Dynamics of the conformation tensor in viscoelastic FENE polymer models

Full Text

1. Введение Многие среды, встречающиеся в природе, особенно растворы полимеров, обладают сложной реологией, проявляя вязкоупругие свойства. Следовательно, при взаимодействии они проявляют свойства как жидкостей, так и твёрдых (упругих) тел. К числу важнейших сред с такими свойствами относятся кровь, а также пасты, гели и различные природные жидкости, такие как лава и лавинный материал. Математическое описание таких сред значительно сложнее ньютоновской гидродинамики. Математическая гидродинамика неньютоновских сред -интенсивно развивающееся научное направление в наши дни [13, 15, 19, 26]. Чтобы проиллюстрировать сложности изучения моделей вязкоупругих сред, кратко опишем основные возникающие особенности. В гидродинамике ньютоновские жидкости характеризуются линейной зависимостью между напряжениями τ и скоростью деформации E: τs = 2ηsE, где E = - тензор скорости деформации в жидкости, а u = u(t,x) - скорость жидкости. Постоянный коэффициент ηs называется вязкостью. Вязкоупругие жидкости реагируют на очень быструю сдвиговую нагрузку как упругое твёрдое тело, а на медленную - как вязкая жидкость. Реологическое поведение также зависит от скорости нагружения τ˙p. Характеристическое реологическое соотношение имеет вид λ1τ˙p + τp = 2ηp(E + λ2E˙ ), (1.1) © А.П. Чупахин, Е.С. Стецяк, Д.С. Чутков, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 686 где величины λ1 и λ2 называются временами релаксации напряжений τp и скоростей деформаций E, а точка обозначает изменение величины во времени. К этому типу моделей относятся классические модели Фрёлиха-Сака и Максвелла [13, 15, 19, 26]. Дальнейшее развитие реологии сложных сред, основанное на статистической механике, привело к построению макроскопических уравнений, основанных на принципах статистической механики. В их основе лежит модель, описывающая движение малых частиц, размеры которых достаточно велики по сравнению с молекулярными, но достаточно малы, чтобы участвовать в тепловом движении, т. е. они совершают как макро-, так и микроброуновское движение. Это модели движения суспензий и полимеров [7, 8, 15]. В растворах полимеров присутствуют протяжённые полимерные цепи с изменяющейся во времени геометрией, обладающие также вязкоупругими свойствами. Адекватное описание таких реологически сложных сред предполагает использование принципа материальной объективности, согласно которому математические модели должны быть инвариантны относительно ортогональных преобразований координат Ω и сдвигов a, являющихся функциями от времени [13, 28]. Это требование привело к необходимости замены частных производных в моделях реологически сложных сред на более сложный объект - производную Ли векторного поля v [22, 28, 30, 32]. В физике полимеров сегодня существует большое количество моделей, использующих производные Ли по различным векторным полям и различающихся моделями полимерных цепей и механизмами их взаимодействия с потоком несущей жидкости [22, 28]. Исследованию математических моделей вязкоупругих сред в целом и полимерных растворов посвящено множество работ. Не претендуя на полноту обзора, упомянем работы последних лет, посвящённые исследованию начально-краевых задач [33], поиску точных решений [6] и изучению качественных свойств решений, в частности, устойчивости [1, 4, 9]. Настоящая работа оригинальна по своему подходу. В ней исследуется свойство тензора конформации C, характеризующего динамику и геометрию полимерной фазы в течении. Изучение тензора C потребовало использования алгебраических и геометрических методов тензорной алгебры [13] и аппарата производной Ли [32]. Взаимодействие гибких и растяжимых полимерных цепей с потоком несущей жидкости приводит к ряду экспериментально наблюдаемых явлений: снижению сопротивления, упругой турбулентности и изменению теплопередачи в конвективных процессах [14]. Тензор конформации C связывает элементы микро- и макроскопического моделирования. Кратко объясним его происхождение. Полимер в потоке жидкости определяется совокупностью полимерных цепей, состоящих из упругих связей (нитей), соединяющих шарики (молекулы). Геометрия