A class of anisotropic diffusion-transport equations in nondivergent form

Full Text

1. Введение Цель этой статьи состоит в следующем: (1) разработка новой модели процессов диффузии и переноса жидкостей в пористых средах с использованием парадигмы Эйнштейна для броуновского движения [14]; (2) строгий анализ этой модели для получения конкретных результатов по устойчивости. Что касается первой цели, напомним, что моделирование фильтрации в пористых средах традиционно базируется на следующих трёх компонентах [4, 23, 27]: (a) уравнение непрерывности (материальный баланс/сохранение массы); (b) уравнение движения, которое обычно представляет собой закон Дарси или одно из его обобщений; (c) уравнение состояния, описывающее связь между давлением и плотностью. © Л. Хоанг, А.И. Ибрагимов, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 663 Это приводит к уравнениям в частных производных (УрЧП) параболического типа (линейным, квазилинейным, вырожденным и т. д.) для функции давления или плотности (см. [1, 3, 7]). Благодаря (a), все они естественным образом возникают в дивергентной форме. Эти уравнения изучаются уже давно, и существует обширная литература, см., например, [1, 29] для течений Дарси, [2, 6-10, 15, 17-19, 24, 25, 28] для течений Форхгеймера и ссылки в этих работах. Они относятся к более широкому классу нелинейных параболических уравнений, см. книги [13, 21]. Хотя три уравнения (a), (b), (c), упомянутые выше, являются детерминированными, они, по сути, могут быть подвержены стохастическим возмущениям [26, 30]. Принимая во внимание эту стохастическую точку зрения, мы предлагаем альтернативный подход к первой составляющей (a) - сохранению массы - пересматривая и используя вероятностное уравнение материального баланса Эйнштейна [14]. Более конкретно, мы применяем парадигму Эйнштейна [14] и рассматриваем движение жидкости в пористой среде как случайные перемещения частиц из точки x в точку x+ζ в течение малого интервала времени τ, где ζ - случайное смещение. Обобщая рассуждения из [14] на многомерное пространство, мы приходим к следующему уравнению в частных производных для функции плотности ρ: (1.1) где aij(x,t) - коэффициенты диффузии, а где φ(x,t,ζ) обозначает распределение вероятностей этих событий (более подробно см. в разделе 2 ниже). Здесь E/τ - это новый член переноса, поскольку φ(x,t,ζ) не предполагается чётной функцией по ζ. Обратим внимание, что E - это ожидаемое значение смещения частицы в течение времени от t до t + τ. Поэтому мы постулируем (см. гипотезу 2.1), что средняя скорость E/τ пропорциональна скорости жидкости v, или, в более общем случае, (1.2) где M0 - матрица, гарантирующая определённый уровень «соответствия» v и E/τ, см. (2.14). Предположение (1.2) связывает микроскопический перенос с макроскопическим. Это важно для понимания и развития нашей модели. После (1.1) и (1.2) мы рассматриваем анизотропный закон Дарси для (b) и изоэнтропические течения газа, а также течения слабосжимаемой жидкости для (c). В результате получается квазилинейное параболическое уравнение второго порядка в недивергентной форме относительно ρ, содержащее квадратичный член по ∇ρ и другие нелинейности по ρ, см. (2.18)-(2.22) ниже. Перейдём ко второй цели статьи - математическому анализу полученных моделей. Мы докажем принцип максимума и сильный принцип максимума для решений. Для начальной задачи с постоянными граничными данными мы получаем оценки экспоненциального убывания решения в пространственной C0-норме. Следовательно, решение экспоненциально сходится в C0-норме к своему постоянному граничному значению при стремлении времени к бесконечности. Для доказательства мы явно строим отдельные преобразования типа Бернштейна-Коула-Хопфа [5, 11, 20], чтобы преобразовать то же самое решение в необходимое суб- или суперрешение соответствующего усеченного линейного оператора. Более того, лемма о росте во времени устанавливается с помощью метода Ландиса. Затем она применяется на последовательных временных интервалах для получения оценок экспоненциального убывания. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы выводим модели в несколько этапов. Во-первых, обобщая вероятностный метод Эйнштейна [14] на многомерное пространство, мы выводим общее уравнение диффузии (2.8) в недивергентной форме. Без предположения о чётности функции распределения вероятностей, это уравнение содержит отношение E(x,t)/τ - среднее смещение за единицу времени. Во-вторых, связывая это отношение E(x,t)/τ со скоростью v(x,t) жидкости, мы получаем уравнение (2.22). Основным предположением является гипотеза 2.1, которая обобщает основную идею (2.11). Эта гипотеза связывает микроскопические понятия, такие как движение частиц с вероятностями, со скоростью, которая является макроскопической характеристикой жидкости. В-третьих, используя закон Дарси, мы находим уравнение (2.17) для давления p и плотности ρ. Наконец, уравнение состояния используется для получения нелинейного уравнения в частных производных (2.22) для плотности. Особыми случаями являются уравнения (2.18), (2.19) и (2.20). Раздел 3 посвящен изучению уравнения (2.22) в его общем виде (3.3) с точки зрения принципа максимума и сильного принципа максимума для нелинейного оператора L, см. (3.7). Принцип максимума доказан в теореме 3.1, а сильный принцип максимума - в теореме 3.2. Для последней теоремы в лемме 3.1 построены преобразования типа Бернштейна-Коула-Хопфа, преобразующие решение оператора L в субрешения и суперрешения усечённого линейного оператора L. Эти преобразования явно записываются в терминах уравнения состояния. В последнем разделе 4 мы изучаем поведение решения начально-краевой задачи (4.36) при больших временах. Основным инструментом служит лемма Ландиса о росте для линейного оператора L, представляющего собой общую форму L, из леммы 4.1. Это приводит к оценкам суби суперрешений L в предложении 4.1. С помощью преобразований типа Бернштейна-Коула- Хопфа из раздела 3 для связи L, мы получаем основные результаты теоремы 4.1. Они заключаются в оценках экспоненциального убывания для всех времён и, как следствие, экспоненциальной сходимости решений при стремлении времени к бесконечности. Фактически, экспоненциальная скорость может не зависеть от начальных данных, как показано в следствии 4.1. Приложения к различным типам течений жидкости приведены в примерах 4.1 и 4.2. Стоит отметить, что лемма о росте демонстрирует устойчивость исходной нелинейной задачи, что частично оправдывает предлагаемую нами модель динамики течений жидкости в пористых средах. Авторы осознают, что разработанные в данной работе модели существенно отличаются от стандартных. Очевидно, что для их подтверждения необходимы дополнительные данные и эксперименты. Тем не менее, поскольку вывод настолько прост, их идеи, методы и математический анализ представлены здесь в надежде на дальнейшее обсуждение и развитие. В конечном итоге они могут оказаться полезными для разработки альтернативной методологии описания и понимания сложных процессов диффузии и переноса в пористых средах. 2. Вывод моделей Обозначения. На протяжении всей статьи пространственная размерность n 1 фиксирована. Для вектора x ∈ Rn его евклидова норма обозначается через |x|. Пусть Mn×n обозначает множество матриц действительных чисел размера- множество симметричных матриц в Mn×n. Для пары матриц A,B ∈ Mn×n их скалярное произведение равно следу Tr(ATB). Для действительной функции f(x), где x = (x1,...,xn) ∈ Rn, обозначим через D2f матрицу Гессе вторых частных производных (∂2f/∂xi∂xj)i,j=1,...,n. 2.1. Общие уравнения. Пусть ρ(x,t) - функция плотности жидкости в точке x ∈ Rn в момент времени t ∈ R. Пусть τ > 0 - небольшой временной интервал в качестве входного параметра в момент наблюдения. Пусть ζ ∈ Rn - случайное смещение частиц жидкости. Предположим, что вероятность перемещения частиц из точки x в момент времени t в точку x + ζ в момент времени t + τ, где ζ = (ζ1,ζ2,...,ζn) ∈ Rn, может быть охарактеризована функцией распределения вероятностей , так что . Уравнение материального баланса Эйнштейна [14] записывается в виде (2.1) При малом τ мы аппроксимируем производную по времени от ρ следующим образом: . (2.2) Вычислим ρ(x,t + τ) в правой части (2.2) по материальному балансу (2.1). Предположим, что функция сосредоточена в малом шаре с центром в начале координат. Согласно разложению Тейлора функции при малых |ζ| с точностью до квадратичных членов имеем приближение . Затем, используя (2.1), мы можем записать аппроксимацию Таким образом, , (2.3) где вектор (2.4) а коэффициенты при i,j = 1,...,n. (2.5) Объединяя (2.3) с (2.2) и заменяя приближение равенством, получаем . (2.6) Определим матрицы размера n × n A¯(x,t) = (¯aij(x,t))i,j=1,...,n и . (2.7) Тогда уравнение (2.6) можно переписать в виде (2.8) Замечание 2.1. Следует сделать следующие замечания. (a) Ввиду (2.5), матрица A¯(x,t) симметрична, а значит, и A(x,t) тоже. Кроме того, для ξ = (ξ1,...,ξn) ∈ Rn имеем . Следовательно, A¯(x,t) положительно полуопределена. Поскольку τ > 0, то из (2.7) вытекает, что матрица A(x,t) также положительно полуопределена. (b) Если - четная функция, то, согласно (2.4), E(x,t) = 