Diffusion of quantum states generated by a classical random walk

Full Text

1. Введение В настоящей работе будет исследована эволюция множества квантовых состояний, порождаемая случайными блужданиями в евклидовом координатном пространстве E классической системы, при квантовании которой возникает гильбертово пространство векторных состояний H = L2(E). Случайным блужданием в евклидовом пространстве E называется последовательность E-значных случайных процессов {ηn(t), t ∈ R+}, допускающая представление n t \ ηn(t) = , ξk( , n ∈ N, t ) 0, (1.1) n k=1 где {ξk } - последовательность независимых одинаково распределенных E-значных случайных процессов, заданных на некотором вероятностном пространстве (Ω, F , P). Унитарное представление π в гильбертовом пространстве H абелевой группы E каждому случайному процессу ξ со значениями в пространстве E сопоставляет операторнозначный случайный процесс со значениями в унитарной абелевой алгебре операторов сдвига аргумента: π(ξ(t)) = Sξ(t), t ) 0, где Sξ(t)u(x) = u(x + ξ(t)), x ∈ E, t ) 0; u ∈ H. image © Ю. Н. Орлов, В. Ж. Сакбаев, 2025 image This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 275 276 Ю. Н. ОРЛОВ, В. Ж. САКБАЕВ Для операторнозначных процессов π(ηn) со значениями в группе унитарных преобразований пространства H, являющихся образами случайных блужданий (1.1) под действием унитарного представления π, в работах [9, 16, 17] получены предельные теоремы, устанавливающие сходимость по распределению и сходимость по вероятности операторнозначных случайных процессов. В настоящей работе исследуется предельные свойства представления случайных блужданий (1.1) в пространстве квантовых состояний. Исследование представления квантовых систем с помощью вероятностных мер проведено в работе [3]. В работе [18] приведен пример динамики квантовых состояний с разрушением чистых состояний, порожденной сингулярным гамильтонианом. В работах [5, 12] исследуются случайные операторы со значениями в пространстве ограниченных линейных преобразований банахова пространства T1(H) ядерных операторов в пространстве H, снабженного следовой нормой [6]. В [13] исследованы свойства квантовых каналов, порождаемых некоммутативными стационарными случайными процессами. В работе [7] предложена схема получения квантовых динамических полугрупп в пространстве квантовых состояний за счет усреднения по сверточной полугруппе гауссовских мер на множестве преобразований квантовых состояний, порожденных унитарными группами в пространстве векторных состояний. В настоящей статье эта схема исследована в случае гауссовских мер на подгруппе унитарных преобразований, порождаемых сдвигами аргумента. Исследовано представление τ случайных блужданий (1.1) в пространстве T1(H), задаваемых на чистых векторных состояниях ρu = |u∗(u|, u ∈ S1(H) равенством Tξ (ρu) = SξρuS-ξ = ρSξ u, продолженным по линейности и непрерывности на все пространство ядерных операторов T1(H). В настоящей работе исследована полугруппа T, реализующая представление τ в пространстве T1(H) сверточной полугруппы центрированных гауссовских мер на пространстве E. Теоремой 3.1 установлена сильная непрерывность полугруппы T и показано, что она является квантовой динамической полугруппой. Установлено, что существенной областью определения генератора этой полугруппы T в пространстве ядерных операторов является линейная оболочка операторов плотности чистых векторных состояний, соответствующих векторам из пространства