On the representation of the Radon-Kipriyanov transform by the Riesz potential

Full Text

1. Введение Преобразование Радона-Киприянова [4] позволяет существенно расширить представление об устройстве нашего мира. Как показано в работе [9], это преобразование представляет собой введение в преобразование Радона функций, определенных в дробно-размерных (псевдоевклидовых) областях, что позволяет работать с более широкими классами задач по сравнению с классическими задачами математической физики. Эта работа продолжает исследования, начатые в [11, 15, 16]. Результатом данной работы является представление преобразования Радона-Киприянова потенциалом Рисса (классическим, в отличие от работы [9]). Рассматривается преобразование линейного сингулярного дифференциального уравнения в частных производных в обыкновенное дифференциальное уравнение (не сингулярное). Приводится новая формула (по сравнению с [9]) обращения преобразования Радона- Киприянова. При этом задействовано двойственное преобразование Радона-Киприянова, введенное в [11]. image © Л. Н. Ляхов, В. А. Калитвин, М. Г. Лапшина, 2025 image This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 267 268 Л. Н. ЛЯХОВ, В. А. КАЛИТВИН, М. Г. ЛАПШИНА n 1. Преобразование Радона-Киприянова. Пусть γ = (γ1,... , γm), γi > 0 - мультииндекс и R+ - область в евклидовом пространстве точек x = (x1,... , xn) ∈ Rn, xi > 0. Будем рассматривать многомерный оператор Пуассона как суперпозицию одномерных операторов где n n Pγ x = i=1 π r γi Pxi , n Γ( γi+1 Pγ i γi -1 n 2 ) xi f (x)= C(γ) f (xi cos αi, x ) sin image αi dαi, C(γ)= Γ( 1 γi . 0 i=1 image image 2 )Γ( 2 ) Здесь для удобства мы воспользовались перестановкой координат аргумента: x = (xi, xi), xi = (x1,... , xi-1, xi+1,... , xn). image При γi = 0 одномерный оператор Пуассона не определен, а это значит, что в общем случае переменные должны разделяться на весовые и обычные. В этой работе рассмотрим наиболее принципиальный случай, когда γi > 0, i = (1, n). n Пусть Sev (R+) - подпространство пространства пробных функций Л. Шварца {ϕ}, состоящее из функций, четных по каждой координате xi аргумента x. Соответствующий класс регулярных ev весовых распределений S × определяется весовой билинейной формой r (f, ϕ)γ = n i f (x) ϕ(x) xγ dx, xγ dx = n xγi dx, ∀ϕ ∈ Sev. R + i=1 n ev Через посредство оператора Пуассона введем в пространстве распределений S× весовую обобimage n щенную δ-функцию, сосредоточенную на поверхности P (x)= 0, x ∈ R+ (как правило, размерности n - 1): n r ϕ(z) Zγ-1 dΓ(z), Zγ-1 = n zγi -1, (1.1) (Pxδ(P (x)), ϕ)γ = C(γ) 2 Γ={z: P (z)=0} 2 2i i=1 где C(γ) - константа, нормирующая многомерный оператор Пуассона, image fI I \ ϕ(z)= ϕ z2 + z2,... , z2 + z2 , z = (z1, z2,... , z2n-1, z2n), 1 2 2n-1 2n ( z2i-1 = xi cos αi, image 0 < α < π, i = 1, n, (1.2) z2i = xi sin αi, i где -∞ < z2i-1 < ∞, 0 < z2i < ∞. Переменные с четными и нечетными номерами координат вектора z будем обозначать отдельно друг от друга: Z1 = (z1, z3,... , z2n-1), Z2 = (z2, z4,... , z2n). Поверхность интегрирования в (1.1), полученную отображением через посредство оператора Пуассона, будем называть P(P (x)= 0)-поверхностью (P-поверхностью). Заметим, что если бы первоначально поверхность P (x) = 0 была бы n-полусферой |x|- R = 0, xi > 0, то P-сфера - 2n уже 2n-полусфера |z| = R в R+ = {z : z2i > 0}. Пусть (x, θ±=}, xiθi и p =(x, θ± - нормальная плоскость в Rn. Тогда соответствующая P-плосi кость: n {x ∈ R+ : (x, θ± = p} -→ {z ∈ R+ def (1) 2n : (z, Θ± = p}, Θ= (θ1, 0, θ2, 0, θ3 ... , 0, θn, 0). (1.3) Мы следуем классическому определению