0, и мы имеем . (2.9) (c) Рассмотрим случай взаимно независимых событий относительно координат смещения ζ, т. е. φ(x,t,ζ) = φ1(x,t,ζ1)···φn(x,t,ζn), при ζ = (ζ1,ζ2,...,ζn), где каждая φi(x,t,ζi) - это функция распределения вероятностей по переменной ζi ∈ R, i = 1,2,... ,n. Тогда имеем при ij σ¯i,i2 при i = j, где . (d) Предположим, в дополнение к (c), что каждая функция φi(x,t,s) при 1 i n чётна по s ∈ R. Тогда каждое σi = 0, и, следовательно, A¯(x,t) - диагональная матрица diag[¯ . Поскольку каждое σ¯i,i положительно, то в этом случае матрица A¯(x,t) положительно определена. Более того, функция ζ → φ(x,t,ζ) - четная, следовательно, согласно пункту (b), уравнение (2.8) принимает вид . (2.10) Это многомерная версия уравнения, полученного Эйнштейном в [14]. Мы сосредоточимся на изучении общего уравнения (2.8), а не (2.9) или (2.10). 2.2. Основное предположение. Заметим, что E(x,t) - это ожидаемое смещение из точки x между моментами времени t и t + τ. Таким образом, E(x,t)/τ - это частное среднее смещение , время что можно рассматривать как среднюю скорость. Следовательно, при малых τ мы можем аппроксимировать это отношение E(x,t)/τ скоростью v(x,t) жидкости, т. е. . (2.11) Однако мы предположим гораздо более общее отношение, чем (2.11). Гипотеза 2.1. Существует безразмерная матрица M0(x,t) размера n × n такая, что , (2.12) для всех ξ ∈ Rn. (2.13) Условие (2.13) указывает, что скорость жидкости v(x,t) и отношение E(x,t)/τ имеют некоторое «соответствие», т. е. . (2.14) Гипотеза 2.1 - наше фундаментальное предположение. Она связывает микроскопические особенности движения частиц в среде с макроскопическими свойствами потока жидкости, а именно со скоростью жидкости в данном случае. Объединение (2.8) с (2.12) даёт (2.15) В этом уравнении член представляет диффузию в недивергентной форме, а член (M0(x,t)v(x,t)) · ∇ρ представляет перенос/конвекцию. 2.3. Движение жидкости в пористых средах. Пусть p(x,t) - давление жидкости. Предположим, что закон Дарси - анизотропный [4, 12], - - , (2.16) где K¯(x,t) - матрица размера- ускорение свободного падения при n = 1,2,3, и может быть любым постоянным вектором для. Объединение (2.15) с (2.16) даёт (2.17) где Далее мы используем уравнения состояния, чтобы связать давление p и плотность ρ в (2.17). Случай изоэнтропических течений газа. Имеем p = cργ с константой c > 0 и показателем адиабаты. Тогда (2.17) принимает вид (2.18) В частности, для идеальных газов γ = 1, и уравнение (2.18) имеет вид (2.19) Случай слабосжимаемых жидкостей. Имеем где κ - малая положительная постоянная сжимаемость. Заметив, что ∇ρ = κρ∇p, перепишем (2.17) в виде (2.20) В общем случае предположим справедливость уравнения состояния p = P0(ρ), где P0 - известная возрастающая функция. Тогда уравнение (2.17) становится уравнением в частных производных на ρ: (2.21) (2.22) В следующих двух разделах мы сосредоточимся исключительно на математическом аспекте уравнения (2.22). 3. Принцип максимума и сильный принцип максимума Пусть U - непустое, открытое, ограниченное подмножество Rn с границей Γ и замыканием U.¯ Пусть T > 0. Обозначим UT = U × (0,T] и введём параболическую границу , где - замыкание UT (в Rn+1). Пусть, где A(x,t) = (aij(x,t))i,j=1,...,n, K : UT → Mn×n и B : UT → Rn - заданные функции. В данном разделе мы предполагаем, что существует константа c0 > 0 такая, что для всех (x,t) ∈ UT и всех ξ ∈ Rn. (3.1) Здесь и далее J - интервал с непустой внутренностью в R, а P - функция из C1(J,R) с производной . (3.2) Для течений жидкости в пористых средах P связано с уравнением состояния (2.21). Однако мы будем рассматривать общие функции P. Из (3.2) ясно, что P - возрастающая функция от J. Для любого интервала I из R обозначим через Cx,t2,1(U ×I) класс непрерывных функций u(x,t) с непрерывными частными производными ∂u/∂t, ∂u/∂xi, ∂2u/∂xi∂xj для i,j = 1....,n. Рассмотрим нелинейное уравнение (2.22) в форме . (3.3) Для изоэнтропических неидеальных потоков газа в случае уравнения (2.18) с γ > 1 можно использовать J = [0,∞), P(s) = sγ, K = cK0, B = -B0. (3.4) Для потоков идеального газа в случае уравнения (2.19) также можно использовать (3.4) с γ = 1 для физического u = ρ (плотности), но также можно заменить J = R на (3.4) для математического u. Таким образом, J = [0,∞) или J = R, P(s) = s, K = cK0, B = -B0. (3.5) Например, для слабосжимаемых жидкостей и уравнения (2.20) мы можем использовать J = (0,∞), P(s) = lns, K = κ-1K0, B = -B0. (3.6) Явно определим нелинейный оператор L, связанный с левой частью (3.3): (3.7) для любой функции u ∈ Cx,t2,1(UT ) с областью