Шварца. Доказано, что для произвольной орбиты Ttρ, t ) 0, полугруппы T однопараметрическое семейство интегральных ядер операторов Ttρ, t ) 0, является решением задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка с вырожденным оператором диффузии. Установлена взаимосвязь дифференцируемости функции Ttρ, t ) 0, со значениями в пространстве ядерных операторов T1(H) и дифференцируемости интегральных ядер однопараметрического семейства операторов плотности. С помощью полученного описания генератора квантовой динамической полугруппы T установлена сходимость к этой полугруппе представления в пространстве ядерных операторов T1(H) центрированных случайных блужданий вида (1.1). 2. Основные определения и обозначения Пусть E - конечномерное евклидово пространство размерности d, λ - мера Лебега на пространстве E, H = L2(E, λ, C) - пространство комплекснозначных квадратично интегрируемых по мере Лебега функций на пространстве E. Пусть B(H) - банахово пространство ограниченных линейных операторов, действующих в пространстве H. Через T1(H) обозначим банахово пространство действующих в H ядерных операторов, наделенное следовой нормой. Пусть B(H)∗ - банахово пространство, сопряженное пространству B(H). Для произвольного нормированного пространства X единичная сфера пространства X обозначается через S1(X ), и пусть X 1 - единичный шар в X . Множество Σ(H) состояний квантовой системы в гильбертовом пространстве H представля- + ет собой пересечение единичной сферы S1(B(H)∗) с конусом B(H)∗ неотрицательных элементов пространства, сопряженного банахову пространству ограниченных линейных операторов B(H), наделенному операторной нормой [4]. Множество нормальных квантовых состояний, обладающих свойством непрерывности относительно ультраслабой топологии [8], представимо как пересечение единичной сферы S1(T1(H)) с конусом T1(H)+ неотрицательных элементов пространства T1(H) ядерных операторов, предсопряженного банахову пространству ограниченных линейных операторов B(H), наделенному операторной нормой [4, 8]. ДИФФУЗИЯ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ, ПОРОЖДАЕМАЯ КЛАССИЧЕСКИМ СЛУЧАЙНЫМ БЛУЖДАНИЕМ 277 Евклидово пространство E как абелева топологическая группа относительно операции сложения элементов имеет непрерывное в сильной операторной топологии унитарное представление π : E → B(H) в пространстве H: где π(h) = Sh, Shu(x) = u(x + h), x ∈ E, u ∈ H. Как известно, если h - центрированный гауссовский случайный вектор пространства E, обладающий ограниченным ковариационным оператором D, то однопараметрическое семейство операторов Vt, t ) 0, задаваемое равенством image Vtu(x) = M[S√thu(x)], t ) 0, x ∈ E, u ∈ H, является однопараметрической сильно непрерывной полугруппой самосопряженных сжатий в пространстве H, реализующей представление в пространстве H сверточной полугруппы гауссовских мер γtD, t ) 0. При этом непрерывная функция ±u(t)±H монотонно убывает и стремится к нулю при t → +∞. Заметим, что сверточная полугруппа γtD, t ) 0, гауссовских мер имеет также представление в банаховом пространстве L1(E). Образом полугруппы γtD, t ) 0, при таком представлении является сильно непрерывная полугруппа сжимающих преобразований в пространстве L1(E), сохраняющих конус неотрицательных функций в L1(E) и L1(E)-норму в этом конусе. Далее символом (·, ··∗ : T1(H) × B(H) → C обозначим двойственность между банаховым пространством ядерных операторов T1(H) и банаховым пространством ограниченных линейных операторов