On the damping of a neutral-type control system on a temporal star graph with time-proportional delay

Full Text

1. Введение Дифференциальные операторы на графах, часто называемые квантовыми графами, активно изучаются с прошлого века в связи с моделированием различных процессов, протекающих в сложных системах, представимых в виде пространственных сетей [7, 10, 17, 20, 21]. Для таких моделей помимо условий непрерывности в вершинах характерны также условия Кирхгофа. Для задания на графах функционально-дифференциальных операторов с запаздыванием, С.А. Бутериным в работе [11] была предложена концепция глобального запаздывания. Последнее означает, что запаздывание распространяется через внутренние вершины графа. Другими словами, решение уравнения на входящем ребре служит начальной функцией для уравнений на © А.П. Леднов, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 642 исходящих ребрах. Глобальное запаздывание стало альтернативой локально нелокальному случаю, рассмотренному в [24], когда уравнение на каждом ребре имеет свой собственный параметр запаздывания и может быть решено отдельно от уравнений на остальных ребрах. Использование концепции глобального запаздывания позволило перенести на графы класс задач об успокоении управляемых систем с последействием. Впервые задача этого типа была поставлена и исследована на интервале Н.Н. Красовским [6] для системы управления с постоянным запаздыванием, описываемой уравнением запаздывающего типа. Эта задача получила дальнейшее развитие в работах А.Л. Скубачевского [9, 23] и позже в работах других авторов (см. [1] и литературу там), где рассматриваемая система управления имеет нейтральный тип, т. е. содержит запаздывание и в главных членах. Это существенно усложняет задачу и, в частности, приводит к понятию обобщенного решения соответствующей краевой задачи для оптимальной траектории. С.А. Бутерин в работах [3, 12] распространил на графы задачу об успокоении систем управления с постоянным запаздыванием. В [12] рассмотрен случай уравнения первого порядка запаздывающего типа, а в [3] - общий случай нестационарной управляемой системы, уравнения которой относятся к нейтральному типу и имеют произвольный порядок. Рассмотрение указанной задачи на графах, в свою очередь, привело к концепции временн´ого графа, ребра которого, в отличие от пространственной сети, отождествляются с промежутками времени, а каждая внутренняя вершина понимается как точка разветвления процесса, дающая несколько различных сценариев дальнейшего его протекания. В [3-5, 12] показано, что на временны´х графах также могут возникать условия Кирхгофа. А именно, им будет удовлетворять траектория течения процесса, являющаяся оптимальной с учетом сразу всех сценариев. Кроме того, в [5, 12] была предложена стохастическая интерпретация системы управления на временн´ом дереве. В частности, к системе на дереве приведет замена коэффициентов в уравнении на интервале дискретными случайными процессами с дискретным временем. В работах [18, 19] на графы была перенесена задача об успокоении системы управления, описываемой так называемым уравнением пантографа [16]. В данном случае запаздывание не постоянно, а является пропорциональным времени сжатием. Рассматривалась система управления, задаваемая классическим уравнением пантографа , (1.1) где b,c ∈ R, q > 1. Уравнение вида (1.1) широко применяется в прикладных задачах. Так, например, это уравнение используется при моделировании динамики контактного провода электроснабжения подвижного состава [22]. Для q ∈ (0,1) оно возникает в астрофизике при описании поглощения света межзвездной материей [2], а также в биологии при моделировании процесса роста клеток [13]. В данной работе мы переходим к рассмотрению системы управления для обобщенного уравнения пантографа , (1.2) где a,b,c ∈ R, q > 1. Уравнение вида (1.2) изучалось в [14, 15] и ряде других работ. Были получены различные представления решения и показано, что разрешимость задачи (1.2) зависит от коэффициента a и от класса гладкости решений. В частности, при, существует единственное решение в C∞[0,+∞); при этом в зависимости от значения a могут существовать и другие C1-решения, не принадлежащие C∞[0,+∞). На интервале задача об успокоении системы управления для обобщенного уравнения пантографа была рассмотрена Л.