Коалиционные теоретико-игровые модели структуры капитала и их параметрический анализ

Полный текст

Введение Под структурой капитала в экономике принято понимать соотношение между собственными и заёмными средствами компании. К определению сбалансированной структуры капитала существует множество подходов (см., например, [5, 11]), среди которых особо выделим теоретикоигровой, берущий своё начало от работ американского исследователя С.В. Рю [16]. Рю (1985 г.) рассмотрел модель некооперативной игры, характеризующей конфликт интересов собственников и кредиторов компании и привёл достаточные условия для нахождения Парето-оптимального решения соответствующей биматричной игры. Работа Рю стимулировала повышение интереса к применению теории игр в финансах (см. обзор [14]), однако до начала 2010-х гг. каких-либо моделей, основанных на конфликте интересов собственников и менеджеров компаний, предложено, по-видимому, не было. Ситуация поменялась в 2014 г. с выходом работы Ю. Тудосе [17], формализовавшей конфликтную ситуацию в виде антагонистической (матричной) игры и сведя её к линейной оптимизационной задаче. Подход Тудосе был продолжен авторами в заметке [2] и статье [3], где были рассмотрены модели биматричной и кооперативной игры соответственно, а также алгоритм нахождения равновесной (по Нэшу) структуры капитала в сегменте S, состоящей из пяти промышленных предприятий, финансово-экономические показатели которых наблюдались в течение пяти лет (период T). При этом результатом решения по Нэшу в смешанных стратегиях в биматричной игре является величина K∗, получаемая путём матричного умножения[1]: K∗ = X∗CY ∗, где X∗ - вектор вероятностей выбора предприятия Πj ∈ S, Y ∗ - вектор вероятностей выбора года из периода T; C - матрица «структуры капитала», состоящая из долей собственного или заёмного капитала, зафиксированного для предприятий Πj (j = 1,...,5) в период T. Нахождение арбитражного решения Нэша N в смешанных стратегиях в кооперативной игре сводилось к определению[2] «средневзвешенной» структуры капитала по предприятиям Πi и Πm, соответствующим точкам Pi и Qm Парето-оптимального множества, между которыми (то есть на отрезке PiQm) находится точка N. При этом весами p и q в определении оптимальной по Нэшу структуры капитала по формуле K∗ = pKi + qKj являются пропорции, в которых точка N делит отрезок PiQm (см. [3]). Представляется актуальным (в том числе для теории структуры капитала) выяснить, можно ли осуществить возмущение исходных данных задач (игровых матриц) в обеих постановках таким образом, чтобы равновесная структура капитала осталась без изменения? Поиску ответа на этот вопрос и посвящена настоящая статья. 1. Кооперативная игровая модель двух лиц как модель равновесной структуры капитала Несмотря на то, что эта модель и вариант расчёта уже были рассмотрены авторами в [3], мы приведём их ещё раз (для другого периода T и для набора S), поскольку геометрическая структура множества допустимых решений и его частей будет использоваться ниже для параметрического анализа задачи. Как и в [2, 3], предположим, что имеется выборка n компаний из одного промышленного сегмента Π1,Π2,...,Πn, придерживающихся сходной стратегии финансово-экономического поведения как со стороны собственников, так и со стороны менеджеров. Тогда игровую матрицу A первого игрока (обобщённого гипотетического собственника) можно определить как матрицу, состоящую из величин ROEij, наблюдаемых для предприятий Πi в течение m лет. При этом соответствующая