Oscillations of a viscous fluid with an inertial free surface

Full Text

Введение Предположим, что на свободной поверхности жидкости плавают весомые частицы некоторого вещества, которые в процессе колебаний свободной поверхности не взаимодействуют друг с другом, или их взаимодействие пренебрежимо мало. Жидкость с такой поверхностью принято называть флотирующей жидкостью, или жидкостью с инерционной свободной поверхностью [2, 16]. Первоначально модель жидкости с инерционной поверхностью использовалась при описании динамических явлений поверхности северных морей, покрытых сплошным ковром из крошки битого льда. Подробную библиографию и изложение наиболее важных результатов по изучению динамических характеристик идеальной однородной флотирующей жидкости можно найти в работе [2]. Отметим отдельно работы [11, 18], где с позиции функционального анализа изучались вопросы разрешимости линейных краевых задач, исследовались структуры и характер спектра нормальных колебаний однородной, а также стратифицированной идеальной жидкости, свободная поверхность которой состоит из трех областей: поверхности жидкости без льда, области упругого льда и области, состоящей из крошки битого льда (крошеного льда). Упругий лед моделировался упругой пластиной. Также отметим работу [12], где изучалась задача с внутренней флотацией. Интерес к таким проблемам может быть связан с тем, что при экспериментальных исследованиях распределения характеристик воды, например, в Черном море было обнаружено, что на границе раздела двух основных слоев (верхнего и нижнего) «плавают» частицы различных материалов, объемная плотность которых больше плотности верхнего слоя, но меньше нижнего. Этими материалами являются намокшее дерево, водоросли, растительные остатки, «экологический мусор» и тому подобное. Заметим, что если теория динамических свойств идеальной флотирующей жидкости сравнительно хорошо изучена, то число работ, посвященных флотирующей вязкой жидкости, исчисляется единицами. Отметим, например, работу [10], где строится решение линеаризованной задачи о распространении инерционных волн во флотирующей вязкой жидкости, находящейся в полости равномерно вращающегося цилиндра. В данной работе исследуется задача о малых движениях и нормальных колебаниях вязкой жидкости с инерционной свободной поверхностью, заполняющей неподвижный контейнер. Исследование проводится на основе подхода, связанного с применением теории операторных блок-матриц, действующих в гильбертовом пространстве, и позволяющего перейти от исходной начально-краевой задачи к равносильной задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве, а также на применении абстрактных дифференциально-операторных уравнений и спектральной теории операторных пучков. Методами этих теорий удается установить ряд общих и тонких результатов. Общие идеи применяемых методов можно найти, например, в [14, 15]. 1. Исследование начально-краевой задачи 1. Постановка начально-краевой задачи. Пусть однородная несжимаемая жидкость плотности ρ, имеющая коэффициент динамической вязкости μ, расположена в некотором неподвижном контейнере и занимает в состоянии покоя область Ω, ограниченную твердой стенкой контейнера S и свободной поверхностью Γ, покрытой плавающими частицами некоторого вещества. Последнее условие эквивалентно предположению о том, что ее свободная поверхность является весомой и имеет поверхностную плотность ρ0, которая совпадает с массой плавающих частиц на единице поверхности. Предположим также, что начало O декартовой системы координат Ox1x2x3 выбрано на Γ, которая является плоской и расположена перпендикулярно ускорению силы тяжести _g = -g_e3, где _e3 - орт оси Ox3. Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к состоянию покоя. Через _u = _u(t, x), x ∈ Ω, обозначим поле скорости в жидкости, p = p(t, x) - динамическое давление, равное разности полного и статического давлений, а через ζ = ζ(t, xˆ) ( xˆ = (x1, x2) ∈ Γ) - отклонение свободно движущейся поверхности жидкости Γ(t) от Γ по нормали _n. Кроме того, полагаем, что на исследуемую гидродинамическую систему дополнительно к гравитационному полю действует малое поле внешних сил f_ = f_(t, x). Тогда малые движения исходной системы описываются следующей начально-краевой задачей: ∂_u ρ ∂t = -∇p + μΔ_u + ρf_(x, t) (в Ω), div _u = 0 (в Ω), (1.1) r · _u = _0 (на S), ∂ζ = _u _n (на Γ), ∂t ζ dΓ = 0, (1.2) Γ ( ∂uk μ ∂x3 ∂u3 \ + ∂xk = 0 (k = 1, 2, на Γ), ρ0 ∂2ζ ∂t2 = p - ρgζ - 2μ ∂u3 ∂x3 (на Γ), (1.3) _u(0, x) = _u0(x) (x ∈ Ω), ζ(0, xˆ) = ζ0(xˆ) (xˆ ∈ Γ). (1.4) Линеаризация уравнения Навье-Стокса и уравнения неразрывности приводит к уравнениям (1.1). На границе S задано условие прилипания жидкости, которое в терминах вектора скорости имеет вид первого уравнения (1.2). После линеаризации кинематическое условие на поверхности Γ принимает вид второго уравнения (1.2), а динамические условия - (1.3). Здесь первое динамическое условие состоит в равенстве касательных напряжений, для вывода второго требуется записать второй закон Ньютона для весомых частиц и линеаризовать его (см., например, [2]). Далее, третье условие (1.2) - следствие условия сохранения объема Ω при колебаниях системы. Последние два условия - начальные условия, которые добавлены для полноты формулировки. 2. Закон баланса полной энергии. Прежде чем исследовать поставленную начальнокраевую задачу, выведем для ее решения закон баланса полной энергии. Предположим, что задача (1.1)-(1.4) имеет классическое решение, т. е. такие функции u(t, x), p(t, x) и ζ(t, xˆ), для которых непрерывны по всем переменным все слагаемые, входящие в уравнения и краевые условия данной задачи, кроме того, эти уравнения выполнены для указанных функций. Лемма 1.1. Для классического решения задачи (1.1)-(1.4) имеет место закон баланса полной энергии гидромеханической системы: 1. d г( r 2 r ∂ζ 2 \ r 2 l r 2. · dt ρ |_u| dΩ+ ρ0 dΓ2 ∂t + ρg |ζ| dΓ = ρ f _u dΩ - μ E(_u, _u). (1.5) _ Ω Γ Γ Ω Доказательство. Умножим обе части (1.1) скалярно на вектор-функцию _u(t, x) и проинтегрируем по Ω; соответственно умножим обе части второго уравнения (1.3) скалярно на ∂ζ/∂t и проинтегрируем по Γ. Используя формулу Грина для векторного оператора Лапласа (см., например, [14, c. 128, формула (2.10)]) r r Δ_u · _v dΩ = -E(_u, _v)+ 3 ) ( ∂ui + ∂u3 \ v dS, Ω ) 2 1 r 3 ∂Ω i=1 ∂x3 ∂u ∂xi i ∂uj · E(_u, _u) = 2 Ω |τij (_u)| dΩ, τij (_u) := i,j=1 i + ∂xj ∂xi , i, j = 1, 2, 3, (1.6) а также формулу Гаусса-Остроградского с условием соленоидальности и прилипания жидкости на твердой стенке: r r ∇p · _u dΩ = r div (p _u) dΩ - r p div _u dΩ = r p un dS = p un dΓ. Ω Ω приходим к соотношениям Ω ∂Ω Γ r ρ _u Ω ∂_u ∂t r dΩ = -μ E(_u, _u)+ Γ ( ∂u3 2μ ∂x3 - p\ ∂ζ ∂t r dΓ+ ρ Ω f_ _u dΩ, r ∂2ζ ∂ζ r ( ∂u3 \ ∂ζ r ∂ζ ρ0 ∂t2 Γ dΓ = ∂t Γ 3 p - 2μ ∂x - dΓ ρgζ dΓ. ∂t ∂t Γ Складывая левые и правые части полученных равенств, приходим к закону баланса энергии (1.5). Отметим, что левая часть (1.5) представляет собой сумму производной по t полной кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Полная кинетическая энергия (круглая скобка слева) равна сумме кинетической энергии жидкости в области Ω и кинетической энергии весомых частиц. За потенциальную энергию отвечает третье слагаемое слева, обусловленное колебаниями свободной поверхности. Правая часть есть мощность внешних и диссипативных сил. 3. Основные функциональные пространства. Вспомогательные краевые задачи и их операторы. Свойства оператора потенциальной энергии. Начально-краевую задачу (1.1)-(1.4) приведем к дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве. С этой целью для области Ω воспользуемся известным разложением пространства векторных полей L_ 2(Ω) в ортогональную сумму (см. [14, c. 118]): L_ 2(Ω) = J_0,S (Ω) ⊕ G_ 0,Γ(Ω), G_ 0,Γ(Ω) := { _v ∈ L_ 2(Ω) | _v = ∇ϕ, ϕ = 0 (на Γ)}, (1.7) J_0,S (Ω) := { _v ∈ L_ 2(Ω) | div _v = 0 (в Ω), vn := _v · _n = 0 (на S)}. Отметим, что наличие вязких сил приводит к диссипации энергии, скорость которой вычисляется по формуле (1.6). Совокупность векторных соленоидальных полей, удовлетворяющих условиям прилипания на твердой стенке S и конечной скорости диссипации энергии в вязкой жидкости, образуют подпро- 0,S странство J_1 (Ω), которое плотно в J_0,S (Ω) (см. [14, c. 132-133], [7, п. 2.3.2]). 2 Так как в подпространстве J_0,S (Ω) квадрат нормы вводится по формуле _u 1,Ω := E(_u, _u) и эта норма эквивалентна стандартной норме пространства H_ 1(Ω), то имеют место неравенства 2 2 а потому 0 < c1 _u 1,Ω/ _u H_ 1 (Ω) c2 < ∞, 2 2 2 _1 _u 1,Ω c1 _u H_ 1 (Ω) c1 _u L_ 2 (Ω), ∀_u ∈ J0,S1 (Ω). 