значений u(UT ), являющейся подмножеством J. Ниже мы рассматриваем принципы максимума и сильного максимума, связанные с этим нелинейным оператором L. 3.1. Принцип максимума. Теорема 3.1 (принцип максимума). Пусть (3.8) (i) Если , тогда maxu = maxu. (3.9) UT ΓT (ii) Если , тогда minu = minu. (3.10) UT ΓT Доказательство. Определим и оператор для функции v: Заметим, что В случае (i) имеем, следовательно, по стандартному принципу максимума для линейного оператора L и функции u получаем (3.9). В случае (ii) имеем, следовательно, по стандартному принципу максимума для линейного оператора L и функции u получаем (3.10). Пусть S ⊂ Rn+1 и u - ограниченная функция на S. Обозначим oscu = supu - inf u. S S S Следствие 3.1 (осцилляция). Пусть функция u удовлетворяет условию (3.8). Если Lu = 0 на UT , то oscu = oscu. (3.11) UT ΓT Доказательство. Поскольку Lu = 0, мы можем применить как (i), так и (ii) в теореме 3.1. Следовательно, из (3.9) и (3.10) получаем (3.11). 3.2. Преобразования типа Бернштейна-Коула-Хопфа. Для устранения квадратичных членов градиента введём следующее преобразование типа Бернштейна-Коула-Хопфа. Для заданной функции u мы определяем оператор L следующим образом: (3.12) Заметим, что L является линейным оператором по w для каждой заданной функции u. Лемма 3.1. Пусть u - функция такая, что u ∈ Cx,t2,1(UT ), u(UT ) ⊂ J. Определим линейный оператор L с помощью (3.12). Пусть s0 ∈ J. Для, определим (3.14) (i) Тогда (ii) Предположим, что существует константа c1 0 такая, что для всех (x,t) ∈ UT и всех ξ ∈ Rn. (3.15) Если , то для любых чисел , функция w = Fλ(u) удовлетворяет . (iii) Предположим, что существует константа такая, что для всех (x,t) ∈ UT и всех ξ ∈ Rn. (3.16) Если , то для любых чисел , функция w = Fλ(u) удовлетворяет . Доказательство. (i) Эти факты очевидно следуют из (3.14) и условия (3.2). Для пунктов (ii) и (iii) находим w = F(u) для функции F ∈ C2(J) такой, что (3.17) Имеем . Тогда Заметим, чтоТаким образом, (3.18) (ii) Рассмотрим . Тогда из (3.18) следует, что Для мы накладываем условие . (3.19) Найдём F такое, что (3.20) Это свойство и (3.1), (3.15) влекут для всех (x,t) ∈ UT и ξ ∈ Rn неравенства . Благодаря этим неравенствам и (3.19) достаточным условием дляявляется . Для указанное выше неравенство будет следовать из уравнения , (3.21) что даёт решение . (3.22) Здесь мы выбираем C > 0 так, чтобы выполнялось условие (3.17). Затем выбираем решение F = Fλ, как в (3.14). Поскольку (3.17) уже выполнено, уравнение (3.21) и свойство (3.2) влекут за собой второе требование (3.20). (iii) Рассмотрим. Тогда из (3.18) следует, что Благодаря этому неравенству, достаточным условием для является . (3.23) В этом случае мы найдём F такую, что (3.24) Это, а также (3.1) и (3.16) влекут для всех (x,t) ∈ UT и ξ ∈ Rn неравенства . Используя эти неравенства и (3.23), запишем достаточное условие для: . При мы снова решаем уравнение (3.21). Как и в пункте (ii), мы выбираем решение F = Fλ в (3.14). Требования (3.17) и (3.24) снова выполняются благодаря (3.22) и (3.21). Заметим, что функция Fλ в лемме 3.1 непрерывна и строго возрастает на J. Пример 3.1. Имеем следующие примеры потоков жидкости. (a) Случай изоэнтропических неидеальных потоков газа. Используя (3.4), мы можем выбрать . (3.25) (b) Случай идеального газа. Мы используем (3.5) и выберем s0 = 0 в (3.14) для обоих случаев J. При λ = 0 мы, очевидно, можем выбрать Fλ(s) = s, s ∈ J. (3.26) Для можно выбрать для всех s ∈ J или Fλ(s) = sign(λ)eλs для всех s ∈ J. (3.27) (c) Случай слабосжимаемых жидкостей. Используем (3.6). При в общем случае из (3.14) получаем, что , и, следовательно, можно выбрать для всех s > 0 или Fλ(s) = sign(λ + 1)sλ+1 для всех s > 0. (3.28) Для λ = -1 можно аналогично выбрать Fλ(s) = lns, s > 0. 3.3. Строгий принцип максимума. Предположим дополнительно в этом пункте 3.3, что U связно. Теорема 3.2. Предположим, что A(x,t) и B(x,t) ограничены на UT , а K(x,t) удовлетворяет условию (3.15) (соответственно, (3.16)). Предположим, что u - функция, удовлетворяющая (3.13), ограниченная на UT и такая, что (соответственно,. Пусть M = supu(x,t) (соответственно,. UT Предположим, что существует пара (x0,t0) ∈ UT такая, что u(x0,t0) = M (соответственно, u(x0,t0) = m). Тогда (3.29) u(x,t) = M (соответственно, u(x,t) = m) для всех (x,t) ∈ Ut0 = U × (0,t0]. Доказательство. Пусть Lw определено по формуле (3.12). Перепишем Lw в виде (3.30) где . (3.31) Поскольку и u(x,t), и B(x,t) ограничены на также ограничено на UT . Обратим внимание, что оператор L не содержит члена c(x,t)w. Ниже мы будем использовать