матрица B второго игрока (обобщённого гипотетического управляющего) будет состоять из элементов bij, i = 1,...,n; j = 1,..,m, вычисленных по формуле [4]: 1 . (1.1) Расчёт WACC осуществляется по формуле WACC = Rd · Kd(1 - t) + Re · Ke, (1.2) где Kd - доля заёмного капитала, Ke - доля собственного капитала, Rd - стоимость заёмного капитала, Re - стоимость собственного капитала, t - ставка налога на прибыль. При этом стоимость собственного капитала можно вычислить по модели CAPM, основанной на том, что ожидаемая доходность акций является суммой безрисковой процентной ставки и премии за рыночный риск акций: CAPM = Re = Rf + βi(Rm - Rf), где Rf - безрисковая ставка; Re -стоимость собственного капитала; Rm - среднерыночная ставка доходности; βi - коэффициент чувствительности доходности акций к изменениям рыночной доходности (подробности см. в [3]). Стратегией игрока I будет являться выбор им определённого года (строки в матрице A), а игрока II- выбор конкретного предприятия (столбца в матрице B). В качестве эмпирической базы будем использовать данные бухгалтерской отчетности пяти крупных компаний металлургической отрасли за пять лет [13], на основе которых определим рентабельность собственного капитала ROE, следуя [5] (см. табл. 1). Таблица 1. Рентабельность собственного капитала (ROE) пяти металлургических предприятий России Table 1. Return on equity (ROE) of five Russian metallurgical enterprises Годы/Years Предприятия/Enterprises П1 П2 П3 П4 П5 2020 0,21 0,24 0,56 0,44 0,36 2021 0,60 0,78 1,01 0,77 0,43 2022 0,14 0,36 0,36 -0,15 0,35 2023 0,20 0,32 0,27 0,09 0,91 2024 0,15 0,09 0,26 0,11 0,32 Здесь: П1 - «Магнитогорский металлургический комбинат», П2 - «Новолипецкий металлургический комбинат», П3 - «Северсталь», П4 - «Евраз Нижнетагильский металлургический комбинат», П5 - «Трубная металлургическая компания». Таким образом, платёжная матрица A будет иметь вид: ⎛ 0,21 A = ⎜⎜⎜⎜⎝ 0000,,,,60142015 0,24 0,78 0,36 0,32 0,09 0,56 1,01 0,36 0,27 0,26 0,44 0,77 -0,15 0,09 0,11 0,36 ⎞ 0,43 0,35 ⎟⎟⎟⎟⎠ 0,91 0,32 (1.3) Пользуясь информацией о дивидендных выплатах по акциям анализируемых компаний, рассчитаем средневзвешенную стоимость капитала WACC по формуле (1.2) на основе сведений о долях заёмного и собственного капитала, а также о его стоимости в предположении о том, что средняя доходность собственного капитала определяется на основе выплаченных дивидендов. Результат сведём в табл. 2. Таблица 2. Средневзвешенная стоимость капитала пяти металлургических предприятий России Table 2. Weighted average cost of capital of five metallurgical enterprises in Russia Годы/Years Предприятия/Enterprises П1 П2 П3 П4 П5 2020 0,0576 0,0606 0,0465 0,0298 0,0630 2021 0,0846 0,0943 0,0516 0,0289 0,0459 2022 0,0421 0,0157 0,0356 0,0282 0,0548 2023 0,0665 0,1132 0,0852 0,0386 0,0641 2024 0,0870 0,0231 0,0708 0,0525 0,0768 Вычислим элементы матрицы B на основе формулы (1.1), исходя из сведений, представленных в табл. 2. В результате получим платёжную матрицу следующего вида: ⎛0,946 0,943 0,956 0,971 0,941⎞ ⎜0,922 0,914 0,951 0,972 0,956 B = ⎜⎜00,,960938 00,,985898 00,,966921 00,,973963 00,,948940⎟⎟⎟⎠⎟ (1.4) ⎜⎝0,920 0,977 0,934 0,950 0,929 Будем считать, что акционеры и менеджеры выбранных нами компаний, интересы которых описываются матрицами A и B, могут вступать в кооперацию, допускающую совместный выбор стратегий, в том числе смешанных. Пользуясь известным алгоритмом решения кооперативной игры двух лиц (см., например, [10, гл. 3]), обозначим