Е. Россовским в работе [8], где исследовалась следующая система управления нейтрального типа: , (1.3) (1.4) где a,b,c ∈ R, q > 1, а u(t) - управляющее воздействие, которое является вещественнозначной функцией; состояние системы в начальный момент времени задается условием (1.4). Задача управления формулируется следующим образом: требуется найти u(t), приводящее систему (1.3), (1.4) в равновесие y(t) = 0 при t T для некоторого T > 0. Для этого достаточно найти u(t) ∈ L2(0,T), приводящее систему в состояние (1.5) а затем сбросить управление, положив u(t) ≡ 0 при t > T. При этом из всех возможных управлений ищется управление, обладающее минимальной энергией . В результате получается вариационная задача о минимизации квадратичного функционала (1.6) на множестве функций y (t) ∈ W21[0,T], удовлетворяющих краевым условиям (1.4), (1.5). Исследование вариационной задачи (1.4)-(1.6) включает сведение ее к эквивалентной краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с растяжением и сжатием аргумента. В частности, установлено, что если функция y (t) ∈ W21[0,T], удовлетворяющая условиям (1.4), (1.5), минимизирует функционал (1.6), то она является решением краевой задачи для уравнения при краевых условиях (1.4) и (1.5). При этом, поскольку задача (1.4), (1.5), (1.7) может не иметь решения в, ее решение является обобщенным в смысле выполнения условия . Обратное утверждение также верно: если y (t) ∈ W21[0,T] является обобщенным решением задачи (1.4), (1.5), (1.7), то y доставляет минимум функционалу (1.6). Следующая теорема при предположении, обеспечивающем коэрцитивность функционала J(y), устанавливает существование и единственность обобщенного решения краевой задачи (1.4), (1.5), (1.7) и, стало быть, однозначную разрешимость вариационной задачи (1.4)-(1.6). Теорема 1.1 (см. [8]). Пусть . Тогда задача (1.4), (1.5), (1.7), имеет единственное обобщенное решение y ∈ W21[0,T]. В следующем разделе дается постановка вариационной задачи на графе-звезде. Далее, в третьем разделе, следуя общей стратегии для интервала, устанавливается эквивалентность вариационной задачи некоторой краевой задаче для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка на графе. В заключительном разделе доказывается однозначная разрешимость обеих задач. 2. Постановка вариационной задачи на графе-звезде Рассмотрим изображенный на рис. 1 граф типа звезды Γm, состоящий из m ребер. Как обычно, под функцией y на графе Γm будем понимать кортеж y = [y1,...,ym], в котором компонента yj определена на ребре ej, т. е. yj = yj (t), t ∈ [0,Tj]. Пусть до момента времени t = T1 > 0, ассоциированного с единственной внутренней вершиной v1 графа Γm, наша система управления с запаздыванием, пропорциональным времени, на Γm описывается уравнением , (2.1) заданным на ребре e1 графа Γm, с начальным условием y1(0) = y0. (2.2) При t = T1, т. е. в вершине v1, система разветвляется на m - 1 независимых параллельных процессов, описываемых уравнениями , (2.3) но имеющих общую историю, определяемую уравнением (2.1) с начальным условием (2.2) и условиями - (2.4) а также условиями непрерывности в вершине v1, которые в данном случае согласуются с (2.4) при t → -0: (2.5) Как и в случае интервала, мы предполагаем, что q > 1, y0 ∈ R и все aj, bj, cj ∈ R. Рис. 1. Граф Γm Fig. 1. Graph Γm В (2.3) j-ое уравнение задано на ребре ej графа Γm, представляющем собой, вообще говоря, бесконечный луч, выходящий из вершины v1. Условия (2.4) означают, что запаздывание распространяется через вершину v1. Пример 2.1. Пусть m = 2, a := a1 = a2, b := b1 = b2, c := c1 = c2, и , , Тогда система управления (2.1)-(2.5) принимает вид (1.3), (1.4). Предположим для определенности, что Tj > (q - 1)T1 при всех Для успокоения системы (2.1)-(2.5) сразу при всех сценариях нужно привести ее в состояние (2.6) выбрав подходящие управления Тогда, положив uj (t) ≡ 0 при будем иметь yj(t) = 0 при тех же t и j. Другими словами, система будет приведена в равновесие на каждом ребре, выходящем из вершины v1. Поскольку такие uj (t) не единственны, будем искать