Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)5076010.22363/2413-3639-2026-72-2-258-281AZYDIEArticlesСтатьиResearch ArticleAsymptotic behavior of solutions of an incomplete second-order integro-differential equationАсимптотическое поведение решений неполного интегро-дифференциального уравнения второго порядкаhttps://orcid.org/0000-0002-6084-1114250265706004632-1311ZakoraD. A.ЗакораД. А.dmitry.zkr@gmail.comV. I. Vernadsky Crimean Federal UniversityКрымский федеральный университет им. В.И. Вернадского1606202672225828122062026Copyright ©; 2026, Zakora D.A.Copyright ©; 2026, Закора Д.А.2026Zakora D.A.Закора Д.А.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/50760

In this paper, we study an incomplete second-order integro-differential operator equation in a Hilbert space. The difference-type kernel of an integral perturbation is a holomorphic semigroup bordered by unbounded operators. The asymptotic behavior of solutions of this equation is studied. Asymptotic formulas for solutions are proved in the case when the right-hand side is close to an almost periodic function. The obtained formulas are applied to one equation describing a number of applications from the mechanics of viscoelastic systems.

В работе изучается неполное интегро-дифференциальное операторное уравнение второго порядка в гильбертовом пространстве. Ядро разностного типа интегрального возмущения представляет собой голоморфную полугруппу, окаймленную неограниченными операторами. Исследуется асимптотическое поведение решений этого уравнения. Доказаны асимптотические формулы для решений в случае, когда правая часть близка к почти периодической функции. Полученные формулы применены к одному уравнению, описывающему ряд приложений из механики вязкоупругих систем.

operator equationintegro-differential equationCauchy problemsolution asymptoticsоператорное уравнениеинтегро-дифференциальное уравнениезадача Кошиасимптотика решенияРабота поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2026-1313The work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, agreement No. 075-02-2026-1313Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.- М.: МАКС Пресс, 2016.Власов В.В., Раутиан Н.А. Экспоненциальная устойчивость полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнениями с сингулярными ядрами // Дифф. уравн.- 2021.- 57, № 10.-С. 1426-1430.- DOI: 10.31857/S0374064121100149.Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения.- Киев: Выща школа, 1989.Закора Д.А. Экспоненциальная устойчивость одной полугруппы и приложения // Мат. заметки.- 2018.-103, № 5.-С. 702-719.- DOI: 10.4213/mzm11703.Закора Д.А. Асимптотика решений в задаче о малых движениях сжимаемой жидкости Максвелла // Дифф. уравн.- 2019.- 55, № 9.-С. 1195-1208.- DOI: 10.1134/S0374064119090048.Закора Д.А. Асимптотическое поведение решений полного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Соврем. мат. Фундам. направл.- 2022.- 68, № 3.- С. 451-466.-DOI: 10.22363/2413-3639-2022-68-3-451-466.Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости.-М.: Наука, 1970.Като Т. Теория возмущений линейных операторов.-М.: Мир, 1972.Крейн C.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.-М.: Наука, 1967.Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений.-М.: Мир, 1985.Alabau-Boussouria F., Cannarsa P. A general method for proving sharp energy decay rates for memory-dissipative evolution equations // C. R. Acad. Sci. Paris.- 2009.- 347.-С. 867-872.-DOI: 10.1016/j.crma.2009.05.011.Alabau-Boussouria F., Cannarsa P., Sforza D. Decay estimates for second order evolution equations with memory // J. Funct. Anal. -2008.-254.-С. 1342-1372.-DOI: 10.1016/j.jfa.2007.09.012.Ammar-Khodja F., Benabdallah A., Mun˜oz Rivera J.E., Racke R. Energy decay for Timoshenko systems of memory type // J. Differ. Equ. -2003.-194, № 1.-С. 82-115.-DOI: 10.1016/S0022-0396(03)00185-2.Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of materials with memory.- Boston: Springer, 2012.-DOI: 10.1007/978-1-4614-1692-0.Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems.-Basel: Birkh¨auser , 2011.- DOI: 10.1007/978-3-0348-0087-7.Dafermos C.M. Asymptotic stability in viscoelasticity // Arch. Ration. Mech. Anal.- 1970.- 37.- С. 297-308.-DOI: 10.1007/bf00251609.Dafermos C.M. An abstract Volterra equation with applications to linear viscoelasticity // J. Differ. Equ. - 1970.-7, № 3.-С. 554-569.- DOI: 10.1016/0022-0396(70)90101-4.Dell’Oro F. Asymptotic stability of thermoelastic systems of Bresse type // J. Differ. Equ. - 2015.- 258, № 11.-С. 3902-3927.- DOI: 10.1016/j.jde.2015.01.025.Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution eqations.- New York: Springer, 2000.Fabrizio M., Morro A. Mathematical problems in linear viscoelasticity.-Philadelphia: SIAM, 1992.-DOI: 10.1137/1.9781611970807.Fatori L.H., Monteiro R.N., Sare H.D.F. The Timoshenko system with history and Cattaneo law // Appl. Math. Comput. -2014.- 228, № 1.- С. 128-140.- DOI: 10.1016/j.amc.2013.11.054.Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces // Trans. Am. Math. Soc.- 1978.-236.- С. 385-394.-DOI: 10.1090/S0002-9947-1978-0461206-1.Gohberg I., Goldberg S. Basic operator theory.-Boston-Basel-Stuttgart: Birkh¨auser, 1981.-DOI: 10.1007/978-1-4612-5985-5.Liu Z., Zheng S. Semigroups associated with dissipative systems.- London: Chapman & Hall/CRC, 1999.Ma Z., Zhang L., Yang X. Exponential stability for a Timoshenko-type system with history // J. Math. Anal. Appl. -2011.-380, № 1.- С. 299-312.- DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.02.078.Messaoudi S.A., Apalara T.A. General stability result in a memory-type porous thermoelasticity system of type III // Arab J. Math. Sci. - 2014.- 20, № 2.-С. 213-232.- DOI: 10.1016/j.ajmsc.2013.08.004.Mun˜oz Rivera J.E., Naso M.G. Asymptotic stability of semigroups associated with linear weak dissipative systems with memory // J. Math. Anal. Appl. -2007.- 326.-С. 691-707.-DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.03.022.Neerven J. The Asymptotic behaviour of semigroups of linear operators.-Basel-Boston-Berlin: Birkh¨auser, 1996.Racke R., Said-Houari B. Global existence and decay property of the Timoshenko system in thermoelasticity with second sound // Nonlinear Anal. - 2012.- 75, № 13.-С. 4957-4973.-DOI: 10.1016/j.na.2012.04.011.Renardy M., Hrusa W.J., Nohel J.A. Mathematical problems in viscoelasticity.-New York: Longman Sci. & Tech., 1987.Tretter C. Spectral theory of block operator matrices and applications.- London: Imperial College Press, 2008.-DOI: 10.1142/P493.Wolf F. On the essential spectrum of partial differential boundary problems // Commun. Pure. Appl. Math. -1959.-12.-С. 211-228.- DOI: 10.1002/cpa.3160120202.Zakora D.A. Forced motions of thermoelastic systems of memory type // Lobachevskii J. Math.- 2021.- 42, № 5.- С. 1124-1139.-DOI: 10.1134/S199508022105022X.