цепи описывается вектором r = (ri), соединяющим концы полимерной конфигурации. Микроскопическая модель динамики вектора r описывается уравнением Ланжевена r, (1.2) где u - векторное поле скорости, λ - время релаксации полимера, L2 - параметр, характеризующий флуктуации, а W(t) - независимый винеровский процесс (белый шум, характерный для броуновского движения). Функция f(r) характеризует растяжимость полимера, причём максимальному значению этой величины соответствует L2 = |rmax|2. После усреднения уравнения (1.1) методами статистической механики по всему ансамблю с использованием исчисления Ито выводится макроскопическое уравнение для тензора конформации C, имеющее вид C где I - единичный тензор 3 × 3. Тензор C в силу своего построения дважды контравариантен: C = (cij) (i,j < 1,2,3), симметричен: CT = C, дифференцируем и положительно определён. Обсудим отдельные члены уравнения (1.3). Первые четыре члена представляют собой производную Ли LvC = ∂t + u · ∇ вдоль траектории движения жидкой частицы тензора C. Положительные безразмерные функции F,G,Z, зависящие от первого инварианта тензора конформации, определяются параметрами и структурой индивидуальной полимерной модели. Величина c1 в физике полимеров также интерпретируется как квадрат расстояния (вытянутости цепи) между концами (бусинами) полимерной цепи, усреднённый по всем состояниям (конформациям) и нормированный на равновесное состояние. Модель (1.3) известна в современной литературе как конечно растяжимая нелинейно упругая модель (finite extensible nonlinear elastic, FENE) [17, 21]. Член E(c1)(E ·C +C ·E) в формуле (1.3) характеризует сопротивление вращению полимерной молекулы в потоке. Функция Z(c1) учитывает зависящее от конформации сопротивление изменению геометрии полимерной структуры. Наконец, функции F,G определяют конечную растяжимость полимерной молекулы и её упругие свойства. В работе [16] представлена таблица значений этих функций для восьми распространённых моделей вязкоупругих полимеров. В данной работе мы подробно рассмотрим две из них: FENE-CR [21] и FENE-CD [18]. Как уже отмечалось, влияние полимерных молекул и полимерных цепей на течение раствора определяется тензором напряжений τp, который связан с деформацией микроструктуры полимерной фазы. Деформация микроструктуры характеризуется тензором конформации C, а их связь задаётся уравнением состояния . (1.4) Тензор напряжений реологической модели раствора полимера в потоке вязкой жидкости представляется в виде суммы двух компонент: τ = τs +τp, где τs - тензор напряжений, соответствующий растворителю, а τp - тензор напряжений полимера. Растворитель обычно предполагается ньютоновской жидкостью с постоянной вязкостью, τs = 2ηsE. В формуле (1.4) постоянный коэффициент ηp характеризует вклад полимера в сдвиговую вязкость при нулевой скорости сдвига, λ -время релаксации, а функции F и G описаны выше. В данной работе описывается динамика инвариантов тензора конформации C для моделей FENE-CR и FENE-CD, а также интегрируются уравнения динамики (1.3) тензора C для сдвиговых течений в квадратуре. Исследовано поведение инвариантов и показано существование двух режимов поведения. Представленная работа является расширенной и дополненной версией заметки [10]. 2. Производная Ли В связи с важной ролью производной Ли и её спецификой в механике сплошных сред, мы приводим описание конструкции этого понятия, следуя [20, 27]. Производная Ли возникает в реологических задачах в [28], её применение - в численном моделировании задач механики полимеров [12]. Приложения производных Ли различных векторных полей в механике твёрдого тела рассматриваются в [24]. Движение континуума описывается C2-диффеоморфизмами ϕt, зависящими от времени как от параметра: X ∈ D0 → x ∈ Dt, отображающими референтную область D0 лагранжевых переменных X = (X1,X2,X3)T в область Dt эйлеровых переменных x = (x1,x2,x3)T , занимаемую континуумом в момент времени t. Линейное касательное отображение F, индуцированное ϕt, определяется как F . ∂X ∂X Скорость среды u в Dt получается путём дифференцирования этого соотношения по времени. d ∂ , u d(ϕt(X)) dF d ∂(ϕt(X)) ∂ d(ϕt(X)) ∂x ∂uF, ∂ . Движение континуума можно также