Lefschetz formula for nonlocal elliptic problems associated with fibration

Abstract

Elliptic operator complexes associated with fibration are considered. The Atiyah-Bott-Lefschetz formula for endomorphisms of such complexes is given. The proof is based on the stationary phase method. Wavefronts of distributions are used to estimate the remainder term.

Full Text

Введение Для диффеоморфизма g : M → M многообразия M число Лефшеца определяется как альтернированная сумма dim M L(g) = '\" (-1)j trg∗|Hj (M ) j=0 следов индуцированного отображения g∗ на группах когомологий Hj (M ). Классическая формула Лефшеца [21] выражает число Лефшеца диффеоморфизма гладкого замкнутого многообразия в терминах вкладов его неподвижных точек. Классическая формула Лефшеца может быть легко сформулирована в терминах комплекса де Рама. Пусть M - замкнутое многообразие размерности n, Ωk (M ) - пространство дифференциальных k-форм на M, а dk : Ωk (M ) → Ωk+1(M ) - оператор внешнего дифференцирования, для которого выполнено dk+1dk = 0. Комплекс де Рама -→ 0 -→ Ω0(M ) d0 -→ Ω1(M ) d1 -→ -→ ... dn-1 Ωn(M ) 0 является эллиптическим, а его когомологии k HdR = ker dk/ im dk-1 © Н. Р. Орлова, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 417 k конечномерны. Рассматривается диффеоморфизм g : M → M. Имеются индуцированные отображения g∗ : Ωk(M ) → Ωk(M ), для которых выполнено условие dkg∗ = g∗ dk. k k+1 dR Эндоморфизм g∗ индуцирует эндоморфизм когомологий де Рама Hk . Числом Лефшеца в этом случае называется альтернированная сумма n Ld(g) = '\"(-1)k trg∗| k . k=0 HdR В частном случае, когда g = Id является тождественным отображением, число Лефшеца Ld(Id) совпадает с эйлеровой характеристикой χ(M ) многообразия M : n dR Ld(Id) = '\"(-1)k dim Hk = χ(M ). k=0 Предполагается, что все неподвижные точки диффеоморфизма g невырождены, т. е. для каждой неподвижной точки x выполнено условие det(1 - dg(x)) /= 0. Теорема Лефшеца утверждает, что число Лефшеца отображения g равно числу его неподвижных точек с соответствующими знаками: Ld(g) = '\" g(x)=x sign det(1 - dg(x)). Атья и Ботт [8, 9] получили далеко идущее обобщение классической формулы Лефшеца на эндоморфизмы эллиптических комплексов псевдодифференциальных операторов. Напомним, что комплекс 0 -→ H0 d0 H1 d1 ... dm Hm -→ 0, d d = 0 для всех j (0.1) -→ -→ -→ j j-1 ограниченных операторов dj, действующих в гильбертовых пространствах Hj, фредгольмов, если его когомологии Hj (d) = ker dj/ im dj -1 являются конечномерными для всех j. Эндоморфизм T = (T j ) комплекса (0.1) является набором таких ограниченных операторов T j : Hj → Hj, что T j+1dj = dj T j для всех j. Число Лефшеца определяется как m Ld(g) = '\"(-1)j trT j | j . j=0 H (d) Атья и Ботт рассматривали комплексы (0.1), где Hj - пространства Соболева, а dj являются псевдодифференциальными операторами на гладком замкнутом многообразии. В этом случае фредгольмовость комплекса эквивалентна его эллиптичности (а именно, комплекс эллиптичен, если его символьный комплекс точен). Рассматривался геометрический эндоморфизм комплекса T j = Φj ◦ g∗, который определяется диффеоморфизмом g : M → M рассматриваемого многообразия и семейством изоморфизмов Φj : g∗Ej → Ej расслоений Ej над M. Если все неподвижные точки диффеоморфизма g невырожденные, то число Лефшеца вычисляется в терминах вкладов неподвижных точек по формуле Атьи и Ботта ),(-1)itrΦi(x) Ld(g) = '\" i . (0.2) g(x)=x | det(1 - dg(x))| Примечательно, что формула (0.2) показывает, что число Лефшеца не зависит от операторов в комплексе и определяется исключительно эндоморфизмом комплекса на множестве неподвижных точек. Этот результат в частном случае комплекса де Рама даёт классическую формулу Лефшеца. Поэтому в литературе формула, полученная Атьёй и Боттом, называется формулой Атьи-Ботта-Лефшеца. Ещё одним частным случаем формулы (0.2) является формула Лефшеца для комплекса Дольбо (голоморфная формула Лефшеца). В последующие годы различным способам доказательства теоремы Атьи-Ботта-Лефшеца был посвящён ряд работ [11, 12, 16, 19, 20, 28, 32]. Теорема Атьи-Ботта-Лефшеца обобщалась в различных направлениях. Например, рассматривались не только невырожденные неподвижные точки: в работе Толедо [30] был представлен общий подход к исследованию изолированных неподвижных точек диффеоморфизма g в случае эллиптических комплексов. Голоморфный вариант формулы Атьи-Ботта-Лефшеца обобщался Патоди [26], Толедо и Тонгом [31], Иноуэ [17] и другими. В работе [5] были определены числа Лефшеца для операторов в W ∗-модулях. Рассматривались более сложные операторы, например, в работах [22, 29] рассмотрены эндоморфизмы эллиптических комплексов, определённых квантованными каноническими преобразованиями. Также рассматривались более сложные многообразия. В работе [1] была дана формула Лефшеца для потоков на компактных многообразиях, сохраняющих слоение коразмерности один и имеющих неподвижные точки. В работе [13] рассмотрены эллиптические комплексы на многообразии с краем, состоящие из операторов Буте де Монвеля. Для этого случая был дан аналог формулы Атьи-Ботта-Лефшеца. Рассматривались также многообразия с коническими особенностями [10, 23-25]. В работе [18] был дан аналог формулы Атьи-Ботта-Лефшеца для комплексов в относительной эллиптической теории. Целью данной работы является предъявление формулы Лефшеца для нелокальных задач, ассоциированных с расслоением, введённых в работе [4]. Рассматриваются гладкие замкнутые многообразия X и Y, локально тривиальное расслоение с проекцией π : X → Y и матричные операторы вида где A C B D H(X) : ⊕ -→ H(Y ) H(X) ⊕ H(Y ) , (0.3) · H(X), H(Y ) - пространства Соболева на X и на Y ; · A и D - псевдодифференциальные операторы (ПДО) на X и на Y соответственно; · B - граничный оператор, равный композиции ПДО на X и Y и оператора интегрирования по слою, а C является кограничным оператором, равным композиции ПДО на X и Y и оператора продолжения константой вдоль слоя [2]. В работе даётся условие эллиптичности комплексов операторов с дифференциалами вида (0.3), а также даются условия, при которых такие комплексы фредгольмовы. Затем даётся определение геометрического эндоморфизма, определённого послойным диффеоморфизмом. Основным результатом работы является теорема типа Атьи-Ботта-Лефшеца, которая выражает число Лефшеца в терминах невырожденных неподвижных точек соответствующих диффеоморфизмов. Для доказательства этой теоремы используется подход, предложенный в работе [6]. Следуя этому подходу, метод микролокального разбиения единицы на T ∗X с параметром h > 0 применяется для локализации основного вклада в формулу Лефшеца, а метод стационарной фазы - для вычисления его асимптотики при h → 0. Также в работе [6] показано, что оставшиеся члены в формулу Лефшеца вклад не вносят, однако подробного доказательства этого факта не приводится. В данной работе мы восполняем этот пробел. 