The second four-electron singlet in the Hubbard impurity model

Full Text

1. Введение В 1963 г. почти одновременно и независимо появились три работы [5, 6, 10], в которых была предложена простая модель металла, ставшая фундаментальной моделью теории сильно коррелированных электронных систем. В этой модели рассматривается единственная невырожденная зона электронов с локальным кулоновским взаимодействием. Гамильтониан модели содержит всего два параметра: параметр B перескока электрона с узла на соседний узел решетки и параметр U кулоновского отталкивания двух электронов в одном узле. В представлении вторичного квантования он записывается в виде H = B ) a+ am+τ,γ + U ) a+ am, a+ am, . (1.1) m,τ,γ m,γ m,↑ m ↑ m,↓ ↓ m,γ Здесь через a+ (am,γ ) обозначен Ферми-оператор рождения (уничтожения) электрона со спином γ на узле m, суммирование по τ означает суммирование по ближайшим соседям в решетке. Предложенная в [5, 6, 10] модель получила название модели Хаббарда в честь Дж. Хаббарда, внесшего фундаментальный вклад в изучение статистической механики этой системы, хотя локальная форма кулоновского взаимодействия впервые введена Андерсоном для примесной модели в металле (см. [3]). Напомним также, что модель Хаббарда является частным случаем полярной модели Шубина-Вонсовского (см. [18]), появившейся за тридцать лет до [5, 6, 10]. В модели Шубина-Вонсовского наряду с кулоновским взаимодействием на одном узле учитывается взаимодействие электронов на соседних узлах. Модель Хаббарда является приближением, которое используется в физике твердого тела для описания перехода между проводящим и диэлектрическим состояниями. Она представляет собой простейшую модель, описывающую взаимодействие частиц в решетке. Эти частицы могут быть фермионами или бозонами. Модель Хаббарда и примесная модель Хаббарда в настоящее время являются одними из наиболее изученных многоэлектронных моделей металлов (см. [4, 9, 13], а также [1, гл. III]) и [11, 12, 14, 15, 26]. Обзор [4] суммирует результаты, полученные для модели Хаббарда. Чем больше прогресса достигается в получении теоретических решений, тем яснее становится, что эта простая модель может демонстрировать поразительный набор фаз и режимов, многие из которых имеют явные параллели с наблюдаемым поведением широкого спектра сложных материалов. Например, имеются убедительные доказательства того, что ферромагнетизм, различные формы антиферромагнетизма, нетрадиционная сверхпроводимость, волны зарядовой плотности, электронные жидкокристаллические фазы и топологически упорядоченные фазы (такие как «спиновые жидкости»), среди прочих фаз, встречаются в конкретных реализациях модели Хаббарда. Роль модели Хаббарда в изучении высокотемпературной сверхпроводимости в купратах обсуждается в работе [4]. Также показано, что положительные собственные значения модели Хаббарда (соответствующие отталкивательным эффективным взаимодействиям) ослабевают, а отрицательные увеличиваются. Различные собственные функции соответствуют, но не определяются полностью неприводимым представлением точечной группы кристалла в модели Хаббарда. Однако о точных результатах для спектра и волновых функций кристалла, описываемого моделью Хаббарда, известно мало, поэтому получение соответствующих утверждений представляет большой интерес. Спектр и волновые функции системы двух электронов в кристалле, описываемой гамильтонианом Хаббарда, изучались в работе [11]. Известно, что двухэлектронные системы могут находиться в двух состояниях: триплетном и синглетном. В [11] доказано, что спектр гамильтониана системы Ht в триплетном состоянии является чисто непрерывным и совпадает с отрезком [m, M ]= [A - 2Bν, A + 2Bν], где ν - размерность решетки, а оператор Hs системы в синглетном состоянии, помимо непрерывного спектра [m, M ], имеет единственное антисвязанное состояние при некоторых значениях квазиимпульса. В работе [19] исследованы спектр и волновые функции системы трёх электронов в кристалле, описываемой гамильтонианом Хаббарда. В трёхэлектронных системах существует квартетное состояние и два типа дублетных состояний. В работе [19] доказано, что существенный спектр системы в квартетном состоянии состоит из одного сегмента, а связанное трёхэлектронное состояние отсутствует. Также показано, что существенный спектр системы в дублетных состояниях представляет собой объединение не более трёх сегментов, и доказано, что связанные трёхэлектронные состояния существуют в дублетных состояниях. Кроме того, спектры этих дублетных состояний различны, т. е. эти два дублетных состояния имеют разное происхождение. 1.1. Постановка задачи. В работе [20, 21] исследованы спектр и волновые функции системы четырёх электронов в кристалле, описываемой гамильтонианом Хаббарда. В четырёхэлектронных системах существует шесть состояний: квинтетное, триплетное трёхтипное и синглетное двухтипные. В работе [20] исследованы спектр и волновые функции четырёхэлектронных систем в модели Хаббарда в триплетных состояниях. В работе [21] рассмотрены спектр и волновые функции четырёхэлектронных систем в модели Хаббарда в квинтетном и синглетном состояниях. В работе [21] доказано, что существенный спектр системы в квинтетном состоянии чисто непрерывный и состоит из отрезка [4A - 8Bν, 4A + 8Bν], а четырехэлектронное связанное состояние или четырехэлектронное антисвязанное состояние отсутствуют. Естественным образом возникает вопрос: если рассматривать четырёхэлектронную систему в примесной модели Хаббарда, то как может измениться спектр системы? И собственно это привело нас к рассмотрению следующей задачи. Кроме того, интенсивное развитие физики плёнок, а также использование плёнок в различных областях физики и техники обуславливают большой интерес к изучению локальных примесных состояний магнетиков. Поэтому важно изучать спектральные свойства электронных систем в примесной модели Хаббарда. Спектр оператора энергии трёхэлектронных систем в примесной модели Хаббарда во втором дублетном состоянии исследовался в [2]. Структура существенных спектров и дискретного спектра трёхэлектронных систем в примесной модели Хаббарда в квартетном состоянии изучалась в [22]. Структура существенных спектров и дискретного спектра двухэлектронных систем в примесной модели Хаббарда в синглетном состоянии исследовалась в работах С. Ташпулатова [23, 24]. 2. Четырёхэлектронные системы в примесной модели Хаббарда. Второе синглетное состояние В настоящей работе рассматривается оператор энергии четырёхэлектронных систем в примесной модели Хаббарда и исследуется структура существенного и дискретного спектров системы для второго синглетного состояния. Гамильтониан выбранной модели имеет вид H = A ) a+ am,γ + B ) a+ am+τ,γ + U ) a+ am, a+ am, + (2.1) m,γ m,γ m,τ,γ m,γ m,↑ m ↑ m,↓ ↓ +(A0 - A) ) a+ a0,γ + (B0 - B) )(a+ aτ,γ + a+ a0,γ )+ (U0 - U )a+ a0, a+ a0, . 0,γ γ τ,γ 0,γ τ,γ 0,↑ ↑ 0,↓ ↓ Здесь A (A0) - энергия электрона в регулярном (примесном) узле решетки; B (B0) - интеграл переноса между электронами (между электроном и примесью) в соседних узлах (для удобства будем считать, что B > 0 и B0 > 0), τ = ±ej для j = 1, 2,... , ν, где ej - единичные взаимно ортогональные векторы, т. е. суммирование ведется по ближайшим соседям, U (U0) - параметр внутриузельного кулоновского взаимодействия двух электронов, соответственно, в регулярном 1 (примесном) узле решетки; γ - индекс спина, γ =↑, ↓, ↑ или ↓ обозначают значения спина 2 1 + или - 2 , а am,γ и am,γ - соответствующие операторы рождения и уничтожения электрона в узле m ∈ Zν. Четырехэлектронное второе синглетное состояние соответствует четырем связанным соp,q,r,t стояниям электронов (или антисвязанным состояниям) с базисными функциями: 2s0 = a + + + + 2 0 s p,↑aq,↓ar,↑at,↓ϕ0. Подпространство H , соответствующее четырехэлектронному второму синглетному состоянию, представляет собой множество всех векторов вида s = ) f (p, q, r, t) sp,q,r,t,f ∈ l2 , 2ψ0 p,q,r,t∈Zν 2 0 as 2 где las - подпространство антисимметричных функций в l2((Zν )4). В четырехэлектронных системах существуют квинтетные состояния, синглетные состояния двух типов и триплетные состояния трех типов. Энергия системы зависит от ее полного спина S. Наряду с гамильтонианом, электронная Ne система Ne характеризуется полным спином S, S = Smax, Smax - 1,... , Smin, Smax = 2 , 1 Smin = 0, 2 . Гамильтониан (2.1) коммутирует со всеми компонентами оператора полного спина S = (S+, S-, Sz ), поэтому структура собственных функций и собственных значений системы зависит от S. Гамильтониан H действует в антисимметричном пространстве Фока Has. Пусть ϕ0 - вакуумный вектор в пространстве Has. 0 Четырехэлектронное второе синглетное состояние соответствует свободному движению четырех электронов по решетке и их взаимодействию. Обозначим через 2H0 ограничение оператора H на подпространство 2 H . Оператор 2H0 мы s s s называем оператором четырехэлектронного второго синглетного состояния. 