сильный принцип максимума в частной форме [22, гл. 3, теорема 2.3], см. также [22, гл. 3, теорема 2.4]. Часть 1. Рассмотрим и соответствующие условия. Из (3.29) следует, что u(x0,t0) = . Случай c1 = 0. В этом случае . Можно применить сильный принцип максимума к оператору L в форме (3.31) и функции u + |M| + 1, тогда получим u = M на Ut0. Таким образом, мы получаем первое утверждение из (3.30). Случай c1 > 0. Пусть λ1 = c1/c0 и w = Fλ1(u) на UT . По лемме 3.1 (ii), имееми, ввиду роста Fλ1, Применим сильный принцип максимума к оператору L и функции w+|Fλ1(M)|+1, тогда получим w = Fλ1(M) на Ut0. Таким образом, u = Fλ-11(w) = M на Ut0. Часть 2. Рассмотрим и соответствующие условия. Заметим, что u(x0,t0) = . Случай c2 = 0. Имеем . Применим сильный принцип максимума к оператору L и функции u - |m| - 1, тогда получим u = m на Ut0. Таким образом, получаем второе утверждение из (3.30). Случай c2 > 0. Пусть λ2 = -c2/c0 и w = Fλ2(u) на UT . Доказательство второго утверждения в (3.30) аналогично доказательству случаю c1 > 0 в части 1 выше, с использованием леммы 3.1 (iii) вместо леммы 3.1 (ii) и сильного принципа максимума, применённого к оператору L и функции w - |Fλ2(m)| - 1. Опустим подробности. 4. Начально-краевая задача Пусть U и Γ - такие же, как в разделе 3. Зафиксируем точку и положим r0 = min{|x - x0| : x ∈ U¯}, R = max{|x - x0| : x ∈ U¯}. Тогда R > r0 > 0. 4.1. Результаты для линейных операторов. Как показано в разделе 3, исследование нелинейной задачи можно свести к исследованию некоторого линейного оператора. Поэтому сначала мы установим некоторые существенные результаты для общего линейного случая. При условии T > 0 пусть UT и ΓT будут такими, как в разделе 3. Предположение 4.1. Пустьтаковы, что (i) A удовлетворяет условию (3.1) для некоторой константы c0 > 0; (ii) существуют константы такие, что Tr( для всех (x,t) ∈ UT . (4.1) Определим линейный оператор L следующим образом: . (4.2) Лемма 4.1 (лемма о росте). В условиях предположения 4.1 положим . (4.3) Если удовлетворяет, то имеем . (4.4) Доказательство. Мы следуем [22, гл. 3, лемма 6.1], а также [16, лемма IV.3]. Значения в (4.3) временно игнорируем. Шаг 1. Пусть функция ϕ ∈ C(U¯) ∩ C2(U) такова, что на U,¯ (4.5) на U для некоторых положительных чисел d0, d1, d2, d3. Заметим, что последнее условие в (4.5) выполняется в UT (из-за свойств матрицы A(x,t)). Конкретная функция ϕ будет построена на 3-м шаге ниже. Определим барьерную функцию W на U¯ × R следующим образом: , если (x,t) ∈ U¯ × (0,∞), 0, если (x,t) ∈ U¯ × (-∞,0], где β - положительное число. В силу оценки снизу на ϕ(x) в (4.5) мы имеем W ∈ C(U¯ ×R). При t > 0 получим и будем иметь на . Нам требуется, поэтому накладываем условия . (4.6) По (3.1), достаточным условием для первого условия в (4.6) является , что, по сути, выполняется в соответствии с нашим предположением (4.5). Достаточным условием для второго условия в (4.6) является на UT . (4.7) Основываясь на (4.1) и (4.5), выберем , (4.8) чтобы удовлетворялось (4.7). Итак, для β в (4.8) имеем . Шаг 2. Пусть β удовлетворяет условию (4.8). Положим и определим ηW) на U¯ × R, где η = (d0e/β)β > 0. Тогда имеем W(x,0) = 0 и, следовательно, для всех x ∈ U.¯ (4.9) Заметим, что при . Элементарные вычисления показывают, что функция h0(t) = t-βe-d0/t на (0,∞) достигает максимума при t0 = d0/β со значением h0(t0) = η-1. Таким образом, на U¯ × (0,∞) имеем: . В частности, W w на Γ × (0,∞). (4.10) Наложим ещё одно условие: (4.11) Тогда имеем и, ввиду (4.9), (4.10), на параболической границе¯ × [0,T∗U],×получаем(0,T∗]. Применяя принцип максимума к оператору L и функциина множестве U на U¯ × [0,T∗]. (4.12) Заметим, что . (4.13) При t = T∗, из (4.12) и (4.13) для всех x ∈ U¯ следует, что где η∗ = 1 - (d0/d1)β ∈ (0,1). (4.14) Таким образом, мы получаем неравенство (4.4) для T∗, η∗ при β, удовлетворяющем условиям (4.8), (4.11), (4.14). Шаг 3. Выберем функцию ϕ(x) = μ|x - x0|2 с числом μ > 0, которое определим позже. Тогда следовательно, мы выбираем d0 = μr02 и d1 = μR2 в (4.5). Для второго условия в (4.5), поскольку выберем d2 = 2μR. Третье условие в (4.5) трансформируется в, потому выберем . Для последнего условия в (4.5) заметим, что , и, таким образом, выберем d3 = 2μM1. При указанных выше значениях μ, d0, d1, d2, d3 отношения (4.8) и (4.11) трансформируются в . (4.15) Выбранное β в (4.3) удовлетворяет первым двум условиям в (4.15). Кроме того, T∗ в (4.15) в точности соответствует заданному в (4.3). Более того, из (4.14) следует, что , что является тем же числом, что и в (4.3). Доказательство завершено. Ключевым