через U - множество всех точек плоскости Oxy, соответствующим значениям выигрышей игроков при применении ими своих стратегий вида . Здесь - пара чистых стратегий, которым соответствуют точки (aij,bij) с координатами, взятыми из матриц (1.3) и (1.4). В итоге множество U будет представлять собой выпуклую комбинацию 25 точек: • M1,...,M5 с координатами (a1j,b1j), j = 1,...,5; • L1,...,L5 с координатами (a2j,b2j), j = 1,...,5; • K1,...,K5 с координатами (a3j,b3j), j = 1,...,5; • N1,...,N5 с координатами (a4j,b4j), j = 1,...,5; • Q1,...,Q5 с координатами (a5j,b5j), j = 1,...,5; которое в нашем случае являет собой многоугольник с вершинами K4K2L4L3L2N2 (см. рис. 1). Рис. 1. Область допустимых решений и переговорное множество кооперативной задачи с платёжными матрицами A, B. Горизонтальная ось - ROE. Fig. 1. The feasible region and the negotiating set of a cooperative problem with payoff matrices A, B. The horizontal axis is ROE. Выделим из U Парето-оптимальное множество, удовлетворяющее условию того, что увеличение выигрыша одного игрока возможно только за счёт уменьшения выигрыша его партнёра - северо-восточную границу множества U. В нашем случае это ломаная K2L4L3. Придерживаясь алгоритма решения кооперативной игры двух лиц методом арбитражных схем (см., например [1]), определим точку угрозы Uˆ(uˆ1,uˆ2). Её координаты -это величины выигрышей игроков vA и vB, которые они могут получить, не заключая каких-либо соглашений друг с другом. При оценке гарантированного уровня vA будем исходить из того, что игрок II может вести себя, как противник игрока I в антагонистической игре с платёжной матрицей A. Перейдём к её решению, для чего редуцируем матрицу A на основе принципа доминирования [9, §1.8]. Поскольку элементы первого столбца A меньше элементов её второго столбца (B1 < B2), а элементы второго столбца A, в свою очередь, меньше элементов её третьего столбца (B2 < B3), то столбцы B2 и B3 можно из рассмотрения исключить, поскольку противник игрока I их заведомо не выберет. Получим редуцированную матрицу вида: ⎛0,21 0,60 A¯ = ⎜⎜⎜⎜00,,1420 0,44 0,77 -0,15 0,09 0,36⎞ 0,43 0,35⎟⎟⎟⎟. 0,91 ⎝0,15 0,11 0,32⎠ Рассуждая зеркальным образом по отношениям к строкам (A1 > A3, A2 > A1, A2 > A5), исключаем строки A1, A3 и A5, так как их выбор заведомо невыгоден игроку I. В итоге будем иметь: . Эта матрица не имеет седловой точки, но допускает решение в смешанных стратегиях, которые можно найти геометрически (см., например [6]) - рис. 2). Рис. 2. Максиминное решение антагонистической игры с матрицей A¯¯ Fig. 2. Maximin solution of an antagonistic game with matrix A¯¯ Система уравнений для определения выигрыша vA игрока I и вероятности p будет иметь вид Таким образом, Найдём теперь цену игры с платёжной матрицей B. Исключая доминируемые столбцы B1, B3, ), получаем матрицу ⎛0,943 B¯ = ⎜⎜⎜⎜⎝0000,,,,977898985914 0,971⎞ 0,972 0,973⎟⎟⎟⎟⎠. 0,963 0,950 Исключим доминируемые строки A1, A2, A3 (невыгодные для противника игрока II стратегии, поскольку они дают игроку II б´ольший выигрыш), опираясь на неравенства A3 > A2, A1 > A4, A2 > A4. Получим редуцированную матрицу , которая не имеет седловой точки. Для нахождения решения матричной игры в смешанных стратегиях, обозначим через q вероятность выбора игроком II первого столбца (предприятия П2), тогда (1 - q) - это вероятность выбора им второго столбца (предприятия П4). При этом система уравнений для определения выигрыша vB игрока II и вероятности q будет иметь вид (см., например, [1]) Решением