A mathematical theoryof the accelerated expansion of the Universe based on the principle of least action

Full Text

1. Введение Общая теория относительности (ОТО) является привлекательной и красивейшей физикоматематической теорией [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65], но новейшее её развитие, связанное с ускоренным расширением Вселенной, поставило новые вопросы как перед физиками, так и перед математиками. Ставки оказались очень высоки: хорошо подтверждённый эксперимент с Нобелевской премией 2011 года показывал ускоренное расширение Вселенной, что противоречило закону всемирного тяготения. Чтобы хоть как-то объяснить это, были предприняты буквально героические усилия: лямбда-член, обеспечивающий слабое отталкивание на коротких расстояниях и основной вклад на далёких. Вводили тёмную энергию, новые поля и новые частицы. Этот вызов всей теоретической физике и математике потребовал пересмотра космологической части ОТО. Мы следуем схеме Милна-МакКри, выводя их результаты, обосновывая и обобщая их с помощью уравнения Власова-Пуассона и перенося на релятивистский случай. © В.В. Веденяпин, Я.Г. Батищева, М.В. Горюнова, А.А. Руссков, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 562 Обзор построен следующим образом. В разделе 2 и 3 даём схему вывода уравнений типа Власова на примере релятивистской гравитации и электродинамики, выводя уравнения Власова- Максвелла-Эйнштейна из принципа наименьшего действия. В разделе 4 предлагается общематематическая конструкция: переход от кинетического описания к гидродинамическому и в смысле Гамильтона-Якоби. В разделе 5 эти идеи разделов 2, 3, 4 применяются к получению космологических решений в нерелятивистском случае, обобщая и проясняя схему Милна-МакКри. Наконец, в разделе 6 перенесение метода Милна-МакКри на релятивистский случай с примерами в разделах 7, 8, 9, 10 показывает принципиальную возможность объяснения ускоренного расширения Вселенной, являясь триумфом ОТО и её подтверждением. 2. Действие в Общей теории относительности и уравнения для полей Пусть f(t,x,v,m,e) - функция распределения частиц по пространству x ∈ R3, по скоростям v ∈ R3, массам и заряду e ∈ R в момент времени t ∈ R. Это означает, что число частиц в объёме dxdvdmde равно f(t,x,v,m,e)dxdvdmde. Отметим, что в теории вероятностей для этой величины используется термин плотности распределения, а мы пользуемся терминологией, устоявшейся в кинетической теории и статистической физике. Рассмотрим действие: где c - скорость света. Здесь u - это четырёхмерная скорость, нулевая компонента которой - это скорость света u0 = c, а три другие совпадают с трёхмерной, как это принято в теории относительности [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]: ui = vi (i = 1,2,3) - трёхмерная скорость, x0 = ct и xi (латинские индексы i = 1,2,3) - координаты, gμν(x,t) - метрика (греческие индексы μ,ν = 0,[1],2,3), Aμ(x,t) - 4-потенциал электромагнитного поля, - электромагнитные поля, R -полная кривизна, Λ - лямбда-член Эйнштейна (или просто лямбда) - знаменитая лямбда Эйнштейна - константы [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65], g - определитель метрики gμν, γ -постоянная тяготения. По повторяющимся индексам, как обычно, идёт суммирование. В действии (2.1) интегрирование ведётся, как обычно, по всей области изменения параметров, т. е. по пространству x ∈ R3, по скоростям v ∈ R3, массам, зарядам e ∈ R и времени t ∈ R. Варьирование ведётся обычным способом [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]. Вид действия (2.1) удобен для получения уравнений Эйнштейна и Максвелла при варьировании по полям gμν и Aμ. Такой способ вывода уравнений Власова-Максвелла и Власова- Эйнштейна из действия (2.1) использовался в работах [3, 9, 10, 12, 59, 61]. При варьировании (2.1) по gμν получим уравнение Эйнштейна: Первое слагаемое правой части этого уравнения и является по определению тензором энергииимпульса материи (оно выведено впервые в таком виде, видимо, в работах [3, 9, 12, 61]), второе - электромагнитная составляющая тензора энергии-импульса (известно [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]). Попытки выписать тензор энергии-импульса через функцию распределения предпринимались, насколько нам известно, только в релятивистской кинетической теории для уравнения Власова- Эйнштейна [3, 9, 10, 12, 16, 23, 33, 34, 37, 38, 50, 53, 59, 61]. Уравнение электромагнитных полей получается варьированием (2.1) по Aμ и называется системой уравнений Максвелла: (2.3) Мы получили из действия (2.1) уравнения для полей (2.2), (2.3). Чтобы получить замкнутые уравнения, нужно