0 Теорема 2.1 (см. [21]). Подпространство 2 Hs инвариантно относительно оператора H, s а оператор 2H0 является ограниченным самосопряженным оператором. Он порождает ограниченный самосопряженный оператор 2H0, действующий в пространстве las следующим образом: 2H0 s 2 2ψ0 l s s = 4Af (p, q, r, t)+ B ) τ f (p + τ, q, r, t)+ f (p, q + τ, r, t)+ f (p, q, r + τ, t)+ f (p, q, r, t + τ ) + + U (δp,q + δp,t + δq,r + δr,t)f (p, q, r, t)+ (A0 - A)(δp,0 + δq,0 + δr,0 + δt,0)f (p, q, r, t)+ + (B0 - B) ) δp,0f (τ, q, r, t)+ δq,0f (p, τ, r, t)+ δr,0f (p, q, τ, t)+ δt,0f (p, q, r, τ )+ τ + δp,τ f (0, q, r, t)+ δq,τ f (p, 0, r, t)+ δr,τ f (p, q, 0, t)+ δt,τ f (p, q, r, 0)l + ) + (U0 - U δp,qδp,0 + δq,rδq,0 + δp,tδp,0 + δr,tδr,0 lf (p, q, r, t), (2.2) 0 где δk,j -символ Кронекера. Оператор 2H0 действует на вектор 2ψ0 ∈ 2 H следующим образом: s s s s s = ) ( Hsf )(p, q, r, t) sp,q,r,t. (2.3) 2H0 2ψ0 2 0 2 0 p,q,r,t 0 Доказательство. Действуем гамильтонианом H на векторы ψ ∈ 2 Hs, используя стандартные антикоммутационные соотношения между операторами рождения и уничтожения электронов в узn,β лах решетки, {am,γ , a+ m,γ } = δm,nδγ,β , {am,γ , an,β } = {a+ 0 , a + n,β } = θ, а также учитываем, что am,γ ϕ0 = θ, где θ - нулевой элемент 2 Hs. Это даёт утверждение теоремы. Лемма 2.1. Спектры операторов 2H0 и 2H0 совпадают. s s Доказательство. Поскольку 2H0 и 2H0 являются ограниченными самосопряженными оператоs s s рами, то отсюда следует, что если λ ∈ σ(2H0), то критерий Вейля (см. [16, гл. VII, с. 262-263]) под- ψi}∞ такая, что ψi = ), fi(p, q, r, t) 2s0 , разумевает, что существует последовательность { ||ψi|| = 1, и i=1 p,q,r,t p,q,r,t lim ||(2H0 - λ)ψi|| = 0. (2.4) С другой стороны, i→∞ s 2 0 2 ||( Hs - λ)ψi|| s = ((2H0 2 s § λ)ψi, ( H0 § λ)ψi)= = ) ||(2H0 - λ)f (p, q, r, t)|| (a a a a ϕ ,a a a a ϕ )= s i p,q,r,t 2 + p,↑ + q,↓ + r,↑ + t,↓ 0 + p,↑ + q,↓ + r,↑ + t,↓ 0 2 = ) ||(2H0 - λ)f (p, q, r, t)|| (a a a a a+ a+ a+ a+ ϕ ,ϕ )= s i p,q,r,t t,↓ r,↑ q,↓ p,↑ p,↑ q,↓ r,↑ t,↓ 0 0 = ) || p,q,r,t (2H0 - λ)f (p, q, r, t)|| (ϕ ,ϕ 2 2 2 s i 0 0 s i 0 )= ||( H - λ)F || 2 2 2 2 0 и ||Fi|| = ), p,q,r,t |fi(p, q, r, t)| = ||ψi|| = 1. Отсюда и из формул (2.4) следует, что || Hs Fi-λFi|| → 0 0 0 0 при i → ∞, и Fi = ), p,q,r,t fi(p, q, r, t). Следовательно, λ ∈ σ(2Hs ). Таким образом, σ(2Hs ) ⊂ σ(2Hs ). s С другой стороны, пусть λ ∈ σ(2H0). Опять же по критерию Вейля существует последовательi=1 ность {Fi}∞ такая, что ||Fi || =1 и lim ||(2H0 - λ)ψ || = 0. (2.5) i→∞ s i 1 Приняв Fi = ), p,q,r,t 0 ( ), fi(p, q, r, t), имеем ||Fi|| = p,q,r,t 0 2 2 |fip, q, r, t| и заключаем, что ||ψi|| = s ||Fi || =1 и ||(2Hs - λ)Fi|| = ||(2Hs - λ)ψi|| → 0, поскольку i → ∞. Это означает, что λ ∈ σ(2H0) и, следовательно, σ(2H0) ⊂ σ(2H0). Эти два отношения дают равенство σ(2H0)= σ(2H0). s s s s 0 Обозначим через F преобразование Фурье: F : l2((Zν )4) → L2((T ν )4) ≡ 2 Hs, где Tν - это νмерный тор, наделенный нормализованной мерой Лебега dλ, λ(Tν )= 1. Положим 2H 0 = F 2H0F-1. В квазиимпульсном представлении оператор 2H0 действует в s s s Las ν 4 as гильбертовом пространстве в L2((T ν )4). 2 ((T ) ), где L2 - подпространство антисимметричных функций s Теорема 2.2 (см. [21]). Преобразование Фурье оператора 2H0 -это ограниченный самосопряженный оператор 2H 0 = F 2H0 F-1, действующий в пространстве 2H0 по формуле s s s ν 2 0 2 0 ) H s { ψs = {4A + 2B i=1 [cos λi + cos μi + cos γi + cos θi]}f (λ, μ, γ, θ)+ r r + U f (s, μ, λ + γ - s, η)ds + U T ν T ν r r f (t, μ, γ, λ + θ - t)dt + U T ν r r f (λ, ξ, μ + γ - ξ, θ)dξ + + U f (λ, η, γ, μ + θ - η)dη + ε1[ T ν T ν f (s, μ, γ, θ)ds + T ν f (λ, t, γ, θ)dt + r r + f (λ, μ, ξ, θ)dξ + T ν T ν r f (λ, μ, γ, η)dη]+ 2ε2 T ν ν )[cos λi + cos si] × i=1 r × f (s, μ, γ, θ)ds + 2ε2 T ν r ν r )[cos μi + cos ti]f (λ, t, γ, θ)dt + 2ε2 i=1 T ν ν r ν )[cos γi + cos ξi] × i=1 r × f (λ, μ, ξ, θ)dξ + 2ε2 )[cos θi + cos ηi]f (λ, μ, γ, η)dη + ε3[ f (s, μ, ξ, θ)dsdξ + T ν i=1 r r r r T ν T ν r r + T ν T ν f (λ, t, ξ, θ)dtdξ + T ν T ν f (s, μ, γ, η)dsdη + T ν T ν f (λ, t, ξ, θ)dtdξ]. (2.6) Для доказательства теоремы 2.2 рассмотрим преобразование Фурье (2.2). 0 Используя тензорные произведения гильбертовых пространств и тензорные произведения операторов в гильбертовых пространствах [17], можно проверить, что оператор 2H s можно представить в виде r H s 2 0 = {H1 ⊗ I + I ⊗ H1 + 2U r r f (s, λ + μ - s)ds + 2(U0 - U ) f (s, t)dsdt}⊗ T ν r ⊗ I ⊗ I + I ⊗ I ⊗ {H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 + 2U T ν T ν r f (s, λ + μ - s)ds + 2(U0 - U ) r f (s, t)dsdt}, (2.7) T ν T ν T ν где ν r (H 1f )(λ)= {A + 2B )[cos λi]}f (λ)+ ε1 ν r f (s)ds + 2ε2 ) [cos λi + cos si]f (s)ds i=1 T ν i=1T ν - оператор энергии одноэлектронных систем в примесной модели Хаббарда. Спектральные свойства четырёхэлектронных систем в примесной модели Хаббарда в первом синглетном состоянии тесно связаны со свойствами её одноэлектронных подсистем в примесной модели Хаббарда. Поэтому сначала исследуется спектр и локализованные примесные состояния одноэлектронных систем. Использование плёнок в различных областях физики и техники обусловливает большой интерес к изучению локализованного примесного состояния (ЛПС) магнетика. В связи с этим изучение спектральных свойств электронных систем в примесной модели Хаббарда представляется важным. 3. Одноэлектронные системы в примесной модели Хаббарда Гамильтониан одноэлектронных систем в примесной модели Хаббарда имеет вид m,γ H = A ) a+ m,γ m,γ am,γ +B ) a+ m,τ,γ 0,γ am+τ,γ +(A0-A) ) a+ γ 0,γ a0,γ +(B0 -B) )(a+ τ,γ τ,γ aτ,γ +a+ a0,γ ), (3.1) где A (A0) - энергия электрона в регулярном (примесном) узле решетки; B > 0 (B0 > 0)- интеграл переноса между электронами (между электроном и примесью) в соседних узлах, τ = ±ej,j = 1, 2,... , ν, где ej - единичные взаимно ортогональные векторы, что означает, что суммирование производится по ближайшим соседям; γ - индекс спина, γ =↑ или γ =↓, ↑ и ↓ обозначают значения спина 1 2 и - , а a 1 + 1. m,γ и am,γ - соответствующие операторы рождения и уничтожения электрона в узле m ∈ Zν. p,↑ Обозначим через H1 гильбертово пространство, натянутое на векторы вида ψ = ), a+ ϕ0. Оно p называется пространством одноэлектронных состояний оператора H. Пространство H1 инвариантно относительно действия оператора H. Обозначим через H1 = H|ГH1 ограничение H на подпространство H1. Как и при доказательстве теоремы 2.1, используя стандартные антикоммутационные соотношения между операторами рождения и уничтожения электронов в узлах решетки, получаем следующее утверждение. Теорема 3.1 (см. [23]). Подпространство H1 инвариантно относительно действия оператора H, а ограничение H1 является линейным ограниченным самосопряженным оператором, действующим в H1 по формуле p,↑ H1ψ = )(H1f )(p)a+ ϕ0,ψ ∈ H1, (3.2) p где H1 -линейный ограниченный самосопряженный оператор, действующий в пространстве l2 по формуле (H1f )(p)= Af (p)+ B ) f (p + τ )+ ε1δp,0f (p)+ ε2 )(δp,τ f (0) + δp,0f (τ )). (3.3) τ τ Лемма 3.1. Спектры операторов H1 и H1 совпадают. Доказательство леммы 3.1 аналогично доказательству леммы 2.1. Как и в разделе 2, обозначим через F : l2(Zν ) → L2(Tν ) ≡ H1 преобразование Фурье. Полагая H 1 = FH1F-1, получаем, что оператор H1 действует в гильбертовом пространстве L2(Tν ). Используя равенство (3.3) и свойства преобразования Фурье, получаем следующее утверждение. Теорема 3.2 (см. [23]). Оператор H 1 действует в пространстве H1 по формуле ν r (H 1f )(μ)= [A + 2B ) cos μi]f (μ)+ ε1 i=1 T ν f (s)ds + r + 2ε2 T ν ν )[cos μi + cos si]f (s)ds, μ = (μ1,... , μn),s = (s1,... , sn) ∈ Tν. (3.4) i=1 Ясно, что непрерывный спектр оператора H1 не зависит от чисел ε1 и ε2 и равен отрезку ν [mν, Mν ]= [A - 2Bν, A + 2Bν], где mν = min h(x), Mν = max h(x) (здесь h(x)= A + 2B ), cos xi). x∈T ν x∈T ν i=1 Для нахождения собственных значений и собственных функций оператора H 1 перепишем (3.4) в следующем виде: ν r {A + 2B ) cos μi - z}f (μ)+ ε1 r f (s)ds + 2ε2 ν )[cos μi + cos si]f (s)ds = 0, (3.5) где z ∈ R. i=1 T ν T ν i=1 Пусть ν = 1. Обозначим a = [ f (s)ds, b = [ f (s) cos sds, h(μ) = A + 2B cos μ. Из (3.5) следует, что T f (μ)= - T (ε1 +2ε2 cos μ)a +2ε2b . (3.6) h(μ) - z Теперь подставим (3.6) в выражение для a и b, что даёт следующую систему двух линейных однородных алгебраических уравнений: r (1 + T ε1 +2ε2 cos s h(s) - z r ds)a + 2ε2 T ds h(s) - z b = 0; r cos s(ε1 +2ε2 cos s) h(s) - z T r dsa + (1+ 2ε2 T cos sds h(s) - z )b = 0. Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель Δ1(z) этой системы равен нулю, где r Δ1(z)= (1 + T (ε1 +2ε2 cos s)ds ) (1 + 2ε r h(s) - z · 2 T cos sds r ) - 2ε2 h(s) - z T ds r h(s) - z T cos s(ε1 +2ε2 cos s) ds. h(s) - z Таким образом, справедливо следующее утверждение. Лемма 3.2. Если действительное число z ∈/ [m1, M1], то z является собственным значением оператора H 1 тогда и только тогда, когда Δ1(z)= 0. Доказательство. Если z0 является собственным значением оператора H 1, то правая часть (3.5) равна z0f (λ). Следовательно, Δ1(z0)= 0. Теперь пусть Δ1(z0)= 0. Тогда однородное уравнение r f (λ)+ ε1 T ν f (s)ds ν A + 2B ), cos si - z i=1 r + 2ε2 T ν ν ), [cos si + cos λi]ds =0 i=1 ν A + 2B ), cos si - z i=1 имеет нетривиальное решение. Следовательно, число z = z0 является собственным значением оператора H 1. Спектр оператора H 1 подробно описан в работах [23] и [24]. Для полноты изложения приведем эти теоремы. Теорема 3.3 (см. [23, 24]). 