этой системы будет пара чисел (0,1413;0,9538), второе из которых и является выигрышем игрока vB. Таким образом, uˆ2 = vB = 0,9538 и точка угрозы Uˆ имеет координаты (23/44;0,9538), а переговорное множество S, соответствующее увеличенным выигрышам игроков при совместном выборе стратегий, представляет собой трапецию UQLˆ 4D, высекаемую из множества допустимых решений U прямыми x = 23/44 и y = 0,9538. Действуя согласованно, игроки всегда могут договориться выбирать стратегии, соответствующие точкам на множестве L = QL4D, являющимся пересечением множества S с Паретооптимальным, поскольку это выгодно обеим сторонам. Именно на L будет располагаться точка арбитражного решения Нэша N, в которой достигается максимум произведения превышения выигрышей каждого из игроков над гарантированными выигрышами, которые могут быть получены без кооперирования. Поскольку область допустимых решений U выпукло, замкнуто и ограничено сверху, то по теореме Нэша (см., например, [10, §3.2]), точка N существует, единственна и доставляет максимум функции полезности вида g(x,y) = (x - vA)(y - vB) на множестве L. Для решения задачи условной оптимизации (1.5) рассмотрим два случая. Случай 1. Точка M принадлежит отрезку QL4. Составим уравнение прямой, проходящей через точки K2(0,36;0,985) и L4(0,77;0,972), получим y = 0,996415 - 0,0317073x. Таким образом, функция полезности приобретёт вид g(x,y) = (x-23/44)(y-0,9538) на отрезке QL4, что после преобразований даст следующее квадратичное выражение: g(x) = -0,0317x2 + 0,0592x - 0,0223 (1.6) Найдём абсциссу вершины параболы (1.6) по обычной формуле x0 = -b/2a, получим x0 ≈ ≈ 0,934. Поскольку x0 не принадлежит проекции [a,b] отрезка QL4 на ось абсцисс, наибольшее значение функции g(x) будет достигаться в правой границе этого отрезка. Найдём это значение, подставив в формулу (1.6) вместо x число 0,77, получим gmax1 ≈ 0,0045. Случай 2. Точка M принадлежит отрезку L4D. Составим уравнение прямой, проходящей через точки L4(0,77;0,972) и L3(1,01;0,951), получим y = 1,03938 - 0,0879x. Функция полезности будет иметь вид g(x) = -0,0875x2 + 0,131319x - 0,044735. Она достигает максимума в точке x1 ≈ 0,7504, которая не принадлежит проекции L4D на ось абсцисс. В данном случае максимальное значение функции полезности будет достигаться в левой границе проекции L4L3 на ось абсцисс, поэтому gmax2 = g(0,7504) ≈ 0,0045 и gmax2 = gmax1 и решением задачи (1.5) будет точка L4 с абсциссой x = 0,77 (см. рис. 1) и ординатой y = 0,972. Таким образом, арбитражное решение Нэша находится в точке L4(0,77;0,972); ему соответствует оптимальная (по Парето) величина рентабельности собственного капитала ROE, равная 0,77 и структура капитала предприятия П4 в 2021 г., состоящая из 51,3% собственных и 48,7% заёмных средств. 2. Параметрический анализ коалиционной игровой модели (геометрический вариант) Как и в [15], проведём анализ игровой ситуации на основании «сохранения рисунка» игры. Введём параметр ε возмущения редуцированной матрицы A¯¯ в предположении о том, что угловые точки, образующие северо-восточную границу области допустимых решений (K2, L4, L3) остались прежними: . Для нахождении абсциссы точки угрозы необходимо решить матричную игру с платёжной матрицей Aε. Следуя стандартной логике геометрического способа решения игры 2 × 3 (см., например, [6, §1]), найдём нижнюю огибающую семейства трёх прямых, соответствующих стратегиям противника игрока A (столбцам матрицы Aε, которые обозначим через B1, B2, B3) (см. рис. 2). Ею