улучшением оценки (4.4) по сравнению с принципом максимума является множитель η∗, принадлежащий интервалу (0,1). Из приведённой выше леммы о росте выведем более конкретные оценки для суб- и суперрешений, а также сами решения для всех времён. Основное внимание уделим убывающим решениям для больших времён, хотя также получим некоторые «оптимальные» оценки для малых времён. Предположение 4.2. Пусть A : U × (0,∞) → Mnsym×n и b : U × (0,∞) → Rn удовлетворяют следующим условиям: (i) существует положительная константа c0 такая, что для всех (x,t) ∈ U × (0,∞) и всех ξ ∈ Rn; (4.16) (ii) A(x,t) и b(x,t) ограничены на U × (0,∞). В предположении 4.2 определим линейный оператор L формулой (4.2) для w ∈ Cx,t2,1(U×(0,∞)). По условию (ii) в предположении 4.2, существуют константы M1 > 0 и M2 > 0 такие, что Tr( для всех (x,t) ∈ U × (0,∞). (4.17) Предложение 4.1. Пусть предположение 4.2 справедливо, а положительные числа M1, M2 заданы как в (4.17). Положим 1 R2 2β β = 2c0 (M1 + M2R), T∗ = 4c0β, η∗ = 1 - (r0/R) , (4.18) ν = T∗-1 ln(1/η∗), ν0 = 2Rc20 ln(R/r0). Пусть w ∈ C(U¯ × [0,∞)) ∩ Cx,t2,1(U × (0,∞)). (i) Если , тогда при , (4.19) при, (4.20) и, следовательно, . (4.21) (ii) Если , тогда при , (4.22) при, (4.23) и, следовательно, . (4.24) (iii) Если, тогда при , (4.25) при, (4.26) и, следовательно, . (4.27) Доказательство. Для любого целого числа положим . (i) В этом случае Сначала докажем (4.19). Полагая t ∈ (0,T∗], применим лемму 4.1 к T = t. Переобозначим β, T∗, η∗ черезв (4.3) и, заметив, что , получим , Из (4.4) получаем, что , что доказывает (4.19). Далее докажем (4.20). При применяем лемму 4.1 к цилиндру U¯ × [Tk-1,Tk], т. е. при T = Tk - Tk-1 = T∗. Снова, используя для обозначения β, T∗, η∗ в (4.3), получаем . Таким образом, из оценки (4.4) следует, что. Итерируя это неравенство по k, получаем для любого. (4.28) Для каждого t > 0 пусть. Заметим, что. Из принципа максимума, неравенства и неравенства (4.28) имеем . Таким образом, для любого, что доказывает (4.20). Устремляя t к бесконечности в (4.20), получаем (4.21). (ii) В этом случае мы можем применить результаты пункта (i), заменив w на -w. Тогда из (4.19) и (4.20) следует, что при , (4.29) при, (4.30) что влечёт (4.22) и (4.23) соответственно. Устремляя t к бесконечности в (4.23), получим (4.24). (iii) Поскольку, мы можем применить результаты обоих пунктов (i) и (ii) выше. Заметим, что . (4.31) При , объединяя (4.31) с (4.19) и (4.29), и используя тот факт, что , (4.32) получаем (4.25). При t 0 объединение (4.31) с (4.20), (4.30) и (4.32) даёт (4.26). Наконец, из (4.26) следует (4.27). Замечание 4.1. Заметим, что оценки (4.19), (4.22) и (4.21) для малых времён при t → 0+ более оптимальны, чем их аналоги для больших времён (4.20), (4.23) и (4.27). Это связано с тем, что множители перед исходными данными сходятся к 1 при t → 0+, а не к η-1 > 1. ∗ 4.2. Результаты для нелинейной задачи. Вернёмся к нелинейной задаче. Предположение 4.3. Пусть (0,∞) → Rn таковы, что (i) A(x,t) удовлетворяет условию (4.16); (ii) A(x,t) и B(x,t) ограничены на U × (0,∞); (iii) существуют константы такие, что для всех (x,t) ∈ U × (0,∞), всех ξ ∈ Rn. (4.33) Будем считать предположение 4.3 выполненным до конца этого раздела. Условие (4.33) в предположении 4.3 означает, что K удовлетворяет условиям (3.15) и (3.16) для всех T > 0. (В частности, если K ограничено на U × (0,∞), то (4.33) заведомо выполняется.) В силу ограниченности B и A на U × (0,∞) существуют положительные числа M0 и M1 такие, что для всех (x,t) ∈ U × (0,∞), (4.34) Tr( для всех (x,t) ∈ U × (0,∞). (4.35) Рассмотрим начально-краевую задачу на U × (0,∞), на Γ × (0,∞), (4.36) на U, где u∗ - константа, а u0(x) - заданная функция. 2,1 Определим нелинейный оператор L с помощью (3.7) для любой функции u ∈ Cx,t (U ×(0,∞)), причём область значений u является подмножеством J. Предположим, что u ∈ C(U¯×[0,∞))∩Cx,t2,1(U×(0,∞)) является решением (4.36) и удовлетворяет условию u(x,t) ∈ J для всех (x,t) ∈ U × (0,∞), (4.37) Как и в (3.31), мы определяем линейный оператор L по формуле для любой функции w ∈ Cx,t2,1(U × (0,∞)). В силу непрерывности u(x,t) на U¯ × [0,∞) мы должны иметь u(x,0) = u∗ при x ∈ Γ (4.38) uи, вместе с требованием (4.37),(x,0) является её единственным продолжением до непрерывной функции наu∗ ∈ J.¯ Кроме того, функция u0(x) непрерывна приU.¯ Следовательно,x ∈ U, а можно сказать, что u(x,0) = u0(x) на U¯ и u = u∗ на Γ × [0,∞). Обозначим m∗ = minx∈U¯ u(x,0), M∗ = maxx∈U¯ u(x,0). Тогда в силу (4.38) имеем . Поскольку u(U × (0,∞)) ⊂ J, то m∗,M∗ ∈ J¯ и, следовательно, отрезок [m∗,M∗] ⊂ J.