1. Предварительные сведения Пусть H0,... , Hm - гильбертовы пространства. Рассмотрим комплекс a0 a1 am-1 0 -→ H0 -→ H1 -→ ... -→ Hm -→ 0, (1.1) где aj - линейные ограниченные операторы, при этом aj+1aj = 0. Для комплекса (1.1) справедливо следующее утверждение [27]. Лемма 1.1. Если комплекс (1.1) точен, то в качестве его параметрикса можно взять последовательность r0 r1 rm-1 0 ←- H0 ←- H1 ←- ... ←- Hm ←- 0 операторов rj = l-1a∗ = a∗l-1 , где j j j j+1 lj = aj-1a∗ ∗ j j j j-1 + aj a : H → H (1.2) - j-й лапласиан комплекса (1.1). Другими словами, выполнено равенство aj-1rj-1 + rjaj = 1 - kj. Здесь kj - оператор конечного ранга. Теперь предположим, что комплекс (1.1) является подкомплексом комплекса H0 H1 1 0 a a Hm am-1 0 -→ ⊕ - → L0 ⊕ -→ ... -→ L1 ⊕ -→ 0, (1.3) Lm где пространства Lj конечномерные, а aj cj Hj Hj+1 aj+1aj j a = bj dj : ⊕ -→ Lj ⊕ , Lj+1 = 0. Здесь bj, cj , dj - операторы конечного ранга. Лемма 1.2. Если комплексы (1.1)и (1.3) точны, то в качестве параметрикса комплекса (1.3) H0 H1 1 0 r r Hm rm-1 0 ←- ⊕ ← - L0 ⊕ ←- ... ←- L1 ⊕ Lm-1 ←- 0, rj = l-1a∗. При этом имеем можно взять операторы j j l-1 ∗ ∗ l-1 j + gj cj , j = b∗ ∗ где b∗ , c∗ , d∗ , g∗ - операторы конечного ранга. j dj j j j j Доказательство. j-й лапласиан, ассоциированный с комплексом (1.3), равен Получим aj-1a∗ Hj Hj j ⊕ a∗a : -→ ⊕ . Lj Lj ⎛aj-1a∗ ∗ j j j j-1 j-1 j-1 j-1 j-1 j-1 j j j j ⎞ j l 0 lj = ⎝ j-1 + aj a + b∗b + c c∗ a b∗ + c d∗ + a∗c + b∗d ⎠ = j + K , 0 1 j a + d∗b c∗c + d∗d + b b∗ + d d∗ bj-1a∗ j-1 j-1 + c∗ j j j j j j j j-1 j-1 j-1 j-1 (1.4) j где Kj - матричный оператор конечного ранга. Поскольку комплекс (1.1) точен, то его лапласианы (1.2) обратимы, т. е. существуют обратные операторы l-1, и lj 0 l-1 0 lj = 0 1 1+ j Kj . 0 1 Отсюда получаем, что оператор, обратный к лапласиану (1.4), равен l-1 -1 -1 -1 -1 ∗ ∗ l-1 j 0 lj 0 ) lj 0 lj + gj cj j = 1+ 0 1 Kj j 0 1 = 1+ K∗ 0 1 b d = ∗ ∗ . j j j Здесь K∗ - матричный оператор конечного ранга. 2. Комплексы операторов в пространствах Соболева Рассмотрим гладкие замкнутые многообразия X и Y и локально-тривиальное расслоение со слоем G и проекцией π : X -→ Y. Размерности многообразий обозначим через n = dimX, l = dimY, ν = dimX - dimY. Выберем локальные координаты в окрестности произвольной точки на X и обозначим их через (x∗, x∗∗) ∈ Rl × Rν. Двойственные координаты в слоях кокасательного расслоения T ∗X обозначим через (ξ∗, ξ∗∗). Определим оператор поднятия π∗ : Hs(Y ) -→ Hs(X), (π∗f )(x∗, x∗∗) = f (x∗), и соответствующий оператор опускания (интегрирования по слою) s s ∗ r ∗ ∗∗ ∗∗ π∗ : H (X) -→ H (Y ), (π∗f )(x ) = Gxl f (x ,x )dx , где dx∗∗ - гладкое семейство форм объёма на слоях Gxl . Операторы π∗ и π∗ непрерывно действуют в указанных пространствах Соболева при всех s ∈ R. При этом будем предполагать, что выполнено условие т. е. объём каждого слоя равен единице. π∗1 = 1, (2.1) Следуя [4], рассмотрим матричные операторы вида s sl A C d = B D : H k (X) ⊕ -→ H (X) ⊕ , (2.2) Hsk (Y ) Hsl (Y ) где A и D - ПДО порядка ordA = ordD = sk - sl на X и Y соответственно. Операторы B и C равны B = D∗∗ π∗D∗∗ , C = D∗ π∗D∗ , (2.3) Y X X Y где D∗ , D∗∗ o ПДО на X, а D∗ , D∗∗ - ПДО на Y. Можно также рассматривать конечные суммы X X Y Y операторов вида (2.3). Далее будем рассматривать последовательности операторов вида (2.2) Hs0 (X, π∗E0) d0 Hs1 (X, π∗E1) d1 dm-1 Hsm (X, π∗Em) 0 → ⊕ -→ Hs0 (Y, F0) ⊕ Hs1 (Y, F1) -→ ... -→ ⊕ Hsm (Y, Fm) → 0, (2.4) где Ej и Fj - комплексные векторные расслоения на Y. Операторы в последовательности (2.4) являются ограниченными операторами в пространствах Соболева. Предполагается, что последовательность (2.4) является комплексом, т. е. dj+1dj = 0, ∀j, 0 j m - 2. 3. Условие эллиптичности и теорема конечности Фиксируем точку в кокасательном расслоении T ∗Y с координатами (x∗, ξ∗), ξ∗ /= 0 и определим символьную последовательность комплекса (2.4) L2(Gxl , E0,xl ) 0 → ⊕ F0,xl σ(d0 )(xl ,ξl) -→ L2(Gxl , E1,xl ) ⊕ F1,xl σ(d1 )(xl ,ξl) -→ ... σ(dm-1 )(xl ,ξl) -→ L2(Gxl , Em,xl ) ⊕ Fm,xl → 0. (3.1) Здесь операторнозначные символы операторов dj определяются формулами (см. [2]) σ(Aj ) σ(Cj ) σ(dj )(x∗, ξ∗) = σ(B ) σ(D ) (x∗, ξ∗), j j где ( σ(Aj ) u(x∗∗) = Aj x∗, ξ∗, x∗∗, 0) u(x∗∗), r Y,j D σ(Bj )u = D∗∗ (x∗, ξ∗) Gxl ∗∗ X,j x∗, ξ∗, x∗∗, 0) u(x∗∗)dx∗∗, X,j σ(Cj )w = D∗ Y,j (x∗, ξ∗, x∗∗, 0)D∗ (x∗, ξ∗)w, σ(Dj )w = Dj (x∗, ξ∗)w, где (u, w) ∈ L2(Gxl , Ej,xl ) ⊕ Fj,xl . Здесь через A(x∗, ξ∗, x∗∗, ξ∗∗) обозначен главный символ ПДО ∂ ∂ A x∗, -i∂x , x∗∗, -i∂x . ∗ ∗∗ Определение 3.1. Комплекс (2.4) называется эллиптическим, если выполнены следующие условия: 1. ∀(x, ξ) = (x∗, ξ∗, x∗∗, ξ∗∗),ξ /= 0 точен комплекс главных символов 0 → E0,xl σ(A0 )(x,ξ) -→ E1,xl σ(A1 )(x,ξ) -→ ... m-1 σ(A )(x,ξ) -→ Em,xl → 0; (3.2) 2. ∀(x∗, ξ∗), ξ∗ /= 0 точен комплекс (3.1). Теорема 3.1. Если комплекс (2.4) эллиптичен, то для любого N ∈ N для него существует параметрикс Hs0 (X, π∗E0) Q0 Hs1 (X, π∗E1) Q1 Qm-1 Hsm (X, π∗Em) 0 ←- ⊕ ←- Hs0 (Y, F0) ⊕ Hs1 (Y, F1) ←- ... ←- ⊕ Hsm (Y, Fm) ←- 0. (3.3) Более точно, для всех j выполнены равенства dj-1Qj-1 + Qjdj = 1 - KN,j, (3.4) где KN,j - оператор порядка -N в шкале пространств Соболева. В частности, комплекс (2.4) фредгольмов. Доказательство. 