их, минимизируя усилия. Кроме того, аналогично тому, как это было сделано в [12] для случая постоянного запаздывания, мы можем регулировать степень участия каждого в соответствующем функционале энергии, выбирая определенный положительный вес αj. Таким образом, приходим к вариационной задаче (2.7) при условиях (2.2), (2.4)-(2.6), где фиксированы. Для выбора весов можно применить вероятностный подход в соответствии с интерпретацией системы управления на временн´ом графе, предложенной в [12]. А именно, для этого нужно положить α1 = 1, а в качестве взять вероятности сценариев, задаваемых соответствующими уравнениями в (2.3). Тогда α2 + ... + αm = 1. Последнее тождество также обеспечивает соответствие случаю интервала, если уравнения в (2.3) не зависят от j, т. е. являются искусственными копиями единственного возможного сценария (см. [12, пример 2]). Заметим, что условия (2.4) никаких ограничений на функцию y = [y1,...,ym] не накладывают. Поэтому условимся, что взятие J (y), равно как и при от какой бы то ни было функции y на Γm автоматически подразумевает применение условий (2.4). Для краткости также введем обозначение. 3. Сведение к краевой задаче Рассмотрим вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением где - скалярное произведение в - скалярное произведение в . Обозначим через W замкнутое подпространство W2 (Γm), состоящее из всех наборов [y1,...,ym], удовлетворяющих условиями (2.5), (2.6) и y1 (0) = 0. m Также введем пространство . Лемма 3.1. Если y ∈ W21 (Γm) является решением вариационной задачи (2.2), (2.4)-(2.7), то . (3.1) Обратно, если для некоторого y ∈ W21 (Γm) выполняется (2.2), (2.5), (2.6) и (3.1), то y является решением задачи (2.2), (2.4)-(2.7). Доказательство. Пусть y ∈ W21 (Γm) - решение задачи (2.2), (2.4)-(2.7). Тогда для произвольной фиксированной функции w ∈ W сумма y + sw принадлежит W21 (Γm) при любом s ∈ R и удовлетворяет условиям (2.2), (2.5), (2.6). Нетрудно видеть, что J (y + sw) = J (y) + 2sB (y,w) + s2J (w). Так как для всех s ∈ R, то выполняется (3.1). Обратно, пусть y ∈ W21 (Γm) удовлетворяет условиям (2.2), (2.5) и (2.6). Тогда (3.1) влечет . Таким образом, y доставляет минимум функционалу (2.7) при условиях (2.2), (2.5) и (2.6). Преобразуем (3.1), сделав замену переменных в членах, содержащих и . В результате выражение для B (y,w) примет вид . Применяя (2.4) к w = [w1,...,wm] ∈ W, можно представить Тогда перепишем (3.1) в эквивалентном виде где (3.3) при ν ∈ {0,1} и Обозначим через B краевую задачу для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка (3.4) при условиях (2.2), (2.4)-(2.6) и условии типа Кирхгофа , (3.5) где, определены в (3.3), а выражения имеют вид (3.6) тогда как (3.7) Определение 3.1. назовем обобщенным решением краевой задачи B, если а функции удовлетворяют уравнениям (3.4) и условиям (2.2), (2.4)-(2.6), (3.5). Имеет место следующее утверждение. Лемма 3.2. Если y ∈ W21 (Γm) удовлетворяет условиям (2.2), (2.5), (2.6) и (3.1), то y является обобщенным решением краевой задачи B. Обратно, любое обобщенное решение краевой задачи B подчиняется условию (3.1). Доказательство. Пусть y ∈ W21 (Γm) и удовлетворяет условиям (2.2), (2.5), (2.6) и (3.1). Учитывая, что (3.1) эквивалентно (3.2) и применяя лемму 2 из [12] к (3.2) вместе с (3.7), получаем, что и выполняется (3.5). Кроме того, интегрируя по частям в (3.2) и используя (2.5), (2.6), будем иметь . (3.8) В силу (3.5), а также произвольности wj, из (3.8) получаем (3.4). Обратно, пусть y - обобщенное решение задачи B. Тогда левое равенство в (3.8) дает (3.1). Объединив леммы 3.1 и 3.2, получаем следующий результат. Теорема 3.1. Функция y ∈ W21 (Γm) является решением вариационной задачи (2.2), (2.4)- (2.7) тогда и только тогда, когда y является обобщенным решением краевой задачи B. 4. Однозначная разрешимость В данном разделе устанавливается однозначная разрешимость краевой задачи B, а согласно теореме 3.1 -и вариационной задачи (2.2), (2.4)-(2.7). Введем обозначения где автоматически предполагается (2.4). Лемма 4.1. Существуют C0 и C1 такие, что , . (4.3) Доказательство. Пусть w ∈ W. Используя (4.1), (4.2) и неравенство , (4.4) для n = 2, получаем , . Учитывая (2.4) применительно