выписать уравнение на функцию распределения, которая появилась в уравнениях (2.2), (2.3) из действия (2.1). Для этого нужно вывести уравнения движения частицы в заданных полях. Соответствующее действие хорошо известно [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]. Отметим, что это действие для частиц можно получить, подставив в первых двух слагаемых действия (2.1) функцию распределения в виде δ-функции: . (2.4) Получаем, опуская штрихи, стандартное действие для частиц [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]: (2.5) При такой подстановке подразумевается, что трёхмерная скорость входит в четырёхмерную u, как и раньше, формулой u = (c,v1,v2,v3), где c - скорость света. Кроме того, предполагается, dx что трёхмерная скорость есть производная координаты по времени v = , поэтому в левой dt части (2.5) стоит только эта координата, по которой и нужно варьировать, как положено, по Лагранжу. Обычное варьирование приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа, а потом к уравнениям для функции распределения. 3. Уравнения движения частиц в заданных полях, уравнение Лиувилля и уравнение Власова-Максвелла-Эйнштейна Воспользуемся инвариантностью первых двух слагаемых уравнения (2.5) относительно замены t = φ(λ). Здесь λ - произвольный параметр. Такая инвариантность хорошо известна [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65], но представляется загадкой (и подарком) природы: самые фундаментальные взаимодействия - гравитационные и электромагнитные - обладают этим свойством, будучи описываемыми лагранжианами (2.5) первой степени по скоростям. Перепишем с помощью этой замены действие частиц (2.5): (3.1) и, варьируя по x(λ), получаем уравнение Эйлера-Лагранжа: . (3.2) Уравнение (3.2) перепишем, обозначив через интеграл движения: , (3.3) здесь Γμνη - символ Кристоффеля: . Уравнение (3.3) отличается от приведённых в руководствах [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65] наличием √I в правой части: в этих руководствах дифференцирование идёт по собственному времени ds = dλ√I. Это неудобно, так как для каждой частицы это собственное время индивидуально. Далее будет использована формула (3.3), которая обладает симметрией при замене x -→ αx, λ -→ αλ, что и позволяет понизить её порядок. Для этого перепишем уравнение (3.3) в виде (3.4) . Избавляемся от λ, поделив остальные уравнения на первое из уравнений системы (3.4). Так как x0 = ct пропорционально времени, обозначим - четырёхмерная скорость, dw0 где u0 = c. При этом из-за симметрии, описанной выше, можно избавиться от уравнения и dt написать уравнения по xi, ui (i = 1,2,3). Такое понижение порядка описано для гравитации в книгах Фока [28, 41] и Вайнберга [2, 65]. Там этот переход в уравнениях приведён для гравитации, где уравнения не отличаются для параметра λ и собственного времени s. Однако если добавляется электромагнетизм, то отличие заключается как раз в появлении корня в правой части (3.3), который обеспечивает необходимую симметрию: вторую степень по скоростям в правой части второго уравнения (3.4). Это понижение переходом к собственному времени нам необходимо, так как наша цель - получить уравнение на функцию распределения f(t,x,v,m,e). Тогда (3.5) , где через Gi обозначено следующее выражение: , J = gνξuνuξ, u = (c,v), v = (v1,v2,v3) - трёхмерная скорость. Мы получили уравнения движения заряженных частиц в электромагнитных и гравитационных полях в релятивистской форме из принципа наименьшего действия. В заключение выпишем уравнение Лиувилля для функции распределения f(t,x,v,m,e) и системы (3.5): . (3.6) Уравнения (3.6), (2.2) и (2.3) образуют систему уравнений Власова-Максвелла-Эйнштейна. Это замкнутая система уравнений релятивистской электродинамики и гравитации. Общий смысл уравнений типа Власова именно таков: они позволяют замкнуть систему электродинамики (уравнение Власова-Максвелла) и гравитации (уравнение Власова-Эйнштейна) и вывести их из принципа наименьшего действия. 