1. Из точности комплексов (3.1) и (3.2) по лемме 1.2 следует, что для этих комплексов можно построить параметриксы 0 ← E0,xl и qA,0(x,ξ) ←- E1,xl qA,1(x,ξ) ←- ... qA,m-1(x,ξ) ←- Em,xl ← 0 где 0 ←- L2(Gxl , E0,xl ) ⊕ F0,xl q0(xl ,ξl) ←- L2(Gxl , E1,xl ) ⊕ F1,xl q1(xl,ξl) ←- ... qm-1 (xl,ξl) ←- L2(Gxl , Em,xl ) ⊕ Fm,xl ←- 0, qA,j (x∗, ξ∗, 0) 0 a∗ (x∗, ξ∗) c∗ (x∗, ξ∗) qj (x∗, ξ∗) = 0 0 + j b∗ ∗ ∗ j ∗ ∗ ∗ (3.5) с операторами a∗ , b∗ , c∗ , d∗ конечного ранга. j (x ,ξ ) dj (x ,ξ ) j j j j 2. Построим последовательность операторов Hs0 (X, π∗E0) Q0 Hs1 (X, π∗E1) Q1 Qm-1 Hsm (X, π∗Em) где 0 ←- ⊕ ←- Hs0 (Y, F0) ⊕ Hs1 (Y, F1) ←- ... ←- ⊕ Hsm (Y, Fm) ←- 0, (3.6) QA,j 0 + A∗ ∗ . j Cj B D 0 0 Qj = ∗ ∗ j j Здесь QA,j - ПДО с символом qA,j (x, ξ), а второе слагаемое - матричный оператор, элементами которого являются операторы из работы [4], символы которых равны матрицам (см. (3.5)) a∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ j (x ,ξ ) cj (x ,ξ ) . j (x ,ξ ) dj (x ,ξ ) По построению имеем соотношение b∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ σ(dj-1)qj-1 + qjσ(dj ) = 1, из которого следует, что для соответствующих операторов выполнено равенство dj-1Qj-1 + Qjdj = 1 - K1,j, (3.7) где K1,j - оператор порядка -1. Таким образом, последовательность (3.6) является параметриксом комплекса (2.4). Модифицируем параметрикс (3.6) так, чтобы остатки K1,j имели высокий отрицательный порядок в равенстве (3.7), пользуясь следующей леммой. Лемма 3.1. Пусть для некоторого n ∈ N выполняется соотношение dj-1Qj-1 + Qjdj = 1 - Kn,j, (3.8) j где Kn,j - оператор порядка -n. Тогда для оператора Q∗ = Qj (1 + Kn,j+1) будет выполнено соотношение dj-1Q∗ ∗ j 2n,j где K2n,j - оператор порядка -2n. j-1 + Qjd = 1 - K , (3.9) Доказательство. 1. Домножим левую и правую части равенства (3.8) на оператор 1 + Kn,j. Получим dj-1Qj-1(1 + Kn,j )+ Qjdj (1 + Kn,j ) = (1 - Kn,j )(1 + Kn,j ). (3.10) Преобразуем левую часть равенства (3.10): dj-1Qj-1(1 + Kn,j )+ Qjdj + Qjdj Kn,j = = dj-1Qj-1(1 + Kn,j )+ Qjdj + Qjdj (1 - dj-1Qj-1 - Qjdj ) = = dj-1Qj-1(1 + Kn,j )+ 2Qj dj - Qjdjdj-1Qj-1 - Qjdj Qjdj. Поскольку djdj-1 = 0, то далее получаем = dj-1Qj-1(1 + Kn,j )+ Qj (2 - dj Qj )dj = = dj-1Qj-1(1 + Kn,j )+ Qj (2 - (1 - Kn,j+1 - Qj+1dj+1))dj = = dj-1Qj-1(1 + Kn,j )+ Qj (1 + Kn,j+1)dj. Итак, мы показали, что левая часть равенства (3.9) равна левой части равенства (3.10), где ∗ Qj = Qj (1 + Kn,j+1). 1. Правая часть соотношения (3.10) равна n,j (1 - Kn,j )(1 + Kn,j ) = 1 - K2 = 1 - K2n,j, n,j где K2n,j = K2 o оператор порядка -2n. Соотношение (3.9) доказано. Таким образом, последовательно применяя лемму 3.1, можно построить такой параметрикс (3.3) комплекса (2.4), для которого выполнено искомое соотношение (3.4). 2. Формула Лефшеца Рассмотрим эллиптический комплекс (2.4). Пусть дан послойный диффеоморфизм g : X → X, т. е. g переводит слой расслоения в слой. Это значит, что для двух точек x1, x2 ∈ X выполнено соотношение π(x1) = π(x2) =⇒ π(g(x1)) = π(g(x2)). Диффеоморфизм g индуцирует диффеоморфизм базы Y, обозначаемый g0. Пусть также даны изоморфизмы векторных расслоений Φj j 0 X : g∗(π∗Ej ) -→ π∗Ej над X, ΦY : g∗Fj -→ Fj над Y. Определим геометрический эндоморфизм T j C∞(X, π∗Ej ) C∞(X, π∗Ej ) где T j = X 0 Y 0 T j : ⊕ -→ C∞(Y, Fj ) ⊕ , C∞(Y, Fj ) T j j j j 0 X = ΦX ◦ g∗, TY = ΦY ◦ g∗. (4.1) Композиции (4.1) задают действия: (T j u)(x) = Φj (x)u(g(x)), (T j u)(x∗) = Φj (x∗)u(g0(x∗)). X X Y Y Определение 4.1. Комплекс (2.4) называется g-инвариантным, если выполняется равенство dj T j = T j+1dj для всех j. Определение 4.2. Число Лефшеца эндоморфизма g комплекса (2.4) определяется как m Ld(g) = '\"(-1)j tr(T j | j ), j=0 H (d) где tr(T j | j ) - след геометрического эндоморфизма T j, действующего в когомологиях Hj (d) H (d) комплекса (2.4). Определение 4.3. Неподвижная точка x диффеоморфизма g (g(x) = x) называется невырожденной, если единица не является собственным значением дифференциала dg(x) : TxX → TxX. Мы будем считать, что все неподвижные точки невырожденные и диффеоморфизм g имеет конечное число неподвижных точек. Лемма 4.1. Если неподвижная точка x ∈ X диффеоморфизма g невырождена, то неподвижная точка y = π(x) ∈ Y диффеоморфизма g0 : Y → Y также является невырожденной. Доказательство. Возьмём точки x1 = (x∗ , x∗∗), x2 = (x∗ , x∗∗), x1, x2 ∈ X. Под действием диффео- 1 1 2 2 морфизма g точки x1 и x2 переходят в точки {g∗(x∗ , x∗∗), g∗∗ (x∗ , x∗∗)} и {g∗(x∗ , x∗∗), g∗∗(x∗ , x∗∗)} соот- 1 1 1 1 2 2 2 2 ветственно. Послойноcть действия диффеоморфизма g означает, что π(x∗ , x∗∗) = π(x∗ , x∗∗) =⇒ π(g∗(x∗ , x∗∗), g∗∗ (x∗ , x∗∗)) = π(g∗(x∗ , x∗∗), g∗∗ (x∗ , x∗∗)). 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Итак, это условие означает, что 1 = x2 =⇒ g (x1, x1 ) = g (x2, x2 ). x∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗∗ Это значит, что функция g∗ не зависит от второй переменной. Тогда дифференциал диффеоморфизма g равен ⎛ ⎜ dg(x∗ , x∗∗) = ⎜ ∂g∗(x∗) ⎞ 0 ∂x∗ ⎟ . ⎟ Тогда ⎝ ∂g∗∗ (x∗, x∗∗) ∂x∗ ∂g∗∗(x∗, x∗∗) ⎠ ∂x∗∗ det(1 - dg(x)) = det ∂g∗(x∗) - 1 ∂x∗ det ∂g∗∗ (x∗, x∗∗) - 1 . ∂x∗∗ Из того, что det(1 - dg(x)) /= 0, следует, что det ∂g∗(x∗) - 1 ∂x∗ = det 1 - dg0(x∗)) /= 0. Следующая теорема является основным результатом этой работы. Теорема 4.1. Предположим, что все неподвижные точки диффеоморфизма g невырождены. Тогда справедлива следующая формула Лефшеца: Ld(g) = '\" x∈ΩX m X ), (-1)k trΦk (x) k=0 | det(1 - dg(x))| + '\" xl∈ΩY m Y ), (-1)k trΦk (x∗) k=0 | det(1 - dg0(x∗))| , (4.2) где ΩX = {x ∈ X | g(x) = x}, ΩY = {x∗ ∈ Y | g0(x∗) = x∗} - множества неподвижных точек на X и на Y соответственно. Замечание 4.1. Формула типа (4.2) справедлива и для более общих комплексов, чем в формуле (2.4), в которых вместо расслоений π∗Ej, где Ej - векторные расслоения над базой Y, рассматриваются произвольные расслоения Ej над тотальным пространством X. 3. Доказательство формулы Лефшеца Для доказательства формулы Лефшеца сначала воспользуемся методом, предложенным в работе [6]. Для краткости будем доказывать теорему 4.1 для комплекса, состоящего из одного оператора: C∞(X, π∗E0) d 0 → ⊕ -→ C∞(Y, F0) C∞(X, π∗E1) ⊕ C∞(Y, F1) → 0, где d = d0. (5.1) Число Лефшеца комплекса (5.1) равно [6] Ld(g) = tr(T 0 - rT 1d) - tr(T 1 - drT 1), (5.2) где через tr обозначен операторный след, а r - такой параметрикс оператора d, что у операторов 1 - dr и 1 - rd имеются следы. i Возьмём