B(H), действующую по правилу (ρ, A∗ = Tr(ρA). В настоящей работе мы исследуем представление сверточной полугруппы γtD, t ) 0, гауссовских мер в пространстве ядерных операторов T1(H) (см. [15]). Будет установлено, что такое представление может быть задано отображением π(γD) = T, где T = {Tt, t ) 0} - однопараметрическое семейство операторов в пространстве T1(H), при каждом t ) 0 действующих на произвольный оператор ρ ∈ T1(H) согласно равенству r (Tt(ρ), A∗ = E h (ShρS∗ , A∗dγtD(h), ∀ A ∈ B(H). (2.1) 3. Основные результаты Сначала опишем динамику оператора состояния, связанную с гауссовскими случайными блужданиями. 1 Лемма 3.1. Пусть ρ ∈ Σn(H) = S+(T1(H)). При каждом t ) 0 усреднение сдвигов квантового состояния ρ r h ShρS∗ dγtD(h) ≡ σ(t, ρ) (3.1) E является нормальным квантовым состоянием. Доказательство. Действительно, усредненное состояние σ(t, ρ) действует на произвольный оператор ∀ A ∈ B(H) согласно равенству (2.1): r (σ(t, ρ), A∗ = E image image th (S√thρS∗√ r , A∗dγD(h) = E h (ρ, S∗ ASh∗dγtD(h). Поэтому σ(t, ρ) является линейным функционалом, определенным на пространстве B(H), неотрицательным и удовлетворяющим условию нормировки (σ(t, ρ), I∗ = 1; таким образом, σ(t, ρ) ∈ S+ ∗ 1 ((B(H)) ). Докажем, что состояние σ(t, ρ) является нормальным. Сначала исследуем случай, когда оператор ρ в равенстве (2.1) является оператором плотности чистого квантового состояния, т. е. 278 Ю. Н. ОРЛОВ, В. Ж. САКБАЕВ является одномерным ортогональным проектором ρu = |u∗(u| на некоторый единичный вектор u ∈ S1(H). В этом случае r σ(t, ρu) = r ρSh udγtD(h) = ρedμu, tD(e), (3.2) E S1(H) где μu, tD - мера на единичной сфере пространства H, задаваемая на каждом борелевском множестве B ⊂ S1(H) равенством μu, tD(B) = γtD({h ∈ E : Shu ∈ B}). u Поскольку образборелевского множества B при непрерывном отображении Φu : h → Shu является борелевским, то мера μu, tD является борелевской. Поскольку мера γtD является вероятностной мерой на пространстве E, то мера γtD ◦ Φ-1 является вероятностной мерой на единичной сфере ). Следовательно, в силу теоремы 2.2 работы [2], состояние (3.2) является нормальным. S1(H В общем случае ρ является нормальным квантовым состоянием, допускающим представление ρ = ),∞ k=1 k 1 λkρu , где {pk }∈ S+(Ω1), {uk } - некоторый ОНБ в пространстве H. Тогда состояние σ(t, ρ) ),∞ image допускает представление σ(t, ρ) = k=1 pkσ(t, uk ) и потому является нормальным. Теорема 3.1. Пусть центрированный случайный вектор h имеет ограниченный ковариационный оператор D. Тогда задаваемое равенством (2.1) семейство отображений Tt : ρ → σ(t, ρ), t ) 0, - квантовая динамическая полугруппа в пространстве нормальных состояний T1(H), непрерывная в сильной операторной топологии. Доказательство. При каждом t ) 0 преобразование Tt, отображающее множество квантовых состояний в себя в силу леммы 3.1, допускает продолжение по линейности на все пространство T1(H) до линейного сжимающего преобразования, сохраняющего конус положительных элементов. h Докажем, что отображение Tt является вполне положительным. Это свойство следует из того, что отображение ρ → ShρS∗ является вполне положительным при каждом h ∈ E, а потому усреднение по вероятностной мере (3.1) набора вполне положительных отображений также является вполне положительным. Докажем полугрупповое свойство у семейства отображение Tt, t ) 0. Пусть t, τ ) 0, тогда согласно свойству гауссовских мер γ(t+τ )D = γτ D ∗ γtD. h Пусть ρ ∈ T1(H) и A ∈ B(H). Тогда в