Equiconvergence of expansions in root functions of a differential operator and in a trigonometric Fourier series

Full Text

1. Постановка задачи и краткая история вопроса Рассматривается несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор L, определяемый на отрезке [0, 1] дифференциальным выражением (д.в.) f(y) := y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y, (1.1) © В. С. Рыхлов, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 452 где pj (x) ∈ L1[0, 1], j = 1, n, с ненулевым коэффициентом при (n - 1)-й производной, и линейно независимыми краевыми условиями n-1 \ (akj y(j)(0) + bkj y(j)(1)) = 0, k = 1, n. (1.2) j=0 Пусть выполняется основное предположение: краевые условия (1.2) регулярны по Биркгофу (определения общепринятых понятий, встречающихся в настоящей статье, можно найти, например, в книге [41]). Исследуется вопрос о равномерной равносходимости разложений заданной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) или, кратко, корневым функциям оператора L и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также об оценке разности соответствующих частичных сумм (или, коротко, о скорости равносходимости) при самых общих условиях на разлагаемую функцию и коэффициент p1(x) при (n - 1)-й производной. Задача о разложении заданной функции в ряд по с.п.ф. оператора L является одной из основных задач, возникающих при рассмотрении таких операторов. Наиболее полно эта задача решается в случае, когда удается доказать равносходимость (в том или ином смысле) разложений заданной функции в ряды по с.п.ф. оператора L и по тригонометрической системе, так как тригонометрическая система достаточно хорошо изучена. Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой активно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В. А. Стеклова [56, 57], Э. У. Хобсона [70], А. Хаара [68, 69] для случая дифференциального оператора Штурма- Лиувилля и Я. Д. Тамаркина [58, 82, 83], М. Стоуна [81] для дифференциального оператора произвольного порядка с произвольными двухточечными краевыми условиями, удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа [41, с. 66-67]. Новый импульс этому направлению придал В. А. Ильин [6-9], разработавший метод получения теорем равносходимости, в котором дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений (с.з.) и с.п.ф. Первый наиболее общий результат о равносходимости для оператора L получил Я. Д. Тамаркин [82]. Он доказал, что при нулевом коэффициенте p1(x) (или достаточно гладком: p1(x) ∈ Cn-1[0, 1]) и регулярных краевых условиях для всякой интегрируемой (по Риману) функции ряды Фурье по с.п.ф. оператора L и по тригонометрической системе равномерно равносходятся внутри (0, 1). Похожий результат получил М. Н. Стоун [81]. Позднее Я. Д. Тамаркин [58, 83] доказал теорему равносходимости для более общих операторов, но опять-таки с условиями регулярности краевых условий и достаточной гладкости коэффициента при (n - 1)-й производной или аналогичных ему коэффициентов. Н. П. Купцов [15] доказал абстрактную теорему равносходимости разложений по с.п.ф. операторов A и A+Q, действующих в банаховом пространстве. Приложениями этой теоремы являются обычные теоремы равносходимости разложений по с.п.ф. оператора L и в обычный тригонометрический ряд Фурье, но опять же в случае регулярных краевых условий оператора L и нулевого коэффициента p1(x). А. П. Хромов [60, 62] распространил теорему о равносходимости Тамаркина на интегральные 1 операторы (Af )(x) := Г A(x, ξ)f (ξ) dξ (x ∈ [0, 1]), ядра которых обобщают свойства функции 0 Грина оператора L с регулярными краевыми условиями. А именно, А. П. Хромов рассмотрел случай, когда некоторые производные ядра интегрального оператора имеют разрыв первого рода на линии ξ = x. Такие операторы являются в определенном смысле каноническими в классе интегральных операторов, для разложений по с.п.ф. которых имеет место равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье. В дальнейшем В. В. Корнев и А. П. Хромов [14], а также А. П. Хромов [63] распространили эти результаты на другие интегральные операторы. Аналог случая p1(x) ∈/ Cn-1[0, 1] при этом не рассматривался. Обзор результатов по вопросам сходимости и, в частности, равносходимости биортогональных разложений функций для обыкновенных дифференциальных операторов приведен А. П. Хромовым в [61]. В основе всех этих результатов лежал метод контурного интеграла Пуанкаре-Коши или, подругому, резольвентный метод, использующий интегральное представление Коши проекторов Рисса. Другой подход к проблеме равносходимости, как было отмечено, предложил В. А. Ильин [6-9]. При получении своих результатов он существенно использовал формулу среднего значения, полученную первоначально Е. И. Моисеевым [39, 40] для случая гладких коэффициентов, и затем модифицированную И. С. Ломовым [29] для случая негладких коэффициентов. Эта формула является распространением формулы среднего значения для регулярного решения самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка, которая указана в книге Э. Ч. Титчмарша [59], на случай присоединенных функций и на случай уравнений более высокого порядка. В. А. Ильин доказал равномерную равносходимость с тригонометрическим рядом разложений в биортогональный ряд по с.п.ф. произвольного несамосопряженного дифференциального оператора, порожденного выражением f(y) и произвольными краевыми условиями, обеспечивающими определенное асимптотическое поведение с.з. Доказанные В. А. Ильиным теоремы формулируются в терминах условий на коэффициенты f(y) и функции биортогональной системы и охватывают ранее известные результаты, касающиеся равносходимости, в частности, случай регулярных краевых условий. Более того, эти теоремы впервые устанавливают локальный характер не только требований на разлагаемую функцию, но и требований на коэффициенты f(y) и функции биортогональной системы. Дальнейшее продвижение в вопросе о равносходимости было сделано А. М. Минкиным [37, 38]. Некоторые доказанные им теоремы по формулировке родственны ряду утверждений В. А. Ильина [6-9], но доказательства другие. В обзорной статье [73] А. М. Минкина дан развернутый анализ результатов по равносходимости спектральных разложений. Все приведенные выше результаты относились к операторам L с достаточно гладким коэффициентом p1(x), а также к обобщениям именно таких операторов. Вопрос о влиянии свойств этого коэффициента на равносходимость был исследован автором [44, 46, 76]. Было установлено, что существует тесная связь между множеством тех функций f (x), для разложений которых по с.п.ф. оператора L имеет место равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье, и свойствами коэффициента p1(x). По сути, в этих работах была дана оценка разности частичных сумм разложений в ряд по с.п.ф. оператора L и в обычный тригонометрический ряд Фурье (или, кратко, скорости равносходимости). Отметим, что вопрос об оценке разности частичных сумм разложений по с.п.ф., отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям оператора Штурма- Лиувилля, впервые был рассмотрен В. А. Ильиным и И. Йо [12, 13]. Аналогичные вопросы для оператора Штурма-Лиувилля исследовались Ш. А. Алимовым и И. Йо [66], а также Н. Лажетичем [20, 21]. Для оператора Шредингера вопросы, связанные с оценкой скорости равносходимости спектральных разложений, были рассмотрены Е. И. Никольской в статье [42]. В. Е. Волков и И. Йо [4] перенесли результат [12, 13] на случай несамосопряженного оператора loc Шредингера с комплекснозначным потенциалом из класса L2 и получили точную по порядку оценку разности частичных сумм спектральных разложений. Позднее В. А. Ильин [10, 11] и Е. И. Никольская [42] перенесли результат [12, 13] на случай произвольного суммируемого потенциала, скалярного или матричного. Во всех случаях были получены оценки скорости равномерной равносходимости на любом компакте K ⊂ G, где G есть основной интервал. Такие же локальные оценки, но в интегральной метрике, получены В. М. Курбановым [17] для широкого класса обыкновенных дифференциальных операторов. Отметим также другие статьи [16, 18, 19, 72] В. М. Курбанова в этом направлении. В частности, в статье [18] им была исследована зависимость скорости равносходимости от модуля непрерывности главных коэффициентов д.в. Системы функций, по которым ведется разложение, могут удовлетворять разным краевым условиям, поэтому равномерной равносходимости соответствующих рядов на всем отрезке G в общем случае не может быть. Некоторые практические задачи, тем не менее, требуют оценку скорости равносходимости разложений или оценку порядка приближения функций спектральными разложениями именно на всем G, причем оценку достаточно установить в интегральной метрике. Используя подход В. А. Ильина, оценки скорости равносходимости соответствующих разложений на всем интервале G в интегральной метрике Lp получил И. С. Ломов [23]. В дальнейшем И. С. Ломов перенес эти результаты на несамосопряженный оператор Шредингера [24, 25] и затем на оператор Штурма-Лиувилля с негладким коэффициентом p1(x) при первой производной в дифференциальной операции [26-28]. Для произвольного оператора четного порядка результат был получен И. С. Ломовым [30, 31, 33] и И. С. Ломовым совместно с С. В. Афониным [1] - для операторов нечетного порядка. И. С. Ломов в [34] также установил оценку зависимости скорости локальной равносходимости разложений от расстояния внутреннего компакта до границы интервала G и совместно с А. С. Марковым [36] перенес эти результаты на системы дифференциальных уравнений. Детальный обзор этих и аналогичных результатов по оценке разности частичных сумм можно найти в работах И. С. Ломова [32, 35]. Интересные результаты по оценке скорости равносходимости получили Г. В. Радзиевский и А. М. Гомилко [5], а также Г. В. Радзиевский [43, 75]. Они подробно исследовали равносходимость и получили оценки разности частичных сумм разложений по с.п.ф. регулярных краевых задач для функционально-дифференциальных и дифференциальных операторов в метрике Lp[0, 1], где 1 <p< ∞. Результат сформулирован в терминах подходящих модулей непрерывности. Отдельно от перечисленных результатов стоят результаты о равносходимости для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями начали изучаться в начале 2000-х годов. Такого типа операторы были введены А. М. Савчуком и А. А. Шкаликовым [49] и активно исследовались разными математиками. По-видимому, первой работой, в которой изучались вопросы равносходимости для таких операторов, стала статья В. А. Винокурова и В. А. Садовничего [3], в которой была доказана равномерная на всем отрезке [0, π] равносходимость в случае, когда f (x) ∈ L1[0, π], q(x) = u×(x), где функция u(x) из пространства BV [0, π], т. е. функция ограниченной вариации. При этом рассматривались краевые условия Дирихле. П. Джаков и Б. С. Митягин [67] установили равномерную равносходимость для такого вида операторов Штурма-Лиувилля с произвольными регулярными краевыми условиями. При этом разлагаемая функция f (x) выбиралась квадратично суммируемой с дополнительным условием на ее коэффициенты Фурье, а именно: суммируемость в квадрате с логарифмическим весом. И. В. Садовничая в серии работ [50-54, 79] получила ряд интересных результатов о равносходимости и оценке скорости равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля с потенциаломраспределением и операторов Дирака. В частности, для оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и с потенциалом q(x) = u×(x), где u(x) ∈ L2[0, π], была доказана равносходимость по норме пространства Lν [0, π], ν ∈ [2, ∞), в случае, когда разлагаемая функция f (x) ∈ Lμ[0, π], μ ∈ [1, 2], где 1/μ - 1/ν :( 1/2 (в частности, для μ = 2, ν = ∞). Для оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и с потенциалом q(x)= u×(x), где u(x) ∈ W θ [0, π], 0 < θ < 1/2 (W θ[0, π] есть шкала соболевских пространств с нецелым индексом 2 2 гладкости θ ∈ [0, 1]), получена оценка скорости равносходимости по норме пространства L∞[0, π] для случая, когда разлагаемая функция f (x) ∈ L2[0, π]. Следует отметить также результаты В. А. Юрко [65] по равносходимости спектральных разложений в случае дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми коэффициентами. Таким образом, вопросы равносходимости в том или ином виде спектральных разложений и задача оценки разности частичных сумм в различных метриках и для различных классов дифференциальных операторов являются актуальными направлениями исследований. Автору статьи удалось продвинуться в данном направлении, а именно, в [46, 47, 76, 77] была дана оценка разности частичных сумм разложений по с.п.ф. оператора L и в тригонометрический ряд Фурье в терминах логарифмических модулей непрерывности коэффициента p1(x) и разлагаемой функции f (x). В статье [78] результаты [46, 47, 76, 77] были обобщены и оценка разности частичных сумм была получена в терминах общих модулей непрерывности. В частности, в случае, когда модули непрерывности оцениваются сверху медленно меняющимися функциями. При этом важную роль в доказательстве играет доказанный автором аналог теоремы Штейнгауза [48]. 2. Основные понятия и определения. Формулировка полученных результатов Далее будут использоваться следующие модули непрерывности: ⎛ 1-h r ⎞1/p p ω(f, δ)p = sup ⎝ 0<h:(δ 0 |f (t + h) - f (t)| dt⎠ в случае 1 :( p< ∞, (2.1) ω(f, δ)∞ = sup sup f (t + h) - f (t) . 0<h:(δ t∈[0, 1-h] Далее под L∞[0, 1] удобно понимать пространство C[0, 1]. Введем следующие пространства функций при α> 0 и 1 :( r :( ∞: Hα ( ( -α 1 \ r [0, 1] = f ∈ Lr [0, 1] : ω(f, δ)r = O ln δ , δ → +0 . r Считаем, что H0[0, 1] = Lr [0, 1]. Наряду с оператором L вида (1.1)-(1.2) потребуется линейный дифференциальный оператор L0, порожденный простейшим д.в. и периодическими краевыми условиями f0(y) := y(n), y(k-1)(0) - y(k-1)(1) = 0, k = 1, n. (2.2) Числа λ0ν := (2νπi)n ,ν = 0, ±1, ±2,... , суть с.з. оператора L0, а функции eν (x) := exp(2νπix) - соответствующие собственные функции (с.ф.), т. е. система с.ф. есть обычная тригонометрическая система в экспоненциальной форме. Пусть λν ,ν = 0, 1, 2,... , суть с.з. оператора L. Асимптотика с.з. оператора L может быть получена аналогично тому, как это сделано, например, в [41, с. 74-75], но с использованием асимптотических формул для решений дифференциального уравнения f(y) - λy = 0, даваемых теоремой из статьи автора [45], вместо асимптотических формул [41, с. 58-59]. Обозначим через Dδ область комплексной плоскости C, получающуюся из C в результате удаления множеств достаточно ∞ ν=0 Kδ (λν ) и ∞ ν=-∞ Kδ (λ0ν ), где обозначено Kδ (c) = {λ : |λ - c| < δ}, δ > 0 и мало. m=1 Из асимптотики с.з. оператора L следует, что существует последовательность {rm}∞ ⊂ R такая, что (2πm)n < rm < (2π(m+1))n , и контуры Γm := {λ ∈ C : |λ| = rm}, начиная с некоторого достаточно большого m, лежат в области Dδ . Между соседними контурами находятся не более двух с.з. λν , начиная с некоторого m. Рассмотрение таких контуров обусловлено структурой обычного тригонометрического ряда Фурье в экспоненциальной форме, который на самом деле является рядом со скобками. Обозначим через Rλ и R0λ резольвенты операторов L и L0, соответственно, а через G(x, ξ, λ) и G0(x, ξ, λ) - соответствующие функции Грина. Пусть 1 r Sm(f, x) := - 2πi Γm 1 r Rλf dλ = - 2πi Γm 1 r G(x, ξ, λ) dξ dλ, 0 1 1 r σm(f, x) ≡ S0m(f, x) := - 2πi Γm 1 r r R0λf dλ = - 2πi Γm 0 G0(x, ξ, λ) dξ dλ. Известно [41, с. 92], что Sm(f, x) есть частичная сумма биортогонального ряда Фурье функции f (x) по с.п.ф. оператора L, содержащая слагаемые, соответствующие с.з. λν , для которых выполняется неравенство |λν | < rm, а σm(f ) есть частичная сумма ортогонального ряда Фурье функции f (x) по с.ф. оператора L0, содержащая слагаемые, соответствующие с.з. λ0ν = (2νπi)n, для которых |ν| :( m, т. е. частичная сумма порядка m обычного тригонометрического ряда Фурье функции f (x) σm(f, x) := m \ (f, ek )ek (x), где (f, ek ) := k=-m 1 r f (ξ)e-2kπiξ dξ. 0 Для f (x) из L1[0, 1] обозначим Φm(x)= Sm(f, x) - V σm(V -1f, x), Ψm(x)= Sm(f, x) - σm(f, x), (2.3) где Введем условие x ( 1 r V (x)= exp - n 0 p1(τ ) dτ \ . (2.4) 1 1 ∞ f (x) ∈ Lr [0, 1], p1(x) ∈ Lq [0, 1], + = 1, 1 :( q :( . (2.5) q r Справедлива следующая теорема об оценке разности частичных сумм Φm(x) в терминах общих модулей непрерывности разлагаемой функций f (x) и коэффициента p1(x). Теорема 2.1. При условии (2.5) для любого компакта K ⊂ (0, 1) и натурального m » 1 ⊕Φm(x)⊕C(K) :( C(f, L, K)Am, (2.6) где Am = inf k∈N (( ln mω ( 1 \ k p1, q +1+ k2/q m1/q k2 ln m \ ( 1 \ + ω f, + m k r ( + 1+ k2 ln m \ ω m ( 1 \ k p1, + q k2+2/q m1+1/q k4 ln m + m2 . Для формулировки теоремы об оценке разности частичных сумм Ψm(x) введем следующие обозначения: § для функции h(x) ∈ C[0, 1] положим ⎛ 1 ⎞1/q r 1 Hq (h, m) := ⎜ hq (ξ) dξ⎟ при 1 :( q < ∞, H (h, m) := 1; (2.7) ⎝ ξ ⎠ ∞ 1/m § для функции g(x) ∈ Lq [0, 1] положим где θq (g, δ) := sup τ ∈[0,δ] θ1q (g, τ ) при 1 :( q < ∞ и θ∞(g, δ) ≡ 1, (2.8) ( 1 1 ω θ1q (g, τ ) := inf ( \ g, + (k2τ ) q при 1 :( q < ∞, (2.9) k∈N k q где θˆq (g, δ)= sup τ ∈[0,δ] θˆ1q (g, τ ) при 1 :( q < ∞ и θ ∞ ˆ (g, δ) ≡ 1, (2.10) ( 1 1 ( 1 \ 1 ω θˆ1q (g, τ )= inf ( \ g, + θq g, + (k2τ ) q при 1 :( q < ∞. (2.11) k∈N k q k1/r k Теорема 2.2. При условии (2.5) для любого компакта K ⊂ (0, 1) и натурального m » 1 ⊕Ψm(x)⊕C(K) :( C(f, L, K)Bm, (2.12) где Bm = inf (( ln mω ( 1 \ p1, +1 + Hq (θˆq (p1, ·), m) + k2/q k2 ln m \ ( 1 \ + ω f, + k∈N k q m1/q m k r ( + 1+ k2 ln m \ ω m ( 1 \ k p1, + q 1 θq k1/r ( 1 \ p1, k + k2+2/q m1+1/q k4 ln m + m . (2.13) Если на ω(f, δ)r и ω(p1, δ)q наложить такие условия, при которых Am → 0 или Bm → 0 при m → ∞, можно получить различные достаточные условия равносходимости соответствующих разложений с оценками разности частичных сумм. Интересные результаты получаются в случае, когда функции ω(f, δ)r и ω(p1, δ)q по переменной δ являются медленно меняющимися функциями. Понятие медленно меняющейся функции тесно связано с понятием правильно меняющейся функции. Это понятие было введено И. Караматой [71] в 1930 г. (при этом рассматривались непрерывные функции). Правильно меняющиеся функции примыкают к степенным, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения, в основном благодаря их особой роли в теоремах тауберова типа. Теорию таких функций можно найти в книге [55]. Определение 2.1. Положительная непрерывная в проколотой окрестности нуля функция Ω(δ), для которой выполнено условие Ω(γδ) lim δ→0 Ω(δ) = γρ для любого γ > 0, (2.14) называется правильно меняющейся в нуле функцией порядка ρ ∈ R. Правильно меняющаяся в нуле функция порядка ρ = 0 называется медленно меняющейся функцией (м.м.ф.) в нуле. Функция Ω(δ) называется правильно меняющейся функцией в бесконечности порядка ρ ∈ R, ( 1 \ если функция Ω δ есть правильно меняющаяся функция в нуле того же порядка. Замечание 2.1. На самом деле в общем определении правильно меняющейся функции (а значит, и м.м.ф.) фигурируют измеримые функции, но мы ограничимся только непрерывными правильно меняющимися функциями (а значит, и непрерывными м.м.ф.). Приведем наиболее известный (эталонный) пример [55, с. 48-50] м.м.ф. в нуле, которая наиболее часто используется. Пример 2.1 (медленно меняющаяся функция в 0). Пусть заданы k вещественных чисел α1, α2, ..., αk . Положим )= Ω(δ ( ln 1 \α1 ( δ ln ln 1 \α2 δ ... ( ln ln ... ln 1 \αk , δ где ln b есть логарифм по какому-то основанию c> 0, c /= 1. Тогда Ω(δ) есть м.м.ф. в 0. Функции, рассмотренные в этом примере, образуют так называемую логарифмическую мультишкалу, имеющую ряд приложений в теории функциональных пространств. Введем условие ω(f, δ)r = O(Ω1(δ)), ω(p1, δ)q = O(Ω2(δ)), δ → +0, (2.15) и пусть функции Ω1(δ) и Ω2(δ) удовлетворяют следующему условию: Условие 2.1 (медленное изменение (МИ)). Существует интервал (0, ε0), на котором (а) Ω(δ) есть м.м.ф. в точке 0; (б) Ω(δ) является монотонно неубывающей функцией, для которой Ω(δ) → 0 при δ → +0; (в) для любого γ > 0 справедливо Ω(δγ ) ∼ Ω(δ) при δ → +0, т. е. существуют константы C1 > 0 и C2 > 0 такие, что C1Ω(δ) :( Ω(δγ ) :( C2Ω(δ). Замечание 2.2. Предположение (б) вполне естественно, так как модуль непрерывности обладает этим свойством. Замечание 2.3. Произвольная м.м.ф., вообще говоря, не обладает свойством (в). Однако наиболее часто используемые на практике м.м.ф. обладают этим свойством. В частности, такая м.м.ф., как в примере 2.1. Справедливы следующие теоремы равносходимости. Теорема 2.3. Если выполняются условия (2.5), (2.15), функции Ω1(δ), Ω2(δ) удовлетворяют условию МИ и таковы, что ln m Ω1 ( 1 \ Ω2 m ( 1 \ m → 0 при m → ∞, (2.16) то для любого компакта K ⊂ (0, 1) имеет место равносходимость lim m→∞ ⊕Φm(x)⊕C(K) =0 и справедливы следующие оценки при m » 1: ⊕Φm(x)⊕C(K) :( C(f, p1,K) ( ln m Ω1 ( 1 \ Ω2 m ( 1 \ m + Ω1 ( 1 \ m + Ω2 ( 1 \\ m . (2.17) Теорема 2.4. Пусть выполняются условия (2.5), (2.15), а функции Ω1(δ) и Ω2(δ) удовлетворяют условию МИ. Если, к тому же, выполняются еще и условия (2.16) и ( 1 \ Ω1 m Hq (Ω2, m) →∞ при m → ∞, (2.18) то для любого компакта K ⊂ (0, 1) имеет место равносходимость lim m→∞ ⊕Ψm(x)⊕C(K) =0 и справедлива следующая оценка при m » 1: ⊕Ψm(x)⊕C(K) :( :( C(f, p1,K) Введем условие ( ln m Ω1 ( 1 \ Ω2 m ( 1 \ m + Ω1 ( 1 \ m Hq (Ω2, m)+ Ω1 ( 1 \ m + Ω2 ( 1 \\ m . (2.19) ω(f, δ)r = O ( 1 \ lnα 1/δ , ω(p1, δ)q = O ( 1 \ lnβ 1/δ , δ → +0, (2.20) т. е. f (x) ∈ Hα[0, 1] и p1(x) ∈ Hβ [0, 1]. r q Следствиями теорем 2.3 и 2.4 являются следующие теоремы, которые были получены автором ранее в [46, 47, 76, 77]. Теорема 2.5. Если выполняются условия (2.5), (2.20) и α + β > 1, то для любого компакта K ⊂ (0, 1) имеет место равносходимость lim m→∞ ⊕Φm(x)⊕C(K) =0 и справедлива следующая оценка при m » 1: ( ln m 1 1 \ ⊕Φm(x)⊕C(K) :( C(f, p1,K) lnα+β m + lnα m + lnβ m . (2.21) Теорема 2.6. Если выполняются условия (2.5), (2.20) и α + β > 1, то для любого компакта K ⊂ (0, 1) имеет место равносходимость lim m→∞ ⊕Ψm(x)⊕C(K) =0 и справедливы следующие оценки при m » 1: § в случае βq =1 и 1 :( q < ∞ ( ln m ( ln ln m)1/q 1 \ ⊕Ψm(x)⊕C(K) :( C(f, p1,K) lnα+β m + lnα m + lnβ m , (2.22) § в остальных случаях (βq /=1 и 1 :( q < ∞ или q = ∞) ( ln m 1 1 \ ⊕Ψm(x)⊕C(K) :( C(f, p1,K) lnα+β m + lnα m + lnβ m . (2.23) Замечание 2.4. В работе автора [44] рассмотрен простейший линейный дифференциальный оператор вида y×× + p1(x)y×, y(0) = y(1) = 0, (2.24) в котором проявляются все трудности общего случая, а именно, такое же влияние свойств коэффициента p1(x) и разлагаемой функции f (x) на оценку разности частичных сумм разложений, как и в общем случае. Было показано, что сформулированные выше теоремы точны в следующем смысле: 5. если 1 1 r + q > 1, q > 1, r > 1, r1 > r, q1 > q, но по-прежнему 1 1 + r1 q1 > 1, то существуют функции f (x) ∈ Lr[0, 1] и p1(x) ∈ Lq[0, 1], положительная константа C(q1, r1) и возрастаюk=1 щая подпоследовательность {mk }∞ ∈ N такие, что ( 1 \ 1 1 Ψ mk ;;? C(q1, r1)m p1 + q1 -1 → +∞; 2 k 6. если r = ∞,q =1 или r = 1,q = ∞, α+β < 1, α1 > α, β1 > β, но по-прежнему α1 +β1 < 1, то существуют функции f (x) ∈ Hα[0, 1], p1(x) ∈ Hβ [0, 1], положительная константа C(α ,β ) и r q 1 1 k=1 некоторая возрастающая подпоследовательность {mk }∞ ∈ N такие, что Ψmk ( 1 \ ;;? C(α1, β1) ln mk → +∞. 2 lnα1 +β1 mk Полные доказательства теорем 2.1 и 2.3 приведены в статье [78] автора. Теоремы 2.2 и 2.4 также были сформулированы в [78], но подробные доказательства не были приведены. Отмечалось только, что их доказательство следует из теорем 2.1 и 2.3 с использованием соответствующих аналогов теоремы Штейнгауза. Цель настоящей статьи - восполнить этот пробел и дать полные доказательства теорем 2.2 и 2.4, а заодно другим способом доказать теорему 2.6. Для удобства в следующем разделе сформулируем саму теорему Штейнгауза и необходимые аналоги теоремы Штейнгауза, приведенные в работах автора [44, 46, 48, 76]. Подробную историю вопроса можно найти в [48]. 1. Аналоги теоремы Штейнгауза В 1913 г. Г. Штейнгауз [80] доказал следующую теорему (формулировка дается по книге [2, с. 111]). Теорема 3.1 (Г. Штейнгауз). Если f (x) ∈ L1[0, 1], W(x) удовлетворяет условию Липшица порядка 1 на [0, 1] и обе функции периодичны, то s lim ⊕W(x)σm(f, x) - σm(Wf, x)⊕C[0, 1] = 0. (3.1) →∞ Равносходимость вида (3.1), но в метрике пространства C(K) для любого компакта K ⊂ (0, 1) была установлена автором [44] при других условиях на функции f (x) и W(x). Чтобы сформулировать этот результат, будем использовать для функции W(x) представление x r W(x)= W0 + 0 g(t) dt, (3.2) где W0 есть произвольная константа, и обозначение Θm(x) := W(x)σm(f, x) - σm(Wf, x). (3.3) Функцию Θm(x) будем называть кратко разностью частичных тригонометрических сумм. В [44] доказан следующий аналог теоремы Штейнгауза. Теорема 3.2. Пусть функция W(x) имеет вид (3.2), тогда для любого компакта K ⊂ (0, 1) lim m→∞ ⊕Θm(x)⊕C(K) = 0, (3.4) если выполняется хотя бы одно из условий 1) f ∈ L1[0, 1], g ∈ L∞[0, 1]; 1 1 2) f ∈ Lr [0, 1], g ∈ Lq [0, 1], + < 1; r q 3) f ∈ Hα [0, 1], g ∈ Hβ [0, 1], α + β > 1. ∞ 1 Если неравенства в условиях 2)-3) заменить на противоположные (< на >, а > на <), то утверждение (3.4) станет, вообще говоря, неверным. Естественно возник вопрос об оценке стремления к нулю в (3.4) в зависимости от свойств функций f (x) и g(x). Ответ был дан автором в статьях [46, 48, 76]. В [46, 76] была дана оценка разности частичных тригонометрических сумм в случае, когда модули непрерывности функций f (x) и g(x) оцениваются сверху логарифмическими функциями. Для формулировки теоремы потребуются следующие условия: 1 1 ∞ f (x) ∈ Lr [0, 1], g(x) ∈ Lq [0, 1], + = 1, 1 :( q :( , (3.5) q r ω(f, δ)r = O ( 1 \ lnα 1/δ q , ω(g, δ) = O ( 1 \ lnβ 1/δ при δ → +0, α, β > 0. (3.6) Теорема 3.3. Пусть функция W(x) имеет вид (3.2) и выполняются предположения (3.5) и (3.6). Тогда для любого компакта K ⊂ (0, 1) имеет место равносходимость lim m→∞ ⊕Θm(x)⊕C(K) =0: (3.7) 1 1. в случае 1 :( q < ∞ при условии α + β > q , при этом, если βq /= 1, то а если βq = 1, то ⊕Θm(x)⊕C(K) = O q ( ln 1 m lnα+β m + 1 lnα m + 1 \ lnβ m , (3.8) q ( (ln ln m) 1 1 \ ⊕Θm(x)⊕C(K) = O lnα m + lnβ m ; (3.9) 2. в случае q = ∞ при любых α> 0 и β > 0, при этом ( 1 1 \ ⊕Θm(x)⊕C(K) = O lnα m + lnβ m . Впоследствии в статье автора [48] была доказана теорема об оценке разности частичных тригонометрических сумм в терминах общих модулей непрерывности функций f (x) и g(x), а также аналог теоремы Штейнгауза в случае, когда модули непрерывности оцениваются сверху м.м.ф. Сформулируем также и эти теоремы. Теорема 3.4. Пусть функция W(x) имеет вид (3.2), а функции f (x) и g(x) удовлетворяют условию (3.5). Тогда для любого компакта K ⊂ (0, 1) и любого натурального m » 1 имеет место оценка где ⊕Θm(x)⊕C(K) :( C(f, g, K)Qm, (3.10) ( ( 1 \ Qm = inf ω f, k∈N k r ( \ 1 k Hq(θq (g, ·), m) + ω g, + q k4 ln m m . (3.11) Если на ω(f, δ)r и ω(g, δ)q наложить такие условия, при которых Qm → 0 при m → ∞, можно получить различные достаточные условия равносходимости вида (3.4). В частности, результат, даваемый теоремой 3.3, следует из теоремы 3.4 в случае выполнения условий (3.5) и (3.6) при дополнительных условиях на параметры α и β. Интересные результаты получаются в случае, когда функции ω(f, δ)r и ω(g, δ)q оцениваются сверху медленно меняющимися функциями. Пусть по-прежнему выполняется условие (3.5) и, кроме того, имеют место оценки ω(f, δ)r = O(v(δ)), ω(g, δ)q = O(w(δ)), δ → +0, (3.12) где v(δ) и w(δ) удовлетворяют условию 2.1 МИ. Справедлива следующая теорема, которая доказана в [48]. Теорема 3.5. Пусть функция W(x) имеет вид (3.2), выполняются условия (3.5) и (3.12). Тогда, если ( 1 \ v Hq (w, m) → 0 при m → ∞, (3.13) m то для любого компакта K ⊂ (0, 1) имеет место равносходимость lim m→∞ ⊕Θm(x)⊕C(K) = 0. (3.14) При этом справедлива следующая оценка при m » 1: ( ⊕Θm(x)⊕C(K) :( C(f, g, K) v ( 1 \ m Hq (w, m)+ w ( 1 \\ m . (3.15) 2. Вспомогательные результаты Далее потребуются некоторые результаты из [22]. Сформулируем эти результаты в виде леммы. Лемма 4.1 (см. [22]). Пусть Qm(x) есть произвольный алгебраический многочлен степени m; p и q - такие вещественные числа, что 1 :( p < q :( ∞; s есть натуральное число. Тогда существует константа C(p, q), зависящая только от p и q, и константа C(s), зависящая только от s, такие, что ( 1 1 ) (a) ⊕Qm(x)⊕q :( C(p, q)m2 p - q ⊕Qm(x)⊕p; (4.1) m (б) ⊕Q(s)(x)⊕p :( C(s)m2s⊕Qm(x)⊕p. (4.2) Обозначим через Pk множество алгебраических многочленов степени не выше k. Далее, наилучшее приближение функции f (x) в метрике пространства Lp[0, 1] алгебраическими многочленами степени не выше k будем обозначать Ek (f )p, а многочлен наилучшего приближения - Fk (x) (если не оговорено противное), т. е. Ek (f )p = ⊕f (x) - Fk (x)⊕p = min fk (x)∈P ⊕f (x) - fk(x)⊕p. Ясно, что для многочлена Fk (x) наилучшего приближения функции f (x) в метрике пространства Lp[0, 1] выполняется неравенство ⊕Fk (x)⊕r :( C(f ), (4.3) где C(f ) - некоторая константа. Здесь, для краткости, используется обозначение ⊕·⊕p = ⊕·⊕Lp[0, 1]. Далее также потребуется результат, который доказан в [64] (аналог классической теоремы Джексона). Сформулируем его также в виде леммы. Лемма 4.2 (см. [64]). Если f (x) ∈ Lp[0, 1] (1 :( p :( ∞), то Ek (f )p :( ω ( 1 \ f, k p . (4.4) Далее в доказательстве будет использоваться следующая лемма. Лемма 4.3. Если g(x) ∈ Lq [0, 1], где 1 :( q :( ∞, то справедлива оценка b r 1 |g(τ )| dτ :( C(g)δ r θq (g, δ), δ := b - a, (4.5) a где 0 :( a < b :( 1, а функция θq (g, δ) определяется формулами (2.8)-(2.9). При этом функция θq (g, δ) в случае 1 :( q < ∞ монотонно стремится к нулю при δ → +0. Доказательство. Так как по неравенству треугольника b r |g(τ )| dτ :( a b b r r |g(τ ) - Gk (τ )| dτ + a a |Gk (τ )| dτ, то, применяя к правой части неравенство Гельдера и неравенства (4.4), (4.1) и (4.3), получим для любого k ∈ N и 1 :( q < ∞ b r |g(τ )| dτ = a b ⎛ b r r |g(τ ) - Gk (τ )+ Gk (τ )| dτ :( ⎝ a a ⎞1/r 1r dτ ⎠ ⊕g(τ ) - Gk (τ )⊕q + ⊕Gk (τ )⊕∞ δ :( 1 ( ) 1 ( ( 1 \ ( ) \ 1 Ek :( δ r ( (g)q + C(g) k2δ 1 q \ :( C(g)δ r ω g, k + k2δ q . q Так как k ∈ N является произвольным, то отсюда будем иметь b r 1 ( ( 1 \ |g(τ )| dτ :( C(g)δ r inf ω g, k∈N k q a 1 + (k2δ) q = 1 1 1 = C(g)δ r θ1q (g, δ) :( C(g)δ r sup τ ∈[0,δ] θ1q (g, τ )= C(g)δ r θq(g, δ), где функция θq(g, δ) определяется формулой (2.8). Таким образом, оценка (4.5) в случае 1 :( q < ∞ доказана. Совершенно ясно, что в случае q = ∞ оценка (4.5) также справедлива, если считать θ∞(g, δ) ≡ 1. Для завершения доказательства установим следующую лемму. Лемма 4.4. Функция θq (g, δ) в случае 1 :( q < ∞ является неубывающей при δ ∈ (0, 1] и θq (g, δ) → 0, когда δ → +0. Доказательство. То, что функция θq (g, δ) является неубывающей при δ ∈ (0, 1], следует из ее определения. Рассмотрим произвольное ε> 0. Выберем kε ∈ N таким образом, что ( ω g, Пусть 0 < τε < 1 есть такое число, что 1 \ < kε q ε . (4.6) 2 (k2 o τε )1/q ε < . (4.7) 2 Из (4.6)-(4.7) получим, что ∀ε> 0 ∃τε ∈ (0, 1) ∀τ ∈ [0, τε] ( 1 1 1 1 1 1 θ1q (g, τ )= inf ω( \ + (k2τ ) q :( ω( \ + (k2τ ) q :( ω( \ + (k2τε) q < ε. g, k∈N k q g, ε kε q g, ε kε q Следовательно, ∀ε> 0 ∃τε ∈ (0, 1) ∀δ ∈ [0, τε] θq (g, δ) :( θq(g, τε)= sup τ ∈[0,τε] θ1q (g, τ ) < ε. А это означает, что θq(g, δ) → 0 при δ → +0. Тем самым, лемма 4.4 доказана. Следовательно, и лемма 4.3 полностью доказана. Далее будут использоваться некоторые свойства м.м.ф. из [55, с. 24-25], которые, для удобства, сформулируем в виде следующих лемм. Лемма 4.5. Пусть L(x) есть произвольная м.м.ф. в нуле (бесконечности). Тогда (а) для любого γ > 0 при x → 0 (∞) xγ L(x) → 0 (∞), x-γ L(x) →∞ (0), (б) для любого κ ∈ (-∞, ∞) функция Lκ(x) является медленно меняющейся в нуле (бесконечности). Лемма 4.6. Если функции L1(x), L2(x) суть м.м.ф. в нуле (бесконечности), то функции L1(x)+ L2(x) и L1(x)L2(x) также суть м.м.ф. в нуле (бесконечности). Предположим g(x) ∈ Lq [0, 1] и ω(g, δ)q = O(w(δ)) при δ → +0, где функция w(δ) удовлетворяет условию 2.1 МИ. Справедливы следующие две леммы. Лемма 4.7. Если 1 :( q < ∞, то при всех достаточно малых ξ > 0 справедлива оценка θq (g, ξ)= O(w(ξ)). (4.8) Доказательство. В рассматриваемом случае имеем где τ > 0 и достаточно мало. Положим справа в (4.9) ( θ1q (g, τ ) :( C inf w k∈N ( 1 \ k 1 \ + (k2τ ) q , (4.9) 8 k = τ - 3 , (4.10) где [x] обозначает целую часть числа x ∈ R. Справедливы неравенства 1 1 k = 1 3 τ - 8 :( 1 3 τ - 8 - 1 = 1 τ - 4 ( 1 1 τ - 8 1 - τ 4 ) τ 4 < 2 - 1 1 = τ 4 , (4.11) при τ < 2-8 с учетом того, что τ :( 1. Отсюда, а также из (4.9) и (4.10), ввиду монотонного неубывания функции w(δ) получим при достаточно малых τ > 0 θ1q (g, τ ) :( C ( ( 1 \ w + 8 τ - 3 l ( τ 1 \ l2 3 - 8 τ \ q :( :( C ( ( 1 \ 1 \ ( 1 \ w τ 4 + τ 4q :( C w(τ )+ τ 4q :( Cw(τ ), (4.12) причем в предпоследнем неравенстве мы воспользовались тем, что функция w(δ) удовлетворяет свойству (в) в условии 2.1 МИ, а в последнем неравенстве - леммой 4.5. Используя монотонность функции w(δ), из оценки (4.12) найдем θq(g, ξ)= sup τ ∈[0,ξ] θ1q (g, τ ) :( C sup τ ∈[0,ξ] w(τ ) :( Cw(ξ), где ξ > 0 и достаточно мало. Тем самым лемма 4.7 доказана. Лемма 4.8. Если 1 :( q < +∞, то справедлива оценка Hq (θq(g, ·), m) = O(Hq (w, m)) при m →∞ (4.13) и функция Hq (w, m) есть м.м.ф. в бесконечности как функция от m. Доказательство. С учетом предыдущей леммы 1 ⎛ 1 ⎞ r 1 r 1 Hq (θq (g, ·), m) = θq(g, ξ) dξ = O ⎜ wq (ξ) dξ⎟ = O (Hq (w, m)) , (4.14) q ξ q 1/m ⎝ ξ ⎠ q 1/m т. е. оценка (4.13) установлена. Преобразуем интеграл, фигурирующий в соотношении (4.14), делая замену переменной инте- 1 грирования ξ = . Будем иметь x 1 r 1 m r 1 ( 1 \ m r 1 ( 1 \ Hq q q q (w, m)= 1/m w (ξ) dξ = w ξ x 1 dx = w˜ x x x 1 dx, (4.15) где обозначено w˜(ξ)= wq (ξ). Так как функция w(ξ) есть м.м.ф. в нуле, то на основании свойства (б) леммы 4.5 получим, ( 1 \ что и w˜(ξ) есть м.м.ф. в нуле. А тогда по определению 2.1 функция w˜ x будет м.м.ф. в бесконечности. Тогда заключительное утверждение доказываемой леммы 4.8 следует из результата, который установлен в [74] и приведен в качестве упражнения в [55, упр. 2.2, с. 82]. Сформулируем этот результат в виде леммы. Лемма 4.9. Если функция L(x) есть м.м.ф. в бесконечности, то такова же и функция x где A> 0 есть константа. r 1 L(t) dt, t A q На основании утверждения этой леммы Hq (w, m) есть м.м.ф. в бесконечности как функция от m. Но тогда, используя свойство (б) леммы 4.5, получим, что и Hq(w, m) есть м.м.ф. в бесконечности. Тем самым лемма 4.8 доказана. 3. Доказательство теоремы об оценке разности частичных сумм и теорем равносходимости Доказательство теоремы 2.2. Справедливость теоремы 2.2 в случае общих модулей непрерывности следует из теоремы 2.1 и теоремы 3.4 об оценке разности частичных тригонометрических сумм на основании соотношения Ψm(x)= Sm(f, x) - σm(f, x)= ) = Sm(f, x) - V (x)σm(f, x)+ V (x ( ( ) σm(V -1f, x) - V -1(x)σm(f, x \ = \ = Φm(x)+ V (x) σm(V -1f, x) - V -1(x)σm(f, x) = ( ˜ ˜ \ = Φm(x) - V (x) W(x)σm(f, x) - σm(W f, x) =: Φm(x) - V (x)Θ˜ m(x), (5.1) W W где используются обозначения (2.3), V (x) определяется формулой (2.4), ˜ (x) := V -1(x) и функция Θ˜ m(x) есть аналог функции Θm(x), определенной формулой (3.3), в которой вместо функции W(x) стоит функция ˜ (x). W Для функции ˜ (x) справедлива формула ⎛ W(x)= V -1(x)= exp 1 x ⎞ r p (τ ) dτ =1 + x r g˜(t) dt, (5.2) ˜ где ⎝ n 1 ⎠ 0 0 1 g˜(t) := p1(t)V -1(t). (5.3) n W Ясно, что если p1(t) ∈ Lq[0, 1], то и g˜(t) ∈ Lq [0, 1], и наоборот. Следовательно, функция ˜ (x) ≡ 1. -1(x) есть аналог функции W(x) в теореме 3.4 для случая общих модулей непрерывности, и для нее вместо формулы (3.2) справедлива формула (5.2), в которой основании теоремы 3.4 получим оценку g˜(t) ∈ Lq [0, 1]. Тогда на где ⊕Θ˜ m(x)⊕C(K) :( C(f, g˜, K)Q˜m, (5.4) ( ( 1 \ Q˜m = inf ω f, k∈N k r Hq(θq (g˜, ·), m) + ω ( 1 \ g˜, + k q k4 ln m m ; (5.5) ⎛ 1 ⎞1/q r 1 Hq(θq (g˜, ·), m) = ⎜ θq(g˜, ξ) dξ⎟ (1 :( q < ∞), H (θ (g˜, ·), m) = 1; (5.6) ⎝ ξ q ⎠ ∞ ∞ 1/m θq (g˜, ξ)= sup τ ∈[0,ξ] θ1q (g˜, τ ) при 1 :( q < ∞ и θ∞(g˜, ξ)= 1, (5.7) θ1q (g˜, τ )= inf k∈N ( ω(g˜, 1 \ k q 1 + (k2τ ) q при 1 :( q < ∞. (5.8) Оценим все объекты, содержащие функцию g˜(x), через аналогичные объекты, содержание только функцию p1(x). Если обозначить v∗ := max |V -1(t)|, то на основании (5.3) получим t∈[0, 1] ⎛ 1-h 1 r 1 -1 q ⎞1/q n ω(g˜, δ)q = sup ⎝ 0<h:(δ 0 |p1(t + h)V - (t + h) - p1(t)V (t)| dt⎠ :( ⎛ ⎛ 1-h :( n ⎜ 1 r q -1 ⎞1/q q ⎝ sup ⎝ 0<h:(δ 0 |p1(t + h) - p1(t)| |V (t + h)| dt⎠ + ⎛ 1-h r q -1 -1 q ⎞1/q ⎞ + sup ⎝ 0<h:(δ 0 v∗ |p1(t)| |V (t + h) - V (t)| 1 dt⎠ ⎟ :( ⎠ -1 n :( ω(p1, δ)q + ⊕p1(x)⊕q sup sup |V - (t + h) - V (t)| = 0<h:(δ t∈[0, 1-h] v∗ 1-h r = ω(p1, δ)q + ⊕p1(x)⊕q sup sup g˜(τ ) dτ . (5.9) n 0<h:(δ t∈[0, 1-h] 0 Так как по условию p1(x) ∈ Lq [0, 1], то из равенства (5.3) и леммы 4.3 следует t+h r t+h v∗ r 1 |g˜(τ )| dτ :( n t t |p1(τ )| dτ :( C(p1)h r θq (p1, h), (5.10) где θq(p1, h) определяется формулами (2.8)-(2.9). Из (5.9)-(5.10) будем иметь ( 1 ω(g˜, δ)q :( C(p1) ω(p1, δ)q + δ r ) θq (p1, δ \ . (5.11) Учитывая эту оценку в (5.8), получим ( θ1q (g˜, τ ) :( C(p1) inf ω( , 1 \ + 1 ( θ p , 1 \ 1 + (k2τ ) q = C(p )θˆ (p ,τ ), (5.12) k∈N p1 q 1 k q k1/r k 1 1q 1 где используется обозначение (2.11). На основании этой оценки из (5.7) следует θq (g˜, ξ) :( C(p1) sup τ ∈[0,ξ] θˆ1q (p1,τ )= C(p1)θˆq (p1, ξ), (5.13) где используется обозначение (2.10). Наконец, из (5.6) и (5.13) получим ⎛ 1 r 1 ⎞1/q Hq (θq(g˜, ·), m) :( C(p1) ⎜ θˆq(p , ξ) dξ⎟ = C(p )H (θˆ (p , ·), m). (5.14) ⎝ ξ q 1 ⎠ 1/m 1 q q 1 Таким образом, из (5.4), (5.5), (5.11) и (5.14) следует Q˜m :( C(f, p1,K)Qˆm, (5.15) где Qˆm = inf k∈N ( ( 1 \ k Hq(θˆq (p1, ·), m) ω f, r ( 1 \ k + ω p1, + q 1 θq k1/r ( 1 \ p1, k + k4 ln m m . (5.16) Следовательно, из соотношений (5.1), (5.4), (5.15), (5.16), а также из теоремы 2.1 получим утверждение доказываемой теоремы. Тем самым, теорема 2.2 полностью доказана. Доказательство теоремы 2.4. Предположим теперь, что выполняется условие (2.15), а функции Ω1(δ) и Ω2(δ) удовлетворяют условию 2.1 МИ. Учитывая условие (2.15) в теореме 2.2, получим Bm :( C(f, p1) inf k∈N (( ln m Ω2 ( 1 \ k +1 + Hq (θˆq (p1, ·), m) + k2/q m1/q k2 ln m \ + Ω1 m ( 1 \ + k ( + 1+ k2 ln m \ Ω2 m ( 1 \ + k 1 k1/r θq ( 1 \ p1, k + k2+2/q m1+1/q k4 ln m + m . (5.17) На основании леммы 4.7 и условия (2.15) при 1 :( q < ∞ справедлива оценка Если же q = ∞, то ( 1 \ θq p1, k ( 1 \ ( = O Ω2 ( 1 \\ k . (5.18) θ∞ p1, k =1 при всех k ∈ N. (5.19) На основании леммы 4.7 при 1 :( q < ∞ получается оценка θˆq (p1, ξ)= O(Ω2(ξ)). С учетом этой оценки и леммы 4.8 в итоге будем иметь при 1 :( q < +∞ оценку Hq (θˆq (p1, ·), m) = O(Hq (Ω2, m)) при m → ∞, (5.20) и функция Hq (Ω2, m) есть м.м.ф. в бесконечности как функция от m. Используя этот факт, оценки (5.17), (5.18), (5.20), свойства м.м.ф., даваемых леммами 4.5 и 4.6, получаем оценку (2.19) в случае 1 :( q < ∞. В случае q = ∞ рассуждения тривиальным образом видоизменяются и также получается оценка (2.19). Из оценки (2.19) вытекают достаточные условия равносходимости (2.16) и (2.18). Тем самым теорема 2.4 полностью доказана. Доказательство теоремы 2.6. Предположим, что выполняется условие (2.20). Для доказательства теоремы 2.6 воспользуемся теоремой 2.4. Введем непрерывные неубывающие функции Ωˆ 1(δ) и Ωˆ 2(δ) на отрезке [0, 1], которые удовлетворяют условию 2.1 МИ и на некотором достаточно малом отрезке [0, ε0] ⊂ [0, 1) выполняются равенства Ωˆ 1(δ)= 1 lnα 1/δ , Ωˆ 2(δ)= 1 lnβ 1/δ , (Ωˆ 1(0) := 0, Ωˆ 2(0) := 0). (5.21) Вне отрезка [0, ε0] конкретный вид функций Ωˆ 1(δ) и Ωˆ 2(δ) не принципиален. Ясно, что таких функций существует бесконечно много. С учетом соотношений (5.21) из оценок (2.19) теоремы 2.4 для любого компакта K ⊂ (0, 1) при m » 1 следуют оценки ( ln m 1 ˆ 1 1 \ ⊕Ψm(x)⊕C(K) :( C(f, p1,K) lnα+β m + lnα m Hq (Ω2, m)+ lnα m + lnβ m . (5.22) В случае 1 :( q < ∞ из формулы (2.7) для функции Hq(h, m) и равенства (5.21) для функции Ωˆ 2(δ), будем иметь 1 ε0 1 r 1 r 1 r 1 Ωˆ Ωˆ Ωˆ Hq q q q q (Ωˆ 2, m)= 1/m ξ 2(ξ) dξ = 1/m ε0 ξ 2(ξ) dξ + ε0 ξ 2(ξ) dξ = m m r 1 1 = r 1 dξ + C = 1 r dτ + C = 1 d ln τ + C. Отсюда следуют оценки: ⎧ ⎪⎨Hq 1/m ξ ξ lnβq 1 ( ln m 1/ε0 \ τ lnβq τ 1/ε0 lnβq τ q (Ωˆ 2, m) :( C ⎪⎩Hq lnβq m +1 , если βq /= 1, q (Ωˆ 2, m) :( C(ln ln m + 1) :( C ln ln m, если βq = 1. Таким образом, в случае 1 :( q < ∞ получим: ⎧ ⎪⎨Hq (Ωˆ 2, m) :( C q ( ln 1 m lnβ m \ +1 , если βq /=1 (5.23) Если же q = ∞, то ⎪⎩Hq (Ωˆ 2, m) :( C( ln ln m)1/q , если βq = 1. H∞(Ωˆ 2, m)=1 ∀m ∈ N. (5.24) Учитывая оценки (5.23) в (5.22), будем иметь при 1 :( q < ∞: o если βq /= 1, то ( ln m q + + 1 ( ln 1 m \ 1 1 \ ⊕Ψm(x)⊕C(K) :( C(f, p1,K) lnα+β m + lnα m lnβ m +1 lnα m lnβ m = o если βq = 1, то :( C(f, p1,K) ( ln m lnα+β m + 1 lnα m + 1 \ lnβ m , (5.25) ( ln m ( ln ln m)1/q 1 1 \ ⊕Ψm(x)⊕C(K) :( C(f, p1,K) lnα+β m + lnα m + lnα m + lnβ m = :( C(f, p1,K) ( ln m lnα+β m + ( ln ln m)1/q lnα m 1 \ + lnβ m . (5.26) Если же q = ∞, то учитывая равенство (5.24) в (5.22), будем иметь ( ln m 1 1 \ ⊕Ψm(x)⊕C(K) :( C(f, p1,K) lnα+β m + lnα m + lnβ m . (5.27) Из оценок (5.25)-(5.27) следует утверждение теоремы 2.6. Тем самым теорема 2.6 полностью доказана.

About the authors

V. S. Rykhlov

Saratov State University named after N. G. Chernyshevsky

Author for correspondence.
Email: RykhlovVS@yandex.ru
Saratov, Russia

References

Supplementary files