разбиение единицы ), ρX (x) = 1 на X, обладающее следующими свойствами: i · если x0 ∈ ΩX ∩ suppρX , то ρX (x) ≡ 1 в окрестности точки x0; i i i · носитель каждой функции ρX (x) лежит в координатной карте. Определим теперь разбиение единицы на Y. i ∗ Лемма 5.1. Функции ρY (x∗) := π i ρX (x)) = Г Gxl i ρX (x∗, x∗∗)dx∗∗, где dx∗∗ - форма объёма на слое i Gxl , определяют разбиение единицы на Y. При этом носитель каждой функции ρY (x∗) лежит в координатной карте. Доказательство. Действительно, имеем i (x ) = '\" π∗ ρi (x)) = π∗1 = 1. (5.3) '\" ρY ∗ X i i Последнее равенство в (5.3) справедливо в силу (2.1). Теперь пусть ψX (ξ) ∈ C∞(Rn), ψY (ξ∗) ∈ C∞(Rl) - такие функции с компактными носителями, 0 c 0 c что ψX (ξ) ≡ 1, если |ξ| 1, и ψY (ξ∗) ≡ 1, если |ξ∗| 1. Положим, ψX (ξ) = 1 - ψX (ξ), ψY (ξ∗) = 0 0 ψY (ξ∗). ∞ 0 ∞ 1 - 0 Для любого h > 0 определим h-псевдодифференциальные операторы где ψij = ψij X 0 ψij Y 0 ψij C∞(X) : ⊕ -→ C∞(Y ) C∞(X) ⊕ , C∞(Y ) X u(x) = χX (x)F-1ψX (hξ)F ρX (x)u(x), (5.4) ψij i j i Y u(x∗) = χY (x∗)F-1ψY (hξ∗)F ρY (x∗)u(x∗). (5.5) i j i Здесь F - преобразование Фурье, j = 0 или ∞, а функции χX ≡ 1, χY ≡ 1 в окрестности носиi i ρX Y ∗ телей функций i (x) и ρi (x ) соответственно и имеют носители в той же карте, что и функции ρX Y i , ρi . Прямое вычисление даёт равенство '\" ψij = 1. (5.6) ij Подставляя равенство (5.6) в (5.2), получим выражение Ld(g) = '\" tr(T 0 - rT 1d)ψi0 - tr(T 1 - drT 1)ψi0 + i + tr(T 0 - rT 1d)ψi∞ - tr(T 1 - drT 1)ψi∞ . (5.7) Так как оператор ψi0 обладает следом, то tr(drT 1ψi0) = tr(rT 1ψi0d), и можно переписать выражение (5.7) в виде Ld(g) = '\" trT 0ψi0 - trT 1ψi0 + i + '\" tr(T 0 - rT 1d)ψi∞ - tr(T 1 - drT 1)ψi∞ - '\" tr(rT 1[d, ψi0]), (5.8) i i где [d, ψi0] = dψi0 - ψi0d. Оценим каждый член в (5.8) при h → 0. 1. Оценка первого слагаемого в (5.8). Утверждается, что первое слагаемое в (5.8) даёт сумму в правой части формулы Лефшеца (4.2) и O(h). Действительно, разность следов в первом слагаемом в выражении (5.8) равна trT 0ψi0 - trT 1ψi0 = trT 0 ψi0 + trT 0 ψi0 - trT 1 ψi0 - trT 1 ψi0. (5.9) X X Y Y X X Y Y Применяя метод стационарной фазы так же, как в [6], получим ⎧ trΦ0 (x) - trΦ1 (x) ⎨⎪ X X + O(h), если supp ρX ∩ ΩX = {x}, trT 0 ψi0 - trT 1 ψi0 = | det(1 - dg(x))| i (5.10) X X X X ⎪⎩ i O(h∞), если supp ρX ∩ ΩX = ∅, ⎧ ρY ∗ 0 ∗ 1 ∗ ⎨⎪ i (x )(trΦY (x ) - trΦY (x )) + O(h), если supp ρY Ω = {x∗}, trT 0 ψi0 - trT 1 ψi0 = | det(1 - dg0(x∗))| i ∩ Y (5.11) Y Y Y Y ⎪⎩ i O(h∞), если supp ρY ∩ ΩY = ∅. Теперь подставим (5.10) и (5.11) в (5.9) и получим '\" trT 0ψi0 - trT 1ψi0 = '\"(trT 0 ψi0 - trT 1 ψi0)+ '\"(trT 0 ψi0 - trT 1 ψi0) = X X X X Y Y Y Y i i i 0 1 = '\" trΦX (x) - trΦX (x) '\" '\" ρY (x∗)(t + i rΦ0 (x∗) - Y trΦ1 (x∗) Y ) + O(h) = x∈ΩX | det(1 - dg(x))| i xl i ∈suppρY ∩ΩY | det(1 - dg0(x∗))| 0 1 0 ∗ 1 ∗ = '\" trΦX (x) - trΦX (x) + '\" trΦY (x ) - trΦY (x ) + O(h). x∈ΩX | det(1 - dg(x))| xl∈ΩY | det(1 - dg0(x∗))| i В последнем равенстве мы используем соотношение ), ρY (x∗) = 1. i Итак, вклад первого члена в (5.8) равен правой части формулы (4.2) при m = 1. 2. Оценка второго слагаемого в (5.8). Второе слагаемое в (5.8) является величиной порядка O(h∞). Доказательство такое же, как в работе [18]. 3. Оценка третьего слагаемого в (5.8). Покажем, что третье слагаемое в (5.8) является величиной порядка o(1). Доказательству этого утверждения посвящена оставшаяся часть этого пункта. Утверждение 5.1. Справедливо равенство ), tr(rT 1[d, ψi0]) = o(1) при h → 0. i Доказательство. Дадим явное выражение для оператора rT 1[d, ψi0]. Обозначим A C Тогда d = B D . [A, ψi0 ] Cψi0 - ψi0C 0 [d, ψi0] = X Bψi0 i0 Y i X . X - ψY B [D, ψY ] Параметрикс r для оператора d имеет вид [3] r = A-1(1 + CΔ-1BA-1) -A-1CΔ-1 -Δ-1BA-1 Δ-1 , где Δ = D - BA-1C - ПДО на Y. Обозначим (T 1 )-1A-1(1 + CΔ-1BA-1)T 1 -(T 1 )-1A-1CΔ-1T 1 R∗ R∗ r∗ = (T 1)-1rT 1 = X X -(T 1 )-1Δ-1BA-1T 1 X 1 -1 Y -1 1 = 11 12 . ∗ ∗ Y X (TY ) Δ TY R21 R22 Имеют место равенства tr(rT 1[d, ψi0]) = tr(T 1r∗[d, ψi0]) = tr(T 1 R∗ [A, ψi0]) + tr(T 1 R∗ (Bψi0 - ψi0B)) + X 11 X X 12 X Y + tr(T 1 R∗ (Cψi0 - ψi0C)) + tr(T 1 R∗ [D, ψi0]). (5.12) Оценим слагаемые в выражении (5.12). Начнём с оценки первого слагаемого: Y 21 Y X Y 22 Y tr(T 1 R∗ [A, ψi0]) = tr(T 1 ((T 1 )-1A-1(1 + CΔ-1BA-1)T 1 )[A, ψi0 ]) = X 11 X X X X X = tr(T 1 Aˆ[A, ψi0 ]) + tr(T 1 Φˆ [A, ψi0]), (5.13) X X X X где Aˆ = (T 1 )-1A-1T 1 - ПДО на X и Φˆ = (T 1 )-1A-1CΔ-1BA-1T 1 . Итак, задача свелась к оце- X X X X ниванию следов tr(T 1 Aˆ[A, ψi0]) и tr(T 1 Φˆ [A, ψi0]). X X X X Начнём со следа tr(T 1 Aˆ[A, ψi0]) в (5.13). X X Лемма 5.2. Справедливо соотношение ), tr(T 1 Aˆ[A, ψi0 ]) = o(1) при h → 0. X X i Доказательство. Рассмотрим разложения A = '\" Aj + K1, j Aˆ = '\" Aˆm + K2, m где Aj, Aˆm - ПДО в координатах на X, а K1, K2 - операторы с гладкими ядрами. Тогда tr(T 1 Aˆ[A, ψi0 ]) = '\" ( (T 1 Am[K1, ψi0]) + tr(T 1 K2[A, ψi0 ]) + '\" tr(T 1 Am[Aj, ψi0]). (5.14) X X tr X ˆ X m ˆ X X X X j,m 1. Посмотрим подробнее на первое слагаемое в (5.14). Лемма 5.3. Пусть K - оператор с гладким ядром. Тогда Kψi0 → KρX при h → 0. Здесь под X i сходимостью понимается сходимость ядер Шварца в пространстве C∞(X × X). Доказательство. Оператор ψi0 был определён в (5.4) при j = 0. Тогда композиция Kψi0 имеет ядро (Kψi0)u(x) = (2π)-n rrr X r K(x, z)χX (z)ei(z-y)ξψX (hξ)ρX (y)u(y)dydξdz = X Kh(x, y)u(y)dy, X i 0 i rr i(z-y)ξˆ Kh(x, y) = (2π)-nρX (y)h-n e h K(x, z)χX (z)ψX (ξˆ)dzdξˆ, ξˆ = hξ. (5.15) i i 0 Применим метод стационарной фазы к интегралу в (5.15). Стационарная точка фазовой функции Φ(z, ξˆ) = (z - y)ξˆ равна (y, 0). Гессиан фазовой функции равен 0 -1 Hess(Φ(z, ξ)) = . -1 0 Так как числа положительных и отрицательных собственных значений гессиана равны, то его сигнатура равна нулю. Таким образом, интеграл (5.15) равен i Kh(x, y) = K(x, y)ρX (y)+ O(h). Аналогично получаются соотношения ∂α β α β X x ∂y Kh(x, y) = ∂x ∂y (K(x, y)ρi (y)) + O(h) при всех α, β. Это вытекает из равенств ∂α β β! rr / iξˆ\β2 i(z-y)ξˆ x ∂y Kh(x, y) = '\" ∂β1 ρX (y)h-n - e h ∂αK(x, z)χ(z)dzdξˆ = |β1|+|β2|=|β| β1!β2! y i h x = '\" β! rr i(z-y)ξˆ ∂β1 ρX (y)h-n e h ∂β2 ( ∂α(K(x, z)χ(z)) dzdξˆ = |β1|+|β2|=|β| β1!