¯ Из принципа максимума -теоремы 3.1 - следует, что для всех T > 0 на U¯ × [0,∞). (4.39) Если m∗ = M∗, то, очевидно, u = m∗ = u∗ = M∗ на U¯ × [0,∞). (4.40) По этой причине сейчас мы сосредоточимся на случае m∗ < M∗. Выберем любую точку (x0,t0) ∈ U ×Рассмотрим случай(0,∞). Тогда u(x0,t0) ∈ J ∩Поскольку[m∗,M∗]. m∗,M∗ находятся в интервале J¯ и m∗ < M∗, можно сделать вывод, что m∗ не может быть правой конечной точкой J, следовательно, m∗ должна быть левой конечной точкой J и J.¯ Аналогично, если должна быть правой конечной точкой J и J.¯ Из этих рассуждений получим следующие условия для m∗ < M∗: правый предел lim P(z) существует и принадлежит R ∪ {-∞}, z→m∗+ левосторонний предел lim P(z) существует и принадлежит R ∪ {∞}. z→M∗- Рассмотрим случай (E1) и λ > 0. Функцию eλP(z), z ∈ J, можно продолжить до непрерывной функции∪ { E} λ :RJ,∪{по-прежнему обозначая еёm∗} → [0,∞). Любую функциюFλ, следующим образом:Fλ из (3.14) можно продолжить до C1-функции с J m∗ в . (4.41) Рассмотрим случай (E2) и λ < 0. Аналогичным образом, любую функцию Fλ из (3.14) можно продолжить до C1-функции с J ∪ {M∗} в R, по-прежнему обозначая её Fλ: . (4.42) Теорема 4.1. Пусть (i) Если m∗,M∗ ∈ J, то существуют число C0 > 0, зависящее от c0, c1, c2, M0, M1, m∗, M∗, и число ν > 0, зависящее от c0, M0, M1, m∗, M∗, такие, что при. (4.43) (ii) Предположим, что выполняется либо c1 = 0, либо условие (E1). Тогда . (4.44) Если, кроме того, u∗ = m∗, то . (4.45) (iii) Предположим, что выполняется либо c2 = 0, либо условие (E2). Тогда . (4.46) Если, кроме того, u∗ = M∗, то имеем (4.45). (iv) Следовательно, если либо (a) c1 = 0 и (E2), либо (b) c2 = 0 и (E1), то имеет место (4.45). Доказательство. Из (4.39) получаем для всех (x,t) ∈ U¯ × [0,∞). Объединяя это с (4.34), получаем для всех (x,t) ∈ U × (0,∞), где M2 = M0 max{|m∗|,|M∗|}. (4.47) Пусть M1 и M2 определены как в (4.35) и (4.47), а s, η∗ и ν определены, как в (4.18). Заметим, что последние три числа зависят только от c0, M0, M1, m∗, M∗. Пусть λ1 > 0 и λ2 < 0 таковы, что . (4.48) Пусть функции Fλj, j = 1,2, заданы формулой (3.14) при. Определим wj = Fλj(u) По лемме 3.1 (ii) и (iii) имеем на U × (0,∞). (4.49) на U × (0,∞). (4.50) Ниже, всякий раз, когда мы применяем предложение 4.1 к оператору L, это подразумевает, что. (i) Доказательство (4.43) разделим на три шага. Шаг 1. Поскольку m∗,M∗ ∈ J, имеем u(U¯ × [0,∞)) ⊂ [m∗,M∗] ⊂ J. (4.51) Выберем два числа λ1 и λ2, удовлетворяющие условию (4.48). В этом случае в силу (4.51) можно продолжить функцию (4.49) до wj = Fλ1(u) на U¯ × [0,∞), j = 1,2. Тогда мы по-прежнему имеем (4.50). Определим w∗,j = Fλj(u∗) и w¯j = wj - w∗,j, j = 1,2, на U¯ × [0,∞). Очевидно, w¯j = 0 на Γ × [0,∞), j = 1,2. Применяя предложение 4.1 (i) к оператору L и функции w := ¯w1, из (4.20) при получаем, что . (4.52) Аналогично, применяя предложение 4.1 (ii) к оператору L и функции w := ¯w2, из (4.23) для всех t 0 следует, что . (4.53) Шаг 2. Следующий шаг состоит в том, чтобы связать неравенства (4.52) и (4.53) при u(x,t)-u∗. Для этого обозначим C1 = min{eλ1P(m∗),eλ2P(M∗)}, C2 = max{eλ1P(M∗),eλ2P(m∗)}. Для j = 1,2 имеем при z ∈ [m∗,M∗]. Выше мы использовали свойство возрастания P, см. (3.2). Следовательно, для j = 1,2 при z ∈ [m∗,M∗]. (4.54) Более конкретно, по теореме о среднем значении для j = 1,2 имеем: при s ∈ [u∗,M∗], (4.55) при s ∈ [m∗,u∗). Следовательно, при j = 1 из (4.55) для s ∈ [m∗,M∗] имеем, что . (4.56) При j = 2, для . (4.57) Шаг 3. Теперь, объединяя неравенство (4.56) с оценкой (4.52), получаем для любого, что C1-1η∗-1e-νt maxU¯ |w1(x,0) - w∗,1|. Вместе с (4.54) для оценки последнего максимума это даёт . (4.58) Далее, объединяя неравенство (4.57) с оценкой (4.53), получаем min{-C2-1η∗-1e-νt maxU¯ |w2(x,0) - w∗,2|,-C1-1η∗-1e-νt maxU¯ |w2(x,0) - w∗,2|} -C1-1η∗-1e-νt maxU¯ |w2(x,0) - w∗,2|. Опять же, отсюда с учётом (4.54) получим . (4.59) Наконец, объединение оценок (4.58) и (4.59) даёт , что доказывает искомую оценку (4.43). (ii) Сначала докажем (4.44). Случай 1: c1 = 0. В этом случае. Тогда, применяя предложение 4.1 (ii) к оператору L и функции w := u - u∗, получаем (4.44) из (4.21). Случай 2: c1 > 0 и выполнено (E1). Имеем диапазон u(U¯ × [0,∞)), являющийся подмножеством J ∪{m∗}. Пусть λ1 = c1/c0 > 0. Используем расширенное определение функции Fλj на J ∪{m∗}, заданное формулой (4.41) с1 - ¯ × [0,∞). . Тогда мы можем определить w∗,1 = Fλ1(u∗) и w1 = Fλ (u), w¯1 = wj w∗,1 на U Согласно (4.50), имеем(0,∞). Согласно предложению 4.1 (i), применённому к оператору L и функции w¯1, из (4.21) следует, что . (4.60) Из