преобразования Радона (см. например, [1, с. 16] и [14, с. 20, формула (1.3)]). О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА-КИПРИЯНОВА ПОТЕНЦИАЛОМ РИССА 269 Преобразование Радона-Киприянова (введено в работах [4, 9]; см. также книги [10, с. 211-225] и [2, с. 483-495]) определяется следующим образом: r Kγ [f ](θ; p)= R + n x f (x)Pγδ(p - (x; θ±) xγ dx. (1.4) По определению (1.1) формула (1.4) примет вид r Kγ [f ](Θ; p)= C(γ) Γ={z: p=∗z, Θ)}+ 2 f (z) Zγ-1 dΓ(z). (1.5) Здесь + image image fI I \ {z : p = (z, Θ±} = {z : p = (z, Θ±, z2i > 0}, f (z)= f z2 + z2,... , z2 + z2 . 1 2 2n-1 2n Так как интегрирование в (1.4) и (1.5) определено по 2n переменным, а координаты векторов θ ∈ R+ и Θ ∈ R+ связаны трансформацией (1.3), то определения преобразований (1.4) и (1.5) n 2n совпадают: Kγ [f ](θ; p)= Kγ [f ](Θ; p). (1.6) Обычно определение (1.5) носит вспомогательный характер. В нашей работе это будет основное определение Радона-Киприянова. Таким образом, правая часть равенства (1.6) представляет собой специальное весовое преобразование Радона в R2n (см. [4, 9]), которое представляется в классическом виде r Kγ [f ](θ; p)= C(γ) r 2 f (z) δ(p - (z, Θ±) Zγ-1dz = C(γ) 2 f (z) Zγ-1dΓ(z). (1.7) R 2n + {p=∗z, Θ)}+ Правая часть равенства (1.7) представляет собой многомерное смешанное специальное преобразование Радона (по нечетным переменным Z1) и преобразование Меллина (по четным переменным Z2). Если вектор θ фиксирован, то введем обозначение Kγ [f ](θ; p)= Kγ,θ [f ](p) ⇐⇒ Kγ [f ](Θ; p)= Kγ,Θ[f ](p) (5) =⇒ Kγ,θ [f ](p)= Kγ,Θ[f ](p). В (1.7) n-полуплоскость интегрирования обозначим символом Θ+, т. е. ⊥ image Θ+ = {z: (Θ, z± = p, z2i ;? 0}∈ R+ . ⊥ 2n Применяя подход, рассмотренный в [14, с. 17], преобразование Радона-Киприянова можно записать в виде интеграла по 2n-полуплоскости Θ+ в пространстве R+ : r Kγ,Θ[f ](p)= C(γ) ⊥ 2n 2 f (pΘ+ z)Zγ-1 dz. Θ+ ⊥ 2. Оператор, двойственный к преобразованию Радона-Киприянова. Двойственный оператор по отношению к преобразованию Радона-Киприянова в Rn введен в [11] следующим образом: пусть S+(2n) - часть единичной сферы в R+ , и пусть Z+ = S+(2n)×R1 - цилиндр в 1 R+ + 2n 1 + 2n+1 = R2n × R1, а функция g ∈ Sev (Z ); тогда оператор, двойственный к преобразованию Радона-Киприянова, определяется выражением r K# n n γi-1 γ g(x)= S+ 1 (2n) g(Θ, (Θ, x±) i=1 Θ2i-1 dS(Θ), (1.8) 270 Л. Н. ЛЯХОВ, В. А. КАЛИТВИН, М. Г. ЛАПШИНА 3. Элементы В-гармонического анализа. Б. М. Левитаном [5] введено классическое (одномерное) преобразование Фурье-Ганкеля. В работах И. А. Киприянова и его последователей (см. [3]) изучался многомерный аналог этого преобразования, называемый преобразованием Фурье-Бесселя. Следуя Б. М. Левитану, j-функциями Бесселя будем называть функции Jν (t) jν (t)= 2ν Γ(ν + 1) , tν 1 image где ν > - 2 и Jν - функция Бесселя первого рода. j-функции Бесселя удовлетворяют сингулярному дифференциальному уравнению Бесселя f ∂2 γ ∂ \ 1 image image image ∂t2 + t ∂t image jν (t)+ jν (t)= 0, ν > - 2 , γ = 2ν +1 ν и условиям jν (0) = 1, j× (0) = 0 (условие четности). Обозначим через FB [f ](ξ) многомерное прямое преобразование Фурье-Бесселя r FB [f ](ξ)= f (ξ)= n i f (x) jν (xξ) xγ dx, jν (t)= n jν (t), νi = - γi - 1 > 1 , 2 2 R + i=1 n B и через F -1[g](x) - обратное преобразование Фурье-Бесселя F -1 B [g](x)= C(γ)FB [g](-x), C(γ)= n n i=1 1 image 22νi Γ2(νi . + 1) 1. Представление В-потенциалов Рисса потенциалами Рисса. И. А. Киприяновым введены В-потенциалы Рисса. Ядро В-потенциала Рисса имеет вид (см. [8] и монографии [10, гл. 4] и [2, гл. 14.1]) kγ A |x| λ = n+|γ|-λ , λ < n + |γ|, γ где A = A(n, γ) = const. В-потенциалами Рисса функции f порядка λ < n + |γ| называется обобщенная свертка с ядром kλ : r (Uλf )(x)= f (y) Tykγ (x1, x× - y×) yγ dy, -∞ < λ < n + |γ|, γ x λ R + n где Ty - многомерный обобщенный сдвиг Γ n n γi +1 π π n 2 r r xi Tyf (x)= n Tyi f (xi, xi)= n image Γ ( 1 ) Γ ( γi ) ... f (ω) n sinγi-1 αidαi, i=1 i=1 2 2 0 0 i=1 image image где ω - это n-мерный вектор с координатами Ix2 + y2 - 2xiyi cos αi, i = 1, n. i i Воспользовавшись антиполярным преобразованием (1.2), получим Uλ λ 2 r f (z) Zγ-1 dz γ-1 n n γi -1 image γ f (x)= Iγ f (x)= R+ f n },(z - x )2 + z2 n+γ-λ , Z2 = image \ 2 i=1 z2i . 2n i=1 2i-1 i 2i n 2n Как видим, выражение справа представляет собой специальный потенциал Рисса с особенностью в точке на координатной гиперплоскости, определенный в евклидовом пространстве R+ , где сдвиг на вектор, принадлежащий R+, осуществляется в плоскости Z2 = 0. Обращение классического потенциала Рисса осуществляется в рамках преобразования Фурье применением потенциала отрицательного порядка λ : I-λ λ γ Iγ = f (x) (1.9) О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА-КИПРИЯНОВА ПОТЕНЦИАЛОМ РИССА 271 2. Представление преобразования Радона-Киприянова потенциалом Рисса n Теорема 2.1. Пусть f = f (x) ∈ Sev (R+). Тогда K# γ [Kγ [f ](Θ, p)] = |S1(2n)|γ-1 |z|-1 ∗ f (z) . γ-1 2n где через |S1(2n)|γ-1 обозначена взвешенная площадь единичной сферы с центром в начале координат в пространстве переменных z ∈ R+ . Доказательство. Преобразование Радона-Киприянова и оператор, двойственный к нему, определены соответственно следующими равенствами: r Kγ [f ](p, Θ) = C(γ) r f (pΘ+ y) Y γ-1 dy, K#g(z)= g(Θ, (Θ, z±) n n Θγi-1 dS(Θ). Поэтому 2 γ S+ + Θ⊥ 1 (2n) r n i=1 2i-1 K# γ [Kγ,Θ[f ](p)] (z)= S+ 1 (2n) Kγ,Θ[f ](p) n i=1 2i 1 Θγi-1 dS(Θ) = - r r = f (pΘ+ y) Y γ-1dy n n Θγi-1 dS(Θ) = r r n f ((z, Θ±Θ+ y) Y γ-1 n Θγi -1 dS(Θ). S+ + 2 i=1 2i-1 + + 2 i=1 2i-1 1 (2n) Θ⊥ S1 (2n) Θ⊥ ⊥ Учтем, что для любого фиксированного вектора Θ и y, удовлетворяющего уравнению плоскости (y, Θ± = p, точка pΘ есть проекция начала координат на плоскость. Поэтому вектор (с координатами начала и конца, соответственно, pΘ и y) принадлежит этой плоскости: (z, Θ±Θ - y ∈ Θ+. При этом, очевидно, выполняется равенство dy = d((z, Θ±Θ - z + y). Произведя соответствующую замену координат, получим r K# γ [Kγ,Θ[f ](z)] = S+ r 2 f (z + y) Y γ-1 dy + n n i=1 2i 1 Θγi -1 dS(Θ). - В плоскости Θ+ ⊥ 1 (2n) Θ⊥ введем локальные координаты с центром в точке pΘ и введем на плоскости n-1 сферические координаты y = rω, |ω| = 1, ω ∈ R+ . Учитывая принадлежность функции f пространству Л. Шварца, можем поменять порядки интегрирования сферических интегралов по ω и Θ. Тогда γ ] K# fKγ,Θ[ f r 1 - (z)= |S+(2n - 1)|γ 1 2i f (z + y) |y|-1Y γ-1 dy. R + 2n Отсюда K# + r -1 γ-1 γ [Kγ,Θ[f ](z)] = |S1 (2n - 1)|γ-1 R + 2n f (y) |z - y| Y2i dy.

About the authors

L. N. Lyakhov

Voronezh State University; Lipetsk State Pedagogical University named after P. P. Semenov-Tyan-Shansky; Bunin Yelets State University

Author for correspondence.
Email: levnlya@mail.ru
Voronezh, Russia; Lipetsk, Russia; Yelets, Russia

V. A. Kalitvin

Lipetsk State Pedagogical University named after P. P. Semenov-Tyan-Shansky; Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration; Financial University under the Government of the Russian Federation

Email: kalitvinv@yandex.ru
Lipetsk, Russia

M. G. Lapshina

Lipetsk State Pedagogical University named after P. P. Semenov-Tyan-Shansky

Email: marina.lapsh@ya.ru
Lipetsk, Russia

References

Supplementary files