Existence and uniqueness of the solution of the initialboundary value problem for one-dimensional equations of the dynamics of a compressible viscous mixture

Full Text

1. Введение Статья посвящена проблеме разрешимости одномерных уравнений для модели, описывающей движение сжимаемой вязкой смеси. По поводу происхождения этой модели можно обратиться к монографиям [8, 20], а также за уточнениями для подмодели, рассматриваемой в данной работе, - к статье [16]. Несмотря на имеющиеся результаты о разрешимости для одномерных уравнений динамики сжимаемых вязких смесей, такие как [1, 3-6, 9-13, 15, 17, 18], остается неизученным вариант нестационарных одномерных движений с учетом взаимодействия компонент смеси между собой как на уровне обмена импульсом, так и через взаимное вязкое трение в случае, если матрица вязкостей является недиагональной и нетреугольной. Именно этот случай будет рассматриваться в данной работе. Структура статьи следующая. Раздел 2 содержит постановку задачи и формулировку основного результата - теоремы 2.1 о существовании и единственности решения. В разделе 3 проводится исследование разрешимости приближенной задачи, полученной из исходной задачи применением метода Галеркина. В разделе 4 выводятся равномерные по параметру приближения оценки решений приближенной задачи, на основе которых совершается предельный переход и обосновывается существование решения исходной задачи в малом по времени. Для продолжения локального решения в разделе 5 выводятся априорные оценки, постоянные в которых не зависят от промежутка существования локального решения. В разделе 6 доказывается единственность решения исследуемой задачи и завершается доказательство теоремы 2.1. В заключительном разделе 7 приведены основные результаты работы. 2. Постановка задачи и основной результат Рассмотрим начально-краевую задачу для одномерных изотермических уравнений динамики сжимаемой вязкой смеси. В замыкании QT области QT = (0,T ) × (0, 1), T = const > 0 требуется найти плотности ρi(t, x) > 0 и скорости ui(t, x) для каждой компоненты с номером i = 1,... , N, N ∈ N, N ) 2, удовлетворяющие следующей системе уравнений, начальных и краевых условий: ∂ρi + ∂(ρiv) = 0, i = 1,... , N, (2.1) ∂ui ∂ui ∂t ∂x N ∂ρ ∂2uj N ρi + v ∂t ∂x + αiK ∂x = j=1 νij ∂x2 + j=1 aij (uj - ui), i = 1,... , N, (2.2) ρi|t=0 = ρ0i(x), ui|t=0 = u0i(x), i = 1,... , N, (2.3) ui|x=0 = ui|x=1 = 0, i = 1,... , N. (2.4) N N N Здесь v = αjuj - cредневзвешенная скорость, αj = const ∈ (0, 1), αj = 1, ρ = ρj - j=1 j=1 j=1 суммарная плотность, νij - постоянные коэффициенты вязкостей, образующие симметричную матрицу N > 0, K = const > 0, aij = aji = const > 0, ρ0i(x), u0i(x) - известные функции начальных данных. Определение 2.1. Сильным решением задачи (2.1)-(2.4) называется совокупность 2N функций (ρ1,... , ρN , u1,... , uN ) таких, что для всех i = 1,... ,N ∞ 2 ρi > 0, ρi ∈ L (0,T ; W 1(0, 1)), ( ) ∂ρi ∂t ∈ L∞ 0,T ; L2(0, 1) , 1 2 ∂ui (2.5) ui ∈ L∞(0,T ; W2 (0, 1)) ∩ L2(0,T ; W2 (0, 1)), ∂t ∈ L2(QT ), уравнения (2.1), (2.2) выполнены почти всюду в QT , начальные условия (2.3) - для почти всех x ∈ (0, 1), а краевые условия (2.4) - для почти всех t ∈ (0,T ). Сформулируем теорему об однозначной разрешимости задачи (2.1)-(2.4), которая является основным результатом этой работы. Теорема 2.1. Пусть начальные данные в (2.3) удовлетворяют условиям ρ0i > 0, ρ0i ∈ W 1(0, 1), u0i ∈ W˚ 1(0, 1), i = 1,... , N. (2.6) 2 2 Тогда существует единственное сильное решение задачи (2.1)-(2.4) в смысле определения 2.1. Доказательство теоремы 2.1 будет проведено в разделах 3-6 настоящей работы. 3. Построение галеркинских приближений Докажем сначала разрешимость приближенной начально-краевой задачи, полученной из задачи (2.1)-(2.4) применением метода Галеркина (i = 1,... , N, k = 1,... , m): i ∂ρm ∂t 1 i ∂(ρmvm) + ∂x = 0, (3.1) r ∂um ∂um ∂ρm N ∂2um N ρm i m m i j m m i + ρi v ∂t 0 + αiK ∂x ∂x - j=1 νij ∂x2 - j=1 aij (uj - ui ) sin (πkx) dx = 0, (3.2) ρm i |t=0 = ρ0i(x), (3.3) m m um is i i = s=1 N ξm(t) sin (πsx), um|t=0 = r N s=1 1 ξ0is sin (πsx), (3.4) где m ∈ N, vm = αjum, ρm = ρm, ξ0ik = ξm(0) = 2 u0i(x) sin (πkx) dx, при этом j j=1 j ik j=1 0 i > 0, ρi ∈ L∞(0,t ; W2 (0, 1)) ∩ W∞(0,t ; L2(0, 1)), ξik ∈ C [0,t ], t ∈ (0,T ). (3.5) ρm m m 1 1 m m 1 m m Условимся пока опускать индекс m вверху в обозначении решений. Рассмотрим множество V = f ∈ (C[0, tm])mN | ξ(0) = ξ , 1ξ1 m mN c , (3.6) ξ где 0 (C[0,t ]) ξ = (ξ1,... , ξN ), ξi = (ξi1,... , ξim), i = 1,... , N, ξ0 = (ξ01,... , ξ0N ), ξ0i = (ξ0i1,... , ξ0im), i = 1,... , N, max sup ρ0i c2 = e 1 i N [0, 1] 2 1ξ01 mN + 1, min inf ρ0i R 1 i N [0, 1] и построим оператор A : V → (C[0, tm])mN , Im A ⊂ (C1[0, tm])mN , A(ξ) = ψ, где ψ = (ψ1,... , ψN ), ψi = (ψi1,... , ψim), i = 1,... ,N следующим образом. Сначала найдем функции m ρi > 0, ρi ∈ L∞(0,t 1 ∞ ; W2 (0, 1)) ∩ W 1 N (0, tm ; L2(0, 1)), i = 1,... ,N как решения задач Коши (3.1), (3.3), где v = αjuj, а uj задаются по формулам (3.4) (см. [14]). j=1 При этом справедливы неравенства (i = 1,... ,N ) N t 1 ∂uj 1 N t 1 ∂uj 1 - ), Г sup 1 ∂x 1 dτ ( \ ), Г sup 1 ∂x 1 dτ inf ρ0i [0, 1] e j=1 0 [0, 1] 1 1 ρi(t, x) sup ρ0i [0, 1] ej=1 0 [0, 1] 1 1 , (3.7) которые, в силу включения ξ ∈ V, дают оценки inf ρ0i [0, 1] 2 e-πm cNt ρi(t, x) ( \ sup ρ0i [0, 1] 2 eπm cNt, i = 1,... , N. (3.8) Затем найдем функцию ψ как решение следующей задачи Коши для системы mN линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (i = 1,... , N, k = 1,... , m): 1 r ∂Ui ∂Ui N ∂ρ ∂2Uj N i i - ρi + ρ v + α K ∂t ∂x ∂x 0 j=1 νij ∂x2 - j=1 aij (Uj - Ui) sin (πkx) dx = 0, (3.9) m где Ui = ψis(t) sin (πsx). s=1 Неравенство где ψ(0) = ξ0, (3.10) det M (t) /= 0, ⎛ M1(t) 0 ... 0 ⎞ ⎜ M (t ) = ⎜ 0 M2(t) ... 0 ⎟ ⎟ , . . . . ⎜ . . ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 ... MN (t) ⎧ 1 ⎫m ⎨r Mi(t) = ⎩ 0 ρi(t, x) sin (πkx) sin (πsx) dx ⎬ ⎭k,s=1 , i = 1,... , N, выполненное в силу положительности ρi, i = 1,... , N, позволяет разрешить систему (3.9) относительно производных, что обосновывает существование функции ψ ∈ (C1[0, tm])mN . Таким образом, для произвольного tm ∈ (0,T ) определен оператор A : V → (C1[0, tm])mN ⊂ (C[0, tm])mN , A(ξ) = ψ, неподвижная точка которого, если она существует, вместе с соответствующими функциями ρi, ui, i = 1,... , N, дает решение задачи (3.1)-(3.4). Покажем, что при достаточно малом tm оператор A удовлетворяет условиям теоремы Шаудера о неподвижной точке (см. [2, с. 39]), а именно: 1. V - выпуклое замкнутое ограниченное множество (в нашем случае это очевидно); 2. A : V → V ; 3. A - вполне непрерывный оператор. Установим сначала, что A(V ) ⊂ V. Условимся через Ci(·), i ∈ N, обозначать величины, принимающие конечные положительные значения и зависящие от объектов, указанных в скобках или перечисленных в комментариях. Умножим уравнения (3.9) на ψik (t), а затем просуммируем по i, k и проинтегрируем по x; получим с учетом (3.1), что N 1 4. d r N ρiU 2 dx + νij 1 r ∂Ui ∂Uj dx + 5. dt 1 i i=1 0 N 1 r i,j=1 ∂x ∂x 0 1 N r ∂U (3.11) + aij 2 i,j=1 0 (Ui - Uj )2 dx = K αi ρ i=1 0 i dx, ∂x откуда, в силу неравенств (при получении которых мы используем (3.8) и тот факт, что N > 0) r N 1 νij ∂Ui ∂Uj r N 1 dx ) C1(N) ∂Ui 2 dx, ∂x ∂x i,j=1 0 N 1 ∂x i=1 0 N 1 K αi r ∂Ui ρ ∂x C1 dx 2 r ∂Ui 2 ∂x dx + C2, где C2 = K2N 3 ( 2C max i=1 0 \2 sup ρ0i e2πm2 cNtm i=1 0 , получаем оценку 1 1 i N [0, 1] 1 d N r dt r N 1 i ρiU 2 dx + C1 ∂Ui 2 ∂x dx 2C2, i=1 0 из которой, в свою очередь, следует, что i=1 0 N 1 N 1 r ρ U 2 dx r ρ U 2 dx + 2C tm, (3.12) i i i=1 0 m m i=1 0 0i 0i 2 где U0i = ψis(0) sin (πsx) = ξ0is sin (πsx), i = 1,... , N. Еще раз привлекая (3.8), получаем s=1 из (3.12) неравенство s=1 max sup ρ0i 2 m 2 πm2 cNtm 1 i N [0, 1] 2 4C2eπm cNt m 1ψ1(C[0,tm ])mN e min inf ρ0i 1ξ01RmN + min t . inf ρ0i 1 i N [0, 1] 1 i N [0, 1] Выберем ⎛ min inf ρ0i ⎞ K2N 3e2 ( tm < min ⎝T, \2 1 πm2cN , 1 i N [0, 1] 4eC3 ⎠ , (3.13) где C3 = 2C max sup ρ0i . Тогда получим, что C2 C3 и придем к нужной оценке 1 1 i N [0, 1] 1ψ1(C[0,tm ])mN c. Таким образом, при выполнении (3.13) оператор A отображает множество V в себя. dψik (t) Докажем теперь компактность оператора A. Умножая (3.9) на интегрируя по x, выводим соотношение , суммируя по i, k и dt N 1 2 N 1 2 r ρ ∂Ui dx = r ∂Ui ∂Ui ∂ + α Kρ Ui i ∂t i=1 0 i=1 0 - ρiv ∂x ∂t i ∂t∂x - (3.14) N ∂2Ui ∂Uj N ∂Ui - j=1 νij ∂t∂x + ∂x j=1 aij (Uj - Ui) ∂t dx. С помощью (3.8), неравенства Коши и неравенств 1ξ1(C[0,tm ])mN c, 1ψ1(C[0,tm ])mN c, 1 ∂Ui 1 1 ∂2Ui 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4(m)1Ui 1L2 (0,1), 1 1 ∂t C4 1 ∂Ui 1 , i = 1,... , N, произведем оцен- 1 ∂x 1L2 (0,1) 1 ∂t∂x 1L2(0,1) 1 1L2 (0,1) ки слагаемых в правой части (3.14): N 1 N 1 2 ⎛ ( N ⎞ i i r ∂U ∂U 1 r dx ∂Ui ρ dx + C C , sup ρ , N, c, m, tm , - i=1 0 ρiv ∂x ∂t 8 N 1 i i=1 0 ∂t 5 ⎝ 4 N 1 0i [0, 1] i=1 ⎠ (3.15) K αi r ∂2Ui ρ ∂t∂x 1 dx 8 r ∂Ui 2 ρi ∂t dx + i=1 0 ⎛ ( + C6 ⎝C4, N inf ρ0i i=1 0 ( N , sup ρ0i ⎞ , K, N, c, m, tm ⎠ , (3.16) [0, 1] N 1 N i=1 1 [0, 1] i=1 ( \ r ∂2Ui ∂Uj 1 r ∂Ui 2 ( N m - i,j=1 νij 0 ∂t∂x ∂x dx 8 ρi ∂t i=1 0 dx + C7 C4, inf ρ0i [0, 1] i=1 , N, N, c, m,t , 1 N r ∂Ui 1 1 N r ∂Ui 2 (( N (3.17) \ aij (Uj - Ui) dx ρi dx + C8 inf ρ0i , {aij }i,j=1, N, c, m,t . i,j=1 0 ∂t 8 ∂t i=1 0 [0, 1] N i=1 m (3.18) Таким образом, из (3.14) получаем неравенство 1 6. N r ∂U 2 ρi i 7. ∂t i=1 0 dx C5 + C6 + C7 + C8, интегрируя которое по времени и применяя (3.8), выводим оценку N 1 ∂Ui 1 ( ( N \ 1 1 1 1 C9 C5, C6, C7, C8 inf ρ0i , N, c, m, tm , (3.19) i=1 1 ∂t 1L2 (Qtm ) [0, 1] i=1 2 где Qtm = (0, tm) × (0, 1). Поскольку получена оценка ψ в (W 1(0, tm))mN , то A является компактным оператором. Установим далее непрерывность оператора A из V в (C[0, tm])mN . Пусть ξ(1,2) ∈ V, ψ(1,2) = A(ξ(1,2)), u(1,2) = m ), ξ(1,2) (1,2) ), m (1,2) (1,2) i s=1 is sin (πsx), Ui = s=1 ψis sin (πsx), i = 1,... , N. Пусть ρi , i = N j 1,... ,N - решения задач Коши (3.1), (3.3), где вместо v стоят v(1,2) = ), αju(1,2) соответственно. j=1 Обозначим ρi = ρ(1) -ρ(2), ui = u(1) -u(2), Ui = U (1) -U (2),i = 1,... , N, v = v(1) -v(2),ρ = ρ(1) -ρ(2), i i i i i i N j где ρ(1,2) = ), ρ(1,2). Дифференцируя по переменной x уравнения j=1 ( (1,2) i ∂ρ(1,2) ∂ + ∂t ρi v(1,2) ∂x = 0, i = 1,... ,N (3.20) (см. замечание 4.1 далее), затем умножая на условия ρ(1,2) i ∂ρ(1,2) ∂x , интегрируя по x, t, используя начальные неравенства (см. (3.8)) i |t=0 = ρ0i, i = 1,... , N, (3.21) inf ρ0i [0, 1] ( \ e πm cNt ρ(1,2)(t, x) 2 - i sup ρ0i [0, 1] 2 eπm cNt, i = 1,... ,N (3.22) и неравенство Гронуолла, получаем оценки 1 1 1 ∂ρ(1,2) 1 f N 1 i 1 ∂x 1 1 1 1L2 (0,1) C10 2 (0,1) 1ρ0i1W 1 i=1 , N, c, m, tm , i = 1,... , N. (3.23) Заметим теперь, что из (3.20), (3.21) следуют равенства ∂ρi + ∂ (ρiv (1)) i ∂ (ρ(2)v + = 0, ρ = 0, i = 1,... , N. (3.24) ∂t ∂x ∂x i|t=0 Умножая (3.24) на ρi, интегрируя по x, приходим к соотношениям 1 8. d r r 1 ( 1 ( ∂v(1) \ ∂v ( ∂ρ(2) \ \ ρ2 2 + ρ(2) + i ρiv dx 9. dt 0 i dx = - 2 ρi ∂x 0 i ρi ∂x ∂x 1 ( 1 ∂v(1) 1 1 1 ( ∂v 2 \ 1 ( ∂ρ(2) \2 1 1 r 2 (2)r 2 2 r i sup 1 1 2 [0, 1] 1 1 1 1 ∂x 0 ρi dx + sup ρi [0, 1] 0 ρi + ∂x dx + sup v [0, 1] 0 dx + ∂x (3.25) 1 r \ i + ρ2 dx ⎛ C11 ⎝C10, ( N sup ρ0i [0, 1] ⎞ ⎛ 1 r , N, c, m, tm⎠ ⎝ N 1 i ρ2 dx + r ⎞ j u2 dx⎠ . 0 i=1 0 j=1 0 Здесь использовались очевидные соотношения N 1 N m N m r u2 1 2 2 j=1 0 j dx = 2 1 j=1 s=1 ξjs(t), sup v [0, 1] i,j=1 s,l=1 |ξil (t)ξjs(t)|, (3.26) r ∂v 2 π2 N m dx = ∂x 2 αiαj s2ξjs(t)ξis(t). 0 i,j=1 s=1 Из (3.25), применяя неравенство Гронуолла и учитывая начальные условия в (3.24), для всех t ∈ (0, tm] выводим неравенства 1 t 1 r N r ρ2 m r 2 i dx C12(C11,t 0 ) j=1 0 uj dxdτ, i = 1,... , N. (3.27) 0 i Далее, из уравнений для U (1,2), i = 1,... ,N (см. (3.9)) ввиду (3.20) следует соотношение 1 1 N r N rt 1 r ∂U ∂U t 1 1 N r r ρ(1) 2 i j 2 2 i=1 0 i Ui dx + i,j=1 νij ∂x t t 0 0 dxdτ + ∂x 2 i,j=1 aij 0 (Ui - Uj ) dxdτ = 0 N r 1 N r 1 ( ∂U (2) \ = K αi r ∂Ui ρ dxdτ - r ρiUi i dxdτ - (3.28) ∂x t 1 i=1 0 0 ∂τ t i=1 0 0 r r N i - ρ(1)vUi ∂U ( (2) \ i ∂x r N dxdτ - 1 r ρiv (2) ∂U ( (2) \ Ui i ∂x dxdτ. i=1 0 0 i=1 0 0 Первое слагаемое в левой части (3.28) допускает оценку 1 1 N r e-πm2 cNtm min 1 inf ρ0i N r ρ(1) 2 1 i N [0, 1] 2 2 i=1 0 i Ui dx ) 2 i=1 0 Ui dx. (3.29) Для второго слагаемого в левой части (3.28) имеем неравенство t N r 1 t 1 N r ∂U 2 i,j=1 0 r νij 0 ∂Ui ∂x ∂Uj ∂x dxdτ ) C1 r i=1 0 0 i dxdτ. (3.30) ∂x Для первого слагаемого в правой части (3.28) получаем соотношение N rt K αi 1 r ∂Ui ρ ∂x dxdτ r N t C1 2 1 r ∂Ui 2 ∂x N rt dxdτ C13 (C1, C12, K, N, tm) 1 r i u2 dxdτ. i=1 0 0 i=1 0 0 i=1 0 0 (3.31) Для второго слагаемого в правой части (3.28) следует неравенство t r 1 r N - ρiUi i ( ∂U (2) \ ∂τ dxdτ t C12N tm N r 2ε 1 r i u2 dxdτ + i=1 0 0 o N r rt 1 ( ∂U (2) \2 i=1 0 0 N 1 r + 2 i=1 U i sup 2 [0,t]×[0, 1] 0 0 9 i dxdτ εmC2 sup 0 ∂τ i=1 [0,t] i U 2 dx + (3.32) C12N tm + 2ε t 1 i r N r u2 dxdτ, взяв в котором i=1 0 0 e-πm2 cNtm min inf ρ0i 2 1 i N [0, 1] εmC = 9 , 4N получим, что N rt 1 ( ∂U (2) \ e-πm2 cNtm min r inf ρ0i N 1 r ∂τ - ρiUi i dxdτ 1 i N [0, 1] 4N sup i U 2 dx + i=1 0 0 + C14 ( C9, C12, ( N inf ρ0i \ N rt , N, c, m, tm i=1 [0,t] 0 1 r i u2 dxdτ. (3.33) [0, 1] i=1 i=1 0 0 Третье слагаемое в правой части (3.28) оценим следующим образом: t r 1 r N i - ρ(1)vUi i ( ∂U (2) \ ∂x ( N rt dxdτ C15 t r 1 r N i u2 dxdτ + 1 r i U 2 dxdτ \ , (3.34) i=1 