будет ломаная B3MNB2. При заданном значении ε (на рисунке ε = 0,1) точка M будет являться точкой минимакса. Найдём её координаты, как точки пересечения прямых B1B1 и B3B3, считая, что первая строка матрицы Aε играется с вероятностью p: 0,43p + (0,91 - ε)(1 - p) = 0,6p + (0,2 + ε)(1 - p). (2.1) Отсюда p = (0,71 - 2ε)/(0,88 - 2ε). Найдём ординату точки M, подставив в правую часть равенства (2.1), получим yM = (0,515ε0,44). Для сохранения рисунка игры (точка M остаётся точкой минимакса) ордината точки не должна превышать yM. Найдём координаты точки N, как точки пересечения прямых B1B1 и B2B2: 0,77p + 0,09(1 - p) = 0,6p + (0,2 + ε)(1 - p). Получаем p = (0,11 + ε)/(0,28 + ε). Тогда yN = (0,77ε + 0,1)/(ε + 0,28). Решая неравенство , получим , - 0,44 что даёт промежутки возможного изменения ε: ε ∈ (-0,28;0,2] ∪ [0,4;0,44). (2.2) При этом абсцисса точки угрозы u1 = vA(ε) = (0,515ε -0,23)/(ε -0,44) должна принадлежать проекции отрезка K2L4 на ось абсцисс: u1 ∈ (0,36,0,77), откуда получаем ещё одно (двойное) неравенство: решением которого являются два промежутка: . С учётом (2.2) это даёт ε ∈ (-0,28;0,2] ∪ [0,4;0,427). (2.3) Если предполагать, что мы имеем дело с безубыточными предприятиями (), то промежуток (2.3) переходит в ε ∈ [-0,2;0,2] ∪ [0,4;0,427). Подставляя минимальное и максимальное значения ε в последнюю строку матрицы Aε, получим ROEmin23 = 0,473; ROEmax21 = 0,627. По отношению к исходным значениям ROE (ROE023 = 0,91, ROE021 = 0,2) получается предел уменьшения ROE в размере 48% (предприятие П1), предел увеличения ROE в размере 213% (предприятие П5) соответственно. Таким образом, один из репрезентативных экономических агентов (П5) имеет запас роста рентабельности собственного капитала более, чем в два раза, причём равновесная (по сегменту) структура капитала при условии наличия такого роста будет оставаться прежней[3]. Перейдём к аналогичной задаче для матрицы B, предполагая, что исходные данные (WACC) могут измениться, что приведёт к новой матрице B,¯¯ которую обозначим через Bδ: . (2.4) - Для решения игры с матрицей Bδ в смешанных стратегиях составим уравнение (0,898 + δ)q + 0,963(1 - q) = (0,977 - δ)q + 0,95(1 - q), где q - вероятность выбора вторым игроком первой чистой стратегии (первого столбца). Решение этого уравнения выглядит так: . При этом выигрыш игрока будет равен u2 = . Для того, чтобы точка угрозы не вышла за пределы переговорного множества, достаточно, чтобы величина u2 принадлежала проекции отрезка K2L4 на ось Y -промежутку [0, 951;0, 985]. Это даёт следующие пределы для возможного изменения δ: δ ∈ [-0,1295;0,041]. (2.5) Вернёмся к исходным для матрицы B данным - величинам WACC. Обращая формулу b = 1/(1 + WACC), получим WACC =, тогда для компонент первого столбца в (2.3) находим WACC; WACC. Подставляя крайние границы промежутка изменения δ из (2.5) в последние формулы, получим: WACC 30; WACC 065; WACC 068; WACC. Таким образом, возможный размах изменения WACC на предприятии П2 (по отношению к исходным значениям WACC011 = 0,1132, WACC021 = 0,0231) может составлять от -43% до 172% (2023 г.) и до 194% (2024 г.), что свидетельствует о его финансовой устойчивости. Подводя итог, заключаем, что найдены своего рода пределы устойчивости структуры капитала по отношению к изменению ROE и WACC на предприятиях, формирующих заданный промышленный сегмент. 