силу свойства непрерывности в среднем квадратичном оператора сдвига функция fρ,A(h) = (ρ, S∗ ASh∗, h ∈ E, непрерывна на E. Потому r (s(τ, s(t, ρ)), A∗ = (s(t, ρ), S∗ r ASh ∗dγτ D(h1) = r (ρ, S∗ ASh +h ∗dγτ D(h1)dγtD(h2) = h1 1 E r r h1 +h2 1 2 E E r = fρ,A(h1 + h2)dγτ D(h1)dγtD(h2) = E E E fρ,A(h)d(γτ D ∗ γtD)(h) = (s(t + τ, ρ), A∗. image image image Докажем непрерывность в сильной операторной топологии однопараметрической полугруппы Tt, t ) 0, преобразований пространства T1(H). Пусть u ∈ S1(H) и ρu - соответствующее чистое векторное состояние. Поскольку Sτh, τ > 0, - сильно непрерывная однопараметрическая группа в пространстве H, то S√thu, t ) 0, - непрерывная функция со значениями в H. Поэтому при каждом h ∈ E отображение S√thρuS∗√th, t ) 0, полуоси R+ в пространimage image ство T1(H) непрерывно. Поскольку интеграл r (sup ±S√thρuS∗√th±T1 (H))dγtD(h) сходится, то инте- E t)0 image image грал r S√thρuS∗√thdγtD(h) сходится равномерно на полуоси t ) 0. Следовательно, отображение E image image t → r S√thρuS∗√thdγtD(h), R+ → T1(H), непрерывно. E Таким образом, Tt, t ) 0, - квантовая динамическая полугруппа в пространстве T1(H), непрерывная в сильной операторной топологии. image ДИФФУЗИЯ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ, ПОРОЖДАЕМАЯ КЛАССИЧЕСКИМ СЛУЧАЙНЫМ БЛУЖДАНИЕМ 279 Теперь опишем класс случайных процессов, аппроксимирующих квантовую динамическую полугруппу T. ±E Пусть h - центрированный гауссовский случайный вектор в пространстве E = Rn с невырожденным ковариационным оператором D, т. е. D : M[(x, h)(h, y)] = (x, Dy) ∀ x, y ∈ E, и с конечным третьим моментом нормы M[±h 3 ] < +∞. h Положим Thρ = ShρS∗ , ρ ∈ T1(H), для каждого h ∈ E. image Пусть T√th, t ) 0, - однопараметрическое семейство случайных линейных операторов в пространстве B(T1(H)), порожденное случайным вектором h в пространстве E. image Положим F(t)ρ = M[T√thρ], t ) 0, для каждого ρ ∈ T1(H). Тогда F - однопараметрическое семейство линейных преобразований пространства T1(H). Теорема 3.2. Пусть E = Rd и h - центрированный гауссовский случайный вектор в пространстве E с невырожденным ковариационным оператором D и с конечным третьим моментом нормы. Тогда lim sup t image ±(Tt - (F( ))n)ρ±T ( ) = 0 n→∞ t∈[0,τ ] для любого ρ ∈ T1(H) и любого τ > 0. n 1 H Для доказательства теоремы 3.2 нам потребуется установить свойства представления группы сдвигов на векторы конфигурационного пространства в пространстве ядерных операторов T1(H) и ее генератора, а также исследовать с помощью теоремы Чернова [10] сходимость последовательности представлений композиций независимых случайных сдвигов, чему посвящены дальнейшие рассмотрения. 4. Генератор полугруппы Tt, t ) 0 Пусть u ∈ H, ±u±H = 1 и ρu = |u∗(u| - оператор плотности чистого векторного состояния u, т. е. одномерный ортогональный проектор на подпространство span(u) в пространстве H. Лемма 4.1. Если оператор ρ ∈ T1(H) ранга 1 удовлетворяет условию (ρf, g) = (u, f )(g, v) ∀ f, g ∈H при некоторых u, v ∈H (т. е. если ρ = v ⊗ u), то ±ρ±T1 (H) ±u±H±v±H. Доказательство. В условиях леммы 4.1 имеем ±ρ±T1 (H) = sup ∓A∓B(H)=1 |Tr(ρA)| ±u±H±v±H. (4.1) image Из оценки (4.1) следует утверждение. Лемма 4.2. Если векторнозначная функция u(·) : R+ → H, непрерывна (дифференцируема) в точке t0 ∈ R+, то операторнозначная функция ρu(·) : R+ → T1(H) также непрерывна (дифференцируема) в точке t0. image Доказательство. Если u, v ∈ S1(H) и ρu, ρv - соответствующие операторы плотности