0 0 ⎛( N i=1 0 0 ⎞ i=1 0 0 где C15 = C15 ⎝ sup ρ0i [0, 1] i=1 , N, c, m, tm ⎠ . Наконец, для последнего слагаемого в правой части (3.28) получаем соотношение t r 1 r N - ρiv(2)Ui i ( ∂U (2) \ ∂x ( N rt dxdτ C16 t r 1 r N i u2 dxdτ + 1 r i U 2 dxdτ \ , (3.35) i=1 0 0 i=1 0 0 i=1 0 0 t где C16 = C16 (C12, N, c, m, tm ) . Таким образом, из (3.28), с учетом (3.29)-(3.35), следует неравенство N 1 ⎛ N rt 1 N r 1 ⎞ r i=1 0 U 2 i dx C17 ⎝ i=1 0 r i u2 dxdτ + 0 i=1 0 r i U 2 dxdτ ⎠ , 0 где C17 = C17 ( C13, C14, C15, C16, ( N inf ρ0i \ , N, c, m, tm , из которого, пользуясь неравенством Гронуолла, получаем оценку N [0, 1] 1 i=1 N tm 1 r U 2 m r r а отсюда - неравенство i=1 0 i i dx C18(C17,t ) i=1 0 u2 dxdt, 0 1ψ(1) - ψ(2)1(C[0,tm ])mN C19(C18, tm)1ξ(1) - ξ(2)1(C[0,tm ])mN , обосновывающее непрерывность оператора A на V. Поскольку оператор A удовлетворяет перечисленным выше условиям теоремы Шаудера, то в V существует неподвижная точка ξ оператора A, определяющая, вместе с соответствующими функциями ρi, ui, i = 1,... , N, решение задачи (3.1)-(3.4). 4. Равномерные оценки и сходимость галеркинских приближений Получим далее равномерные по параметру m оценки решений приближенной начально-краевой задачи (3.1)-(3.4), которые позволят совершить предельный переход при m → ∞. Введем следующее обозначение: N rt α(t) = ( 1 r ∂ui 2 ρi ∂t ∂2ui 2\ + ∂x2 dxdτ, α∗(t) ) 0. (4.1) i=1 0 0 Поскольку уравнения (3.1) влекут выполнение неравенств (3.7), то из этих неравенств следуют оценки C-1 -C20 α(t) C20 α(t) 20 e ρi(t, x) C20e , i = 1,... , N, (4.2) ⎛( где C20 = C20 ⎝ N sup ρ0i ( N , inf ρ0i ⎞ , N,T ⎠ . Далее заметим, что из (3.1) вытекают равен- ства [0, 1] i=1 ∂2 [0, 1] 1 i=1 ∂2 1 ∂2v из которых получаем i ρi ∂t∂x ρ i + ρiv∂x2 ρ = , i = 1,... , N, (4.3) ∂x2 1 d r ∂ ρi 1 2 1 r dx = 2 ∂ 1 ∂2v dx, i = 1,... , N. (4.4) dt ∂x ρi 0 ∂x ρi 0 ∂x2 Из (4.4) следуют соотношения 1 r ∂ 1 2 1 r 1 ∗ 2 ρi ∂x ρi 0 t 1 dx 0 t 1 ρ0i ρ0i dx + (4.5) r r ∂ 1 2 r r 1 ∂2v 2 i + ρi ∂x ρ 0 0 dxdτ + ρi 0 0 ∂x2 dxdτ, i = 1,... , N. Замечание 4.1. При выводе (4.5) нам потребовалась (в (4.3), (4.4)) дополнительная гладкость ρi, i = 1,... ,N по сравнению с (3.5), хотя сами соотношения (4.5) никаких дополнительных требований не предусматривают. Это означает, что (4.5) могут быть получены путем регуляризации ρ0i, i = 1,... , N, вывода (4.5) для решений получившихся задач, а затем предельного перехода по параметру регуляризации. Аналогичным образом следует понимать вывод соотношений (3.23). Из (4.5), пользуясь (4.1), (4.2) и неравенством Гронуолла, получаем оценки 1 r ∂ 1 2 1 r dx + ∂ρi 2 dx C21eC21 α(t), i = 1,... , N, (4.6) ∂x ρi ∂x 0 0 N N C20 где C21 = C21( W , f1ρ0i1 1(0,1) , f inf ρ0i , N,T ik . Далее, умножая (3.2) на ξ∗ + π2k2ξik, 2 i=1 [0, 1] i=1 суммируя по i, k и учитывая (3.1), (3.4), приходим к соотношению (здесь используется симметричность матрицы N) N 1 2 N 1 2 2 N 1 2 r ρ ∂ui dx + ν r ∂ ui ∂ j u 1 d r dx + ∂ui ρ dx + i ∂t i=1 0 ij i,j=1 0 1 ∂x2 ∂x2 2 dt 1 i ∂x i=1 0 1. d N r + νij ∂ui ∂uj N r dx = - ρiv ∂ui ∂ui dx - 2. dt 1 i,j=1 0 ∂x ∂x 1 ∂t ∂x i=1 0 1 r ∂ρ ∂v r r ∂ρ ∂2v N ∂ρi ∂ui ∂ui - K ∂x ∂t 0 N 1 dx + K ∂x 0 2 ∂x2 dx - N ∂x ∂t i=1 0 1 dx + ∂x (4.7) +2 r i ∂ui ∂ ρ v u r dx + a (u ∂ui u ) dx i i=1 0 ∂x ∂x2 N 1 ij i,j=1 0 j - i ∂t - - i,j=1 r aij 0 (uj - ui) ∂2ui ∂x2 dx. Левая часть (4.7) допускает оценку (т. к. N > 0) N 1 2 N 1 2 2 N 1 2 r ρ ∂ui dx + ν r ∂ ui ∂ j 3. 1 d r dx + ∂ui ρ dx + i ∂t i=1 0 ij i,j=1 0 1 ∂x2 ∂x2 2 dt i ∂x i=1 0 (4.8) 1 d + N r νij ∂ui ∂uj dx ) C22(C1)α∗(t)+ β∗(t), где 2 dt ∂x ∂x i,j=1 0 1 1 r 1 N β(t) = ∂ui 2 ρi 1 dx + N r νij ∂ui ∂uj dx. 2 ∂x i=1 0 2 ∂x ∂x i,j=1 0 Рассмотрим отдельно каждое слагаемое в правой части (4.7). Для первого слагаемого в правой части (4.7) имеем N 1 N ⎛ 1 1 2 ⎞ 2 ⎛ 1 1 2 ⎞ 2 i i r ∂u ∂u dx sup v r ∂ui ρ dx r ∂ui ρ dx - i=1 0 ρiv ∂t ∂x | | ⎝ i ∂t i=1 [0, 1] 0 ⎠ ⎝ i ∂x ⎠ 0 (4.9) 23 20 22 C22 α∗(t)+ C (C , C ,N ) β2 14 (t)eC23 α(t), где C23 = C23(C20, C22,N ). Для второго и третьего слагаемых в правой части (4.7) получаем соответственно 1 r ∂ρ ∂v C22 C24 α(t) -K ∂x 0 1 ∂t dx α∗(t)+ C24e 14 , (4.10) r ∂ρ ∂2v K dx C22 α∗(t)+ C25eC25 α(t), (4.11) ∂x ∂x2 14 0 где C24 = C24(C20, C21, C22, K,N ), C25 = C25(C21, C22, K,N ). Для четвертого слагаемого в правой части (4.7) с помощью интерполяционной оценки i r 1 ∂u 1 ⎛ 1 ∂ui 2 1 ⎞ 4 ⎛ 1 r ⎞ 4 1 ∂2ui 2 sup 1 1 √ dx dx 1 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ выводим [0, 1] 1 ∂x 1 ∂x 0 N 1 ∂x2 0 dx r ∂ρi ∂ui ∂ui - ∂x i=1 0 ∂t ∂x 1 1 ⎛ 1 N 1 ∂ui 1 r 1 ∂ρi 2 ⎞ 2 ⎛ 1 r ⎞ 2 ∂ui 2 (4.12) 1 1 ⎝ sup 1 1 dx⎠ ⎝ ρi dx⎠ i=1 [0, 1] 1 ∂x 1 C22 ρi ∂x ∂t 0 0 C26 α(t) α∗(t)+ C26 β(t)e 14 , C26 = C26(C20, C21, C22,N ). Для пятого слагаемого в правой части (4.7) получаем N 1 2 i r ∂u ∂ ρ v ui dx i ∂x i=1 0 ∂x2 1 1 N ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 r 2 sup |v| sup √ρi ⎝ ∂ui 2 ρi r dx⎠ ⎝ 1 ∂2ui 2 dx⎠ (4.13) i=1 [0, 1] C22 [0, 1] ∂x 0 2 C27 α(t) ρi ∂x2 0 α∗(t)+ C27 β 14 (t)e , C27 = C27(C20, C22,N ). Наконец, для последних двух слагаемых в правой части (4.7) выводим соответственно соотношения N aij i,j=1 1 r (uj - ui) 0 ∂ui ∂t dx C22 14 α∗(t)+ C28β(t)eC28 α(t), (4.14) 1 r N ∂2ui C22 C α(t) - i,j=1 aij 0 (uj - ui) ∂x2 dx α∗(t)+ C29β(t)e 29 14 , (4.15) где C28 = C28(C20, C22, {aij }i,j=1,N ), C29 = C29(C20, C22, {aij }i,j=1,N ). Таким образом, из (4.9)- N N (4.15) следует, что правая часть (4.7) N 1 1 1 2 dx r ∂ui ∂ui r ∂ρ ∂v r K dx + K ∂ρ ∂ v dx - i=1 0 ρiv ∂t ∂x N 1 - ∂x ∂t 0 N 1 ∂x ∂x2 - 0 2 i i i r ∂ρ ∂u ∂u r dx +2 ∂ui ∂ ρ v ui dx + - ∂x i=1 0 N 1 r ∂t ∂x ∂ui i i=1 0 N 1 r ∂x ∂x2 ∂2ui (4.16) C22 + aij i,j=1 0 (uj - ui) 2 ∂t C30 α(t) dx - aij i,j=1 0 (uj - ui) ∂x2 dx α∗(t)+ C30(1 + β 2 (t))e , C30 = C30(C23, C24, C25, C26, C27, C28, C29). В итоге, объединяя соотношения (4.8) и (4.16), получаем из (4.7) неравенство C22 ∗ C31 ( C22 α(t)+β(t) α(t)+ β(t) 2 C31e 2 , C31 = C31(C22, C30). (4.17) Зададим любое C32 > β(0), например, C32 = 2β(0). Тогда при из (4.17) получаем оценку ( t0 = min T, e-C31 β(0) - e-C31 C32 \ C 2 31 (4.18) sup 0 t t0 (α + β) 2 1+ C22 C33, C33 = 1 C31 1 ln , 31t e-C31 β(0) - C2 0 из которой и (3.1), (4.2), (4.6) следует, что N ( 1ρi1L (0,t ;W 1(0,1)) + 1ui1L (0,t ;W 1(0,1)) + 1ui1L (0,t ;W 2(0,1)) + i=1 ∞ 0 2 1 ∂ρi 1 ∞ 0 2 1 ∂ui 1 1 1 1 2 0 2 (4.19) 1 1 1 1 1 1 + + + 1 1 1 1 1 1 C34, 1 ∂t 1L (0,t ;L (0,1)) 1 ∂t 1L (Q ) 1 ρi 1L (Q ) ∞ 0 2 2 t0 ∞ t0 где Qt0 = (0, t0) × (0, 1), C34 = C34 (C20, C21, C22, C33,N ) . Таким образом, построив решения (ρm,... , ρm, um,... , um) задач (3.1)-(3.4) при всех m ∈ N, 1 N 1 N а затем при необходимости продолжив их на интервал (0, t0), мы можем использовать для них оценку (4.19). На основании этой оценки может быть выделена подпоследовательность (которую мы обозначим так же, далее эта процедура также будет подразумеваться при необходимости), для которой при m →∞ для всех i = 1,... ,N имеют место сходимости i → ρi *-слабо в L∞(0, t0; W2 (0, 1)), ρm 1 i → ui *-слабо в L∞(0, t0; W2 (0, 1)) и слабо в L2(0, t0; W2 (0, 1)). um 1 2 Кроме того, оставшиеся свойства, перечисленные в (2.5), выполнены для нашей подпоследовательности в Qt0 равномерно по m, а значит, предельные функции попадают в соответствующие m классы. Покажем, что совокупность функций (ρ1,... , ρN , u1,... , uN ) является сильным решением задачи (2.1)-(2.4) на (0, t0). Из равномерных оценок ρm, um в L (0,t ; W 1(0, 1)) и ∂ρi ∂um , i в L (Q ) (см. (4.19)) получаем i i ∞ 0 2 ∂t ∂t 2 t0 по теореме Арцела-Асколи [19, теорема 1.70, с. 58] сходимости m ρi → ρi при m →∞ сильно в C([0, t0]; L2(0, 1)), i = 1,... , N, (4.20) m ui → ui при m →∞ сильно в C([0, t0]; L2(0, 1)), i = 1,... , N. (4.21) Из ограниченности i ∂um ∂t в L2(Qt0 ) следует равномерная оценка i ∂2um ∂t∂x 2 в L2(0, t0; W -1(0, 1)), что вместе с оценкой i ∂um ∂x 2 в L2(0, t0; W 1(0, 1)) приводит, по теореме Обена-Лионса [19, теорема 1.71, с. 59], к сходимостям i ∂um ∂x → ∂x 2 t0 ∂ui при m →∞ сильно в L (Q ), i = 1,... , N. (4.22) Отсюда и из (4.21) следуют соотношения m ui → ui при m →∞ сильно в L2(0, t0; C[0, 1]), i = 1,... , N. (4.23) Таким образом, предельные функции ρi, ui, i = 1,... , N, удовлетворяют уравнениям неразрыв- N ности (2.1) почти всюду в Qt0 , в которых v = j=1 αjuj, начальным условиям (2.3) для почти всех 4. ∈ (0, 1) и граничным условиям (2.4) для почти всех t ∈ (0, t0). i ∂um ∂um ∂ui Из ограниченности m ∂t в L2(Qt0 ) следует слабая сходимость i к ∂t ∂t в L2(Qt0 ), что вместе с (4.20) и ограниченностью ρm ∂ui в L (Q ) влечет ∂um ρm i i ∂t ∂ui 2 t0 i ∂t → ρi ∂t при m →∞ слабо в L2(Qt0 ), i = 1,... , N. Далее, из (4.20) и (4.22) следует, что m ρm ∂ui ∂ui i ∂x → ρi ∂x при m →∞ сильно в L2(0, t0; L1(0, 1)), i = 1,... , N, откуда и из (4.23) получаем для всех i, j = 1,... ,N сходимости ρ i u m ∂um m i ∂x j → ∂ui ρi ∂x uj при m →∞ сильно в L1(Qt0 ). (4.24) Из (3.2) следует, что для любых функций вида (i = 