β2! y i z x = '\" β! ∂β1 ρX (y)∂β2 ( K(x, y)+ O(h) = ∂α∂β K(x, y)ρX (y) + O(h). |β1|+|β2|=|β| α ∂ β1!β2! y i y x ( x y i Применяя лемму 5.3 к первому слагаемому в (5.13), получим '\" tr(T 1 Aˆm[K1, ψi0]) = '\" tr(T 1 Aˆm[K1, ρX ])) + O(h). (5.16) X X X i m m 2. Второе слагаемое в равенстве (5.14) также по лемме 5.3 имеет разложение tr(T 1 K2[A, ψi0 ]) = tr(T 1 K2[A, ρX ]) + O(h). (5.17) X X X i 3. Перейдём теперь к третьему слагаемому в (5.14). Имеет место равенство tr(T 1 Aˆm[Aj , ψi0]) = tr(T 1 AˆmAj ψi0) - tr(T 1 Aˆmψi0Aj ). (5.18) X X X X X X Через A = AˆmAj обозначим композицию ПДО Aˆm и Aj. Через τ обозначим регуляризованный след (см. приложение B). Лемма 5.4. Существует предел lim tr(T 1 Aψi0) = τ (T 1 AρX ). (5.19) h→0 X X X i X Доказательство. Поскольку ψi0 - оператор с гладким ядром Шварца, то при всех h > 0 можем заменить след оператора T 1 Aψi0 на его регуляризованный след. Также далее будем работать с X X регуляризованным следом композиции T 1 AρX . Отметим, что операторный след этой компози- X i ции, вообще говоря, не определён. Таким образом, доказательство соотношения (5.19) сводится к доказательству следующего предельного перехода: lim τ (T 1 Aψi0) = τ (T 1 AρX ). h→0 X X X i X С этой целью применим предложение B.2 (приложение B). Проверим, что условия предложения B.2 выполнены. Для этого нужно показать, что для волнового фронта оператора T 1 A имеем X WF ∗(T 1 A) ∩ N ∗Δ = ∅ (используемые обозначения определены в приложениях A, B). Так как A - ПДО, то выполнены соотношения ( (( ∂g t -1 WF ∗(T 1 A) ⊂ WF ∗(T 1 ) = x, ξ, g(x), - ξ . X X ∂x Отсюда получаем, что WF ∗(T 1 A) ∩ N ∗Δ ⊂ x, ξ, x, -ξ) x = g(x), (( ∂g ξ = ξ = ∅, X ( t -1 ∂x так как все неподвижные точки диффеоморфизма невырождены по условию. Выполнение условия WF ∗ (T 1 A) = ∅ очевидно. Итак, условия предложения B.2 из приложения B выполнены, и X X мы получаем искомое равенство (5.19). Лемма 5.4 доказана. Теперь, применяя к (5.18) лемму 5.4, получим lim 1tr(T 1 AˆmAj ψi0) - tr(T 1 Aˆmψi0Aj ) = X X h→0 X X = τ (T 1 AˆmAj ρX ) - τ (T 1 AˆmρX Aj ) = τ (T 1 Aˆm[Aj , ρX ]). (5.20) X i X i X i Наконец, из (5.14), (5.16), (5.17) и (5.20) получаем '\" tr(T 1 Aˆ[A, ψi0 ]) = X X i ⎡ '\" '\" = ⎣ tr(T 1 Aˆm[K1, ρX ]) + tr(T 1 K2[A, ρX ]) + '\" ⎤ τ (T 1 Aˆm[Aj , ρX ]) + O(h)+ o(1)⎦ = X i X i m i X i j,m = '\" tr(T 1 Aˆm[K1, '\" ρX ]) + tr(T 1 K2[A, '\" ρX ]) + '\" τ (T 1 Aˆm[Aj , '\" ρX ]) + o(1) = X i X m i i X i i j,m i = '\" tr(T 1 Aˆm[K1, 1]) + tr(T 1 K2[A, 1]) + '\" τ (T 1 Aˆm[Aj , 1]) + o(1) = o(1), X m i так как ), ρX = 1. X X j,m i Доказательство леммы 5.2 закончено. Теперь вернёмся к равенству (5.13) и оценим второе слагаемое. Оператор Φˆ в виде композиции можно представить Φˆ = A1π∗A2π∗A3, (5.21) где A1, A3 - ПДО на X, а A2 - ПДО на Y. Операторы вида (5.21) ранее рассматривались в работе [4, с. 125, 128]. Для такого оператора справедлив следующий результат. Лемма 5.5. Справедливо равенство '\" tr(T 1 Φˆ [A, ψi0 ]) = o(1) при h → 0. (5.22) X X i Данная лемма доказывается аналогично лемме 5.2. Покажем только применимость предложения B.2 для операторов вида (5.21). Рассмотрим подмногообразие Δ1 ⊂ X × X, определяемое как Δ1 = (x1, x2) | π(x1) = π(x2) . На первом сомножителе произведения X × X выберем локальные координаты в окрестности произвольной точки и обозначим их через (x∗, x∗∗). Локальные координаты в окрестности произвольной точки второго сомножителя обозначим через (y∗, y∗∗). Через (ξ∗, ξ∗∗, η∗, η∗∗ ) будем обозначать стандартные координаты в слоях расслоения T ∗(X × X), индуцированные координатами (x∗, x∗∗, y∗, y∗∗). Определим конормальное расслоение над подмногообразием N ∗Δ1 как N ∗Δ1 = (x∗, x∗∗, x∗, y∗∗, ξ∗, 0, η∗ , 0) ∈ T ∗(X × X) ξ∗ + η∗ = 0 . Для волнового фронта оператора (5.21) справедливо включение WF ∗(Φˆ ) ⊂ N ∗Δ1. 1 Теперь для волнового фронта композиции вида TX Φˆ справедливо соотношение ∂g0 t -1 X WF ∗(T 1 Φˆ ) ⊂ (x∗, x∗∗, g0(x∗), y∗∗, ξ∗, 0, -(( ∂x∗ ξ∗, 0 . Отсюда следует, что ∂g0 t -1 N ∗Δ1 ∩ WF ∗(T 1 Φˆ ) = x∗, x∗∗, x∗, x∗∗, ξ∗, 0, -ξ∗, 0) x∗ = g0(x∗), ξ∗ = (( ξ∗ X ( ∂x∗ . Так как все неподвижные точки диффеоморфизма g0 являются невырожденными, то последнее множество является пустым. Таким образом, условие предложения B.2 выполнено, и справедливо равенство (5.22). Как следствие, сумма по i первого слагаемого в равенстве (5.12) является величиной порядка o(1). Посмотрим теперь на остальные слагаемые в равенстве (5.12). Сумма '\" tr(T 1 R∗ [D, ψi0]) Y 22 Y i аналогично лемме 5.2 является величиной порядка o(1), так как D - ПДО на Y. Далее оценим второе слагаемое в (5.12). Лемма 5.6. '\" tr(T 1 R∗ (Bψi0 - ψi0B)) = o(1). (5.23) X 12 X Y i Доказательство. Как и в доказательстве леммы 5.2, используем разложение ∗ R12 = '\" Rj + K1, B = '\" Bm + K2, j m где Rj, Bm - операторы в локальных картах на X и Y соответственно, а K1, K2 - операторы с гладкими ядрами. Справедливо равенство '\" tr(T 1 R∗ (Bψi0 - ψi0B)) = '\" tr(T 1 R∗ Bψi0) - '\" tr(T 1 R∗ ψi0B) = X 12 X Y i г X 12 X i i X 12 Y = '\" '\" tr(T 1 Rj Bmψi0)+ '\" tr(T 1 Rj K2ψi0)+ tr(T 1 K1Bψi0)- i j,m X X j '\" X X X X l '\" - tr(T 1 Rjψi0Bm) - tr(T 1 Rjψi0K2) - tr(T 1 K1ψi0B) . (5.24) X Y X Y X Y j,m j Операторы Rj являются операторами вида A1,jπ∗A2,j, действующими из Y в X, а Bm являются операторами вида A3,mπ∗A4,m. Здесь A1,j, A4,m - ПДО на X, а A2,j, A3,m - ПДО на Y. Таким образом, композиция Rj Bm является оператором вида A1,jπ∗A2,j A3,mπ∗A4,m. Вид композиции Rj Bm соответствует виду оператора (5.21). Таким образом, для таких операторов применимо предложение B.2. Также аналогично лемме 5.3 можно показать, что для операторов K1, K2 при h → 0 справедлива сходимость K1ψi0 → ρY , K2ψi0 → ρY . Y i Y i Таким образом, из (5.24) получаем '\" tr(T 1 R∗ (Bψi0 - ψi0B)) = '\"( ) (T 1 Rj Bm '\" ρX ) - τ (T 1 Rj '\" ρY Bm + i +'\"( X 12 X Y τ X i X i j,m i i ( tr(T 1 Rj K2 '\" ρX ) - tr(T 1 Rj '\" ρY K2) + tr(T 1 K1B '\" ρX ) - tr(T 1 K1 '\" ρY B) + o(1) = X i X i j i i = '\"( X i X i i i ( τ (T 1 Rj Bm) - τ (T 1 Rj Bm) + '\" tr(T 1 Rj K2) - tr(T 1 Rj K2) + X X X X j,m j + ( tr(T 1 K1B) - tr(T 1 K1B) + o(1) = o(1). (5.25) X X Второе равенство в выражении (5.25) следует из соотношения (5.3). Доказательство леммы 5.6 завершено. 