4. Общий переход к гидродинамике Общий переход рассмотрен в [9, 10, 59]. Рассмотрим произвольную систему нелинейных обыкdx новенных дифференциальных уравнений:. Перепишем её в виде x = (q,p), q ∈ Rm, p ∈ Rn-m: dq dp = w(q,p), = g(q,p) dt dt Выпишем уравнение Лиувилля для функции распределения f(t,q,p): . Выполним гидродинамическую подстановку f(t,q,p) = ρ(q,t)δ(p - Q(q,t)). (4.1) Получаем: ∂f ∂ρ(q,t) - - ∂δ(p - Q(q,t)) ∂Qi(q,t) = δ(p Q(q,t)) ρ(q,t), ∂t ∂t ∂pi ∂t ∂(wi(q,p)f) ∂(wi(q,Q)ρ(q,t)) - - ∂δ(p - Q(q,t)) ∂Qk(q,t) ∂qi = ∂qi δ(p Q(q,t)) ρ(q,t)wi(q,Q(q,t)) ∂pk ∂qi , ∂gj(q,p)f ∂δ(p - Q(q,t)) = ρ(q,t)gj(q,Q(q,t)) . ∂pj ∂pj При дифференцировании мы воспользовались правилами дифференцирования обобщённых функций [15]. Собирая множители при дельта-функции и её производных, получаем систему уравнений: (4.2) . Гидродинамическая подстановка была изобретена в рамках уравнений Власова [16], а для произвольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений введена в [9, 10, 59]. Для гамильтоновых систем из неё получается уравнение Гамильтона-Якоби естественным способом: проходит подстановка для скоростей в виде градиента функции, которая оказывается действием [3, 12, 19, 20, 23, 48, 61]. А именно, уравнение Лиувилля в гамильтоновом случае имеет вид: . Гидродинамическая подстановка (4.1) даёт систему (4.2), где . Полагая Q(t,x) = ∇W(t,x), получаем уравнения неразрывности и Гамильтона- Якоби ⎧ ∂ρ ⎪⎨ ∂t + div(ρ∇W) = 0, ∂W ⎪⎩ ∂t + H(∇W,x) = 0. Уравнения (4.2) были названы В.В. Козловым в гамильтоновом случае уравнениями Лэмба [19, 20], из них и были получены уравнения Гамильтона-Якоби Маделунгом [48] в частном случае нерелятивистского гамильтониана и В.В. Козловым [19, 20] в общем случае гамильтоновых систем. Общая подстановка (4.1) с разными размерностями и отождествление системы (4.2) с уравнениями с одинаковой главной частью в терминах Куранта [39] - видимо, недавняя история [3, 12, 61]. Подстановка (4.1) и уравнения (4.2) имеют яркий геометрический смысл: это движение m-мерных поверхностей в n-мерном пространстве в силу исходной динамической системы в эйлеровых координатах. Так механика помогает геометрии, проясняется и общая теория УрЧП: полностью описан класс уравнений, где работает метод характеристик - это уравнения с одинаковой главной частью. Получен и простейший вывод уравнений Гамильтона-Якоби, который мы используем для прояснения и обоснования метода Милна-МакКри в разделе 5 в нерелятивистском случае, а в релятивистском случае в разделе 6. Это позволит обосновать ускоренное расширение Вселенной. 5. Уравнение Власова-Пуассона, космологические решения и нерелятивистская гидродинамика с лямбда-членом Воспроизведём простейшее нерелятивистское космологическое решение Милна-МакКри с добавкой лямбда-члена в форме уравнения Власова-Пуассона. Нерелятивистский случай для тяготения соответствует действию [22, 47] (5.1) Варьируя по U, получаем уравнения Пуассона с лямбда-членом: (5.2) Мы видим, что для получения замкнутой системы уравнений нужно получить уравнение для функции распределения, появившейся в уравнении Пуассона (5.2). Действие для одной частицы получается из первого слагаемого в (5.1) при выборе f(t,x,v,m,e) = δ(m - M)δ(x - y. Этa формальная подстановка - правило для получения правильных лагранжианов из действия (5.1), работает для вывода любых систем типа Власова, и мы широко пользовались этим [3, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 57-63] и будем пользоваться в дальнейшем. Получаем стандартное действие: Варьируем, как обычно в механике, и получаем уравнение Ньютона: y - ∂U = 0. ∂y Переходим к уравнению Лиувилля для соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений: , и тогда получаем уравнение на функцию распределения, дополняя уравнение (5.2): . (5.3) Система (5.2), (5.3) и есть система уравнений Власова-Пуассона для гравитации с лямбдачленом, который и призван описать ускоренное расширение. Мы провели подробный вывод уравнения Власова-Пуассона в простейшем случае, который иллюстрирует правильность вывода уравнений типа Власова и в более сложных релятивистских и слаборелятивистских случаях. Этот способ вывода уравнений типа Власова отрабатывался в статьях [3, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 57-63] и является пока единственным способом получать в замкнутой форме уравнения электродинамики и гравитации из принципа наименьшего действия. По сути он следует всем учебникам по теории поля (см., например, [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]), где вводятся два действия: для полей и для частиц. Наша небольшая добавка с уравнениями типа Власова [9, 10, 59] связала эти два действия подстановкой дельта-функции в одну сторону и переходом к интегрированию с помощью функции распределения в обратную. Этот переход аналогичен связи лагранжевых и эйлеровых координат в кинетической теории. Это позволило заодно получать правые части в уравнениях для полей (тензор энергии-импульса в уравнениях Эйнштейна). Это поставило на математическую платформу ОТО, упрощая её и давая замкнутую систему уравнений из принципа наименьшего действия (2.1), (2.3). Это упростило и сделало математически строгой и всю гравитацию и электродинамику именно с помощью уравнения Власова. Правильность такой схемы