векторных состояний, то ±ρu - ρv±T1 (H) 2±u - v±H. Поэтому, если векторнозначная функция u(·) : R+ → H, непрерывна (дифференцируема) в точке t0 ∈ R+, то операторнозначная функция ρu(·) : R+ → T1(H) также непрерывна (дифференцируема) в точке t0. Каждому оператору плотности ρ ∈ T1(H) сопоставим его ядро ρ(x, y), (x, y) ∈ E × E, определяемое условием (ρf, g)H = r E×E ρ(x, y)f (x)g¯(y)dxdy ∀ f, g ∈ H. Оператор плотности однозначно определяется своим ядром, причем отображение пространства T1(H) в пространство {{ρ(x, y), (x, y) ∈ E2}, ρ ∈ T1(H)}, сопоставляющее оператору плотности ρ ∈ T1(H) его ядро ρ(x, y), (x, y) ∈ E2, биективно. Сюръективность следует из определения пространства образов, а инъективность следует из того, что если ρ1(x, y) = ρ2(x, y) ∀ (x, y) ∈ E2, то r r ρ1(x, y)f (x)g¯(y)dxdy = E2 E2 ρ2(x, y)f (x)g¯(y)dxdy (4.2) 280 Ю. Н. ОРЛОВ, В. Ж. САКБАЕВ при всех f, g ∈ H, а значит, ρ1 = ρ2. Пусть S(E) - пространство основных функций Шварца на евклидовом пространстве E. Пусть F - преобразование Фурье в пространстве H. Преобразование Фурье унитарно в пространстве H, и пространство Шварца является инвариантным относительно преобразования Фурье плотным подпространством пространства H. Заметим, что если Sh ∈ B(H) - оператор сдвига аргумента на вектор h ∈ E, то F ShF-1 = Mei(h,x) , где Mei(h,x) - оператор умножения на функцию ei(h,x) в пространстве H; т. е. если u ∈ H и uˆ = F(u), то F(Shu) = Mei(h,x) uˆ. Кроме того, в силу унитарности преобразования Фурье выполняется равенство F ρuF-1 = ρuˆ в том смысле, что (F ρuF-1f, g) = (uˆ, f )(g, uˆ) для любых f, g ∈ H. Лемма 4.3. Пусть h - центрированный гауссовский вектор пространства E, обладающий d ковариационным оператором D. Если u ∈ S(E), то image dt Ttρu|t=0 = Lρu, где n ( 1 ( , \ \ (Lρuf, g) = image 2 ΔDρu + ρuΔD +2 j=1 djρ∂j u f, g ≡ (Lρuf, g) при всех f, g ∈ H. Здесь ΔDu = div(D∇u), u ∈ S(E), d1,... , dn - собственные значения ковариационного оператора D, e1,... , en - ортонормированный базис из соответствующих собствен- ∂ image j ных векторов оператора D и ∂j = ∂e . Доказательство. Заметим, что в силу унитарности преобразования Фурье операторнозначная функция ρ : R+ → T1(H) дифференцируема в точке t0 ∈ R+ тогда и только тогда, когда в точке t0 дифференцируема функция ρ˜(t) = F ρ(t)F-1, t ∈ R+, причем d d˜ image dt dt ρ(t0) = F-1 ρ(t0)F . image image 1 Поскольку ρu(t) ≡ Ttρu = r S√thρuS∗√thdγD(h), то ρuˆ(t) = FTtρuF- , t ∈ R+, и при всех t ) 0 E M r 1 r 1 r image image image image √ i ρuˆ(t) = F image S√thρuS∗√thdγD(h)F - = image F S√thρuS∗√thF - dγD(h) = e √t(h,x) ρuˆMe-i t(h,x) dγD(h). E E E Поэтому для u ∈ S(E) в силу формулы Тейлора второго порядка с остаточным членом в форме Лагранжа существует такая принимающая значения на отрезке [0, 1] измеримая функция θ(t, x, h), (t, x, h) ∈ R+ × E × E, что справедливо равенство r ρuˆ(t) = E ! image i I + √ t image tM(h,x) - 2 M(h,x)2 - i t3/2 \ image Mθ(t,x,h)(h,x)3 6 ρuˆ × ! image i × I - √ t image tM(h,x) - 2 M(h,x)2 + i t3/2 \ image Mθ(t,x,h)(h,x)3 6 dγD(h). (4.3) Здесь и далее символ Mf (x) обозначает действующий в пространстве H оператор умножения на функцию f. Поскольку случайный вектор h - центрированный гауссовский, то ряд слагаемых в выражении (4.3) обращаются в нуль. Потому с учетом утверждения леммы 4.1 получаем ρuˆ(t) = ρuˆ + tLˆ ρuˆ + rˆuˆ(t), (4.4) где оператор Lˆ ρuˆ задан значением своей полуторалинейной формы на векторах φ, ψ ∈ H 1 1 r image image (ψ, (Lˆ (ρuˆ)φ) = - 2 (ψ, M(Dx,x)uˆ)(u, φ) - 2 (ψ, u)(M(Dx,x)uˆ, φ)+ E (ψ, M(h,x)uˆ)(M(h,x)uˆ, φ) dγD(h) и, в силу леммы 4.1, 6 ±rˆuˆ(t)±T1 (H) C(1 + M[|h| ])t ±M√1+∓x∓ 3/2 6 E ± uˆ 2 . H Здесь C - константа, не зависящая от u. ДИФФУЗИЯ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ, ПОРОЖДАЕМАЯ КЛАССИЧЕСКИМ СЛУЧАЙНЫМ БЛУЖДАНИЕМ 281 Отсюда и из равенства (4.4) следует, что операторнозначная функция ρuˆ(·) : R+ → T1(H) дифференцируема в точке t0 = 0 и справедливо равенство d image dt ρuˆ(t)|t=0 = Lˆ ρuˆ. Следовательно, ρu входит в область определения генератора полугруппы Tt, t ) 0, и существует производная ( d T ρ \I = F-1Lˆ F ρ = Lρ . Таким образом, справедливо утверждение лем- мы 4.3. image dt t u I u u image It=0 Рассмотрим задачу Коши для ядра ρt(x, y), x, y ∈ E, оператора плотности d 1 image image ρt(x, y) = d , dk d2 d2 d2 image image image + +2 \ ρt(x, y), t > 0, (x, y) ∈ E2, (4.5) dt 2 k=1 k dx2 k dy2 dxk dyk ρt(x, y)|t=0 = ρ0(x, y) ≡ u(x)u¯(y). (4.6) Совершив ортогональную замену переменных ξk = xk + yk √ 2 , ηk = xk - yk √2 , k = 1,... , d, и неиз- ξ + η ξ - η \ вестной функции ρ˜t(ξ, η) = ρt( d √ , √ 2 2 d , получим d2 image ρ˜t(ξ, η) = , dk dt k=1 k dξ2 image ρ˜t(ξ, η), t > 0, (ξ, η) ∈ E2, (4.7) ( 1 1 \ ( 1 \ ( 1 \ ρ˜t(ξ, η)|t=0 = ρ0 image image 2 √2 (ξ + η), √ (ξ - η) image - = u √ (ξ + η) u¯ 2 image √ (ξ η) 2 . (4.8) Каждому оператору плотности чистого векторного состояния ρu, u ∈ S1(H) (каждому оператору плотности ρ ∈ T1(H)) сопоставим однопараметрическое семейство абсолютно интегрируемых на пространстве E функций {ρ˜η , η ∈ E}⊂ L1(E), где ( 1 \ ( 1 \ ρ˜η (ξ) = u image √2 (ξ + η) u¯ image √2 (ξ - η) , ξ ∈ R ( 1 1 \ \ ρ˜η (ξ) = ρ image image √ (ξ + η), √ (ξ - η) , ξ ∈ R . 2 2 Тогда в силу неравенства Коши-Буняковского ρη (·) ∈ L1(E) ∀ η ∈ E и ρ·(ξ) ∈ L1(E) ∀ ξ ∈ E. Пусть ΔD - оператор, действующий в пространстве L1(E) с областью определения D = S(E) согласно правилу d ΔDf (ξ) = , dk k=1 image k d2 dξ2 f (ξ), ξ ∈ E, f ∈ D. Известно (см. [11]), что оператор ΔD : D→ L1(E) замыкаем, а его замыкание является генератором C0-полугруппы сжимающих операторов etΔD , t ) 0, в пространстве L1(E). Если u ∈ S(H), то при каждом значении η ∈ E принадлежащее пространству C(R+, L1(E)) решение дифференциального уравнения (4.7) с начальным условием 1 1 \ ρ˜0(ξ, η) = ρ0( √ (ξ + η), √ (ξ - η) , ξ ∈ E, 2 2 существует, единственно и имеет вид ! d 1 \ r ! d 1 \ ρ˜t(ξ, η) = image n √ k=1 4πdkt ρ˜0(z, η) exp E , - (zk - ξk)2 k=1 4tdk dz = ! d n 1 \ r image = √ u ( z + η \ ( z - η \ d ! , 1 \ k=1 0 4πdkt E √2 u¯0 √2 exp - k=1 4tdk (zk - ξk )2 dz, t ) 0, ξ ∈ E; η ∈ E. Следовательно, переходя с помощью обратной замены переменных от задачи (4.7), (4.8) к задаче (4.5), (4.6), получаем утверждение. 282 Ю. Н. ОРЛОВ, В. Ж. САКБАЕВ Лемма 4.4. Пусть u ∈ S(H). Тогда решение задачи (4.5), (4.6), значения которого при каждом x ∈ E абсолютно интегрируемы на E по y и наоборот, существует, единственно и задается равенством ! n 1 \ r z + x - y \ z - x + y \ ! n 1 \ ρt(x, y) = n √ k=1 u0 8πdkt E 2 u¯0 exp 2 , - k=1 8tdk (zk - xk - yk )2 dz. (4.9) Лемма 4.5. Пусть u ∈ S(E). Если ρ(t, x, y) - решение задачи Коши для уравнения n d 1 ( , ρ = dt 2 ΔD + ΔD +2 j=1 dj∂jρ∂j \ ≡ Lρu с начальным условием ρ0(x, y) = u(x)u¯(y), то ρ(t, x, y) является ядром оператора плотности (Ttρu)(x, y). Доказательство. Проверим, что ядро ρ(t, ·, ·) задает неотрицательный ограниченный оператор как неотрицательный функционал, определенный на пространстве