возрастания и непрерывности Fλ1 по (4.60) следует, что . Поэтому благодаря строгому возрастанию Fλ1 имеем , (4.61) что доказывает (4.44). Это завершает доказательство (4.44). Теперь рассмотрим u∗ = m∗. Имеем, откуда по (4.44) следует, что . Таким образом, получаем (4.45). (iii) Сначала докажем (4.46). Случай 1: c2 = 0. В этом случае. Тогда из (4.24) следует (4.46) после применения предложения 4.1 (iii) к оператору L и функции w := u - u∗. Случай 2: c2 > 0 и выполнено (E2). Доказательство такое же, как в части (ii), случай 2. Действительно, имеем u(U¯ × [0,∞)) ⊂ J ∪ {M∗}. Пусть λ2 = -c2/c0 < 0, а Fλ2 - расширенная функция инаwJ2 ∪ {= FMλ2∗(}u,)определяемая формулой (4.42) с, w¯2 = wj - w∗,2 на U¯ × [0,∞). . Определим w∗,2 = Fλ2(u∗) Согласно (4.50), имеем ¯2 0 (0 . Тогда, применяя предложение 4.1 (ii) к оператору L и функции w¯2, из (4.24) получаем, что . (4.62) Так же, как и в (4.61), из (4.62) имеем, что , что доказывает (4.46). Теперь, когда (4.46) уже установлено, рассмотрим u∗ = M∗. Из (4.46) следует, что , следовательно, мы снова получаем (4.45). (iv) С одной стороны, с учётом (4.31) имеем max{limsupmax¯ (u(x,t) - u∗),limsupt→∞ maxx∈U¯ (-(u(x,t) - u∗))} = t→∞ x∈U = max{limsupt→∞ maxx∈U¯ (u(x,t) - u∗),-liminft→∞ minx∈U¯(u(x,t) - u∗)}. (4.63) С другой стороны, в обоих случаях (a) и (b) имеем (4.44) и (4.46). Тогда, объединяя (4.63) с (4.44) и (4.46), получаем (4.45). В качестве следствия покажем, что экспоненциальная скорость убывания |u(x,t) - u∗| при t → ∞ зависит только от асимптотического поведения A(x,t) и B(x,t) при t → ∞, но не от начальных данных u0(x) и матрицы K(x,t). Следствие 4.1. В предположении 4.3 положим (4.64) и пусть будут двумя положительными числами такими, что , (4.65) . (4.66) Если m∗,M∗ ∈ J, то существует число ν∗ > 0, зависящее от, но не от начальных данных u0(x), такое, что max¯ |u(x,t) - u∗| = O(e-ν∗t) при t → ∞. (4.67) x∈U Доказательство. Из (4.43) ясно, что . (4.68) Также заметим, что u∗ ∈ J. Согласно (4.64), (4.66), (4.65), (4.68), существуют достаточно близкие к u∗, при этом, такие, что для всех (x,t) ∈ U¯ × [T,∞), , Tr( для всех (x,t) ∈ U × [T,∞), для всех (x,t) ∈ U × [T,∞), ξ ∈ Rn. Повторим доказательство теоремы 4.1 (i) при , и теми же числами c1, c2. Заметим, что доказательство работает с заменами, как указано выше, хотямогут не быть минимальным и максимальным значениями u(x,T) в U.¯ Пусть ν∗ = ν задано формулой 4.18, где M Тогда ν∗ зависит только от чисел , 0 . Из (4.43) получаем, что для некоторого числа C∗ > 0. Таким образом, получаем оценку (4.67). Пример 4.1. Используя пример 3.1, рассмотрим случаи (a) с (3.25) и (b) с (3.26), (3.27). Как при J = [0,∞), так и при J = R всегда имеем m∗,M∗ ∈ J. Следовательно, для любого u∗ ∈ J = J¯ и любого соответствующего решения u из теоремы 4.1 (i) следует оценка (4.43) для всех. Пример 4.2. Рассмотрим слабосжимаемые жидкости, как в случае (c) из примера 3.1. Имеем . Учитывая (4.39) и u > 0 на U ×(0,∞), имеем M∗ > 0, т. е. M∗ ∈ J. Учитывая (4.40), ниже рассмотрим только m∗ < M∗. Случай 1: u∗ > 0. Рассмотрим два подслучая. Случай 1a: m∗ > 0. Тогда m∗,M∗ ∈ J и из теоремы 4.1 (i) следует оценка (4.43) для всех t 0. Случай 1b: m∗ = 0. Тогда выполняется условие (E1). С использованием (4.44) из теоремы 4.1 (ii) следует оценка u для больших времён, которая не зависит от u0(x). Если, кроме того, c2 = 0, то из теоремы 4.1 (iv)(b) следует предел (4.45). Случай 2: u∗ = 0. Тогда и выполняется условие (E1). Из теоремы 4.1 (ii) получаем предел (4.45), который запишем как lim maxu(x,t) = 0. (4.69) t→∞ x∈U¯ Более того, мы можем даже получить оценки убывания для всего времени. Действительно, можно взять c1 > 0, λ1 = c1/c0 и следовать случаю 2 доказательства теоремы 4.1 (ii). Можно проверить, что eλ1P(z) при z > 0 имеет продолжение Eλ1(z) = zλ1 при . Аналогично полученному нами результату (3.28), положив m = λ1 + 1 = c1/c0 + 1 и выбрав в формуле (4.41), мы можем использовать явную функцию . Затем на шаге (4.60) мы используем оценку (4.20) вместо предельного значения (4.21). Получаем при t 0: что влечёт . Поэтому вместо предела (4.69) мы имеем для всех t 0.

About the authors

L. Hoang

Texas Tech University

Author for correspondence.
Email: luan.hoang@ttu.edu
ORCID iD: 0000-0002-8008-4915
Scopus Author ID: 13905538000
Lubbock, USA

A. I. Ibragimov

Oil and Gas Research Institute of the RAS

Email: ilya1sergey@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-6827-8007
SPIN-code: 3162-9406
Scopus Author ID: 23968895600
ResearcherId: AFZ-8749-2022
Moscow, Russia

References

Supplementary files