вывода уравнений типа Власова была сначала проверена на уравнениях Власова-Пуассона и уравнениях Власова-Максвелла, где ответ был известен, хотя правые части уравнений для полей не были выведены, и только после этого схема вывода была перенесена на уравнение Власова-Эйнштейна. Это важно, потому что как зарубежные так, и наши исследователи брали тензор энергии-импульса необоснованно, что приводило к заведомо неправильным уравнениям для полей. Более того, сравнение релятивистских действий с нерелятивистскими и слаборелятивистскими позволило твёрдо установить все коэффициенты действия (2.1), а потому и уравнения для полей. Дальнейшая наша цель - получение космологических решений, и сейчас мы выведем уравнения Милна-МакКри [49] из уравнения Власова. Система (5.2), (5.3) имеет точное гидродинамическое следствие, т. к. допускается (согласно более общей теории раздела 4) гидродинамический вид функции распределения как точное следствие (5.2), (5.3). Пусть f(t,x,v,m) = ρ(t,x,m)δ(v - w(t,x,m)). Тогда , Это означает, что если ρ(t,x,m), w(t,x,m) и U(t,x) удовлетворяют этой системе уравнений, то f(t,x,v,m) = ρ(t,x,m)δ(v -w(t,x,m)) и U(t,x) удовлетворяют системе уравнений Власова- Пуассона (5.2), (5.3). ∂W Пусть wk(t,x,m) = ∂xk . Такая подстановка проходит, также согласно общей теории из раздела 3, и получается точное следствие Гамильтона-Якоби системы Власова-Пуассона (5.2), (5.3) с лямбда-членом: (5.4) Эта система уравнений обобщает систему Милна-МакКри [49], где она приведена сразу в изотропном случае с функциями, зависящими только от радиуса, но и c зависимостью плотности и константы Хаббла от массы. Мы вывели эту систему из системы Власова-Пуассона, которую мы получили из принципа наименьшего действия: таким образом, мы обосновали и обобщили систему Милна-МакКри [49], которая признанным образом даёт космологические решения в нерелятивистском случае. Этим мы подготовили почву для перехода к релятивизму ОТО. Отметим, что если W есть функция только радиуса, то скорость даёт как раз обобщенный разлёт Хаббла:. Скорость разбегания называется постоянной Хаббла. Обратное тоже верно: любой разлёт по Хабблу, если скорость пропорциональна расстоянию, означает, что скорость есть градиент некоторой функции. Этим космологическое расширение связывается с гидродинамическим и даже следствием Гамильтона-Якоби уравнения Власова-Пуассона. В космологических решениях плотность не зависит от пространственной координаты. Тогда в первом уравнении неразрывности переменные разделяются, и из него получаем , а также . Мы покажем ниже, что совпадает с постоянной Хаббла. Из третьего уравнения имеем уравнение: Решая два последних уравнения в случае, когда U и W зависят только от радиуса, имеем . Мы видим, дифференцируя, т. е. что это действительно постоянная Хаббла. Здесь A(m,t), B(m,t), C(t), D(t) -произвольные функции. Получаем, подставляя эти выражения во второе уравнение системы (5.4): Приравнивая коэффициенты при степенях радиуса (как это делали Милн и МакКри [49]), получаем. Получаем систему уравнений (5.5) . Так как скорость разбегания имеем: 1) условие расширения Вселенной: 0; 2) условие ускоренного расширения: , т. е.. Из второго условия видим определяющую роль лямбды для ускоренного расширения. Мы также видим: так как ρ(m,t) обязано, вообще говоря, зависеть от массы, то и «постоянная» Хаббла H(m,t), вообще говоря, зависит от массы. Мы получили систему уравнений (5.5), которая в принципе объясняет как изменение постоянной Хаббла, так и её «напряжения» («Constant Hubble Tension» [36]) именно зависимостью от времени и от массы: уравнения (5.5) можно считать точным уравнением константы Хаббла с лямбда-членом в не релятивистском случае. Если, однако, H не зависит от массы (что второе из уравнений (5.5) допускает, как это и предполагали Милн и МакКри в [49]), мы можем свести систему (5.5) к системе двух обыкновенных уравнений. Обозначим и получим: (5.6) . Первое из уравнений (5.6) есть в точности уравнение (2.4) Милна-МакКри [49], а второе из уравнений (5.6) - это их уравнение (3.2) (с лямбда-членом), но полученное без всяких предположений из принципа наименьшего действия как его точное следствие. Система (5.6) решается точно (делением и исключением времени оно сводится к уравнению Бернулли), но нам достаточно и фазового портрета, который исследовался в [61, 63]. Условия ускоренного расширения - это узкая область под параболой. Система (5.5) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и в более общем случае, когда H(m,t) кусочно-постоянна на конечном числе интервалов Ii. Пусть значение H(m,t) на этом интервале равно H(i,t), i = 1...r. Обозначая получаем систему 2r обыкновенных дифференциальных уравнений . В литературе широко обсуждается напряжение константы Хаббла («Constant Hubble Tension», см. [36]), оно выражает несоответствие постоянной Хаббла наблюдениям и вопросам, от чего она вообще может зависеть. Получение точного решения следствия действия (2.1) для постоянной Хаббла в принципе может убрать это несоответствие. Наша цель -аналог теории Милна- МакКри для динамики в релятивистском случае: этот метод приведёт к построению космологических решений и объяснит ускоренное расширение Вселенной без введения лямбды и тёмной энергии. 