описать обратимым дифференцируемым отображением Φ в четырёхмерном пространстве-времени W следующим образом: z = Φ(Z), где z. Пространство является соответствующим референтным пространством. В дифференцируемом многообразии пространства-времени W скорость среды задаётся 4-векторами V = (1,u)T , где u = (u1,u2,u3)T . В каждой точке W 4-вектор скорости V порождает локальную однопараметрическую группу преобразований Ли, определяемую отображением , где и O - открытое множество в W, а - положительное действительное число. Поле скорости V - инфинитезимальный оператор однопараметрической группы преобразований Ли с порождающим отображением Φ. Обозначим Θh(z) = Θ(h,z) как отображение, действующее по формуле . Образ множества O при отображении Θh обозначается как Oh = Θh(O). Рассмотрим тензорное поле T p,q, p раз контравариантное и q раз ковариантное, заданное на векторах касательного пространства к W и формах кокасательного пространства соответственно (на векторах и ковекторах). Это тензор в векторном пространстве T p,qz (W). Каждое тензорное поле u, определённое на W z ∈ W → T(z) ∈ T p,qz (W) связано с локально определённым тензорным полем T h(z) = Θh(T(z)). Обозначим T h = Θh(T). Определение 2.1. Производная Ли тензорного поля T по векторному полю, определяемому оператором v, задаётся как . (2.1) В механике сплошных сред производную Ли удобно вычислять в четырёхмерном пространстве W 0. Пусть Ψ обозначает отображение, обратное к Φ, т. е. Ψ = Φ-1. Пусть T 0(Z) - образ T(z) при отображении Ψ, что соответствует преобразованию Φ. Тогда формула (2.1), определяющая LvT, примет вид . Тогда получаем. Следовательно, имеет место следующая коммутативная диаграмма: Lv dt Важным свойством производной Ли, используемой в данной работе, является то, что она сохраняет тип тензора: Lv : T p,qz (W) → T p,qz (W). В механике сплошной среды важными объектами, связанными с производной Ли, являются тензоры, которые движутся вместе с потоком [3, 11]. Определение 2.2. Тензорное поле T в W движется вместе с потоком тогда и только тогда, когда его образ в пространстве отсчета T 0 ∈ W 0 не зависит от времени. Классическое утверждение связывает такие тензоры с тензорами, постоянными относительно производной Ли. Теорема 2.1 (см. [20]). Тензорное поле движется вместе с потоком (т. е. поле переносится потоком без деформации) тогда и только тогда, когда производная Ли этого тензорного поля равна нулю. Приведём также формулу в координатах для действия в Rn(x) производной Ли Lv вдоль векторного поля v на тензорном поле Ti1...ipj1...jq, которое контравариантно p раз и ковариантно q раз [32]: , (2.2) где «крышка» над индексом обозначает фиктивный индекс, изменяющийся от 1 до n. В теории непрерывных групп преобразований важную роль играет процедура выпрямления векторного поля ∂t +u·∇, порождающего производную Ли Lv. Пусть τ - параметр вдоль траектории векторного поля v, выбранный в качестве канонического параметра группы Ли непрерывных преобразований [5, 23, 29]. Такое преобразование, т. е. замена параметра, всегда может быть выполнено локально для области - O. Здесь интервал содержит значение параметра, соответствующего тождественному преобразованию группы, т. е. начальные данные для соответствующего уравнения Ли, связывающего инфинитезимальный оператор v и порождающее отображение Φ, приведённые в разделе 2. 3. Общие соотношения для тензора конформации Вернемся теперь к реологическому уравнению (1.3) для тензора конформации C(t,x) = . Заметим, что первые четыре члена в левой части этого уравнения представляют собой производную Ли Lv тензора C по векторному полю v = ∂t + u · ∇, где u = (u1,u2,u3)T - скорость жидкости, которая является функцией времени t и пространственных координат x = (x1,x2,x3)T . Согласно (2.2), имеем . Выведем выражения для инвариантов ci (i = 1,2,3) тензора конформации C как функций параметра времени t вдоль траектории производного векторного поля Ли v = Lv. Матрица, полученная из тензора C понижением одного индекса, Cji = gikCkj, удовлетворяет уравнению Гамильтона-Кэли [2]. Поскольку в данном случае метрика предполагается равной единице, подробности перехода от дважды контравариантного тензора конформации к матрице при выводе следующих уравнений будут опущены. Имеем C3 - c1C2 + c2C - c3I = 0, (3.1) гдеC обозначают инварианты тензора C. В этом уравнении степени C2,C3 представляют собой соответствующие свертки тензоров C2 = C · C, C3 = C · C2. Уравнения (1.3) и (3.1) дают систему ⎧ 1 ⎨LvC = -λZ(c1)[F(c1)C - G(c1)I], (3.2) ⎩C3 - c1C2 + c2C - c3I = 0. Условия совместности системы (3.2) порождают уравнения для инвариантов ci (i = 1,2,3) как функций параметра времени t вдоль траектории движения частиц жидкости. Выведем эти уравнения для некоторых реологических моделей полимеров на основе общих формул. 