1,... ,N ) M ϕi = ηik (t) sin(πkx), ηik ∈ C[0, t0], k = 1,... , M, M m, (4.25) k=1 выполнены равенства (i = 1,... ,N ) t0 1 r r ∂um m ∂ρm N ∂2um N ρm i m m ∂ui j m m i + ρi v ∂t 0 0 + αiK ∂x ∂x - j=1 νij ∂x2 - j=1 aij (uj - ui ) ϕi dxdt = 0, (4.26) переходя в которых, благодаря полученным выше сходимостям, к пределу при m → ∞, получаем, поскольку множество функций ϕi, i = 1,... ,N вида (4.25) всюду плотно в L2(Qt0 ), справедливость уравнений баланса импульсов (2.2) для предельных функций ρi, ui, i = 1,... ,N п. в. в Qt0 , N в которых ρ = ρi. i=1 Таким образом, доказано существование решения начально-краевой задачи (2.1)-(2.4) в малом по времени. Чтобы продолжить решение с интервала (0, t0) на весь рассматриваемый интервал (0,T ), необходимо для локального решения получить априорные оценки, константы в которых зависят лишь от данных задачи и от величины T, но не от малого параметра t0 (см., например, [2, с. 46]). 5. Глобальные априорные оценки При дальнейшем исследовании однозначной разрешимости задачи (2.1)-(2.4) иногда будет удобнее пользоваться массовыми лагранжевыми координатами. Возьмем за новые независимые x r переменные t и y(t, x) = 0 ρ(t, s) ds. Тогда уравнения (2.1), (2.2) примут вид i ∂ρ + ρρ v ∂ = 0, i = 1,... , N, (5.1) ∂t i ∂y N N ρi ∂ ∂ + α K ∂ ∂ 1 ρ + a (u u ), i = 1,... , N, (5.2) ui ρ ∂t N ρ i ∂y = j=1 N νij ∂y uj ∂y ρ j=1 ij j - i v = αj , = . Область Q при таком переходе отображается в прямоугольник где j=1 uj ρ ρj T j=1 1 r ΠT = (0, d) × (0,T ), где d = 0 ются к виду N ρ0 dx > 0, ρ0 = ρ0j, начальные и граничные условия преобразуj=1 ρi|t=0 = ρ0i , ui|t=0 = u0i , i = 1,... , N, (5.3) ui|y=0 = ui|y=d = 0, i = 1,... , N. (5.4) Приступим к выводу априорных оценок. Отметим сначала, что суммируя (5.1) по i, получаем 2 v ∂ρ ∂ + ρ поэтому ∂t ∂y = 0, (5.5) ∂ ρi = 0, i = 1,... , N. ∂t ρ Отсюда и из (5.3) тогда следует, что для всех i = 1,... ,N i ρ (t, y) ρ0i = (y) , (5.6) ρ0(y) N ρi ρ0 = . В эйлеровых переменных отношения удовлетворяют уравнениям переноса и где j=1 ρ0j ρ в этом случае мы имеем только неравенства 0 < min inf ρ0i ρi(t, x) max sup ρ0i 1 i = 1,... , N. (5.7) 1 i N [0, 1] ρ0 ρ(t, x) 1 i N [0, 1] ρ0 Умножим далее уравнения (2.2) на ui, проинтегрируем по x и просуммируем по i. Учитывая, что в силу (2.1), (2.4) и условия N > 0, имеют место соотношения N 1 N 1 r ( ∂ui ∂ui 1 d r 2 i=1 0 r N 1 ρi ∂t + ρiv ∂x 1 ui dx = 2 dt 1 i=1 0 ρiui dx, αiK i=1 0 ∂ρ r ui ∂x dx = -K 0 ∂v d r ρ dx = K ∂x dt 0 (ρ ln ρ - (ln d + 1)ρ + d) dx, N νij 1 r ∂2uj N ui dx = - νij 1 r ∂ui ∂uj r N 1 dx -C1 ∂ui 2 dx, (5.8) i,j=1 0 ∂x2 ∂x ∂x i,j=1 0 ∂x i=1 0 получим неравенство r d 1 ( 1 N \ ρiu2 + K (ρ ln ρ - (ln d + 1)ρ + d) dx + dt 2 0 N i i=1 1 N 1 (5.9) + C1 r r ∂ui 2 ∂x 1 dx + 2 aij (ui - uj )2dx 0. i=1 0 i,j=1 0 Неравенство (5.9) проинтегрируем по t, используя (2.3), получим r 1 ( 1 N \ N rt 1 r ∂ui 2 i 2 ρiu2 + K (ρ ln ρ - (ln d + 1)ρ + d) 0 i=1 dx + C1 i=1 0 0 dxdτ + ∂x (5.10) 1 N rt + aij 2 i,j=1 0 1 r (ui - uj )2dxdτ 0 1 r 1 2 0 N 0i ρ0iu2 i=1 + K (ρ0 ln ρ0 - (ln d + 1)ρ0 + d) dx, откуда и из (5.7) следует оценка N 1 1 r i=1 0 r i ρu2dx + 0 (ρ ln ρ - (ln d + 1)ρ + d) dx + (5.11) N T 1 2 N T 1 + r i=1 0 r ∂ui ∂x 0 dxdt + r i,j=1 0 N r (ui - 0 uj )2dxdt C35, где C35 = C35 ( C1, inf ρ0i N ( , sup ρ0i , 1u0i1 { N L2 (0,1) i=1 N , K, {aij }i,j=1, N,d . Перепи- [0, 1] ρ0 i=1 [0, 1] i=1 шем (5.11), используя массовые лагранжевы координаты, в виде N d d u2 ρ ln ρ (ln d + 1)ρ + d r i=1 0 r i dy + 0 - dy + ρ (5.12) ρ N T d u 2 N T d (u u )2 + r r ∂ i dydt + r r i - j ρ dydt C35. ∂y i=1 0 0 i,j=1 0 0 Заметим, что из оценки (5.11), ввиду (2.4), очевидно вытекает неравенство N T 2 r sup u dt C . (5.13) i=1 0 | i| 35 [0, 1] Воспользуемся теперь записью уравнений (2.1), (2.2) в форме (5.1), (5.2). Перепишем уравнения (5.2) в виде N ⎛ N ρj ∂uj ⎞ ∂ρ ∂ ∂ui 1 N νij νij j ρ + νij jk uk uj j=1 ⎝ + K ρ ∂t j=1 α ⎠ ∂y = ∂y ∂y ρ j,k=1 a ( - ), i = 1,... , N, (5.14) где νij - элементы симметричной матрицы N = N-1 > 0. Затем умножим (5.14) на αi и просуммируем по i, получим, с учетом (5.6), что N ρ0j ∂uj ∂ρ ∂ ∂v 1 N νij i ρ + αi a ( - ), (5.15) i,j=1 α + K = 0 ρ ∂t ∂y ∂y ∂y ρ i,j,k=1 νij jk uk uj N где K = K α α = const > 0. Выражая из уравнения (5.5) i,j=1 νij i j ∂v ρ ρ - = ∂ ln (5.16) ∂y ∂t и подставляя в (5.15), приходим к равенству ρ ρ N N ρ0j ∂uj 1 ∂2 ln ∂ + K = - α + α a ( - ). ∂ ln ρ i,j=1 νij i ρ i,j,k=1 iνij jk uk uj Умножим это равенство на d и