ядерных операторов. Для этого покажем, что функционал определен и неотрицателен на множестве всех одномерных ортогональных проекторов. Для произвольного единичного вектора v ∈ H имеем r r 1 \ ( 1 \ E×E ρt(x, y)v(x)v¯(y)dxdy = E×E image - ρ˜t(ξ, η)v( √ (ξ + η) v¯ 2 image √ (ξ η) 2 dξdη = r r d 1 (ξ s)2 ( ξ + η v( ξ - η \ = E×E E ρ˜0(s, η) n √ k=1 4πtdk - \ image e- 4t v √ ¯ √ 2 2 dsdξdη = r d 1 (ξ - s)2 l ( s + η \ ( s - η \ ( ξ + η \ ( ξ - η \ n = √ E3 k=1 4πtdk image - exp r u0 4t √2 u¯0 √2 v √ v¯ √ 2 2 dsdξdη = r d 1 (h)2 ξ - h + η \ ( ξ - h - η \ ( ξ + η \ ( ξ - η \ n = √ E3 k=1 4πtdk exp r- image 0 √ lu ( 4t 2 u¯0 √2 v √2 v¯ √2 dhdξdη = r d 1 (h)2 r 1 \ r 1 \ image n = √ exp r- l E E k=1 4πtdk 4t r x - u0( √ h 2 v(x)dx E - u¯0(y √ h 2 v¯(y)dhdxdy = = (Shu, v)(v, Shu)dγtD(h). (4.10) E Следовательно, при каждом t ) 0 решение ρt(x, y), (x, y) ∈ E2, задачи Коши (4.5), (4.6) задает неотрицательный функционал на множестве одномерных ортогональных проекторов, который продолжается по линейности до неотрицательного функционала ρt на пространстве T1(H), действующего, согласно (4.10), по правилу r (ρt, Pf ∗ = E (Shu, f )(f, Shu)dγtD(h). N При этом если {fk} - ОНБ в пространстве H и PN = ), Pek , то числовая последовательность k=1 {(ρt, PN ∗} возрастает. Поскольку последовательность функций {(Shu, PN Shu), h ∈ E} монотонно возрастает с ростом N и равномерно на каждом компакте K ⊂ E сходится к предельной функции, тождественно равной единице, то в силу регулярности счетно-аддитивной гауссовской меры γtD имеем, что независимо от выбора ОНБ {fk} lim (ρt, PN ∗ = (ρt, I∗ = 1. Значит, неотри- N →∞ цательный функционал ρt непрерывен на пространстве операторов в ультра-слабой топологии. Следовательно, он является нормальным квантовым состоянием. image Согласно (4.10), ρt(Pv ) = Ttρu(Pv ) ∀ v ∈ S1(H), следовательно, ρt = Ttρu ∀ t ) 0. ДИФФУЗИЯ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ, ПОРОЖДАЕМАЯ КЛАССИЧЕСКИМ СЛУЧАЙНЫМ БЛУЖДАНИЕМ 283 Рассмотрим в пространстве T1(H) линейное подпространство D операторов плотности вида ρ = ),∞ k=1 wkρuk , где wk ) 0, k ∈ N, ),∞ k=1 wk = 1; {uk } - последовательность единичных векторов в пространстве H, каждый из которых принадлежит пространству S(E). Данное подпространство, введенное в работах [1, 14] для изучения операторов плотности и их томографического представления, послужит нам в качестве существенной области определения генератора квантовой динамической полугруппы. Лемма 4.6. Оператор L : D → T1(H) является генератором сильно непрерывной сжимающей полугруппы Tt, t ) 0, в пространстве T1(H). Пусть ρu ∈ T1(H) - чистое векторное состояние, соответствующее вектору u ∈ S1(H). То- 1 \ ( 1 \ image - гда ρu(x, y) = u(x)u¯(y) и ρ˜(ξ, η) = u( √ (ξ + η) u¯ 2 image √ (ξ η) 2 , а в силу леммы 4.5 задача Коши (4.7), (4.8) имеет единственное решение ρ˜t, являющееся орбитой полугруппы Ttρu, t ) 0. Произвольное состояние ρ ∈ T1(H) представимо как барицентр некоторой вероятностной меры на множестве чистых векторных состояний. В частности, существует такой ОНБ {uk } в пространстве H и такая вероятностная мера ν на множестве натуральных чисел, что ρ = r ρuk dν(k). Тогда N однопараметрическое семейство преобразований Tt, t ) 0, заданных на пространстве начальных условий ρu(x, y), u ∈ S1(H), продолжается по линейности и по непрерывности до полугруппы линейных преобразований пространства {ρ(x, y), ρ ∈ T1(H)}. 