6. Общая теория космологических решений: вместо тёмной энергии и лямбда-члена ясная классическая математика и простая гамильтонова механика Перенесём теорию Милна-МакКри из предыдущего раздела на случай общего гамильтониана H(p,x). Выпишем уравнение Лиувилля: . Сделаем гидродинамическую подстановку сразу в градиентной форме f(t,x,p) = ρ(t,x)δ(v - ∇W(t,x)). Отметим, что именно в такой форме её отметил В.П. Маслов (см. [23, с. 29]). Получаем при этом уравнения неразрывности и Гамильтона-Якоби . Если плотность не зависит от времени (общепринятое космологическое предположение), то переменные в уравнении неразрывности разделяются, и появляется постоянная Хаббла: , Последние два уравнения - обобщенная система Гурса. Для них можно выписать условия совместности: . Пусть гамильтониан H(p,x) зависит от этих аргументов через изотропные переменные p2 и (p,x): H(p,x) = H((p,x),p2) (это инвариантность относительно вращений). Тогда при подстановке Гамильтона-Якоби гамильтониан приобретает вид H(p,x) = H((p,x),p2) = H(rWr,Wr2). Скорости имеют вид . Это хаббловское расширение. Вывод: это - весьма общий и при этом общематематический факт, который справедлив даже без «космологического» предположения об однородности пространства (когда плотность не зависит от пространственной переменной): тогда константа Хаббла тоже зависит от пространственной координаты и имеет явный вид . Это обобщение может быть полезно, так как иногда наблюдают константу Хаббла, зависящую от радиуса. 1. Уравнение неразрывности принимает вид или . 2. В космологическом случае, когда плотность ρ = ρ(m,t) не зависит от пространственной координаты, переменные разделяются, и появляется «постоянная» интегрирования h(t), которая называется постоянной Хаббла и совпадает с появившейся выше: , 3. Уравнение имеет общее решение . 4. В космологических моделях «постоянную» A(t) можно положить равной нулю, исключая особенность в нуле. При этом, подставляя это выражение для скоростей из раздела 3, получаем vi = h(t)xi, что полностью соответствует общепризнанному представлению о «постоянной Хаббла» h: чем дальше галактика, тем быстрее она убегает. Мы видим, что такое разбегание - общематематический факт из гамильтоновой динамики инвариантных гамильтонианов. 5. Решая уравнение разделов 5, 6 относительно Wr, получаем Wr = F(hr), где F - ∂H это функция, обратная к (теорема об обратной функции). ∂Wr 6. Получаем следующую систему уравнений (задача Гурса): . 7. Переписывая все уравнения вместе, получаем следующую систему уравнений: ⎧ ∂ρ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ∂W∂t + 3=ρhF(hr= 0),, (6.1) ∂r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ∂W∂t + H(rF(hr),F(hr)2) = 0. 8. Выпишем условие совместности последних двух уравнений (это обычный ход в системеГурса). Это условие совместности имеет вид ∂2W ∂2W = , . ∂r∂t ∂t∂r Мы должны применить эти выкладки в случае ОТО для изотропной метрики . Нам потребуется и обратная матрица: частицы в импульсах описываются метрикой с верхними индексами, а поля - нижними: . Здесь . Как известно в ОТО, гамильтониан вычисляется по массовому соотношению gαβpαpβ = (mc)2 по формуле -H(x,p) = cp0. Поэтому решим квадратное уравнение относительно p0: . Физический смысл имеет корень, взятый с минусом [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]: . Здесь использовано обозначение p2 = p21+p22+p23. Сделаем подстановку -H(x,p) = cp0 и выпишем уравнение Гамильтона-Якоби: . Получаем следующую систему уравнений для этого известного [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65] гамильтониана ОТО -частный случай системы (6.1): (6.2) , где-безразмерный радиус-вектор r. Эту систему уравнений следует дополнить уравнениями Эйнштейна для полей в изотропном случае, т. е. на метрические коэффициенты a,b,d,e. Но выведем следствия уравнений (6.2). Решаем среднее уравнение системы (6.2) относительно Wr, получаем . Подставляя это выражение в нижнее уравнение (Гамильтона-Якоби), получаем . ∂2W ∂2W Тогда, приравнивая вторые частные производные (условие совместности): = . Пере∂r∂t ∂t∂r пишем выражения в удобном виде:, Упростим T: T = e(cd - ah)r2 + ebc. (6.3) Здесь все компоненты метрики суть функции (r,t) радиус-вектора и времени, а постоянная Хаббла есть, вообще говоря, функция (m,t) времени и массы. Получаем уравнение 2ZQt - QZt = 2ZTr - TZr. (6.4) Это и есть общее соотношение на коэффициенты метрики в изотропном случае, которое дают космологические решения. Все три функции этого уравнения суть полиномы по r, если коэффициенты метрики - сами полиномы по r. Тогда можно приравнять коэффициенты при степенях r, что и будет обобщением метода Милна-МакКри. 