проинтегрируем по y, получим соотношение ∂y d d ρ 2 r ρ 2 N r ρ0j uj ρ 1. d r 2. dt 0 ∂ ln ∂y dy + K ρ 0 ∂ ln ∂y dy = - νijαi i,j=1 0 ∂ 0 ρ ∂t ∂ ln ∂y dy + d N (5.17) r uk uj ∂ ln ρ νij + i,j,k=1 αi ajk - ρ 0 dy. ∂y Правую часть (5.17) преобразуем, интегрируя по частям и используя (5.16): d N u ρ d N ρ ρ νij r ρ0j ∂ j 0 i ∂ ln d dy = - α r 0j ∂ ln dy + - α i,j=1 0 ρ ∂t ∂y dt i,j=1 ρ j νij i 0 u 0 ∂y (5.18) N v N d ρ ρ ∂u ∂v 0 + νijαi d r ρ0j ∗ ∂ dy + α r 0j j dy. i,j=1 ρ ρ uj ∂y 0 i,j=1 0 νij i ρ ∂y ∂y 0 Таким образом, после интегрирования (5.17) по t, учитывая (5.18), находим d r ∂ ln ρ 2 ∂y 0 t r dy + 2K 0 d r ∂ ln ρ 2 ρ ∂y 0 dydτ d 0 - r ((ln ρ )∗)2 dy 0 r N d νij - 2 αi ρ0j 0 ρ ∂ ln ρ uj ∂y N dy +2 d r νijαi ρ0j 0 ρ u0j ρ0 (ln )∗dy + i,j=1 0 r N d i,j=1 v N 0 d ρ ρ ∂u ∂v (5.19) 0 +2 νijαi ρ0j ∗ ∂ dy +2 α r 0j j dy + i,j=1 ρ ρ uj ∂y t d 0 i,j=1 0 νij i ρ ∂y ∂y 0 N r u u ∂ ln ρ r k j νij +2 i,j,k=1 αi ajk - ρ 0 0 dydτ. ∂y Используя полученные выше оценки, отсюда выводим неравенство d r 0 (1 ρ0i 1 ∂ ln ρ 2 ∂y N T d r r dy + ρ 0 0 ∂ ln ρ 2 ∂y dydt C36 , (5.20) N где C36 = C36 C35, 1 1 , 1 (ln )∗ 1L2 (0,d), {a }i,j=1, { 1 2 i=1 , K, N, N,T,d . 1 ρ0 1 1W 1 ρ0 ij N 1u0i L (0,d) 1 2 (0,d) i=1 Далее, из (5.3)-(5.5) очевидно следует, что при каждом t ∈ [0,T ] хотя бы в одной точке δ(t) ∈ [0, d] ρ(t, δ(t)) = d. (5.21) Следовательно, можно воспользоваться представлением y ρ(t, y) = ln ρ(t, δ(t)) + r δ(t) ρ( ∂ ln t, s) ∂s ds, из которого по неравенству Гельдера, с учетом (5.20) и (5.21), имеем √ 1 ∂ ln 1 d | ln ρ(t, y)| | ln d| + Отсюда непосредственно следует, что 1 1 1 1 ∂y ρ 1 1 1L2 (0,d) 1 C37 (C36 , d). 38 37 C (C ) ρ(t, y) C38(C37) ⇒ Из (5.6) и (5.22) получаем, что для всех i = 1,... ,N C38 ρ(t, x) C38. (5.22) где C39 = C39 ( C38, ( inf ρ0i N ρ0 C39 ρi(t, y) C38, (5.23) \ . Значит, для всех i = 1,... ,N [0, d] i=1 C39 ρi(t, x) C38. (5.24) Из (5.6) и (5.20) тогда следует, что 1 r ∂ρi 2 ∂x 0 dx C40, i = 1,... , N, (5.25) ⎛ ( ρ N (1 ρ ∗1 N ⎞ где C40 = C40 ⎝C36, C38, inf 0 ρ0i 1 1 1 , 0 1 ρ0i ⎠ , а поэтому [0, d] i=1 1 1 1L2 (0,d) i=1 r ∂ρ 2 ∂x 0 dx C41(C40,N ). (5.26) Возведем теперь в квадрат уравнения (2.2), поделим на ρi и просуммируем по i, получим N ∂ui 2 N ⎛ N 1 ⎞2 ∂2uj ⎛ N ∂ui N ⎞ ∂2uj ρi ∂t i=1 + i ρ i=1 ⎝ j=1 νij ∂x2 ⎠ - 2 i=1 ∂t ⎝ j=1 νij ∂x2 ⎠ = N ⎛ ∂ui ⎞ 2 αiK ∂ρ 1 N (5.27) i ⎝ = ρ v + ∂x i=1 Введем следующее обозначение: ρi ∂x - ρi aij (uj - ui)⎠ . j=1 N θ(t) = νij 1 r ∂ui ∂uj N rt dx + 1 ⎛ r ⎝ρi ∂ui 2 + ⎛ N 1 ⎝ νij ∂2uj ⎞2⎞ ⎠ ⎠ dxdτ. (5.28) ∂x ∂x i,j=1 0 i=1 0 0 ∂τ ρi j=1 ∂x2 Тогда из (5.27) и неравенств (5.8), (5.24) и (5.26) следует, что (здесь используется симметричность матрицы N) ⎛ N ⎝ θ∗(t) C42 + C43 j=1 2 ∞ 1uj 1L ⎞ (0,1)⎠ θ(t), (5.29) }i,j=1 где C42 = C42(C35, C39, C41, {aij N , K,N ), C42 = C42(C1, C38,N ), откуда и из неравенства Гронуолла (см. также (5.13)) получаем, что 0i θ(t) C44 (C35, C42, C43, {1u∗ 1L2 (0,1) N }i=1 , N, N,T ) . (5.30) Из (5.30) непосредственно следует оценка ( N 1 r i=1 0 ∂ui 2 ∂x T r dx + 0 1 r ∂ui 2 ∂t 0 T r dxdt + 0 1 r ∂2ui 2 ∂x2 0 \ dxdt C45, (5.31) где C45 = C45(C1, C38, C39, C44,N ). Наконец, из уравнений неразрывности (2.1) и оценок (5.24), (5.25) и (5.31) получаем, что 1 r ∂ρi 2 ∂t 0 dx C46(C38, C41, C45,N ), i = 1,... , N. Тем самым получены все оценки, необходимые для продолжения решения начально-краевой задачи (2.1)-(2.4) с интервала (0, t0) на интервал (0,T ). Для завершения доказательства теоремы 2.1 осталось обосновать единственность решения начально-краевой задачи (2.1)-(2.4). 6. Единственность решения Пусть (ρ(1),... , ρ(1), u(1),... , u(1)) и (ρ(2),... , ρ(2), u(2),... , u(2)) - два решения задачи начально- 1 N 1 N 1 N 1 N N N краевой задачи (2.1)-(2.4), v(1,2) = αju(1,2), ρ(1,2) = ρ(1,2). Положим ρi = ρ(1) - ρ(2), ui = u(1) (2) j j=1 j i i j=1 i - ui , i = 1,... , N, v = v(1) - v(2), ρ = ρ(1) - ρ(2). Из (2.1), (2.3) следуют равенства (см. (3.24)) ∂ρi + ∂ (ρiv (1)) i ∂ (ρ(2)v + = 0, ρ = 0, i = 1,... , N. (6.1) ∂t ∂x ∂x i|t=0 Умножая (6.1) на 2ρi и интегрируя по x, получаем 1 d r ρ2 ( r 2 1 ( ∂v(1) \ (2) ∂v i ( ∂ρ(2) \\ dt i dx = - ρi 0 0 ∂x + 2ρi ρi ∂x + 2ρiv ∂x dx, i = 1,... , N. (6.2) Слагаемые в правой части (6.2) можно оценить следующим образом: 1 ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 r ( ∂v(1) \ N 1 ∂u 1 r (1)1 - ρ2 dx ⎝ 1 j 1 ⎠ ⎝ ρ2 dx⎠ , i = 1,... , N, (6.3) i ∂x 0 1 1 ∂x j=1 1 i ∞ 1L (0,1) 0 1 ⎛ 1 ⎞ N 1 2 r (2) ∂v 1 1 (2)12 r 2 r ∂uj -2 ρi ρi 0 i