1. Если ε2 = -B и ε1 < -2B (соответственно, ε2 = -B и ε1 > 2B), то оператор H 1 имеет единственное собственное значение z = A+ε1, лежащее ниже (выше) непрерывного спектра оператора H 1. 1 2. Если ε1 < 0 и ε2 = -2B или ε2 =0 (соответственно, ε1 > 0 и ε2 = -2B или ε2 = 0), то оператор H 1 имеет единственное собственное значение z = A - ...4B2 + ε2 (соответственно, 1 z = A + ...4B2 + ε2), лежащее ниже (выше) непрерывного спектра оператора H 1. 3. Если ε1 = 0 и ε2 > 0 или ε1 = 0 и ε2 < -2B, то оператор H 1 имеет два собственных 2BE E2 значения z1 = A - √ - 1 2BE и z2 = A + √ , где E = E2 - 1 (B + ε2)2 2 ε2 + 2Bε2 , лежащие ниже и выше непрерывного спектра оператора H 1. 2(ε2 + 2Bε2) 2(ε2 + 2Bε2) 4. Если ε1 = 2 B B (соответственно, ε1 = - 2 2B(E2 + 1) ), то оператор H 1 имеет един- 2B(E2 + 1) ственное собственное значение z = A + (B + ε2)2 E2 - 1 (соответственно, z = A - ), E2 - 1 где E = ε2 2 + 2Bε2 , лежащее выше (ниже) непрерывного спектра оператора H 1. 5. Если ε2 > 0 и ε1 > 2 2(ε2 + 2Bε2) (соответственно, ε2 < -2B и ε1 > 2 2(ε2 + 2Bε2) ), то B оператор H 1 имеет единственное собственное значение z = A + (B + ε2)2 B - 2B(α + E√E2 1+ α2) , E2 - 1 где E = ε2 2 + 2Bε2 и α > 1, лежащее выше непрерывного спектра оператора H 1. 6. Если ε2 > 0 и ε1 < - 2 2(ε2 + 2Bε2) (соответственно, ε2 < -2B и ε1 < - 2 2(ε2 + 2Bε2) ), то опе- B ратор H 1 имеет единственное собственное значение z = A - (B + ε2)2 √ - B 2B(α + E E2 1+ α2) < m1, E2 - 1 где E = ε2 2 + 2Bε2 и α > 1, лежащее ниже непрерывного спектра оператора H 1. 7. Если ε2 > 0 и 0 < ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) (соответственно, ε2 < -2B и 0 < ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) ), B то оператор H 1 имеет ровно два собственных значения z1 = A + B - - 2B(α E√E2 1+ α2) < m1 E2 - 1 и z2 = A + - 2B(α + E√E2 1+ α2) > M1, где E = E2 - 1 ε2 (B + ε2)2 2 + 2Bε2 и 0 < α < 1, лежащие соответственно ниже и выше непрерывного спектра оператора H 1. 2(ε2 + 2Bε2) 2(ε2 + 2Bε2) B 8. Если ε2 > 0 и - 2 B < ε1 < 0 (соответственно, ε2 < -2B и - 2 < ε1 < 0), то оператор H 1 имеет ровно два собственных значения z1 = A - 2B(α + E√E2 - 1+ α2) E2 - 1 < m1 и z2 = A - 2B(α - E√E2 - 1+ α2) E2 - 1 > M1, где E = 2 (B + ε2)2 ε2 + 2Bε2 и 0 < α < 1, лежащие, соответственно, ниже и выше непрерывного спектра оператора H 1. 9. Если -2B < ε2 < 0, то оператор H 1 не имеет собственных значений, лежащих вне непрерывного спектра оператора H 1. Доказательство. В одномерном случае непрерывный спектр оператора H 1 совпадает с отрезком [m1, M1] = [A - 2B, A + 2B]. Выражая все интегралы в уравнении Δ1(z) = 0 через интеграл J (z)= [ T ds A + 2B cos s - z , находим, что уравнение Δ1(z)=0 эквивалентно уравнению 2 ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A) J (z)+ (B + ε2)2 = 0. (3.7) Более того, функция J (z)= [ T ds A + 2B cos s - z является дифференцируемой функцией на мноds жестве R \ [m1, M1], при этом J t(z) = [ T [A + 2B cos s - z]2 > 0,z ∈/ [m1, M1]. Таким образом, функция J (z) является монотонно возрастающей функцией на (-∞, m1) и на (M1, +∞). Кроме того, J (z) → +0 при z → -∞, J (z) → +∞ при z → m1 - 0, J (z) → -∞ при z → M1 + 0, и J (z) → -0 при z → +∞. 2 Если ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A) /= 0, то из (3.7) следует, что (B + ε2)2 J (z)= - ε B2 + (ε2 . 1 (B + ε2)2 Функция ψ(z) = - ε B2 + (ε2 2 + 2Bε2)(z - A) имеет точку асимптотического разрыва z0 = B2ε1 1 2 + 2Bε2)(z - A) 2 (B + ε2)2(ε2 + 2Bε2) - ε2 A 2 + 2Bε2 . Так как ψt(z) = 2 [ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A)]2 для всех z /= z0, то функция ψ(z) является монотонно возрастающей (убывающей) функцией на (-∞, z0) и на (z0, +∞) в случае ε2 2 2 + 2Bε2 > 0 (соответственно, ε2 + 2Bε2 < 0), кроме того, и если ε2 > 0, или ε2 < -2B, тогда ψ(z) → +0 при z → -∞, ψ(z) → +∞ при z → z0 - 0, ψ(z) → -∞ при z → z0 + 0, ψ(z) → -0 при z → +∞ (соответственно, если -2B < ε2 < 0, тогда ψ(z) → -0 при z → -∞, ψ(z) → -∞ при z → z0 - 0, ψ(z) → +∞ при z → z0 + 0, ψ(z) → +0 при z → +∞). 1. Если ε2 = -B и ε1 < -2B (соответственно, ε2 = -B и ε1 > 2B), то уравнение для собственных значений и собственных функций (3.7) имеет вид {ε1B2 - B2(z - A)}J (z)= 0. (3.8) Ясно, что J (z) /= 0 для значений z ∈/ σcont(H 1). Следовательно, ε1 - z + A = 0, т. е. z = A + ε1. Если ε1 < -2B (ε1 > 2B), то это собственное значение лежит ниже (выше) непрерывного спектра оператора H 1. 2. Если ε1 < 0 и ε2 = -2B или ε2 = 0 (соответственно ε1 > 0 и ε2 = -2B или ε2 = 0), то уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид ε1B2J (z)+ B2 = 0, 1 ε т. е. J (z) = - 1 . Ясно, что интеграл J (z), вычисленный снизу (сверху) непрерывного спектра оператора H 1, больше (меньше) нуля, следовательно, ε1 < 0 (ε1 > 0). Вычисленный снизу непреds рывного спектра оператора H 1 интеграл J (z)= [ T ν A + 2B cos s - z имеет уравнение вида 1 1 - = . ...(A - z)2 - 4B2 ε1 1 Это уравнение имеет решение z = A-...ε2 + 4B2, лежащее ниже непрерывного спектра оператора H 1. Ниже непрерывного спектра оператора H 1 уравнение принимает вид 1 1 - - = . ...(z - A)2 - 4B2 ε1 1 Это уравнение имеет решение вида z = A + ...ε2 + 4B2, лежащее выше непрерывного спектра оператора H 1. 3. Если ε1 = 0 и ε2 > 0 или ε1 = 0 и ε2 < -2B, то уравнения для собственных значений и собственных функций принимают вид 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A)J (z)= -(B + ε2)2 или J (z)= -(ε2 (B + ε2)2 . 2 + 2Bε2)(z - A) Обозначим E = ε2 (B + ε2)2 2 + 2Bε2 . Тогда J (z)= - E z - A или J (z)= E A - z . Ниже непрерывного спектра оператора H 1 имеем уравнение вида 1 E = . ...(A - z)2 - 4B2 2BE A - z 2 Это уравнение имеет решение z = A - √E2 . Очевидно, что E - 1 > 1. Это собственное значение, лежащее ниже непрерывного спектра оператора H 1. Выше непрерывного спектра оператора H 1 уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид 2BE 1 - - = ...(z - A)2 - 4B2 E . z - A Отсюда находим z = A + √ . Это собственное значение лежит выше непрерывного спектра E2 - 1 оператора H 1. 4. Если ε1 = имеет вид 2 2(ε2 + 2Bε2) B , то уравнение для собственных значений и собственных функций Отсюда 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A + 2B)J (z)= -(B + ε2)2. J (z)= -(ε2 (B + ε2)2 . (3.9) Обозначим E = ε2 (B + ε2)2 2 + 2Bε2 2 + 2Bε2)(z - A + 2B) . В первом случае рассмотрим уравнение (3.9) ниже непрерывного спектра оператора H 1. Из уравнения (3.9) получаем 1 = ...(A - z)2 - 4B2 2B(E2 + 1) E . A - z - 2B Отсюда находим z1 = A+ E2 1 и z2 = A-2B. Теперь проверим условия zi < A-2B, i = 1, 2. - Неравенство z1 < A - 2B неверно, и неравенство z2 < A - 2B также неверно. Выше непрерывной части спектра имеем 1 - - = ...(z - A)2 - 4B2 E . z - A + 2B В этом уравнении находим решения для непрерывного спектра оператора H 1. Проверим условия zi > A + 2B, i = 1, 2. Неравенство z1 > A + 2B верно, а неравенство z2 > A + 2B неверно. Следовательно, в этом случае оператор H 1 имеет единственное собственное значение z1 = A + 2B(E2 + 1) E2 - 1 , лежащее выше непрерывного спектра оператора H 1. 2(ε2 + 2Bε2) Пусть ε1 = - 2 примет вид B (B + ε2)2 ε2 где E = . 2 + 2Bε2 , тогда уравнение собственных значений и собственных функций E J (z)= - z - A - 2B , Ниже непрерывного спектра оператора H 1 имеем уравнение вида 1 = ...(A - z)2 - 4B2 E . A - z + 2B Отсюда находим z1 = A - 2B(E2 + 1) 2 1 - и z = A + 2B. Полученное неравенство z < A 2B верно, E2 - 1 а z2 < A - 2B неверно. В приведенном выше уравнении непрерывного спектра оператора имеем уравнение вида H 1 1 - - = ...(z - A)2 - 4B2 2B(E2 + 1) E . z - A - 2B Отсюда следует, что z1 = A - и z2 = A + 2B. Неравенства z1 > A + 2B и z2 > A + 2B E2 - 1 неверны. Следовательно, в этом случае оператор H 1 имеет единственное собственное значение 2B(E2 + 1) 1 z1 = A - , лежащее ниже непрерывного спектра оператора H . E2 - 1 2(ε2 + 2Bε2) 2(ε2 + 2Bε2) 5. Если ε2 > 0 и ε1 > 2 B B (соответственно, ε2 < -2B и ε1 > 2 ), то необходимо считать, что ε1 = α 2 2(ε2 + 2Bε2) B , где α > 1 - действительное число. Тогда уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид или 2 ( 2(ε2 + 2Bε2) α B 2 B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A) J (z)+ (B + ε2)2 =0 Отсюда 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A + 2αB)J (z)+ (B + ε2)2 = 0. J (z)= -(ε2 (B + ε2)2 . (B + ε2)2 2 + 2Bε2)(z - A + 2αB) E Обозначим E = ε2 2 + 2Bε2 , тогда J (z) = - z - A + 2αB . В первом случае рассмотрим это уравнение ниже непрерывного спектра оператора H 1. Тогда 1 E = . Это уравнение имеет решения ...