0 Для каждого u ∈ S(E) состояние ρu входит в область определения генератора T/ полугруппы T. Этот факт доказывается также, как и лемма 4.3, с помощью разложения (4.3) и оценок (4.1) леммы 4.1. Поскольку пространство S(E) инвариантно относительно полугруппы etΔD , t ) 0, то пространство D инвариантно относительно полугруппы Tt, t ) 0, и входит в область определения 0 генератора T/ согласно лемме 4.3. Поскольку при этом пространство D плотно в пространстве T1(H) в силу леммы 4.1, то оно является существенной областью определения генератора в силу [11, предложение 1.7, с. 53]. 5. Аппроксимация полугруппы операторами случайных блужданий ±E Пусть h - центрированный гауссовский случайный вектор в пространстве E = Rn с невырожденным ковариационным оператором D, т. е. D : M[(x, h)(h, y)] = (x, Dy) ∀ x, y ∈ E, и с конечным третьим моментом нормы M(±h 3 ) < +∞. image h Положим Thρ = ShρS∗ , ρ ∈ T1(H), для каждого h ∈ E. Пусть T√th , t ) 0, - однопараметрическое семейство случайных линейных операторов в пространстве B(T1(H)), порожденное случайным вектором h в пространстве E. image Положим F(t)ρ = M[T√thρ], t ) 0, для каждого ρ ∈ T1(H). Тогда F - однопараметрическое семейство линейных преобразований пространства T1(H). Лемма 5.1. Однопараметрическое семейство преобразований обладает следующими свойствами: 1. F(0) = IT1 (H) - тождественный оператор; 2. если ρ ∈ T1(H), ρ ) 0, то F(t)ρ ) 0; 3. ±F(t)±B(T1 (H)) 1 при всех t ) 0; 4. F является непрерывным в сильной операторной топологии отображением R+ → T1(H). Доказательство. Свойства i)-iii) очевидны. Доказательство свойства iv) подобно доказательству аналогичного свойства в теореме 3.1. image Лемма 5.2. Пусть u ∈ D. Тогда вектор-функция F(t)ρu, t ) 0 имеет производную в нуле и n ( d F (t)ρ \I 1 ( image = Δ ρ + ρ Δ +2 ), d ∂ ρ ∂ \ ≡ Lρ . dt u image I D u u D It=0 2 j j u j u j Доказательство. Поскольку пространство D инвариантно относительно операторов Th, h ∈ E, то оно инвариантно относительно операторов F(t), t ) 0. Как и в доказательстве леммы 4.3, наряду с оператор-функцией F(t)ρu рассмотрим и оператор-функцию F F(t)ρuF-1 = F F(t)F-1ρuˆ. 284 Ю. Н. ОРЛОВ, В. Ж. САКБАЕВ image Для последней в доказательстве леммы 4.3 установлено равенство (4.3). Следовательно, операторфункция F F(t)ρuF-1 допускает асимптотическое разложение (4.4), из чего следует дифференцируемость справа функции F(t)ρ0 в точке t0 = 0 и утверждаемое леммой 5.2 равенство. Доказательство теоремы 3.2. Согласно леммам 5.1 и 5.2, функция F : R+ → B(T1(H)) удовлетворяет всем условиям теоремы Чернова, а значит, справедливо утверждение теоремы 3.2. image 6. Заключение В работе исследована квантовая динамическая полугруппа, возникающая при усреднении квантовых случайных блужданий, порожденных унитарными операторами сдвига аргумента на векторы координатного пространства с гауссовским распределением. Установлено, что эволюция ядра оператора плотности под действием такой полугруппы описывается решением задачи Коши для вырожденного уравнения диффузии. Доказана сходимость последовательности композиций преобразований квантовых состояний, порожденных операторами сдвига на независимые случайные векторы, к рассматриваемой квантовой динамической полугруппе.

About the authors

Yu. N. Orlov

Keldysh Institute of Applied Mathematics of the RAS

Author for correspondence.
Email: ov3159f@yandex.ru
Moscow, Russia

V. Zh. Sakbaev

Keldysh Institute of Applied Mathematics of the RAS

Email: fumi2003@mail.ru
Moscow, Russia

References

Supplementary files