dx 1ρ ∂x 1 ∞ 1L (QT ) ⎝ 0 ρi dx⎠ + N j=1 0 dx, i = 1,... , N, (6.4) ∂x r r 1 ( ∂ρ(2) \ 1 r 1 ∂ρ(2) 12 1 -2 ρiv i dx 2 ρ2 dx + 1 i 1 1v1 ρ2 dx + ∂x i 0 0 1 1 1 1 ∂x 1 ∞ 2 1L (0,T ;L (0,1)) L∞ (0,1) i 0 1 (2) 12 ⎛ N 1 2 ⎞ (6.5) 1 1 + N 1 ∂ρi 1 1 1 r ∂uj ⎝ dx⎠ , i = 1,... , N. В силу включений 1 ∂x ∞ 1L (0,T ;L2(0,1)) ∂x j=1 0 ρ(2) i ∈ L∞(QT ), ∂u(1) ∂ρ(2) i ∂x ∈ L∞(0,T ; L2(0, 1)), i = 1,... , N, i ∂x ∈ L2(0,T ; L∞(0, 1)), i = 1,... , N, выводим оценки 1 1 ρ2 d r r dt i dx C47(t) 1 r N i ρ2 dx + C48 ∂uj 2 ∂x dx, i = 1,... , N, где 0 ⎛⎧1 0 1 ⎫N j=1 0 ⎞ ⎨1 ∂u(1) 1 ⎬ f N ρ ⎟ , C47 = C47 ⎜ 1 i 1 ⎝ 1 1 (2) 1 i 1L∞(QT ) i=1⎠ , C47 ∈ L2(0,T ), ⎩1 ∂x ∞ 1L (0,1)⎭ i=1 ⎛⎧1 1 ⎫N ⎞ ⎨1 ∂ρ(2) 1 ⎬ C48 = C48 ⎜ 1 i 1 ⎝ 1 1 ,N ⎟ . ⎩1 ∂x ∞ 1L (0,T ;L2(0,1))⎭ ⎠ i=1 Поэтому, применяя неравенство Гронуолла, приходим к неравенствам 1 t r N r ρ2 i dx C49 (1C471L1 (0,T ), C48) 1 r ∂uj 2 ∂x dxdτ, i = 1,... , N. (6.6) 0 j=1 0 0 Далее, из уравнений (2.2) и краевых условий (2.4) следует равенство (см. (3.28)) 1 1. d N r 1 N r ∂u ∂u ρ(1) 2 i j dx + 2. dt 1 i=1 0 i ui dx + i,j=1 1 νij ∂x ∂x 0 1 1 N r + aij 2 r (ui - uj )2 dx = K ∂v ρ ∂x N r dx - ρiui i ( ∂u(2) \ ∂t dx - (6.7) i,j=1 0 N 1 0 ( ∂u(2) \ i=1 0 N 1 ( ∂u(2) \ r - i=1 0 i ρ(1)vui i ∂x dx - r i=1 0 ρiv (2)ui i ∂x dx, из которого вытекает соотношение ⎛ N 1 t N r 1 ∂u ⎞ 1 d 1 r (1) 2 r ∂ui j r ∂v dt ⎝ 2 i=1 0 ρi ui dx + i,j=1 νij ∂x 0 0 ∂x dxdτ ⎠ K ρ 0 ∂x dx - (6.8) N 1 ( ∂u(2) \ N 1 ( ∂u(2) \ N 1 ( ∂u(2) \ r - i=1 0 ρiui i ∂t dx - r i=1 0 i ρ(1)vui i ∂x dx - r i=1 0 ρiv (2)ui i ∂x dx. Оценим слагаемые в правой части соотношения (6.8) следующим образом: 1 r ∂v K ρ ∂x dx N 1 C1 r 4 ∂ui 2 ∂x r N 1 dx + C50 (C1, K,N ) i ρ2 dx, (6.9) 0 N 1 ( ∂u(2) \ i=1 0 N 1 2 ⎛ ⎧1 (2) 1 i=1 0 ⎫N ⎞ N 1 r i C1 r ∂ui ⎜C , ⎨1 ∂ui 1 ⎬ r 2 - i=1 0 ρiui ∂t dx 4 ∂x i=1 0 ⎛ 1 dx + C51 ⎝ 1 1 ⎩ 1 N 1 ⎟ ∂t 1 ⎠ 1L2(0,1)⎭i=1 ⎞ i=1 0 ρi dx, (6.10) N 1 ( ∂u(2) \ ⎧1 (2) 1 ⎫ N 1 r (1) i ⎜⎨1 ∂ui 1 ⎬ ⎟ 1 r (1) 2 - i=1 0 ρi vui 1 1 ∂x dx C52 ⎝ 1 ⎩ 1 1 ,N ∞ i=1 ∂x 1L (0,1)⎭ ⎠ 2 i=1 0 ρi ui dx, (6.11) 1 N 1 ( ∂u(2) \ N - ρiv(2)ui i dx C53 r f (2) 1u 1 N ,N r ρ2 dx + i=1 0 ⎛⎧1 ∂x 1 ⎫N i ⎧1 (2) 1 L∞(QT ) ⎫N i=1 ⎞ i i=1 0 N 1 (6.12) 1 1 1 ∂u 1 i 1 ⎟ 1 r u2 (1) + C54 ⎜⎨1 1 ⎬ , ⎨1 1 ⎬ ρ i dx, ⎝⎩1 ρ(1) 1 ⎭ ⎩1 1 ⎭ ⎠ 2 i ∞ 1 i 1L (QT ) i=1 1 ∂x ∞ 1L (0,1) i=1 i=1 0 где C51, C54 ∈ L1(0,T ), C52 ∈ L2(0,T ). Таким образом, из (6.8), с учетом уже доказанного соотношения (см. (6.6)) N 1 N rt 1 2 r ρ2 C1 r ∂ui следует неравенство i=1 0 i dx C55(C1, C49,N ) 2 i=1 0 0 dxdτ, ∂x ⎛ N 1 t N r 1 2 ⎞ ⎛ N 1 d 1 r (1) 2 C1 r ∂ui 1 r (1) 2 dt ⎝ 2 i=1 0 ρi ui dx + 2 i=1 0 0 ∂x dxdτ ⎠ C56 ⎝ 2 i=1 0 ρi ui dx + (6.13) t C1 N r + 2 1 r ∂ui 2 ∂x ⎞ dxdτ ⎠ , i=1 0 0 где C56 = C56(C50, C51, C52, C53, C54, C55), C56 ∈ L1(0,T ), из которого получаем тождества ρi ≡ 0, ui ≡ 0, i = 1,... , N, завершающие доказательство теоремы 2.1. 7. Заключение Для начально-краевой задачи о движениях сжимаемой вязкой смеси проведено исследование однозначной разрешимости. В исследуемых уравнениях, являющихся некоторыми обобщениями известной системы уравнений Навье-Стокса, присутствуют старшие производные (производные второго порядка) от полей скоростей всех компонент, поскольку, в отличие от уравнений Навье- Стокса, в которых коэффициент вязкости является скаляром, в случае смеси, ввиду составной структуры тензоров вязких напряжений, коэффициенты вязкостей образуют матрицу вязкостей, элементы которой отвечают за вязкое трение. За вязкое трение внутри каждой компоненты отвечают диагональные элементы, а за трение между компонентами - недиагональные. Это не позволяет автоматически распространить известные результаты для уравнений Навье-Стокса на случай смеси. В случае диагональной матрицы вязкостей уравнения будут связаны только через младшие члены. В работе рассматривается более сложный случай недиагональной матрицы вязкостей. Доказывается существование и единственность сильного решения начально-краевой задачи без каких-либо упрощающих предположений о структуре матрицы вязкостей, кроме стандартных физических требований симметричности и положительной определенности.

About the authors

V. Yu. Nogovishcheva

Novosibirsk State University

Author for correspondence.
Email: v.nogovishcheva@g.nsu.ru
Novosibirsk, Russia

D. A. Prokudin

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Altai State University

Email: prokudin@hydro.nsc.ru
Novosibirsk, Russia; Barnaul, Russia

References

Supplementary files