Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)4817510.22363/2413-3639-2025-71-4-686-700MKADHSArticlesСтатьиResearch ArticleDynamics of the conformation tensor in viscoelastic FENE polymer modelsДинамика тензора конформации в вязкоупругих моделях полимеров FENEhttps://orcid.org/0000-0002-9492-552755910100800AIA-3732-20227023-4994ChupakhinA. P.ЧупахинА. П.chupakhin@hydro.nsc.ruStetsyakE. S.СтецякЕ. С.stetsyak.e.s@hydro.nsc.ruChutkovD. S.ЧутковД. С.d.chutkov@g.nsu.ruLavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RASИнститут гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАНNovosibirsk National Research State UniversityНовосибирский государственный университетSkolkovo Institute of Science and TechnologyСколковский институт науки и технологий25122025714VOL 71, NO3 (2025)ТОМ 71, №4 (2025)68670021012026Copyright ©; 2025, Chupakhin A.P., Stetsyak E.S., Chutkov D.S.Copyright ©; 2025, Чупахин А.П., Стецяк Е.С., Чутков Д.С.2025Chupakhin A.P., Stetsyak E.S., Chutkov D.S.Чупахин А.П., Стецяк Е.С., Чутков Д.С.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/48175

In this work, the equations for the dynamics of the invariants of the conformational tensor for FENE polymer solution models are derived and integrated. Explicit formulas for the invariants as functions of the time parameter along the trajectory of fluid particles are obtained. The invariants are represented as functions of the Lambert function. A description of the qualitative behavior of the invariants under different regimes is given.

В настоящей работе получены и проинтегрированы уравнения, описывающие эволюцию инвариантов тензора конформации для модели FENE вязкоупругого полимерного раствора. Найдены явные выражения инвариантов в зависимости от времени вдоль траекторий частиц жидкости. Указанные инварианты представлены в виде функций от функции Ламберта. Проведён анализ качественного поведения инвариантов в различных режимах деформирования.