0,S Отсюда следует, что J_1 (Ω) и J_0,S (Ω) образуют гильбертову пару (см. подробнее, [7, с. 20]), а порождающий оператор A этой пары образует шкалу пространств Eα, α ∈ R, такую, что 0,S E0 = J_0,S (Ω), E1/2 = J_1 2 (Ω) = D(A1/2), _u 1,Ω = A1/2 2 _u L_ 2 (Ω) 0,S , ∀ u ∈ J_1 (Ω). Вспомогательная задача I (см. [15, с. 69], [6, теорема 5]). По заданной функции _g1 найти функции _v и p1, являющиеся решениями задачи μA_v := -μP0,S Δ_v + ∇p1 = _g1, div _v = 0 (в Ω), _v = _0 (на S), (1.8) μτi3(_v) - p1δi3 = 0 (на Γ), i = 1, 2, 3, Δp1 = 0 (в Ω), ∂p1/∂n = 0 (на S), где P0,S : L_ 2(Ω) → J_0,S (Ω) - ортопроектор на подпространство J_0,S (Ω), оператор A является неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором, порожденным 0,S гильбертовой парой (J_1 (Ω); J_0,S (Ω)), и обладает следующими свойствами: 0,S 1. D(A) ⊂ D(A1/2) = J_1 (Ω) ⊂ J_0,S (Ω), D(A) = J_0,S (Ω); 1. обратный оператор A-1 есть компактный и положительный, действующий в J_0,S (Ω); n=1 2. оператор A имеет дискретный положительный спектр {λn(A)}∞ с единственной предельной точкой λ = +∞ и асимптотическим поведением [17]: A λn(A) = c-2/3n2/3[1 + o(1)] ( n → +∞ ), cA = (3π2)-1mes Ω. (1.9) 0,S Отметим, что если задача (1.8) имеет решение _v ∈ H_ 2(Ω) ∩ J_1 (Ω), то ∇p1 ∈ G_ h,S (Ω), _v G_ h,S (Ω) := f ∈ J_0,S (Ω) : _v = ∇p, Δp = 0 (в Ω), ∂p r = 0 (на S), ∂n Γ p d . Γ = 0 2 (Ω) 0,S При _g1 ∈ J_0,S (Ω) задача (1.8) (см. подробнее [6, теорема 5]) имеет единственное обобщенное решение _v = μ-1A-1_g1 ∈ D(A), где обобщенное решение определяется следующим тождеством: E(_η, _v) = (_η, _g1)L_ , _η ∈ J_1 (Ω). Наряду с введенными пространствами рассмотрим гильбертово пространство L2(Γ) со скалярным произведением r (ξ, η)0 = Γ ξ(xˆ) η(xˆ) dΓ, xˆ ∈ Γ. (1.10) Из третьего условия (1.2), получаем, что функция ζ(t, xˆ) при каждом t должна принадлежать гильбертову пространству L2,Γ := L2(Γ) 8 {1Γ} функций из L2(Γ), которые ортогональны к функции 1Γ, тождественно равной единице. Введем оператор нормального следа γn, действующий по закону 0,S γn_u := (_u · _n)Γ ∀ _u ∈ J_1 (Ω). 0,S Так как J_1 (Ω) - подпространство H_ 1(Ω), а граница области Ω состоит (будем предполагать) из двух частей: равновесной поверхности Γ - достаточно гладкой (бесконечно дифференцируемой) и твердой стенки S - липшицевой, то по теореме Гальярдо (см., например, [7, c. 51]) получаем, 0,S что оператор γn ограниченно действует из J_1 (Ω) в пространство H1/2(Γ) с квадратом нормы 2 2 r 2 r r |ϕ(ζ) - ϕ(η)| ϕ H1/2 (Γ) := Γ |ϕ| dΓ+ Γη Γζ 3 dΓζ dΓη. |ζ - η| 0,S Отметим, что для элементов _u ∈ J_1 (Ω) выполнено условие γn_u ∈ L2,Γ. Следовательно, γn огра- 0,S ниченно действует из J_1 Γ (Ω) в пространство H1/2 := H1/2(Γ) ∩ L2,Γ, плотно вложенное в L2,Γ. Γ Более того, H1/2 и L2,Γ образуют гильбертову пару пространств, и по ней строится оснащение H1/2 1/2 Γ ⊂ L2,Γ ⊂ (HΓ )∗ (см. [7, c. 52], [1, п. 2]). Вспомогательная задача II (см. [14, с. 107]). По заданной функции ψ(xˆ), xˆ ∈ Γ, найти функцию p2(x), x ∈ Ω, являющуюся решением задачи Δp2 = 0 (в Ω), ∂p2 = 0 (на S), p = ψ (на Γ), ∂n 2 r ψdΓ = 0. Γ 1/2 Данная задача является известной задачей Зарембы для уравнения Лапласа. Если ψ ∈ HΓ , Γ то данная задача имеет единственное решение p2 ∈ H1(Ω), H1 Γ(Ω) = {p ∈ H 1(Ω) : r r H1 } p dΓ = 0 , p 2 = Γ (Ω) Γ Ω 1/2 2 |∇p| dΩ. Отметим, что если p2(x) - решение задачи II для ψ ∈ HΓ , то ∇p2(x) = Gψ ∈ G_ h,S (Ω). Лемма 1.2. Имеют место свойства D(γn) ⊂ D(G∗), G∗|D(γn ) = γn. 0,S1 Доказательство. Пусть _v ∈ J_1 1/2 (Ω1), ψ ∈ HΓ . Тогда r r r r r (∇p2, _v) = Ω1 ∇p2 · _v dΩ1 = Ω1 div(p2_v) dΩ1 = ∂Ω1 p2vn dS = Γ p2vn dΓ = Γ ψvn dΓ = Γ 0,S1 = (ψ, γn_v)0 ⇒ (Gψ, _v) = (ψ, γn_v)0, ψ ∈ H1/2, _v ∈ J_1 (Ω1), (1.11) следовательно, D(γn) ⊂ D(G∗), G∗|D(γn ) = γn. Лемма доказана. Замечание 1.1. Из леммы 1.2 следует, что оператор γn может быть расширен до оператора γn с областью определения D( ) = J_ (Ω ). Действительно, соотношение (1.11) выполняется, γn 0,S1 1 1/2 1/2 γn_v)0 для ψ ∈ HΓ , _v ∈ (HΓ )∗. Эта ситуация имеет место для когда в правой части имеем (ψ, γn γn _v ∈ J_0,S1 (Ω1). При этом получаем, что на множестве J_0(Ω1) оператор равен нулевому опера- γn = J_0(Ω1). Так как имеют место вложения H1/2 ⊂ L2,Γ ⊂ (H1/2)∗, то, очевидно, тору, т. е. ker Γ Γ γn. Обозначим через γn такое расширение γn, для которого область значений совпадает с L2,Γ. Тогда γn = G∗, при этом D(G∗) = { _v ∈ J_0,S1 (Ω1)| γn_v ∈ L2(Γ) }. В дальнейшем вместо n снова n γ для простоты будем писать γ . Как следствие из леммы 1.2 и замечания 1.1 получаем такое утверждение. Лемма 1.3. Для операторов A и γn выполнены включения 0,S1 D(A) ⊂ D(A1/2) = J_1 (Ω1) ⊂ D(γn). 