4. Решения в моделях FENE-CR и FENE-CD Рассмотрим модели полимеров FENE-CR [21] и FENE-CD [18], которые соответствуют определённым наборам функций. Для модели полимера FENE-CR [21] имеем , (4.1) где - максимальная длина цепи, так что c1/L2 < 1. Обозначим . (4.2) Для модели полимера FENE-CD [18] имеем , (4.3) Соответствующая функция выглядит следующим образом: , (4.4) где, как и прежде, c1/L2 < 1, а κ - положительный параметр. Переопределённая система уравнений (3.2) принимает единообразный вид для обеих моделей FENE: (4.5) . Применим производную Ли Lv к уравнению Гамильтона-Кэли, второму уравнению системы (4.5). Подставим значение производной Ли Lv из первого уравнения системы (4.5) в полученное дифференциальное уравнение. Фундаментальным аспектом этого алгоритма является то, что производная Ли LvC является тензором того же типа, что и сам тензор C. Это отличает производную Ли как от частных, так и от ковариантных производных, которые не сохраняют тип тензора при действии на него. Для краткости обозначим C = LvC. Применение производной Ли к уравнению Гамильтона-Кэли даёт дифференциальное уравнение: CC. При выводе уравнения (4.6) учтено, что C коммутирует со степенями C, поскольку C выражается полиномом от C (см. [2]). Мы предполагаем, что параметр группы, соответствующий производной Ли, каноничен, так что LvI = 0 (см. [5]). Подставляя выражение C = LvC из (4.5) в уравнение (4.6), получаем алгебраическое уравнение третьей степени для тензора C: . (4.7) Предположим, что тензор C является тензором общего положения, т. е. единственным алгебраическим уравнением третьей степени для C является уравнение Гамильтона-Кэли. Полагая , получаем, что уравнение (4.7) совпадает с уравнением Гамильтона-Кэли для тензора C с точностью до мультипликативного множителя. Записывая условия пропорциональности соответствующих коэффициентов, приходим к следующей системе дифференциальных уравнений для инвариантов: , (4.8) где g = g(c1) имеет вид (4.2) или (4.4). Система (4.8) представляет собой условия совместности переопределённой системы (4.5). Действительно, из системы (4.8) все функции ci (i = 1,2,3) однозначно определяются по заданным начальным условиям. Более того, для них будут получены явные формулы. Таким образом, определяются значения функций, при которых переопределённая система (4.5) совместна. Дифференциальные следствия более высокого порядка не порождают новых условий совместности, поскольку объединение систем (4.5) и (4.8) совместно. Теорема 4.1. Система уравнений (4.8) представляет собой условия совместности переопределённой системы (4.5). Система (4.5), (4.8) находится в инволюции, то есть не порождает новых условий совместности. После выбора канонического параметра, описанного в разделе 2, система (4.8) преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций ci = ci(τ,X) (i = 1,2,3) в референтном пространстве W0: Lv = ∂τ Система (4.8) интегрируется в квадратурах. В первом уравнении системы (4.8) переменные разделяются, и решение имеет вид , где τ0 - константа интегрирования. Предположим, что начальные условия при τ = τ0 соответствуют значению C = I, так что при τ > τ0. Интеграл в левой части этого уравнения вычисляется в элементарных функциях. Для модели FENE-CR решение определяется по формуле , (4.9) где c1 определяется как неявная функция переменной τ. Функция c1 = c1(τ) называется функцией Ламберта [31]. Для модели FENE-CD решение дается более громоздкой формулой: Поскольку переменная c1 не может быть явно выражена как функция τ из уравнений (4.9) и (4.10), оставшиеся два уравнения системы (4.8) интегрируются путём нахождения инвариантов c2 и c3 как функций инварианта c1. Разделив второе и третье уравнения системы (4.8) на первое, получим линейную систему относительно функций cα(α = 2,3): ⎧dc2 2(c2 - c1) ⎪⎨dc1 = c1 - 3 , (4.11) dc3 3c3 - c2 ⎪⎩dc1 = c1 - 3 . Система (4.11) интегрируема в элементарных функциях. Теорема 4.2. Инварианты тензора конформации C в модели FENE-CR (4.1), (4.2) как функции параметра τ вдоль траектории жидкой частицы определяются следующей системой неявных уравнений для c1 = c1(τ),c2 = c2(c1),c3 = c3(c1): (3 L ⎧⎪⎪⎨c2 -= α21)(cln1 -|c13)-23+ 2| +cc11-=3,Lλ2 (τ - τ0), (4.12) ⎪⎪⎩c3 = α2(c1 - 3)3 + α1(c1 - 3)2 + c1 - 2, где τ0,α1,α2 - произвольные константы относительно параметра τ. При этом инварианты, определяемые формулами (4.12), зависят от координат X референтного пространства W 0 как от параметров. Инварианты тензора конформации C в модели FENE-CD (4.3), (4.4) как функции параметра τ вдоль траектории жидкой частицы определяются следующей системой неявных уравнений , (4.13) где τ0,α1,α2 - произвольные константы. При этом инварианты, определяемые формулами (4.13), зависят от координат X референтного пространства W 0 как от параметров. Формулы (4.12), (4.13) для инвариантов тензора конформации C дают важную информацию о поведении полимерных структур в растворе. Они характеризуют динамику этих структур вдоль траектории движения частиц жидкости. В физике полимеров инварианты ci интерпретируются как геометрические параметры полимерной структуры: инвариант c1 характеризует её растяжимость, c2 - площадь, а c3 - объём. Качественное поведение этих функций в клинически важной задаче эмболизации патологических сосудистых образований [2] характеризует эффективность герметизации и окклюзии дефектного сосудистого узла. Отметим, что формулы, выражающие инварианты cα = cα(c1), α = 2,3 для моделей (4.1), (4.3), совпадают. Модели различаются зависимостью c1 = c1(τ). В следующем разделе работы исследуется качественное поведение динамики инвариантов ci (i = 1,2,3) для модели FENE-CR. 5. Качественное поведение инвариантов тензора конформации в модели FENE-CR Многозначная функция c1 = c1(τ) имеет три ветви (рис. 1), которые можно выразить через главную ветвь и ветвь -1 функции Ламберта W: z = W(zez). Термины, характеризующие ветви функции, взяты из [31]. (5.1) , где. Эти ветви обозначены римскими цифрами I, II, III на рис. 1. При L2 < 3 ветвь I является ветвью -1 функции Ламберта, её значения лежат в интервале (0;L2), она монотонно возрастает и имеет асимптоту при t → -∞ с наклоном arctg(l). Ветвь II является главной ветвью функции Ламберта, её значения лежат в интервале (L2;3), она монотонно убывает и lim c1(τ) = 3. τ→-∞ Ветвь III- главная ветвь функции Ламберта, соответствующая выражению под модулем с обратным знаком. Её значения лежат на луче (3;+∞), функция монотонно возрастает и имеет асимптоту при t → +∞ с наклоном, равным arctg(l). При L2 > 3 ветвь I является главной ветвью функции Ламберта, её значения лежат в интервале (0;3), она монотонно возрастает,, и имеет асимптоту при t → -∞ с углом наклона, равным arctg(l). Ветвь II также является главной ветвью функции Ламберта и отличается от ветви I выбором знака в выражении под модулем. Её значения лежат в интервале (3;L2), она монотонно убывает и. Ветвь III является ветвью -1 функции Ламберта, и её значения лежат на луче (L2;+∞), она монотонно возрастает и имеет асимптоту при t → +∞ с наклоном arctg(l). Таким образом, функция Ламберта (5.1) имеет два определяющих параметра. Параметр L2 определяет границу между главной ветвью и ветвью -1 W-функции Ламберта, а параметр l определяет тангенс угла наклона асимптот ветвей I и III. При L2, близких к 3, ветви приближаются к прямым c1 = 3 и c1 = l(τ - τ0). Функция (5.1) многозначна в соответствующей области. Рис. 1. График функции c1(τ): (a) для L2 < 3, (b) для L2 > 3. Разные ветви обозначены разными цветами, кривые для разных параметров l и L2 показаны разной штриховкой. Fig. 1. Graph of the function c1(τ): (a) for L2 < 3, (b) for L2 > 3. Different branches are marked with different colors, curves for different parameters l and L2 are separated by different shading. 