Existence of a wave front in a model of the dynamics of a low-viscosity compressible fluid

Full Text

1. Введение Вопрос о существовании волнового фронта является ключевым для описания различных моделей термодинамических и механических процессов, таких как распространение ударных волн или тепловых импульсов, где фронт определяет границу резкого изменения параметров системы (давления, температуры, плотности). Его корректное моделирование напрямую влияет на точность расчетов в аэродинамике, физике плазмы и термодинамике быстропротекающих процессов, разделяя область возмущенного и невозмущенного состояния среды. Известен парадокс о том, что скорость распространения тепла в классической модели теплопроводности бесконечна, что противоречит основным физическим принципам. Использование моделей теплопроводности с интегральным последействием в определенном смысле снимает это противоречие: скорость распространения в таких моделях становится конечной. Но для каждой конкретной модели этот вопрос о существовании фронта возникает. Известны результаты исследования о фронте для интегро-дифференциальных уравнений в работах американских и немецких математиков [5, 6] в 80-х годах 20 века. Они показали, что при достаточной гладкости ядра диссипации существование фронта будет зависеть от соответствующей задачи без интегрального слагаемого. При отсутствии гладкости ядра вопрос существования фронта становится неясным и требует отдельного исследования для каждой модели. Отметим работы Романова И.В. и Шамаева А.С. [4, 7], где доказано, что для одномерного уравнения Гуртина-Пипкина с конечным числом экспоненциальных слагаемых в ядре диссипации передний фронт будет существовать. А если ядро диссипации негладкое, например, заданное в виде функции Работнова, то уже можно указать случаи, когда фронт не будет существовать. В данной работе рассматривается модель взвеси из двух слабовязких жидкостей (с коэффициентом вязкости порядка), где некоторая трехмерная область заполнена одной жидкостью и имеет малые по размеру (порядка ε) включения другой жидкости. Для анализа в подобных комбинированных средах предполагают включение фаз быстро чередующейся периодической структурой, при этом характерный размер чередования принимают за малый параметр ε > 0. Вопрос существования фронта для данной модели исследуется для соответствующей эффективной краевой задачи с интегро-дифференциальными уравнениями с медленно меняющимися коэффициентами, полученной методом асимптотического усреднения при ε → 0. Показано, что при определенной гладкости изменения плотности между фазами в эффективной модели существуют передний фронт. Таким образом, доказано, что при финитном начальном возмущении рассматриваемой комбинированной среды, распространение акустических колебаний будет иметь конечную скорость и даны формулы для скорости звука. 2. Задача о малых колебаниях в взвеси из слабовязких жидкостей Рассматривается движение взвеси в ограниченной области Ω с гладкой границей ∂Ω при внешних звуковых возмущениях f(x,t) малой амплитуды. Периодически расположенные одинаковые включения имеют достаточно гладкую форму. Характеристики жидкостей в состоянии покоя (вязкости μ и скорости звука c) считаются сравнимыми: c(ξ) = ci, ε2μ(ξ) = ε2μi, ξ ∈ Yi, i = 1,2; c1 ∼ c2, μ1 ∼ μ2. Плотность ρ(ξ) считаем достаточно гладкой функцией, отношение стороны l ячейки периодичности Y и размера L области Ω мало и равно. Закон движения в взвеси задаётся уравнением типа Навье-Стокса: (divv) + f, (2.1) где v(x,t,ε) - скорость дисперсионной среды, p(x,t,ε) - давление, f(x,t) - функция воздействия звукового поля на область Ω, удовлетворяющая неравенству: где M > 0 - заданная константа. На границах фаз предполагается непрерывность скорости и тензора напряжений. Перемещение u(x,t,ε) ∈ H10(Ω) ≡ (H01(Ω))3 связано со скоростью v и давлением p следующими соотношениями: u divu, (2.2) где характеристики жидкостей: γ(ξ) = c2(ξ)ρ(ξ) > 0 - модуль объемной упругости, c(ξ) - скорость звука, ρ(ξ) - плотность - принимают разные значения для каждой из жидкостей. Начальное перемещение и скорость задаются вектор-функциями: u|t=0 = ϕ0(x), v|t=0 = ϕ1(x). (2.3) 3. Эффективная задача На основе техники двухмасштабных асимптотических разложений, разработанной Ж.