4. Переход к дифференциально-операторному уравнению и свойства его операторных коэффициентов. Основываясь на разложении (1.7), применим метод ортогонального проектирования к исходной начально-краевой задаче. В силу условия соленоидальности в Ω и условия прилипания на S считаем, что _u(t, x) ∈ J_0,S (Ω). Далее, представим ∇p(t, x) в виде ∇p(t, x) = ∇ϕ + ∇ p ∈ G_ 0,Γ(Ω) ⊕ G_ h,S (Ω) =: G_ (Ω). Применим ортопроекторы P0,Γ и P0,S (ортопроекторы на подпространства соответственно, P0,S + P0,Γ = I) к уравнению (1.1): G_ 0,Γ(Ω) и J_0,S (Ω) _0 = - ∇ϕ + P0,Γ(μΔ_u)+ ρ P0,Γf_(t, x), (1.12) ∂_u ρ ∂t = - ∇p + P0,S (μΔ_u)+ ρ P0,S f_(t, x). (1.13) Соотношение (1.12) показывает, что ∇ϕ может быть найдено, если известно решение _u. Поэтому в дальнейшем достаточно ограничиться рассмотрением соотношения (1.13), а также второго p, так как p = p + ϕ, ϕ = 0 (на Γ). Условимся называть решения уравнения (1.12) тривиальными. p ∈ G_ h,S (Ω) в виде ∇ = ∇p1 + ∇p2, где p1 - функция из вспомогательной зада- Представим ∇ p чи I, а p2 есть решение вспомогательной задачи II для ψ = ρ0(∂2ζ/∂t2)+ ρgζ. Итогом приведенных выше преобразований является лемма. Лемма 1.4. Решение начально-краевой задачи (1.1)-(1.4) с учетом (1.12) является решением задачи Коши для системы дифференциально операторных уравнений d_u ρ dt + μA_u + ρgGζ + ρ0G d2ζ dt2 = ρ P0,S f_ =: f_0,S , (1.14) dζ 0 0 1 1 0 dt - γn_u = 0, _u(0) = _u , ζ(0) = ζ , ζ (0) = ζ = γn_u . Здесь все искомые и заданные функции переменной t и пространственных переменных считаем функциями одной переменной t со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах, что уже и было учтено в проведенных выше построениях. В связи с этим все производные ∂/∂t заменили на d/dt. Γ Будем считать, что функция (γn_u)(t) непрерывно дифференцируема по t и ее производная принадлежит D(G) = H1/2, тогда G(d2ζ/dt2) = Gγn(d_u/dt). С учетом сказанного задачу (1.14) перепишем в виде задачи Коши для дифференциальнооператорного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H := J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ: dy 0 C dt + A0y = F , y(0) = y , (1.15) C = (ρI + ρ0Gγn 0 \ , 0 ρgIΓ ( μA ρgG\ A0 = , y = (_u; ζ)τ , -ρgγn 0 F = (f 0,S ; 0)τ , (1.16) 0,S D(A0) = D(A) ⊕ D(G), D(C) = { (_u; ζ)τ ∈H : _u ∈ J_1 (Ω) }, D(A0) ⊂ D(C). Здесь индекс (.. .)t означает операцию транспонирования матрицы. Кроме того, всюду далее будем считать, что R+ := [0; +∞). Определение 1.1. Сильным решением (по переменной t) исходной начально-краевой задачи (1.1)-(1.4) назовем набор функций _u(t), ∇p(t) и ζ(t), для которых функция y(t) = (_u(t); ζ(t))τ являются решением задачи (1.15). В свою очередь решением задачи (1.15) назовем такую функцию y(t), что y(t) ∈ D(A0) при t ∈ R+, A0y ∈ C(R+; H), y(t) ∈ C1(R+; H), выполнено начальное условие и уравнение (1.15) для любого t ∈ R+. Лемма 1.5. Оператор C (определенный в (1.16)) является положительно определенным оператором, действующим в H. Доказательство. Оператор C, очевидно, плотно определен. Для y1 = (_u1, ζ1)τ и y2 = (_u2, ζ2)τ из D(C) имеем (Cy1, y2)H = ρ (_u1, _u2)L_ 2 (Ω) + ρ0(Gγn_u1, _u2)L_ 2 (Ω) + (ζ1, ζ2)0 = = ρ (_u1, _u2)L_ 2 (Ω) + ρ0(γn_u1, γn_u2)0 + (ζ1, ζ2)0 = ... = (y1, Cy2)H. Отсюда следует симметричность оператора C. Пусть теперь y1 = y2 = y, тогда из последнего получим 2 2 2 2 2 2 (Cy, y)H = ρ _u L_ 2 (Ω) + ρ0 γn_u 0 + ζ 0 ρ _u L_ 2 (Ω) + ζ 0 min(ρ; 1) · y H. Таким образом, C - положительно определенный оператор, действующий в H. Введем вспомогательные операторы Q = γn(μA)-1/2, D(Q) = J_0,S (Ω), Q+ = (μA)-1/2G, D(Q+) = D(G). Лемма 1.6. Для операторов Q и Q+ справедливы свойства D(G) Q+ ⊂ Q∗, Q+ = Q∗| , Q+ = Q∗. Доказательство. Для любого _v ∈ J_0,S (Ω) и η ∈ D(G) имеем (Q_v, η)0 = (γn(μA)-1/2_v, η)0 = ((μA)-1/2_v, Gη) = (_v, (μA)-1/2Gη) = (_v, Q+η). Отсюда следует, что Q+ ⊂ Q∗ и Q+ = Q∗|D(G). Покажем, что оператор Q+ ограничен на D(G). Оператор Q ограниченно действует из J_0,S (Ω) в L2,Γ. Действительно, оператор A-1/2 отображает 0,S J_0,S (Ω) на J_1 0,S (Ω), а оператор γn, согласно теореме о следах, компактен как оператор из J_1 (Ω) в