7. Пример. Коэффициенты метрики -функции только времени Рассмотрим случай, когда коэффициенты метрики есть функции только от времени: Z = z4r4+ z2r2 + z0, T = t2r2 + t0, Q = q1r. Получаем три уравнения при пятой, третьей и первой степенях: , (7.1) Первое уравнение интегрируется: , (7.2) где I(m) - безразмерный интеграл, причём . Остальные коэффициенты в (7.1): Особый интерес представляет последнее из уравнений (7.1), т. к. оно содержит уравнение на постоянную Хаббла, имеющее вид . Отклонение от свободного движения (метрики Минковского и модели Фридмана) λ(a,b,d,e,h) должно дать ускоренное расширение в терминах метрики, если оно положительно. Для следующего примера метрики, обобщающей модель Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (ФЛРУ), . Итак, мы построили общую теорию движения материи в космологических решениях в изотропной метрике. Для окончания нужны ещё движения полей в заданной метрике по уравнениям Эйнштейна. Рассмотрение частных случаев представляет значительный интерес: мы свели задачу к исследованию знака λ(a,b,d,e,h). Это и есть общее соотношение на коэффициенты метрики в изотропном случае, которые дают космологические решения. Если коэффициенты метрики -полиномы по r, то все коэффициенты уравнения (3.3) тоже полиномы, и можно приравнять коэффициенты при степенях r, что и будет обобщением метода Милна-МакКри. В работе [4, 56] рассмотрен случай, когда метрика есть функция только от времени. Здесь ограничимся случаем, когда b(t) и d(t) - произвольные функции времени, но a = 0, e = 1. Отсылаем за подробностями в общем случае к работе [4, 56]. 8. Пример. Обобщённая модель Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (ФЛРУ) Найдём обратную матрицу, обозначая её соответствующие компоненты большими буквами, получим. Это обобщает случай ФЛРУ [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]. Мы видим, что если уравнения для полей описываются метрическим тензором с нижними индексами, которые входят в действие (2.1) (здесь это соответствует коэффициентам с большими буквами), то необходимые уравнения для материи - с метрикой с верхними индексами. Получим для движения материи уравнения (7.1) (см. [4, 56]): (8.1) , 9. Пример. Диагонализация ФЛРУ Приводя систему к диагональному виду относительно производных, получаем простую систему, эквивалентную системе (8.1) (см. [8]): d2c2 dt = 2, h ht = -(2dc2 + h2), (9.1) bt = -(2dc2)b. h Из первого и третьего уравнения следует, что -интеграл кривизны (b = -a2 в обычных обозначениях для модели Фридмана). Мы автоматически оказались в случае постоянной кривизны k-модели Фридмана. При ускоренном расширении вселенной из второго уравнения следует d ≺ 0. Так как b ≺ 0, имеем следствие k ≺ 0. Это пространство Лобачевского. Итак, мы получили, что знак кривизны определяется из эксперимента и точного следствия уравнений, получающихся из принципа наименьшего действия. Мы не только получили простое объяснение ускоренного расширения Вселенной на основе системы (3.5) без введения лямбды Эйнштейна, полей, темной энергии, но и впервые получили возможность надежно говорить о знаке кривизны на основе хорошо проверенного эксперимента об ускоренном расширении Вселенной. Удобно переписать систему (9.1), используя соотношение и обозначая b = -a2, где a - параметр Фридмана: ht + h2 = -2a2kc2, at = -kc2 a3 . (9.2) h В таком виде явно входит кривизна - откуда из первого уравнения хорошо видно, что кривизна должна быть отрицательна для ускоренного расширения Вселенной. Можно искать частное решение системы (9.1) в виде d = Ah2, откуда находим из условия совпадения двух первых уравнений (9.1). Это решение является сепаратрисой двух режимов: под этой параболой решения стартуют из начала координат, над ней решения начинаются вблизи вертикальной оси на плюс бесконечности и около. Уравнение на константу Хаббла принимает особенно простой вид ht = h2. Уход на бесконечность за конечное время. Тот же ответ получается и из уравнения (9.2), где подстановка уже должна выглядеть по-другому: a = Ah. Где живёт наша Вселенная? Представляет значительный интерес изучить этот вопрос, а также последовательно обобщать эти уравнения, добавляя оставшиеся коэффициенты и обобщая модель Фридмана, сравнивая его и эти обобщения с экспериментальными данными. Первые прикидки показывают хорошие результаты, устраняя проблему «Constant Hubble Tension» [36]. Подчеркнём, что (9.2) - это точное следствие уравнений Эйнштейна для космологического движения релятивистских частиц в заданных полях, поэтому (9.2) является триумфальным обоснованием ОТО и объяснением ускоренного расширения Вселенной одновременно. Уместно процитировать В.