(A - z)2 - 4B2 A - z - 2αB z1 = A + - 2B(α + E√E2 1+ α2) , z2 = A + E2 - 1 . 2B(α - E√E2 - 1+ α2) E2 - 1 Теперь проверим условия zi < A - 2B, i = 1, 2. Решение z1 не удовлетворяет условию z1 < A - 2B, но z2 удовлетворяют условию z2 < A - 2B. Теперь проверим условие z2 < A - 2αB. Оказывается, это неравенство неверно. Неравенство z1 > A+ 2B верно, а z2 > A+ 2B неверно. Проверим теперь условие z1 > A - 2αB. Поскольку A - 2αB < A + 2B, это неравенство верно. Следовательно, в этом случае оператор H 1 имеет единственное собственное значение 2B(α + E√E2 - 1+ α2) z1 = A + , E2 - 1 расположенное выше непрерывного спектра оператора H 1. 2(ε2 + 2Bε2) 2(ε2 + 2Bε2) B 6. Если ε2 > 0 и ε1 < - 2 B (соответственно, ε2 < -2B и ε1 < - 2 ), то мы предполагаем, что ε1 = -α 2 2(ε2 + 2Bε2) B , где α > 1 - действительное число. Уравнение для собственных значений и собственных функций принимает вид 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A - 2αB)J (z)= -(B + ε2)2. Отсюда J (z)= -(ε2 (B + ε2)2 . 2 + 2Bε2)(z - A - 2αB) Вводим обозначение E = ε2 (B + ε2)2 2 + 2Bε2 . Тогда E J (z)= - z - A - 2αB . (3.10) Ниже непрерывного спектра оператора H 1 имеем уравнение E откуда J (z)= , A - z + 2αB Это уравнение принимает вид 1 = ...(A - z)2 - 4B2 E . A - z + 2αB Находим (E2 - 1)(A - z)2 - 4αB(A - z) - 4B2(E2 + α2)= 0. z1 = A - - 2B(α + E√E2 1+ α2) 2 - , z = A E2 - 1 . 2B(α - E√E2 - 1+ α2) E2 - 1 Теперь проверим условия zi < m1 = A - 2B, i = 1, 2. Видно, что z1 < A - 2B верно, а z2 < A - 2B неверно. Теперь рассмотрим уравнение (3.10) выше непрерывного спектра оператора H 1. Тогда E J (z)= - z - A - 2αB . Отсюда Находим 1 - - = ...(z - A)2 - 4B2 E . z - A - 2αB z1 = A - - 2B(α + E√E2 1+ α2) , z2 = A + E2 - 1 . 2B(-α + E√E2 - 1+ α2) E2 - 1 Проверяем условия zi > A + 2B, i = 1, 2. Таким образом, z1 > A + 2B неверно, а z2 > A + 2B верно. Проверим теперь условие z2 > A + 2αB. Это неравенство неверно. Следовательно, в этом случае оператор H 1 имеет единственное собственное значение 2B(α + E√E2 - 1+ α2) z1 = A - < m1, E2 - 1 т. е. лежащее ниже непрерывного спектра оператора H 1. 2(ε2 + 2Bε2) 2(ε2 + 2Bε2) 7. Если ε2 > 0 и 0 < ε1 < 2 B B (соответственно, ε2 < -2B и 0 < ε1 < 2 ), то мы предполагаем, что ε1 = α 2 2(ε2 + 2Bε2) B , где 0 < α < 1 - действительное число. Уравнение для собственных значений и собственных функций принимает вид 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A + 2αB)J (z)= -(B + ε2)2, 0 < α < 1. (3.11) (B + ε2)2 Обозначим E = ε2 . 2 + 2Bε2 Тогда уравнение (3.11) примет вид E J (z)= - z - A + 2αB . Ниже непрерывного спектра оператора H 1 имеем уравнение вида 1 = ...(A - z)2 - 4B2 Это уравнение имеет решения 2B(α + E√E2 - 1+ α2) E A - z - 2αB , 0 < α < 1. 2B(α - E√E2 - 1+ α2) z1 = A + , z2 = A + E2 - 1 . E2 - 1 Неравенства z1 < A - 2B и z1 < A - 2αB выполняются. Неравенство z2 < A - 2B верно, а неравенство z1 < A - 2B неверно. Проверим теперь условие z2 < A - 2αB. Так как A - 2B < A- 2αB, это неравенство верно. Рассмотрим теперь уравнение (3.11) выше непрерывного спектра оператора H 1. Уравнение имеет вид 1 - - = ...(z - A)2 - 4B2 Это уравнение имеет решения E . z - A + 2αB z1 = A + - 2B(α + E√E2 1+ α2) , z2 = A + E2 - 1 . 2B(α - E√E2 - 1+ α2) E2 - 1 Неравенства z1 > A + 2B и z1 > A - 2αB верны. Так как A + 2B > A - 2αB, то неравенство z1 > A - 2αB верно. Неравенства z2 > A + 2B и z2 > A + 2αB неверны. Следовательно, в этом случае оператор H 1 имеет ровно два собственных значения z1 = A + - - 2B(α E√E2 1+ α2) , z2 = A + E2 - 1 - 2B(α + E√E2 1+ α2) , E2 - 1 лежащие снизу и сверху непрерывного спектра оператора H 1. 2(ε2 + 2Bε2) 2(ε2 + 2Bε2) - 8. Если 2 B B < ε1 < 0 (соответственно, ε2 < -2B и - 2 < ε1 < 0), то принимаем ε1 = -α 2 2(ε2 + 2Bε2) B , где 0 < α < 1 - действительное число. Тогда уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A - 2αB)J (z)= -(B + ε2)2, 0 < α < 1. (B + ε2)2 Обозначим E = ε2 2 + 2Bε2 . Тогда уравнение (3.7) примет вид E J (z)= - z - A - 2αB . Внизу непрерывного спектра оператора H 1 имеем уравнение вида 1 = ...(A - z)2 - 4B2 Решения этого уравнения: 2B(α + E√E2 - 1+ α2) E A - z + 2αB , 0 < α < 1. 2B(α - E√E2 - 1+ α2) z1 = A - , z = A E2 - 1 2 - . E2 - 1 Неравенства z1 < A - 2B и z1 < A - 2αB выполняются. Неравенства z2 < A - 2B верны, и неравенство z1 < A - 2B верно. Проверим теперь условие z2 < A - 2αB. Так как A - 2B < A - 2αB, это неравенство неверно. Рассмотрим теперь уравнение (3.11) верхней части непрерывного спектра оператора H 1. Мы имеем уравнение вида Решения этого уравнения: 1 - - = ...(z - A)24B2 E . z - A + 2αB z1 = A - - 2B(α + E√E2 1+ α2) 2 - , z = A E2 - 1 . 2B(α - E√E2 - 1+ α2) E2 - 1 Неравенства z1 > A + 2B и z1 > A - 2αB неверны. Так как A + 2B > A - 2αB, неравенство z1 > A - 2αB неверно. Неравенства z2 > A + 2B и z2 > A + 2αB верны. Следовательно, в этом случае оператор H 1 имеет ровно два собственных значения z1 = A - - 2B(α + E√E2 1+ α2) 2 - , z = A E2 - 1 , 2B(α - E√E2 - 1+ α2) E2 - 1 лежащие снизу и сверху непрерывного спектра оператора H 1. 2 9. Если -2B < ε2 < 0, то ε2 + 2Bε2 < 0 и функция ψ(z)= - (B + ε2)2 2 ε1B + (ε2 + 2Bε2)(z - A) является убывающей функцией в интервалах (-∞, z0) и (z0, +∞). Имеем ψ(z) → -0 при z → -∞; ψ(z) → -∞ при z → z0 - 0; ψ(z) → +0 при z → +∞; ψ(z) → +∞ при z → z0 + 0. Также J (z) → 0 при z → -∞; J (z) → +∞ при z → m1 - 0; J (z) → -∞ при z → M1 + 0; J (z) → -0 при z → +∞. Следовательно, уравнение ψ(z) = J (z) не может иметь решений вне непрерывного спектра оператора H 1. Следовательно, в этом случае оператор H 1 не имеет собственных значений, лежащих вне непрерывного спектра оператор H 1. Теперь рассмотрим двумерный случай. В двумерном случае имеем, что уравнение Δ2(z) = 0 эквивалентно уравнению вида 2 (ε2 + B)2 + {ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A)}J (z)= 0, где r J (z)= T 2 ds1ds2 . A + 2B(cos s1 + cos s2) - z В этом случае также J (z) → +0 при z → -∞; J (z) → +∞ при z → m2 - 0; J (z) → -∞ при z → M2 + 0; J (z) → -0 при z → +∞. В одномерном и двумерном случаях поведение функции J (z) аналогично. Следовательно, получаем аналогичные результаты для одномерного случая. Рассмотрим трёхмерный случай. Обозначим через W интеграл Ватсона [25]: 1 W = π3 π π π r r r 0 0 0 3dxdydz 2. - cos x - cos y - cos z ∼= 1, 516. Поскольку мера λ нормирована, π π π r r r J = dxdydz 3 - cos x - cos y - cos z π π π π r r r r = dxdydz W = . 3+ cos x + cos y + cos z 3 -π -π -π -π -π -π -π В трёхмерном случае спектр оператора H 1 также хорошо описан в работах [23, 24]. Для полноты изложения приведём эти теоремы. Теорема 3.4 (см. [23, 24]). Пусть ν = 3. Тогда: 3. 1) Если ε2 = -B и ε1 < -6B (соответственно, ε2 = -B и ε1 > 6B), то оператор H 1 имеет единственное собственное значение z = A + ε1, лежащее ниже (выше) непрерывного спектра оператора H 1. 2) Если ε2 = -B и -6B ε1 < -2B (соответственно, ε2 = -B и 2B < ε1 6B), то оператор H 1 не имеет собственных значений, лежащих ниже (выше) непрерывного спектра оператора H 1. 6B 4. Если ε2 = -2B или ε2 = 0 и ε1 < 0, ε1 - W (соответственно, ε2 = -2B или ε2 = 0 6B и ε1 > 0, ε1 W ), то оператор H 1 имеет единственное собственное значение z1 (соответственно, z2), лежащее ниже (выше) непрерывного спектра оператора H 1. Если ε2 =0 и 6B ε1 < 0 и - W ε1 < 0 (соответственно, ε2 = 0 и ε1 < 0 и 0 < ε1 6B W ), то оператор H 1 не имеет собственных значений вне непрерывного спектра оператора H 1. 5. Если ε1 =0 и ε2 > 0, E < W (соответственно, ε1 =0 и ε2 < -2B, E < W ), то оператор H 1 (B + ε2)2 имеет единственное собственное значение z (z), где E = ε2 2 + 2Bε2 , лежащее ниже (выше) непрерывного спектра оператора H 1. Если ε1 =0 и ε2 > 0, E > W (соответственно, ε1 =0 и ε2 < -2B, E > W ), то оператор H 1 не имеет собственных значений вне непрерывного спектра оператора H 1. 6. Если ε1 = 2 2(ε2 + 2Bε2) B 4 и E < 3 2. (соответственно, ε1 = - 2 2(ε2 + 2Bε2) B 4 и E < 3 W ), то оператор H 1 имеет единственное собственное значение z (соответственно, z), лежащее выше (ниже) непрерывного спектра оператора H 1. 1. Если ε2 > 0 и ε1 > 2 2(ε2 + 2Bε2) B 1+ W и E < ( α 3 (соответственно, ε2 < -2B и ε1 > 2(ε2 + 2Bε2) ( α 2 и E < 1+ B 3 W ), то оператор H 1 имеет единственное собственное значение z, лежащее выше непрерывного спектра оператора H 1. 2. Если ε2 > 0 и ε1 < - 2 α 2(ε2 + 2Bε2) B 1 + и E < ( 3 W (соответственно, ε2 < -2B и 2(ε2 + 2Bε2) ( α B ε1 < - 2 и E < 1+ 3 W ), то оператор H 1 имеет единственное собственное значение z1, лежащее ниже непрерывного спектра оператора H 1. 3. Если ε2 > 0 и 0 < ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) B W - и (1 α 3 1+ W < E < ( α 3 (соответственно, ε2 < -2B и 0 < ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) B и 1 + - 1 ( α W < E < ( α 3 3 W ), то оператор H 1 имеет ровно два собственных значения z1 и z2, лежащие выше и ниже непрерывного спектра оператора H 1. 