П. Лионсом и Н.С. Бахваловым, в работе [1] выводится и строго обосновывается усредненное уравнение для рассматриваемой задачи (2.1)-(2.3). Согласно этому методу, компоненты решения u(x,t,ε) отыскиваются с помощью асимптотического разложения вида где u0(x,y,t),u1(x,y,t),u2(x,y,t) - функции от трех переменных x,y,t, периодические по переменной y, подлежащие определению. В ходе усреднения возникает краевая задача на ячейке периодичности Y для вектор-функций Vj(t) со значениями в H1per(Y ) ≡ (Hper1 (Y ))3: ∂t - ∇ j j ej ∈ ρ(ξ)∂Vj(ξ,t) μΔVj(ξ,t) + q(ξ,t) = 0, ξ Y, (3.1) divξ V = 0, V |t=0 =, (3.2) Vj1|S = Vj2|S, σ(Vj1) · n|S = σ(Vj2) · n|S, где σ = (σij), σij = δijq + 2μδikδjleijekl, S - граница между фазами. Для решений Vj ∈ H1per(Y ) определим матрицу (3.3) K Тогда задача для усредненного давления p0(x,t) имеет вид: , (3.4) [K(t) ∗ (f(x,t) - ∇p0(x,t))] · n|∂Ω = 0. (3.5) Для предельных функций перемещения u0 и скорости v0, имеющих значения в H1(Ω,H1per(Y )), справедливы равенства: v, (3.6) (3.7) где-среднее по ячейке. Теорема 3.1 (см. [1]). Для решений усредненной (3.4)-(3.7) и исходной задач (2.1)-(2.3) справедливы равенства: , Таким образом, из этой теоремы следует, что, исследуя эффективную модель, мы можем судить и о колебаниях в двухфазной взвеси с периодически повторяющимися включениями малых размеров одной жидкости в другой. 4. Плотность и ядро диссипации Существенную роль в дальнейшем будет играть матрица K(t), элементы которой определяются как средние по ячейке Y от решений вспомогательной задачи (3.1)-(3.3). В случае симметричности включений можно считать, что ядро диссипации K(t) -диагональная матрица, т. е. K(t) = K(t)E, где E - единичная матрица, а K(t) - скалярная функция, которая представима в виде: . (4.1) Из вида задачи (3.1)-(3.3) следует, что показатели λi > 0 являются собственными значениями спектральной задачи типа Стокса [1] -μΔψk + ∇qk = ρλkψk, divψk = 0, ψk - Y -периодична, а коэффициенты ci > 0 можно найти по формулам: (4.2) . (4.3) Аналогично утверждениям из работы [2] можно доказать справедливость следующей леммы. Лемма 4.1. Для каждого собственного значения λk спектральной задачи типа Стокса (4.2) в трехмерной периодической области Ω существуют положительные постоянные α1,α2 такие, что выполняется неравенство: . (4.4) 5. Существование волнового фронта при условии регулярности функции плотности Введем определение и приведем теорему из [5]. Пусть рефлексивное банахово пространство. Определение 5.1. Семейство ограниченных линейных операторов на пространстве X распространяет семейство замкнутых подпространств если T(t)Ps ⊂ Pt+s для каждых t,s > 0. Аналогично, семейство замкнутых подпространств {Qt}t∈R распространяется семейством, если T(t)Qs ⊂ Qt+s для каждого. Теорема 5.1. Пусть A - инфинитезимальный оператор линейной C0-полугруппы на рефлексивном пространстве X, и F(·), K(·) - ограниченные линейные операторы на X такие, что для любого x∗ ∈ X∗ t → F∗(t)x∗ также как и t → K∗(t)x∗ принадлежат пространству H1(0,∞;X∗). Рассмотрим уравнение (5.1) Предположим, что {Pt}t∈R - возрастающее семейство замкнутых подпространств пространства X, непрерывное в каждой точке t. Кроме того, предположим, что каждое подпространство Pt инвариантно относительно операторов F(s) и K(s) для всех. Тогда полугруппа S(s), порожденная оператором A, распространяет семейство {Pt}t∈R в том и только том случае, если из условий z ∈ Pα и ψ(u) ∈ Pα п.