Л. Гинзбурга (его известный обзор 1999 года [17, 43]): «Эйнштейн счёл введение лямбда-члена “неудовлетворительным с теоретической точки зрения” и отбросил его. Паули, в примечании к своей известной книге, изданной по-английски в 1958 г., “целиком присоединился к точке зрения Эйнштейна”. Л.Д. Ландау даже слышать не хотел о лямбда-члене, но добиться от него причины такой позиции мне не удалось». Интуиция не подвела великих физиков, как видно из этой статьи. Дело в том, что (9.2) является одновременно продвижением и 21-й проблемы Гинзбурга (экспериментальное подтверждение ОТО: эксперимент здесь - как раз ускоренное расширение), и 23-й проблемы (космологическая проблема, лямбда-член). Можно сказать, глядя на первое из уравнений (9.2), что в качестве лямбда-члена выступает метрика, умноженная на кривизну и квадрат скорости света, а отрицательная кривизна обеспечивает отталкивание, как бы растягивая, расталкивая частицы: геодезические в пространствах отрицательной кривизны, как известно, разбегаются. Можно назвать (9.2)) геометрическим объяснением отталкивания и ускоренного расширения. Сразу возникают новые вопросы: как сопрячь ньютоново притяжение с геометрическим отталкиванием? Ясно, что здесь нужно расширять систему уравнений, включая уравнения для полей по аналогии с нерелятивистским решением Милна-МакКри. Ещё один интересный и актуальный вопрос: какова наша Вселенная с глобальной точки зрения? Ибо известны многочисленные пространства отрицательной кривизны (в частности, геодезические на пространствах отрицательной кривизны называются системами Д.В. Аносова и обладают свойствами разбегания и перемешивания). Это позволило объяснить результаты по ускоренному расширению Вселенной [52, 54], за которые и была присуждена нобелевская премия в 2011 году. Результаты позволили завершить попытки вывода уравнений гравитации и электродинамики из принципа наименьшего действия [2, 16, 18, 22, 28, 37, 38, 41, 47, 65]. В работах [4, 8, 56] были получены уравнения, позволившие уверенно говорить о возможности объяснения ускоренного расширения без лямбды, тёмной энергии, дополнительных полей на основе классической ОТО. 10. Пример. Диагонализация ФЛРУ с не равными нулю другими коэффициентами Система принимает вид: d2c2 4a2c2d a4c2 2aat a2et dt = -2 he + he2 - he3 + e - e2 , ht + h2 = -2dc2 + 2a2 ec22 - he2et (10.1) , 2dc2b 2ba2c2 2bac bt = - eh + he2 + e . Отметим, что если a = 0, то кривизна по-прежнему - интеграл. Нужно дополнить эту систему уравнениями Эйнштейна (2.2), но для импульсов: тогда мы сможем использовать и там форму Гамильтона-Якоби, приведшую к (8.1), (9.1), (9.2), (10.1). Мы получаем выражение для импульсов: . (10.2) Переходя к верхним индексам умножением на обратную матрицу gμβ, получаем pβ = . Теперь требуется обратить эту формулу, выразив скорости через импульсы, чтобы написать действие через импульсы. Для этого в последней формуле поделим β-ю компоpβ uβ ненту на нулевую 0 = c . В последней формуле необходимо исключить импульс с нулеp вой компонентой через массовое уравнение pαpβgαβ = (mc)2 и его решение относительно p0: , где a = g00, b = 2pig0i, C = pipjgij - (mc)2. При этом для согласования с нерелятивистской динамикой берётся знак минус. Массовое уравнение получается подстановкой тех же соотношений для исключения скоростей с учетом u0 = c pβ/p0 = uβ/c в формулу (10.2) при μ = 0 (ср. [2, 18, 22, 28, 41, 47, 65]). Уравнение для полей останется тем же самым (2.2) с заменой на интегрирование по импульсам с использованием формул f(t,x,v,m)dvdm = f(t,x,p,m)dpdm. Каждая из двух этих величин - это число частиц в элементе объёма, что является инвариантом при замене переменных. Уравнение Эйнштейна (2.2) упрощается и переписывается: (10.3) Выражение в импульсах: (10.4) Выражение в нижних индексах, имея в виду связь с функцией Гамильтона-Якоби: (10.5) Получается следующий план действий. Написать систему уравнений Власова-Эйнштейна в импульсах, рассмотреть её