FENE polymer equationsLie derivativeinvariants of the conformational tensorintegration of equationsуравнения полимеров FENEпроизводная Лиинварианты тензора конформацииинтегрирование уравненийБлохин А.М., Ткачёв Д.Л. Неустойчивость по Ляпунову стационарных течений полимерной жидкости в канале с перфорированными стенками// Мат. сб.- 2022.- 213, № 3.- С. 3-20.-DOI: 10.4213/sm9507.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1986.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика.-М.: Наука, 2010.Ляпидевский В.Ю., Неверов В. В., Кармушин С.Р. Гиперболические модели нестационарных течений вязкоупругой среды// Прикл. мех. техн. физ.-2024.- 65, № 5.-С. 117-129.-DOI: 10.15372/ PMTF202415483.Овсянников Л.В. Аналитические группы.- Новосибирск: НГУ, 1972.Петрова А.Г., Пухначёв В.В., Фроловская О.А. Точные решения уравнений жидкости второго порядка// Тр. МИАН.-2023.-322.-С. 180-194.-DOI: 10.4213/tm4336.Покровский В.Н. Статистическая механика разбавленных суспензий.- М.: Наука, 1978.Покровский В.Н. Динамика слабо связанных линейных макромолекул// Усп. физ. наук.- 1992.- 162, № 5.-С. 87-121.-DOI: 10.3367/UFNr.0162.199205b.0087.Семисалов Б.В. О точных решениях пуазейлевского типа для течений вязкоупругой полимерной жидкости в цилиндрическом канале// Прикл. мех. техн. физ.- 2023.-64, № 4.-С. 139-151.-DOI: 10.15372/PMTF202315255.Чупахин А.П. Интегрирование уравнений для инвариантов тензора конформации в моделях полимеров FENE// Тез. конф. «Уравнения с частными производными и их приложения», Новосибирск, Инст. мат. им. С.Л. Соболева СО РАН, 13-15 октября 2025.Arnold V.I., Khesin B.A. Topological methods in hydrodynamics.- New York: Springer, 1998.Ashley B.S., Rryer T. Discretisation of an Oldroyd-B viscoelastic fluid flow using a Lie derivative formulation// Adv. Comp. Math.- 2025.- 51.- 1.- DOI: 10.1007/s10444-024-10211-x.Astarita G., Marrucci G. Principles of non-Newtonian fluid mechanics.- New York: McGraw-Hill, 1974.Benzi R., Ching E.S.C. Polymers in fluid flows// Ann. Rev. Condens. Matter Phys. -2018.- 9.- С. 163 - DOI: 10.1146/annurev-conmatphys-033117-053913.Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of polymeric liquids. Vol. 1: Fluid mechanics.-New York: John Wiley & Sons, 1977.Boyko E., Stone H.A. Perspective on the description of viscoelastic flows via continuum elastic dumbbell models// J. Eng. Math.- 2024.- 147.- 5.-DOI: 10.1007/s10665-024-10374-y.De Gennes P.G. Coil-stretch transition of dilute flexible polymers under ultrahigh velocity gradients// J. Chem. Phys. -1974.- 60.-С. 5030-5042.- DOI: 10.1063/1.1681018.Fuller G.G., Leal L.G. The effects of conformation-dependent friction and internal viscosity on the dynamics of the nonlinear dumbbell model for a dilute polymer solution// J. Non-Newtonian Fluid Mech.- 1981.-8, № 3-4.-С. 271-310.- DOI: 10.1016/0377-0257(81)80026-2.Godunov S.K., Romenskii E. Elements of continuum mechanics and conservation laws.-New York: Springer, 2003.Gouin H. Remarks on the Lie derivative in fluid mechanics// J. Non-Newtonian Fluid Mech.- 2023.- 150.- 104347.- DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2022.104347.Hinch E.J. Mechanical models of dilute polymer solutions in strong flows// Phys. Fluids. - 1997.- 20.- С. S22-S30.- DOI: 10.1063/1.861735.Hinch J., Harlen O. Oldroyd B, and not A?// J. Non-Newtonian Fluid Mech.- 2021.- 298.- 104668.- DOI: 10.1016/j.jnnfm.2021.104668.Khesin B., Wendt R. The geometry of infinite-dimensional groups.-Berlin-Heidelberg: Springer, 2009.Korobeinikov S.N. Family of continuous strain-consistent convective tensor rates and its application in Hooke-like isotropic hyperelasticity// J. Elasticity. -2021.-143, № 1. -С. 147-185.-DOI: 10.1007/ s10659-020-09808-2.Kuianova I., Chupakhin A., Besov A., Gorbatykh A., Kislitsin D., Orlov K., Parshin D. Rheological properties of non-adhesive embolizing compounds - the key to fine-tuning embolization process-modeling in endovascular surgery// Polymers.-2023.-15, № 4.- 1060.-DOI: 10.3390/polym15041060.Larson R.G. Constitutive equations for polymer melts and solutions.-Guilford: Butterworths, 1988.Marsden J.F., Hughes T.J.R. Mathematical foundations of elasticity.-New York: Dover Publ., 1983.Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state// Proc. Roy. Soc. London Ser. A. - 1950.-200.- С. 523-541.-DOI: 10.1098/rspa.1950.0035.Singer I.M., Standberg J.A. The infinite groups of Lie and Cartan. Part I (The transitive groups)// J. Anal. Math. -1965.-15.-С. 1-114.- DOI: 10.1007/bf02787690.Stone H.A., Shelley M.J., Rigo P. A note about convected time derivatives for flows of complex fluids// Soft Matter.- 2023.- 19, № 28.- С. 5353-5359.-DOI: 10.1039/d3sm00497j.Wolfram Research, Inc. Mathematica. Version 13.1.-Champaign: Wolfram Research, Inc., 2022.Yano K. The theory of Lie derivatives and its applications.- Amsterdam: North-Holland, 1957.Zvyagin V.G., Zvyagin A.V., Orlov V.P., Turbin M.V. Weak solvability of the initial boundary value problem for the Voigt model with a smoothed Jaumann time derivative taking into account the memory of fluid motion// Lobachevskii J. Math. -2025.-46, № 3.- С. 1183-1206.- DOI: 10.1134/S1995080225605168.