L2,Γ. Таким образом, оператор Q ограничен (даже компактен). Отсюда следует, что оператор Q∗ тоже ограничен. Тогда для любого η ∈ D(G) имеет место следующее неравенство: Q+η = Q∗η Q∗ · η 0. Откуда следует, что Q+ ограничен на D(G), а поэтому расширяется по непрерывности до ограниченного оператора Q∗, т. е. Q+ = Q∗. Покажем, что оператор A0 замыкаем и замыкание A0 есть замкнутый максимальный аккретивный оператор, т. е. других замкнутых аккретивных расширений у оператора A0 нет. Подобные построения для операторных блоков проводились в работах [5, 13]. Лемма 1.7. Оператор A0 замыкаем и A0 =: A, при этом оператор A - максимальный аккретивный и представим в следующем виде: ((μA)1/2 0 \( I ρg Q∗\ ((μA)1/2 0 \ , (1.17) A = 0 IΓ f -ρg Q 0 0 IΓ D(A) = y = (_u; ζ)τ ∈H = J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ | _u + ρg (μA)-1/2Q∗ζ ∈ D(A) . (1.18) Доказательство. I этап. Оператор A0, очевидно, плотно определен. Далее непосредственно про- H веряется, что для любого y ∈ D(A0) выполняется Re (A0y, y) = (μA)1/2 _u 2 0. Таким образом, оператор A0 аккретивен, а значит (см., например, [9, c. 109], [3, c. 51]), допускает замыкание. Построим замыкание оператора A0, используя включение D(A) ⊂ D(γn). Пусть yn := (_un; ζn)τ ∈ D(A0), yn → y = (_u; ζ)τ , A0yn → y0 := (_u0; ζ0)τ . (1.19) Отсюда, _un + ρg (μA)-1Gζn ∈ D(A), A(_un + ρg (μA)-1Gζn) → _u0, кроме того _un + ρg (μA)-1Gζn = _un + ρg (γn(μA)-1)∗ζn → _u + ρg (γn(μA)-1)∗ζ. Оператор A самосопряжен, а потому замкнут, таким образом, имеем _u + ρg (γn(μA)-1)∗ζ ∈ D(A), A(_u + ρg (γn(μA)-1)∗ζ) = u0. Из (1.19) следует, что _un ∈ D(A) ⊂ D(γn), _un → _u, -γn_un → ζ0. Оператор γn замкнут, а значит, _u ∈ D(γn) и -γn_u = ζ0. Следовательно, y ∈ D(A0) и A0y = y0, где (_u\ (A(_u + ρg (γn(μA)-1)∗ζ)\ A0 ζ = f , -γn_u D(A0) = (_u; ζ)τ ∈ H | _u ∈ D(γn), _u + ρg (γn(μA)-1)∗ζ ∈ D(A) . Используем теперь включение D(A1/2) ⊂ D(γn) (см. лемму 1.3). Отсюда следует равенство (γn(μA)-1)∗ = (γn(μA)-1/2(μA)-1/2)∗ = (μA)-1/2(γn(μA)-1/2)∗ = (μA)-1/2Q∗. Из включения _u + ρg (γn(μA)-1)∗ζ = _u + ρg (μA)-1/2Q∗ζ ∈ D(A) ⊂ D(A1/2) и факта, что D(A1/2) является линеалом, следует, что _u ∈ D(A1/2) ⊂ D(γn). Следовательно, условие _u ∈ D(γn) в описании множества D(A0) можно опустить. Из проведенных рассуждений получим, что (_u\ (_u\ (A(_u + ρg (μA)-1/2Q∗ζ)\ A0 ζ =: A ζ = f -ρg Q(μA)1/2_u , D(A) = (_u; ζ)τ ∈ H | _u + ρg (μA)-1/2Q∗ζ ∈ D(A) . Непосредственными вычислениями проверяется, что множество D(A) из (1.18) является естественной областью определения для факторизации (1.17). II этап. Докажем, что замкнутый аккретивный оператор A максимален. Для этого достаточно установить (см. [9, c. 109, теорема 4.3]), что ρ(A) ∩ {λ < 0} /= ∅, где ρ(A) - резольвентное множество оператора A. Действительно, при λ /= 0 имеем ((μA)1/2 0 \ г( I ρg Q∗\ (λ(μA)-1 0 \l ((μA)1/2 0 \ A- λI = 0 IΓ -ρg Q 0 - 0 λIΓ 0 IΓ = ((μA)1/2 0 \ (I - λ(μA)-1 ρg Q∗\ ((μA)1/2 0 \ = 0 IΓ -ρg Q -λIΓ 0 IΓ = ((μA)1/2 0 \ (I -λ-1ρg Q∗\ (I - λ(μA)-1 - λ-1(ρg)2Q∗Q 0 \ = 0 IΓ 0 IΓ 0 -λIΓ × ( I 0 \ ((μA)1/2 0 \ . × λ-1ρg Q IΓ 0 IΓ Определим оператор-функцию L(λ) = I - λ(μA)-1 - λ-1(ρg)2Q∗Q. Очевидно, что при λ < 0 (ограниченный) оператор L(λ) самосопряжен и положительно определен, а значит, существует, ограничен и задан на всем пространстве J_0,S (Ω) оператор L-1(λ). Из последнего представления при λ < 0 найдем, что существует (A- λI)-1 = ( (μA)-1/2 0 \ (L-1(λ) 0 \ ((μA)-1/2 λ-1ρg Q∗\ = -λ-1ρg Q IΓ 0 -λIΓ 0 IΓ = ( (μA)-1/2L-1(λ)(μA)-1/2 λ-1ρg (μA)-1/2L-1(λ)Q∗ \ -λ-1ρg QL-1(λ)(μA)-1/2 -λ-2(ρg)2QL-1(λ)Q∗ - λIΓ ∈ L(H), а значит, {λ < 0}⊂ ρ(A). 5. Теорема существования сильного решения. Γ Теорема 1.1. Если выполнены условия _u0 ∈ D(A), ζ0 ∈ D(G) = H1/2, а функция f_(t) удовлетворяет условию Гельдера, т. е. для любого τ ∈ R+ найдутся такие числа K = K(τ ) > 0, k = k(τ ) ∈ (0, 1], что f_(t) - f_(s) L_ k 2 (Ω) K|t - s| ∀ 0 s, t τ. Тогда начально-краевая задача (1.1)-(1.4) имеет единственное сильное решение (в смысле определения 1.1). Доказательство. I этап. Согласно лемме 1.5 оператор C имеет ограниченный обратный оператор C-1, поэтому с операторным уравнением (1.15) будем ассоциировать следующее уравнение с оператором A: dt dy = -C-1Ay + C-1F , y(0) = y0. (1.20) Введем в H новое скалярное произведение (y, z)HC := (Cy, z)H , порождающее норму, эквивалентную