4. Если ε2 > 0 и - 2 α 2(ε2 + 2Bε2) B W 3 < ε1 < 0 и (1 - 1+ W < E < ( α 3 (соответственно, ε2 < -2B и - 2 2(ε2 + 2Bε2) B 1 α W 3 < ε1 < 0 и ( - 1+ W < E < ( α 3 ), то оператор H 1 имеет ровно два собственных значения z1 и z2, лежащие выше и ниже непрерывного спектра оператора H 1. 5. Если -2B < ε2 < 0, то оператор H 1 не имеет собственных значений, лежащих вне непрерывного спектра оператора H 1. Доказательство. В случае ν = 3 непрерывный спектр оператора [m3, M3]= [A - 6B, A + 6B]. Выражая все интегралы в уравнении H 1 совпадает с отрезком ⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎞ (ε1 + 2ε2 ), cos si)ds1ds2ds3 r ⎜ ⎟ ⎜ r cos s ds ds ds ⎟ Δ3(z)= ⎜1+ ⎜ i=1 3 ⎟ ⎟ ⎜1+ 6ε2 ⎟ ⎜ i 1 2 3 3 ⎟ - ⎝ T 3 A + 2B ), cos si - z ⎠ ⎝ i=1 T 3 A + 2B ), cos si - z ⎠ i=1 r -6ε2 T 3 ds1ds2ds3 r 3 A + 2B ), cos si - z T 3 i=1 3 (ε1 + 2ε2 ), cos si) cos s1ds1ds2ds3 i=1 =0 3 A + 2B ), cos si - z i=1 через интеграл J (z)= [ ds1ds2ds3 3 , мы находим, что уравнение Δ3(z)=0 эквивалентно i T 3 A + 2B ), cos s - z i=1 2 уравнению ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A) J (z)+ (B + ε2)2 = 0. Более того, функция J (z)= [ ds1ds2ds3 3 является дифференцируемой функцией на i - T 3 A + 2B ), cos s z i=1 множестве R \ [m3, M3] с производной J t(z)= [ ds1ds2ds3 3 > 0,z ∈/ [m3, M3]. i - T 3 [A + 2B ), cos s i=1 z]2 В трехмерном случае интеграл [ ds1ds2ds3 = [ ds1ds2ds3 име- T 3 3+ cos s1 + cos s2 + cos s2 W T 3 3 - cos s1 - cos s2 - cos s2 ет конечное значение, равное . Выражая эти интегралы через интеграл Ватсона и учитывая, 3 W что мера нормирована, имеем, что J (z)= 6B . Таким образом, функция J (z) является монотонно возрастающей функцией как на (-∞, m3), так и на (M3, +∞). Кроме того, в трехмерном случае W W J (z) → +0 при z → -∞; J (z) = 6B при z = A - 6B; J (z) → -0 при z → +∞; J (z) = - 6B при z = A + 6B. 2 Если ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A) /= 0, то из (3.7) следует, что (B + ε2)2 J (z)= - ε B2 + (ε2 . 1 (B + ε2)2 Функция ψ(z) = - ε B2 + (ε2 2 + 2Bε2)(z - A) имеет точку асимптотического разрыва z0 = B2ε1 1 2 + 2Bε2)(z - A) 2 (B + ε2)2(ε2 + 2Bε2) - ε2 A 2 + 2Bε2 . Так как ψt(z) = 2 [ε1B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A)]2 для всех z /= z0, то функция ψ(z) является монотонно возрастающей (убывающей) функцией на (-∞, z0) и на (z0, +∞) в случае ε2 2 2 +2Bε2 > 0 (соответственно, ε2 +2Bε2 < 0), кроме того, если ε2 > 0 или ε2 < -2B, то ψ(z) → +0 при z → -∞, ψ(z) → +∞ при z → z0 - 0, ψ(z) → -∞ при z → z0 + 0, ψ(z) → -0 при z → +∞ (соответственно, если -2B < ε2 < 0, то ψ(z) → -0 при z → -∞, ψ(z) → -∞ при z → z0 - 0, ψ(z) → +∞ при z → z0 + 0, ψ(z) → +0 при z → +∞). 6. Если ε2 = -B и ε1 < -6B (соответственно, ε2 = -B и ε1 > 6B), то уравнение для собственных значений и собственных функций (3.7) имеет вид (3.8): {ε1B2 - B2(z - A)}J (z)= 0. Ясно, что J (z) /=0 для значений z ∈/ σcont(H 1). Следовательно, ε1 -z +A = 0, т. е. z = A+ε1. Если ε1 < -6B (ε1 > 6B), то это собственное значение, лежащее ниже (выше) непрерывного спектра оператора H 1. Если -6B ε1 < -2B (соответственно, 2B < ε1 6B), то это собственное значение, не лежащее вне непрерывного спектра оператора H 1. 7. Если ε2 = -2B или ε2 = 0 и ε1 < 0 (соответственно, ε2 = -2B или ε2 = 0 и ε1 > 0), то уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид ε1B2J (z)+ B2 = 0, т. е. 1 ε J (z)= - 1 W . В трехмерном случае J (z) → +0 при z → -∞; J (z)= 6B при z = A - 6B; J (z) → -0 W 1 1 при z → +∞; J (z)= - 6B при z = A + 6B. Следовательно, для того чтобы уравнение J (z)= - ε в области снизу (соответственно, сверху) непрерывного спектра оператора H 1 имело решение, 1 W 1 W 6B ε - необходимо выполнение неравенства - 1 6B < (соответственно, 6B ε1 6B > - 6B ), т. е. ε1 < - W , 6B ε1 < 0 (соответственно, ε1 > W W , ε1 > 0). Если - < ε1 < 0 (соответственно, 0 < ε1 < ), то W оператор H 1 не имеет собственных значений вне непрерывного спектра оператора H 1. 8. Если ε1 = 0 и ε2 > 0 (соответственно, ε1 = 0 и ε2 < -2B), то уравнения для собственных значений и собственных функций принимают вид 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A)J (z)= -(B + ε2)2 или J (z)= -(ε2 (B + ε2)2 . 2 + 2Bε2)(z - A) Обозначим E = ε2 (B + ε2)2 2 + 2Bε2 . Тогда J (z)= - W E z - A или J (z)= E A - z . В трехмерном случае J (z) → W +0 при z → -∞; J (z) = 6B 6B при z = A - 6B; J (z) → -0 при z → +∞; J (z) = - при E z = A + 6B. Поэтому, для того чтобы уравнение J (z) = - z - A снизу (соответственно, сверху) E непрерывного спектра оператора H 1 имело решение, необходимо выполнение неравенства 6B < W E 6B (соответственно, - 6B W - > 6B ), т. е. E < W. Если ε1 = 0 и ε2 > 0, E > W (соответственно, ε1 = 0 и ε2 < -2B, E > W ), то оператор H 1 не имеет собственных значений вне непрерывного спектра оператора H 1. 2(ε2 + 2Bε2) 9. Если ε1 = имеет вид 2 , то уравнение для собственных значений и собственных функций B 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A + 2B)J (z)= -(B + ε2)2, откуда имеем уравнение вида (3.9): J (z)= -(ε2 (B + ε2)2 . Обозначим E = ε2 (B + ε2)2 2 + 2Bε2 2 + 2Bε2)(z - A + 2B) . В первом случае рассмотрим уравнение (3.9) снизу непрерывного E спектра оператора H 1. В области непрерывного спектра оператора H 1, функция A - z - 2B → +0 при z → -∞; E = A - z - 2B W E - → при z = A 6B; а в трехмерном случае J (z) +0 при 4B W z → -∞; J (z) = 6B при z = A - 6B; J (z) → -0 при z → +∞; J (z) = - 6B при z = A + 6B. Следовательно, уравнение J (z) = 2W E A - z - 2B E имеет единственное решение, если 4B W > , т. е. 6B E > 3 . Это неравенство неверно. Следовательно, уравнение H 1 не имеет решения. Рассмотрим теперь уравнение для собственных значений и собственных функций J (z) = E - z - A + 2B сверху непрерывного спектра оператора H 1. Выше непрерывного спектра опера- E E E тора H 1 функция A - z - 2B → -0 при z → +∞; = - при z = A + 6B; а в A - z - 2B 8B W трехмерном случае J (z) → -0 при z → +∞; и J (z) = - 6B при z = A + 6B. Следовательно, E выше непрерывного спектра оператора H 1 уравнение J (z)= A - z - 2B имеет единственное ре- E W 4W шение, если - 8B > - 6B , т. е. E < . Это неравенство верно. Следовательно, из условия 3 непрерывности спектра оператора H 1 следует, что это уравнение имеет единственное решение z. 2(ε2 + 2Bε2) Если ε1 = - 2 имеет вид B , то уравнение для собственных значений и собственных функций 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A - 2B)J (z)= -(B + ε2)2, отсюда уравнение вида (3.9): J (z)= -(ε2 (B + ε2)2 . Обозначим E = ε2 (B + ε2)2 2 + 2Bε2 2 + 2Bε2)(z - A + 2B) . В первом случае рассмотрим уравнение (3.9) ниже непрерывного E спектра оператора H 1. Ниже непрерывного спектра оператора H 1 функция A - z + 2B → +0 E E при z → -∞; A - z + 2B = 8B при z = A - 6B; а в трехмерном случае J (z) → +0 при z → -∞; W J (z)= 6B W при z = A - 6B; J (z) → -0 при z → +∞; J (z)= - 6B при z = A + 6B. Следовательно, уравнение J (z) = E A - z + 2B E имеет единственное решение, если 8B W 4W < , т. е. E < 6B 3 . Это неравенство верно. Следовательно, уравнение H 1 имеет единственное решение. Рассмотрим теперь уравнение для собственных значений и собственных функций J (z) = E - z - A - 2B , выше непрерывного спектра оператора H 1. Выше непрерывного спектра опера- E E E тора H 1 функция A - z + 2B → -0 при z → +∞; = - при z = A + 6B; а в A - z + 2B 4B W трехмерном случае J (z) → -0 при z → +∞; J (z)= - 6B при z = A + 6B. Следовательно, выше E непрерывного спектра оператора H 1 уравнение J (z)= A - z + 2B имеет единственное решение, E W 2W если - 4B > - 6B , т. е. E < имеет решения. . Это неравенство неверно. Следовательно, это уравнение не 3 10.Если ε2 > 0 и ε1 > 2 2(ε2 + 2Bε2) B (соответственно, ε2 < -2B и ε1 > 2 2(ε2 + 2Bε2) B ), то необходимо считать, что ε1 = α 2 2(ε2 + 2Bε2) B , где α > 1 - действительное число. Тогда уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид или 2 ( 2(ε2 + 2Bε2) α B 2 B2 + (ε2 + 2Bε2)(z - A) J (z)+ (B + ε2)2 =0 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A + 2αB)J (z)+ (B + ε2)2 = 0. Отсюда J (z) = -(ε2 (B + ε2)2 . Обозначим E = (B + ε2)2 , тогда J (z) = 2 + 2Bε2)(z - A + 2αB) E 2 ε2 + 2Bε2 - z - A + 2αB . В первом случае мы рассматриваем это уравнение ниже непрерывного спектра W E оператора H 1. Тогда J (z) → +0 при z → -∞; J (z) = 6B при z = A - 6B; - z - A + 2αB → +0 E E при z → -∞; - z - A + 2αB = (6 - 2α)B при z = A - 6B. Уравнение E J (z)= - z - A + 2αB имеет единственное решение, если E < (6 - 2α)B W . Отсюда E < 6B (3 - α)W 3 . Это неравенство неверно. Следовательно, ниже непрерывного спектра оператора H 1, оператор H 1 не имеет собственных значений. W Выше непрерывного спектра оператора H 1 имеем J (z) → -0 при z → +∞; J (z) = - 6B при E E E z = A - 6B. Кроме того, - z - A + 2αB → -0 при z → +∞; - z - A + 2αB = - 6B + 2αB при z = A + 6B. Уравнение E J (z)= - z - A + 2αB E W (3 + α)W имеет единственное решение, если - (6 + 2α)B > - 6B . Отсюда E < . Это неравенство 3 верно. Следовательно, из вышесказанного следует, что ниже непрерывного спектра оператор H 1 имеет единственное собственное значение z1. 11. Если ε2 > 0 и ε1 < - 2 2(ε2 + 2Bε2) B (соответственно, ε2 < -2B и ε1 < - 2 2(ε2 + 2Bε2) B ), то мы предполагаем, что ε1 = -α 2 2(ε2 + 2Bε2) B , где α > 1 - действительное число. Уравнение для собственных значений и собственных функций принимает вид 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A - 2αB)J (z)= -(B + ε2)2. Отсюда J (z)= -(ε2 (B + ε2)2 . Вводим обозначение E = ε2 (B + ε2)2 2 + 2Bε2 2 + 2Bε2)(z - A - 2αB) . Тогда уравнение принимает вид E J (z)= - z - A - 2αB . (3.12) Ниже непрерывного спектра оператора H 1 имеем уравнение E J (z)= . A - z + 2αB E E Ниже непрерывного спектра оператора H 1 - z - A - 2αB → +0 при z → -∞; - z - A - 2αB = E 6B + 2αB при z = A - 6B. Уравнение E J (z)= - z - A + 2αB имеет единственное решение, если E (6 + 2α)B W < . Отсюда E < 6B (3 + α)W 3 . Это неравенство верно. Следовательно, ниже непрерывного спектра оператор H 1 имеет единственное собственное значение. Выше непрерывного спектра оператора E H 1 - z - A - 2αB → -0 при z → -∞; имеем E E - z - A - 2αB = - 6B - 2αB при z = A + 6B. Следовательно, выше непрерывного спек- E W тра оператор H 1 имеет единственное собственное значение, если - 6B - 2αB > - 6B . Отсюда (3 - α)W E < 3 , что неверно. Следовательно, выше непрерывного спектра оператор H 1 не имеет собственных значений. 12.Если ε2 > 0 и 0 < ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) B (соответственно, ε2 < -2B и 0 < ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) ), B то принимаем ε1 = α 2 2(ε2 + 2Bε2) B , где 0 < α < 1 - действительное число. Тогда уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A + 2αB)J (z)= -(B + ε2)2, 0 < α < 1. (3.13) (B + ε2)2 Обозначим E = ε2 2 + 2Bε2 . Тогда уравнение (3.13) примет вид E J (z)= - z - A + 2αB . Ниже непрерывного спектра оператора E H 1 имеем - z - A + 2αB → +0 при z → -∞; E E - z - A + 2αB = 2B(3 - α) при z = A - 6B. Уравнение E J (z)= - z - A + 2αB имеет единственное решение ниже непрерывного спектра оператора H 1, если (3 - α)W E W > . (6 - 2α)B 6B Отсюда E > 3 . Это неравенство справедливо. Следовательно, ниже непрерывного спектра оператор H 1 имеет единственное собственное значение z1. E Выше непрерывного спектра оператора H 1 имеем - z - A + 2αB → -0 при z → +∞; E E - z - A + 2αB = - 2B(3 + α) при z = A + 6B. Уравнение E J (z)= - z - A + 2αB E W имеет единственное решение выше непрерывного спектра оператора H 1, если - 2B(3 + α) > - 6B , (3 + α)W т. е. E < 3 . Это неравенство верно. Следовательно, в этом случае оператор H 1 имеет два собственных значения z1 и z2, лежащие снизу и сверху непрерывного спектра оператора H 1. 13. Если ε2 > 0 и - 2 2(ε2 + 2Bε2) B < ε1 < 0 (соответственно, ε2 < -2B и - 2 2(ε2 + 2Bε2) B < ε1 < 0), то принимаем ε1 = -α × 2 2(ε2 + 2Bε2) B , где 0 < α < 1 - действительное число. Тогда уравнение для собственных значений и собственных функций имеет вид (3.13): 2 (ε2 + 2Bε2)(z - A - 2αB)J (z)= -(B + ε2)2, 0 < α < 1. (B + ε2)2 Обозначим E = ε2 2 + 2Bε2 . Тогда уравнение (3.13) примет вид E J (z)= - z - A - 2αB . Ниже непрерывного спектра оператора E H 1 имеем - z - A - 2αB → +0 при z → -∞; E E - z - A - 2αB = 2B(3 + α) при z = A - 6B. Уравнение E J (z)= - z - A - 2αB имеет единственное решение ниже непрерывного спектра оператора H 1, если (3 + α)W E W < . (6 + 2α)B 6B Отсюда E < 3 . Это неравенство справедливо. Следовательно, ниже непрерывного спектра оператор H 1 имеет единственное собственное значение z1. E Выше непрерывного спектра оператора H 1 имеем - z - A - 2αB → -0 при z → +∞; E E - z - A - 2αB = - 2B(3 - α) при z = A + 6B. Уравнение E J (z)= - z - A - 2αB E W имеет единственное решение выше непрерывного спектра оператора H 1, если - 2B(3 - α) < - 6B , (3 - α)W т. е. E > 3 . Это неравенство верно. Следовательно, в этом случае оператор H 1 имеет два собственных значения z1 и z2, лежащие ниже и выше непрерывного спектра H 1. 2 14. Если -2B < ε2 < 0, то ε2 + 2Bε2 < 0, и функция ψ(z) = - (B + ε2)2 2 ε1B + (ε2 + 2Bε2)(z - A) является убывающей функцией на интервалах (-∞, z0) и (z0, +∞). Имеем ψ(z) → -0 при z → -∞; ψ(z) → -∞ при z → z0 - 0; ψ(z) → +0 при z → +∞; ψ(z) → +∞ при z → z0 + 0. Также J (z) → +0 при z → -∞; J (z) = W - при z = A 6B; J (z) = 6B W при z = A + 6B; 6B J (z) → -0 при z → +∞. Следовательно, уравнение ψ(z) = J (z) не может иметь решений вне непрерывного спектра оператора H 1. Значит, в этом случае оператор H 1 не имеет собственных значений, лежащих вне непрерывного спектра оператора H 1. Из полученных результатов очевидно, что спектр оператора H 1 состоит из непрерывного спектра и не более, чем из двух собственных значений. Спектр оператора A ⊗ I + I ⊗ B, где A и B - плотно определённые ограниченные линейные операторы, изучался в [7, 8]. Там же приведены явные формулы, выражающие существенный спектр σess(A ⊗ I + I ⊗ B) и дискретный спектр σdisc(A ⊗ I + I ⊗ B) оператора A ⊗ I + I ⊗ B через спектр σ(A) и дискретный спектр σdisc(A) оператора A, а также через спектр σ(B) и дискретный спектр σdisc(B) оператора B: σdisc(A ⊗ I + I ⊗ B)= {σ(A)\σess (A)+ σ(B)\σess(B)}\{(σess(A)+ σ(B)) ∪(σ(A)+ σess (B))}, (3.14) и σess(A ⊗ I + I ⊗ B)= (σess(A)+ σ(B)) ∪ (σ(A)+ σess(B)) (3.15) Ясно, что σ(A ⊗ I + I ⊗ B)= {λ + μ : λ ∈ σ(A),μ ∈ σ(B)}. Из представления (2.7) видно, что сначала необходимо исследовать спектры оператора r H 2 = H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 + 2U r f (s, λ + μ - s)ds + 2ε3 r f (s, t)dsdt. T ν T ν T ν 1. Структура существенного спектра и дискретного спектра оператора второго синглетного состояния Пусть оператор представлен в виде 2 Сначала рассмотрим оператор H 0 s = H2 ⊗ I ⊗ I + I ⊗ I ⊗ H2. (4.1) r H (U )= H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 + 2U T ν f (s, λ + μ - s)ds. Поскольку семейство операторов H (U ) является семейством ограниченных операторов, то H (U ) является семейством ограниченных операторнозначных аналитических функций. Следовательно, к этому семейству применима теорема Като-Реллиха. Теорема 4.1 (теорема Като-Реллиха, см. [17]). Пусть T (β) -аналитическое по Като семейство. Пусть E0 -невырожденное собственное значение T (β0). Тогда при приближении β к β0 найдётся ровно одна точка E(β) ∈ σ(T (β)) вблизи E0, и эта точка изолирована и невырождена. E(β) является аналитической функцией по β, поскольку при приближении β к β0, существует аналитический собственный вектор Ω(β). Если при действительном β - β0 оператор T (β) является самосопряженным оператором, то Ω(β) можно выбрать таким образом, чтобы он был нормализован относительно действительного β - β0. Поскольку оператор H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 имеет невырожденное собственное значение, например, близкое к собственному значению 2z1 оператора H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1, то оператор H (U ) при U, вблизи U0 = 0, имеет ровно одно собственное значение E(U ) ∈ σ(H (U )), близкое к 2z1, и эта точка изолирована и невырождена. E(U ) является аналитической функцией U при U, близком к U0 = 0. При больших значениях существование не более одного дополнительного собственного значения оператора H (U ) следует из того же, что возмущение (K1f )(λ, μ) = 2U [ T ν f (s, λ + μ - s)ds является одномерным оператором при фиксированном значении полного квазиимпульса двух электронов. Это дополнительное собственное значение оператора H 2 обозначим через z3. Рассмотрим новое семейство операторов r H (ε3)= H (U )+ 2ε3 r f (s, t)dsdt. T ν T ν У оператора H (U ) есть невырожденное собственное значение вблизи собственного значения E(U ) оператора H (U ), оператор H (ε3) в окрестности точки ε3 =0 имеет ровно одно собственное значение E(ε3) ∈ σ(H (ε3)) в окрестности E(U ), и эта точка является изолированной и невырожденной. Функция E(ε3) аналитична по ε3 вблизи ε3 = 0. Так как оператор H (U ) имеет невырожденное собственное значение, следовательно, оператор H (U ), оператор H (ε3) при ε3, близком к ε3 = 0, имеет ровно одно собственное значение E(ε3) ∈ σ(H (ε3)) в окрестности E(U ), и эта точка является изолированной и невырожденной. E(ε3) является аналитической функцией ε3 вблизи ε3 = 0. Эти собственные значения мы обозначим через z4. s Теперь, используя полученные результаты (теоремы (3.3) и (3.4)) и представления (2.7) и (4.1), опишем структуру существенного спектра и дискретного спектра оператора 2H 0. Теорема 4.2 (см. [21]). Пусть ν = 1. Тогда: 1. Если ε2 = -B и ε1 < -2B (соответственно, ε2 = -B и ε1 > 2B), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков: σess(2H 0) = [4A - 8B, 4A + 8B] ∪ s s [2A- 4B+z3, 2A+ 4B+z3 ∪[A-2B+z+z3, A+2B+z+z3 ]∪[2A-4B+z4 , 2A+4B+z4]∪[A-2B+z+z4 , A+2B+z+z4 ], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0)= s s {4z, 2z + z3, 2z + z4, 2z3, 2z4, z3 + z4}, где z = A + ε1, а z3 и z4 -дополнительные собственные значения оператора H 2. 2. Если ε2 = -2B или ε2 = 0 и ε1 < 0 (соответственно, ε2 = -2B или ε2 = 0 и ε1 > 0), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков: σess(2H 0)= s s [4A - 8B, 4A + 8B] ∪ [3A - 6B + z, 3A + 6B + z] ∪ [2A - 4B + 2z, 2A + 4B + 2z] ∪ [A - 2B + 3z, A + 2B + 3z] ∪ [2A - 4B + z3, 2A + 4B + z3 ∪ [A - 2B + z + z3,A + 2B + z + z3] ∪ [2A - 4B + s z4, 2A + 4B + z4] ∪ [A - 2B + z + z4,A + 2B + z + z4], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести s собственных значений: σdisc(2H 0)= {4z, 2z + z3, 2z + z4, 2z3, 2z4, z3 + z4}, где z = A - ...4B2 + ε2 (соответственно z = A + ...4B2 + ε2). 1 1 s 3. Если ε1 = 0 и ε2 > 0 или ε1 = 0 и ε2 < -2B, то существенный спектр оператора 2H 0 s состоит из объединения тринадцати отрезков: σess(2H 0)= [4A - 8B, 4A + 8B] ∪ [3A - 6B + 4B + [2A - z1 1 2 2 1 1 , 2A + 4B + z ] ∪ [A - 2B + 3z ,A + 2B + 3z ] ∪ [A - 2B + 3z ,A + 2B + 3z ] ∪ [2A - 4B + 2z2 2 1 1 2 2 , 2A + 4B + z ] ∪ [A - 2B + z + z ,A + 2B + z + z ] ∪ [A - 2B + z + z ,A + 2B + z + z ] ∪ z4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 [2A - 4B + z3, 2A + 4B + z3] ∪ [A - 2B + z1 + z3,A + 2B + z1 + z3] ∪ [A - 2B + z2 + z3,A + 2B + s z2 + z3], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из девяти собственных значений: 2BE σdisc(2H 0 1 1 4 2 2 4 1 3 2 3 3 E2 4 3 4 1 s )= {4z , 2z + z , 4z , 2z + z , 2z + z , 2z + z ,z + z , 2z , 2z }, где z = A - √ - 1 2BE E2 и z2 = A + √ - 1 (B + ε2)2 ε2 и E = . 2 + 2Bε2 4. Если ε1 = 2 2(ε2 + 2Bε2) B (соответственно, ε1 = - 2 2(ε2 + 2Bε2) B ), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков: σess(2H 0) = [4A - 8B, 4A + 8B] ∪ s s [3A - 6B + z, 3A + 6B + z] ∪ [2A - 4B + 2z, 2A + 4B + 2z] ∪ [2A - 4B + z4, 2A + 4B + z4] ∪ [A - 2B + 3z, A+2B +3z]∪[2A-4B +z3 , 2A+4B +z3]∪[A-2B +z +z3, A+2B +z +z3]∪[A-2B +z +z4, A+ s 2B + z + z4], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0 3 4 3 4 3 4 2B(E2 + 1) s )= {4z, 2z + z , 2z + z , 2z , 2z ,z + z }, где z = A + (соответственно, E2 - 1 2B(E2 + 1) (B + ε2)2 z = A - ) и E = . 2 E2 - 1 ε2 + 2Bε2 2(ε2 + 2Bε2) 2(ε2 + 2Bε2) 5. Если ε2 > 0 и ε1 > 2 B B (соответственно, ε2 < -2B и ε1 > 2 ), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков: σess(2H 0)= s [2A - s 4B + z4, 2A + 4B + z4] ∪ [A - 2B + 3z, A + 2B + 3z] ∪ [2A - 4B + z + z4, 2A + 4B + z + z4] ∪ [2A - 4B + s z3, 2A + 4B + z3] ∪ [A - 2B + z + z3,A + 2B + z + z3], и дискретный спектр оператора 2H 0 2B(α + E√ - α ) ) s состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0)= {4z, 2z + z4, 2z + z3, 2z3, 2z4, z3 + z4}, 1+ E2 2 2 где z = A + E2 - 1 2(ε2 + 2Bε2) и E = (B + ε2 2 ε2 + 2Bε2 , а α > 1 -действительное число. 2(ε2 + 2Bε2) B 6. Если ε2 > 0 и ε1 < - 2 B (соответственно, ε2 < -2B и ε1 < - 2 ), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков: σess(2H 0)= s s [4A - 8B, 4A + 8B] ∪ [3A - 6B + z, 3A + 6B + z] ∪ [2A - 4B + 2z, 2A + 4B + 2z] ∪ [2A - 4B + z4, 2A + 4B + z4] ∪ [A - 2B + 3z, A + 2B + 3z] ∪ [2A - 4B + z + z4, 2A + 4B + z + z4] ∪ [2A - 4B + s z3, 2A + 4B + z3] ∪ [A - 2B + z + z3,A + 2B + z + z3], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести собственных s значений: σdisc(2H 0)= {4z, 2z + z4, 2z + z3, 2z3, 2z4, z3 + z4}, 2B(α + E√E2 - 1+ α2) (B + ε2)2 где z = A - и E = 2 E2 - 1 ε2 + 2Bε2 2(ε2 + 2Bε2) , а α > 1 -действительное число. 2(ε2 + 2Bε2) 7. Если ε2 > 0 и 0 < ε1 < 2 B B (соответственно, ε2 < -2B и 0 < ε1 < 2 ), s то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения шестнадцати отрезков: σess(2H 0 1 1 2 2 s )= [4A - 8B, 4A + 8B] ∪ [3A - 6B + z , 3A + 6B + z ] ∪ [3A - 6B + z , 3A + 6B + z ] ∪ [2A - 4B + 2z1, 2A + 4B + 2z1] ∪ [2A - 4B + 2z2, 2A + 4B + 2z2] ∪ [2A - 4B + z1 + z2, 2A + 4B + z1 + z2] ∪ [A - 2B + 3z1,A + 2B + 3z1] ∪ [A - 2B + 3z2,A + 2B + 3z2] ∪ [A - 2B + 2z1 + z2,A + 2B + 2z1 + z2] ∪ [A - 2B + z1 + 2z2,A + 2B + z1 + 2z2] ∪ [2A - 4B + z3, 2A + 4B + z3] ∪ [2A - 4B + z4, 2A + 4B + z4] ∪ [A - 2B + z1 + z3,A + 2B + z1 + z3] ∪ [A - 2B + z1 + z4,A + 2B + z1 + z4] ∪ [A - 2B + z2 + z3,A + 2B + z2 + z3] ∪ [A - 2B + z2 + z4,A + 2B + z2 + z4, 2z4], и дискретный спектр s оператора 2H 0 s состоит из четырнадцати собственных значений: σdisc(2H 0) = {4z1, 3z1 + , 2z +2z ,z +3z , 4z , 2z +z ,z +z +z , 2z +z , 2z +z , 2z +z ,z +z +z ,z +z , 2z , 2z }, z2 1 2 1 2 2 1 3 1 2 3 2 3 1 4 2 4 1 2 4 3 4 3 4 где z1 = A + - 2B(α + E√E2 1+ α2) , z2 = A + E2 - 1 - - 2B(α E√E2 1+ α2) и E = E2 - 1 (B + ε2)2 ε2 с 2 + 2Bε2 действительным числом 0 < α < 1. 2(ε2 + 2Bε2) 2(ε2 + 2Bε2) B 8. Если ε2 > 0 и - 2 B < ε1 < 0 (соответственно, ε2 < -2B и - 2 < s ε1 < 0), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения шестнадцати s отрезков: σess(2H 0)= [4A - 8B, 4A + 8B] ∪ [3A - 6B + z1, 3A + 6B + z1] ∪ [3A - 6B + z2, 3A + 6B + z2] ∪ [2A - 4B + 2z1, 2A + 4B + 2z1] ∪ [2A - 4B + 2z2, 2A + 4B + 2z2] ∪ [2A - 4B + z1 + z2, 2A + 4B + z1 + z2] ∪ [A - 2B + 3z1,A + 2B + 3z1] ∪ [A - 2B + 3z2,A + 2B + 3z2] ∪ [A - 2B + 2z1 + z2,A + 2B + 2z1 + z2] ∪ [A - 2B + z1 + 2z2,A + 2B + z1 + 2z2] ∪ [2A - 4B + z3, 2A + 4B + z3] ∪ [2A - 4B + z4, 2A + 4B + z4] ∪ [A - 2B + z1 + z3,A + 2B + z1 + z3] ∪ [A - 2B + z1 + z4,A + 2B + z1 + z4] ∪ [A - 2B + z2 + z3,A + 2B + z2 + z3] ∪ [A - 2B + z2 + z4,A + 2B + z2 + z4], и дискретный спектр s оператора 2H 0 s состоит из четырнадцати собственных значений: σdisc(2H 0) = {4z1, 3z1 + z2, 2z1 +2z2, z1 +3z2, 4z2, 2z1 +z3,z1 +z2 +z3, 2z2 +z3, 2z1 +z4, 2z2 +z4,z1 +z2 +z4, z3 +z4, 2z4, 2z3}, где z1 = A + - 2B(α + E√E2 1+ α2) , z2 = A + E2 - 1 - - 2B(α E√E2 1+ α2) и E = E2 - 1 (B + ε2)2 ε2 с 2 + 2Bε2 действительным числом 0 < α < 1. s s 9. Если -2B < ε2 < 0, то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения трёх отрезков: σess(2H 0)= [4A-8B, 4A+8B]∪[2A-4B +z3 , 2A+4B +z3]∪[2A-4B +z4, 2A+4B +z4 ], а дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из трёх собственных значений: σdisc(2H 0)= s s {2z3, z3 + z4, 2z4}. Доказательство. 1. Из представлений (2.7), (4.1) и формул (3.14) и (3.15), а также теоремы 3.3 следует, что в одномерном случае непрерывный спектр оператора H 1 состоит из σcont(H 1) = [A - 2B, A + 2B], а дискретный спектр оператора H 1 состоит из единственного собственного значения z = A + ε1. Следовательно, существенный спектр оператора H 1 ⊗I +I ⊗H 1 состоит из отрезков [2A-4B, 2A+ 4B] и [A-2B +z, A+2B +z]. Дискретный спектр оператора H 1 ⊗I +I ⊗H 1 состоит из собственного значения 2z. Оператор r H 2 = H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 + 2U r f (s, Λ - s)ds + 2ε3 r f (s, t)dsdt, T ν T ν T ν s s где Λ= λ + μ, имеет дополнительные собственные значения z3 и z4. Из этого следует, что существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков, а дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести собственных значений. Это и есть утверждение A) теоремы 4.2. 2. В этом случае оператор H 1 имеет единственное собственное значение z1, лежащее вне непрерывного спектра оператора H 1. Следовательно, существенный спектр оператора H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 состоит из объединения двух отрезков, а дискретный спектр оператора H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 состоит из одной точки. Это даёт утверждение B) теоремы 4.2. Остальные утверждения теоремы 4.2 доказываются аналогично. s Следующая теорема описывает структуру существенного спектра оператора 2H 0 в трехмерном случае. Теорема 4.3 (см. [21]). Пусть ν = 3. Тогда: 1. 1) Если ε2 = -B и ε1 < -6B (соответственно, ε2 = -B и ε1 > 6B), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков: σess(2H 0) = [4A - s s 24B, 4A+ 24B]∪ [3A- 18B + z, 3A+ 18B + z]∪ [2A- 12B + 2z, 2A+ 12B + 2z]∪ [A- 6B + 3z, A+ 6B + 3z]∪ [2A- 12B + z3 , 2A+ 12B + z3]∪[A- 6B + z + z3,A+ 6B + z + z3]∪ [2A- 12B + z4, 2A+ s s 12B + z4] ∪ [A - 6B + z + z4,A + 6B + z + z4], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0) = {4z, 2z + z3, 2z + z4, 2z3, z3 + z4, 2z4}, где z = A + ε1, z3 и z4 -собственные значения оператора H 2. 2) Если ε2 = -B и -6B ε1 < -2B (соответственно, ε2 = -B и 2B < ε1 6B), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения трёх отрезков: σess(2H 0)= s s [4A - 24B, 4A + 24B] ∪ [2A - 12B + z3, 2A + 12B + z3] ∪ [2A - 12B + z4, 2A + 12B + z4], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из трех собственных значений: σdisc(2H 0)= s s {2z3, 2z4, z3 + z4}. 6B 2. Если ε2 = -2B или ε2 = 0, и ε1 < 0, ε1 - W (соответственно, ε2 = -2B или ε2 = 0, и ε1 > 0, ε1 6B ), то существенный спектр оператора W H 0 2 s состоит из объединения восьми s отрезков: σess(2H 0)= [4A-24B, 4A+24B]∪[3A-18B +z1 , 3A+18B +z1]∪[2A-12B +2z1, 2A+ ]∪[A-6B +3z ,A+6B +3z ]∪[2A-12B +z , 2A+12B +z ]∪[A-6B +z +z ,A+6B + 12B +2z1 1 1 3 3 1 3 + z ] ∪ [2A - 12B + z , 2A + 12B + z ] ∪ [A - 6B + z + z ,A + 6B + z + z ] (соответственно, z1 3 2 0 4 4 1 4 1 4 σess( H s )= [4A - 24B, 4A + 24B] ∪ [3A - 18B + z2, 3A + 18B + z2] ∪ [2A - 12B + 2z2, 2A + 12B + 2z2] ∪[A - 6B + 3z2,A + 6B + 3z2] ∪ [2A - 12B + z3, 2A + 12B + z3] ∪[A - 6B + z2 + z3,A + 6B + z2 + z3] ∪ [2A - 12B + z4, 2A + 12B + z4] ∪ [A - 6B + z2 + z4,A + 6B + z2 + z4]), и дискретный спектр s оператора 2H 0 s состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0) = {4z1, 2z1 + z3, 2z1 + s z4, 2z3, z3 + z4, 2z4} (соответственно, σdisc(2H 0)= {4z2, 2z2 + z3, 2z2 + z4, 2z3, 2z4, z3 + z4}), где z1 (соответственно, z2) -собственное значение оператора H 1. 