7)), связывающая введённые операторы и числовые коэффициенты, принимает следующий вид: Существуют a1 ∈ (0,1), a2 > 0 такие, что (3.9) . Замечание 3.1. Рассмотрим ядро, представляющее собой ряд экспоненциальных функций с операторными коэффициентами (ядро вида (3.8)). Пусть операторы и числовые коэффициенты в этом ядре удовлетворяют условиям подчинённости, суммируемости и ограниченности снизу из (3.6). Если найдётся хотя бы один оператор Ck,α,l, удовлетворяющий второму условию из (3.9), то понятно, что можно разбить ядро на две части так, чтобы они уложились в описанную выше конструкцию. 3.1.3. Частный случай ядра (3.8). Пусть . Тогда получим ядро, в котором фигурирует только один оператор A. Уравнение (1.4) с таким ядром, в зависимости от реализации главного оператора A (см. [7, гл. 6, §23]), может описывать продольные колебания однородного стержня, поперечные колебания неоднородной по толщине балки либо пластины, поперечные колебания ортотропной пластинки из гомогенного полимера и т. д. Это уравнение изучалось, в частности, в [1, гл. 3, §3.2]. В указанной монографии исследовались вопросы существования, единственности и гладкости решений, а также проводился спектральный анализ символа этого уравнения. Отмечено, что уравнение (1.4) возникает в теории теплопроводности, теории вязкоупругих сред, кинетической теории газов. Итак, в комплексном гильбертовом пространстве H рассмотрим следующую задачу Коши: Здесь числа те же, что и в теореме 1.1 (или в теореме 1.2), а {αp}p∈N, {γp}p∈N - последовательности положительных чисел, удовлетворяющих неравенствам (см. (3.6), (3.9)) . (3.11) Непосредственно проверяется, что операторный пучок M(·) из (1.10) в рассматриваемом случае имеет следующий вид: (3.12) Предположим дополнительно, что спектр оператора A дискретен и - последовательности его собственных значений и соответствующих им собственных элементов, нормированных к единице. Применим теорему 1.2 к задаче Коши (3.10). С учётом предположения относительно оператора A придём к следующему утверждению. Лемма 3.5. Пусть. Если , при t -→ +∞, то для решения u(·) задачи Коши (3.10) выполнено , где (см. (1.6), (3.12))

About the authors

D. A. Zakora

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Author for correspondence.
Email: dmitry.zkr@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-6084-1114
SPIN-code: 4632-1311
Scopus Author ID: 25026570600
Simferopol, Russia

References

Supplementary files