исходной норме H. Соответствующее энергетическое пространство для этой нормы обозначим через HC . C Докажем, что оператор -C-1A является генератором голоморфной полугруппы в H . Для C этого достаточно показать, что оператор C-1A является максимальным секториальным в H (см., например, [8, с. 234, 235]). Проверим, что C-1A секториален в H . Пусть y = (y ; y )τ ∈ D(C-1A), тогда y ∈ D(A1/2) и из C 1 2 1 факторизации оператора A имеем, что Re(C-1Ay, y) = Re (( IH1 ρg Q∗\ ((μA)1/2y1\ , ((μA)1/2y1\\ = (μA)1/2y1 2 ; - HC ρg Q 0 y2 y2 H1 H ( \ Im(C-1Ay, y) = Im (ρg Q∗y2, (μA)1/2y1) - (ρg Q(μA)1/2y1, y2) = HC H1 H2 = 2ρg Im(Q∗y2, (μA)1/2y1) 2ρg (μA)1/2y1 · Q∗y . Из этих оценок при любом θ > 0 получаем, что H1 H1 2 H1 2 2 Re(C-1Ay, y) - θ (C-1Ay, y) ( (μA)1/2y1 - θ Q∗y \ - θ2 Q∗y Im HC HC 2 2 H1 2 ∗ 2 2 H1 2 2 ∗ 2 2 H1 -1 2 2 Следовательно, -θ2 Q∗ · y2 H2 -θ Q ·y H = -θ Q C y HC . ( \ ( \ - Re (C-1A + γ(θ))y, y θ Im HC (C-1A + γ(θ))y, y 0, HC где γ(θ) = -θ2 Q∗ 2 C-1 2 " . Таким образом, ( \ ( \ Im (C-1A + γ(θ))y, y θ-1 Re HC (C-1A + γ(θ))y, y , HC ∀ 0 /= y ∈ D(C-1A), θ > 0, Отсюда следует, что оператор C-1A секториальный с вершиной γ(θ) и полураствором сектора arctg θ-1. Максимальность оператора C-1A следует из (C-1A- λI)-1 ∈ L(H) при достаточно больших λ < 0 (идея доказательства совпадает с этапом II из леммы 1.7). II этап. Пусть выполнены условия теоремы на начальные данные, тогда y(0) ∈ D(C-1A0) = D(A) ⊕ D(G) ⊂ D(C-1A). Из условия на функцию f_(t) следует, что функция C-1F(t) также локально гельдерова. Так как оператор -C-1A порождает голоморфную полугруппу, приходим к тому, что задача (1.20) имеет C единственное решение y(t) ∈ C1(R+; H c. 248, теорема 6.5]). ) ∩ C(R+ ; D(A)) (см., например, [3, c. 130, теорема 1.4], [8, II этап. Пусть y(t) = (_u(t); ζ(t))τ - решение задачи (1.20). Перепишем уравнение (1.20) в следующем виде: (d_u/dt = -C-1 (μ A) (_u + ρg (μA)-1/2Q∗ζ) + C-1f_0,S , 0 1/2 0 (1.21) dζ/dt = Q(μA) _u, C0 := ρI + ρ0Gγn. Заметим, что учитывая определение D(A), скобки в первом уравнении раскрыть нельзя, так как каждое слагаемое в скобках может принадлежать D(A1/2) и только сумма попадает в D(A). Цель дальнейших преобразований - избавиться от упомянутого затруднения и перейти от системы (1.21) к системе уравнений, отвечающей не замкнутому оператору A, а его сужению A0. Для этого из второго уравнения (1.21) выразим ζ(t) и подставим в первое уравнение (1.21), в результате получим d_u t r = -C-1 (μ A) (u + ρg (μA)-1/2Q∗ζ0 + ρg(μA)-1/2Q∗ Q(μA)1/2_u(s) ds\ + C-1f0,S. dt 0 _ 0 _ 0 Так как по условию теоремы ζ0 ∈ D(G), следовательно, из леммы 1.6 следует, что Q∗ζ0 = Q+ζ0 и поэтому (μA)-1/2Q∗ζ0 = (μA)-1Gζ0 ∈ D(A). Таким образом, t r _u + ρg 0 A-1/2Q∗QA1/2_u(s) ds =: _u0(t), _u0(t) ∈ C(R+; D(A)). (1.22) Определим на D(A) норму _u D(A) := (μA)_u J_0,S (Ω) и превратим его тем самым в банахово пространство EA. Будем рассматривать уравнение (1.22) как уравнение Вольтерра второго порядка в EA. Ядро K(t, s) := A-1/2Q∗QA1/2 интегрального оператора в (1.22) есть сильно непрерывная оператор-функция, так как оператор A-1/2Q∗QA1/2 ограничен в EA. Докажем данный факт. Для любого _u(t) ∈ EA имеем A (μA)-1/2Q∗Q(μA)1/2_u E J0,S (Ω) = (μA)1/2Q∗Q(μA)1/2_u _ = D(G) = (μA)1/2Q∗| (γn J0,S (Ω) (μA)-1/2)(μA)-1/2(μA_u) _ = Gγn J0,S (Ω) (μA)-1(μA_u) _ n _ Gγ (μA)-1 L(J0,S (Ω)) · (μA)_u J_0,S (Ω) n _ = Gγ (μA)-1 L(J0,S (Ω)) · _u EA . Таким образом, (μA)-1/2Q∗Q(μA)1/2 ∈ L(EA) и уравнение (1.22) имеет единственное решение _u(t) ∈ C(R+; D(A)). Отсюда следует, что в первом уравнении системы (1.21) можно раскрыть скобки. Это означает, что функция y(t) - решение задачи (1.15) (в смысле определения 1.1). Теорема доказана. 