21 Наконец, перейдём к третьему слагаемому в равенстве (5.12). Композиция R∗ C имеет вид 21 A1π∗A2A3π∗A4 с ПДО A1, A4 на Y и ПДО A2, A3 на X. Композиция R∗ C является ПДО на Y (см. [4]). Аналогично доказательству формулы (5.23), получаем '\" tr(T 1 R∗ (Cψi0 - ψi0C)) = o(1). Y 21 Y X i Таким образом, суммы по i всех слагаемых равенства (5.12) являются величинами порядка o(1). Доказательство утверждения 5.1 завершено. Таким образом, второе и третье слагаемое в равенстве (5.8) не дают вклада в формулу Лефшеца (4.2). Теорема 4.1 доказана. 6. Пример Рассмотрим расслоение X = S1 × S1 -→ S1 = Y (проекция на первый множитель) и комплекс ( π∗ d ) ( d \ Ω2(X) где -→ 0 -→ Ω0(X) d -→ Ω1(X) π∗ ⊕ Ω0(Y ) -→ Ω1(Y ) -→ 0, (6.1) j j-1 r ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ π∗ : Ω (X) → Ω (Y ), (π∗f )(x ) = S1 f (x ,x )dx - отображение интегрирования по слою проекции π. Рассмотрим диффеоморфизм g(x∗, x∗∗) = (g0(x∗), x∗∗ + ε), ε > 0, где диффеоморфизм g0 : S1 → S1 определяется как монотонно возрастающая функция с двумя неподвижными точками x∗ = 0 и x∗ = 1 1 , причём g∗ (0) < 1, g∗ > 1. Индуцированное отображение g∗ на дифференциальных 2 0 0 2 формах определяет эндоморфизм комплекса (6.1). Очевидно, что диффеоморфизм g не имеет неподвижных точек, а диффеоморфизм g0 имеет 1 две невырожденные неподвижные точки x∗ = 0 и x∗ = . 2 Лемма 6.1. 1. Размерности когомологий комплекса (6.1) равны dim Hk = (1, k = 0, 1; 0, k = 2, 3. Базисами в H0 и H1 являются формы 1 и dx∗ соответственно. 2. Отображение g∗ действует в когомологиях как тождественное отображение. Доказательство. Первое утверждение несложно доказать, раскладывая формы в ряды Фурье по переменным x∗, x∗∗. Докажем второе утверждение. Индуцированное отображение g∗ действует в пространстве H0 как тождественное отображение. Покажем теперь, что оно действует как тождественное отображение и в пространстве когомологий H1 с базисом dx∗: ∂g0 ∂g0 g∗(dx∗) = ∂x∗ dx∗. Разложим форму ∂x∗ dx∗ в сумму точной формы и формы с постоянным коэффициентом: ∈ ∈ ∂g0 dx∗ = df + cdx∗, f C∞(S1), c C. (6.2) ∂x∗ Проинтегрируем обе части равенства (6.2). Получим r ∂g0 ∂x∗ S1 r dx∗ = S1 r df + S1 cdx∗. (6.3) Первое слагаемое в правой части в (6.3) равно нулю. Отсюда r ∂g0 c = ∂x∗ S1 dx∗ = g0(1) - g0(0) = 1. (6.4) Последнее равенство в (6.4) справедливо, так как из построения следует, что g0(0) = 0, g0(1) = 1. Теперь получаем L (g) = '\" - trΦ0(x∗) trΦ1(x∗) d = det(1 - dg0(x∗))| xl∈ΩY | - trΦ0(0) trΦ1(0) = | det(1 - dg0(0))| - trΦ0(1/2) trΦ1(1/2) + | det(1 - dg0(1/2))| 0 = 1 - g∗ (0) 0 1 - g∗ (0) 0 + 1 - g∗ (1/2) 0 g∗ (1/2) - 1 = 0, т. е. для рассматриваемого эндоморфизма левая и правая части формулы Атьи-Ботта- Лефшеца (4.2) равны нулю. 1. Приложение. Волновые фронты Через D∗(X) обозначим пространство распределений на гладком замкнутом многообразии X. Напомним сведения о волновых фронтах распределений из D∗(X), см. [7, 14, 15]. c Определение A.1. Волновым фронтом WF (u) распределения u ∈ D∗(X) называется дополнение в T ∗X \ 0 набора всех таких (x0, ξ0) ∈ T ∗X \ 0, что для некоторой окрестности U точки x0 и окрестности V точки ξ0, для каждой функции ϕ ∈ C∞(U ) и каждого N : F(ϕu)(τξ) = O(τ -N ) при τ →∞ равномерно по ξ ∈ V. Здесь F - преобразование Фурье. Волновой фронт является замкнутым конусом в T ∗X \ 0. Пусть Γ - замкнутый конус в T ∗X \ 0. Определим линейное подпространство Γ(X) = {u ∈D (X) | WF (u) ⊂ Γ}. D∗ ∗ Γ c На подпространстве D∗ (X) ⊂ D∗(X) рассматриваются полунормы на D∗(X) и дополнительные полунормы, отвечающие конусу Γ. Для определения этих полунорм зафиксируем точку (x0, ξ0) и выберем окрестность U точки x0 и окрестность V точки ξ0, как в определении A.1. Тогда для каждой ϕ ∈ C∞(U ) и каждого N полунорма определяется как ||u|| ϕ,V,U, = sup Γ τ N |F (ϕu)(τξ)|, u ∈ D∗ (X). (A.1) x0 ,ξ0 τ ;;;1,ξ∈V Следующие ниже результаты являются уточнениями теорем о преобразовании волновых фронтов распределений при отображениях многообразий из цитированных выше работ. Уточнение состоит в указании конусов, в которых содержатся волновые фронты. Пусть X, Y - гладкие замкнутые многообразия. Для гладкого отображения Φ : X → Y рассмотрим множество конормалей (это множество является замкнутым конусом): N = (y, η) ∈ T ∗Y \ 0 ( ∂Φ ∃x ∈ X, y = Φ(x), η = 0 . (A.2) t ∂x Предложение A.1. Пусть Γ - такой замкнутый конус в T ∗Y \ 0, что Γ ∩ N = ∅. Тогда определён замкнутый конус Γ = Φ∗(Γ) = x, ξ) ∈ T ∗X \ 0 ( ∂Φ t ∃η : η = ξ, (Φ(x), η) Γ , (A.3) ( а отображение обратного образа ∂x ∈ Φ∗ : C∞(Y ) -→ C∞(X) (A.4) имеет непрерывное продолжение на пространства распределений Φ∗ : D∗ (Y ) -→ D∗ (X). (A.5) Γ Γ Γ При этом supp(Φ∗v) ⊂ Φ-1(supp v) для каждого v ∈ D∗ (Y ). Непрерывность отображения (A.5) ∗ здесь и ниже понимается в следующем смысле: если vj → v для vj,v ∈ DΓ(Y ) по полунормам в DΓ(Y), то Φ vj → Φ v по полунормам в D (X). ∗ ∗ ∗ ∗ Γ Предложение A.2. Рассмотрим отображение, двойственное к отображению (A.4): t ∗ ∗ Φ∗ = (Φ∗) : D (X) -→ D (Y ). Пусть Γ - замкнутый конус в T ∗X \ 0. Тогда имеется непрерывное отображение подпространств Φ∗ : D∗ (X) -→ D∗ (Y ), Γ Γ где замкнутый конус Γ ⊂ T ∗Y \ 0 определяется формулой ( ( ( ∂Φ t Γ = Φ∗(Γ ) = (y, η) ∈ T ∗Y \ 0 | ∃x ∈ X, y = Φ(x), x, η ∂x ∈ Γ . (A.6) Предложение A.3. Пусть Γ1 - замкнутый конус в T ∗X \0, Γ2 - замкнутый конус в T ∗Y \0. Тогда определено непрерывное отображение Γ1 (X) × DΓ2 (Y ) -→ DΓ3 (X × Y ), (u, v) •→ u ⊗ v. D∗ ∗ ∗ Здесь рассматривается замкнутый конус Γ3 ⊂ T ∗(X × Y ) \ 0: Γ3 = (Γ1 × Γ2) ∪ (Γ1 × 0Y ) ∪ (0X × Γ2), где 0X и 0Y рассматриваются как нулевые сечения в T ∗X и в T ∗Y соответственно. Рассмотрим непрерывный оператор D : C∞(Y ) -→ D∗(X). Его ядро Шварца обозначим через KD ∈ D∗(X × Y ). Определение A.2. Пусть Γ1 ⊂ T ∗(X ×Y )\0, Γ2 ⊂ T ∗(Y ×Z)\0 - замкнутые конусы, которые удовлетворяют условию {(y, η) ∈ (T ∗Y ) \ 0 | ∃x ∈ X, z ∈ Z : (x, 0, y, η) ∈ Γ1, (y, η, z, 0) ∈ Γ2} = ∅. (A.7) Композиция Γ1 ◦ Γ2 ⊂ T ∗(X × Z) \ 0 определяется как конус Γ1 ◦ Γ2 = {(a, c) ∈ T ∗(X × Z) \ 0 | ∃b : (a, b) ∈ Γ1, (b, c) ∈ Γ2}. (A.8) Для конуса Γ ⊂ T ∗(X × Z) \ 0 введём обозначения ΓX = {(x, ξ) ∈ T ∗X \ 0 | ∃z ∈ Z : (x, ξ, z, 0) ∈ Γ}, ΓZ = {(z, ζ) ∈ (T ∗Z) \ 0 | ∃x ∈ X : (x, 0, z,ζ) ∈ Γ}, Γ∗ = {(x, ξ, z, ζ) ∈ T ∗(X × Z) \ 0 | (x, ξ, y, -ζ) ∈ Γ}. Конус (A.8), вообще говоря, не является замкнутым. Нетрудно доказать следующую лемму. Лемма A.1. Для замыкания Γ1 ◦ Γ2 ⊂ T ∗(X × Z) \ 0 выполнено соотношение Γ1 ◦ Γ2 ⊂ (Γ1 ◦ Γ2) ∪ (Γ1X × 0Z ) ∪ (0X × Γ2Z ). Теорема A.1. Пусть X, Y, Z - гладкие многообразия, и Γ1 ⊂ T ∗(X×Y )\0, Γ2 ⊂ T ∗(Y ×Z)\0 - 1 такие замкнутые конусы, что для конусов Γ∗ и Γ2 выполнено условие (A.7). Пусть имеются линейные непрерывные отображения D1 : C∞(Y ) → D∗(X), D2 : C∞(Z) → D∗(Y ) с ядрами Шварца Γ1 KD1 ∈ D∗ (X × Y ), KD2 ∈ D Γ2 ∗ (Y × Z). Тогда определена композиция операторов D1 ◦ D2 : C∞(Z) -→ D∗(X), а композиция соответствующих ядер Шварца даёт линейное непрерывное отображение Γ1 (X × Y ) × DΓ2 (Y × Z) -→ DΓ3 (X × Z), (A.9) D∗ ∗ ∗ где замкнутый конус Γ3 равен (KD1 , KD2 ) •-→ KD1 ◦D2 , Γ3 = (Γ∗ ◦ Γ2) ∪ (Γ1 × 0Z ) ∪ (0X × Γ2 ). 1 X Z Доказательство. При выполнении условия (A.7) конус Γ3 является замкнутым в T ∗(X × Z) \ 0 по лемме A.1. Определим отображения Δ : X × Y × Z -→ X × Y × Y × Z, Δ(x, y, z) = (x, y, y, z); π : X × Y × Z -→ X × Z, π(x, y, z) = (x, z). Тогда справедлива формула [14, 15] KD1 ◦D2 = π∗Δ∗(KD1 ⊗ KD2 ). (A.10) Приведём подробные вычисления волнового фронта композиции (A.10). Для волнового фронта тензорного произведения KD1 ⊗ KD2 в силу предложения A.3 справедливо вложение WF (KD1 ⊗ KD2 ) ⊂ Γ1 × Γ2 ∪ (Γ1 × 0Y ×Z ) ∪ (0X×Y × Γ2). (A.11) Определим конормальное расслоение диагонали N ∗Δ. Обозначим координаты на X ×Y ×Y ×Z через (x, y1, y2, z). Тогда . N ∗Δ = (x, 0, y1, η1, y2, η2, z, 0) ∈ T ∗(X × Y × Y × Z) \ 0 | η1 + η2 = 0, y1 = y2 Легко видеть, что расслоение N ∗Δ совпадает с множеством нормалей (A.2) для отображения Δ. Лемма A.2. Справедливо соотношение WF (KD1 ⊗ KD2 ) ∩ N ∗Δ = ∅. (A.12) Доказательство. Из (A.11) следует, что ( WF (KD1 ⊗ KD2 ) ∩ N ∗Δ ⊂ Пересечение Γ1 × Γ2 ∪ (Γ1 × 0Y ×Z ) ∪ (0X×Y × Γ2) ∩ N ∗Δ. (A.13) (Γ1 × Γ2) ∩ N ∗Δ = (x, 0, y1, η1, y1, -η1, z, 0) ∈ T ∗(X × Y × Y × Z) \ 0 | (x, 0, y1, η1) ∈ Γ1, (y1, -η1, z, 0) ∈ Γ2, η1 /= 0 является пустым множеством в силу условия (A.7). Пересечение множеств (Γ1 × 0Y ×Z ) ∩ N ∗Δ = (x, 0, y1, 0, y1, 0, z, 0) ∈ T ∗(X × Y × Y × Z) | (x, 0, y1, 0) ∈ Γ1 является пустым, так как Γ1 ∈ T ∗(X × Y ) \ 0. Аналогично (0X×Y × Γ2) ∩ N ∗Δ = (x, 0, y1, 0, y1, 0, z, 0) ∈ T ∗(X × Y × Y × Z) | (y1, 0, z, 0) ∈ Γ2 - пустое множество в силу того, что Γ2 ∈ T ∗(Y × Z) \ 0. Таким образом, правая часть соотношения (A.13) является пустым множеством. Доказательство леммы завершено. В силу леммы A.2 и предложения A.1 распределение Δ∗(KD1 ⊗ KD2 ) корректно определено. Перейдём теперь к вычислению его волнового фронта. Определение A.3. Пусть Γ1 ⊂ T ∗(X × Y ) \ 0, Γ2 ⊂ T ∗(Y × Z) \ 0 - замкнутые конусы. Сумма Γ1 + Γ2 ⊂ T ∗(X × Y × Z) \ 0 определяется как Γ1 + Γ2 = (x, ξ, y, η1 + η2, z,ζ) ∈ T ∗(X × Y × Z) \ 0 | (x, ξ, y, η1) ∈ Γ1, (y, η2, z,ζ) ∈ Γ2 . Лемма A.3. Для волнового фронта распределения Δ∗(KD1 ⊗ KD2 ) имеем WF (Δ∗(KD1 ⊗ KD2 )) ⊂ (Γ1 + Γ2) ∪ (Γ1 × 0Z ) ∪ (0X × Γ2). Доказательство. По предложению A.1 для волнового фронта распределения Δ∗(KD1 ⊗ KD2 ) справедливо соотношение ( WF (Δ∗(KD1 ⊗ KD2 )) ⊂ Γ = Δ∗ (Γ1 × Γ2) ∪ (Γ1 × 0Y ×Z ) ∪ (0X×Y × Γ2) . (A.14) Опишем множество в правой части соотношения (A.14). Так как Δ : (x, y, z) → (x, y, y, z), то, воспользовавшись формулой (A.3) из предложения A.1 для произвольного конуса Γ ⊂ T ∗(X × Y × Y × Z) \ 0, получим, что ( Δ∗Γ = x, ξ, y, η, z, ζ) ∈ T ∗(X × Y × Z) \ 0 | ∃ (ξ∗, η∗ , η∗ ,ζ∗) : ξ∗ = ξ, ζ∗ = ζ, η∗ + η∗ = η, (x, ξ∗ , y, η∗ , y, η∗ , z,ζ∗) ∈ Γ . 1 2 1 2 1 2 Применим эту формулу к конусу Γ = (Γ1 × Γ2) ∪ (Γ1 × 0Y ×Z ) ∪ (0X×Y × Γ2), который состоит из точек вида (x, ξ, y1, η1, y2, η2, z,ζ). Получим Δ∗(Γ1 × Γ2) = (x, ξ, y, η1 + η2, z,ζ) ∈ T ∗(X × Y × Z) \ 0 | (x, ξ, y, η1) ∈ Γ1, (y, η2, z,ζ) ∈ Γ2 = Конус Γ1 × 0Y ×Z состоит из точек вида (x, ξ, y1, η1, y2, 0, z, 0). Тогда = Γ1 + Γ2. Δ∗(Γ1 × 0Y ×Z ) = (x, ξ, y, η1, z, 0) ∈ T ∗(X × Y × Z) \ 0 | (x, ξ, y, η1) ∈ Γ1 = Γ1 × 0Z. Наконец, конус 0X×Y × Γ2 состоит из точек вида (x, 0, y1, 0, y2, η2, z,ζ). Тогда Δ∗(0X×Y × Γ2) = (x, 0, y, η2, z,ζ) ∈ T ∗(X × Y × Z) \ 0 | (y, η2, z,ζ) ∈ Γ2 = 0X × Γ2. Таким образом, получаем, что Γ = (Γ1 + Γ2) ∪ (Γ1 × 0Z ) ∪ (0X × Γ2), и конус Γ замкнут в T ∗(X × Y × Z) \ 0 в силу предложения A.1. Лемма доказана. Теперь рассмотрим распределение π∗(Δ∗(KD1 ⊗ KD2 )). Лемма A.4. Для волнового фронта распределения π∗(Δ∗(KD1 ⊗ KD2 )) имеем WF (π∗(Δ∗(KD1 ⊗ KD2 ))) ⊂ Γ3. Доказательство. По предложению A.2 получаем, что ( WF (π∗(Δ∗(KD1 ⊗ KD2 ))) ⊂ Γ = π∗ (Γ1 + Γ2) ∪ (Γ1 × 0Z ) ∪ (0X × Γ2) . (A.15) Здесь конус π∗(Γ ) для конуса Γ ⊂ T ∗(X × Y × Z) \ 0 в силу (A.6) определяется как π∗(Γ ) = (x, ξ, z, ζ) ∈ T ∗(X × Z) \ 0| ∃y ∈ Y : (x, ξ, y, 0, z,ζ) ∈ Γ . (A.16) Вычислим явно это множество: π∗(Γ1 + Γ2) = (x, ξ, z, ζ) ∈ T ∗(X × Z) \ 0 | ∃(y, η1) : (x, ξ, y, -η1) ∈ Γ1, (y, η1, z,ζ) ∈ Γ2 1 = Γ∗ ◦ Γ2, π∗(Γ1 × 0Z ) = (x, ξ, z, 0) ∈ T ∗(X × Z) \ 0 | (x, ξ, y, 0) ∈ Γ1 = Γ1X × 0Z, π∗(0X × Γ2) = (x, 0, z,ζ) ∈ T ∗(X × Z) \ 0 | (y, 0, z,ζ) ∈ Γ2 = 0X × Γ2Z . Таким образом, из последних трёх соотношений получаем искомое равенство Γ = (Γ∗ ◦ Γ2) ∪ Γ1 × 0Z ∪ 0X × Γ2 = Γ3. Лемма доказана. 1 X Z Вернёмся к доказательству теоремы. В силу леммы A.4 получаем WF (KD1 ◦ KD2 ) = WF (π∗(Δ∗(KD1 ⊗ KD2 ))) ⊂ Γ3. Так как все операции в правой части формулы (A.10) являются непрерывными, отображение (A.9) непрерывно. Теорема A.1 доказана. 2. Приложение. Регуляризованный след 1. Одно семейство псевдодифференциальных операторов. Рассмотрим семейство псевдодифференциальных операторов с параметром h > 0 c ψ0(h) : C∞(Rn) -→ C∞(Rn), r (ψ0(h)u)(x) = (2π)-nχ(x) ei(x-y)ξψ0(hξ)ρ(y)u(y)dydξ, (B.1) которое определяется следующими вспомогательными функциями: c • ρ(x), χ(x), ψ0 (ξ) ∈ C∞(Rn); § χ(x) ≡ 1 в окрестности носителя функции ρ(x); • ψ0(ξ) ≡ 1, если |ξ| 1. Ядро Шварца оператора (B.1) имеет компактный носитель, является бесконечно гладким и равно r Kψ0 (h)(x, y) = (2π)-nχ(x) Оператор умножения на функцию ρ(x) ei(x-y)ξψ0(hξ)ρ(y)dξ. (B.2) имеет ядро Шварца ρ : C∞(Rn) -→ C∞(Rn), u(x) •→ ρ(x)u(x) Kρ(x, y) = δ(x - y)ρ(x). (B.3) Для ядер Шварца (B.2) и (B.3) справедлив следующий результат. Предложение B.1. При h → 0 имеет место сходимость ядер Шварца Kψ0 (h) -→ Kρ N ∗Δ по полунормам в пространстве D∗ (X × X), где N ∗Δ ⊂ T ∗(X × X) - конормальное расслоение диагонали Δ ⊂ X × X. Доказательство. 