в. следует, что сильное решение x(t) уравнения (5.1) удовлетворяет условию . Предположим, что колебания среды направлены только по одной из осей координат Ox1 и величины компонент смещения и давления зависят только от переменных t,x1. Полагая f(x,t) ≡ ≡ 0, x = x1, рассмотрим одномерное уравнение: , (5.2) Пусть Hper2 (Y ) - пространство Y -периодических функций из L2(Y ), имеющих обобщенные производные до 2-го порядка. Теорема 5.2. Если функция θ0 достаточно гладкая и финитная функция и функция плотности ρ(ξ) ∈ Hper2 (Y ), то решение задачи (5.2) является финитной по x функцией для каждого фиксированного конечного момента времени t. Эта теорема означает, что у эффективной модели будет существовать передний фронт, если предполагать, что граница между фазами двух жидкостей непрерывна. Формально, одномерное уравнение (5.2) совпадает с одномерным уравнением Гуртина- Пипкина. Заметим, что, если ядро диссипации состоит из конечного числа слагаемых: K(t) = , то существование фронта в одномерном уравнении Гуртина-Пипкина доказано в работе [4]. В отличие от техники доказательств в [4], где применялись преобразование Фурье и методы теории функций комплексного переменного, в настоящей работе используются методы из теории полугрупп. Доказательство. Предполагаем, что плотность ρ(ξ) периодична и не может быть равна нулю, поэтому . Можно показать, что ее коэффициенты разложения в ряд Фурье по ортонормированной системе собственных функций задачи типа Стокса (4.2) удовлетворяют неравенству: , (5.3) где λs - собственные значения задачи (4.2), а положительная постоянная C не зависит от функции. Это утверждение доказывается для периодических функций так же, как для оператора Лапласа (см. [3, гл. IV, §2]). Тогда из формул (4.3) следует, что Тогда из леммы 4.1 следует, что ряд в последнем множителе неравенства (5.4) сходится. Таким образом, из (5.3), (5.4) получим, что т. е. K(t) ∈ C[0;+∞). Воспользуемся теоремой Вейерштрасса о том, что для любой непрерывной функции существует последовательность бесконечно гладких функций, стремящихся к ней равномерно. Пусть последовательностьсостоит из бесконечно гладких функций Kn ∈ C∞[0;+∞) и Kn(t) ⇒ K(t). Рассмотрим следующую задачу: , (5.5) Докажем, что утверждение теоремы верно для решений этой задачи. Продифференцируем уравнение (5.5) по t: (5.6) Введем замену:. Тогда из (5.6) получим: . (5.7) Пусть X = L2(R) × L2(R) и D(A) = H1(R) × H1(R), тогда оператор A из (5.7), заданный как , порождает C0-полугруппу, которая распространяет семейство подпространств . Так как оператор отображает {Ps}s∈R в себя, то из теоремы 5.1 следует, что C0-полугруппа, порожденная оператором A, распространяет семейство тогда и только тогда, когда решение уравнения (5.7) при условии п.в. Таким образом, получаем, что задача (5.5) имеет передний волновой фронт, т. к. носитель решения будет ограничен справа, как и у начального условия θ0(x). Так как Kn(t) ⇒ K(t), n → ∞, то нетрудно показать, что соответствующие решения pn(x,t) и p0(x,t) также будут близки при n → ∞. Это значит, что из финитности решения pn(x,t) следует финитность и для p0(x,t). Теорема доказана. Дополнительно отметим, что из выражений для коэффициентов ядра K(t) можно увидеть, что скорость распространения звука в эффективной модели взвеси имеет вид: . Эта формула обобщает хорошо известную формулу распространения звука в однородной среде:

About the authors

A. A. Egorova

MIREA - Russian Technological University

Author for correspondence.
Email: alena.egorova@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0606-0130
SPIN-code: 5547-7195
Scopus Author ID: 57210848119
ResearcherId: AEP-2107-2022
Moscow, Russia

A. S. Shamaev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: shamaev@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0003-2766-6382
SPIN-code: 9735-0458
Scopus Author ID: 6603596715
ResearcherId: N-8776-2015
Moscow, Russia

References

Supplementary files