к w, для ν = 0,1 вычисляем В частности, это дает вторую оценку в (4.3). Наконец, аналогично лемме 5 в [12] нетрудно показать, что порождает норму в W, эквивалентную норме . Таким образом, используя оценку , получаем первое неравенство в (4.3). Лемма 4.2. Пусть. Тогда существует C2 > 0 такое, что . (4.5) Доказательство. Предположим от противного, что найдутся при s ∈ N, такие что и . (4.6) Используя первое выражение в (4.1) и (4.6), для всех s ∈ N получаем . (4.7) Применим неравенство Коши-Буняковского к среднему интегралу: . Подставляя эту оценку в (4.7), имеем . (4.8) С другой стороны, согласно (4.1), для всех таких что, почти всюду на (0,Tj) справедливы оценки . (4.9) Используя (4.1), (4.4), (4.6) и (4.9), при всех получаем оценки если aj = 0, , если, где. Учитывая, что из полученных неравенств следует при s → ∞ для Более того, если , то для таких j дополнительно имеем при s → ∞. Последнее, вместе с тождествами и оценками (4.8), позволяет заключить, что при s → ∞. В итоге имеем при s → ∞, где . Поскольку порождает норму в W, эквивалентную норме , то и при s → ∞. Последнее противоречит . Лемма 4.3. Пусть. Тогда существует C3 > 0 такое, что . Доказательство. Снова предположим от противного, что найдутся w(s) ∈ W, s ∈ N, такие, что , но теперь . (4.10) Из неравенства , совместно с оценками (4.3) и (4.5) получаем . (4.11) В силу компактности вложения W21 (Γm) в L2 (Γm) найдется подпоследовательность {w(nk)}k∈N, фундаментальная в L2 (Γm). Тогда неравенство (4.11) дает . Кроме того, используя (4.4) при n = 2 и (4.10), имеем . Таким образом, последовательность {w(sk)}k∈N является фундаментальной в W и сходится к некоторой функции w(0) ∈ W. В силу леммы 4.1 сходимость w(sk) к w(0) в W влечет сходимость . Следовательно, в силу (4.10) будем иметь , т. е. w(0) ∈ W удовлетворяет уравнениям Если для некоторого выполняется aj = cj = 0, то уравнение для w(0),j сводится к обычному дифференциальному уравнению, решение которого, с учетом принадлежности w(0) классу W, дает w(0),j(t) = 0 при 0 < t < Tj. Рассмотрим при которых . Поскольку при соответствующие уравнения на интервале принимают вид или Отсюда с учетом следует, что при . Продолжая дальше влево аналогичным образом, получаем w(0),j(t) = 0 Учитывая, что w(0),j(t) = w(0),1(t+T1) при (q-1 -1)T1 < t < 0, из чего следует w(0),1(t) = 0 для q-1T1 < t < T1, аналогичными рассуждениями можем получить w(0),1(t) = 0 для 0 < t < T1. В итоге имеем w(0)(t) = 0, что противоречит . Следующая теорема является основным результатом данного раздела. Теорема 4.1. Пусть . Тогда краевая задача B имеет единственное обобщенное решение y ∈ W21 (Γm). Кроме того, существует C такое, что . (4.12) Доказательство. Рассмотрим функцию Φ = [Φ1,...,Φm] ∈ W21 (Γm) такую, что В силу леммы 3.2, для того чтобы функция y ∈ W21 (Γm), удовлетворяющая условиям (2.2), (2.5), (2.6), была решением краевой задачи B, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (3.1). Другими словами, y является решением краевой задачи B, если и только если x := y - Φ ∈ W и B (Φ,w) + B (x,w) = 0 ∀w ∈ W. (4.13) Так как B (w,w) = J (w), то в силу леммы 4.3 билинейная форма (·,·) := B (·,·) является W скалярным произведением в W. Кроме того, справедлива оценка , (4.14) где. Таким образом, по теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве существует единственная функция x ∈ W такая, что выполняется (4.13). Следовательно, краевая задача B имеет единственное решение y = Φ + x. Кроме того, согласно (4.13) и (4.14) имеем , что позволяет получить оценку (4.12). Замечание 4.1. Утверждение теоремы 4.1 может быть дополнено следующим результатом из [18]. А именно: в случае, когда система (2.1)-(2.5) имеет запаздывающий тип (т. е. для всех), краевая задача B имеет единственное решение; при этом y ∈ W21(Γm) ∩ W22(Γm) и также справедлива априорная оценка (4.12).

About the authors

A. P. Lednov

Saratov National Research State University named after N.G. Chernyshevsky; Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics; Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: lednovalexsandr@gmail.com
ORCID iD: 0009-0002-7088-8693
Saratov, Russia; Moscow, Russia

References

Supplementary files