3. Биматричная игровая модель и её параметрический анализ Будем предполагать, что игроки не вступают в коалицию, не имеют возможности договориться и играют «каждый сам за себя». Тогда мы имеем дело с классической (неантагонистической) биматричной игрой, решать которую будет традиционным способом (см., например, [6]). Обозначая строки матрицы A в (1.3) через Ai (i = 1,...,5) и опираясь на принцип доминирования стратегий, в силу неравенств A2 > A1, A2 > A3, A2 > A5, исключаем из рассмотрения строки A1, A3, A5. Остаётся матрица Ar вида . Принцип доминирования стратегий для столбцов матрицы B в силу неравенств B4 > B3, B4 > > B5, B4 > B1 позволяет исключить из рассмотрения стратегии B1, B3, B5. После редуцирования останется матрица Br вида . Предполагая далее, для простоты, что игрок I знает, какие предприятия оставлены игроком II (или, наоборот, что игроку II известны годы, которые игрок I считает наиболее благоприятными), редуцируем матрицы Ar и Br повторно. Получим двумерную биматричную игру с матрицами A¯r и B¯r: . (3.1) В этой игре есть седловая точка (A1,B2), которой соответствует ROE, равное 77% (предприятие П4, 2021-й год) и WACC, равный 0,0288 (см. (2.4)). Отвечающая этому предприятию структура капитала предполагает наличие 51,3% собственных средств и 49,7% заёмных (табл. 3). Таблица 3. Структура капитала предприятий выбранного сегмента Table 3. Capital structure of enterprises in the selected segment Показатель/Indicator Годы/Years П1 П2 П3 П4 П5 Ke (Доля собственного капитала/Share of equity) 2020 0,57 0,45 0,40 0,41 0,14 2021 0,63 0,53 0,42 0,513 0,05 2022 0,70 0,50 0,58 0,44 0,05 2023 0,70 0,70 0,61 0,40 0,09 2024 0,75 0,65 0,55 0,37 0,10 Решение Нэша в смешанных стратегиях для матриц (3.1) отсутствует. Следуя логике, приведённой в [15], осуществим возмущения матриц A¯r, B¯r таким образом, чтобы игра стала иметь решение в смешанных стратегиях, а седловая точка отсутствовала[4]. Для этого достаточно одновременно уменьшить компоненты матриц A¯r, B¯r (a11 и b12) таким образом, чтобы выполнялись неравенства: (3.2) . Сами матрицы в этом случае примут вид: . (3.3) Тогда (3.2) влечёт выполнение неравенств: (3.4) . Обозначим равновесную смешанную стратегию игрока I через X = (p,1 - p); равновесную смешанную стратегию игрока II- через Y = (q,1 - q)T , где p,q ∈ [0, 1]. Условие приемлемости ситуации (X,Y ) для обоих игроков имеют вид [6]: (3.5) (3.6) где Ai - i-я строка матрицы -й столбец матрицы. В предположении о том, что игра с матрицами (3.3) не имеет решений в чистых стратегиях, для приемлемой ситуации в силу (3.5) получаем равновесную стратегию второго игрока: . (3.7) Из условия (3.6) определяем равновесную стратегию первого игрока: . (3.8) Рассчитаем теперь выигрыши игроков I и II по известным формулам H1 = X∗A(Y ∗)T и H2 = = X∗B(Y ∗)T , получим: 61,67 + 31,5ε + 8810δ + 4500εδ H1(ε,δ) = , (3.9) (11 + 50ε)(7 + 1000δ) 80,586 + 366,3ε + 9878δ + 44900εδ H2(ε,δ) = . (3.10) (11 + 50ε)(7 + 1000δ) Для нахождения границ возможных выигрышей игроков достаточно решить задачу на экстремум для функций двух переменных (3.9), (3.10), заданных в прямоугольнике Π в системе координат (ε,δ), определяемом неравенствами (3.4): (3.11) (3.12) Применяя к задачам (3.11)-(3.12) стандартные методы дифференциального исчисления, получим: 2464 = ROE1; (3.13) 3199 = ROE2; (3.14) 899; (3.15) . (3.16) Из этих результатов следует, что в рамках указанных возмущений величина ROE может варьироваться от 24,64% до 31,99%, а величина WACC может находиться в пределах от 0,0941 до 0,112 (см. формулу (2.5)). При этом будет наблюдаться различная структура капитала, определяемая равенством[5]: Kα = XαCYα, где C - фрагмент матрицы заёмного/собственного капитала из табл. 3, соответствующей предприятиям П2, П4 для 2021 и 2023 гг.; Xα = Xα(δ), Yα = Yα(ε) - стратегии игроков I и II, получаемые из формул (3.7) и (3.8) путём подстановки величин δ и ε, фигурирующих в качестве аргументов функций Hi (i = 1,2) в формулах (3.13)-(3.14). Переходя к первому случаю (δ = 0,88, ε = 0,78), получим: . Этому случаю соответствует величина ROE, равная 24,64%. Для второго случая (δ = 0,71, ε = 0,46) имеем: . Ему соответствует ROE ≈ 32%. Таким образом, с точки зрения игрока I желаемый процент собственного капитала должен находиться в пределах P1 = [59, 82;68, 46]. Перейдём к позиции игрока II. Для случая (δ = 0,97, ε = 0,478) выводим: . Соответствующая величина WACC будет равна 11,23%. Для последнего случая (δ = 0,058, ε = 0,744) вычисляем: . Такому проценту (52,5) собственного капитала соответствует WACC, равный 9,4%. Получается, что предпочтительный для игрока II процент собственного капитала K будет находиться в пределах P2 = [52, 5;60, 5]. Пересечение промежутков P1 и P2 даст сегмент P2, определяющий пределы варьирования K, в рамках которых возможно сохранение баланса экономических интересов игроков (собственников и менеджеров). Заключение Возможности реализации представленного алгоритма параметрического анализа кооперативной и биматричной игровых моделей структуры капитала ограничены. Существенное значение имеет размерность редуцированных матриц A,¯¯ B¯¯: dim, dim (в нашем случае это соответствует случаю не более трёх «эталонных[6]» предприятий, оставшихся в репрезентативной выборке) и матриц Ar, Br: dimAr = dimBr = 2 (это соответствует выбору «эталонного» периода, состоящего из двух лет). Если для количества строк (m) матрицы A¯¯ и столбцов (n) матрицы B¯¯ будут выполняться неравенства , то, при отсутствии седловых точек, придётся находить решение соответствующих матричных игр путём перехода к эквивалентной задаче линейного программирования (см., например, [8, гл.III]), что уже не позволяет апеллировать к тезису о сохранении рисунка игры для коалиционного случая. Увеличение размерности матриц Ar, Br (в отсутствии седловой точки) в свою очередь, приведёт к необходимости использования итерационного алгоритма Лемке-Хоусона (см., например, [7]), что представляется более сложным, но реальным вариантом. Здесь появляется возможность для добавления ещё одного параметра в матрицы Ar и Br (Ar = Ar(εi), Br = Br(δi), i = 1,2) и проведения двухпараметрического анализа игровой ситуации (см. [15]), что, в итоге, приведёт к задачам на экстремум для функций четырёх переменных Hj = Hj(εi,δi); j = 1,2; i = 1,2. Перспективным, на наш взгляд, является переход от дискретных игровых моделей структуры капитала к непрерывным (к дифференциальным играм), что позволит рассматривать вопросы устойчивости решений в контексте теории динамических систем [12]. Но эта тема требует отдельной серьёзной проработки.

Об авторах

Е. М. Богатов

Губкинский филиал НИТУ «МИСиС»

Автор, ответственный за переписку.
Email: embogatov@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0002-4897-0394
SPIN-код: 4609-9235
Scopus Author ID: 8912933400
ResearcherId: GWR-2097-2022
Губкин, Россия

Е. Г. Демидова

Старооскольский технологический институт (филиал НИТУ «МИСиС»)

Email: dmitrikeg@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-8496-973X
SPIN-код: 1270-9040
ResearcherId: KLY-7919-2024
Старый Оскол, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы