We consider a non-self-adjoint ordinary differential operator defined on a finite interval by an \( n \)th-order linear differential expression with a nonzero coefficient of the \( (n-1) \)th derivative and two-point Birkhoff regular boundary conditions. We study the uniform equiconvergence of expansions of a given function in a biorthogonal series in eigenfunctions and associated functions (or, briefly, root functions) of this operator and in an ordinary trigonometric Fourier series, as well as an estimate of the difference of the corresponding partial sums (or, briefly, the rate of equiconvergence) under the most general conditions on the expanded function and the coefficient of the \( (n-1) \)th derivative. We obtain estimates for the difference of the expansions in terms of general (integral) moduli of continuity of the expanded function and the coefficient of the \( (n-1) \)th derivative uniform inside the fundamental interval. From these estimates, corresponding estimates are derived in the case where moduli of continuity are bounded from above by slowly varying functions and, in particular, by logarithmic functions. Based on this, sufficient conditions for equiconvergence in the indicated cases are formulated. These results are obtained using the author's previously obtained estimate for the difference between the partial sums of expansions of a given function in a biorthogonal series in eigenfunctions and associated functions of the differential operator under consideration and in a modified trigonometric Fourier series, as well as analogues of the Steinhaus theorem. The modification of the trigonometric Fourier series consisted in applying a very specific bounded operator to the ordinary trigonometric Fourier series expressed through the coefficient of the \( (n-1) \)th derivative and its inverse operator to the expanded function.
Рассматривается несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор, определяемый на конечном отрезке линейным дифференциальным выражением \( n \)-го порядка с ненулевым коэффициентом при \( (n-1) \)-й производной и двухточечными регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Исследуется вопрос о равномерной равносходимости разложений заданной функции в биортогональный ряд по собственным и присоединенным или, кратко, корневым функциям этого оператора и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также об оценке разности соответствующих частичных сумм (или, коротко, о скорости равносходимости) при самых общих условиях на разлагаемую функцию и коэффициент при \( (n-1) \)-й производной. Получены оценки разности разложений в терминах общих (интегральных) модулей непрерывности разлагаемой функции и коэффициента при \( (n-1) \)-й производной, равномерные внутри основного интервала. Из этих оценок выводятся соответствующие оценки в случае, когда модули непрерывности оцениваются сверху медленно меняющимися функциями и, в частности, логарифмическими функциями. На основе этого сформулированы достаточные условия равносходимости в указанных случаях. Эти результаты получаются с использованием полученной ранее автором оценки разности частичных сумм разложений заданной функции в биортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям рассматриваемого дифференциального оператора и в модифицированный тригонометрический ряд Фурье, а также аналогов теоремы Штейнгауза. Модификация тригонометрического ряда Фурье заключается в применении к обычному тригонометрическому ряду Фурье вполне конкретного ограниченного оператора, выражающегося через коэффициент при \( (n-1) \)-й производной, а к разлагаемой функции --- обратного к нему оператора.