Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)4662810.22363/2413-3639-2025-71-3-508-523EBRWZEArticlesСтатьиResearch ArticleOscillations of a viscous fluid with an inertial free surfaceКолебания вязкой жидкости с инерционной свободной поверхностьюTsvetkovD. O.ЦветковД. О.tsvetdo@gmail.comV. I. Vernadsky Crimean Federal UniversityКрымский федеральный университет им. В. И. Вернадского15102025713Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума50852323102025Copyright ©; 2025, Tsvetkov D.O.Copyright ©; 2025, Цветков Д.О.2025Tsvetkov D.O.Цветков Д.О.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/46628The problem of small motions and normal oscillations of a viscous fluid is investigated. The free surface contains heavy particles of some substance. These particles do not interact with each other during the free surface oscillations, or their interaction is negligible. The original initial-boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for a first-order differential equation in a Hilbert space. After a detailed study of the properties of the operator coefficients, a theorem on the solvability of the resulting Cauchy problem is proved. Based on this, sufficient conditions for the existence of a solution to the initial-boundary value problem describing the evolution of the original hydraulic system are found. Statements regarding the structure of the problem spectrum and the basis property of the system of eigenfunctions are proved.Исследуется задача о малых движениях и нормальных колебаниях вязкой жидкости, когда на свободной поверхности находятся весомые частицы некоторого вещества, которые в процессе колебания свободной поверхности не взаимодействуют друг с другом, или их взаимодействие пренебрежимо мало. Исходная начально-краевая задача сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве. После детального изучения свойств операторных коэффициентов доказана теорема о разрешимости полученной задачи Коши. На этой основе найдены достаточные условия существования решения начально-краевой задачи, описывающей эволюцию исходной гидросистемы. Доказаны утверждения о структуре спектра задачи и о базисности системы собственных функций.viscous fluidinertial free surfacesmall motionsnormal vibrationsinitial-boundary value problemвязкая жидкостьинерционная свободная поверхностьмалые движениянормальные колебанияначально-краевая задача1.Агранович М. С. Спектральные задачи для сильно эллиптичесих систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей// Усп. мат. наук. - 2002. - 57, № 5. - С. 3-78.2.Габов С. А., Свешников А. Г. Математические задачи динамики флотирующей жидкости// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анализ. - 1990. - 28. - С. 3-86.3.Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. - Киев: Выща школа, 1989.4.Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - M.: Наука, 1965.5.Закора Д. А. Cпектральные свойства операторов в задаче о нормальных колебаниях смеси вязких сжимаемых жидкостей// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2023. - 69, № 1. - C. 73-97.6.Копачевский Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и ее приложениях к задаче Стокса// ТВИМ. - 2004. - 2. - С. 52-80.7.Копачевский Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые ее приложения. - Симферополь: ФОРМА, 2016.8.Копачевский Н. Д., Азизов Т. Я., Закора Д. А., Цветков Д. О. Операторные методы в прикладной математике. Т. 2. Основные курсы. - Симферополь: АРИАЛ, 2022.9.Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.10.Солдатов И. Н., Клюева Н. В. Азимутальные волны во вращающейся вязкой флотирующей жидкости// Прикл. мех. техн. физ. - 2021. - 62, № 2. - С. 110-121.11.Цветков Д. О. Колебания стратифицированной жидкости, частично покрытой льдом (общий случай)// Мат. заметки. - 2020. - 107, № 1. - С. 130-144.12.Цветков Д. О. Об одной краевой задаче, связанной с внутренней флотацией// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2024. - 70, № 3. - С. 498-515.13.Atkinson F. V., Langer H., Mennicken R., Shkalikov A. A. The essential spectrum of some matrix operators// Math. Nachr. - 1994. - 167. - С. 5-20.14.Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 1. - Basel- Boston-Berlin: Birkhauser, 2001.15.Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2. - Basel- Boston-Berlin: Birkhauser, 2003.16.Mandal B. N., Kundu K. A note on the singularities in the theory of water waves with an inertial surf ace// Austral. Math. Soc. - 1986. - 28, № 2. - С. 271-278.17.Metivier G. Valeurs propres d’operateurs definis par le restriction de systemes variationalles a des sousespaces// J. Math. Pures Appl. - 1978. - 57, № 2. - С. 133-156.18.Tsvetkov D. O. Oscillations of a liquid partially covered with ice// Lobachevskii J. Math. - 2021. - 42, № 5. - С. 1078-1093.