2. Задача о нормальных колебаниях 1. Формулировка задачи. Рассмотрим так называемые нормальные колебания данной гидросистемы. Прежде чем это сделать, заметим следующее обстоятельство. При исследовании начально-краевой задачи (1.1)-(1.4) выяснилось, что этой задаче можно сопоставить матричный оператор C-1A, являющийся максимальным аккретивным оператором, действующим в H. Поэтому естественным является следующее определение. Определение 2.1. Назовем нормальными движениями (колебаниями) изучаемой гидросистемы такие решения y(t) однородного уравнения (1.20), которые зависят от t по закону exp(-λt). Полагая в (1.20) F ≡ 0 (свободные движения гидросистемы) и y(t) = exp(-λt)y, y ∈ H, λ ∈ C, приходим к спектральной задаче C C-1Ay = λy, y ∈ D(A) ⊂H . (2.1) Лемма 2.1. Число λ = 0 не является собственным значением задачи (2.1). Доказательство. Пусть λ = 0, тогда для y = (_u, ζ)τ ∈ D(A): HC (C-1Ay, y) = (Ay, y)H = 0, Re (Ay, y)H = (μA) _u 1/2 2 J_0,S (Ω) = 0, откуда _u = 0. Далее, из факторизации для оператора A (см. подробнее лемму 1.7) при _u = 0 имеем ζ ∈ KerQ∗ = {0}. Таким образом, ζ = 0, а значит, λ = 0 не является собственным значением задачи (2.1). Лемма 2.2. Спектр задачи (2.1) совпадает со спектром операторного пучка L(λ) = I - λV1 - λ-1V2, (2.2) V1 := ρ (μA)-1 + ρ0 Q∗Q, V2 := ρg Q∗Q. Доказательство. Пусть λ /= 0, тогда (с учетом обозначения C0 = ρI + ρ0Gγn) C-1A- λI = (C-1 \( 1/2 \( -1/2 -1/2 ∗ \( 1/2 \ = 0 0 (μA) 0 I - λ(μA) C0(μA) ρg Q (μA) 0 = 0 (ρg)-1IΓ 0 IΓ -ρg Q -λ ρg IΓ 0 IΓ (C-1 \( \( 1 ∗\( \( \( \ = 0 0 0 (ρg)-1IΓ (μA)1/2 0 0 IΓ I -λ- Q 0 IΓ L(λ) 0 0 -λ ρg IΓ I 0 λ-1Q IΓ (μA)1/2 0 , 0 IΓ где L(λ) = I - λ(ρ(μA)-1 + ρ0Q∗Q) - λ-1 ρg Q∗Q. Если λ /= 0 принадлежит резольвентному множеству операторного пучка L(λ) (λ ∈ ρ(L(λ)), тогда из последних преобразований λ ∈ ρ(C-1A), а потому σ(C-1A) ⊂ σ(L(λ)). Докажем обратное включение. Пусть λ - собственное значение операторного пучка L(λ), т. е. существует x /= 0 такой, что L(λ)x = 0. Определим y = (_u; ζ)τ := ((μA)-1/2x; -λ-1(ρg)-1Qx)τ , (2.3) тогда 0 /= y ∈ D(C-1A) и (C-1A- λI)y = 0. Действительно, согласно равенству L(λ)x = 0, непосредственно проверяется равенство (C-1A- λI)y = 0. Далее, из факторизации ( I 0 \ (μA 0 A = \ (I ρg (μA)-1/2Q∗\ имеем -ρg Q (μA)-1/2 IΓ 0 (ρg)2Q∗Q 0 IΓ _u + ρg (μA)-1/2Q∗ζ = (μA)-1/2x + ρg (μA)-1/2Q∗(-λ-1(ρg)-1Qx) = = (μA)-1/2x - (μA)-1/2(I - λV1)x = λ (μA)-1/2V1x = λ (μA)-1C0(μA)-1/2x ∈ D(A). Таким образом, σ(L(λ)) ⊂ σ(C-1A). Лемма 2.3. Оператор V1 = ρ (μA)-1 + ρ0 Q∗Q, действующий в J_0,S (Ω), является компактным положительным оператором, имеющим асимптотику ( mes Γ\1/2 λn(V1) = ρ0λn(Q∗Q)[1 + o(1)] = ρ0μ-1 16π n-1/2 [1 + o(1)], n → ∞. (2.4) Доказательство. Очевидно, что оператор Q∗Q - неотрицателен. Кроме того, как доказано (см. ∞ доказательство леммы 1.6), оператор γnA-1/2 ∈ S (J_0,S (Ω); L 2,Γ ), а потому компактен и Q∗Q. Далее, имеет место асимптотическая формула (см. [15, c. 75]) ( mes Γ\1/2 λn(Q∗Q) = μ-1 16π n-1/2 [1 + o(1)], n → ∞. (2.5) Оператор A-1 является компактным положительным оператором, действующим в J_0,S (Ω) с асимптотическим поведением собственных значений (см. свойства вспомогательной задачи I): ( mes Ω\2/3 λn(A-1) = 3π2 n-2/3 [1 + o(1)], n → +∞. (2.6) Далее, так как операторы Q∗Q и A-1 - вполне непрерывные самосопряженные неотрицательные операторы, то для ненулевых s-чисел справедливо: sn(Q∗Q) = λn(Q∗Q), sn(A-1) = λn(A-1). (2.7) С учетом (2.5), (2.6) и (2.7) имеем: 1 1 ( mes Γ\1/2 lim n→∞ n 2 sn(Q∗Q) = lim n→∞ 1 n 2 λn(Q∗Q) = 1 , 16π lim n→∞ n 2 sn(A-1) = lim n→∞ n 2 λn(A-1) = 0. Таким образом (см., например, [4, c. 52]), 1 ( mes Γ\1/2 отсюда следует (2.4). lim n→∞ n 2 λn(Q∗Q + A-1) = , 16π 2. Основные свойства спектра. Рассмотрим операторный пучок L(λ) из (2.2). Так как 0 < V1 ∈ S∞(J_0,S (Ω)), 0 V2 ∈ S∞(J_0,S (Ω)), то L(λ) - фредгольмова оператор-функция в C \ {0}. В силу свойств операторов V1 и V2 при отрицательных λ оператор L(λ) положительно определен и, следовательно, обратим. Поэтому к нему можно применить утверждения [14, п. 1.6.3, с. 66], из которых следует, что спектр L(λ) в C \ {0} состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, точками сгущения спектра могут быть только 0 и ∞. При этом имеют место следующие асимптотические формулы [15, с. 99]: λ(0) (∞) -1 n = λn(V2)[1 + o(1)], λn = λn (V1)[1 + o(1)], n → ∞. Пусть λ0 - собственное значение операторного пучка L(λ) и x0 - соответствующий ему собственный элемент: x0 = λ0V1 + λ-1V2x0. Умножая обе части этого равенства на x0, приходим к квадратному уравнению откуда λ2 0(V1x0, x0) - λ0(x0, x0)+ (V2x0, x0) = 0, (2.8) (x0, x0) ± j(x0, x0)2 - 4(V1x0, x0)(V2x0, x0) λ0 = . (2.9) 2(V x ,x ) 1 0 0 Из данного представления следует, что Re λ0 > 0. Пусть Im λ0 /= 0, что означает (x0, x0)2 < 4(V1x0, x0)(V2x0, x0) ⇐⇒ Из (2.9) следует, что (x0,x0) < 2(V1x0, x0) 2(V2x0,x0) (x0, x0) . (2.10) 2 (V2x0,x0) 2(V2x0,x0) (x0,x0) |λ0| = = (V x ,x ) (x ,x ) · 2(V x ,x ) . Отсюда, с учетом (2.10), имеем 1 0 0 0 0 1 0 0 ( (x0,x0) \2 2(V1x0, x0) | < |λ0 2 ( 2(V2x0,x0)\2 < (x0, x0) =⇒ (2 V1 )-1 |λ0| 2 V2 . Так как из (2.9) при Im λ0 /= 0 следует неравенство (x0,x0) 1 Re λ0 = 2(V x ,x ) (2 V1 )- , 1 0 0 то все невещественные собственные значения расположены в сегменте Re λ (2 V1 )-1, |λ| 2 V2 . (2.11) Заметим, что если невещественное число λ0 является собственным значением пучка L(λ), то комплексно-сопряженное число λ0 также является собственным значением пучка L(λ). Так как пучок L(λ) самосопряженный, то оператор L(λ0) обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор (L(λ0))∗ = L(λ0). Рассмотрим теперь вопрос о присоединенных элементах к элементу x0, предполагая, что Im λ0 = 0. Первый присоединенный элемент x1 к собственному элементу x0 является решением уравнения (I - λ0V1 - λ-1V2)x1 + (-V1 + λ-2V2)x0 = 0. 0 0 0 Умножая обе части скалярно на элемент x0, используя самосопряженность оператора L(λ0) при λ0 ∈ R получаем, что ((-V1 + λ-2V2)x0, x0) = 0. Рассмотрим это уравнение и уравнение (2.8) как систему относительно (V1x0, x0) и (V2x0, x0): λ2 -2 0(V1x0, x0)+ (V2x0, x0) = λ0(x0, x0), -(V1x0, x0)+ λ0 (V2x0, x0) = 0. Решение данной системы можно записать в виде (x0,x0) = λ 2(V2x0,x0) = . 2 (V1x0, x0) 0 (x0, x0) Откуда получаем (2.11). Отметим, что если выполнено условие (x0, x0)2 > 4(V1x0, x0)(V2x0, x0) или более жесткое условие 4 V1 · V2 < 1, то последние равенства невыполнимы и, следовательно, присоединенных элементов нет. С учетом сказанного, сформулируем выводы о структуре спектра задачи (2.1). Лемма 2.4. Спектр задачи (2.1) состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, расположенных в правой комплексной полуплоскости и имеющих в качестве точек сгущения точки 0 и ∞. Справедливы асимптотические формулы λ(0) gρ ( mes Γ\ ∗ 1/2 1/2 n = λn(V2) = gρλn(Q Q) = μ 16π -1/2 n- [1 + o(1)], n → ∞, λ(∞) -1 μ ( mes Γ\ 1/2 В сегменте f ρ n = λn (V1) = 0 16π n [1 + o(1)], n → ∞. λ | Re λ (2 V1 )-1, |λ| 2 V2 , V1 = ρ (μA)-1 + ρ0 Q∗Q, V2 := ρg Q∗Q. расположены невещественные собственные значения (симметрично относительно вещественной оси), а также вещественные собственные значения, для которых отвечающие им собственные элементы имеют присоединенные элементы. Если выполнено условие (так называемое условие сильной демпфированности пучка L(λ)) 4 V1 · V2 < 1, (2.12) то все собственные значения вещественны и присоединенных элементов нет. 3. Базисность. Общие результаты [15, п. 8.2, с. 88-97] позволяют для задачи L(λ)x = (I - λV1 - λ-1V2)x = 0, (2.13) а значит, и для задачи (2.1), установить свойства базисности совокупности мод нормальных колебаний. Пусть выполнено условие (2.12), тогда спектр задачи (2.13) состоит из двух ветвей вещественных собственных значений (присоединенных нет): {λ+}∞ с предельной точкой +∞ и {λ-}∞ j j=1 j k=1 с предельной точкой 0. В этом случае [15, с. 92] собственные элементы {x+}∞ , отвечающие j k=1 _ собственным значениям {λ+}∞ задачи (2.13), образуют базис Рисса в J0,S (Ω). Далее, для собj j=1 ственных значений {λ-}∞ отвечающие им собственные элементы {x-}∞ после проектирования j j=1 j j=1 на M_ 0(Ω) = J_0,S (Ω) 8 N_0(Ω), где N_ 0(Ω) = Ker V2 = {_u ∈ J_0,S (Ω) : γnA-1/2_u = 0}, образуют базис Рисса в M_ 0(Ω). Более того (см. (2.3)), множество {_u- = (μA)-1/2x-}∞ будет базисом Рисса в j j j=1 M_ 1(Ω) = J_1 (Ω) 8 {_u ∈ J_1 (Ω) : γn_u = 0}. Если ввести (см. (2.3)) ζ- = -(λ-)-1Qx-, то множе- 0,S ство {λ-ζ-}∞ 0,S будет базисом Рисса в H 1/2. j j j k k k=1 Γ λ+ ∞ Если условие (2.12) не выполнено, то в этом случае [15, с. 97] собственным значениям { j }j=1 отвечает множество собственных элементов {x+}∞ , образующих в J_0,S (Ω) базис Рисса с точноj j=1 стью до конечного дефекта. Отсюда получаем, что элементы {_u+ = (μA)-1/2x+}∞ , образуют баj j j=1 _ зис Рисса в J 1 (Ω) также с точностью до конечного дефекта. Для собственных значений {λ-}∞ 0,S j j=1 _ множество отвечающих им собственных элементов, после проектирования на M0(Ω) образует базис Рисса в M_ 0(Ω) с точностью до конечного дефекта. Отсюда, как и выше, устанавливаем, что 1/2 множество {λ-ζ-}∞ образует базис Рисса в H с точностью до конечного дефекта. k k k=1 Γ

About the authors

D. O. Tsvetkov

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Email: tsvetdo@gmail.com
Simferopol, Russia

References

Supplementary files