6. Динамика инвариантов в фазовом пространстве R3(c1,c2,c3) Динамическая система (4.8) в терминах переменных (ci) принимает вид ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪((cc11 -- LL22))dcdcdτ12 == 2l(lc(1c2--3)c,1), (6.1) dτ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩(c1 - L2)dcdτ3 = l(3c3 - c2), где явно выделены определяющие параметры L2 и l. Система (6.1) имеет две особые точки, лежащие на плоскостях c1 = 3 и c1 = L2. Первая из них - регулярная особая точка. Плоскостьявляется особым многообразием для системы (6.1), поскольку производные всех инвариантов при c1 → L2. Исследуем поведение решений ci = ci(τ) системы (6.1) вблизи этих особенностей. Особая точка на плоскости c1 = 3 имеет координаты c1 = 3,c2 = 3,c3 = 1. Она является узлом, отталкивающим при L2 < 3 и притягивающим при L2 > 3. Плоскость c1 = L2 является особым многообразием всей системы. Поведение траекторий динамической системы (6.1) на плоскости c1 = L2 удобно понять, перейдя к новым переменным: (c1,c2,c3) → (y1,y2,y3), по формулам ⎧y1 = c1 - 3, ⎪⎨y2 = c2 - 2c1 + 3, (6.2) ⎪⎩y3 = c3 - c2 + c1 - 1. (a) (b) Рис. 2. Поведение траекторий динамической системы: (a) при L2 < 3, (b) при L2 > 3, плоскости c1 = 3 и c1 = L2. Кривые для разных начальных данных показаны разной штриховкой. Fig. 2. Behavior of the trajectories of the dynamic system: (a) for L2 < 3, (b) for L2 > 3, planes c1 = 3 and c1 = L2. Curves for different initial data are separated by different shading. Это соответствует переходу от тензора C к тензору Y = C-I. В этих переменных y1 по-прежнему определяет W-функцию Ламберта, а формулы для c2 и c3 принимают особенно простой вид: y2 = α1(y1)2, y3 = α2(y1)3, (6.3) где α1 и α2 - функции переменных X. Следовательно, уравнение (6.4) определяет полукубическую параболу Нейла, особенность типа «клюв», в плоскости y1 = const, т. е. при фиксированном значении независимой переменной. Траектории приближаются к плоскости c1 = L2, «протыкая» её в точке, в которой они имеют бесконечные производные разных знаков по обе стороны от плоскости. Поведение траекторий системы (6.1) при различных значениях параметра L2 показано на рис. 2. Отметим, что уравнение (6.4) определяет интеграл динамической системы (6.1). Функции yi = yi(τ) (i = 1,2,3) (6.1), (6.2) определяют кривую Σ в пространстве R3(y), кривизна k и кручение κ которой задаются формулами , (6.5) . (6.6) Приведём расчёты, подтверждающие то, что точка c1 = 3, c2 = 3, c3 = 1 является особой точкой типа «узел» для системы (6.1). Линеаризуем систему, обозначив правые части через Fi: ⎧dc1 l(c1 - 3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪dcdτ2 = (2cl1(c-2 -L2c)1)= F1, ⎨ = = F2, (6.7) dτ (c1 - L2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩dcdτ3 = l((3c1c3--Lc22)) = F3. ∂Fi Вычислим частные производные: ∂cj (6.8) . Тогда линеаризация имеет вид: . (6.9) - - - 0 2 0 |(3,3,1) ⎜3 - L2 ⎜ ⎝ 0 l В особой точке (3,3,1) собственные значения являются диагональными элементами матрицы (6.9): dF = l0 , (6.10) μ1 = 2 , μ = , μ = 1. (6.11) 3/L Поскольку l > 0, то особая точка является притягивающим узлом при L2 > 3 и отталкивающим узлом при L2 < 3. Проведённый в разделах 5 и 6 анализ показывает, что формулы (4.12), определяющие решение задачи динамики конформационных тензорных инвариантов, обусловливают их содержательное поведение, не противоречащее их физическому смыслу. Физическая интерпретация полученных решений предполагается предметом отдельной работы.

About the authors

A. P. Chupakhin

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS; Novosibirsk National Research State University

Author for correspondence.
Email: chupakhin@hydro.nsc.ru
ORCID iD: 0000-0002-9492-5527
SPIN-code: 7023-4994
Scopus Author ID: 55910100800
ResearcherId: AIA-3732-2022
Novosibirsk, Russia

E. S. Stetsyak

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS; Novosibirsk National Research State University; Skolkovo Institute of Science and Technology

Email: stetsyak.e.s@hydro.nsc.ru
Novosibirsk, Russia; Moscow, Russia

D. S. Chutkov

Novosibirsk National Research State University

Email: d.chutkov@g.nsu.ru
Novosibirsk, Russia

References

Supplementary files