изотропную форму и постараться решить эту систему. Сделаем гидродинамическую подстановку f(t,x,p,m) = ρ(m,t)δ(p - P(t,x,m)). Получаем из (10.5) (10.6) Теперь полагаем . Получаем (10.7) Здесь. Из (10.7) следует, что нужно аккуратно посчитать P0 с учётом (6.3) и вообще учесть (6.3), переходя от изотропного случая (10.7) к космологическому изотропному случаю уравнений Эйнштейна: P0 = Pμgμ0 = ∂xμ∂W gμ0 = ∂W∂x0 e + ∂W∂xk axk = mcT c√eZ + ∂W∂r axk xrk = mcT c√eZ + mcQ√arZ = 1 1 1 = √(meT + mcQar) = √(-mec(aK + μ) + mceKar) = -√ mecμ, Z Z Z ∂W 1 ∂W ∂W xk 1 xk = meT, = = mceK . (10.8) ∂x0 √Z ∂xk ∂r r √Z r Мы получаем вместо (10.7) в изотропном случае следующий вариант уравнений Эйнштейна в космологическом изотропном случае: У нас уже есть выражения (6.3) для Wr и Wt через метрику. Осталось написать левую часть. Мы получили выражение для правой части уравнений Эйнштейна, из которых видно, что удобно всё делать в сферических координатах. При этом независимых уравнений оказывается как раз два, причём справа стоят полиномы четвёртой степени по r. Поэтому способ решения этих уравнений -разложение по r в квадрате должно оборваться и дать замкнутую систему уравнений. Такой же метод применим и к уравнениям (6.4) для частиц. Такова программа дальнейших исследований. 11. Заключение Уравнения (8.1), (9.1), (9.2) убедительно показывают, что ускоренное расширение - это простой релятивистский эффект, так как они являются точными космологическими следствиями классического лагранжиана Эйнштейна ОТО для движения частиц в заданных полях. Кроме того, ускоренное расширение даёт однозначно, что наша Вселенная - это пространство Лобачевского. Это завершает усилия многих поколений учёных [2, 17, 18, 22, 28-30, 32, 40-43, 47, 65] и ставит новые задачи. Возникают вопросы и теоретические по уточнению модели Фридмана, и вопросы сравнения с экспериментом [2-18, 22, 23, 28-34, 36-43, 47, 49-54, 56-65]. В частности, в этих работах напряженно обсуждаются вопросы о несоответствии константы Хаббла экспериментам («Constant Hubble Tension»), которые предлагаемыми результатами выводятся на новый уровень. Но мы решили и ещё несколько задач «по дороге». ОТО поставлено на твердую математическую основу: уравнения ОТО в форме уравнений Власова-Эйнштейна выведены из принципа наименьшего действия и имеют замкнутую форму. Строго определены космологические решения метода Милна-МакКри и получены общематематические гидродинамические следствия и следствия Гамильтона-Якоби уравнений как Лиувилля, так и типа Власова. Предъявленное обоснование ускоренного расширения Вселенной требует дальнейших как теоретических и чисто математических исследований, связанных с изотропной версией уравнений Эйнштейна, так и тщательного сравнения с экспериментами, обещая стать самым точным подтверждением классической Общей теории относительности. Мы по сути сделали только первые шаги: в рамках модели Фридмана способ Милна-МакКри дал замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, но как это согласуется с уравнениями для полей? Требуется в идеале получить решения полной системы уравнений Власова-Эйнштейна в изотропном случае, как это удалось Милну и МакКри в ньютоновом случае (уравнение Власова-Пуассона для тяготения). Но даже если бы концы с концами сошлись в случае метрики, зависящей от времени (полной или даже с a = 0), это было бы хорошим продвижением. Предложенное приложение уравнения Власова к гравитации и космологии с объяснением ускоренного расширения Вселенной и выводом уравнения Власова-Максвелла-Эйнштейна и Власова-Пуассона из принципа наименьшего действия показывает его повышенную фундаментальность. Но уравнение Власова является также основой теории плазмы, где имеются уже как признанные успехи типа затухания Ландау, расчётов плазменных приборов типа диода Ленгмюра и плазменных двигателей, так и приложения к исследованиям токамаков [1, 21, 24-27, 35, 44-46, 55].

About the authors

V. V. Vedenyapin

Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: vicveden@yahoo.com
SPIN-code: 5002-2872
Scopus Author ID: 6603544194
ResearcherId: H-2128-2016
Moscow, Russia

Ya. G. Batishcheva

Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences

Email: jbat@kiam.ru
SPIN-code: 2666-6763
Moscow, Russia

M. V. Goryunova

Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences

Email: margoryunova2112@gmail.com
SPIN-code: 1235-9978
Moscow, Russia

A. A. Russkov

Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences

Email: russkov@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0002-2950-2165
SPIN-code: 1069-6323
Moscow, Russia

References

Supplementary files