We generalize Einstein’s probabilistic method for the Brownian motion to study compressible fluids in porous media. The multi-dimensional case is considered with general probability distribution functions. By relating the expected displacement per unit time with the velocity of the fluid, we derive an anisotropic diffusion equation in non-divergence form that contains a transport term. Under the Darcy law assumption, a corresponding nonlinear partial differential equations for the density function is obtained. The classical solutions of this equation are studied, and the maximum and strong maximum principles are established. We also obtain exponential decay estimates for the solutions for all time, and particularly, their exponential convergence as time tends to infinity. Our analysis uses some transformations of the Bernstein-Cole-Hopf type which are explicitly constructed even for very general equation of state. Moreover, the Lemma of Growth in time is proved and utilized in order to achieve the above decaying estimates.
В работе обобщается вероятностный метод Эйнштейна для броуновского движения на случай сжимаемых жидкостей в пористых средах. Рассматривается многомерный случай с произвольными функциями распределения вероятностей. Связывая ожидаемое смещение за единицу времени со скоростью жидкости, мы выводим анизотропное уравнение диффузии-переноса в недивергентной форме, содержащее член переноса. В предположении закона Дарси получено соответствующее нелинейное уравнение в частных производных для функции плотности. Исследованы классические решения этого уравнения, доказаны принцип максимума и сильный принцип максимума. Кроме того, получены оценки экспоненциального убывания решений при всех временах, в частности, доказана их экспоненциальная сходимость при t →∞ . В основе анализа лежат явно построенные преобразования типа Бернштейна-Коула-Хопфа, которые удаётся сконструировать даже для весьма общих уравнений состояния. Доказана и использована лемма о росте во времени, позволившая получить указанные оценки убывания.