1. Сначала докажем сходимость в D∗(X × X). Для этого покажем, что для любой пробной функции ϕ ∈ C∞(X × X) существует предел lim Kψ0 (h)(ϕ) = Kρ(ϕ). (B.4) h→0 В самом деле, правая часть уравнения (B.4) равна (мы использовали (B.3) и равенство χρ = ρ) r Kρ(ϕ) = ϕ(x, x)ρ(x)dx. (B.5) Запишем теперь величину в левой части в (B.4) в виде интеграла rrr Kψ0 (h)(ϕ) = (2π)-n ei(x-y)ξϕ(x, y)χ(x)ρ(y)ψ0 (hξ)dydξdx. (B.6) Сделаем замену ξ∗ = hξ в (B.6). Получим r гrr (x-y)ξl l Kψ0 (h)(ϕ) = (2πh)-n χ(x) ei h ϕ(x, y)ρ(y)ψ0 (ξ∗)dydξ∗ dx. (B.7) Применим метод стационарной фазы к внутреннему интегралу в формуле (B.7). В стационарной точке m0 = (x, 0) гессиан фазовой функции f (y, ξ∗) = (x - y)ξ∗ равен 0 -1 Hessf (m0) = . -1 0 Тогда интеграл (B.7) имеет разложение r Kψ0 (h)(ϕ) = ϕ(x, x)χ(x)ρ(x)ψ0 (0)dx + O(h) при h → 0. (B.8) Поскольку χρ = ρ по условию и ψ0(0) = 1, то из выражений (B.5) и (B.8) получаем искомую сходимость в D∗(X × X): Kψ0 (h)(ϕ) - Kρ(ϕ) = O(h). N ∗Δ 2. Теперь докажем сходимость Kψ0 (h) к Kρ в D∗ (X × X). Выберем малые окрестности c U1, U2 ⊂ X и срезающую функцию ϕ(x, y) = ϕ1(x)ϕ2(y) ∈ C∞(U1 × U2). в D Для доказательства сходимости Kψ0 (h) к Kρ ∗ N ∗Δ (X × X) необходимо оценить разность F(ϕKψ0 (h))(tξ∗, tη∗) - F(ϕKρ )(tξ∗, tη∗) (B.9) при малых h равномерно при всех | t ;;; 1, |ξ∗ 2 Для разности (B.9) получаем равенства F(ϕKψ0 (h))(tξ∗, tη∗) - F(ϕKρ )(tξ∗, tη∗) = | + |η∗ 2 = 1, |ξ∗ + η∗| ;;; ε. (B.10) rr гr = e-it(xξl+yηl) rr l eiξ(x-y)ψ0(hξ)ϕ1(x)χ(x)ϕ2(y)ρ(y)dξ dxdy- - e-it(xξl+yηl)1ϕ1(x)χ(x)ϕ2(y)δ(x - y)ρ(y) dxdy = r гr = ψ0(hξ) r eix(ξ-tξl)ϕ1(x)χ(x)dx r l eiy(-ξ-tηl )ϕ2(y)ρ(y)dy dξ- - e-itx(ξl+ηl)ϕ1(x)χ(x)ϕ2(x)ρ(x)dx = r r = ψ0(hξ)F (ϕ1 χ)(tξ∗ - ξ)F(ϕ2ρ)(tη∗ + ξ)dξ - r F(ϕ1χ)(tξ∗ - ξ)F(ϕ2ρ)(tη∗ + ξ)dξ = = (ψ0(hξ) - 1) F(ϕ1χ)(tξ∗ - ξ)F(ϕ2ρ)(tη∗ + ξ)dξ. (B.11) Оценим последнее выражение в (B.11) в области (B.10). Поскольку ψ0(hξ) ≡ 1 при |hξ| 1 и в силу того, что функции ϕ1, ϕ2,χ - гладкие с компактным носителем, получаем из (B.11) оценку r 1 -N F(ϕKψ0 (h))(tξ∗, tη∗) - F(ϕKρ )(tξ∗, tη∗) CN для любых N. h |ξ|> 1 (1 + |ξ - tξ∗|)(1 + |ξ + tη∗|) dξ (B.12) Лемма B.1. Для ε > 0 в области (B.10) справедливы неравенства (1 + |ξ - tξ∗|)(1 + |ξ + tη∗|) ;;; ε|ξ|, (B.13) (1 + |ξ - tξ∗|)(1 + |ξ + tη∗|) ;;; 1+ tε. (B.14) Доказательство. 1. Неравенство (B.14) следует из неравенства треугольника и неравенств (B.10): (1 + |ξ - tξ∗|)(1 + |ξ + tη∗|) = 1 + |ξ - tξ∗| + |ξ + tη∗| + |ξ - tξ∗||ξ + tη∗| ;;; 1+ |tξ∗ + tη∗| ;;; 1+ tε. 2. Получим теперь неравенство (B.13): 2 ∗ 2 (1 + |ξ - tξ∗|)2(1 + |ξ + tη∗|)2 ;;; (1 + |ξ - tξ∗| )(1 + |ξ + tη | ) ;;; | ;;; 1+ |ξ - tξ∗ 2 | + |ξ + tη∗ 2 | = 1 + 2|ξ 2 + t2 - 2t(ξ, ξ∗ - η∗) ;;; 2 ∗ ∗ 2 2 ∗ ∗ 2 2 2 ∗ ∗ 2 ;;; 1+ 2|ξ| - |(ξ, ξ - η )| ;;; 1+ 2|ξ| - |ξ - η | |ξ| = 1 + |ξ| (2 - |ξ - η | ) = 2 ∗ ∗ 2 2 2 2 2 Лемма B.1 доказана. = 1 + |ξ| |ξ + η | ;;; 1+ ε |ξ| > ε |ξ| . Вернёмся к оценке величины (B.12). Пусть N = N1 + N2. Тогда по лемме B.1 получим r 1(1 + ξ tξ∗ )(1 + -N ξ + tη∗ ) dξ = h |ξ|> 1 | - | | | r 1 -N1 1 -N2 = h |ξ|> 1 (1 + |ξ - tξ∗|)(1 + |ξ + tη∗|) (1 + |ξ - tξ∗|)(1 + |ξ + tη∗|) r dξ (1 + tε)-N1 h |ξ|> 1 C|ξ|-N2 dξ = C1(1 + tε)-N1 hN2 -n. (B.15) Здесь в последнем интеграле в соотношении (B.15) мы сделали замену τ = hξ (интеграл сходится при N2 > n). Итак, из выражений (B.12) и (B.15) получаем оценку F(ϕKψ0 (h))(tξ∗, tη∗) - F(ϕKρ)(tξ∗, tη∗) = O(t-N1 hN2 -n) в области (B.10) для любого ε > 0. Отсюда следует, что значения полунорм (A.1) от разности Kψ0 (h) - Kρ являются величинами порядка O(hN2 -n). Теперь, выбирая N2 = n + 1, получаем, что эти значения стремятся к нулю. 2. Регуляризованный след. На гладком замкнутом многообразии X рассмотрим непрерывный оператор с ядром Шварца KA ∈ D∗(X × X). A : C∞(X) -→ D∗(X) (B.16) Через Δ ⊂ X × X обозначим диагональ Δ = {(x, x)|x ∈ X}. Конормальное расслоение диагонали равно N ∗Δ = {(x, ξ, x, η) ∈ T ∗(X × X) | ξ + η = 0}. Вложение i : Δ θ→ X × X индуцирует оператор сужения на диагональ i∗ : C∞(X × X) -→ C∞(Δ), i∗ : u(x, y) •→ u(x, x). Применяя предложение A.1 из дополнения А к отображению i, получаем следствие. Следствие B.1. Если выполнено условие WF (KA) ∩ N ∗Δ = ∅, (B.17) то определено сужение ядра Шварца на диагональ i∗KA ∈ D∗(Δ). Определение B.1. Регуляризованным следом оператора A, удовлетворяющего условиям (B.17), называется число τ (A) = (i∗KA)(1). Замечание B.1. Если оператор A имеет непрерывное ядро Шварца KA, то регуляризованный след совпадает с операторным следом. Предложение B.2. Если для оператора A из (B.16) выполнено соотношение (B.17) и выполнено условие то существует предел X WF ∗ (A) = ∅, lim τ (Aψ0(h)) = τ (Aρ), (B.18) h→0 где оператор ψ0(h) и функция ρ были определены в предыдущем разделе. Доказательство. Через KAψ0 (h) обозначим ядро Шварца оператора Aψ0(h). Из определения регуляризованного следа видно, что для доказательства существования предела (B.18) достаточно доказать следующее: N ∗Δ 1. ядро Шварца KAψ0 (h) сходится к ядру Шварца KAρ при h → 0 в пространстве D∗ (X ×X); 2. сужение ядра KAψ0 (h) на диагональ сходится к ядру Шварца KAρ при h → 0 в пространстве D∗(Δ); 3. спаривание с единицей даёт непрерывную функцию от h в точке h = 0. Докажем эти три свойства. Сначала покажем, что ядро Шварца KAψ0 (h) непрерывно зависит от h по полунормам (A.1) при h = 0. Предложение B.1 даёт, что ядро Шварца Kψ0 (h) при h → 0 сходится к Kρ в пространстве D∗ ∗ ∗ 0 ∗ N ∗Δ(X × X). Далее, так как W FX (A) = ∅, W FX (ψ получим искомую сходимость (h)) = ∅ и W FX (ρ) = ∅, то по теореме A.1 N ∗ (X × X) при h → 0. Далее заметим, что сужение ядра Шварца KAψ0 (h) на диагональ Δ ⊂ X × X непрерывно при h → 0 в силу предложения A.1. Условие предложения A.1 выполнено, поскольку выполнено соотношение (B.17). Наконец, операция спаривания с единицей является непрерывной в силу определения сходимости в пространстве D∗(Δ).