6B Если - W ε1 < 0 (соответственно, 0 < ε1 6B ), то существенный спектр оператора W 2 0 2 0 H s состоит из объединения трёх отрезков: σess( H s )= [4A - 24B, 4A + 24B] ∪ [2A - 12B + s z3, 2A+12B +z3]∪[2A-12B +z4, 2A+12B +z4], а дискретный спектр оператора 2H 0 состоит s из трёх собственных значений: σdisc(2H 0)= {z3 + z4, 2z3, 2z4}. 3. Если ε1 =0 и ε2 > 0,E < W (соответственно, ε1 =0 и ε2 < -2B, E < W ), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков: σess(2H 0)= [4A-24B, 4A+ s s [A - 6B + 3z, A + 6B + 3z] ∪ [2A - 12B + z3, 2A + 12B + z3] ∪ [A - 6B + z + z3,A + 6B + z + z3] ∪ [2A - 12B + z4, 2A + s 12B + z4] ∪ [A - 6B + z + z4,A + 6B + z + z4] (соответственно, σess(1H 0)= [4A - 24B, 4A + z] ∪ [2A - 12B + 2z, 2A + 12B + 2z] ∪ [A - 6B + 3z, A + z, 3A + 18B + 6B + 3z] ∪ [2A - 12B + z3, 2A + 12B + z3] ∪ [A - 6B + + z3,A + 6B + + z3] ∪ [2A - 12B + z z z + z4]), и дискретный спектр оператора 2H 0 z + z4,A + 6B + s s состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0)= {4z, 2z + z3, 2z + z4, 2z3, z3 + z4, 2z4} (соответственно, σdisc(2H 0)= {4 2 + z3, 2 + z4, 2z3, z3 + z4, 2z4}), где z (соответственно, s z, z z (B + ε2)2 z) -собственное значение оператора H 1 и E = ε2 2 + 2Bε2 . Если ε1 = 0 и ε2 > 0, E > W s s s (соответственно, ε1 = 0 и ε2 < -2B, E > W ), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения трёх отрезков: σess(2H 0)= [4A-24B, 4A+24B]∪[2A-12B +z3 , 2A+ 12B + z3] ∪ [2A - 12B + z4, 2A + 12B + z4], а дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из s трёх собственных значений: σdisc(2H 0)= {z3 + z4, 2z3, 2z4}. 4. Если ε1 = 2 2(ε2 + 2Bε2) B 4 и E < 3 W (соответственно, ε1 = - 2 2(ε2 + 2Bε2) B 4 и E < 3 W ), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков: σess(2H 0)= s s [A - 6B + 3z, A + 6B + 3z] ∪ [2A - 12B + z3, 2A + 12B + z3] ∪ [A - 6B + z + z3,A + 6B + z + z3] ∪ [2A - 12B + z4, 2A + 12B + z4] ∪ [A - 6B + z + z4,A + 6B + z + z4] (соответственно, σess(2H 0 z, 3A + 18B + ∪ [2A - 12B + 2z, 2A + 12B + 2z] ∪ s )= [4A - 24B, 4A + 24B] ∪ [3A - 18B + z] [A - 6B + 3z, A + 6B + 3z] ∪ [2A - 12B + z3, 2A + 12B + z3] ∪[A - 6B + z3,A + 6B + + z3] ∪ [2A - z + z z +z4]), и дискретный спектр оператора 2H 0 z +z4,A+6B + s s состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0)= {4z, 2z + z3, 2z + z4, 2z3, z3 + z4, 2z4} (соответственно, σdisc(2H 0)= {4 2 + z3, 2 + z4, 2z3, z3 + z4, 2z4}), где z (соответственно, s z, z z z) -собственное значение оператора H 1. 5. Если ε2 > 0, ε1 > 2 2(ε2 + 2Bε2) B W и E < (1 + α 3 (соответственно, ε2 < -2B, ε1 > 2(ε2 + 2Bε2) ( α 2 и E < 1+ B 3 s W ), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объs единения восьми отрезков: σess(2H 0)= [4A - 24B, 4A + 24B] ∪ [3A - 18B + z1, 3A + 18B + z1] ∪ [2A- 12B + 2z1, 2A+ 12B + 2z1]∪ [A- 6B + 3z1,A+ 6B + 3z1]∪ [2A- 12B + z3, 2A+ 12B + z3]∪[A- 6B + z1 + z3,A+ 6B + z1 + z3]∪ [2A- 12B + z4, 2A+ 12B + z4]∪[A- 6B + z1 + z4,A+ 6B + z1 + z4], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0)= s s {4z1, 2z1 + z3, 2z1 + z4, 2z3, z3 + z4, 2z4}, где z1 -собственное значение оператора H 1. 6. Если ε2 > 0, ε1 < - 2 2(ε2 + 2Bε2) B 1 + W и E < ( α 3 (соответственно, ε2 < -2B, ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) - и E < B (1+ α 3 W ), то существенный спектр оператора H 0 2 s состоит из s объединения восьми отрезков: σess(2H 0)= [4A - 24B, 4A + 24B] ∪ [3A - 18B + z1, 3A + 18B + z1]∪ [2A- 12B + 2z1, 2A+ 12B + 2z1]∪ [A- 6B + 3z1,A+ 6B + 3z1]∪ [2A- 12B + z3, 2A+ 12B + z3]∪ [A-6B +z1 +z3, A+6B +z1 +z3]∪[2A-12B +z4 , 2A+12B +z4 ]∪[A-6B +z1 +z4, A+6B +z1 +z4], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести собственных значений: σdisc(2H 0)= s s {4z1, 2z1 + z3, 2z1 + z4, 2z3, z3 + z4, 2z4}, где z1 -собственное значение оператора H 1. 7. Если ε2 > 0, 0 < ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) B и (1 - α W < E < (1+ 3 α W (соответственно, 3 ε2 < -2B, 0 < ε1 < 2 2(ε2 + 2Bε2) B и 1+ - 1 W ( α W < E < ( α 3 3 ), то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения шестнадцати отрезков: σess(2H 0)= [4A - 24B, 4A + s s [3A - 18B + z1, 3A + 18B + z1] ∪ [3A - 18B + z2, 3A + 18B + z2] ∪ [2A - 12B + 2z1, 2A + 12B + 2z1] ∪ [2A - 12B + z1 + z2, 2A + 12B + z1 + z2] ∪ [2A - 12B + 2z2, 2A + 12B + 2z2] ∪ [2A - 12B + z4, 2A + 12B + z4] ∪ [A - 6B + 3z1,A + 6B + 3z1] ∪ [A - 6B + 2z1 + z2,A + 6B + 2z1 + z2] ∪ [A - 6B + z1 + 2z2,A + 6B + z1 + 2z2] ∪ [A - 6B + z1 + z4,A + 6B + z1 + z4] ∪ [A - 6B + 3z2,A + 6B + 3z2] ∪ [A - 6B + z2 + z4,A + 6B + z2 + z4] ∪ [2A - 12B + z3, 2A + 12B + z3] ∪ [A - 6B + z1 + z3,A + 6B + z1 + z3] ∪ [A - 6B + z2 + z3,A + 6B + z2 + z3], и дискретный спектр оператора 2 0 2 0 H s состоит из четырнадцати собственных значений: σdisc( H s )= {4z1, 4z2, 3z1 + z2, 2z1 + 2z2, 2z1 + z3, 2z3, 2z4, z3 + z4, 2z1 + z4, z1 + 3z2, z1 + z2 + z3, z1 + z2 + z4, 2z2 + z3, 2z2 + z4}, где z1 и z2 -собственные значения оператора H 1. 8. Если ε2 > 0, - 2 α 2(ε2 + 2Bε2) B 1 W 3 < ε1 < 0 и ( - 1+ W < E < ( α 3 (соответственно, ε2 < -2B, - 2 2(ε2 + 2Bε2) α < ε1 < 0 и ( - E < ( α ), то существенный спектр 1 W < B 3 1+ W 3 оператора 2H 0 состоит из объединения шестнадцати отрезков: σess(2H 0)= [4A - 24B, 4A + s s 24B] ∪ [3A - 18B + z1, 3A + 18B + z1] ∪ [3A - 18B + z2, 3A + 18B + z2] ∪ [2A - 12B + 2z1, 2A + 12B + 2z1] ∪ [2A - 12B + z1 + z2, 2A + 12B + z1 + z2] ∪ [2A - 12B + 2z2, 2A + 12B + 2z2] ∪ [2A - 12B + z4, 2A + 12B + z4] ∪ [A - 6B + 3z1,A + 6B + 3z1] ∪ [A - 6B + 2z1 + z2,A + 6B + 2z1 + z2] ∪ [A - 6B + z1 + 2z2,A + 6B + z1 + 2z2] ∪ [A - 6B + z1 + z4,A + 6B + z1 + z4] ∪ [A - 6B + 3z2,A + 6B + 3z2] ∪ [A - 6B + z2 + z4,A + 6B + z2 + z4] ∪ [2A - 12B + z3, 2A + 12B + z3] ∪ [A - 6B + z1 + s s z3,A + 6B + z1 + z3] ∪ [A - 6B + z2 + z3,A + 6B + z2 + z3], и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из четырнадцати собственных значений: σdisc(2H 0)= {4z1, 2z1 + 2z2, 3z1 + z2, 2z1 + z3, 2z1 + z4, z1 + 3z2, 4z2, 2z2 + z3, 2z2 + z4, 2z4, z1 + z2 + z4, z1 + z2 + z3, 2z3, z3 + z4}, где z1 и z2 - собственные значения оператора H 1. s s 9. Если -2B < ε2 < 0, то существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения трёх отрезков: σess(2H 0)= [4A- 24B, 4A+ 24B]∪ [2A- 12B + z4 , 2A+ 12B + z4]∪ [2A- 12B + z3 , 2A+ s 12B + z3], а дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из трёх собственных значений: σdisc(2H 0 3 4 3 4 s )= {z Доказательство. + z , 2z , 2z }. 1. Из представлений (2.7), (4.1) и формул (3.14) и (3.15), а также теоремы 3.4 следует, что в трехмерном случае непрерывный спектр оператора H 1 состоит из σcont(H 1) = [A - 6B, A + 6B], а дискретный спектр оператора H 1 состоит из единственного собственного значения z = A + ε1. Следовательно, существенныйспектр оператора H 1⊗I +I ⊗H 1 состоит из отрезков [2A-12B, 2A+ 12B] и [A-6B+z, A+6B+z]. Дискретный спектр оператора H 1 ⊗I +I ⊗H 1 состоит из собственного значения 2z. Оператор r H 2 = H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 + 2U r f (s, Λ - s)ds + 2ε3 r f (s, t)dsdt, T ν T ν T ν s s где Λ= λ + μ, имеет дополнительные собственные значения z3 и z4. Из этого следует, что существенный спектр оператора 2H 0 состоит из объединения восьми отрезков, и дискретный спектр оператора 2H 0 состоит из шести собственных значений. Это и есть утверждение А) теоремы 4.3. G) Из представления (2.7), (4.1) и формул (3.14) и (3.15), а также теоремы 3.4 следует, что в трехмерном случае непрерывный спектр оператора H 1 состоит из σcont(H 1) = [A - 6B, A + 6B], а дискретный спектр оператора H 1 состоит ровно из двух собственных значений z1 и z2. Следовательно, существенныйспектр оператора H 1⊗I +I ⊗H 1 состоит из отрезков [2A-12B, 2A+ 12B], [A-6B+z1, A+6B+z1] и [A-6B+z2, A+6B+z2]. Дискретныйспектр оператора H 1⊗I +I ⊗H 1 состоит из собственных значений 2z1, z1 + z2 и 2z2. Оператор r r r H 2 = H 1 ⊗ I + I ⊗ H 1 + 2U T ν f (s, Λ - s)ds + 2ε3 T ν T ν f (s, t)dsdt, где Λ = λ + μ, имеет дополнительные собственные значения z3 и z4. Отсюда следует, что сущеs ственный спектр оператора 1H 0 состоит из объединения шестнадцати отрезков, а дискретный s спектр оператора 2H 0 состоит из четырнадцати собственных значений. Это и есть утверждение 1. теоремы 4.3. Остальные утверждения теоремы 4.3 доказываются аналогично.

About the authors

S. M. Tashpulatov

Institute of Nuclear Physics of the Uzbekistanian Academy of Sciences

Email: sadullatashpulatov@yandex.com
Tashkent, Uzbekistan

R. T. Parmanova

Institute of Nuclear Physics of the Uzbekistanian Academy of Sciences

Email: parmanova.r@inp.uz
Tashkent, Uzbekistan

References

Supplementary files